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第五章 四邊形
第26講 正方形的性質(zhì)與判定
（思維導(dǎo)圖+1考點(diǎn)+1命題點(diǎn)21種題型（含3種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn) 正方形
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn) 正方形的性質(zhì)與判定
題型01 利用正方形的性質(zhì)求角度
題型02 利用正方形的性質(zhì)求線段長
題型03 利用正方形的性質(zhì)求周長
題型04 利用正方形的性質(zhì)求面積
題型05 根據(jù)正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)
題型06 利用正方形的性質(zhì)證明
題型07 正方形的折疊問題
題型08 求正方形重疊部分面積
題型09 添加一個(gè)條件使四邊形是正方形
題型10 證明四邊形是正方形
題型11 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度
題型12 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長
題型13 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積
題型14 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題
題型15 與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題
題型16 正方形有關(guān)的新定義問題
題型17 與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題
題型18 與正方形有關(guān)的最值問題
題型19 正方形與函數(shù)綜合
題型20 與正方形有關(guān)的存在性問題
題型21 與正方形有關(guān)的材料閱讀類問題
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
正方形的有關(guān)證明與計(jì)算 ★★ 理解正方形的概念； 探索并證明菱形的性質(zhì)定理及其判定定理； 理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系.
【考情分析】正方形是最特殊的四邊形，它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，對(duì)于正方形的考查多數(shù)是考查其性質(zhì)，即在正方形的背景下考查全等三角形、相似三角形、圓等內(nèi)容，試題形式多樣，難度不等. 【命題預(yù)測】正方形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2025年各地中考還將出現(xiàn). 其中，正方還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而正方其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視. 解答題中考查正方形的性質(zhì)和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 正方形
1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且只有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.
2.正方形的性質(zhì)：
1）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)邊平行.
2）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
【補(bǔ)充】
1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).
2）一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45°.
3）兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對(duì)角線長平方的一半.
3.正方形的對(duì)稱性：
1）正方形是軸對(duì)稱圖形，它有四條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線和兩條對(duì)角線所在的直線.
2）正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.
4.正方形的判定：
定義法 平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
判定定理 矩形+一組鄰邊相等 有一組鄰邊相等的矩形是正方形
矩形+對(duì)角線互相垂直 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
菱形+一個(gè)角是直角 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
菱形+對(duì)角線相等 對(duì)角線相等的菱形是正方形
1．（2021·黑龍江·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，使矩形是正方形．
【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【分析】根據(jù)正方形的判定定理可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴根據(jù)“一組鄰邊相等的矩形是正方形”可添加：或或或，
根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案為AC⊥BD（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定定理，熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則 ．
【答案】2
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到為含30度角的直角三角形，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵四邊形為正方形，為等邊三角形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：2．
3．（2024·新疆·中考真題）如圖，在正方形中，若面積，周長，則 ．
【答案】40
【分析】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，完全平方公式等知識(shí)，設(shè)正方形、的邊長分別為a、b，先求出，然后根據(jù)求解即可．
【詳解】解：設(shè)正方形、的邊長分別為a、b，
根據(jù)題意，得，
∴，
∴
，
故答案為：40．
4．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，則四邊形的面積為 ．

【答案】2
【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個(gè)小三角形面積求解，即可解題．
【詳解】解：正方形的面積為4，
，，
點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，
，
，
同理可得，
四邊形的面積為．
故答案為：2．
5．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，．則點(diǎn)到直線的距離為 ．

【答案】
【分析】過點(diǎn)作于，證明四邊形四邊形是正方形，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于，

∵點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)
∴四邊形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四邊形是正方形，
∴，
即點(diǎn)到直線的距離為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 正方形的性質(zhì)與判定
題型01 利用正方形的性質(zhì)求角度
1．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

∵四邊形是正方形，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，
∴，
∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度．
2．（2021·重慶·中考真題）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)角的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．
3．（2023·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．若，則 度．

【答案】80
【分析】先求得和的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到
∴，，
∴，
∴ ，
故答案為：80．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以邊為邊作正方形，連接，則 ．
【答案】81
【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等．先根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)求解．
【詳解】解：正五邊形中， ，，
正方形中， ，，
，，
，
，
故答案為：81．
題型02 利用正方形的性質(zhì)求線段長
在正方形問題中，一般可以通過證三角形全等來證兩條線段相等，也可以利用正方形的角是直角來構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.在正方形中，也常用對(duì)角線互相垂直平分證明線段相等.
5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上，是的中點(diǎn)，點(diǎn)H在邊上，，則的長為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先過點(diǎn)作，連接數(shù) 、，延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)可得，利用可證，再利用可證，從而可得，利用勾股定理可得，利用梯形中位線定理可以求出，根據(jù)可證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以求出的值．
【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)作，連接數(shù)、，延長到點(diǎn)，使，連接，
四邊形是正方形，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
設(shè)，則，，
在中，，
，
解得：，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
是梯形的中位線，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、梯形的中位線定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
6．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在的邊上，則的長為 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)作，易得為等腰直角三角形，設(shè)，得到，證明，得到，進(jìn)而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根據(jù)平行線分線段成比例，求出的長即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作，則：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形．
7．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正方形的面積為50，以為腰作等腰，平分交于點(diǎn)G，交的延長線于點(diǎn)E，連接．若，則 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，再求出，從而可得，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長，最后在和中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，
∵正方形的面積為50，
∴，，
∵，，
∴，平分，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
設(shè)，則，
在和中，，
即，
解得，
即，
則，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．
8．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為 ．
の
【答案】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進(jìn)而可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，即．
【詳解】解：∵正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，
∴，，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：．
題型03 利用正方形的性質(zhì)求周長
9．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)．是邊上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若與關(guān)于直線對(duì)稱，則的周長是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則，再求出，，即可求出答案．
【詳解】解：正方形的邊長為2，
∴，
∴，
∵與關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周長是，
故選：A．
10．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，正方形中有一個(gè)由若干個(gè)長方形組成的對(duì)稱圖案，其中正方形邊長是，則圖中陰影圖形的周長是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查平移的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)將陰影部分的周長轉(zhuǎn)化為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，由此解答即可．
【詳解】解：由圖可得：陰影部分的周長為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，
陰影圖形的周長是：，
故選：A．
11．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，若的周長為32，則的長為 ．

【答案】
【分析】利用斜邊上的中線等于斜邊的一半和的周長，求出的長，進(jìn)而求出的長，勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長，利用三角形的中位線定理，即可得解．
【詳解】解：的周長為32，
．
為DE的中點(diǎn)，
．
，
，
，
，
．
四邊形是正方形，
，O為BD的中點(diǎn)，
是的中位線，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，斜邊上的中線，三角形的中位線定理．熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形的中心，．中，過點(diǎn)D，分別交于點(diǎn)G，M，連接．若，則的周長為 ．
【答案】
【分析】連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M(jìn)是BF中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周長＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
題型04 利用正方形的性質(zhì)求面積
13．（2023·廣東·中考真題）邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】15
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：如圖，

由題意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為15．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·湖南·中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得的長，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

依題意，，
∴圖中陰影部分的面積為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，四邊形是邊長為4的正方形，是等邊三角形，則陰影部分的面積為 ．

