資源簡介

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
11.1不等式
本節課內容是在學生掌握了有理數的大小比較、數軸、一元一次方程、二元一次方程之后進行學習的，為進一步發展學生的數形結合思想和研究不等式奠定了基礎，是初中階段學習的重點內容，具有承上啟下的作用.
學生對已知數的不等關系已經非常熟悉，但是學生還未接觸過含有未知數的比較，直接引入不等式可能對學生理解不等式的意義有些困難，教師要讓學生更加直觀的感受不等式的意義.
1.理解不等式的意義、知道不等號的讀法、寫法及表示的意義.
2.能根據實際問題找出數量之間的不等式關系，并能正確表示.
3.經歷從具體問題情境中建立不等式模型的過程，抽象出不等式的概念，建立模型觀念.
重點：能根據實際問題找出數量之間的不等式關系，并能表示
難點：經歷從具體問題情境中建立不等式模型的過程，抽象出不等式的概念
情境導入
活動一：展示圖片，引入新課．
小明與小亮進行百米訓練，兩人同時從起點出發，小明先到達終點.小明到達終點所用的時間為15.2s.如果小亮所用的時間為as，那么a與15.2是相等的數量關系嗎？如果不是，該用怎樣的關系來表示？
設計意圖：通過實際問題引入，增強趣味性，方便學生理解也更容易接受新的知識.培養學生觀察和概括的能力.
一起探究
活動二：探索不等式的定義．
問題1：“情境”中的a與15.2是怎樣的數量關系？
答：a>15.2
問題2：小明在某一周的零用錢為m元，他在這一周的支出情況如下表:
在略有節余的情況下，如何表示m與60之間的關系呢
為災區捐款 就餐 買文具 買冷飲
5元 50元 3元 2元
答：m>60.
問題3：某公路邊設有如圖所示的交通標志牌，這是對通行車輛載重和車速的限制標志.如果某一通行車輛的總質量為at，行駛速度為vkm/h，且符合通行的要求，那么應如何表示a，v的取值范圍呢
答：a≤20；v≤40.
探究：在公路上，有大、小兩輛卡車從甲地向乙地運貨.大卡車的行駛速度為60km/h，小卡車的行駛速度為80km/h，大卡車比小卡車早出發1 h.
1.如果設小卡車行駛的時間為x h，那么，它行駛的路程該如何表示？這時，大卡車行駛的路程又如何表示？
答：小卡車行駛路程表示為：80xkm
大卡車行駛路程表示為：60(x+1) km
2.小卡車超過大卡車后，它們所行駛的路程之間的關系應怎樣表示？
答：80x＞60(x+1)
3.完成下表：
小卡車行駛的時間x/h 小卡車行駛的路程/km 大卡車行駛的路程/km
1 80 120
2 160 180
3 240 240
4
5
6
…… …… ……
4.小卡車開出多少小時后趕上或超過大卡車
經探究，小卡車趕上和超過大卡車，兩車行駛路程的關系式分別為
.
由列表可知，當時，；
當時，.
即當時，.
師生活動：學生獨立思考，舉手回答問題，教師進行評價和講析.
設計意圖：從生活實例和已學知識出發探究新知，發展學生的模型觀念，提高學生分析問題、解決問題的能力.
思考：觀察式子它們有什么共同點？
答：所有式子都是用不等號連接而成.
歸納總結：
像這樣的式子都是用不等號連接而成的.我們把用不等號 “>”“<”“≥”“≤”等連接而成的式子叫作不等式.其中， “≥”表示 “不小于”，讀作 “大于或等于”；“≤”表示 “不大于”，讀作 “小于或等于”.
設計意圖：通過比較5個不等式，歸納出不等式的概念和不等號的概念.，發展學生的模型觀念，通過學生自己動手得出結論，發展學生分析問題解決問題的能力；使學生親自經歷獲取知識的過程，能提高對數學結論的認可程度.
應用舉例
例1 判斷下列式子是不是不等式：
(1)-3＜0； (2)； (3)x=3；
(4) ； (5)； (6).
分析：本題考查了不等式的定義，利用不等式的定義直接判斷即可.
解：(1)(2)(5)(6)是不等式；(3)(4)不是不等式.
師生活動：學生思考后獨立完成例題．
設計意圖：通過例1，讓學生加深對不等式定義的理解.
例2. 一輛勻速行駛的汽車在11：20距離某鎮50千米，要在12：00之前到達該鎮，問車速應滿足什么條件？
分析：
解:設車速是x千米/時
從時間上看，汽車要在12：00之前駛過A地，則以這個速度行駛50千米所用的時間不到小時，即①.
從路程上看，汽車要在12：00之前駛過A地，則以這個速度行駛小時的路程要超過50千米，即②.
師生活動：學生先獨立思考后，小組交流答案.
