資源簡介

第十章 三角形
10.1三角形的邊
本節課《三角形的邊》是冀教版初中數學七年級下冊第十章第1節的內容.“三角形的邊”，本節課主要目的是讓學生更進一步了解三角形的特征、性質，為今后學習多邊形做好準備.在學習的過程中，從實際出發，通過觀察分析、動手操作、邏輯推理，探究、比較以及推斷等過程得出三角形的特征、性質，提升學生幾何直觀素養及推理能力.
本節課是學生在之前已學過三角形的初步知識以及對三角形的表象認識的基礎，進一步學習三角形的特征、性質.本課設計的思路是學生通過了解三角形的定義，進而質疑三角形的三邊長度有沒有一定的規律，通過觀察分析、比較以及推斷等過程，得出三角形的三邊的關系. 對學生的邏輯推理和知識運用能力要求較高，可能只有少數基礎扎實、思維活躍的學生能夠順利解決，多數學生需要教師的引導和進一步的練習鞏固。
1.理解三角形概念及其要素，認識三角形的邊，內角，頂點，能用符號語言表示三角形.
2.證明三角形兩邊的和大于第三邊，并能運用它解決有關問題.
3.了解等腰三角形的相關概念，掌握利用邊的長短對三角形進行分類的方法.
4.經歷探索三角形三邊關系的過程，提高運用數學知識解決實際問題的能力，運用幾何語言有條理的表達能力，提高觀察、思考、抽象概括的能力以及動手操作的能力.
重點：理解三角形及其要素，探究并掌握三角形的三邊關系，會根據三條線段的長度判斷它們是否構成三角形.
難點：會利用三角形的三邊關系解答等腰三角形的相等問題.
情景導入
問題1：(1)請大家仔細觀察這組圖片，看看主要是有哪種幾何圖形構成的？
(2)在我們的生活中有沒有這樣的形象呢？試舉例.
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
答：(1)三角形. (2)三明治，埃菲爾鐵塔，自行車等等.
設計意圖：通過觀察生活中常見物體的圖片引入，增強學生的代入感，讓學生能夠感知三角形，為后面引出三角形的概念作鋪墊.
一起探討
問題2：觀察三角形的形成過程，說一說什么叫三角形.
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果；討論時間2分鐘.教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結，教師補充.
規則：1.以小組形式匯報展示 +2分；2.正確回答 +2分；3.補充質疑 +2分
答：由三條線段首尾順次相接所構成的圖形叫作三角形.
追問：同一條直線上首尾相接的三條線段能構成三角形嗎？
答：不能.
歸納：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構成的圖形叫作三角形.
線段AB，BC，AC叫作三角形的邊；點A，B，C叫作三角形的頂點；∠A，∠B，∠C叫作三角形的內角(簡稱三角形的角).以點A，B，C為頂點的三角形記為△ABC，讀作“三角形ABC”.三角形的邊有時也用小寫字母來表示.一般地，△ABC的頂點A，B，C的對邊分別用a，b，c表示.
問題3：(1)嘗試使用小棒動手操作，試以下兩組能否構成三角形.
①2cm，3cm，5cm；②2cm，3cm，4cm.
(2)三角形的兩邊之和與第三邊有怎樣的大小關系？
(3)任意畫一個△ABC，請將(2)的猜想寫成命題的形式，并嘗試證明.
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間2分鐘.
答：(1)經過實踐①不能擺出三角形，②能擺出三角形；
(2)發現，如果較短的兩根的和大于最長的第三根，就能構成三角形.
(3)已知△ABC，則 AC+BC>AB，AB+AC>BC，AB+BC>AC.
是線段，
（兩點之間，線段最短）.
同理，是線段，
.
是線段，
.
歸納：三角形的任意兩邊之和大于第三邊.
追問：三角形任意兩條邊之差與第三邊有什么樣的關系？
答：，
，
，
三角的任意兩邊之差小于第三邊.
設計意圖：以情境創設來引發學生對三角形的三邊關系的深入理解.為學生提供探索與交流的時間與空間，同時注重數學的實際應用，使學生體會到數學的應用價值及其學習數學的重要性、必要性.
問題4：已知一個三角形的最小邊為2cm，另兩邊分別為6cm和acm.
(1)那么a的取值范圍是什么？
(2)當a=6時，是否可以構成三角形？如能構成三角形，則三角形有什么特征？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
答：(1) 6-2(2)可以構成三角形，此時有兩個邊相等.
歸納：我們把兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，相等的兩邊叫作腰；把三邊都相等的三角形叫作等邊三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形.
三角形按邊可分類如下：
應用舉例
例1 如圖，圖中三角形的個數共有（ ）
A. B. C. D.
答：圖中是三角形的有：△AOC，△BOD，△AOB，△ABC，△ABD．
故選C．
例2 下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A. B.
