資源簡(jiǎn)介

第十章 二元一次方程組
10.1《二元一次方程組的概念》
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章 二元一次方程組 10.1二元一次方程組的概念.
方程是重要的數(shù)學(xué)基本概念，也是解決問(wèn)題的重要工具、思想、模型，是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.一元一次方程是在用字母表示未知數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用含有未知數(shù)的式子表示實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)量，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的相等關(guān)系列出方程，由于限定只能用一個(gè)未知數(shù)，這就要找到其它的未知量和未知數(shù)之間的等量關(guān)系，利用這個(gè)等量關(guān)系來(lái)把其它的未知量也用含有這個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)．如果根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要設(shè)兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)，則可以不必費(fèi)心地用一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示其它的未知量，直接利用實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系列出多個(gè)方程，組成方程組，這樣可以簡(jiǎn)化思考的過(guò)程，使問(wèn)題解決變得更簡(jiǎn)單.
通過(guò)發(fā)現(xiàn)和表達(dá)具體問(wèn)題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系，引入未知數(shù)，進(jìn)而列出方程(組),歸納方程(組)特征并進(jìn)行命名，再進(jìn)行解方程(組)得到方程(組)的解，并檢驗(yàn)是否為實(shí)際問(wèn)題的解，是解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法，更是落實(shí)“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的極好載體．
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：了解二元一次方程，二元一次方程組及其解等概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解．
學(xué)生已經(jīng)了解一元一次方程、解一元一次方程及一元一次方程的解等概念，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，尋找等量關(guān)系，列一元一次方程解訣問(wèn)題，由此，本課時(shí)教學(xué)選擇合適的情境，通過(guò)有針對(duì)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列二元一次方程組來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)現(xiàn)與解一元一次方程的方法、思路是一樣的，體會(huì)列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性和優(yōu)越性，從而提高學(xué)習(xí)二元一次方程組的積極性.
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，能列出二元一次方程組，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.
1.了解二元一次方程，二元一次方程組及其解等概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解．
2.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，能列出二元一次方程組，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型．
3.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析及解決，學(xué)會(huì)用多種方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).
4.實(shí)際生活與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，存在緊密的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
重點(diǎn)：了解二元一次方程，二元一次方程組及其解等概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解.
難點(diǎn): 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，能列出二元一次方程組，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.
本章引入
問(wèn)題1：什么是一元一次方程？
答：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程.
在解決一些問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到求兩個(gè)未知數(shù)的情形，例如：新疆是我國(guó)棉花的主要產(chǎn)地之一.近年來(lái)，機(jī)械化采棉已經(jīng)成為新疆棉采摘的主要方式.某種棉大戶(hù)租用6臺(tái)大、小兩種型號(hào)的采棉機(jī)，1h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉機(jī)1h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉機(jī)1h 完成1 hm2棉田的采摘.
問(wèn)：這個(gè)種棉大戶(hù)租用了大、小型采棉機(jī)各多少臺(tái)
在這個(gè)問(wèn)題中，要求的是兩個(gè)未知數(shù).如果用一元一次方程來(lái)解決，列方程時(shí)，要用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù).能不能根據(jù)題意直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，使列方程變得容易呢
在本章中，我們將從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，認(rèn)識(shí)二元一次方程組，學(xué)習(xí)解二元一次方程組的方法，并運(yùn)用二元一次方程組解決一些實(shí)際問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三元一次方程組及其解法，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，你將對(duì)方程(組)有新的認(rèn)識(shí).
情境導(dǎo)入
問(wèn)題2：七(1)班要開(kāi)展數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng)，為了獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)優(yōu)秀的同學(xué)，小明為班級(jí)購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品后與小穎的對(duì)話如下：
小明：我買(mǎi)了兩種水筆，共 10支，單價(jià)分別為 6元和 10 元，買(mǎi)獎(jiǎng)品前我領(lǐng)了 100 元，現(xiàn)在還剩26元.
小穎：你肯定搞錯(cuò)了！
請(qǐng)用方程的知識(shí)幫助小明計(jì)算一下，為什么小穎說(shuō)他搞錯(cuò)了.
師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生獨(dú)立思考并舉手回答.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題引入，吸引學(xué)生的課堂注意力:由淺入深，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.
