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第五章 四邊形
第23講 多邊形與平行四邊形
（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)23種題型（含6種解題技巧））
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 多邊形
考點(diǎn)二 平行四邊形
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 多邊形有關(guān)的計(jì)算
題型01 認(rèn)識(shí)多邊形
題型02 多邊形的對(duì)角線問(wèn)題
題型03 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
題型04 正多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
題型05 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題
題型06 多邊形外角和問(wèn)題
題型07 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用
題型08 多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用
題型09 平面鑲嵌
題型10 計(jì)算網(wǎng)格中的多邊形面積
命題點(diǎn)二 平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算
題型01 利用平行四邊形的性質(zhì)求解
題型02 利用平行四邊形的性質(zhì)證明
題型03 判斷能否構(gòu)成平行四邊形
題型04 添加一個(gè)條件使之成為平行四邊形
題型05 證明四邊形是平行四邊形
題型06 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解
題型07 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明
題型08 平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用
題型09 平行四邊形與函數(shù)綜合
題型10 與平行四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題
題型11 已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線
題型12 補(bǔ)全圖形利用中位線定理求解
題型13 平行四邊形中各圖形面積的等量關(guān)系
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
多邊形有關(guān)計(jì)算 ★★ 了解多邊形的概念及多邊形的頂點(diǎn)邊、內(nèi)角、外角與對(duì)角線；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.
平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算 ★★★ 理解平行四邊形的概念； 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其判定定理.
【考情分析】本熱點(diǎn)包含的內(nèi)容有平行四邊形的性質(zhì)及判定、多邊形的有關(guān)計(jì)算等，試題形式多樣，難度中等，常與三角形、全等三角形等內(nèi)容綜合考查，平行四邊形是矩形、菱形等特殊平行四邊形的基礎(chǔ)，故掌握其相關(guān)的判定方法及性質(zhì)也是解決特殊四邊形問(wèn)題的關(guān)鍵. 【命題預(yù)測(cè)】中考數(shù)學(xué)中，對(duì)平行四邊形的單獨(dú)考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大，對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用．
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 多邊形
1. 多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
2. 多邊形的相關(guān)概念：
多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.
多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).
多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱多邊形的角.
多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角.
多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.
【補(bǔ)充】
1）多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個(gè)數(shù)相等；
2）把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題求解的常用方法是連接對(duì)角線；
3）多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，這（n-3）條對(duì)角線把多邊形分成了(n-2)個(gè)三角形，其中每條對(duì)角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對(duì)角線.
3. 正多邊形的定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.
【補(bǔ)充】1）正n邊形有n條對(duì)稱軸．
2）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是多邊形的中心.
4. 多邊形內(nèi)角和定理
多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.
5. 多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少?zèng)]有關(guān)系.
易錯(cuò)易混
多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：
①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有 條對(duì)角線.
③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.
④n邊形的外角和是360°.
⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.
⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．
1．（2024·四川巴中·中考真題）五邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引 條對(duì)角線．
【答案】2
【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角線定義，一個(gè)五邊形從某一頂點(diǎn)出發(fā)，除去它自己及與它相鄰的左右兩邊的點(diǎn)外，還剩下2個(gè)頂點(diǎn)可以與這個(gè)頂點(diǎn)連成對(duì)角線，熟記對(duì)角線定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：五邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引2條對(duì)角線，
故答案為：2．
2．（2024·江蘇徐州·中考真題）正十二邊形的每一個(gè)外角等于 度．
【答案】30
【分析】主要考查了多邊形的外角和定理．根據(jù)多邊形的外角和為360度，再用360度除以邊數(shù)即可得到每一個(gè)外角的度數(shù)．
【詳解】解：∵多邊形的外角和為360度，
∴正十二邊形的每個(gè)外角度數(shù)為：．
故答案為：30．
3．（2024·山東日照·中考真題）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形是 邊形．
【答案】八
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求解即可．
【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，
由題意得，
解得，
∴這個(gè)多邊形是八邊形．
故答案為：八．
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是正邊形紙片的一部分，其中是正邊形兩條邊的一部分，若所在的直線相交形成的銳角為，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，直線相交于點(diǎn)，則，
∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，
∴正多邊形的每個(gè)外角也相等，
∴，
∴，
故選：．
5．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和，分別求出三角形，四邊形，五邊形，六邊形的內(nèi)角和，即可得到．
【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于
四邊形的內(nèi)角和等于
五邊形的內(nèi)角和等于
六邊形的內(nèi)角和等于
所以三角形的內(nèi)角和最小
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能熟記邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和是解此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 平行四邊形
1.平行四邊形
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
符號(hào)表示：平行四邊形用符號(hào)“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
2. 平行四邊形的性質(zhì)定理
性質(zhì) 符號(hào)語(yǔ)言 圖示
邊 平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角 平行四邊形對(duì)角相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
對(duì)角線 平行四邊形的對(duì)角線互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD
3. 平行線間的距離
定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離
性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.
2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.
4. 平行四邊形的判定定理
判定 符號(hào)語(yǔ)言
定義 一組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
邊 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形
角 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形
對(duì)角線 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形
【解題技巧】
一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：
1）已知一組對(duì)邊平行, 首先要考慮證另一組對(duì)邊平行，再考慮這組對(duì)邊相等；
2）已知一組對(duì)邊相等, 首先要考慮證另一組對(duì)邊相等，再考慮這組對(duì)邊平行；
3）已知條件與對(duì)角線有關(guān)，常考慮對(duì)角線互相平分；
4) 已知條件與角有關(guān)，常考慮兩組對(duì)角分別相等.
5. 平行四邊形邊的對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.
1．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行推出，再由線段中點(diǎn)的定義得到，據(jù)此可證明，進(jìn)而可證明．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·貴州·中考真題）如圖，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是平行四邊形，
∴，
故選B．
3．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過(guò)程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接． 求證：四邊形是平行四邊形． 證明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過(guò)程正確，①，②應(yīng)分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得，證明，得到，再結(jié)合中點(diǎn)的定義得出，即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
【詳解】證明：∵，∴．
∵，，，
∴①．
又∵，，
∴（②）．
∴．∴四邊形是平行四邊形．
故選：D．
4．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在中，E，F(xiàn)是對(duì)角線上的點(diǎn)，且．求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，則，再證明，即可證明．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
5．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A、∵，
∴四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、∵，
∴四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、∵，
∴四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、∵，不能得出四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理．
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 多邊形有關(guān)的計(jì)算
題型01 認(rèn)識(shí)多邊形
1．（2021·江蘇南京·中考真題）下列長(zhǎng)度的三條線段與長(zhǎng)度為5的線段能組成四邊形的是（ ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
【答案】D
【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長(zhǎng)邊，由此即可完成．
【詳解】A、1+1+1<5，即這三條線段的和小于5，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、1+1+5<8，即這三條線段的和小于8，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、1+2+2=5，即這三條線段的和等于5，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、2+2+2>5，即這三條線段的和大于5，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較短的兩邊的和大于最長(zhǎng)邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條線段的和大于最長(zhǎng)的線段即可．
2．（2020·北京·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格交點(diǎn)，則ABC的面積與ABD的面積的大小關(guān)系為： （填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】=
【分析】在網(wǎng)格中分別計(jì)算出三角形的面積，然后再比較大小即可．
【詳解】解：如下圖所示，設(shè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，
由網(wǎng)格圖可得個(gè)平方單位，
，
故有=．
故答案為：“＝”
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，在網(wǎng)格中當(dāng)三角形的底和高不太好求時(shí)可以采用割補(bǔ)的方式進(jìn)行求解，用大的矩形面積減去三個(gè)小三角形的面積即得到△ABD的面積．
3．（2020·山東棗莊·中考真題）各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，它的面積S可用公式（a是多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，b是多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)）計(jì)算，這個(gè)公式稱為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個(gè)格點(diǎn)五邊形，則該五邊形的面積 ．
【答案】6
【分析】根據(jù)題目要求，數(shù)出五邊形內(nèi)部格點(diǎn)的數(shù)量，五邊形邊上格點(diǎn)的數(shù)量，代入計(jì)算即可．
【詳解】由圖可知：五邊形內(nèi)部格點(diǎn)有4個(gè)，故
五邊形邊上格點(diǎn)有6個(gè)，故
∴＝
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形的計(jì)算，按題目要求盡心計(jì)算即可．
4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一片平坦的鹽灘上布滿了大小相近的六邊形，人們驚嘆于大自然的鬼斧神工，同時(shí)也嘗試解開(kāi)鹽灘圖案之謎，人們發(fā)現(xiàn)正六邊形能夠最大限度的利用空間，已知圖中的正六邊形與正方形的周長(zhǎng)都等于12，則它們的面積之差為 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，連接正六邊形的三條對(duì)角線，將正六邊形分成如圖的六個(gè)等邊三角形，求出等邊三角形面積后，再求出正六邊形的面積，再求出正方形面積，即可解答，準(zhǔn)確掌握正多邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【詳解】連接正六邊形的三條對(duì)角線，將正六邊形分成如圖的六個(gè)等邊三角形，
∵周長(zhǎng)為12，
∴邊長(zhǎng)為2，
∴每個(gè)等邊三角形的面積為：，
∴正六邊形的面積為，
∵正方形的周長(zhǎng)為12時(shí)，邊長(zhǎng)為3，
∴正方形的面積為：，
∴它們的面積之差為，
故答案為：．
題型02 多邊形的對(duì)角線問(wèn)題
1．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）如果過(guò)某多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線，這個(gè)多邊形是 邊形．
【答案】
【分析】本題考查了多邊形對(duì)角線的公式，根據(jù)從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)條對(duì)角線，求出邊數(shù)即可得解，牢記公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵過(guò)某多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有條，
∴，
∴，
故答案為：．
2．（2024·上海金山·三模）正n邊形的一個(gè)外角為，則它的對(duì)角線條數(shù)為
【答案】54
【分析】本題主要考查了正多邊形的外角和、多邊形的對(duì)角線等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)公式成為解題的關(guān)鍵．
利用多邊形的外角和為可求出n的值，然后根據(jù)多邊形的對(duì)角線公式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，
所以它的對(duì)角線的條數(shù)為：．
故答案為54．
3．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成3個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于 ．
【答案】
【分析】根據(jù)多邊形的邊數(shù)等于過(guò)多邊形的對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)，即可求得多邊形的邊數(shù)，然后利用多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的個(gè)數(shù)確定多邊形的邊數(shù)的關(guān)鍵．
【詳解】解：多邊形的邊數(shù)是：，
則內(nèi)角和是：．
故答案為：．
4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）多邊形的對(duì)角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，再根據(jù)邊形對(duì)角線的總條數(shù)為，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為，
從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，
再根據(jù)邊形對(duì)角線的總條數(shù)為，
即，
，
故答案選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線公式，根據(jù)多邊形對(duì)角線公式列等式是解答本題的關(guān)鍵．
題型03 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
利用多邊形內(nèi)角和、外角和定理求邊數(shù)：
①n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，根據(jù)已知條件列出方程求邊數(shù)；
②若由已知數(shù)據(jù)很容易求得一個(gè)外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形的外角和始終等于360°,用360°除一個(gè)外角的度數(shù)，從而得到正多邊形的邊數(shù).
1．（2023·重慶·中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個(gè)角為，則其余六個(gè)內(nèi)角之和為 ．
【答案】/800度
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得．
【詳解】解：∵七邊形的內(nèi)角中有一個(gè)角為，
∴其余六個(gè)內(nèi)角之和為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個(gè)五邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．900° B．720° C．540° D．360°
【答案】C
【分析】n邊形的內(nèi)角和公式為：，再根據(jù)內(nèi)角和公式計(jì)算即可．
【詳解】解：（5-2）×180° =180°×3 =540°
因此五邊形的內(nèi)角和是540°．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°的靈活運(yùn)用．熟悉多邊形的內(nèi)角和公式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，是五邊形的外接圓的切線，則 ．
【答案】
【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個(gè)角的和等于5個(gè)直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半．
【詳解】如圖：過(guò)圓心連接五邊形的各頂點(diǎn)，
則
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式（n為多邊形的邊數(shù)）,由半徑相等可得“等邊對(duì)等角”，正確的理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．
題型04 正多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以邊為邊作正方形，連接，則 ．
【答案】81
【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等．先根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)求解．
【詳解】解：正五邊形中， ，，
正方形中， ，，
，，
，
，
故答案為：81．
2．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運(yùn)動(dòng)會(huì)，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形和正方形中，，的延長(zhǎng)線分別交，于點(diǎn)M，N，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和問(wèn)題，熟記正多邊形的內(nèi)角的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)正五邊形的內(nèi)角的計(jì)算方法求出、，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于計(jì)算即可．
【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，，
∴，
故選：B．
3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和和內(nèi)角以及弧長(zhǎng)公式，根據(jù)六邊形是正六邊形，根據(jù)正多邊內(nèi)角和等于，求出內(nèi)角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出答案．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴，
∴，
故答案為：．
4．（2024·四川廣元·中考真題）點(diǎn)F是正五邊形邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為 ．

