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(共40張PPT)
第1課時(shí)　向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
第六章　平面向量及其
6.2　平面向量的運(yùn)算
6.2.4　向量的數(shù)量積
整體感知
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功．
2．掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量．
3．會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P17－P19的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．什么是向量的夾角？
問題2．?dāng)?shù)量積的定義是什么？
問題3．投影向量的定義是什么？
問題4．向量數(shù)量積有哪些性質(zhì)？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究建構(gòu)
非零
0≤θ≤π
同向
反向
垂直
【教用·微提醒】　兩個(gè)向量只有起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是向量的夾角．
反思領(lǐng)悟　求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作出兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．
[學(xué)以致用]　1．已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
探究2　兩向量的數(shù)量積
探究問題1　物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s時(shí)，力F所做的功是如何計(jì)算的？其結(jié)果是向量還是數(shù)量？由此你認(rèn)為兩個(gè)向量可以相乘嗎？
[提示]　W＝|F|·|s|cos θ(θ為F與s的夾角)．其結(jié)果是數(shù)量．兩個(gè)向量可以相乘．
[新知生成]
1．?dāng)?shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_．
0
2．向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b a·b＝0．
≤
【教用·微提醒】　 (1)數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫．
(2)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0．
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個(gè)零向量．
[典例講評(píng)]　2．(源自蘇教版教材)已知向量a與b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3，分別在下列條件下求a·b；
(1)θ＝135°；(2)a∥b；(3)a⊥b．
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　定義法求平面向量的數(shù)量積
(1)求模：分別求|a|和|b|．
(2)求夾角：注意向量a與b的方向．
(3)求數(shù)量積：a·b＝__________．
|a||b|cos θ
[學(xué)以致用]　2．(1)已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝60°，求a·b；
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝3，求〈a，b〉．

[典例講評(píng)]　3．已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
(2)向量b在向量a上的投影向量．
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　投影向量的求法
方法一：用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量為_____________．
[學(xué)以致用]　3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．
2
4
3
題號(hào)
1
應(yīng)用遷移
√
2
4
3
題號(hào)
1
2
3
題號(hào)
1
4
√
2
3
題號(hào)
4
1
3．設(shè)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為________．

2
4
3
題號(hào)
1
a
1．知識(shí)鏈：(1)向量的夾角．
(2)向量數(shù)量積的定義．
(3)投影向量．
(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合法．
3．警示牌：一是注意向量夾角共起點(diǎn)；二是a·b>0 兩向量夾角為銳角，a·b<0 兩向量夾角為鈍角．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．向量夾角的范圍是多少？
[提示]　[0，π]．
2．如何求兩個(gè)向量的數(shù)量積？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？
3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？
[提示]　b在a方向上的投影向量為|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量為|a|e2cos θ(θ為a與b的夾角，e1為a方向的單位向量，e2為b方向的單位向量)．
4．設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？
[提示]　a⊥b a·b＝0．反之成立．
5．|a·b|與|a||b|的大小關(guān)系如何？
[提示]　|a·b|≤|a||b|．6.2.4　向量的數(shù)量積
第1課時(shí)　向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功．
2．掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量．
3．會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．
[討論交流]　預(yù)習(xí)教材P17－P19的內(nèi)容，思考以下問題：
問題1．什么是向量的夾角？
問題2．?dāng)?shù)量積的定義是什么？
問題3．投影向量的定義是什么？
問題4．向量數(shù)量積有哪些性質(zhì)？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．
探究1　兩向量的夾角
[新知生成]
已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
當(dāng)θ＝0時(shí)，向量a，b同向；
當(dāng)θ＝π時(shí)，向量a，b反向；
當(dāng)θ＝時(shí)，向量a與b垂直，記作a⊥b．
【教用·微提醒】　兩個(gè)向量只有起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是向量的夾角．
[典例講評(píng)]　1．如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，指出如下各組向量的夾角．
(1)與；(2)與；
(3)與．
[解]　(1)與的夾角是∠EDF＝60°．
(2)因?yàn)椋剑耘c的夾角等于與的夾角，即∠EDA＝120°．
(3)如圖，延長FD至B′，使DB′＝FD，則＝，則與的夾角等于與的夾角，即∠EDB′＝120°．
