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微專題18 圓錐曲線熱點問題（二）
位置關系類
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 對稱問題
例1 設橢圓的左焦點為，右頂點為 ，離心
率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線 的
距離為 .
（1）求橢圓的方程和拋物線的方程;
解：設點，依題意得，且 ，
拋物線的準線的方程為 ，
則，得，， ，
所以 .
所以橢圓的方程為，拋物線的方程為 .
（2）設上兩點，關于軸對稱，直線與橢圓相交于點
異于點，直線與軸相交于點,若的面積為 ，求直
線 的方程.
解：準線的方程為 ，設，則 .
因為，所以，得直線的方程為 ，
將①式代入中，化簡得 ，
設，由根與系數的關系得 ，
則 ，即，
則，則直線 的方程為 ，
令，得，即，所以 .
，化簡得，即得 ，
代入①式化簡，得直線的方程為 或
.
自測題
[2024·江蘇泰州調研] 在平面直角坐標系 中，設橢圓
的離心率為,點 在橢圓上，過橢圓的焦點且與軸
垂直的直線被橢圓 截得的弦長為 .
（1）求橢圓 的方程；
解：因為點在橢圓上，且，所以 .
又因為過橢圓的焦點且與軸垂直的直線被橢圓 截得的弦長為 ,
所以,即，代入，得 ，
由，可得，即 ，即
，
得,則,故橢圓 的方程為 .
（2）若直線與橢圓 相交于,兩點，點不在
軸上，點關于軸的對稱點為,求 的面積的最大值.
解：設,,所以,直線 的方程為
,
則點到直線的距離為 ,
所以的面積 .
因為點,在直線 上，
所以 .
由得 ,
所以,, ,
因為 ,
所以 ,
當且僅當 時等號成立，所以的面積的最大值為 .
微點2 雙切線問題
例2 已知橢圓的左焦點為 ，點
在橢圓上.經過圓上一動點作橢圓 的兩條
切線，切點分別為，，直線，分別與圓相交于異于點 的
， 兩點.
（1）求橢圓 的標準方程；
解：不妨設橢圓的焦距為 ，
因為橢圓的左焦點為 ，所以 ，
因為點在橢圓 上，所以 ， ，
聯立①②③，解得， ，
則橢圓的標準方程為 .
（2）求證： .
證明：設 ，當直線， 的斜率都存在時，
不妨設過點與橢圓相切的直線方程為 ，
聯立消去 并整理得
，此時 ，
整理得 ，
設直線，的斜率分別為， ，則 ，
因為點在圓 上，所以 ，
則 ，所以 ，
所以為圓 的直徑，則 .
當直線或的斜率不存在時，不妨設直線的斜率不存在，點
在第一象限，則，直線的方程為 ，
所以， ，滿足 .
綜上， .
自測題
已知橢圓的離心率為，點 是橢圓
短軸的一個端點.
（1）求橢圓 的方程.
解：由題意得, ，
因為，所以, ，
故橢圓的方程為 .
（2）設圓，過圓上一動點作橢圓 的兩條
切線，切點分別為，.設兩切線的斜率均存在，且分別為， ，
問： 是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
解：是定值， ，理由如下：
設，當 時，兩切線中的一條切線斜率不存在，
故，，則 ，
設過點與橢圓相切的直線為 ，
與 聯立，得
，
由 ，得
，
整理得 ，
又過點與橢圓相切的兩直線斜率分別為， ，
所以 .
微點3 共線比例與線段比問題
例3 [2024·長沙三模] 已知拋物線，過點
的直線與交于不同的兩點,，當直線的傾斜角為 時，
.
（1）求拋物線 的方程.
解：設, .
若直線的傾斜角為 ，則直線的方程為 .
聯立得 ，則
，且, ，
所以 .
又，所以，故拋物線的方程為 .
（2）在線段上取異于點,的點，且滿足 ，試問是否
存在一條定直線，使得點 恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；
若不存在，請說明理由.
解：存在，定直線為 .理由如下：
由題意知直線 的斜率存在，
設直線的方程為，, .
聯立得.