【答案】/18度
【分析】連接，，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證，得到，進(jìn)而得到是的垂直平分線，即，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．
【詳解】解：連接，，

∵五邊形是正五邊形，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵在正五邊形中，，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點(diǎn)M，N，如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，再根據(jù)六邊形的內(nèi)角和為即可求解的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義即可求解．
【詳解】解：正六邊形每個(gè)內(nèi)角為：，
而六邊形的內(nèi)角和也為，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
6．（2023·河北·中考真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中
（1） 度．
（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為 （結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】
【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；
（2）表問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求，再根據(jù)正六邊形的特征及利用勾股定理及三角函數(shù)，分別求出即可求解．
【詳解】解：（1）作圖如下：

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和，得，
，
故答案為：；
（2）取中間正六邊形的中心為，作如下圖形，

由題意得：，,，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
在中，，
由圖1知，
由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知：，
，
，
，
又，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征．
題型05 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題
多邊形的邊數(shù)為自然數(shù)，而內(nèi)角和只與邊數(shù)有關(guān)，無(wú)論多了一個(gè)角，還是少了一個(gè)角，都可以用逼近法去求解.
1．（2023·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，那么原來(lái)多邊形的邊數(shù)不可能為 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變．首先求得內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)．
【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)是n，則，
解得：．
∵一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變，
∴原多邊形的邊數(shù)可能為7或8或9．
故選：A．
2．（2021·廣東佛山·三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，若去掉一個(gè)角得到一個(gè)七邊形，則∠1+∠2= 度．
【答案】300
【分析】利用正六邊形外角和為可以求出正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，再利用三角形內(nèi)角和定理與平角的定義即可求解．
【詳解】解： 任意一個(gè)多邊形的外角和都為，
在正六邊形中，它的每一個(gè)外角都相等且為，
正六邊形每一個(gè)內(nèi)角都相等且為，
如圖所示，在中，，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，
，，
，
故答案為300．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形中角度求解問(wèn)題．涉及到平角定義的理解以及多邊形外角和與三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握這些常用結(jié)論是求解角度的關(guān)鍵．
3．（2021·浙江麗水·中考真題）一個(gè)多邊形過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)是 ．
【答案】6或7
【分析】求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來(lái)的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．
【詳解】解：由多邊形內(nèi)角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多邊形為6邊形，
∵過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角，
∴原來(lái)的多邊形可以是6邊形，也可以是7邊形，
故答案為6或7．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和；熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型06 多邊形外角和問(wèn)題
1．（2023·北京·中考真題）正十二邊形的外角和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查多邊形的外角和問(wèn)題，多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和都等于．
【詳解】解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑椋哉呅蔚耐饨呛蜑椋?br/>故選：C．
2．（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個(gè)內(nèi)角和為的正多邊形圖案，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正多邊形的外角，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，先根據(jù)內(nèi)角和求出正多邊形的邊數(shù)，再用外角和除以邊數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，
則，
∴，
∴這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為，
故選：．
3．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.
【詳解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴正邊形的一個(gè)外角為，
∴的值為；
故選A
4．（2023·江蘇連云港·中考真題）以正五邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正五邊形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為 °．
【答案】
【分析】依據(jù)正五邊形的外角性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)的角度．
【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，
∴，
∴新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則旋轉(zhuǎn)的最小角度是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握正多邊形的外角和公式的運(yùn)用．
題型07 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用
1．（2024·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，小強(qiáng)站在五邊形健身步道的起點(diǎn)P處，沿著P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最終回到了P處．在這過(guò)程中，小強(qiáng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度說(shuō)明了（　　）
A．五邊形的內(nèi)角和是 B．五邊形的外角和是
C．五邊形的內(nèi)角和是 D．五邊形的外角和是
【答案】B
【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角．根據(jù)題意可知小強(qiáng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和正好是五邊形的外角和，再根據(jù)多邊形的外角和性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】解：小強(qiáng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和正好是五邊形的外角和，
小強(qiáng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和為．
故選：B．
2．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測(cè)）小聰利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，給同桌出了這樣一道題：假如從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線走9米后向左轉(zhuǎn)，接著沿直線前進(jìn)9米后，再向左轉(zhuǎn)，…，如此下去，當(dāng)他第一次回到點(diǎn)A時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己一共走了72米，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是明確第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線正好構(gòu)成一個(gè)正多邊形．第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線正好構(gòu)成一個(gè)正多邊形，用，求得邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和為，即可求解．
【詳解】解：∵第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線正好構(gòu)成一個(gè)正多邊形，
∴正多邊形的邊數(shù)為：，
根據(jù)多邊形的外角和為，
∴則他每次轉(zhuǎn)動(dòng)θ的角度為：，
故選：D．
3．（2024·湖北十堰·二模）參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機(jī)器人設(shè)定了如圖所示的程序，機(jī)器人從點(diǎn)O出發(fā)，沿直線前進(jìn)1米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)1米，又向左轉(zhuǎn)……照這樣走下去，機(jī)器人第一次回到出發(fā)地O點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（ ）
A．10米 B．18米 C．20米 D．36米
【答案】C
【分析】本題考查了多邊形的外角和定理的應(yīng)用．由題意可知小華所走的路線為一個(gè)正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴他需要走20次才會(huì)回到原來(lái)的起點(diǎn)，
即一共走了（米）．
故選：C
題型08 多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用
1．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，的角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)P，且，則 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．
【詳解】解：的角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)，
，
在四邊形中，，
，
由三角形的外角性質(zhì)得：，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．
2．（2023·遼寧營(yíng)口·二模）如圖，在正六邊形中，連接平分，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正六邊形可得，，從而得到，得到，根據(jù)三角形內(nèi)外角和關(guān)系即可得到答案．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正六邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題的關(guān)鍵根據(jù)正六邊形得到相應(yīng)角度的關(guān)系．
3．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的度數(shù)，得到，平行線的性質(zhì)，得到，三角形的外角的性質(zhì)，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖：

