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第六章 二元一次方程組
6.2二元一次方程組的解法
第2課時(shí) 加減消元法
本節(jié)課《二元一次方程組的解法》是冀教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章第2節(jié)的內(nèi)容，要求學(xué)生能利用消元思想熟練的解二元一次方程組.本節(jié)課主要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用加減消元法解二元一次方程組，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，利用代入消元法引入加減消元法，也為今后學(xué)習(xí)其它方程、函數(shù)奠定了重要基礎(chǔ).而用加減消元法解決簡(jiǎn)單的二元一次方程組，是解方程組的基礎(chǔ)，這將為后面解決較難的二元一次方程組打下基礎(chǔ).同時(shí)也是解一元一次方程在解二元一次方程中的延伸，這一過(guò)程滲透消元思想和化歸思想.
七年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)、整式的運(yùn)算、一元一次方程等知識(shí)，了解了二元一次方程、二元一次方程組及其解等基本概念，具備了進(jìn)一步學(xué)習(xí)二元一次方程組解法的基本能力，會(huì)通過(guò)列一元一次方程解應(yīng)用題，能通過(guò)分析找出題中的等量關(guān)系列出二元一次方程組.同時(shí)，學(xué)生也具備了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).通過(guò)觀察、驗(yàn)證、討論、交流的學(xué)習(xí)方式經(jīng)歷代入法的消元的過(guò)程，體會(huì)到轉(zhuǎn)化的作用，有利于發(fā)展學(xué)生的抽象思維的能力，培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和交流能力.
1.通過(guò)對(duì)方程組中未知數(shù)系數(shù)特點(diǎn)的觀察和分析，逐步學(xué)習(xí)加減消元法解二元一次方程組.
2.能根據(jù)二元一次方程組的特點(diǎn)，選用適當(dāng)?shù)南绞剑w會(huì)消元思想在解方程中的應(yīng)用.
3.通過(guò)加減消元法，使學(xué)生更一步理解解二元一次方程組中把“未知”為“已知”的化歸思想方法.
重點(diǎn)：用加減消元法解二元一次方程組
難點(diǎn)：加減消元法的靈活應(yīng)用，了解數(shù)學(xué)研究中把“未知”為“已知”的化歸思想
情景導(dǎo)入
問(wèn)題1：解二元一次方程組的基本思路是什么？
答：消元，將二元變?yōu)橐辉?br/>問(wèn)題2：用代入法解二元一次方程組的主要步驟是什么？
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，再舉手回答問(wèn)題．
答：變、代、求、解
第一步：在已知方程組的兩個(gè)方程中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠蹋瑢⑺哪硞€(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái).
第二步：把此代數(shù)式代入沒(méi)有變形的一個(gè)方程中，可得一個(gè)一元一次方程.
第三步：解這個(gè)一元一次方程，得到一個(gè)未知數(shù)的值.
第四步：回代求出另一個(gè)未知數(shù)的值，把方程組的解表示出來(lái).
第五步：檢驗(yàn)(口算或在草稿紙上進(jìn)行筆算),即把求得的解代入每一個(gè)方程看是否成立.
設(shè)計(jì)意圖：教師以復(fù)習(xí)的形式回顧上節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，為下面的實(shí)際問(wèn)題的出現(xiàn)做好鋪墊埋下伏筆.
超市有兩種飲料，分別是蘋(píng)果汁和橙汁，在售賣時(shí)以組的形式售賣.5組蘋(píng)果汁的瓶數(shù)和3組橙汁的瓶數(shù)共有16瓶.2組蘋(píng)果汁的瓶數(shù)比3組橙汁的瓶數(shù)少2瓶.一組蘋(píng)果汁和一組橙汁各多少瓶？
請(qǐng)嘗試使用二元一次方程組的方程解決問(wèn)題.
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，再舉手回答問(wèn)題．
答：設(shè)一組蘋(píng)果汁有x瓶，一組橙汁有y瓶.
根據(jù)題意得，
由①得，
將③代入②得，
解得y=2，
把y=2代入③，得x=2，
所以原方程組的解為.
答：一組蘋(píng)果汁有2瓶，一組橙汁有2瓶.