【答案】/
【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，首先求出正方形的面積，然后根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)求出和，從而求出和的面積，最后作差求解即可．
【詳解】解：如圖所示，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∵四邊形是邊長為4的正方形，
∴，，，
∵是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方和等邊三角形的性質(zhì)，以及角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，在中，，以其三邊為邊在的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，正方形的邊長為，證明，先后求得，，，利用三角形面積公式求得，證明，求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，且，
設(shè)，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
同理，即，
∴，
同理，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
17．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是 ．
【答案】
【分析】證明△OCG≌△OBE，經(jīng)過觀察易得出結(jié)論：陰影部分面積=扇形面積-正方形面積的．
【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圓心角，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形邊長為4，
∴AC=，
∴OC=
∵，
=
=
=
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等以及扇形面積的計(jì)算；掌握正方形的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行三角形全等的判定，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為常見圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
題型05 根據(jù)正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)
18．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E在邊上．將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】設(shè)正方形的邊長為a，與y軸相交于G，先判斷四邊形是矩形，得出，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于的方程，求出的值，即可求解．
【詳解】解∶設(shè)正方形的邊長為a，與y軸相交于G，
則四邊形是矩形，
∴，，，
∵折疊，
∴，，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．
19．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的對(duì)角線相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分，得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵正方形的對(duì)角線相交于原點(diǎn)O，
∴，
∴關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是；
故答案為：．
20．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，正方形的邊長為4，為邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，線段的長為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】證明，，，則當(dāng)P與A，B重合時(shí)，最長，此時(shí)，而運(yùn)動(dòng)路程為0或4，從而可得答案．
【詳解】解：∵正方形的邊長為4，為邊的中點(diǎn)，
∴，，，
當(dāng)P與A，B重合時(shí)，最長，
此時(shí)，
運(yùn)動(dòng)路程為0或4，
結(jié)合函數(shù)圖象可得，
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是從函數(shù)圖象中獲取信息，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意，確定函數(shù)圖象上橫縱坐標(biāo)的含義是解本題的關(guān)鍵．
21．（2022·山東威海·中考真題）正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為 ．
【答案】24
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥y軸，由正方形的性質(zhì)得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之間的關(guān)系得出∠CBE=∠BAO，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出OA=BE=2，OB=CE=4，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，
∵點(diǎn)B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
將點(diǎn)C代入反比例函數(shù)解析式可得：
k=24，
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式的確定等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
22．（2021·浙江金華·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】設(shè)大正方形的邊長為2a，則大等腰直角三角形的腰長為，中等腰直角三角形的腰長為a，小等腰直角三角形的腰長為，小正方形的邊長為，平行四邊形的長邊為a，短邊為，用含有a的代數(shù)式表示點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，確定a值即可.
【詳解】設(shè)大正方形的邊長為2a，則大等腰直角三角形的腰長為，中等腰直角三角形的腰長為a，小等腰直角三角形的腰長為，小正方形的邊長為，平行四邊形的長邊為a，短邊為，如圖，過點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G, 點(diǎn)F作FH⊥y軸，垂足為H, 過點(diǎn)A作AQ⊥x軸，垂足為Q,延長大等腰直角三角形的斜邊交x軸于點(diǎn)N，交FH于點(diǎn)M，
根據(jù)題意，得OC==，CD=a,DQ=，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,
∴+a+=1，
∴a=；
根據(jù)題意，得FM=PM=，MH=，
∴FH==；
∴MT=2a-，BT=2a-,
∴TN=-a，
∴MN=MT+TN=2a-+-a==，
∵點(diǎn)F在第二象限，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-，）
故答案為：（-，）．
【點(diǎn)睛】本題考查了七巧板的意義，合理設(shè)出未知數(shù)，用未知數(shù)表示各個(gè)圖形的邊長，點(diǎn)ＡＡ的橫坐標(biāo)，點(diǎn)Ｆ的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
題型06 利用正方形的性質(zhì)證明
23．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對(duì)折邊長為2的正方形紙片，為折痕，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)，則的長度為 （結(jié)果保留）．
【答案】/
【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
由對(duì)折可知，，過點(diǎn)E作的垂線，進(jìn)而可求出的度數(shù)，則可得出的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題．
【詳解】解：∵折疊，且四邊形是正方形
四邊形是矩形，，
則，．
過點(diǎn)E作于P，
則，
，
在中，，
，
則，
的長度為：，
故答案為：
24．（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E在的延長線上，連接．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，理解角與角之間的關(guān)系，熟練找出和的全等條件．
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，求出和，然后進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四邊形為正方形，
，
，
，
，
，
，
．
25．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．
【詳解】解：，，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
又，
．
26．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)，分別在，上，且，與相交于點(diǎn)．