探究新知
活動(dòng)一：探究二元一次方程組的定義
問(wèn)題3：列方程要先找到相等關(guān)系，本章引言中的問(wèn)題包含了哪些必須同時(shí)滿(mǎn)足的相等關(guān)系 若設(shè)這個(gè)種棉大戶(hù)租用了x臺(tái)大型采棉機(jī)，y臺(tái)小型采棉機(jī)，你能用方程把這些相等關(guān)系表示出來(lái)嗎
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考然后討論列出方程，教師巡視，選兩名學(xué)生作答.
答：相等關(guān)系：?jiǎn)栴}包含兩個(gè)必須同時(shí)滿(mǎn)足的相等關(guān)系：
①大型采棉機(jī)臺(tái)數(shù)+小型采棉機(jī)臺(tái)數(shù)=總臺(tái)數(shù)
x+y=6
②大型采棉機(jī)1h采摘面積+小型采棉機(jī)1h采摘面積=1h采摘總面積
2x+y=8
設(shè)計(jì)意圖：用引言的問(wèn)題引入本節(jié)課內(nèi)容，列二元一次方程，為后面教學(xué)做好了鋪墊.
問(wèn)題4：觀察思考：
(1)上面的兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)
(2)它們與一元一次方程有什么不同
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生積極探尋解決問(wèn)題的辦法，通過(guò)合作探究從而解決問(wèn)題.
答：特點(diǎn)：①含有兩個(gè)未知數(shù)；
②等式兩邊都是整式；
③含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.
含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.
設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際出發(fā)，引入二元一次方程的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程.
問(wèn)題5：二元一次方程與一元一次方程有什么相同和不同之處
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論，選派代表作答，教師順勢(shì)總結(jié).
答：相同：都是一次方程.
不同：含未知數(shù)個(gè)數(shù)不同.
總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否是二元一次方程必須滿(mǎn)足以下條件：
(1)有且只有兩個(gè)未知數(shù)；
(2)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1；
(3)方程的左右兩邊都必須是整式；
(4)化簡(jiǎn)后未知數(shù)的系數(shù)不為0.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和歸納總結(jié)能力，鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力.
問(wèn)題6：方程 x+y＝6 和 2x+y＝8中，x的含義相同嗎？y呢？
師生活動(dòng):教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立思考并舉手回答.
答：x所代表的都是大型采棉機(jī)；y所代表的都是小型采棉機(jī)
所以x，y必須同時(shí)滿(mǎn)足方程x+y＝6 ①
和 2x+y＝8. ②
把這兩個(gè)方程合在一起，寫(xiě)成
x＋y＝6，
2x＋y＝8.
組成一個(gè)方程組.
含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的兩個(gè)方程組成的方程組叫做二元一次方程組.
總結(jié)：二元一次方程組的特點(diǎn)：
①方程組中共有2個(gè)不同未知數(shù)；
②方程組有2個(gè)一次方程；
③一般用大括號(hào)把2個(gè)方程連起來(lái).
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷合作探究的過(guò)程，通過(guò)類(lèi)比一元一次方程得出二元一次方程(組)的概念；培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題和直觀想象能力.
活動(dòng)二：探究二元一次方程(組)的解的定義
問(wèn)題7：滿(mǎn)足方程①，且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的x，y的值有哪些 把它們填入表中.
上表中哪對(duì)x，y的值還滿(mǎn)足方程②
師生活動(dòng):教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考后舉手回答.
答：
由上表可知，x=1，y=5；x=2，y=4；…；x=5，y=1使方程 x+y=6 兩邊的值相等，它們都是方程 x+y=6 的解.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)表格的形式呈現(xiàn)符合要求的x與y的值，幫助學(xué)生有效觀察.
問(wèn)題8：如果不考慮方程表示的實(shí)際意義，方程①還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
答： x=-1，y=7；x=0.1，y=5.9；……也都是方程 x+y=6的解，能找到無(wú)數(shù)多組x，y的值滿(mǎn)足方程①.
一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解.
表示形式：
注意：一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.
問(wèn)題9：上表中，哪對(duì)x，y的值還滿(mǎn)足方程 2x+y＝8 ②
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論，選派代表作答，教師順勢(shì)總結(jié).
答：x=2，y=4既滿(mǎn)足方程①x+y＝6，又滿(mǎn)足方程②2x+y＝8.也就是說(shuō)x=2，y=4是方程①與方程②的公共解.
我們把x=2，y=4叫作二元一次方程組 的解，這個(gè)解通常記作.