C. ， D.
答：根據三角形三邊關系可知，三角形兩邊之和大于第三邊．
A.，不能組成三角形；
B.，不能組成三角形；
C.，不能組成三角形；
D.，能組成三角形．
故選D．
歸納：三角形兩邊之和大于第三邊．即：兩條較短的邊的和大于最長的邊.
例3 若等腰三角形的兩邊長分別是和，則這個等腰三角形的周長是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
答：當是腰長時，能組成三角形，此時這個等腰三角形的周長是；
當是腰長時，能組成三角形，此時這個等腰三角形的周長是．
則這個等腰三角形的周長是或．
故選．
設計意圖：在對三角形的概念、三邊關系已有認識的基礎上，通過舉例應用，學生會更深刻理解和掌握三角形的概念和三邊關系.
課堂練習
1. 請找出圖中所有的三角形，并把它們寫出來.
答：共有8個三角形，分別為：△AOB、△COD、△BOC、△AOD、△ABD、△BCD、△ABC、△ACD．
2. 已知長度分別為和的兩條線段.在長度為1，2，3，4，5，6，7，8，9的線段中，哪些線段能和已知的兩條線段構成三角形，哪些線段不能？
答：3，4，5，6，7長的線段和已知的兩條線段構成三角形.
理由如下：設選擇的長度為x，由三角形的三邊關系得，因此可以構成三角形的長度是3，4，5，6，7. 不能構成三角形的線段有：1，2，8，9．
3. 已知是的三條邊長，化簡的結果為（ ）
A. B. C. D.
答：因為是的三條邊長，所以，
所以．
故選D．
4. 等腰三角形的兩條邊長分別為和，則這個等腰三角形的周長是 ．
答：若為腰長，為底邊長，由于，則三角形存在
若為腰長，為底邊長，由于，則三角形存在
所以這個三角形的周長為或，
這個等腰三角形的周長是或．
故答案為或．
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？
設計意圖：通過小結，回顧本節課所學新知，加深印象．
課堂檢測
1. 已知，則圖中共有__ ___個等腰三角形，___ __個等邊三角形．
解：
為等腰三角形.
為等邊三角形.
故答案為4；1.
2. 下列各組中的三條線段能組成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
解：、，不能組成三角形；
B、，不能組成三角形；
C、，能夠組成三角形；
D、，不能組成三角形．
故選C．
3. 一個三角形的兩邊長分別是和，且第三邊長為整數，這樣的三角形周長最大的值為（ ）
A. B. C. D.
解：設第三邊為，
根據三角形的三邊關系，得：，即，
為整數，
的最大值為，
則三角形的最大周長為．
故選．
4. 若實數滿足等式，且恰好是等腰三角形的兩條邊的長，則的周長是（ ）
A. B. C. 或 D.
解：，
，
解得．
當腰長為時，三邊長為，不符合三角形三邊關系；
當腰長為時，三邊長為，符合三角形三邊關系，此時周長為．
故選B．
5. 若一個三角形三邊長均為偶數，則稱這個三角形為“好運三角形”例如，三邊為的三角形是“好運三角形”．
在中，，若為“好運三角形”，求的長；
已知的周長為，若的長為偶數，試判斷是否為“好運三角形”．
解：(1)∵BC-AB＜AC＜BC+AB，
∴4-2＜AC＜4+2，即2＜AC＜6，
∵△ABC為“好運三角形”，
∴AC為偶數，
∴AC＝4；
(2)設AB＝x（x為偶數），則BC＝12-x，
∴
解得4＜x＜8，
∵x為偶數，
∴AB＝x＝6．
∴BC＝12-6＝6，
又∵AC＝4，
∴△ABC是“好運三角形”．
設計意圖：通過學生的練習，使教師及時了解學生對三角形的概念及三邊關系的應用情況，以便教師及時對學生進行矯正．
實踐作業：用一條長為18 cm的細繩圍成一個等腰三角形，如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？能圍成有一邊的長是4 cm的等腰三角形嗎？為什么？
本節課教學的是三角形的定義、構成、分類及三邊之間的關系.在整節課教師始終堅持以學生為本，教師為輔的教學理念. 結合學生已有的幾何知識基礎，從生活中常見的三角形實例入手，引導學生觀察并思考三角形邊的特征，自然地引出本節課關于三角形邊的研究問題，學生能夠憑借已有的直觀認知初步參與思考。將三角形三邊關系這一難點，通過讓學生親自動手用不同長度的小棒擺三角形，在操作過程中去發現、總結規律。學生們在小組交流中積極發表看法，自主探索出三角形任意兩邊之和大于第三邊的結論。讓學生經歷探索活動，積累探索經驗，激發了學生的學習興趣，激活了學生的思維。通過運用結論解決問題，初步培養了學生的推理能力，提高了應用能力。組織課堂提問，鼓勵學生積極回答，充分調動了學生學習的積極性與主動性，有效提升了課堂學習效率。

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