(1)求證：≌；
(2)求的大小．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）直接利用證明全等即可；
（2）根據(jù)全等的性質(zhì)，得出，再由，從而求出．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
≌；
（2）解：由（1）知≌，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定．
27．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）先證明四邊形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE證得∠MBO=∠OMF，結(jié)合∠A=90°=∠NFM即可證明；
（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，則NO可求．
【詳解】（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四邊形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）連接ME，如圖，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根據(jù)（1）中全等的結(jié)論可知MN=BE=10，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的長為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
題型07 正方形的折疊問題
28．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到，則，進(jìn)而證明，再由平行線的性質(zhì)證明即可證明；
（2）如圖，延長交于點(diǎn)．證明得到，，
設(shè)，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．
【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．
∴．
∴，即，
∵四邊形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)．
∵，
∴．
又∵，正方形邊長為3，
∴
∴，
∴，，
設(shè)，則，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
29．（2022·遼寧撫順·中考真題）如圖，正方形的邊長為10，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．當(dāng)最小時(shí)，的長是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值問題的求解步驟：①分析所求線段端點(diǎn)（誰動(dòng)誰定）；②動(dòng)點(diǎn)軌跡；③最值模型（比如將軍飲馬模型）；④定線段；⑤求線段長（勾股定理、相似或三角函數(shù)），結(jié)合題意求解即可得到結(jié)論．
【詳解】解：①分析所求線段端點(diǎn)：是定點(diǎn)、是動(dòng)點(diǎn)；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡：正方形的邊長為10，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，則，因此動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓周上，如圖所示：
③最值模型為點(diǎn)圓模型；④最小值對(duì)應(yīng)的線段為；⑤求線段長，連接，如圖所示：
在中，，正方形的邊長為10，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，則，根據(jù)勾股定理可得，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為，
接下來，求的長：連接，如圖所示
根據(jù)翻折可知，設(shè)，則根據(jù)等面積法可知，即整理得，解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值下求線段長，涉及到動(dòng)點(diǎn)最值問題的求解方法步驟，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問題的相關(guān)模型是解決問題的關(guān)鍵．
30．（2022·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐
綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
　　 　　
(1)操作判斷
操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．
(2)遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)拓展應(yīng)用
在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長．
【答案】(1)或或或
(2)①15，15；②，理由見解析
(3)cm或
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，進(jìn)而可得；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證，即可求解；
（3）由（2）可得，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，設(shè)分別表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：
，sin∠BME=
（2）∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
設(shè)
，
即
解得：
∴；
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
設(shè)
，
即
解得：
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
題型08 求正方形重疊部分面積
31．（2023·山東菏澤·一模）如圖，兩個(gè)邊長為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】連接、，證明，得到，再由，代值求解即可得到答案．
【詳解】解：連接、，如圖所示：
，
，
是正方形，為正方形的中心，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案是：4．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于的面積是解決問題的關(guān)鍵．
32．（2021·遼寧撫順·三模）如圖，正方形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．設(shè)兩個(gè)正方形重合部分的面積為，正方形的面積為，通過探索，我們發(fā)現(xiàn)：無論正方形繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，始終有 ．
【答案】
【分析】由正方形性質(zhì)可證△AOE≌△BOF（ASA）由S四邊形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB即可．
【詳解】解：∵正方形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，
又∵點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，
∴∠A1OC1=90°，
∴∠AOE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°，
∴∠AOE =∠FOB，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S1=S四邊形EOFB=S△EOB+S△BOF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等判定，四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等判定，四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積是解題關(guān)鍵．
33．（2020·河北·二模）在平面上，邊長為的正方形和短邊長為的矩形幾何中心重合，如圖①，當(dāng)正方形和矩形都水平放置時(shí)，容易求出重疊面積．
甲、乙、丙三位同學(xué)分別給出了兩個(gè)圖形不同的重疊方式；
甲：矩形繞著幾何中心旋轉(zhuǎn)，從圖②到圖③的過程中，重疊面積大小不變．
乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，矩形的兩條長邊與正方形的對(duì)角線平行時(shí)，此時(shí)的重疊面積大于圖③的重疊面積．
丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經(jīng)過正方形的對(duì)角線，此時(shí)的重疊面積是個(gè)圖形中最小的．
下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙、丙都對(duì) B．只有乙對(duì) C．只有甲不對(duì) D．甲、乙、丙都不對(duì)
【答案】C
【分析】本題重疊部分面積需要結(jié)合圖形特點(diǎn)，利用對(duì)稱性質(zhì)，通過假設(shè)未知數(shù)表示未知線段，利用面積公式求解，并根據(jù)線段范圍判別面積大小．
【詳解】如圖一所示，設(shè)AI=x，BJ=y，則有x+y=AB-IJ=2-1=1，重疊部分四邊形JILK面積為2．
如圖二所示，設(shè)AI=x，BJ=y，
因?yàn)镴M=HE=1，△JIM為直角三角形，斜邊JI大于直角邊JM，
故有：x+y＜1，重疊部分平行四邊形JILK面積為．
如圖三所示，設(shè)AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重疊部分四邊形JIDK面積為．
在由圖一到圖三的轉(zhuǎn)變過程中，x+y的取值逐漸減小，則重疊部分面積逐漸增大，故甲同學(xué)說法錯(cuò)誤．
如圖四所示，設(shè)AI=AN=x（1＜x＜2），重疊部分多邊形BINDKM面積為．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)， ，所以圖四重疊部分的面積大于圖三重疊部分面積，乙同學(xué)說法正確．
如圖五所示，設(shè)AI=AN=x，所以重疊部分四邊形INDB面積為，
因?yàn)椋灾丿B部分面積小于2，即小于圖一重疊面積．
綜上，圖一到圖四重疊部分面積逐漸增大，圖五面積小于圖一，故圖五面積最小，丙同學(xué)說法正確．
故答案為C選項(xiàng)．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形以及矩形性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)進(jìn)行知識(shí)延伸，需要假設(shè)未知數(shù)并結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)化抽象問題為形象問題，利用未知量取值范圍求解本題．
34．（2020·浙江·中考真題）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為 （用含a，b的代數(shù)式表示）．
【答案】
【分析】如圖，連接AE、AF，先證明△GAE≌△HAF，由此可證得，進(jìn)而同理可得，根據(jù)正方形ABCD的面積等于四個(gè)相同四邊形的面積之和及小正方形的面積即可求得答案．
【詳解】解：如圖，連接AE、AF，
∵點(diǎn)A為大正方形的中心，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°，
∴∠AEG=∠AFE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠GAE=∠HAF，
在△GAE與△HAF 中，
∴△GAE≌△HAF（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)并能作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
題型09 添加一個(gè)條件使四邊形是正方形
35．（2020·湖北襄陽·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，，相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．，
B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形
C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形
D．當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，菱形，矩形，正方形的判定逐一判斷即可．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，故A正確，
四邊形是平行四邊形，，
不能推出四邊形是菱形，故錯(cuò)誤，
四邊形是平行四邊形，，
四邊形是矩形，故C正確，
四邊形是平行四邊形，，，
四邊形是正方形．故D正確．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·遼寧鞍山·一模）如圖中，陰影部分表示的四邊形是 ．
【答案】正方形
【分析】本題考查四邊形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)題意可知，陰影部分既要滿足矩形的性質(zhì)，又滿足菱形的性質(zhì)，從而得解；
【詳解】解：當(dāng)矩形的鄰邊相等時(shí)，矩形可稱為是正方形；當(dāng)菱形的鄰邊互相垂直時(shí)，所給菱形可稱為正方形；
故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形，
所以陰影部分表示的四邊形是正方形；
故答案為：正方形
37．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）在下列條件中，能夠判定矩形為正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正方形的判定，根據(jù)對(duì)角線垂直的矩形為正方形即可得出答案．
【詳解】解：∵是矩形，
∴當(dāng)時(shí)，矩形為正方形
故選：B．
38．（2024·河北秦皇島·一模）數(shù)學(xué)課上，嘉嘉作線段的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，則直線即為所求．作完圖之后，嘉嘉經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，，根據(jù)他的作圖方法和測量可知四邊形是正方形，嘉嘉的理由是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行的菱形是正方形 B．四條邊相等的菱形是正方形
C．對(duì)角線相等的菱形是正方形 D．有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
【答案】C
【分析】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及正方形的判定，得出四邊形四邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的判定方法對(duì)角線相等的菱形是正方形即可證明；
【詳解】解：根據(jù)題意可知，可以判定四邊形是菱形
又因?yàn)椋运倪呅问钦叫?br/>故選：C
39．（2024·山東東營·中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使是正方形的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，共有①②、①③、②③，3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形．再根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】解：從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，共有①②、①③、②③，3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形．
∴，從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使是正方形的概率為．
故選：A．
40．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知菱形中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加條件 可使菱形成為正方形．
【答案】或
【分析】本題主要考查的是菱形和正方形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，依據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解：根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形，可添加：；
根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，可添加的：；
故添加的條件為：或．
41．（2021·廣西玉林·中考真題）一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：
a.兩組對(duì)邊分別相等 b.一組對(duì)邊平行且相等
c.一組鄰邊相等 d.一個(gè)角是直角
順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
則正確的是：（ ）
A．僅① B．僅③ C．①② D．②③
【答案】C
【分析】根據(jù)題意及正方形的判定定理可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】解：①由兩組對(duì)邊分別相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一組鄰邊相等可得該四邊形是菱形，再添加一個(gè)角是直角則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；
②由一組對(duì)邊平行且相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一個(gè)角是直角可得該四邊形是矩形，再添加一組鄰邊相等則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；
③a、b都為平行四邊形的判定定理，故不能判定該四邊形是正方形，故錯(cuò)誤，不符合題意；
∴正確的有①②；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
題型10 證明四邊形是正方形
判定一個(gè)四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角為直角和一組鄰邊相等．
42．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)請(qǐng)說明當(dāng)?shù)膶?duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？
【答案】(1)平行四邊形，見解析
(2)且
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．
（2）根據(jù)對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可．
【詳解】（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：
∵的對(duì)角線交于點(diǎn)，
∴，
∵以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，
∴
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，
∴且時(shí)，四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
43．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，若，請(qǐng)直接寫出四邊形的形狀．
【答案】(1)證明見詳解
(2)四邊形為正方形
【分析】（1）由角平分線的定義可得出，由平行線的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，利用證明 ，由全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出四邊形是平行四邊形．
（2）由已知條件可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，，由全等三角形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出， 即可得出四邊形為正方形．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）四邊形是正方形．
過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，
∴，
∵四邊形是平行四邊形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，以及平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
44．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E、F，連接，與相交千點(diǎn)H．
（1）求證：；
（2）滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形是正方形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得DE=DF，再根據(jù)HL定理證明△AED≌△AFD，則有AE=AF，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）只需證得四邊形AEDF是矩形即可，
【詳解】解：（1）∵是的角平分線，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又是的角平分線，
∴AD⊥EF；
（2）滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四邊形AEDF是正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系和運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
45．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接的延長線交的延長線于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：；
(2)請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得四邊形為正方形．（不需要說明理由）
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定方法．
（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；
（2）證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)正方形的判定即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．
證明：由（1）知，，
又 ，
，
四邊形是平行四邊形，
由（1）知，，
，
，
四邊形是菱形，
，
，
四邊形是正方形．
故答案為：．
46．（2023·山東青島·一模）如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，分別連接，，．

(1)求證：；
(2)若平分，已知______（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件并補(bǔ)寫相應(yīng)內(nèi)容，填寫序號(hào)），四邊形為正方形？請(qǐng)證明．
①平行四邊形的邊滿足______時(shí)
②平行四邊形的角滿足______時(shí)
【答案】(1)答案見解析
(2)選擇①平行四邊形的邊滿足時(shí)，四邊形為正方形
【分析】（1）由，得，由為邊的中點(diǎn)，，而，即可證明；
（2）由，得，，而，則，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危僮C明，則，因?yàn)椋裕瑒t，所以四邊形是矩形，進(jìn)而得到四邊形是正方形．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
為邊的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
．
（2）解：選擇①平行四邊形的邊滿足時(shí)，四邊形為正方形；
，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、矩形的判定，正方形的判定，證明是解第（2）題的關(guān)鍵．
題型11 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度
47．（2021·湖南株洲·中考真題）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設(shè)計(jì)圖（蜨，同“蝶”），它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共十三只（圖①中的“様”和“隻”為“樣”和“只”）．圖②為某蝶幾設(shè)計(jì)圖，其中和為“大三斜”組件（“一様二隻”的大三斜組件為兩個(gè)全等的等腰直角三角形），已知某人位于點(diǎn)處，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接、．若，則 度．
【答案】21
【分析】由題意易得四邊形ABCD是正方形，進(jìn)而根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AD=DP，，則有CD=DP，然后可得，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵，且都為等腰直角三角形，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，
∴，AD=DP，
∴CD=DP，，
∴，
∴，
故答案為21．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
48．（2023·四川·中考真題）如圖，半徑為的扇形中，，是上一點(diǎn)，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，證明四邊形是正方形，進(jìn)而得出，，然后根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵，，，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∴圖中陰影部分面積，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，求扇形面積，證明四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．
49．（2023·福建寧德·一模）如圖，將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)處；再將矩形展平，沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)G處，連接． 小明發(fā)現(xiàn)可以由繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則 °．
【答案】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角等于對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角求直線與的夾角即可．
【詳解】延長與交于點(diǎn)，
∵可以由繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∵將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)處，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)角等于對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角．
50．（2020·黑龍江哈爾濱·二模）正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并延長交射線于點(diǎn)，連接，若為等腰三角形，則 ．
【答案】或
【分析】分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出CP=CE，易得，由正方形的性質(zhì)得出，再證明，得出，進(jìn)一步得出的度數(shù)；當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，同理得出結(jié)論．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如下圖：
為等腰三角形，則CP=CE，
∴
∵四邊形ABCD是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如下圖，
為等腰三角形，則PE=CE，
∴
∵四邊形ABCD是正方形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，利用方程思想和分類討論是解答此題的關(guān)鍵．
題型12 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長
51．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，．
(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)，使得；（不寫作法，保留痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請(qǐng)直接寫出的值）
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）作的角平分線和線段的垂直平分線相交于點(diǎn)D，即為所求．
（2）過點(diǎn)D作交與點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交與點(diǎn)F，先利用角平分線的性質(zhì)定理證明四邊形為正方形，設(shè)，則，，以為等量關(guān)系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．
【詳解】（1）解：如下圖：即為所求．
（2）過點(diǎn)D作交與點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交與點(diǎn)F，
則，
又∵
∴四邊形為矩形，
∵是的平分線，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，
設(shè)，
∴，，
在中，，
在中，，
∵
∴
∴
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理的應(yīng)用，作出圖形以及輔助線是解題的關(guān)鍵．
52．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等，延長交y軸于點(diǎn)E，先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明四邊形是正方形，進(jìn)而求出和的長度即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交y軸于點(diǎn)E，
中，令，則，令，解得，
，，
，，
繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
四邊形是正方形．
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：．
53．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，，將沿折疊得，連接，，若平分，，則的長為 ．