　求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作出兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．
[學(xué)以致用]　1．已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
[解]　如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°．
以O(shè)A，OB為鄰邊作 OACB，
則＝a＋b，＝a－b．
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，
所以 OACB是菱形，又∠AOB＝60°，
所以與的夾角為30°，與的夾角為60°，
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°．
【教用·備選題】　
如圖，已知△ABC是等邊三角形．
(1)求向量與的夾角；
(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角．
[解]　(1)因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°．如圖，延長AB至點(diǎn)D，使BD＝AB，則＝，所以∠DBC為向量與的夾角．
因?yàn)椤螦BC＝60°，所以∠DBC＝120°，
所以向量與的夾角為120°．
(2)因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，
所以向量與的夾角為90°．
探究2　兩向量的數(shù)量積
探究問題1　物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s時(shí)，力F所做的功是如何計(jì)算的？其結(jié)果是向量還是數(shù)量？由此你認(rèn)為兩個(gè)向量可以相乘嗎？
[提示]　W＝|F|·|s|cos θ(θ為F與s的夾角)．其結(jié)果是數(shù)量．兩個(gè)向量可以相乘．
[新知生成]
1．?dāng)?shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
2．向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b a·b＝0．
(3)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝．
(4)|a·b|≤|a||b|．
(5)cos θ＝．
【教用·微提醒】　 (1)數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫．
(2)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0．
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個(gè)零向量．
【鏈接·教材例題】
例9　已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝，求a·b．
[解]　a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos
＝5×4×
＝－10．
例10　設(shè)|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a與b的夾角θ．
[解]　由a·b＝|a||b|cos θ，得
cos θ＝＝＝－．
因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝．
[典例講評(píng)]　2．(源自蘇教版教材)已知向量a與b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3，分別在下列條件下求a·b；
(1)θ＝135°；(2)a∥b；(3)a⊥b．
[解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 135°＝－3．
(2)當(dāng)a∥b時(shí)，θ＝0°或180°．
若θ＝0°，則a·b＝|a||b|＝6；
若θ＝180°，則a·b＝－|a||b|＝－6．
(3)當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0．
　定義法求平面向量的數(shù)量積
(1)求模：分別求|a|和|b|．
(2)求夾角：注意向量a與b的方向．
(3)求數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ．
[學(xué)以致用]　2．(1)已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝60°，求a·b；
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝3，求〈a，b〉．
[解]　(1)由已知可得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3×4×cos 60°＝6．
(2)由a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉可知
3＝3×2×cos 〈a，b〉，
因此cos 〈a，b〉＝，從而可知〈a，b〉＝．
【教用·備選題】　
如圖，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·．
[解]　 (1)因?yàn)椤危曳较蛳嗤?br/>所以與的夾角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9．
(2)因?yàn)榕c的夾角為60°，
所以與的夾角為120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6．
探究3　投影向量
探究問題2　
如圖所示，在Rt△OM1M中，||與||之間存在怎樣的等量關(guān)系？設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么與e，a，θ之間有怎樣的關(guān)系？
[提示]　||＝||cos θ，＝|a|cos θ e．
[新知生成]　投影向量
設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，＝a，＝b，過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，稱這種變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
[典例講評(píng)]　3．已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
(2)向量b在向量a上的投影向量．
[解]　(1)∵|b|＝1，∴b為單位向量．
∴向量a在向量b上的投影向量為
|a|cos 120°·b＝3×b＝－b．
(2)∵|a|＝3，∴＝a，
∴向量b在向量a上的投影向量為|b|cos 120°＝1×·a＝－a．
　投影向量的求法
方法一：用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量為|a|·cos θ·．
[學(xué)以致用]　3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．
[解]　設(shè)a，b的夾角為θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴向量a在向量b上的投影向量為
|a|cos θ·＝12××b＝b．
1．在 ABCD中，∠DAB＝30°，則與的夾角為(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
D　[如圖，與的夾角為∠ABC＝150°．
故選D．
]
2．已知|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角是120°，則a·b等于(　　)
