資源簡介

第六章 二元一次方程組
6.3二元一次方程組的應用
第1課時
《二元一次方程組的應用》是在介紹了二元一次方程組的概念及其解法之后的一節，它是通
過多個由建立二元一次方程組解決實際問題，讓學生進一步感受方程模型解決實際問題的思想， 同時，為今后學習一般線性方程及平面解析幾何等知識打下基礎.
在此之前，學生已經能用算術法和一元一次方程解決實際問題，具備一定的分析問題能力，同時也掌握了二元一次方程組的解法，但在解決實際問題時，學生有時會因思維定勢把思維方向定在算術方法或一元一次方程方法上
1.掌握二元一次方程組的兩種解法，培養計算的能力.
2.理解實際問題題意，并正確列出二元一次方程組，培養抽象概括的能力.
3.掌握解決應用題的規范步驟，培養分析問題、解決問題的能力.
4.能夠運用二元一次方程組解決一些簡單的實際問題，提高數學應用能力.
重點：理解實際問題題意，并正確列出二元一次方程組，培養抽象概括的能力
難點：掌握解決應用題的規范步驟，培養分析問題、解決問題的能力
情境導入
活動一：展示圖片，導入新課．
3月12日是我國的植樹節.這一天,某校七年級共有240名學生參加義務植樹活動.如果平均每人每天挖樹坑6個或植樹10棵,那么怎樣安排學生才能使這一天挖出的樹坑全部栽上樹苗
設計意圖：通過身邊的例子引入，增強趣味性，方便學生理解也更容易接受.培養學生觀察和概括的能力.
一起探究
活動二：嘗試求解情境中的問題．
問題1：在上面的問題中,有兩個等量關系，這兩個等量關系是什么？
答：挖樹坑的人數+植樹的人數=240
挖樹坑的人數×6=植樹的人數×10.
問題2：如果設每天安排x名學生挖樹坑,y名學生植樹,那么列出的二元一次方程組是怎樣的
答：.
問題3：請你試著解出2中所列的二元一次方程組，并和同學們進行交流
答：
將①變形為x=240-y, ③
將③代入②,得6(240-y)=10y
解這個方程,得y=90.
將y=90代入①,得x=150.
所以方程組的解為
.
活動三：探索情境中問題的不同解法
問題5：你與小明的解答一樣嗎 還有沒有其他解法？
師生活動：小組內交流自己的想法，互相修改達成共識，并做好發言準備.
設計意圖：解決了情境中的問題之后，再讓學生思考其他解法，發散思維，培養學生分析問題解決問題的能力，同時培養他們的團隊合作意識.
應用舉例
例1 某車間有工人660名，生產甲、乙兩種零件.已知每人每天平均生產甲種零件14個或乙種零件20個，1個甲種零件與2個乙種零件為一套.如何調配人員可使每天生產的兩種零件剛好配套？
分析：本題中的等量關系是：
生產甲零件的人數+生產乙零件的人數=660；
生產的甲零件數×2=生產的乙零件數.
解：設x人生產甲零件，y人生產乙零件，
根據題意，得
解這個方程組，得
答：275人生產甲零件，385人生產乙零件.
設計意圖：通過例題讓學生感受通過對題意的理解，得到等量關系，從而得到二元一次方程組的過程，熟悉利用二元一次方程組解決實際問題的步驟.
例2. 小華4年后的年齡與小麗4年前的年齡相等.3年后,她們兩人的年齡和等于她們年齡差的3倍.求小華和小麗今年的年齡.
（1）找出本題中的等量關系.
（2）適當設未知數，列出方程組.
（3）解這個方程組，并回答上面提出的問題.
分析：本題中的等量關系是：
小華的年齡+4=小麗的年齡-4；
小華的年齡+小麗的年齡+6=(小麗的年齡-小華的年齡)×3
解：設小華今年x歲，小麗今年y歲.根據題意，得
解這個方程組，得.
答：小華今年5歲，小麗今年13歲.
師生活動：學生板演解題過程，時間3分鐘，并講解自己是如何解答的.
設計意圖：繼續熟練用二元一次方程組解決實際問題,加強學生的審題能力，對于不夠明確的等量關系，需要學生反復讀題挖掘題意背后的數量關系，培養學生解決問題的能力.
歸納：用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：
（1）審題，找出數量關系
（2）設兩個未知數
（3）列方程組
（4）解方程組
（5）寫出答語.
課堂練習
1.現有一個110人的旅游團入住某賓館,恰好住滿了50間客房.如果這50間客房中既有雙人間,又有三人間,那么他們所住的雙人間和三人間客房分別為多少間
解：設他們所住的雙人間有x間，三人間有y間，
根據題意，得
解這個方程組，得.
答：他們所住的雙人間有40間，三人間有10間.