∵正六邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：，
∴正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，
即：，
∵一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，，
∴，
∴，
∴；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．熟練掌握多邊形的外角和是，是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB∥CD，平分，CE∥AD，.
(1)求的度數(shù)：
(2)若，求的度數(shù).
【答案】(1)30°
(2)110°
【分析】（1）根據(jù)和CE∥AD可求得，然后根據(jù)AB∥CD，可求得；
（2）由平分，可得，然后由四邊形的內(nèi)角和是360°即可求得的度數(shù).
【詳解】（1）解：∵CE∥AD，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟記相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.
題型09 平面鑲嵌
解決幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．
【限制條件】1）邊長(zhǎng)相等；2）公共頂點(diǎn)；3）在一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)正多邊形的內(nèi)角之和為360.
1．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）小張同學(xué)家要裝修，準(zhǔn)備購(gòu)買兩種邊長(zhǎng)相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是 ．（填一種即可）
【答案】4或6或12
【分析】分別求出各個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．
【詳解】正三角形的每個(gè)內(nèi)角是，正四邊形的每個(gè)內(nèi)角是，
∵，
∴正四邊形可以，
正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是，
∵，
∴正六邊形可以，
正十二邊形的每個(gè)內(nèi)角是，
∵，
∴正十二邊形可以，
故答案為：4或6或12．
【點(diǎn)睛】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．
2．（2021·貴州銅仁·中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地面上鑲嵌（ ）
A．等邊三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
【答案】C
【分析】進(jìn)行平面鑲嵌就是在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和應(yīng)是，因此我們只需要驗(yàn)證是不是上面所給的幾個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍即可．
【詳解】解：A、等邊三角形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項(xiàng)不符合題意；
B、正方形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項(xiàng)不符合題意；
C、正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項(xiàng)符合題意；
D、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查鑲嵌問(wèn)題，正確掌握各正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及鑲嵌的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）平面圖形的鑲嵌往往給人以美的享受，如圖1是用邊長(zhǎng)相等的正六邊形與正三角形進(jìn)行的無(wú)縫隙、不重疊的平面鑲嵌．我們選取其中一個(gè)正六邊形和三個(gè)與之相鄰（正上方、左下方和右下方）的正三角形組成的圖形部分，將其放在平面直角坐標(biāo)系中．如圖2，點(diǎn)，，均為正六邊形和正三角形的頂點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，連接，，則的面積是 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)正六邊形和正三角形的性質(zhì)和平面鑲嵌特征得出，，，求出為直角三角形，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：根據(jù)正六邊形和正三角形的性質(zhì)和平面鑲嵌特征可知：，，，
∴，
∴為直角三角形，
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖：
則，，
故，
則，
故，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，平面鑲嵌的特征，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等．熟練掌握正六邊形和正三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是用邊長(zhǎng)相等的等邊三角形和正n邊形兩種地磚鋪設(shè)的小路的局部示意圖，則這種正邊形地磚的邊數(shù) ．
【答案】12
【分析】本題考查了平面鑲嵌，正多邊形的內(nèi)角和公式，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平面鑲嵌的條件，先求出正邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式求出的值．
【詳解】根據(jù)題意可知，正邊形的一個(gè)內(nèi)角為：，
則，
解得：．
故答案為：12．
題型10 計(jì)算網(wǎng)格中的多邊形面積
1．（2022·北京海淀·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為 ．
【答案】
【分析】由圖可得S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用網(wǎng)格來(lái)計(jì)算兩個(gè)三角形的面積相加即可．
【詳解】解：S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題是求三角形的面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練對(duì)不規(guī)則三角形進(jìn)行分割．
2（2021·北京順義·一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則的面積與的面積比為 ．
【答案】1∶4
【分析】分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．
【詳解】解：，
，
∴的面積與的面積比為1∶4．
故答案為1∶4．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2021·山西臨汾·三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
你知道“皮克定理”嗎？
“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫(huà)著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn)．一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形．有趣的是，這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來(lái)很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目，就可用公式算出．即，其中表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，表示多邊形的面積．（利用圖2中的多邊形可以驗(yàn)證）這個(gè)公式是奧地利數(shù)學(xué)家皮克在1899年發(fā)現(xiàn)的，被稱為“皮克定理”．
任務(wù)：
（1）如圖2，是的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長(zhǎng)為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點(diǎn)多邊形的面積是_______．
（2）已知：一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為19，且邊界上的點(diǎn)數(shù)是內(nèi)部點(diǎn)數(shù)的3倍，則______．
（3）請(qǐng)你在圖3中設(shè)計(jì)一個(gè)格點(diǎn)多邊形．要求：①格點(diǎn)多邊形的面積為8；②格點(diǎn)多邊形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
【答案】（1）21；（2）32；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）觀察圖形，得到，，再代入計(jì)算即可得到答案；
（2）由題意，然后列出關(guān)于的方程，求出，再求出答案即可；
（3）由格點(diǎn)多邊形的面積為8，然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可畫(huà)出圖形．
【詳解】解：（1）由題意，如圖：
多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為：，
多邊形邊界的點(diǎn)數(shù)為：，
∴；
故答案為：21；
（2）設(shè)內(nèi)部點(diǎn)數(shù)是，則，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：32．
（3）答案不唯一，只要符合題意要求即可．
例如：
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形，解一元一次方程，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，理解正方形網(wǎng)格紙中多邊形面積的公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
命題點(diǎn)二 平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算
題型01 利用平行四邊形的性質(zhì)求解
1．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖是平行四邊形紙片，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，若以M為圓心，為半徑畫(huà)弧交對(duì)角線于點(diǎn)N，則 度；將扇形紙片剪下來(lái)圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 ．
【答案】 40 2
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、圓錐等知識(shí)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得的度數(shù)；先利用弧長(zhǎng)公式求出扇形的弧長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)求解即可得．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∵，
∴，
由圓的性質(zhì)可知，，
∴，
∴，
∴扇形的弧長(zhǎng)為，
∴圓錐的底面圓半徑為，
故答案為：40；2．
2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．若的周長(zhǎng)為12，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)．由平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)可求得答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴O是中點(diǎn)，
又∵E是中點(diǎn)，
∴OE是的中位線，
∴，，
∵的周長(zhǎng)為12，，
∴，
∴的周長(zhǎng)為．
故選：B.
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，，，在平行四邊形中，它的對(duì)角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，且，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，證明得出，，進(jìn)而可得，即可求解．
【詳解】如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，
∵四邊形是平行四邊形，點(diǎn)，，，
∴，
∴，即，則，
∵軸，軸，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案為：．
4．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，相交于點(diǎn)O，．過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)E，記長(zhǎng)為x，長(zhǎng)為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明，得到，由勾股定理可得，，，則，整理后即可得到答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵的垂線交于點(diǎn)E，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)式的值不變的是，
故選：C
題型02 利用平行四邊形的性質(zhì)證明
1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：．小麗的思考過(guò)程如下：
參考小麗的思考過(guò)程，完成推理．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明，可得，同理可得：，再進(jìn)一步證明即可．
【詳解】證明：四邊形是平行四邊形
，，
，
同理可得，，
∴
又，
即，
又，
．
2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，畫(huà)射線，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______
(2)求證：
(3)若，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)作圖可知，為的角平分線，即可得到答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，結(jié)合，從而推出，即可證明；
（3）過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，，結(jié)合，推出，從而得到，，，最后由計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：由作圖可知，為的角平分線
故答案為：
（2）證明：四邊形為平行四邊形
（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
四邊形為平行四邊形，
，
，
又
．
3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上，且，連接與交于點(diǎn)，連接，．
(1)求證：；
(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，證明，根據(jù)證明，即可得證；
（2）證明是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形
∴，（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵
∴ 即
在和中
∴；
（2）解：∵，
∴四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
又∵
∴是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）
∴（菱形的四條邊都相等）
∴菱形的周長(zhǎng).
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；
(2)如圖②，若，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖②中四個(gè)角（除外），使寫出的每個(gè)角都與相等．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，進(jìn)而有，從而利用即可證明結(jié)論成立；
（2）先證四邊形是菱形，得，又證，得，由（）得得，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等即可證明．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵ ，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形， ，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及等角的補(bǔ)角相等．熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型03 判斷能否構(gòu)成平行四邊形
1．（2021·河北·中考真題）如圖1，中，，為銳角．要在對(duì)角線上找點(diǎn)，，使四邊形為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】A
【分析】甲方案：利用對(duì)角線互相平分得證；
乙方案：由，可得,即可得，
再利用對(duì)角線互相平分得證；
丙方案:方法同乙方案．
【詳解】連接交于點(diǎn)
甲方案：四邊形是平行四邊形
四邊形為平行四邊形．
乙方案：
四邊形是平行四邊形
，，
又
(AAS)
四邊形為平行四邊形．
丙方案:
四邊形是平行四邊形
，，，
又 分別平分
， 即
（ASA）
四邊形為平行四邊形．
所以甲、乙、丙三種方案都可以．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，角平分線的概念等知識(shí)，能正確的利用全等三角的證明得到線段相等，結(jié)合平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．
2．（2024·河北石家莊·一模）如圖，已知線段和射線，且，在射線上找一點(diǎn)C，使得四邊形是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)D作與交于點(diǎn)C
B．在下方作與交于點(diǎn)C，使
C．在上截取，使，連接
D．以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與交于點(diǎn)C，連接
【答案】D
【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的判定．
根據(jù)基本作圖和平行四邊形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B．由作法得，由得，則，所以，則四邊形是平行四邊形，所以B選項(xiàng)不符合題意；
C．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D．由作法得，而，則四邊形也可能是等腰梯形，不一定是平行四邊形，所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
3．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）已知（如圖1），求作：平行四邊形．如圖2、圖3是嘉琪的作圖方案，其依據(jù)是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
【答案】B
【命題意圖】本題考查了復(fù)雜的尺規(guī)作圖、平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是理解尺規(guī)作圖的隱含條件和根據(jù)平行四邊形的判定解答．根據(jù)作圖過(guò)程分析進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由圖可知先作的垂直平分線，則點(diǎn)O為的中點(diǎn)，然后以為半徑作圖．由作圖可知，
可得：，，（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，
故選：B．
題型04 添加一個(gè)條件使之成為平行四邊形
1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件 ，使四邊形是平行四邊形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解．
【詳解】解：添加條件：，
證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
故答案為：（答案不唯一）
2（2023·湖南·中考真題）如圖，在四邊形中，，添加下列條件后仍不能判定四邊形是平行四邊形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．∵，，
∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)不符合題意；
B．∵，，
∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)不符合題意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)不符合題意；
D．∵，，
∴四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
3．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，．
(1)求證：；
(2)連接．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說(shuō)明理由）
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)添加（答案不唯一）
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定；
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，結(jié)合已知條件可得，即可證明；
（2）添加，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴即，
在與中，
，
∴；
（2）添加（答案不唯一）
如圖所示，連接．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，的平分線交于點(diǎn)．
(1)求的度數(shù)；
(2)在上取一點(diǎn)E，添加一個(gè)條件，使四邊形是平行四邊形，直接寫出這個(gè)條件．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
【分析】本題考查添加條件使四邊形為平行四邊形，平行線的性質(zhì)：
（1）利用平行線的性質(zhì)，和角平分線的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法，添加條件即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵的平分線交于點(diǎn)，
∴，
∴；
（2）添加條件為：（答案不唯一），理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
題型05 證明四邊形是平行四邊形
已知條件 選擇的判定定理
邊 一組對(duì)邊相等 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
一組對(duì)邊平行 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
角 一組對(duì)角相等 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
對(duì)角線 對(duì)角線互相平分 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
注意：在做題時(shí)，根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用判定方法求解.
1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫出此時(shí)的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析，此時(shí)
【分析】（1）先證明得到，再由垂線的定義得到，據(jù)此證明，得到，由此即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，利用三角形內(nèi)角和定理得到，則可證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而可證明，則四邊形是矩形，在中，．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
即當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，
∴，
∴在中，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知平行四邊形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，若，請(qǐng)直接寫出四邊形的形狀．
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解
(2)四邊形為正方形
【分析】（1）由角平分線的定義可得出，由平行線的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，利用證明 ，由全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出四邊形是平行四邊形．
（2）由已知條件可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，，由全等三角形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出， 即可得出四邊形為正方形．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）四邊形是正方形．
過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，
∴，
∵四邊形是平行四邊形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，以及平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別在邊上．將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上；將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好也落在對(duì)角線上．連接．
求證：
(1)；
(2)四邊形為平行四邊形．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析．
【分析】（）由矩形的性質(zhì)可得，，，即得，由折疊的性質(zhì)可得，，，，即得，，進(jìn)而得，即可由證明；
（）由（）得，，即可得到，，進(jìn)而即可求證；
本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，掌握矩形和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
由折疊可得，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）證明：由（）知，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形．
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在中，D是中點(diǎn)．
(1)求作：的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)若l交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．補(bǔ)全圖形，并證明四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定．
（1）利用尺規(guī)作圖作出線段的垂直平分線l即可；
（2）由D，E分別為，的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到，，結(jié)合，得到，即可證明結(jié)論成立．
【詳解】（1）解：直線l如圖所示，
；
（2）證明：補(bǔ)全圖形，如圖，
由（1）作圖知，E為的中點(diǎn)，
∵D，E分別為，的中點(diǎn)，
∴，，
∵，即：，
∴，
∵，
∴ 四邊形是平行四邊形．
題型06 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解
1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，若，，則四邊形的周長(zhǎng)為（ ）