【答案】
【分析】過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，由四邊形是矩形，得，，證明四邊形是矩形，通過角平分線的性質(zhì)證得四邊形是正方形，最后根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∵平分，
∴，，
∴四邊形是正方形，
由折疊性質(zhì)可知：，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，所對(duì)直角邊是斜邊的一半，角平分線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
題型13 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積
54．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，分別過點(diǎn)A，D作⊙O的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】
【分析】連接，，證明四邊形是正方形，由勾股定理求得，根據(jù)陰影部分面積 求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，，

∵、是的切線，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴陰影部分面積
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，扇形的面積，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)、正方形的判定得出圓的半徑是解題的關(guān)鍵．
55．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，兩個(gè)半徑長均為的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形的圓心C是的中點(diǎn)，且扇形繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑，交于點(diǎn)G，半徑，交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)扇形面積公式求出兩扇形面積，再過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，再證明△CMG≌△CNH，可證得白色部分的面積等于對(duì)角線為的正方形CMEN得面積，進(jìn)而可求得陰影部分的面積．
【詳解】解：∵兩個(gè)直角扇形的半徑長均為，
∴兩個(gè)扇形面積和為，
過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，則四邊形CMEN是矩形，
∵C是的中點(diǎn)，
∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴四邊形CMEN是正方形，
∴∠CMG=∠MCN=∠CNH，
∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴白色部分的面積等于對(duì)角線為的正方形CMEN的面積，
∴空白部分面積為，
∴陰影部分面積為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、圓的有關(guān)性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記扇形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出空白部分面積是解答的關(guān)鍵．
56．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，的角平分線交于點(diǎn)D，．
（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）若，且，求四邊形的面積．
【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）4
【分析】（1）根據(jù)DE∥AB，DF∥AC判定四邊形AFDE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可證明；
（2）根據(jù)∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根據(jù)對(duì)角線AD求出邊長，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）四邊形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四邊形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC=90°，
∴四邊形AFDE是正方形，
∵AD=，
∴AF=DF=DE=AE==2，
∴四邊形AFDE的面積為2×2=4．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．
57．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在扇形中，已知，，過的中點(diǎn)作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接OC，易證，進(jìn)一步可得出四邊形CDOE為正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出邊長即可求得正方形的面積，根據(jù)扇形面積公式得出扇形AOB的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積等于扇形AOB的面積剪去正方形CDOE的面積就可得出答案．
【詳解】連接OC
點(diǎn)為的中點(diǎn)
在和中
又
四邊形CDOE為正方形
由扇形面積公式得
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算、正方形的判定及性質(zhì)，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
題型14 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題
58．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在正方形中，與交于點(diǎn)O，H為延長線上的一點(diǎn)，且，連接，分別交，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可知，，，，與互相垂直且平分，進(jìn)而可求得，根據(jù)正切值定義即可判斷②；由，可知，由相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；由，可求得，再結(jié)合與互相垂直且平分，得，可知，進(jìn)而可判斷③；再證，即可判斷④．
【詳解】解：在正方形中，，，，，與互相垂直且平分，
則，
∵，則，
∴，故②不正確；
∵，則，，
∴，
∴，故①不正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵與互相垂直且平分，
∴，
∴，則，
∴，
∴平分，故③正確；
由上可知，，
∴，
∴，則，
又∵，
∴，故④正確；
綜上，正確的有③④，共2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
59．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片中，是邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長交于點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)．給出以下結(jié)論：①為等腰三角形；②為的中點(diǎn)；③；④．其中正確結(jié)論是 ．（填序號(hào)）
【答案】①②③
【分析】設(shè)正方形的邊長為，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出，即可判斷①，證明四邊形是平行四邊形，即可判斷②，求得，設(shè)，則，勾股定理得出，進(jìn)而判斷③，進(jìn)而求得，，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義，即可判斷④，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵為的中點(diǎn)，
∴
設(shè)正方形的邊長為，
則
∵折疊，
∴，
∴
∴是等腰三角形，故①正確；
設(shè)，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴ ，即是的中點(diǎn)，故②正確；
∵，
∴
在中，，
∵
∴
設(shè)，則，
∴
∴
∴，，
∴，故③正確；
連接，如圖所示，
∵，，
又
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴，故④不正確
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與折疊問題，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
60．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，垂足為G，將沿翻折，得到交于點(diǎn)P，對(duì)角線交于點(diǎn)H，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，；⑤．（ ）

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而證明，即可判斷①；由折疊的性質(zhì)可得，再由平行線的判定即可判斷②；由可得在同一直線上，從而可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，再根據(jù)菱形的判定即可判斷③；設(shè)正方形的邊長為，則，利用勾股定理求得，證明，可得，從而證得，可得，，即可判斷④；證明，可得，從而證明，可得，再證明，可得，進(jìn)而可得，即可判斷⑤．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正確，
∵將沿翻折，得到，
，
∵，
，故②正確，
當(dāng)時(shí)，，
，
，即在同一直線上，
，
，
通過翻折的性質(zhì)可得，，
∴，，
，
∴四邊形是平行四邊形，
，
∴平行四邊形是菱形，故③正確，
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，如圖，

設(shè)正方形的邊長為，則，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，，故④錯(cuò)誤，
由折疊的性質(zhì)可得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，故⑤正確；
綜上分析可知，正確的是①②③⑤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵．
61．（2021·四川攀枝花·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊CD、BC上的點(diǎn)，且DM＝CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結(jié)論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③PQN≌BQN；④PQ＝5．其中正確的結(jié)論有 （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①④
【分析】①正確，證明△ADM≌△DCN（SAS），可得結(jié)論．
②③錯(cuò)誤，利用反證法證明即可．
④正確，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出PQ，可得結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，
在△ADM和△DCN，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADP＝90°，
∴∠ADP+∠DAM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AM⊥DN，故①正確，
不妨假設(shè)∠MAN＝∠BAN，
在△APN和△ABN中，
，
∴△PAN≌△ABN（AAS），
∴AB＝AP，
∵這個(gè)與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤，
不妨假設(shè)△PQN≌△BQN，
則∠ANP＝∠ANB，同法可證△APN≌△ABN，
∴AP＝AB，
∵這個(gè)與AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤，
∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，
∴BN＝6，
∵∠ABN＝90°，
∴AN10，
∵∠APN＝90°，AQ＝QN，
∴PQAN＝5．故④正確，
故答案為：①④．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用反證法解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
題型15 與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題
62．（2023·山東青島·中考真題）如圖①，正方形的面積為1．