A．3 B．－3
C．－3 D．3
B　[由數(shù)量積的定義，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3．]
3．設(shè)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為________．
　[設(shè)a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．]
4．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為，則b在a方向上的投影向量為________．
a　[b在a方向上的投影向量為|b|cos ·＝2×a＝a．]
1．知識(shí)鏈：(1)向量的夾角．
(2)向量數(shù)量積的定義．
(3)投影向量．
(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合法．
3．警示牌：一是注意向量夾角共起點(diǎn)；二是a·b>0兩向量夾角為銳角，a·b<0兩向量夾角為鈍角．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．向量夾角的范圍是多少？
[提示]　[0，π]．
2．如何求兩個(gè)向量的數(shù)量積？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？
[提示]　 a·
3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？
[提示]　b在a方向上的投影向量為|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量為|a|e2cos θ(θ為a與b的夾角，e1為a方向的單位向量，e2為b方向的單位向量)．
4．設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？
[提示]　a⊥b a·b＝0．反之成立．
5．|a·b|與|a||b|的大小關(guān)系如何？
[提示]　|a·b|≤|a||b|．
課時(shí)分層作業(yè)(五)　向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
一、選擇題
1．如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角．則當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)10 m時(shí)，力F做的功為(　　)
A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J
B　[由題意，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)．故選B．]
2．已知|a|＝3，|b|＝6，當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝(　　)
A．18 B．－18 C．±18 D．0
C　[當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角為0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a與b反向，則它們的夾角為180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18．故選C．]
3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，則與的夾角是(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
C　
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量為b，則a·b的值為(　　)
A．3 B． C．2 D．
B　[設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閨a|·b，
所以|a|···b＝|a||b|cos θ＝3×
5．在邊長為1的等邊三角形ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a等于(　　)
A．－ C．－
A　[a·······b＋b·c＋c·
二、填空題
6．如圖所示，△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且AB＝1，則·＝________．
－　·××
7．已知|a|＝2，且a與b的夾角為60°，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為________．
e　[因?yàn)閍與b的夾角為60°，所以a在b上的投影向量為|a|cos 60°e＝2×
8．已知向量a，b均為單位向量，a·b＝，則a與b的夾角為________．
　[設(shè)a與b的夾角為θ，由題意知|a|＝|b|＝1，
則cos θ＝，
又∵0≤θ≤
三、解答題
9．如圖所示，已知a為單位向量，求出以下向量的數(shù)量積．
(1)b·a；(2)c·a；(3)d·a．
[解]　(1)由題圖可知，
|a|＝1，|b|＝，因此
b·×1×＝1．
(2)由題圖可知，〈c，a〉＝·a＝0．
(3)由題圖可知，向量d在向量a上的投影向量為－a，且a為單位向量，因此根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可知d·a＝－1．
10．(多選)若e是直線l上的一個(gè)單位向量，這條直線上的向量a＝－e，b＝e，則下列說法正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝－b　　　　　　 B．b＝－a
C．a(chǎn)與b的夾角為π D．a(chǎn)·b＝1
BC　e，
所以b＝－×a，故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；
所以a··＝－1，故D錯(cuò)誤．
故選BC．]
11．定義：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于(　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
A　，∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝×b|＝2×5×
12．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．向量a在向量b上的投影向量可表示為·
B．若a·b<0，則a與b的夾角θ的范圍是
C．若△ABC是等邊三角形，則的夾角為60°
D．若a·b＝0，則a⊥b
AB　[對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)投影向量的定義，知A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，則cos θ<0，又∵0≤θ≤·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D錯(cuò)誤．]
13．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，則·＝________，·＝________，·＝________．
0　－16　－16　，
所以·×4×·××·×4×cos 135°＝－16．]
14．已知A1A2A3A4A5A6是一個(gè)正六邊形，將下列向量的數(shù)量積按從大到小的順序排列：····．
[解]　
，
，
〉＝0，
，
所以··
＝·＝0，
·<0，
所以····
15．已知正方形ABCD的邊長為1，E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求·的值；
(2)求·的最大值．
[解]　···cos θ．
由圖可知，|·|2＝1．
(2)···
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