A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
由四邊形是平行四邊形得到，，再證明四邊形是平行四邊形，則，即可求解周長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴周長(zhǎng)為：，
故選：C．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點(diǎn)，，將線段平移得到線段，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】由平移性質(zhì)可知，，則四邊形是平行四邊形，又，則有四邊形是矩形，根據(jù)同角的余角相等可得，從而證明，由性質(zhì)得，設(shè)，則，，則，解得：，故有，，得出即可求解．
【詳解】如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，
由平移性質(zhì)可知：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
設(shè)，則，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)在第四象限，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)，同角的余角相等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·浙江·中考真題）尺規(guī)作圖問(wèn)題：
如圖1，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)（不包含A，D），連接．用尺規(guī)作，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)．
小明：如圖2．以C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)F，連接，則．
小麗：以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)F，連接，則．
小明：小麗，你的作法有問(wèn)題，小麗：哦……我明白了！
(1)證明；
(2)指出小麗作法中存在的問(wèn)題．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在問(wèn)題
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，
（1）根據(jù)小明的作圖方法證明即可；
（2）以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與可能有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此作答即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
又根據(jù)作圖可知：，
∴四邊形是平行四邊形，
∴；
（2）原因：以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與可能有兩個(gè)交點(diǎn)，
故無(wú)法確定F的位置，
故小麗的作法存在問(wèn)題．
4．（2024·新疆·中考真題）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，線段在拋物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D下方），且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】在y軸上取點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形，得出，利用拋物線的對(duì)稱性得出，則，當(dāng)E、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把代入，即可求出C的坐標(biāo)．
【詳解】解：，
∴對(duì)稱軸為，
如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為F，

當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，，
在y軸上取點(diǎn)，連接，，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵拋物線對(duì)稱軸為，
∴，
∴，
當(dāng)E、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
設(shè)直線解析式為，
∴，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)最小時(shí)，C的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
題型07 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明
1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)求證：；
(2)當(dāng)時(shí)，，分別連接，，求此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題主要考查了平行四邊形和菱形．熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）由題目中的中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，可以得出，，結(jié)合，可以證得兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）由（1）中得到的結(jié)論可以得到，結(jié)合得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而利用證明出四邊形為菱形，根據(jù)即可求出菱形的周長(zhǎng)．
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴，
在△和中，，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是菱形，
∴，
∴，
∴四邊形的周長(zhǎng)為．
2．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，，結(jié)合角平分線的條件得到，由得到，，根據(jù)平行線的判定得到，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到是平行四邊形；
（2）求得是等邊三角形，得到，，證明，求得，作于點(diǎn)，在中，求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵分別是、的平分線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于點(diǎn)，
在中，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若，，，求的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到，而，即可求證；
（2）解求得，由三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得到，最后對(duì)運(yùn)用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2024·福建·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，，垂足為的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求證：與互相平分．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結(jié)果；
（2）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，可得，再證得，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；
（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，得出， 得出，再由平行線判定得出，，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果．
【詳解】（1），且是的直徑，
．
，
在中，．
，
在中，．
，
；
（2）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
．
（3）如圖，連接．
是的直徑，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
與互相平分．
【點(diǎn)睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、幾何直觀、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)等，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是關(guān)鍵．
題型08 平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用
1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個(gè)折疊梯的實(shí)物圖．圖3是折疊梯展開(kāi)、折疊過(guò)程中的一個(gè)主視圖．圖4是折疊梯充分展開(kāi)后的主視圖，此時(shí)點(diǎn)E落在上，已知，，點(diǎn)D、F、G、J在上，、、、均與所在直線平行，，．點(diǎn)N在上，、的長(zhǎng)度固定不變．圖5是折疊梯完全折疊時(shí)的主視圖，此時(shí)、重合，點(diǎn)、、、、、在上的位置如圖所示．
【分析問(wèn)題】
（1）如圖5，用圖中的線段填空：_________；
（2）如圖4，_________，由，且的長(zhǎng)度不變，可得與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________；
【解決問(wèn)題】
（3）求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）；
（2）可推出四邊形是平行四邊形，從而，從而，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）作于，解直角三角形求得和，進(jìn)而表示出，在直角三角形中根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)而得出結(jié)果．
【詳解】解：（1），
，
故答案為：；
（2）、、、均與所在直線平行，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：，；
（3）如圖，
作于，
，
，，
，
設(shè)，則，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段之間的數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意，熟練應(yīng)用有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，點(diǎn)O是等邊的內(nèi)心，的兩邊分別交于點(diǎn)D、E，且，若等邊的邊長(zhǎng)為6，求四邊形周長(zhǎng)的最小值．
（2）為培養(yǎng)學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐能力，某學(xué)校計(jì)劃在校東南角開(kāi)辟出一塊平行四邊形勞動(dòng)實(shí)踐基地．如圖2所示，勞動(dòng)實(shí)踐基地為，點(diǎn)O為其對(duì)稱中心，且，點(diǎn)E、F分別在邊上，四邊形為學(xué)校劃分給九年級(jí)的實(shí)踐活動(dòng)區(qū)域，九年級(jí)學(xué)生打算在四邊形區(qū)域種植兩種不同的果蔬，即在種植不同的果蔬．在點(diǎn)O處安裝噴灌裝置，且噴灌張角為，即，并修建三條小路．現(xiàn)要求規(guī)劃的三條小路總長(zhǎng)最小的同時(shí)，果蔬種植區(qū)域四邊形的面積最大．求滿足規(guī)劃要求的三條小路總長(zhǎng)的最小值，并計(jì)算同時(shí)滿足四邊形面積最大時(shí)學(xué)校應(yīng)開(kāi)辟的勞動(dòng)實(shí)踐基地的面積．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）連接，．先證明，得出，，則四邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)最小時(shí)，四邊形 周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)的即可解答；
（2）分別以、所在直線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、、、、、，得出周長(zhǎng)的最小值是，再利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求得的面積．
【詳解】解：（1）連接，，如圖，
點(diǎn)是等邊的內(nèi)心，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，，
四邊形的周長(zhǎng)，
，
當(dāng)時(shí)，最小，四邊形周長(zhǎng)最小，此時(shí)，
四邊形的周長(zhǎng)的最小值；
（2）分別以、所在直線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、、、、、，如圖，