設計意圖：借助此題讓學生進一步體會不等式的含義，并初步領會列不等式的方法，為后續的學習做鋪墊.
方法總結：
列不等式時要審清題意，抓關鍵詞（如：低于、超過、最高、最低、最多、最少、至少、不高于、不低于、不大于、不小于），弄清不等關系，用符號（“＞”“＜”“≥”或“≤”）表示.
課堂練習
1.用不等式表示:
(1)y的3倍不小于8.
(2)m與10的和不大于m的一半.
(3)小明的體重為akg，小亮的體重為bkg，小明的體重不低于小亮的體重.
(4)某湖泊汛前水位是340cm，警戒水位是400cm.汛期，湖水平均每天上漲8cm，x天后湖水將超過警戒水位.
分析：本題考查了列不等式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.用不等式表示不等關系時，要抓住題目中的關鍵詞，如"大于(小于)、不超過(不低于)、是正數(負數)"至少"、最多等等，正確選擇不等號，因此建立不等式要善于從"關鍵詞"中挖掘其內涵，不同的詞里蘊含著不同的不等關系.
解：(1)； (2)；
(3)； (4).
2.用不等式表示:
(1)a是負數. (2)x比-1大.
(3)m與n的差不大于2. (4)x與-5的差是正數.
解：(1)； (2)；
(3)； (4).
3.某種藥品的說明書上貼有如圖所示的標簽.設一次服用藥品的劑量為x mg，請用不等式表示x的取值范圍.
解：
4.如圖，數軸上A，B兩點所表示的數分別為a，b.設C為數軸上的任意一點，它表示的數為c，請寫出c與a，b之間的大小關系.
分析：本題考查了列不等式，涉及數軸的概念，數軸上的點所表示的數，右邊的數總比左邊的數大.我們需要根據點C在數軸上相對于點A和點B的位置來分情況討論c與a、b之間的大小關系.
解：在數軸上，點C的位置有如下5種可能：
1.當點C在點A左側時
根據數軸上數的大小規律，左邊的數小于右邊的數，所以，又因為，所以.
2.當點C與點A重合時
此時點C表示的數c就等于點A表示的數a，即，而，所以.
3.當點C在點A和點B之間時
因為點C在點A、B之間，所以且，即.
4.當點C與點B重合時
點C表示的數c等于點B表示的數b，即，而，所以.
5.當點C在點B右側時
根據數軸上數的大小規律，右邊的數大于左邊的數，所以，又因為，所以.
綜上，當點C在點A左側時，；當點C與點A重合時，；當點C在點A和點B之間時，；當點C與點B重合時，；當點C在點B右側時，.
設計意圖：通過練習，學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握程度，調動全體學生學習數學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高.
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？說說你的體會.
設計意圖：通過學生對本節課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.
課堂檢測
1.用不等式表示下列數量關系:
(1)x的2倍與3的和小于15.
(2)y的一半與1的差是負數.
(3)3x與1的和不小于6.
解：(1)；
(2)；
(3).
2.用不等式表示下列問題中的數量關系:
(1)長為a，寬為a-2的長方形的面積小于邊長為a+1的正方形的面積.
(2)一輛40座(不含司機座位)的公交車內載有乘客x人，到某一站停車時下車2人，又上車a人，車內仍有空余座位.
解:(1).
(2).
3.小明家距新華書店8km.他于星期日上午8:30從家里出發騎車前往書店購書，先以15km/h的速度行駛了xh后，又以18km/h的速度繼續行駛，結果在9:00之前趕到了書店.請列出相應的不等式.
解：依題意，前后兩段共用時間小于半小時，于是不等式可表示為
.
4.某超市在春節期間搞促銷活動，促銷方式如下:
一次性購物的金額 促銷方式
不超過200元 全部九折
超過200元 不超過200元的部分九折，超過200元的部分八折
某顧客在該超市一次性購得標價為x元的商品.
(1)該顧客得到的優惠不超過18元.請列出不等式.
(2)該顧客得到的優惠超過30元.請列出不等式.
解：(1)；(2).
實踐作業：分別測量你與同桌的身高，并用不等式來表示你們身高之間的關系.
本節課我引導學生的自主探究活動，教給學生從具體問題情境中建立不等式模型，抽象出不等式的概念，培養學生善于動手、善于觀察、善于思考的學習習慣，利用學生的好奇心設疑、解疑，組織活潑互動、有效的教學活動，學生積極參與，使學生在自主探索和合作交流中理解和掌握本節課的內容.
課堂開始通過找規律引入課題，激發學生的學習興趣以及積極性.通過簡單的問題引導學生通過探究得出不等式的定義，然后通過例題及練習根據題意列不等式的思路，在這一環節上，留給學生充足的時間思考，培養學生分析問題、解決問題的能力.

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