資源簡介

第六章 二元一次方程組
6.2二元一次方程組的解法
第1課時 代入消元法
本節課《二元一次方程組的解法》是冀教版初中數學七年級下冊第六章第2節的內容，要求學生能利用消元思想熟練的解二元一次方程組．本節課主要讓學生學會用代入消元法解二元一次方程組，教材從實際問題出發，引導學生學習代入消元法，也為今后學習其它方程、函數奠定了重要基礎．而用代入消元法解決簡單的二元一次方程組，是解方程組的基礎，這將為后面學習加減消元法、解三元一次方程的解法準備理論依據．同時也是解一元一次方程在解二元一次方程中的延伸，這一過程滲透消元思想和化歸思想．
七年級的學生已經掌握了有理數、整式的運算、一元一次方程等知識，了解了二元一次方程、二元一次方程組及其解等基本概念，具備了進一步學習二元一次方程組解法的基本能力，會通過列一元一次方程解應用題，能通過分析找出題中的等量關系列出二元一次方程組．同時，學生也具備了活動經驗基礎．通過觀察、驗證、討論、交流的學習方式經歷代入法的消元的過程，體會到轉化的作用，有利于發展學生的抽象思維的能力，培養學生的表達能力和交流能力．
1．使學生通過探索，逐步發現解方程組的基本思想是“消元”，將二元一次方程組轉化為一元一次方程．
2．會用代入消元法解二元一次方程組，并能根據二元一次方程組的特點，選用適當的代入消元方式，體會消元思想在解方程中的應用．
3．通過代入消元法，使學生初步理解解二元一次方程組中把“未知”化為“已知”的化歸思想方法．
重點：用代入法解二元一次方程組
難點：代入法的靈活應用，了解數學研究中把“未知”化為“已知”的化歸思想
情境導入
問題1：什么叫做二元一次方程組？
答：由幾個方程組成的一組方程叫作方程組．含有兩個未知數，并且含有未知數的項以及每個未知數的次數都是1的一組方程，叫作二元一次方程組．
問題2：以下哪些是二元一次方程組？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
答：②方程組中共有3個未知數，所以不符合；③方程組中的第二個方程不是整式方程，所以不符合；⑤方程組中的第二個方程的項的次數為2，所以不符合．故選①④．
設計意圖：教師以復習的形式回顧上節課的重點內容，為下面的實際問題的出現做好鋪墊埋下伏筆．
問題3：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
(1)嘗試用你學過的方法解決這個問題．
(2)設雞有x只，兔子有y只，是否可以列出二元一次方程組嗎？
答：(1)設雞有x只，兔子有35-x只．
根據題意列方程，得2x+4(35-x)=94．
解這個一元一次方程，得x=23．
從而，得35-23=12．
即雞有23只，兔子有12只．
(2)
一起探討
問題4：觀察以下內容回答問題：
(1)由方程組，是怎樣得出方程④的？
(2)為什么方程④和方程*完全相同？請說明理由．
(3)由④解出x的值以后，怎樣求出y的相應的值？
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間2分鐘．
規則：1．以小組形式匯報展示 +2分；2．正確回答 +2分；3．補充質疑 +2分
答：(1)先將方程①轉化為方程②，再將方程③代入方程②得到方程④．
(2)方程④和方程*中未知數表示的意義相同，等量關系也相同．
(3)解出x的值后代入③可求出y的值．
追問：從中你能體會到怎樣解二元一次方程組嗎？
答：第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當的方程，將它的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來．
第二步：把此代數式代入沒有變形的一個方程中，可得一個一元一次方程．
第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值．
第四步：回代求出另一個未知數的值，把方程組的解表示出來．
第五步：檢驗(口算或在草稿紙上進行筆算),即把求得的解代入每一個方程看是否成立．
歸納：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，從而求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法．
步驟：變、代、求、解
設計意圖：組織學生合作探究，重視知識的發生過程，讓學生通過自己努力歸納結論，更加深刻的理解消元思想和代入法解二元一次方程組．
問題5：模仿上題的過程，嘗試列二元一次方程組解決問題，并用代入法解二元一次方程組．