則，．
兩點(diǎn)之間線段最短，
，
周長(zhǎng)，
周長(zhǎng)的最小值是，
、關(guān)于對(duì)稱，、關(guān)于對(duì)稱，
，，，，，
．
，
，
，
過(guò)點(diǎn)作，
，，
．
即、、和的最小值為，
此時(shí)，
的面積為，
當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，四邊形的面積最大，
在中，，上的高（定角定高模型），
當(dāng)時(shí)，的面積最小，且最小值為，
四邊形的面積最大值，
當(dāng)，時(shí)，，得四邊形為平行四邊形，
此時(shí)平行四邊形的面積四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別交邊AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在這個(gè)平行四邊形上做隨機(jī)投擲圖釘試驗(yàn)，針頭落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)角線將平行四邊形面積四等分，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴對(duì)角線把平行四邊形分成面積相等的四部分，
陰影部分面積，
由圖知，
,
，
根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，
，
，
，
∴點(diǎn)A落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；關(guān)鍵在于掌握好平行四邊形的性質(zhì)、知道概率公式的基礎(chǔ)知識(shí)．
4．（2022·浙江金華·一模）如圖1是某一遮陽(yáng)蓬支架從閉合到完全展開(kāi)的一個(gè)過(guò)程，當(dāng)遮陽(yáng)蓬支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽(yáng)蓬支架完全展開(kāi)時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿固定在垂直于地面的墻壁上，支桿與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，在支架展開(kāi)過(guò)程中四邊形始終是平行四邊形．
(1)若遮陽(yáng)蓬完全展開(kāi)時(shí)，長(zhǎng)2米，在與水平地面呈的太陽(yáng)光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)長(zhǎng)支桿與短支桿的長(zhǎng)度比（即與的長(zhǎng)度比）是______．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）過(guò)C作與水平地面呈的直線交的延長(zhǎng)線于K，分別過(guò)K、E作，，可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)即可；
（2）由題意可知：支桿的豎直長(zhǎng)度都一樣，且豎直的支點(diǎn)為長(zhǎng)支桿的中點(diǎn)，即G為的中點(diǎn)、B為的中點(diǎn)，然后說(shuō)明的長(zhǎng)度為長(zhǎng)支桿的一半即可．
【詳解】（1）解：過(guò)C作與水平地面呈的直線交的延長(zhǎng)線于K，分別過(guò)K、E作，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，即在地面上影子的長(zhǎng)為2米；
故答案為：2；
（2）解：由題意可知：支桿的豎直長(zhǎng)度都一樣，且豎直的支點(diǎn)為長(zhǎng)支桿的中點(diǎn)，即G為的中點(diǎn)、B為的中點(diǎn)，
當(dāng)遮陽(yáng)棚完全閉合后，每根桿的長(zhǎng)度都一樣，即的長(zhǎng)度為長(zhǎng)支桿的一半，
∵為長(zhǎng)支桿的長(zhǎng)度，為短支桿的長(zhǎng)度．∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
題型09 平行四邊形與函數(shù)綜合
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一次函數(shù)．的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)利用圖象，直接寫出不等式的解集；
(3)已知點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或
【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入，可求出k，把代入所求反比例函數(shù)解析式，可求n，然后把A、B的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）結(jié)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像，寫出一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方所對(duì)應(yīng)的自變量范圍即可；
（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，分、為對(duì)角線，、為對(duì)角線，、為對(duì)角線三種情況，根據(jù)對(duì)角頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和分別相等列方程組，即可求解．
【詳解】（1）解∶∵經(jīng)過(guò)，
∴，解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：觀察圖像得：當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的下方，
∴不等式的解集為或；
（3）解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，
①以、為對(duì)角線，
則，
解得，
∴，
∴；
②以、為對(duì)角線，
則，
解得，
∴，
∴；
③以、為對(duì)角線
則，
解得，
∴，
∴；
綜上，當(dāng)C的坐標(biāo)為或或時(shí)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形存在性問(wèn)題等，掌握數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或2或或
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，點(diǎn)B代入拋物線解析式，解關(guān)于b，c的二元一次方程組，即可求得拋物線的解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，確定出，由PD＝CO，列出方程求解即可；
（3）分Q在BC下方和Q在BC上方兩種情況，過(guò)B作BH⊥CQ于H，過(guò)H作MN⊥y軸，交y軸于M，過(guò)B作BN⊥MH于N，證明△CHM≌△HBN，由全等三角形的性質(zhì)得出CM＝HN，MH＝BN，求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線CH的解析式，聯(lián)立直線CH和拋物線解析式即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)點(diǎn)，
對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
，
，
軸，軸，
，
∴當(dāng)時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
，
解得或或或，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或2或或．
（3）解：①如圖，當(dāng)Q在BC下方時(shí)，過(guò)B作BH⊥CQ于H，過(guò)H作MN⊥y軸，交y軸于M，過(guò)B作BN⊥MH于N，

∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HBN，
∵∠QCB＝45°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴△CHM≌△HBN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝BN，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，
即，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
聯(lián)立直線與拋物線解析式得，
解得或（即為點(diǎn)），
則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②如圖，當(dāng)Q在BC上方時(shí)，過(guò)B作BH⊥CQ于H，過(guò)H作MN⊥y軸，交y軸于M，過(guò)B作BN⊥MH于N，

同理可得：此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上，存在這樣的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法確定出函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．
(1)________；
(2)如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．
①當(dāng)，且時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；
②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點(diǎn)Q，連接．若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)3
(2)①；②1或或
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，即；
（2）①先求出解析式為，可知對(duì)稱軸為直線：，當(dāng)，且時(shí)，y隨著x的增大而減小，故當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，由得，，解得；②在中，可求，由題意得，，，四邊形為平行四邊形或等腰梯形，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，則，設(shè)，則，則，故，則，將點(diǎn)代入，得，解得，故；當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，則，由，得，則，設(shè)，則，故，解得，即；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，而，故，即，可得，將點(diǎn)P代入，得，解得或（舍），因此，綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或或．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即；
（2）解：①將點(diǎn)A代入
得，，
解得：，
∴解析式為：，
而，
∴對(duì)稱軸為直線：，
當(dāng)，且時(shí)，
∴y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由題意得，，，
∴四邊形為平行四邊形或等腰梯形，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
將點(diǎn)代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
即；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形為平行四邊形，則，
∵
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
將點(diǎn)P代入，
得：，
解得：或，
而當(dāng)時(shí)，，故舍，
∴，
綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
題型10 與平行四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題
1．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對(duì)稱得到，連接，作射線交①中所畫(huà)平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】(1)，
(2)，理由見(jiàn)解析
(3)①見(jiàn)解析；②或．
【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；
（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；
（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；
在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接；
②根據(jù)①中的三種情況討論：
第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計(jì)算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二種情況，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；
第三種情況無(wú)交點(diǎn)，不符合題意．
【詳解】（1）解：，為的中點(diǎn)，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案為：1；；
（2）解：，理由如下：
根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點(diǎn)，
，；
又 ，
，
；
設(shè)，則，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：①第一種情況：
作的平行線，使，連接，
則四邊形為平行四邊形；
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
，
，，
，即，
為的中點(diǎn)；
故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
第二種情況：
作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接，
故為的中點(diǎn)；
同理可證明：，
則，
則四邊形是平行四邊形；
故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
第三種情況：
作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；
在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接，
則為的中點(diǎn)，
同理可證明，從而，
故四邊形是平行四邊形；
故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
②若按照?qǐng)D1作圖，
由題意可知，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等腰三角形；
過(guò)P作于H，則，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照?qǐng)D2作圖，
延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，
同理可得：是等腰三角形，
連接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照?qǐng)D3作圖，則：沒(méi)有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對(duì)角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．
(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形是鄰等四邊形，請(qǐng)畫(huà)出所有符合條件的格點(diǎn)D．
(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過(guò)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，求四邊形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）先證明，，再證明，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)新定義分兩種情況進(jìn)行討論即可；①，結(jié)合圖形再確定滿足或的格點(diǎn)D；②，結(jié)合圖形再確定滿足的格點(diǎn)D；
（3）如圖，過(guò)作于，可得四邊形是矩形，，，證明四邊形為平行四邊形，可得，，設(shè)，而，，，由新定義可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∵對(duì)角線平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為鄰等四邊形．
（2）解：，，即為所求；
（3）如圖，過(guò)作于，

∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，，
設(shè)，而，
∴，，
由新定義可得，
由勾股定理可得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意舍去），
∴，
∴四邊形的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）【定義新知】
定義：在平行四邊形中，若有一條對(duì)角線長(zhǎng)是一邊長(zhǎng)的兩倍，則稱這個(gè)平行四邊形叫做和諧四邊形，其中這條對(duì)角線叫做和諧對(duì)角線，這條邊叫做和諧邊．
【概念理解】
（1）如圖1，在四邊形中，，，，，，判斷四邊形是否為和諧四邊形，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，在矩形中，，連接，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接，使得四邊形是和諧四邊形，是和諧對(duì)角線，是和諧邊，求的長(zhǎng)；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，四邊形是某市規(guī)劃中的居民戶外活動(dòng)廣場(chǎng)，入口C設(shè)在上，、為兩條筆直的小路，將廣場(chǎng)分為三部分，三角形部分為市民健身區(qū)，方便市民健身，三角形部分為觀賞區(qū)，用于種植各類鮮花，三角形部分為娛樂(lè)區(qū)，供老年人排練合唱或廣場(chǎng)舞使用，與是廣場(chǎng)的兩條主干道．已知四邊形與四邊形都是和諧四邊形，其中與分別是和諧對(duì)角線，與分別是和諧邊．為了不影響周圍居民，計(jì)劃在娛樂(lè)區(qū)外圍修建隔離帶（寬度忽略不計(jì)），已知，求隔離帶的長(zhǎng)度（即的周長(zhǎng)）．