聯(lián)系前面的問(wèn)題可知，這個(gè)種棉大戶(hù)租用了2臺(tái)大型采棉機(jī)，4臺(tái)小型采棉機(jī).
一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解.
注意：一般，二元一次方程組有且只有一組解.
設(shè)計(jì)意圖:發(fā)展抽象能力和推理能力，初步培養(yǎng)模型意識(shí)和觀念.
你能運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，解決情境中的問(wèn)題嗎？
兩種水筆，共 10支，單價(jià)分別為 6元和 10 元，買(mǎi)獎(jiǎng)品前領(lǐng)了 100 元，現(xiàn)在還剩26元.
分析：設(shè)單價(jià)為6元的水筆購(gòu)買(mǎi)了x支，單價(jià)為10元的水筆購(gòu)買(mǎi)了y支．
由題意得：
列表格找出滿(mǎn)足方程x+y=10，且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的解.
上面數(shù)據(jù)沒(méi)有一個(gè)能滿(mǎn)足方程，所以小明搞錯(cuò)了.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)解決課前問(wèn)題，前后呼應(yīng)，使課堂教學(xué)變得完整.同時(shí)，也達(dá)到“學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”的目的，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，并讓學(xué)生嘗試成功的喜悅!
應(yīng)用新知
【經(jīng)典例題】
例1 已知 3xm-1＋(n＋2)y＝10 是關(guān)于 x，y 的二元一次方程，求 m，n 的值．
分析：x 的指數(shù)必須是 1，y 的系數(shù)必須不等于 0，上述方程才是二元一次方程．
解：根據(jù)二元一次方程的概念，得
m－1＝1，且n＋2≠0，
所以m＝2，n≠－2．
總結(jié)：根據(jù)條件列出關(guān)于字母參數(shù)的式子：含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1，且兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都不為0．進(jìn)而得到相應(yīng)字母參數(shù)的值．
例2 已知二元一次方程組的解是 ，求a與b的值.
分析：把二元一次方程組的解帶入原方程組，即可求出a與b的值．
解：把帶入到方程組，得：
解得，.
師生活動(dòng)：教師在黑板上展示例題，提示學(xué)生仔細(xì)審題，找出問(wèn)題的突破點(diǎn).學(xué)生思考并嘗試解答.教師講解完后，詢(xún)問(wèn)學(xué)生是否理解每一步的操作，鼓勵(lì)學(xué)生提出疑問(wèn).
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題讓學(xué)生鞏固新知，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的推理能力.培養(yǎng)發(fā)散思維能力，完善學(xué)生列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而對(duì)本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法和研究思路有一個(gè)較清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)今后學(xué)習(xí)的多元方程的解法有基本的思路.
課堂練習(xí)
【教材練習(xí)】
對(duì)下面的問(wèn)題，列出二元一次方程組，并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，找出問(wèn)題的解.
1.某村鄉(xiāng)村振興項(xiàng)目計(jì)劃把 28 t黃桃加工成罐頭，剛開(kāi)始每天加工2 t，后在技術(shù)顧問(wèn)的指導(dǎo)下改進(jìn)加工方法，每天加工4 t，前后共用8天完成全部加工任務(wù).這個(gè)項(xiàng)目改進(jìn)加工方法前、后各用了多少天
2.在籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分.某隊(duì)在 10 場(chǎng)比賽中得到16分，這個(gè)隊(duì)的勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少
分析：1題中必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：
①改進(jìn)加工方法前用的天數(shù)+改進(jìn)加工方法后用的天數(shù)=8；
②改進(jìn)加工方法前加工的總量+改進(jìn)加工方法后加工的總量=28.
解：設(shè)改進(jìn)加工方法前用了x天，改進(jìn)加工方法后用了y天.
由題意，得.
列表格找出滿(mǎn)足方程x+y=8，且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的解.
當(dāng)x=2，y=6時(shí)，也滿(mǎn)足方程 .
所以當(dāng)是方程組的解.
答：改進(jìn)加工方法前用了2天，改進(jìn)加工方法后用了6天.
分析：2題中必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：
①勝的場(chǎng)數(shù)+負(fù)的場(chǎng)數(shù)=10；
②勝場(chǎng)得分+負(fù)場(chǎng)得分=16.
解：設(shè)勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng).
由題意，得.
列表格找出滿(mǎn)足方程x+y=10，且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的解.