(1)如圖②，延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______；
(2)如圖③，延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______；
(3)延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】（1）由正方形的面積為1則邊長，根據(jù)已知，所以，根據(jù)，因?yàn)椋惺接?jì)算即可；
（2）與（1）相似，由正方形的面積為1，則邊長，根據(jù)已知，所以，根據(jù)，因?yàn)椋惺接?jì)算即可；
（3）由正方形的面積為1，則邊長，根據(jù)已知，所以，根據(jù)，因?yàn)椋惺接?jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵正方形的面積為1，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案為：；
（2）∵正方形的面積為1，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：5；
（3）∵正方形的面積為1，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式及代數(shù)式的求值，組合圖形面積的計(jì)算，三角形的面積公式，梯形的面積公式，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．
63．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長為（　　）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理得出正方形的對(duì)角線是邊長的，第1個(gè)正方形的邊長為1，其對(duì)角線長為；第2個(gè)正方形的邊長為，其對(duì)角線長為；第3個(gè)正方形的邊長為，其對(duì)角線長為； ；第n個(gè)正方形的邊長為．所以，第6個(gè)正方形的邊長．
【詳解】解：由題知，第1個(gè)正方形的邊長，
根據(jù)勾股定理得，第2個(gè)正方形的邊長，
根據(jù)勾股定理得，第3個(gè)正方形的邊長，
根據(jù)勾股定理得，第4個(gè)正方形的邊長，
根據(jù)勾股定理得，第5個(gè)正方形的邊長，
根據(jù)勾股定理得，第6個(gè)正方形的邊長．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，根據(jù)勾股定理找到正方形邊長之間的倍關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
64．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)作軸，垂足為，以為邊向右作正方形，延長交直線l于點(diǎn)；以為邊向右作正方形，延長交直線l于點(diǎn)；……；按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】由題意分別求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律進(jìn)而可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)作軸，垂足為，
∴，，∴A1B1=，
根據(jù)題意，OA2=1+=，
∴，，
同理，，，
，
……
由此規(guī)律，可得：，，
∴即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，理解題意，結(jié)合圖象和正方形的性質(zhì)，探索點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
65．（2020·遼寧·中考真題）如圖，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的頂點(diǎn)，在射線上，頂點(diǎn)，在射線上，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，…，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)與的面積之和為與的面積之和為與的面積之和為，…，若，則等于 ．（用含有正整數(shù)的式子表示）
【答案】
【分析】先證得△ADC△，推出CD=，，同理得到，，由△△，推出△ED邊D上的高為，計(jì)算出，同理計(jì)算得出，，找到規(guī)律，即可求解
【詳解】∵正方形，正方形，且，
∴△和△都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理，
∵正方形，正方形，邊長分別為2，4，
∴AC∥，∥，
∴，
∴，
∴，，
同理：，，
∵∥，
∴△△，
設(shè)△和△的邊和上的高分別為和，
∴，
∵，
∴，，
∴；
同理求得：
；
；
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)在規(guī)律型問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
66．（2021·山東東營·中考真題）如圖，正方形中，，AB與直線l所夾銳角為，延長交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長交直線l于點(diǎn)，作正方形，…，依此規(guī)律，則線段 ．
【答案】
【分析】利用tan30°計(jì)算出30°角所對(duì)直角邊，乘以2得到斜邊，計(jì)算3次，找出其中的規(guī)律即可.
【詳解】∵AB與直線l所夾銳角為，正方形中，，
∴∠=30°，
∴=tan30°==1，
∴；
∵=1，∠=30°，
∴=tan30°=，
∴；
∴線段 ,
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，規(guī)律思考，熟練進(jìn)行計(jì)算，抓住指數(shù)的變化這個(gè)突破口求解是解題的關(guān)鍵.
67．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動(dòng)方式，依次求出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
,
是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，
等邊三角形高為，
由題知，
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
繼續(xù)滾動(dòng)有，的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；
的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個(gè)為一組，
，
的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，
故答案為：．
題型16 正方形有關(guān)的新定義問題
68．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐
定義：將寬與長的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．
（1）概念理解：
當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（）與長的比值是_________．
（2）操作驗(yàn)證：
用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：
第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，連接；
第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；
第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．
試說明：矩形是1階奇妙矩形．
　　 　　 　　
（3）方法遷移：
用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注．
（4）探究發(fā)現(xiàn)：
小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由．
【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析
【分析】（1）將代入，即可求解．
（2）設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．
（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長與矩形的周長，即可求解．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
（2）如圖（2），連接，

設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得
設(shè)，則
根據(jù)折疊，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
∴矩形是1階奇妙矩形．
（3）用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖）：
第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，再對(duì)折，折痕為，連接；
第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；
第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．
矩形是2階奇妙矩形，

理由如下，連接，設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊可得，則，

設(shè)，則
根據(jù)折疊，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
當(dāng)時(shí)，
∴矩形是2階奇妙矩形．
（4）如圖（4），連接誒，設(shè)正方形的邊長為1，設(shè)，則，

設(shè)，則
根據(jù)折疊，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
整理得，
∴四邊形的邊長為
矩形的周長為，
∴四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
69．（2021·上海·中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先確定正方形的中心O與各邊的所有點(diǎn)的連線中的最大值與最小值，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的條件即可求解．
【詳解】解：如圖1，設(shè)的中點(diǎn)為E，連接OA，OE，則AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴點(diǎn)O與正方形邊上的所有點(diǎn)的連線中，
最小，等于1，最大，等于．
∵，
∴點(diǎn)P與正方形邊上的所有點(diǎn)的連線中，
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E落在上時(shí)，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)A落在上時(shí)，最小值．
∴當(dāng)正方形ABCD繞中心O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P到正方形的距離d的取值范圍是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確理解新定義的含義和熟知正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
70．（2020·湖南益陽·中考真題）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：
（1）如圖1，正方形中，是上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長線上，則四邊形為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？
（2）如圖2，已知四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，，，，點(diǎn)到直線的距離為．
①求的長．
②若、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）①BE=4；②周長的最小值為
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,進(jìn)而可證得四邊形為“直等補(bǔ)”四邊形；
（2）如圖2，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF，可證得四邊形EBFD是正方形，則有BE=FD,設(shè)BE=x，則FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；
（3）如圖3，延長CD到P，使DP=CD=1，延長CB到T，使TB=BC=5，則NP=NC，MT=MC,
由△MNC的周長=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，當(dāng)T、M、N、P共線時(shí)，△MNC的周長取得最小值PT，過P作PH⊥BC交BC延長線于H，易證△BFC∽△PHC，求得CH、PH，進(jìn)而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周長的最小值．
【詳解】（1）如圖1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE
∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠F+∠BED=180°，
∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，
故滿足“直等補(bǔ)”四邊形的定義，
∴四邊形為“直等補(bǔ)”四邊形；
（2）∵四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC，
∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，
如圖2，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF，
則∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE
∴D、C、F共線，
∴四邊形EBFD是正方形，
∴BE=FD，
設(shè)BE=x，則CF=x-1，
在Rt△BFC中，BC=5，
由勾股定理得：，即，
解得：x=4或x=﹣3(舍去)，
∴BE=4
（3）如圖3，延長CD到P，使DP=CD=1，延長CB到T，使TB=BC=5,
則NP=NC，MT=MC,
∴△MNC的周長=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT
當(dāng)T、M、N、P共線時(shí)，△MNC的周長取得最小值PT，
過P作PH⊥BC，交BC延長線于H，
∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,
∴△BCF∽△PCH,
∴,
即，
解得：,
在Rt△PHT中，TH=,
,
∴周長的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)的最值問題等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析圖形，尋找相關(guān)信息的聯(lián)系點(diǎn)，借用類比等解題方法確定解題思路，進(jìn)而進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．
71．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)了“中心對(duì)稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創(chuàng)新的他大膽地作出這樣的定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角，且對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請(qǐng)你根據(jù)以上定義，回答下列問題：
(1)下列關(guān)于“雙直四邊形”的說法，正確的有 （把所有正確的序號(hào)都填上）；
①雙直四邊形”的對(duì)角線不可能相等：
②“雙直四邊形”的面積等于對(duì)角線乘積的一半；
③若一個(gè)“雙直四邊形”是中心對(duì)稱圖形，則其一定是正方形．
(2)如圖①，正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，，，，若，證明：四邊形為“雙直四邊形”；
(3)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上且，是否存在點(diǎn)在第一象限，使得四邊形為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)②③
(2)證明見詳解；
(3)或
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）由“雙直四邊形”的定義依次判斷即可；
（2）證明，得到，由余角的性質(zhì)可證，可得結(jié)論；
（3）根據(jù)“雙直四邊形”的定義分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況討論，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵正方形是“雙直四邊形”，正方形的對(duì)角線相等．
故①不正確．
∵“雙直四邊形”的對(duì)角線互相垂直，
∴“雙直四邊形”的面積等于對(duì)角線乘積的一半．
故②正確．
中心對(duì)稱的四邊形是平行四邊形，再根據(jù)“雙直四邊形”的定義得到四邊形是正方形．
故③正確；
故答案為：②③；
（2）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形為“雙直四邊形”．
（3）解：設(shè)如圖②，設(shè)與交于點(diǎn)，
點(diǎn)，，
，，
，，
，
，
，
點(diǎn)，
四邊形是“雙直四邊形”，
，
，
，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，
點(diǎn)，，
點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
，
解得：，
直線的表示為：，
當(dāng)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，
，，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，如圖③，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
是的垂直平分線，
，
平分，
，
，
，
設(shè)，則，，
即點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入，
得，
為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)或
72．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）點(diǎn)M在四邊形內(nèi)，點(diǎn)M和四邊形的一組對(duì)邊組成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是以對(duì)邊為斜邊的等腰直角三角形，那么定義該四邊形 為蝴蝶四邊形．例如，如圖1，在四邊形中， ， ，，則四邊形 為蝴蝶四邊形．
【概念理解】如圖2，正方形 中，對(duì)角線 ，相交于點(diǎn) M．判斷正方形 是否為蝴蝶四邊形，說明理由．
【性質(zhì)探究】如圖3，在蝴蝶四邊形中，．求證：．
【拓展應(yīng)用】在蝴蝶四邊形中， °，，當(dāng) 是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)的值．
【答案】【概念理解】正方形為蝴蝶四邊形，理由見解析；【性質(zhì)探究】見解析；【拓展應(yīng)用】的值為5或
【分析】概念理解：證明和都是等腰直角三角形，正方形的對(duì)邊、分別為斜邊，即可得正方形為蝴蝶四邊形；
性質(zhì)探究：證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得；
拓展應(yīng)用：延長交于，證明, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得求出 利用勾股定理求出，即可得以為邊的正方形的面積.
【詳解】概念理解：解：正方形為蝴蝶四邊形，理由如下：
∵四邊形是正方形，
∴，，，.
∴，，.
∴和都是等腰直角三角形，正方形的對(duì)邊、分別為斜邊.
∴正方形為蝴蝶四邊形.
性質(zhì)探究：
證明：∵四邊形是蝴蝶四邊形，，
∴和都是等腰直角三角形，，，
.
∴.
∴.
∴.
拓展應(yīng)用：
解：①當(dāng)時(shí)，如圖3，延長交于N，
∵，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②當(dāng)時(shí)，如圖4，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H.
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∵.
∴.
∴.
∵,
∵.
③當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去.
綜上，的值為5或.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型17 與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題
73．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點(diǎn)為邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．
【模型建立】
（1）求證：；
【模型應(yīng)用】
（2）若，，，求的長；
【模型遷移】
（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出，即可得證；
（2）延長交于點(diǎn)，證明，得到，再證明，求出的長，進(jìn)而求出的長；
（3）設(shè)正方形的邊長為，延長交于點(diǎn)，證明，得到，進(jìn)而得到，勾股定理求出，進(jìn)而求出的長，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延長交于點(diǎn)，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）設(shè)正方形的邊長為，則：，
延長交于點(diǎn)，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
74．（2023·海南·中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F，則 ．若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為 ．