2.小明和小亮比年齡.小明說: “再過4年,我就和你現在一樣大.”
小亮說:“再過4年,我就是你現在年齡的2倍.”根據小明和小亮的對話,
求他們現在的年齡.
解：設小明現在x歲，小亮現在y歲.
根據題意，得 ，
解這個方程組，得.
答：小明現在8歲，小亮現在12歲.
3.化肥廠往某地區發運了兩批化肥，第一批裝滿了9節火車車廂和25輛卡車，共運走了640噸；第二批裝滿了12節火車車廂和10輛卡車，共運走了760噸。平均每節火車車廂和每輛卡車分別裝運化肥多少噸？
分析： 本題中的等量關系是：
第一批，9節火車車廂運貨噸數+25輛卡車運貨噸數=640；
第二批，12節火車車廂運貨噸數+10輛卡車運貨噸數=760.
解：設平均每節火車車廂裝運化肥xt，每輛卡車裝運化肥yt，
根據題意，得
解這個方程組，得.
答：平均每節火車車廂裝運化肥60t，每輛卡車裝運化肥4t.
4.一千零一夜中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對地上的覓食的鴿子說：“若從你們中飛上來只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的；若從樹上飛下去只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多了．”你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？
解：設樹上有只鴿子，樹下有只鴿子．
由題意可：
整理可得：，
解之可得：．
答：樹上原有只鴿子，樹下有只鴿子．
設計意圖：通過練習，讓學生熟練掌握利用二元一次方程組解決實際問題的步驟，并能夠靈活運用，培養學生的思維能力.
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？說說你的體會.
用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：
（1）審題，找出數量關系
（2）設兩個未知數
（3）列方程組
（4）解方程組
（5）寫出答語.
設計意圖：通過學生對本節課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.
課堂檢測
1.某校三班40名同學為“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情況如表：
捐款y（元） 1 2 3 4
人數（人） 6 7
表格中捐款2元和3元的人數不小心被墨水污染已經看不清楚．
若設捐款2元的有x名同學，捐款3元的有y名同學，根據題意，可得方程組( )
B. C. D.
分析：本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．
解：由題意可得，
，
化簡，得
，
故選：．
2.《九章算術》是我國古代數學著作,它在代數方面的成就主要包括開方
術、正負術和方程術.《九章算術》中記載:“今有牛五、羊二,直金十兩;牛二、羊五,直金八兩.問牛、羊各直金幾何 ”譯文: “假設有5頭牛、2只羊,值金10兩;2頭牛、5只羊,值金8兩.問每頭牛、每只羊各值金多少兩 ”
請列方程組解答上面提出的問題.
解：設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，
依題意，得:， 解得，
答:每頭牛值金兩，每每只羊值金兩.
3.去年春季,蔬菜種植場在15公頃的大棚地里分別種植了茄子和西紅柿,總費用是265000元.其中,種植茄子每公頃的費用是17000元,種植西紅柿每公頃的費用是18000元.已知每公頃茄子可獲利24000元,每公頃西紅柿可獲利26000元.那么,茄子和西紅柿的種植面積各為多少公頃 種植場在這一季共獲利多少元
分析：設茄子的種植面積為m公頃，西紅杮的種植面積為n公頃,根據種植15公頃大棚的費用為265000元，即可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結論;根據總收益=每公頃的收益x種植公頃數，即可求出結論.
解：設茄子的種植面積為m公頃，西紅柿的種植面積為n公頃，
依題意，得:， 解得，
種植場在這一季共獲利24000×5+26000×10=380000(元)
答:茄子的種植面積為5公頃，西紅柿的種植面積為10公頃，種植場在這一季共獲利380000元.
4.我國是水資源相對缺乏的國家之一，水資源的人均占有量比世界人均占有量少6600，僅是世界人均占有量的.分別求我國和世界水資源的人均占有量.
解：設世界水資源的人均占有量為，我國水資源的人均占有量為.
根據題意得，
解得.
答：世界水資源的人均占有量為，我國水資源的人均占有量為
實踐作業：拿14元錢去超市買5斤糖果，假設水果糖2元一斤，什錦糖3元一斤，看看兩種糖果各買多少斤？與你的預期是否相同？
在每個知識點都設置小組溝通這一環節，溝通的內容有對新學問的探究、對問題的理解、計算方法及體會、學生相互糾錯等(避開滿堂溝通，沒有目的的溝通，老師要賜予必要的引導，讓學生在有價值有目標的溝通，關注每個學生的參加狀況，并給以指導).通過學生學習小組溝通,增加了每個學生的參加意識,同時通過說明、推斷和對自己思想進行口頭和書面的表達加深對概念和原理的理解學生之見的合作溝通，不僅是使學生獲得必要的學科學問，對于提高每個學生的口頭表達實力及數學語言的規范及交際實力、合作意識的培育起到了很大的作用.

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