資源簡介

第六章 二元一次方程組
6.2二元一次方程組的解法
第3課時 用適當的方式解二元一次方程
本節課《二元一次方程組的解法》是冀教版初中數學七年級下冊第六章第2節的內容，要求學生能利用消元思想熟練的解二元一次方程組.本節課主要讓學生學會用適當的方法解二元一次方程組以及解決較難的二元一次方程組，從代入消元法和加減消元法對比引入本節課的內容，選擇用適當的方法解二元一次方程組，也為今后學習其它方程、函數奠定了重要基礎.
七年級的學生已經掌握了有理數、整式的運算、一元一次方程等知識，在此之前學習過了代入法和加減法解二元一次方程組，具備解決二元一次方程組的基本能力，會通過列一元一次方程解應用題，能通過分析找出題中的等量關系列出二元一次方程組. 同時，學生也具備了活動經驗基礎.通過觀察、驗證、討論、交流的學習方式學習使用適合的方法解二元一次方程組，體會到轉化的作用，有利于發展學生的抽象思維的能力，培養學生的表達能力和交流能力.
1.能靈活運用代入法和加減法解二元一次方程組.
2.能根據二元一次方程組的特點，選用適當的消元方式，能用特殊的解法解一些特殊的方程組，體會消元思想在解方程中的應用.
3.經歷解二元一次方程組的過程，培養創新意識，感受到化繁為簡的思想，培養學生分析問題、解決問題的能力.
4.經歷觀察和分析選擇解決問題的最優方法的過程，培養邏輯思維能力和推理能力．
重點：能靈活運用代入法和加減法解二元一次方程組.
難點：能靈活運用代入法和加減法解二元一次方程組，能用特殊的解法解一些特殊的方程組.
情景導入
問題1：(1)解二元一次方程組的基本思路是什么？
(2)消元的方法有什么？
(3)代入（或加減）法的主要步驟是什么？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
答：(1)消元，將二元變為一元
(2)代入法和加減法
(3)①變形②代入（或加減）③求解④回代求解
設計意圖：教師以復習的形式回顧上節課的重點內容，為下面的實際問題的出現做好鋪墊埋下伏筆.
問題2：分別用代入法和加減法解二元一次方程組.
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再選擇幾名學生進行回答.
答：
代入法：方程①可變形為.③
將③代入②，得，解得.
將代入③，得.
所以，原方程組的解為
加減法：①×10，得.③
②×7，得.④
③-④，得，解得.
將代入①，得，解得.
所以，原方程組的解為
問題3：(1)對比代入法和加減法的解答過程，請對解答過程做出評價.
(2)還有其他解這個二元一次方程組的方法嗎？
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間2分鐘.
規則：1.以小組形式匯報展示 +2分；2.正確回答 +2分
答：(1)兩個方法都可以解這個二元一次方程組.但是加減法的計算過程更為簡略.
(2)①+②，得，所以.③
①-②，得，所以.④
③+④，得，解得.
③-④，得，解得.
所以，原方程組的解為
追問：這三種方法哪種更為簡單呢？
答：第三種方法，因為計算更為簡單.
歸納：當方程組中的x,y的系數的絕對值在兩個方程中對調時，則先把兩個方程相加和相減，轉化為關于x＋y，x－y的方程組，再利用加減消元法求解．
解方程組時，需要先觀察系數的特點，再靈活運用代入法或加減法，從而減少計算量，簡化運算過程.
問題4：(1)下列二元一次方程組用什么方法消元簡單呢？
(2)什么情況下用代入法簡單呢？什么情況下用加減法簡單呢？
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間5分鐘.
規則：1.以小組形式匯報展示 +2分；2.正確回答 +2分.
答：(1)①②適合代入法；③④⑤⑥適合加減法.
(2)代入法：1.方程組中，有一個方程的一個未知數是由含有另一個未知數的式子表示的時；
2.當有一個未知數的系數為1或-1時.
加減法：1.當同一個未知數的系數相同或互為相反數時；
2.當同一個未知數的系數之間是整數倍關系時；
3.當同一個未知數的系數最小公倍數容易確定時.
設計意圖：組織學生合作探究，重視知識的發生過程，讓學生通過自己努力歸納結論，更加深刻的理解什么適合使用代入法和加減法解二元一次方程組.
問題5：嘗試解二元一次方程組.
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題.
答：方法一（代入法）：
由①，得，③
將③代入②，得，解得.
把代入③，得.
方法二（加減法）：
①×2，得，③
②+③，得，解得，
把代入①，得，.
所以，原方程組的解為
方法三：整理，得
①-②，得，.
把代入①，得，.
所以，原方程組的解為
追問：這三個方法，哪個更為簡單？
答：第三個.
歸納：在解較為復雜的二元一次方程組時，可以先整理方程組后再解.
設計意圖：鞏固代入法和加減法解二元一次方程組，在此基礎上，提出新的問題，引導學生思考，總結出當解復雜的二元一次方程組時，先整理再選擇使用適合的方法解方程組.