我國古代數學著作《増制算法統宗》記載“繩索量竿”問題，“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”。其大意為：現有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺。繩索和竿子的長度各多少尺？
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間2分鐘．
規則：1．以小組形式匯報展示 +2分；2．正確回答 +2分
答：設繩索長x尺，竿長y尺，
根據題意，得，
由①，得y=x-5③，
將③代入②，得，得x=20，
將x=20代入③得y=15，
所以，原方程組的解為．
問題4：
(1)在嘗試計算y值時，將x的值代入②可以求出y嗎？代入①或③有什么優點？
(2)在解方程組的過程中，可以先消x嗎？
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間5分鐘．教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結，教師補充．
規則：1．以小組形式匯報展示 +2分；2．正確回答 +2分；3．補充質疑 +2分．
答：(1)可以． 代入①或③更為簡便．
(2)可以，方程①可變形為x=5+y③，
將③代入②得，解方程得y=15，
將y=15代入③，得x=20．
所以，原方程組的解為．
設計意圖：組織學生合作探究，重視知識的發生過程，讓學生通過自己努力歸納結論，更加深刻的理解用代入法解二元一次方程組．
應用舉例
例1 解方程組：．
答：，
把代入，得：，
解得：，
把代入，得：，
方程組的解為．
例2 解方程組：
答：
由得：，
把代入，得10-y-2y=4，
解這個方程，得，
把代入，得，
所以原方程組的解為．
例3 用代入法解方程組．
答：
由②得：，
把③代入①，得，
解得這個方程，得，
把代入③，得,
所以原方程組的解為．
設計意圖：在對如何使用代入法解二元一次方程組已有認識的基礎上，通過層次漸進的兩個例題，進一步進行代入消元法解二元一次方程組的鞏固練習．初步滲透“轉化”的數學思想．
課堂練習
1．用代入法解方程組將方程代入，得方程 ．
答：將中的換為，得，去括號得．故答案為．
2．已知，滿足方程組，則無論取何值，，恒有關系式是( )
A． B． C． D．
答：方程組，
將代入，
得到，
．
故選．
3．用代入法解二元一次方程組：
答：
由得，，
把代入得，
，
，
，
把代入得：，
，
，
原方程組的解為
原方程整理為
由得，，
把代入得，，
，
，
把代入得：
原方程組的解為
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？
答：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，從而求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法．
設計意圖：通過小結，回顧本節課所學新知，加深印象．
課堂檢測
1．對于二元一次方程組，將代入，消去可以得到( )
A． B． C． D．
答：，
將代入，得，
，
故選．
2．用代入法解下列方程組．
；
．
答：，
由代入得：，即，
把得代入：，
則方程組的解為；
，
由得：，
把代入得：，即，
把代入得：，
則方程組的解為．
3．已知關于、的二元一次方程組有正整數解，則整數 ．
答：，
把代入，得，
解得，
關于、的二元一次方程組有正整數解，為整數，
或，
解得或．
故答案為或．
4． 已知方程組的解也是關于，的方程的一個解，求的值．
答：方程組，
把代入得：，
解得：，
把，代入中，
解得：，
把，代入方程得，，
解得：．
設計意圖：通過練習，能恰當地應用“代入消元法”解方程組，提高學生邏輯思維能力、計算能力、解決實際問題的能力．
實踐作業：請你根據生活實例，編一道應用二元一次方程組的問題并列出方程組解決問題．
本節課教學的主要內容是用消元代入法解二元一次方程組．在整節課教師始終堅持以學生為本，教師為輔的教學理念，結合學生的實際情況，從實際問題延伸至消元代入法解二元一次方程組．通過本節課的學習，同學們一定會體會到方程組中的兩個未知數一般不能同時求出來的，必須先想辦法消去一個未知數，把方程組的問題化為我們已學過的一元一次方程的問題，這種思想方法叫做“消元法”．解二元一次方程組的基本思想方法就是通過“消元”將二元轉化為“一元”．代入法是解二元一次方程組的一種基本方法．讓學生經歷探索活動，積累探索經驗，激發了學生的學習興趣，激活了學生的思維．組織課堂提問，更加充分的調動學生的學習積極性、主動性，進而提高課堂學習效率．

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