當(dāng)x=6，y=4時(shí)，也滿(mǎn)足方程 .
所以當(dāng)是方程組的解.
答：在籃球聯(lián)賽中，這個(gè)隊(duì)勝6場(chǎng)，負(fù)4場(chǎng).
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立作答，再隨機(jī)選擇學(xué)生回答.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的掌握，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，鍛煉運(yùn)用能力和解題能力.
【限時(shí)訓(xùn)練】
1.下面的方程組中，屬于二元一次方程組的是( ).
A. B. C. D.
分析：滿(mǎn)足二元一次方程組的條件：
1.含有兩個(gè)未知數(shù)；
2.未知數(shù)的最高次數(shù)為1；
3.整式方程.
答：A
2.下列各組值中是二元一次方程組的解的是( ).
A. B. C. D.
分析：要判斷哪一組值是該二元一次方程組的解，只需要將每組值分別帶入方程組的兩個(gè)方程，看是否成立.
答：C
3.已知是方程的一組解，則 .
分析：二元一次方程的解，必滿(mǎn)足使二元一次方程兩邊的值相等，將解代入方程即可就出a的值.
答：
4.若方程2x2m+3+3y3n-8=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m= ，n= .
分析：∵方程2x2m+3+3y3n-8=0是關(guān)于x、y的二元一次方程.
∴2m+3=1，且3n-8=1.
解得m=-1，n=3.
答：-1; 3.
5.甲種物品每個(gè)4 kg，乙種物品每個(gè)7 kg.現(xiàn)有甲種物品x個(gè)，乙種物品y個(gè)，共有76 kg.
(1)列出關(guān)于x、y的二元一次方程為 ;
(2)若x=12，則y的值為 ;
(3)用列表的方式列出甲、乙兩種物品個(gè)數(shù)的所有可能情況.
分析：(1)題中必須滿(mǎn)足的等量關(guān)系為：甲種物品的重量+乙種物品的重量=76.
(2)當(dāng)x=12時(shí)，帶入(1)中的二元一次方程，即可求出y的值.
答：(1) 4x+7y=76
(2) 4
(3)
設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置分層作業(yè)，兼顧不同水平的學(xué)生，關(guān)注差異，使學(xué)生獲得各自的發(fā)展，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)一步理解的同時(shí)，擴(kuò)展學(xué)生的思維，讓優(yōu)秀生有施展的舞臺(tái)．
課堂總結(jié)
師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.
1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2.二元一次方程和二元一次方程的解的概念是什么？
3.二元一次方程組和二元一次方程組的解的概念是什么？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
實(shí)踐作業(yè)
隨便寫(xiě)一個(gè)二元一次方程，然后在平面直角坐標(biāo)系中描出這個(gè)二元一次方程的解，你能發(fā)現(xiàn)什么？
本節(jié)課是概念教學(xué)，從學(xué)生熟悉的實(shí)際生活中，用兩個(gè)未知數(shù)表示等量關(guān)系，導(dǎo)出二元一次方程及二元一次方程組的概念，進(jìn)而探究它們的解的特征，讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究由實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型的完整的構(gòu)建過(guò)程.
因?yàn)閷W(xué)生上學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的知識(shí)，對(duì)方程已經(jīng)有一定的了解，所以本節(jié)課學(xué)習(xí)起來(lái)相對(duì)來(lái)說(shuō)難度不大.同時(shí)，本節(jié)課在設(shè)計(jì)時(shí)力求由淺入深，同時(shí)對(duì)比一元一次方程來(lái)學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)更容易接受和消化.
在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)時(shí)，本著以學(xué)生為主體，老師是主導(dǎo)的原則，盡可能給學(xué)生提供充分的探索交流空間，使大多數(shù)同學(xué)融入到教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)中去，使學(xué)生在經(jīng)歷探究、思考、交流、歸納總結(jié)，及時(shí)練習(xí)等活動(dòng)中自然的獲取知識(shí).
整個(gè)教學(xué)過(guò)程學(xué)生表現(xiàn)積極，各個(gè)環(huán)節(jié)都能有序進(jìn)行，比較成功的完成了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).但也有不足，個(gè)別學(xué)生因計(jì)算能力不足，理解能力不夠，并不能準(zhǔn)確及時(shí)的完成相關(guān)練習(xí)，在今后的教學(xué)過(guò)程中，還應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)，尤其是計(jì)算能力和理解能力的提升.

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