一起探究
問(wèn)題3：
(1)觀察上述方程組中相同未知數(shù)的系數(shù)，有什么特點(diǎn)？
(2)能否用學(xué)過(guò)的知識(shí)消去y
(3)將方程①和②的左右兩邊分別相加，會(huì)消去一個(gè)未知數(shù)嗎？?jī)蓚€(gè)方程兩邊分別相加的依據(jù)是什么？
師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生合作探究，先獨(dú)立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結(jié)果；討論時(shí)間2分鐘.
規(guī)則：1.以小組形式匯報(bào)展示 +2分；2.正確回答 +2分
答：(1)y的系數(shù)互為相反數(shù)；
(2)方法一：由①得③，
將③代入②得.
方法二：由①得3y=16-5x④，
將④代入②得2x-(16-5x)=-2.
(3)可以.①+②，得，即7x=14.
利用等式的性質(zhì)，①式的左邊+②式的左邊=①式的右邊+②式的右邊.
做一做：嘗試使用前面的方法解方程組.
師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生合作探究，先獨(dú)立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結(jié)果；討論時(shí)間2分鐘.
答：
②-①，得，
即2x=10，得x=5，
把x=5代入③，得y=4，
所以原方程組的解為.
追問(wèn)：①-②也能消去未知數(shù)y，求出x嗎？
答：能. ①-②，得，即-2x=-10，x=5.
歸納：當(dāng)兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時(shí)，采用將兩個(gè)方程左右兩邊分別
相加或相減的方法“消元”較簡(jiǎn)便.
主要步驟：第一步：加減，將兩個(gè)方程相加或相減，消去一個(gè)元；
第二步：求解，分別求出兩個(gè)未知數(shù)；
第三步：寫(xiě)解，寫(xiě)出原方程組的解.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固代入法解二元一次方程組，在此基礎(chǔ)上，提出新的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，為講解加減法做鋪墊.
問(wèn)題4：如何用加減消元法解下列二元一次方程組？
(1)直接加減是否可以？為什么？
(2)能否將方程進(jìn)行變形，使得兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同？
(3)變形后是否可以加減的方法消元解方程組嗎？
師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生合作探究，先獨(dú)立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結(jié)果；討論時(shí)間2分鐘.
規(guī)則：1.以小組形式匯報(bào)展示 +2分；2.正確回答 +2分
答：(1)不可以.兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)，也不相等，無(wú)法直接相加或相減消去未知量.
(2)
將②×2，變形為4x+6y=8，變形后y的系數(shù)相同
將②×，變形為，變形后x的系數(shù)相同
(3)解：②×2，得4x+6y=8③，
①-③，得(5x+6y)-(4x+6y)=7-8，得x=-1，
把x=-1代入②，得-2+3y=4，y=2.
所以，原方程組得解為.
歸納：將二元一次方程組中兩個(gè)方程相加（或相減，或進(jìn)行適當(dāng)變形后再相加減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程；通過(guò)解一元一次方程，求得二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法，叫作加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.
問(wèn)題5：(1)上面解方程組的基本思路是什么？
(2)如何用加減法解二元一次方程組？請(qǐng)歸納總結(jié)解二元一次方程組的步驟.
師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生合作探究，先獨(dú)立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結(jié)果；討論時(shí)間5分鐘.教師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師可選代表總結(jié)，教師補(bǔ)充.
規(guī)則：1.以小組形式匯報(bào)展示 +2分；2.正確回答 +2分；3.補(bǔ)充質(zhì)疑 +2分.
答：(1)
(2) 第一步：變形，將同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化為相同或互為相反數(shù)
第二步：加減，將兩個(gè)方程相加或相減，消去一個(gè)元；
第三步：求解，分別求出兩個(gè)未知數(shù)；
第四步：寫(xiě)解，寫(xiě)出原方程組的解.
設(shè)計(jì)意圖：組織學(xué)生合作探究，重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)自己努力歸納結(jié)論，更加深刻的理解用加減法解二元一次方程組.
應(yīng)用舉例
例1 用加減法解下列二元一次方程組：
(1)(2)
答：(1)
①-②，得y=2，
把y=2代入①，得3x+4=7，得x=1，
所以，原方程組得解為.
(2) ，
，得，
將代入，得，
方程組的解為.
例2 用加減法解下列二元一次方程組：
(1)(2)
答：(1)
①×2，得4a+2b = 6，③
③-②，得3a=-6，解得a=-2.
把a(bǔ)=-2代入①式，得2×(-2)+b=3，
解得b= 7.