【答案】
【分析】過作交延長線于點(diǎn)，證明，得到即可求解；過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明，得到，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條平行于的線段，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，由得到，即，從而求解．
【詳解】解：過作交延長線于點(diǎn)

則四邊形為矩形，
∴
由題意可得：
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如下圖

∵，
∴
在和中
∴
∴，
故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條平行于的線段，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，
∴
∵
∴
∴，即
解得
∵、分別為、的中點(diǎn)
∴是的中位線
∴，即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為
故答案為：，
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，點(diǎn)的軌跡，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，確定出點(diǎn)的軌跡，正確求出線段．
75．（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形，點(diǎn)E為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接，以為一邊構(gòu)造矩形（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針方向排列），連接．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，，分別取線段，的中點(diǎn)M，N，連接，，，若，，請(qǐng)直接寫出的面積．
【答案】(1)，
(2)，，理由見解析
(3)或
【分析】（1）證明，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）證明，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，解斜三角形，求得，根據(jù)（2）可得，從而得出三角形的面積，可證得，與的面積比等于，進(jìn)而求得結(jié)果；同理可得點(diǎn)在的延長線時(shí)的情形．
【詳解】（1），理由如下：
由題意得：四邊形和四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
；
（2），，理由如下：
由（1）得：，
，
，
，，
，
，
；
（3）如圖，
當(dāng)在線段上時(shí)，
作于，
，
設(shè)，，
在中，
，
，，
在中，
，
，
，
，
，
，
由（2）得：，，
，
，
在和中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
是的中位線，
，
，
，
，
如圖，
同上可得：，
，
，
，
綜上所述：的面積是或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是類比的方法．
76．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，，，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，，分別是邊，邊上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說法：①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)矩形；③存在無數(shù)個(gè)菱形；④存在無數(shù)個(gè)正方形．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可．
【詳解】
如圖，連接AC、與BD交于點(diǎn)O，連接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵點(diǎn)E、F時(shí)BD上的點(diǎn)，
∴只要M，N過點(diǎn)O，
那么四邊形MENF就是平行四邊形
∴存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF，故①正確；
只要MN=EF，MN過點(diǎn)O，則四邊形MENF是矩形，
∵點(diǎn)E、F是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無數(shù)個(gè)矩形MENF，故②正確；
只要MN⊥EF，MN過點(diǎn)O，則四邊形MENF是菱形；
∵點(diǎn)E、F是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無數(shù)個(gè)菱形MENF，故③正確；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN過點(diǎn)O，
則四邊形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定、解答本題的關(guān)鍵時(shí)明確題意，作出合適的輔助線．
題型18 與正方形有關(guān)的最值問題
77．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐
如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．
特例感知
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；
類比遷移
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．
拓展應(yīng)用
（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．
①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長度．
【答案】（1），（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）①y與x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，的最小值為；②當(dāng)時(shí)，為或.
【分析】（1）先證明，，，可得；再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）先證明，，結(jié)合，可得；再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）①先證明四邊形為正方形，如圖，過作于，可得，，再分情況結(jié)合勾股定理可得函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得最小值；②如圖，連接，，，證明，可得在上，且為直徑，則，過作于，過作于，求解正方形面積為,結(jié)合，再解方程可得答案.
【詳解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都為等腰直角三角形；
∵點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，
∴為等腰直角三角形；，
∴四邊形為正方形，
如圖，過作于，
∵，，
∴，，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
如圖，當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，
同理可得：，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，的最小值為；
②如圖，∵，正方形，記正方形的中心為，
∴，
連接，，，
∴，
∴在上，且為直徑，
∴，
過作于，過作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面積為,
∴，
解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，
如圖，
綜上：當(dāng)時(shí)，為或.
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的確定及圓周角定理的應(yīng)用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
78．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進(jìn)而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長線上截取，連接，易證明，則，可得當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長的一半，求出，在中，由勾股定理得，責(zé)任的最小值為5．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴；
如圖所示，在延長線上截取，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長的一半，
∵，，
∴，
∴，
第五章 四邊形
第26講 正方形的性質(zhì)與判定
（思維導(dǎo)圖+1考點(diǎn)+1命題點(diǎn)21種題型（含3種解題技巧））
試卷第1頁，共3頁
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn) 正方形
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn) 正方形的性質(zhì)與判定
題型01 利用正方形的性質(zhì)求角度
題型02 利用正方形的性質(zhì)求線段長
題型03 利用正方形的性質(zhì)求周長
題型04 利用正方形的性質(zhì)求面積
題型05 根據(jù)正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)
題型06 利用正方形的性質(zhì)證明
題型07 正方形的折疊問題
題型08 求正方形重疊部分面積
題型09 添加一個(gè)條件使四邊形是正方形
題型10 證明四邊形是正方形
題型11 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度
題型12 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長
題型13 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積
題型14 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題
題型15 與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題
題型16 正方形有關(guān)的新定義問題
題型17 與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題
題型18 與正方形有關(guān)的最值問題
題型19 正方形與函數(shù)綜合
題型20 與正方形有關(guān)的存在性問題
題型21 與正方形有關(guān)的材料閱讀類問題
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
正方形的有關(guān)證明與計(jì)算 ★★ 理解正方形的概念； 探索并證明菱形的性質(zhì)定理及其判定定理； 理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系.
【考情分析】正方形是最特殊的四邊形，它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，對(duì)于正方形的考查多數(shù)是考查其性質(zhì)，即在正方形的背景下考查全等三角形、相似三角形、圓等內(nèi)容，試題形式多樣，難度不等. 【命題預(yù)測】正方形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2025年各地中考還將出現(xiàn). 其中，正方還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而正方其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視. 解答題中考查正方形的性質(zhì)和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 正方形
1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且只有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.
2.正方形的性質(zhì)：
1）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)邊平行.
2）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
【補(bǔ)充】
1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).
2）一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45°.
3）兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對(duì)角線長平方的一半.
3.正方形的對(duì)稱性：
1）正方形是軸對(duì)稱圖形，它有四條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線和兩條對(duì)角線所在的直線.
2）正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.
4.正方形的判定：
定義法 平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
判定定理 矩形+一組鄰邊相等 有一組鄰邊相等的矩形是正方形
矩形+對(duì)角線互相垂直 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
菱形+一個(gè)角是直角 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
菱形+對(duì)角線相等 對(duì)角線相等的菱形是正方形
1．（2021·黑龍江·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，使矩形是正方形．
2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則 ．
3．（2024·新疆·中考真題）如圖，在正方形中，若面積，周長，則 ．
4．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，則四邊形的面積為 ．