【答案】（1）是，見(jiàn)解析；（2）6；（3）．
【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及和諧四邊形的應(yīng)用：
（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)四邊形是和諧四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)四邊形是和諧四邊形和四邊形是和諧四邊形得出，，，再證明，由得，得出，過(guò)點(diǎn)D作于M，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x的值，求出，再求出的周長(zhǎng)即可
【詳解】解：（1）四邊形是和諧四邊形.
理由：∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形.
在中，∵，，，
∴，
∴，
∴四邊形是和諧四邊形.
（2）∵四邊形是矩形，
∴，.
∵四邊形是和諧四邊形，是和諧對(duì)角線，是和諧邊，
∴，四邊形是平行四邊形，
∴，
∴.
（3）∵四邊形是和諧四邊形，為和諧對(duì)角線，為和諧邊，
∴，四邊形是平行四邊形，
∴，
∵四邊形是和諧四邊形，為和諧對(duì)角線，為和諧邊，
∴，四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即
∴.
∵，
∴相似比為1，
∴，
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作于M，

∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴（負(fù)值舍去），
∴，
∴的周長(zhǎng)，
故隔離帶的長(zhǎng)度為.
4．（2024·山東青島·二模）【圖形定義】連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．類似的，我們把連接四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的中位線．
例如：如圖1，在四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是四邊形的中位線．
【方法探究】
如圖2，已知是的中位線，以點(diǎn)為中心將旋轉(zhuǎn)得到，可證．
【方法應(yīng)用】
(1)如圖3，是梯形的中位線．若，，則__________；若，，且，則__________．
(2)如圖4，是四邊形的中位線．若，，則的取值范圍是__________；若，，且，則的取值范圍是__________．
【答案】(1)4；
(2)；
【分析】本題考查三角形中位線定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的判定與性質(zhì)．
（1）以為中心，將梯形旋轉(zhuǎn)得到梯形，則，，且四邊形都是平行四邊形，易得即可；
（2）以為中心，將四邊形旋轉(zhuǎn)得到四邊形,連接，則四邊形都是平行四邊形，則,,，在中得（在同一直線上時(shí)，等號(hào)成立），故即可．
【詳解】（1）解：如圖，以為中心，將梯形旋轉(zhuǎn)得到梯形，
則，，且四邊形都是平行四邊形
,
若，，則，
若，，則，
故答案為：4，；
（2）如圖，以為中心，將四邊形旋轉(zhuǎn)得到四邊形,連接，則四邊形都是平行四邊形，
,,
在中得（在同一直線上時(shí)，等號(hào)成立）
即
若，，則，即，
若，，且，則．
故答案為：，．
題型11 已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線
類型一 已知兩個(gè)中點(diǎn)
已知D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE（或BC）,得到DE∥BC,
類型二 已知一個(gè)中點(diǎn)
已知D分別是AB的中點(diǎn)，
1)取AC的中點(diǎn)E，連接DE, 得到DE∥BC,
2)倍長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使AC=CE, 得到DC∥BE,
1．（2024·湖北武漢·中考真題）問(wèn)題背景：如圖（1），在矩形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，求證：．
問(wèn)題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)，求證：．
問(wèn)題拓展：如圖（3），在“問(wèn)題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

【答案】問(wèn)題背景：見(jiàn)解析；問(wèn)題探究：見(jiàn)解析；問(wèn)題拓展：
【分析】問(wèn)題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，可得，即可得證；
問(wèn)題探究：取的中點(diǎn)，連接，得是的中位線，根據(jù)已知條件可得平行且等于，進(jìn)而可得是平行四邊形，得，則，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進(jìn)而可得，等量代換可得，等角對(duì)等邊，即可得證；
問(wèn)題拓展：過(guò)點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，根據(jù)已知以及勾股定理得出；根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知可得，證明垂直平分，進(jìn)而得出，證明，進(jìn)而證明， 進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】問(wèn)題背景：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，分別是，的中點(diǎn)
∴，
即，
∴；
問(wèn)題探究：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∴
又∵，是的中點(diǎn)，
∴
∴
∴，
∴；
問(wèn)題拓展：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，

∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中點(diǎn)，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
設(shè)，則
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點(diǎn)，連接．若，，則 ．

【答案】
【分析】連接，過(guò)E作于F，設(shè)，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，，，進(jìn)而利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)得到，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得到；根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明得到，進(jìn)而得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：連接，過(guò)E作于F，設(shè)，，

∵，為中點(diǎn)，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，則，又，
∴，
∴，，
∴，
則；
∵是的一條角平分線，
∴，又，
∴，
∴
∴，則，
∴，即，
解得（負(fù)值已舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識(shí)，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．
3．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．
如圖，在四邊形中，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．
（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．
如圖，延長(zhǎng)圖中的線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．
（3）用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)．
如圖，在中，，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，試判斷的形狀，并進(jìn)行證明．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）是直角三角形，證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)中位線定理即可求出，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)中位線定理即可求出和，通過(guò)第（1）問(wèn)的結(jié)果進(jìn)行等量代換即可證明；
（3）根據(jù)中位線定理推出和從而求出，證明是等邊三角形，利用中點(diǎn)求出，從而求出度數(shù)，即可求證的形狀.
【詳解】證明：（1）的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
.
同理，.
，
.
.
（2）的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，證明如下：
如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
是的中點(diǎn)，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等邊三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案為：是直角三角形.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用中位線定理.
題型12 補(bǔ)全圖形利用中位線定理求解
1．（2023·廣西·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是的中點(diǎn)，則的最大值為 第五章 四邊形
第23講 多邊形與平行四邊形
（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)23種題型（含6種解題技巧））
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 多邊形
考點(diǎn)二 平行四邊形
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 多邊形有關(guān)的計(jì)算
題型01 認(rèn)識(shí)多邊形
題型02 多邊形的對(duì)角線問(wèn)題
題型03 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
題型04 正多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
題型05 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題
題型06 多邊形外角和問(wèn)題
題型07 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用
題型08 多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用
題型09 平面鑲嵌
題型10 計(jì)算網(wǎng)格中的多邊形面積
命題點(diǎn)二 平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算
題型01 利用平行四邊形的性質(zhì)求解
題型02 利用平行四邊形的性質(zhì)證明
題型03 判斷能否構(gòu)成平行四邊形
題型04 添加一個(gè)條件使之成為平行四邊形
題型05 證明四邊形是平行四邊形
題型06 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解
題型07 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明
題型08 平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用
題型09 平行四邊形與函數(shù)綜合
題型10 與平行四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題
題型11 已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線
題型12 補(bǔ)全圖形利用中位線定理求解
題型13 平行四邊形中各圖形面積的等量關(guān)系
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
中考考點(diǎn) 考查頻率 新課標(biāo)要求
多邊形有關(guān)計(jì)算 ★★ 了解多邊形的概念及多邊形的頂點(diǎn)邊、內(nèi)角、外角與對(duì)角線；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.
平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算 ★★★ 理解平行四邊形的概念； 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其判定定理.
【考情分析】本熱點(diǎn)包含的內(nèi)容有平行四邊形的性質(zhì)及判定、多邊形的有關(guān)計(jì)算等，試題形式多樣，難度中等，常與三角形、全等三角形等內(nèi)容綜合考查，平行四邊形是矩形、菱形等特殊平行四邊形的基礎(chǔ)，故掌握其相關(guān)的判定方法及性質(zhì)也是解決特殊四邊形問(wèn)題的關(guān)鍵. 【命題預(yù)測(cè)】中考數(shù)學(xué)中，對(duì)平行四邊形的單獨(dú)考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大，對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用．
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 多邊形
1. 多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
2. 多邊形的相關(guān)概念：
多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.
多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).
多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱多邊形的角.
多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角.
多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.
【補(bǔ)充】
1）多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個(gè)數(shù)相等；
2）把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題求解的常用方法是連接對(duì)角線；
3）多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，這（n-3）條對(duì)角線把多邊形分成了(n-2)個(gè)三角形，其中每條對(duì)角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對(duì)角線.
3. 正多邊形的定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.
【補(bǔ)充】1）正n邊形有n條對(duì)稱軸．
2）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是多邊形的中心.
4. 多邊形內(nèi)角和定理
多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.
5. 多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少?zèng)]有關(guān)系.
易錯(cuò)易混
多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：
①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有 條對(duì)角線.
③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.
④n邊形的外角和是360°.
⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.
⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．
1．（2024·四川巴中·中考真題）五邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引 條對(duì)角線．
2．（2024·江蘇徐州·中考真題）正十二邊形的每一個(gè)外角等于 度．
3．（2024·山東日照·中考真題）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形是 邊形．
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是正邊形紙片的一部分，其中是正邊形兩條邊的一部分，若所在的直線相交形成的銳角為，則的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)二 平行四邊形
1.平行四邊形
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
符號(hào)表示：平行四邊形用符號(hào)“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
2. 平行四邊形的性質(zhì)定理
性質(zhì) 符號(hào)語(yǔ)言 圖示
邊 平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角 平行四邊形對(duì)角相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
對(duì)角線 平行四邊形的對(duì)角線互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD
3. 平行線間的距離
定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離
性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.
2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.
4. 平行四邊形的判定定理
判定 符號(hào)語(yǔ)言
定義 一組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
邊 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形
角 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形
對(duì)角線 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形
【解題技巧】
一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：
1）已知一組對(duì)邊平行, 首先要考慮證另一組對(duì)邊平行，再考慮這組對(duì)邊相等；
2）已知一組對(duì)邊相等, 首先要考慮證另一組對(duì)邊相等，再考慮這組對(duì)邊平行；
3）已知條件與對(duì)角線有關(guān)，常考慮對(duì)角線互相平分；
4) 已知條件與角有關(guān)，常考慮兩組對(duì)角分別相等.
5. 平行四邊形邊的對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.
1．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：．
2．（2024·貴州·中考真題）如圖，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過(guò)程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接． 求證：四邊形是平行四邊形． 證明：∵，∴． ∵，，，∴①______． 又∵，，∴（②______）． ∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過(guò)程正確，①，②應(yīng)分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在中，E，F(xiàn)是對(duì)角線上的點(diǎn)，且．求證：．
5．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A． B．
C． D．
04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 多邊形有關(guān)的計(jì)算
題型01 認(rèn)識(shí)多邊形
1．（2021·江蘇南京·中考真題）下列長(zhǎng)度的三條線段與長(zhǎng)度為5的線段能組成四邊形的是（ ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
2．（2020·北京·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格交點(diǎn)，則ABC的面積與ABD的面積的大小關(guān)系為： （填“＞”，“＝”或“＜”）
3．（2020·山東棗莊·中考真題）各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，它的面積S可用公式（a是多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，b是多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)）計(jì)算，這個(gè)公式稱為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個(gè)格點(diǎn)五邊形，則該五邊形的面積 ．
4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一片平坦的鹽灘上布滿了大小相近的六邊形，人們驚嘆于大自然的鬼斧神工，同時(shí)也嘗試解開(kāi)鹽灘圖案之謎，人們發(fā)現(xiàn)正六邊形能夠最大限度的利用空間，已知圖中的正六邊形與正方形的周長(zhǎng)都等于12，則它們的面積之差為 ．
題型02 多邊形的對(duì)角線問(wèn)題
1．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）如果過(guò)某多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線，這個(gè)多邊形是 邊形．
2．（2024·上海金山·三模）正n邊形的一個(gè)外角為，則它的對(duì)角線條數(shù)為
3．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成3個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于 ．
4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）多邊形的對(duì)角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
題型03 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
利用多邊形內(nèi)角和、外角和定理求邊數(shù)：
①n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，根據(jù)已知條件列出方程求邊數(shù)；
②若由已知數(shù)據(jù)很容易求得一個(gè)外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形的外角和始終等于360°,用360°除一個(gè)外角的度數(shù)，從而得到正多邊形的邊數(shù).
1．（2023·重慶·中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個(gè)角為，則其余六個(gè)內(nèi)角之和為 ．
2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個(gè)五邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．900° B．720° C．540° D．360°
3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，是五邊形的外接圓的切線，則 ．
4．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（ ）
A． B． C． D．
題型04 正多邊形內(nèi)角和問(wèn)題
1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以邊為邊作正方形，連接，則 ．
2．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運(yùn)動(dòng)會(huì)，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形和正方形中，，的延長(zhǎng)線分別交，于點(diǎn)M，N，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長(zhǎng)為 ．
4．（2024·四川廣元·中考真題）點(diǎn)F是正五邊形邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為 ．