因此原方程組的解是
追問(wèn)：如果先消去a應(yīng)如何解？會(huì)與上述結(jié)果一致嗎？
②×2，得2a+4b = 24，③
③-①，得3b=21，解得b=7.
把b=7代入②式，得a+2×7=12，解得a=-2.
因此原方程組的解是
(2) ，
，得，
將代入，得，
方程組的解為．
例3 若與互為相反數(shù)，則的值為( )
A. B. C. D.
答：與互為相反數(shù)，
，
，
得，，
把代入得，，
解得，
．
故選D．
設(shè)計(jì)意圖：在對(duì)如何使用加減法解二元一次方程組已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)層次漸進(jìn)的兩個(gè)例題，進(jìn)一步進(jìn)行加減法解二元一次方程組的鞏固練習(xí)．初步滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.
課堂練習(xí)
1. 觀察下列二元一次方程組，最適合采用加減消元法求解的是( )
A. B. C. D.
答：用代入消元法比較好，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.用加法消元比較好，故本選項(xiàng)符合題意；
C.用代入消元法比較好，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.用代入消元法比較好，故本選項(xiàng)不符合題意，
故選B．
總結(jié)：當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時(shí)，適合使用加減消元解方程組.
2.用加減法解下列二元一次方程組：
答：(1)，
①+②，得，，
①-②，得，，
所以方程組的解為.
(2)
①×2，得，③
②-③，得，.
將代入①，得.
所以方程組的解為.
(3)
①+②，得，.
將代入①，得，.
所以方程組的解為.
(4)
①×2，得，③
②+③，得，，
將代入①，得，.
所以方程組的解為.
3. 若關(guān)于，的方程組的解滿足，則整數(shù)的最小值為( )
A. B. C. D.
答：，
得：，
關(guān)于，的方程組的解滿足，
，
解得：，
的最小整數(shù)值為，
故選C.
課堂總結(jié)
這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？
答：加減消元法解二元一次方程組.將二元一次方程組中兩個(gè)方程相加（或相減，或進(jìn)行適當(dāng)變形后再相加減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程；通過(guò)解一元一次方程，求得二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法，叫作加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，回顧本節(jié)課所學(xué)新知，加深印象．
課堂檢測(cè)
1. 二元一次方程組更適合用哪種方法消元( )
A. 代入法 B. 加減法
C. 代入法、加減法都可以 D. 以上都不對(duì)
答：
，得，消去了未知數(shù)，即二元一次方程組，更適合用加減法消元，故選B．
2. 用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，下列方法中無(wú)法消元的是( )
A. B. C. D.
答：A.可以消去，故此項(xiàng)不符合題意；
B.可以消去，故此項(xiàng)不符合題意；
C.可以消去，故此項(xiàng)不符合題意；
D.無(wú)法消元，故此項(xiàng)符合題意．
故選D．
3.用加減法解下列二元一次方程組：
(1) (2)
答：(1)，
得：，即，
把代入得：，
則方程組的解為．
(2) ，
得：，
解得：，
把代入得：，
則方程組的解為．
4. 若關(guān)于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為( )
A. B. C. D.
答：，
得：，即，
將代入得：，即，
將，代入得：，
解得：．
故選B.
5. 已知關(guān)于，的二元一次方程組的解為，則的值是( )
A. B. C. D.
答：把代入方程組得：，
①+②得，3a=4，即，
把代入①，得，
解得：，
所以，
故選：．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用“加減消元法”解方程組，提高學(xué)生邏輯思維能力、計(jì)算能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
實(shí)踐作業(yè)：請(qǐng)你根據(jù)生活實(shí)例，編一道應(yīng)用二元一次方程組的問(wèn)題并列出方程組解決問(wèn)題.
本節(jié)課教學(xué)的是用消元代入法解二元一次方程組.在整節(jié)課教師始終堅(jiān)持以學(xué)生為本，教師為輔的教學(xué)理念，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，從代入消元法延伸至加減消元法.同學(xué)們從探究活動(dòng)中體會(huì)消元法，將方程組中的兩個(gè)未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)，把方程組的問(wèn)題化為我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的一元一次方程的問(wèn)題.加減法是解二元一次方程組的一種基本方法.讓學(xué)生經(jīng)歷探索活動(dòng)，積累探索經(jīng)驗(yàn)，發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活了學(xué)生的思維.組織課堂提問(wèn)，更加充分的調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性，進(jìn)而提高課堂學(xué)習(xí)效率.

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