5．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，．則點(diǎn)到直線的距離為 ．

04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 正方形的性質(zhì)與判定
題型01 利用正方形的性質(zhì)求角度
1．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于（ ）

A． B． C． D．
2．（2021·重慶·中考真題）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，點(diǎn)M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
3．（2023·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．若，則 度．

4．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以邊為邊作正方形，連接，則 ．
題型02 利用正方形的性質(zhì)求線段長
在正方形問題中，一般可以通過證三角形全等來證兩條線段相等，也可以利用正方形的角是直角來構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.在正方形中，也常用對(duì)角線互相垂直平分證明線段相等.
5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上，是的中點(diǎn)，點(diǎn)H在邊上，，則的長為（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在的邊上，則的長為 ．
7．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正方形的面積為50，以為腰作等腰，平分交于點(diǎn)G，交的延長線于點(diǎn)E，連接．若，則 ．
8．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為 ．
の
題型03 利用正方形的性質(zhì)求周長
9．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)．是邊上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若與關(guān)于直線對(duì)稱，則的周長是（ ）

A． B． C． D．
10．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，正方形中有一個(gè)由若干個(gè)長方形組成的對(duì)稱圖案，其中正方形邊長是，則圖中陰影圖形的周長是（ ）

A． B． C． D．
11．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，若的周長為32，則的長為 ．

12．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形的中心，．中，過點(diǎn)D，分別交于點(diǎn)G，M，連接．若，則的周長為 ．
題型04 利用正方形的性質(zhì)求面積
13．（2023·廣東·中考真題）邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為 ．

14．（2023·湖南·中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為 ．

15．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，四邊形是邊長為4的正方形，是等邊三角形，則陰影部分的面積為 ．

16．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，在中，，以其三邊為邊在的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
17．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是 ．
題型05 根據(jù)正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)
18．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E在邊上．將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ．
19．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的對(duì)角線相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
20．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，正方形的邊長為4，為邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，線段的長為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
21．（2022·山東威海·中考真題）正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為 ．
22．（2021·浙江金華·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是 ．
題型06 利用正方形的性質(zhì)證明
23．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對(duì)折邊長為2的正方形紙片，為折痕，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)，則的長度為 （結(jié)果保留）．
24．（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E在的延長線上，連接．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
25．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．
26．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)，分別在，上，且，與相交于點(diǎn)．

(1)求證：≌；
(2)求的大小．
27．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
題型07 正方形的折疊問題
28．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
29．（2022·遼寧撫順·中考真題）如圖，正方形的邊長為10，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．當(dāng)最小時(shí)，的長是 ．
30．（2022·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐
綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
　　 　　
(1)操作判斷
操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．
(2)遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)拓展應(yīng)用
在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長．
題型08 求正方形重疊部分面積
31．（2023·山東菏澤·一模）如圖，兩個(gè)邊長為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為 ．
32．（2021·遼寧撫順·三模）如圖，正方形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．設(shè)兩個(gè)正方形重合部分的面積為，正方形的面積為，通過探索，我們發(fā)現(xiàn)：無論正方形繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，始終有 ．
33．（2020·河北·二模）在平面上，邊長為的正方形和短邊長為的矩形幾何中心重合，如圖①，當(dāng)正方形和矩形都水平放置時(shí)，容易求出重疊面積．
甲、乙、丙三位同學(xué)分別給出了兩個(gè)圖形不同的重疊方式；
甲：矩形繞著幾何中心旋轉(zhuǎn)，從圖②到圖③的過程中，重疊面積大小不變．
乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，矩形的兩條長邊與正方形的對(duì)角線平行時(shí)，此時(shí)的重疊面積大于圖③的重疊面積．
丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經(jīng)過正方形的對(duì)角線，此時(shí)的重疊面積是個(gè)圖形中最小的．
下列說法正確的是（ ）
A．甲、乙、丙都對(duì) B．只有乙對(duì) C．只有甲不對(duì) D．甲、乙、丙都不對(duì)
34．（2020·浙江·中考真題）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為 （用含a，b的代數(shù)式表示）．
題型09 添加一個(gè)條件使四邊形是正方形
35．（2020·湖北襄陽·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，，相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．，
B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形
C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形
D．當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形
36．（2023·遼寧鞍山·一模）如圖中，陰影部分表示的四邊形是 ．
37．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）在下列條件中，能夠判定矩形為正方形的是（　　）
A． B． C． D．
38．（2024·河北秦皇島·一模）數(shù)學(xué)課上，嘉嘉作線段的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，則直線即為所求．作完圖之后，嘉嘉經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，，根據(jù)他的作圖方法和測量可知四邊形是正方形，嘉嘉的理由是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行的菱形是正方形 B．四條邊相等的菱形是正方形
C．對(duì)角線相等的菱形是正方形 D．有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
39．（2024·山東東營·中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，從①，②，③，這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使是正方形的概率為（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知菱形中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加條件 可使菱形成為正方形．
41．（2021·廣西玉林·中考真題）一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：
a.兩組對(duì)邊分別相等 b.一組對(duì)邊平行且相等
c.一組鄰邊相等 d.一個(gè)角是直角
順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
則正確的是：（ ）
A．僅① B．僅③ C．①② D．②③
題型10 證明四邊形是正方形
判定一個(gè)四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角為直角和一組鄰邊相等．
42．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)請(qǐng)說明當(dāng)?shù)膶?duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？
43．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，若，請(qǐng)直接寫出四邊形的形狀．
44．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E、F，連接，與相交千點(diǎn)H．
（1）求證：；
（2）滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？說明理由．
45．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接的延長線交的延長線于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：；
(2)請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得四邊形為正方形．（不需要說明理由）
46．（2023·山東青島·一模）如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，分別連接，，．

(1)求證：；
(2)若平分，已知______（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件并補(bǔ)寫相應(yīng)內(nèi)容，填寫序號(hào)），四邊形為正方形？請(qǐng)證明．
①平行四邊形的邊滿足______時(shí)
②平行四邊形的角滿足______時(shí)
題型11 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度
47．（2021·湖南株洲·中考真題）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設(shè)計(jì)圖（蜨，同“蝶”），它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共十三只（圖①中的“様”和“隻”為“樣”和“只”）．圖②為某蝶幾設(shè)計(jì)圖，其中和為“大三斜”組件（“一様二隻”的大三斜組件為兩個(gè)全等的等腰直角三角形），已知某人位于點(diǎn)處，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接、．若，則 度．
48．（2023·四川·中考真題）如圖，半徑為的扇形中，，是上一點(diǎn)，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為(　　)

A． B． C． D．
49．（2023·福建寧德·一模）如圖，將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)處；再將矩形展平，沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)G處，連接． 小明發(fā)現(xiàn)可以由繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則 °．
50．（2020·黑龍江哈爾濱·二模）正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并延長交射線于點(diǎn)，連接，若為等腰三角形，則 ．
題型12 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長
51．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，．
(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)，使得；（不寫作法，保留痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請(qǐng)直接寫出的值）
52．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
53．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，，將沿折疊得，連接，，若平分，，則的長為 ．

題型13 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積
54．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，分別過點(diǎn)A，D作⊙O的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，則圖中陰影部分的面積是 ．

55．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，兩個(gè)半徑長均為的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形的圓心C是的中點(diǎn)，且扇形繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑，交于點(diǎn)G，半徑，交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（ ）
A． B． C． D．
56．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，的角平分線交于點(diǎn)D，．
（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）若，且，求四邊形的面積．
57．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在扇形中，已知，，過的中點(diǎn)作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型14 根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題
58．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在正方形中，與交于點(diǎn)O，H為延長線上的一點(diǎn)，且，連接，分別交，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
59．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片中，是邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長交于點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)．給出以下結(jié)論：①為等腰三角形；②為的中點(diǎn)；③；④．其中正確結(jié)論是 ．（填序號(hào)）
60．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，垂足為G，將沿翻折，得到交于點(diǎn)P，對(duì)角線交于點(diǎn)H，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，；⑤．（ ）

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
61．（2021·四川攀枝花·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊CD、BC上的點(diǎn)，且DM＝CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，給出以下結(jié)論：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③PQN≌BQN；④PQ＝5．其中正確的結(jié)論有 （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）
題型15 與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題
62．（2023·山東青島·中考真題）如圖①，正方形的面積為1．