5．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點(diǎn)M，N，如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北·中考真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中
（1） 度．
（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為 （結(jié)果保留根號(hào)）．

題型05 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題
多邊形的邊數(shù)為自然數(shù)，而內(nèi)角和只與邊數(shù)有關(guān)，無(wú)論多了一個(gè)角，還是少了一個(gè)角，都可以用逼近法去求解.
1．（2023·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，那么原來(lái)多邊形的邊數(shù)不可能為 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2021·廣東佛山·三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，若去掉一個(gè)角得到一個(gè)七邊形，則∠1+∠2= 度．
3．（2021·浙江麗水·中考真題）一個(gè)多邊形過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)是 ．
題型06 多邊形外角和問(wèn)題
1．（2023·北京·中考真題）正十二邊形的外角和為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個(gè)內(nèi)角和為的正多邊形圖案，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（2023·江蘇連云港·中考真題）以正五邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正五邊形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為 °．
題型07 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用
1．（2024·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，小強(qiáng)站在五邊形健身步道的起點(diǎn)P處，沿著P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最終回到了P處．在這過(guò)程中，小強(qiáng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度說(shuō)明了（　　）
A．五邊形的內(nèi)角和是 B．五邊形的外角和是
C．五邊形的內(nèi)角和是 D．五邊形的外角和是
2．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測(cè)）小聰利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，給同桌出了這樣一道題：假如從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線走9米后向左轉(zhuǎn)，接著沿直線前進(jìn)9米后，再向左轉(zhuǎn)，…，如此下去，當(dāng)他第一次回到點(diǎn)A時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己一共走了72米，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北十堰·二模）參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機(jī)器人設(shè)定了如圖所示的程序，機(jī)器人從點(diǎn)O出發(fā)，沿直線前進(jìn)1米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)1米，又向左轉(zhuǎn)……照這樣走下去，機(jī)器人第一次回到出發(fā)地O點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（ ）
A．10米 B．18米 C．20米 D．36米
題型08 多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用
1．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，的角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)P，且，則 ．
2．（2023·遼寧營(yíng)口·二模）如圖，在正六邊形中，連接平分，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
4．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB∥CD，平分，CE∥AD，.
(1)求的度數(shù)：
(2)若，求的度數(shù).
題型09 平面鑲嵌
解決幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．
【限制條件】1）邊長(zhǎng)相等；2）公共頂點(diǎn)；3）在一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)正多邊形的內(nèi)角之和為360.
1．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）小張同學(xué)家要裝修，準(zhǔn)備購(gòu)買兩種邊長(zhǎng)相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是 ．（填一種即可）
2．（2021·貴州銅仁·中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地面上鑲嵌（ ）
A．等邊三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
3．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）平面圖形的鑲嵌往往給人以美的享受，如圖1是用邊長(zhǎng)相等的正六邊形與正三角形進(jìn)行的無(wú)縫隙、不重疊的平面鑲嵌．我們選取其中一個(gè)正六邊形和三個(gè)與之相鄰（正上方、左下方和右下方）的正三角形組成的圖形部分，將其放在平面直角坐標(biāo)系中．如圖2，點(diǎn)，，均為正六邊形和正三角形的頂點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，連接，，則的面積是 ．
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是用邊長(zhǎng)相等的等邊三角形和正n邊形兩種地磚鋪設(shè)的小路的局部示意圖，則這種正邊形地磚的邊數(shù) ．
題型10 計(jì)算網(wǎng)格中的多邊形面積
1．（2022·北京海淀·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為 ．
2（2021·北京順義·一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則的面積與的面積比為 ．
3．（2021·山西臨汾·三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
你知道“皮克定理”嗎？
“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫(huà)著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn)．一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形．有趣的是，這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來(lái)很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目，就可用公式算出．即，其中表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，表示多邊形的面積．（利用圖2中的多邊形可以驗(yàn)證）這個(gè)公式是奧地利數(shù)學(xué)家皮克在1899年發(fā)現(xiàn)的，被稱為“皮克定理”．
任務(wù)：
（1）如圖2，是的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長(zhǎng)為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點(diǎn)多邊形的面積是_______．
（2）已知：一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為19，且邊界上的點(diǎn)數(shù)是內(nèi)部點(diǎn)數(shù)的3倍，則______．
（3）請(qǐng)你在圖3中設(shè)計(jì)一個(gè)格點(diǎn)多邊形．要求：①格點(diǎn)多邊形的面積為8；②格點(diǎn)多邊形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
命題點(diǎn)二 平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算
題型01 利用平行四邊形的性質(zhì)求解
1．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖是平行四邊形紙片，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，若以M為圓心，為半徑畫(huà)弧交對(duì)角線于點(diǎn)N，則 度；將扇形紙片剪下來(lái)圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 ．
2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．若的周長(zhǎng)為12，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，，，在平行四邊形中，它的對(duì)角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，且，則 ．
4．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，相交于點(diǎn)O，．過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)E，記長(zhǎng)為x，長(zhǎng)為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（ ）
A． B． C． D．
題型02 利用平行四邊形的性質(zhì)證明
1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：．小麗的思考過(guò)程如下：
參考小麗的思考過(guò)程，完成推理．
2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，畫(huà)射線，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______
(2)求證：
(3)若，，，求的面積．
3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上，且，連接與交于點(diǎn)，連接，．
(1)求證：；
(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；
(2)如圖②，若，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖②中四個(gè)角（除外），使寫出的每個(gè)角都與相等．
題型03 判斷能否構(gòu)成平行四邊形
1．（2021·河北·中考真題）如圖1，中，，為銳角．要在對(duì)角線上找點(diǎn)，，使四邊形為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
2．（2024·河北石家莊·一模）如圖，已知線段和射線，且，在射線上找一點(diǎn)C，使得四邊形是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)D作與交于點(diǎn)C
B．在下方作與交于點(diǎn)C，使
C．在上截取，使，連接
D．以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與交于點(diǎn)C，連接
3．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）已知（如圖1），求作：平行四邊形．如圖2、圖3是嘉琪的作圖方案，其依據(jù)是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
題型04 添加一個(gè)條件使之成為平行四邊形
1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件 ，使四邊形是平行四邊形．
2（2023·湖南·中考真題）如圖，在四邊形中，，添加下列條件后仍不能判定四邊形是平行四邊形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，．
(1)求證：；
(2)連接．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說(shuō)明理由）
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，的平分線交于點(diǎn)．
(1)求的度數(shù)；
(2)在上取一點(diǎn)E，添加一個(gè)條件，使四邊形是平行四邊形，直接寫出這個(gè)條件．
題型05 證明四邊形是平行四邊形
已知條件 選擇的判定定理
邊 一組對(duì)邊相等 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
一組對(duì)邊平行 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
角 一組對(duì)角相等 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
對(duì)角線 對(duì)角線互相平分 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
注意：在做題時(shí)，根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用判定方法求解.
1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫出此時(shí)的值．
2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，若，請(qǐng)直接寫出四邊形的形狀．
3．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別在邊上．將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上；將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好也落在對(duì)角線上．連接．
求證：(1)；
(2)四邊形為平行四邊形．
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在中，D是中點(diǎn)．
(1)求作：的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)若l交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．補(bǔ)全圖形，并證明四邊形是平行四邊形．
題型06 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解
1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，若，，則四邊形的周長(zhǎng)為（ ）