由 ,，得且，
, .
不妨設,，則 ，
過點,,向軸作垂線，垂足分別為點,, ，則
，.
因為，所以 ，整理得，
所以 ,代入直線的方程得.
因為，所以點 恒在直線 上.
自測題
在平面直角坐標系中，面積為9的正方形的頂點, 分別在
軸和軸上滑動，且，記動點的軌跡為曲線 .
（1）求 的方程.
解：設,, ，由
，得
所以
因為正方形的面積為，即 ，所以
，整理可得，因此曲線 的方程為
.
（2）過點的動直線與曲線 交于不同的兩點, ，在線段
上取點，滿足.試探究點 是否在某條
定直線上？若是，求出定直線的方程；若不是，請說明理由.
解：依題意，直線的斜率存在，設 ，即
.
設點，， ，由
消去得 ，即
，
由，得 ，
所以， ， ，
由 ，得，所以 ，
可得
，
所以 ，
因為，所以點 在定直線上，定直線方
程為 .
[2021·全國乙卷] 已知拋物線的焦點為，且 與
圓 上點的距離的最小值為4．
（1）求 ；
解：方法一：由題意知，設圓上的點 ，則
，
所以 ，
則
.
因為，所以當 時，
，
又，所以 .
方法二（最優解）拋物線的焦點為， ，
所以與圓上點的距離的最小值為 ，
得 .
（2）若點在上，，是的兩條切線，， 是切點，求
面積的最大值．
解：方法一：由（1）得拋物線的方程為，即 ，
則 ，
設點，， ，
直線的方程為 ，
即，即 ，
同理可知，直線的方程為 .
因為點為這兩條直線的公共點，所以
所以點，的坐標滿足方程 ，
所以直線的方程為 .
聯立可得 ，
由根與系數的關系可得， ，所以
，
點到直線的距離 ，
所以
，
因為 ，
由已知可得，所以當時， 的面積取得最
大值 .
方法二（最優解）同方法一得到, .
過作軸的平行線交于點，則 .
.
由點在圓上，設 則 ，
故當，即，時， 的面積取得最大值，
最大值為 .
方法三：由（1）得拋物線的方程為，設 ，
，，
聯立消去整理得 ，
則，即，且, .
拋物線的方程為 ，即，則 ，
所以，整理得 ，
同理可得 .
聯立可得點，即 .
將點的坐標代入圓的方程，得 ，整理得
.
由弦長公式得
.
點到直線的距離 ，所以
，其中 ，即
,
當時， .
［備選理由］例1考查線段比例問題，結合角平分線定理將線段的比
例進行轉化；例2考查雙切線問題.
例1 ［配例3使用］ 在平面直角坐標系 中，已知雙曲線
，過作直線與交于， 兩點，
.
（1）當時，求 的值.
解：當時，直線垂直于軸，不妨取, ，所以
，不合題意，故.
設,，由得 ，
，
由得 ，即
，則 ，
又 ，所以，
故 ,化簡得,解得 或5.
（2）是否存在異于點的定點，使得 ？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由.
解：假設存在點滿足題意，當直線垂直于軸時， ，
則由，得，所以點在線段 的中垂線上，即
點在軸上，設點，
因為，所以軸是 的平分線，
記直線，的斜率分別為，，則.易知直線 的斜
率不為0，設直線的方程為，其中 ，
由消去得 ，所以
, ，
所以 ，即
，得 ，故存在
定點，使得 .
例2 ［配例2使用］ 在平面直角坐標系中，已知橢圓 過點
, .
（1）求橢圓 的標準方程.
解：設橢圓的方程為 ，
因為橢圓過點，，所以解得
故橢圓的標準方程為 .
（2）設橢圓上一動點，從原點 向圓
作兩條切線，設兩條切線的斜率分別為,
，是否存在實數，使得 為定值？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
解：依題意，兩條切線的方程分別為, ，由
，得 ，同理得
，
所以,是方程 的兩個不相等的
實數根，故 ，
又因為，所以 ，所以
，
顯然當時，為定值，
由 ，得 ，
所以存在實數，使得 為定值.

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