應用舉例
例1 嘗試使用合適的方法解二元一次方程組：
答：，
由可得：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程組的解是．
例2 解方程組：．
答：
將化簡得：，
，得，
將代入，得，
方程組的解為．
追問：還有其他方法解方程組嗎？
答：將②代入①中，得，得，
將代入，得，
方程組的解為．
歸納：本題方程結構比較復雜，消元難以一步到位，但仔細分析兩個方程的系數特點，采用整體代人的方法較簡便.
例3 解二元一次方程組：.
答：
由①得，，③
將③代入②，得，解得.
將代入③，得.
方程組的解為．
追問：還有其他方法解方程組嗎？
答：設，則，
把代入，得，解得，
即，.
方程組的解為．
歸納：利用參數消元的目的是使多個未知數通過參數換元后變為含一個未知字母的式子，即使原來的方程組變為一元一次方程，從而降低了難度.這種參數消元的方法又稱為設k法或歸一法.
例4 已知方程組與方程組的解相同，求，的值．
答：
，得．解得．
把代入，得．
此方程組的解是
把，代入方程組得解得
歸納：利用同解方程（組）求字母參數的方法：
當幾個二元一次方程有公共解或兩個二元一次方程組同解時，可利用兩個不含有字母參數或通過運算可將字母參數消去的二元一次方程組成新的方程組，并求出新方程組的解，然后利用這個解得到關于字母參數的方程（組），解方程（組）進而求得字母參數的值．
設計意圖：在對如何選擇合適的方法解二元一次方程組的基礎上，通過層次漸進的四個例題，進一步學習不同的解二元一次方程組的方法．初步滲透“轉化”的數學思想.
課堂練習
1.解下列方程組：
答：(1)
①+②，得，所以.③
②-①，得.④
③+④，得，解得.
④-③，得，解得.
所以，原方程組的解為
(2)
方法一：將①代入②，得，，
將代入①，得，，
所以，原方程組的解為
方法二：方程組變形為,
④-③，得，，
將代入①，得，
所以，原方程組的解為
方法三：設，則，
把代入，得，解得，
即，.
所以，原方程組的解為
(3)
整理得
5×①，得，③
③-②，得，
將代入①，得.
所以，原方程組的解為
(4)整理，得
方法一：
③+④，得，，
將代入③，得，
所以，原方程組的解為
方法二：②-①，得，，
將代入①，得，
解方程組，解得
所以，原方程組的解為
2. 如果關于，的方程組的解滿足，則的值為 ．
答：方程組
得，．
因為，所以，解得．
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？
答：
設計意圖：通過小結，回顧本節課所學新知，加深印象．
課堂檢測
1. 選擇適當的方法解二元一次方程組：
答：
把代入得，解得．
把代入得，．所以方程組的解為；
原方程可變形為
得，，解得．
把代入得，解得．
所以原方程組的解為．
2. 解二元一次方程組：
答：方法一：
由①可得－x＋7y＝－4③，由②可得4x＋2y＝6④，
③×2－④×7，得－30x＝－50，解得
把代入③，得，解得，
∴原方程組的解是
方法二：整理，得
②-①，得，得，
把代入②，得，
解方程組，得
∴原方程組的解是
3.已知方程組和有相同的解，求的值．
答：解方程組得
把代入第二個方程組，
得解得
則．
4. 已知關于、的方程組給出下列結論：
是方程組的解；
無論取何值，，的值都不可能互為相反數；
當時，方程組的解也是方程的解；
在的條件下，，的值都為自然數的解有對，其中正確的有( )
A. B. C. D.
答：將，代入方程組得：，
由得，由得，故不正確．
解方程，
得：，
解得：，
將的值代入得：，
所以，故無論取何值，、的值都不可能互為相反數，故正確．
將代入方程組得：，
解此方程得：，
將，代入方程，方程左邊右邊，是方程的解，故正確．
因為，所以、都為自然數的解有，，，故正確．
則正確的選項有．
故選：．
設計意圖：通過練習，能恰當地選擇合適的方法解方程組，提高學生邏輯思維能力、計算能力.
實踐作業：請你根據生活實例，編一道應用二元一次方程組的問題并列出方程組解決問題.
本節課教學的是用合適的方法解二元一次方程組.在整節課教師始終堅持以學生為本，教師為輔的教學理念，結合學生的實際情況，從代入消元法、加減消元法延伸至選擇合適的方法.同學們從探究活動中體會選擇合適的方法，利用技巧將方程組中的兩個未知數轉化為一個未知數，把方程組的問題化為我們已經學過的一元一次方程的問題.代入法、加減法是解二元一次方程組的一種基本方法.讓學生經歷探索活動，積累探索經驗，激發了學生的學習興趣，激活了學生的思維.組織課堂提問，更加充分的調動學生的學習積極性、主動性，進而提高課堂學習效率.

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