A．4 B．6 C．8 D．16
2．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點(diǎn)，，將線段平移得到線段，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
3．（2024·浙江·中考真題）尺規(guī)作圖問(wèn)題：
如圖1，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)（不包含A，D），連接．用尺規(guī)作，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)．
小明：如圖2．以C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)F，連接，則．
小麗：以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)F，連接，則．
小明：小麗，你的作法有問(wèn)題，小麗：哦……我明白了！
(1)證明；
(2)指出小麗作法中存在的問(wèn)題．
4．（2024·新疆·中考真題）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，線段在拋物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D下方），且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．

題型07 利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明
1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)求證：；
(2)當(dāng)時(shí)，，分別連接，，求此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)．
2．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，求的面積．
3．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若，，，求的長(zhǎng).
4．（2024·福建·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，，垂足為的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求證：與互相平分．
題型08 平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用
1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個(gè)折疊梯的實(shí)物圖．圖3是折疊梯展開(kāi)、折疊過(guò)程中的一個(gè)主視圖．圖4是折疊梯充分展開(kāi)后的主視圖，此時(shí)點(diǎn)E落在上，已知，，點(diǎn)D、F、G、J在上，、、、均與所在直線平行，，．點(diǎn)N在上，、的長(zhǎng)度固定不變．圖5是折疊梯完全折疊時(shí)的主視圖，此時(shí)、重合，點(diǎn)、、、、、在上的位置如圖所示．
【分析問(wèn)題】
（1）如圖5，用圖中的線段填空：_________；
（2）如圖4，_________，由，且的長(zhǎng)度不變，可得與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________；
【解決問(wèn)題】
（3）求的長(zhǎng)．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，點(diǎn)O是等邊的內(nèi)心，的兩邊分別交于點(diǎn)D、E，且，若等邊的邊長(zhǎng)為6，求四邊形周長(zhǎng)的最小值．
（2）為培養(yǎng)學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐能力，某學(xué)校計(jì)劃在校東南角開(kāi)辟出一塊平行四邊形勞動(dòng)實(shí)踐基地．如圖2所示，勞動(dòng)實(shí)踐基地為，點(diǎn)O為其對(duì)稱中心，且，點(diǎn)E、F分別在邊上，四邊形為學(xué)校劃分給九年級(jí)的實(shí)踐活動(dòng)區(qū)域，九年級(jí)學(xué)生打算在四邊形區(qū)域種植兩種不同的果蔬，即在種植不同的果蔬．在點(diǎn)O處安裝噴灌裝置，且噴灌張角為，即，并修建三條小路．現(xiàn)要求規(guī)劃的三條小路總長(zhǎng)最小的同時(shí)，果蔬種植區(qū)域四邊形的面積最大．求滿足規(guī)劃要求的三條小路總長(zhǎng)的最小值，并計(jì)算同時(shí)滿足四邊形面積最大時(shí)學(xué)校應(yīng)開(kāi)辟的勞動(dòng)實(shí)踐基地的面積．

3．（2020·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別交邊AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在這個(gè)平行四邊形上做隨機(jī)投擲圖釘試驗(yàn)，針頭落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 ．
4．（2022·浙江金華·一模）如圖1是某一遮陽(yáng)蓬支架從閉合到完全展開(kāi)的一個(gè)過(guò)程，當(dāng)遮陽(yáng)蓬支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽(yáng)蓬支架完全展開(kāi)時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿固定在垂直于地面的墻壁上，支桿與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，在支架展開(kāi)過(guò)程中四邊形始終是平行四邊形．
(1)若遮陽(yáng)蓬完全展開(kāi)時(shí)，長(zhǎng)2米，在與水平地面呈的太陽(yáng)光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)長(zhǎng)支桿與短支桿的長(zhǎng)度比（即與的長(zhǎng)度比）是______．
題型09 平行四邊形與函數(shù)綜合
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一次函數(shù)．的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)利用圖象，直接寫出不等式的解集；
(3)已知點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．
(1)________；
(2)如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．
①當(dāng)，且時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；
②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點(diǎn)Q，連接．若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
題型10 與平行四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題
1．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對(duì)稱得到，連接，作射線交①中所畫(huà)平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．
2．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對(duì)角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．
(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形是鄰等四邊形，請(qǐng)畫(huà)出所有符合條件的格點(diǎn)D．
(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過(guò)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，求四邊形的周長(zhǎng)．
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）【定義新知】
定義：在平行四邊形中，若有一條對(duì)角線長(zhǎng)是一邊長(zhǎng)的兩倍，則稱這個(gè)平行四邊形叫做和諧四邊形，其中這條對(duì)角線叫做和諧對(duì)角線，這條邊叫做和諧邊．
【概念理解】
（1）如圖1，在四邊形中，，，，，，判斷四邊形是否為和諧四邊形，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，在矩形中，，連接，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接，使得四邊形是和諧四邊形，是和諧對(duì)角線，是和諧邊，求的長(zhǎng)；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，四邊形是某市規(guī)劃中的居民戶外活動(dòng)廣場(chǎng)，入口C設(shè)在上，、為兩條筆直的小路，將廣場(chǎng)分為三部分，三角形部分為市民健身區(qū)，方便市民健身，三角形部分為觀賞區(qū)，用于種植各類鮮花，三角形部分為娛樂(lè)區(qū)，供老年人排練合唱或廣場(chǎng)舞使用，與是廣場(chǎng)的兩條主干道．已知四邊形與四邊形都是和諧四邊形，其中與分別是和諧對(duì)角線，與分別是和諧邊．為了不影響周圍居民，計(jì)劃在娛樂(lè)區(qū)外圍修建隔離帶（寬度忽略不計(jì)），已知，求隔離帶的長(zhǎng)度（即的周長(zhǎng)）．

4．（2024·山東青島·二模）【圖形定義】連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．類似的，我們把連接四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的中位線．
例如：如圖1，在四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是四邊形的中位線．
【方法探究】
如圖2，已知是的中位線，以點(diǎn)為中心將旋轉(zhuǎn)得到，可證．
【方法應(yīng)用】
(1)如圖3，是梯形的中位線．若，，則__________；若，，且，則__________．
(2)如圖4，是四邊形的中位線．若，，則的取值范圍是__________；若，，且，則的取值范圍是__________．
題型11 已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線
類型一 已知兩個(gè)中點(diǎn)
已知D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE（或BC）,得到DE∥BC,
類型二 已知一個(gè)中點(diǎn)
已知D分別是AB的中點(diǎn)，
1)取AC的中點(diǎn)E，連接DE, 得到DE∥BC,
2)倍長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使AC=CE, 得到DC∥BE,
1．（2024·湖北武漢·中考真題）問(wèn)題背景：如圖（1），在矩形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，求證：．
問(wèn)題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)，求證：．
問(wèn)題拓展：如圖（3），在“問(wèn)題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

2．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點(diǎn)，連接．若，，則 ．

3．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．
如圖，在四邊形中，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．
（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．
如圖，延長(zhǎng)圖中的線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．
（3）用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)．
如圖，在中，，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，試判斷的形狀，并進(jìn)行證明．
題型12 補(bǔ)全圖形利用中位線定理求解
1．（2023·廣西·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是的中點(diǎn)，則的最大值為 ．

2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，為銳角，點(diǎn)在邊上，連接，且．

(1)如圖1，若是邊的中點(diǎn)，連接，對(duì)角線分別與相交于點(diǎn)．
①求證：是的中點(diǎn)；
②求；
(2)如圖2，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)．試探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
3．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，連接．
（1）線段的長(zhǎng)為 ；
（2）若為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 ．
4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，相交于點(diǎn)M，G為上一點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．若，，則線段的長(zhǎng)度為（　　）

A． B． C．2 D．
題型13 平行四邊形中各圖形面積的等量關(guān)系
1．（2021·浙江寧波·中考真題）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的，相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張矩形紙片的面積為，與相交于點(diǎn)O．當(dāng)?shù)拿娣e相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平行四邊形的兩條鄰邊的長(zhǎng)分別為，其中一內(nèi)角的度數(shù)為α，將兩個(gè)如圖1所示的平行四邊形按如圖2所示的方式擺放在邊長(zhǎng)為b的菱形中，左上部為重疊部分，右下部為剩余部分（陰影部分），剩余部分的面積記為；將四個(gè)如圖1所示的平行四邊形按如圖3所示的方式擺放在邊長(zhǎng)為的菱形中，左上部與右下部均為剩余部分（陰影部分），面積分別記為．
（1）圖1中平行四邊形的面積為 ，圖3中的值為 ；
（2）之間的關(guān)系式為 ．
3．（2024·浙江金華·二模）如圖，在中，O是對(duì)角線上一點(diǎn)，連結(jié)，，若，，，的面積分別為，，，，則下列關(guān)于，，，，的等量關(guān)系中，不一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．

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