(1)如圖②，延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______；
(2)如圖③，延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______；
(3)延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______．
63．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長為（　　）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
64．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)作軸，垂足為，以為邊向右作正方形，延長交直線l于點(diǎn)；以為邊向右作正方形，延長交直線l于點(diǎn)；……；按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
65．（2020·遼寧·中考真題）如圖，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的頂點(diǎn)，在射線上，頂點(diǎn)，在射線上，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，…，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)與的面積之和為與的面積之和為與的面積之和為，…，若，則等于 ．（用含有正整數(shù)的式子表示）
66．（2021·山東東營·中考真題）如圖，正方形中，，AB與直線l所夾銳角為，延長交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長交直線l于點(diǎn)，作正方形，…，依此規(guī)律，則線段 ．
67．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是 ．
題型16 正方形有關(guān)的新定義問題
68．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐
定義：將寬與長的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．
（1）概念理解：
當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（）與長的比值是_________．
（2）操作驗(yàn)證：
用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：
第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為，連接；
第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；
第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．
試說明：矩形是1階奇妙矩形．
　　 　　 　　
（3）方法遷移：
用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注．
（4）探究發(fā)現(xiàn)：
小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由．
69．（2021·上海·中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為 ．
70．（2020·湖南益陽·中考真題）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：
（1）如圖1，正方形中，是上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長線上，則四邊形為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？
（2）如圖2，已知四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，，，，點(diǎn)到直線的距離為．
①求的長．
②若、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值．
71．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)了“中心對(duì)稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創(chuàng)新的他大膽地作出這樣的定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角，且對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請(qǐng)你根據(jù)以上定義，回答下列問題：
(1)下列關(guān)于“雙直四邊形”的說法，正確的有 （把所有正確的序號(hào)都填上）；
①雙直四邊形”的對(duì)角線不可能相等：
②“雙直四邊形”的面積等于對(duì)角線乘積的一半；
③若一個(gè)“雙直四邊形”是中心對(duì)稱圖形，則其一定是正方形．
(2)如圖①，正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，，，，若，證明：四邊形為“雙直四邊形”；
(3)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上且，是否存在點(diǎn)在第一象限，使得四邊形為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
72．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）點(diǎn)M在四邊形內(nèi)，點(diǎn)M和四邊形的一組對(duì)邊組成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是以對(duì)邊為斜邊的等腰直角三角形，那么定義該四邊形 為蝴蝶四邊形．例如，如圖1，在四邊形中， ， ，，則四邊形 為蝴蝶四邊形．
【概念理解】如圖2，正方形 中，對(duì)角線 ，相交于點(diǎn) M．判斷正方形 是否為蝴蝶四邊形，說明理由．
【性質(zhì)探究】如圖3，在蝴蝶四邊形中，．求證：．
【拓展應(yīng)用】在蝴蝶四邊形中， °，，當(dāng) 是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)的值．
題型17 與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題
73．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點(diǎn)為邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．
【模型建立】
（1）求證：；
【模型應(yīng)用】
（2）若，，，求的長；
【模型遷移】
（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．
74．（2023·海南·中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F，則 ．若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為 ．

75．（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形，點(diǎn)E為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接，以為一邊構(gòu)造矩形（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針方向排列），連接．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，，分別取線段，的中點(diǎn)M，N，連接，，，若，，請(qǐng)直接寫出的面積．
76．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，，，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，，分別是邊，邊上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說法：①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)矩形；③存在無數(shù)個(gè)菱形；④存在無數(shù)個(gè)正方形．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型18 與正方形有關(guān)的最值問題
77．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐
如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．
特例感知
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；
類比遷移
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．
拓展應(yīng)用
（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．
①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長度．
78．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
79．（2021·青海·中考真題）如圖，正方形的邊長為8，M在上，且，N是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
80．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形中，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊關(guān)于對(duì)稱的線段為，連接．

(1)若，求證：是等邊三角形；
(2)延長，交射線于點(diǎn)G；
①能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由；
②若，求面積的最大值，并求此時(shí)的長．
81．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動(dòng)，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點(diǎn)，直角邊恒過點(diǎn)．
(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；
(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；
(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．
題型19 正方形與函數(shù)綜合
82．（2023·江蘇泰州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的位置和函數(shù)、的圖像如圖所示．以為邊在x軸上方作正方形，邊與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)E，邊與函數(shù)、的圖像分別相交于點(diǎn)G、H，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)E、G，與y軸相交于點(diǎn)P，連接．

(1)，，求函數(shù)的表達(dá)式及的面積；
(2)當(dāng)a、m在滿足的條件下任意變化時(shí)，的面積是否變化？請(qǐng)說明理由；
(3)試判斷直線與邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)的圖像上？并說明理由．
83．（2023·湖南·中考真題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上

(1)求k的值；
(2)連接，記的面積為S，設(shè)，求T的最大值．
84．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究
如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，0），B（4，5）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；
(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長度的最大值；
(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
題型20 與正方形有關(guān)的存在性問題
85．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請(qǐng)你回答：
(1)【問題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為_________；
(2)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；
(3)【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．
86．（2020·湖南衡陽·中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰的底邊在軸上，，頂點(diǎn)在的正半軸上，，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)的中點(diǎn)停止．另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止．已知點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，以為邊作正方形，使正方形和在的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（）．
（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；
（2）設(shè)正方形與重疊面積為，請(qǐng)問是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，取的中點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)點(diǎn)、開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問在點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)可能在正方形內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）的時(shí)長；若不可能，請(qǐng)說明理由．
題型21 與正方形有關(guān)的材料閱讀類問題
87．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【經(jīng)典回顧】
梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．
在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長和，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)證明：正方形的面積等于四邊形的面積；
(3)請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．
(4)【遷移拓展】
如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請(qǐng)說明理由．
88．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，在正方形中，，P是邊上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，在邊上有一點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)H作，交邊于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)如圖2，連接，交線段于點(diǎn)G，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求的長；
(3)如圖3，設(shè)M是的中點(diǎn)，連接，分別交線段，于點(diǎn)K，N，當(dāng)P是的中點(diǎn)時(shí)，在邊上是否存在點(diǎn)E，使得？若存在，求此時(shí)的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．
89．（2022·貴州黔東南·中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．
求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
(2)【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．
①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
90．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．
（1）閱讀材料
立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．
例如，正方體（圖1）．因?yàn)樵谄矫嬷校c相交于點(diǎn)A，所以直線與所成的就是既不相交也不平行的兩條直線與所成的角．
解決問題
如圖1，已知正方體，求既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大小．
（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)．
①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是 ；
②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到，的距離分別是2和5，點(diǎn)N到，的距離分別是4和3，P是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
91．（2024·山東德州·一模）綜合與實(shí)踐
【閱讀經(jīng)典】2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，如圖①，大會(huì)的會(huì)徽是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽畫的“弦圖”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．
“弦圖”在三國時(shí)期被趙爽發(fā)明，是證明______的幾何方法（填序號(hào)）．
①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式
【動(dòng)手操作】
如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，用四個(gè)大小、形狀完全相同的直角三角形就可以拼接得到一個(gè)“趙爽弦圖”．組員小明自制了四個(gè)大小形狀一樣，且兩直角邊的邊長分別為5和12的三角板拼成了一個(gè)“趙爽弦圖”，則中間四邊形的面積為______；
【問題探究】
興趣小組組員小紅發(fā)現(xiàn)，通過旋轉(zhuǎn)某個(gè)三角形得到一些美妙的結(jié)論：如圖③，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．
（1）連接，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則四邊形為______（填形狀）；
【問題解決】
（2）若的延長線交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，請(qǐng)僅就圖④的情形解決下列問題：
①請(qǐng)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若，求的長．
92．（2024九年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）閱讀與思考
閱讀下列材料完成后面任務(wù)．
僅利用折紙將線段三等分
我們已經(jīng)學(xué)過線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等概念，并且可以利用三角函數(shù)等方法求出線段的三等分點(diǎn)，下面介紹一種新的方法可以利用其將線段三等分—折紙法．
具體步驟如下．
第一步：如圖1，準(zhǔn)備一張長為，寬為的矩形紙片．
第二步：如圖2，將矩形紙片折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在邊上，展開后得到折痕．
第三步：如圖3，再將該矩形紙片沿過點(diǎn)C的直線折疊，使得點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在上，展開后得到折痕．
第四步：如圖4，再將矩形紙片折疊，使得點(diǎn)G落在邊上的點(diǎn)M處，展開后得到折痕，則M為的三等分點(diǎn)，即．
下面是該結(jié)論的部分證明過程：
證明：由折疊的性質(zhì)，得．，根據(jù)勾股定理，可得．
設(shè)，，…
任務(wù)：
(1)請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)閱讀上面的操作步驟，完成材料中剩余的證明過程．
(2)在解決問題的過程中，我們通過計(jì)算的長，從而得到結(jié)論，這里運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法是 .（填序號(hào)即可）
①函數(shù)思想；②公理化思想；③數(shù)形結(jié)合思想；④分類討論思想．
(3)如圖5，在圖4的基礎(chǔ)上，將矩形紙片沿著折痕折疊后，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)Q處，連接，判斷四邊形的形狀，并加以證明．

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