資源簡介

第六章 二元一次方程組
6.3二元一次方程組的應用
第2課時
本節內容是二元一次方程組應用，初步向學生滲透化“未知”為“已知”和化復雜問題為簡單問題的化歸思想，會根據具體問題中的數量關系列出二元一次方程組并求解.因此，在本節教學中，引導學生自己分析題意找出題目中的等量關系來建立數學模型(方程組)是解決實際問題的關鍵，也為后面的實踐與探索做好準備.
從學生心理特征來說，現階段的學生抽象邏輯思維能力在逐漸提高.觀察能力，記憶能力和思考能力也隨著迅速開展，但學生課堂自我展示欲、求知欲不如六年級，所以可通過小組合作討論調動學生熱情度和參與度.從學生認知特點來說，學生已初步掌握了本章知識，他們已經能比較熟練的求出二元一次方程組解，知道用二元一次方程組表示等量關系，同時，七年級學生已具備根本的生活常識，具有一定的數量判斷能力，能準確地找出等量關系
1.使學生學會借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，讓學生再次體會二元一次方程組與現實生活的聯系和作用.
2.通過應用題的教學使學生進一步使用代數中的方程去反映現實世界中的等量關系，體會代數方法的優越性
3.進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力.
重點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力
難點：正確地找出應用題中的兩個等量關系，并把它們列成方程
情境導入
利用二元一次方程組解決問題的基本過程
審，設，列，解，驗，答
設計意圖：通過回顧已有知識引出新課，方便學生理解也更容易接受.
一起探究
小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路. 假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.問小華家離學校多遠？
分析：小華到學校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.
走平路的時間+走下坡的時間=10，
走上坡的時間+走平路的時間=15.
方法一（直接設元法）
解：設小華家到學校平路長xm，下坡長ym.
問題1：上學時，平路時間和坡路時間各是多少？
答：平路時間是和下坡路時間是.
問題2：放學時，平路時間和坡路時間各是多少？
答：平路時間是和下坡路時間是.
根據題意，可列方程組：
解方程組，得
300+400=700
所以，小華家到學校的距離為700m.
方法二（間接設元法）
解：設小華下坡路所花時間為 x min，上坡路所花時間為 y min.
問題3：上學時，平路距離和坡路距離各是多少？
答：平路距離是60(10 x)，坡路距離是80y.
問題4：放學時，平路距離和坡路距離各是多少？
答：平路距離是60(15 y)，坡路距離是40y
根據題意，可列方程組：
解方程組，得
故 平路距離：60×（10-5）=300（m）.
坡路距離：80×5=400（m）.
300+400=700
所以，小華家到學校的距離為700m.
某工廠去年的利潤(總產值-總支出)為200萬元，今年總產值比去年增加了20％，總支出比去年減少了10％，今年的利潤為780萬元.去年的總產值、總支出各是多少萬元
分析：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則有
總產值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元
去年 x y 200
今年 (1+20％)x (1-10％)y 780
思考：你能找出題目中的等量關系嗎？
去年的總產值-去年的總支出=200萬元，
今年的總產值-今年的總支出=780萬元 ．
解：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則有
解得.
因此，去年的總產值是2000萬元，總支出是1800萬元.
設計意圖：通過具體實例，幫助學生理解行程問題與增長率問題的解法，培養學生的團隊意識與分析問題解決問題的能力.
應用舉例
例1 去年秋季，某校七年級和高中一年級招生總入數為500名，計劃今年秋季七年級招生人數增加20%，高中一年級招生人數增加15%，這樣，今年秋季七年級和高中一年級招生總人數比去年招生總人數增加18%.今年秋季七年級和高中一年級各計劃招生多少名
分析： 本題中的等量關系是：
去年七年級人數+去年高中一年級人數=500；
今年七年級人數=去年七年級人數×(1+20%)；
今年高中一年級人數=去年高中一年級人數×(1+15%)；
今年七年級人數+今年高中一年級人數=500×(1+18%).
解：設去年七年級招生x名，高一年級招生y名，
根據題意，得
整理，得
解得.
所以(1+20%)x=(1+20%)×300=360，
(1+15%)x=(1+15%)×200=230.
答：今年秋季七年級計劃招生360名，高一年級計劃招生230名.
探究：請你將今年兩個年級計劃招生人數設為未知數，列方程組解答例題中的問題，并與上面的解答過程比較，看看哪種解法較簡便些.
解：設今年七年級招生x名，高中一年級招生y名.則去年七年級招生人數為，高中一年級招生人數為 .
根據題意，得
解得.
答：今年秋季七年級計劃招生360名，高中一年級計劃招生230名.
設計意圖：通過例題讓學生感受通過對題意的理解，得到等量關系，從而得到二元一次方程組的過程，熟悉利用二元一次方程組解決實際問題的步驟.
例2. 我國高速鐵路飛速發展，為了解“復興號”列車的長度和行駛速度，小明所在的學習小組開展了一次課外探究活動.他們分工合作，在一架3150m長的鐵路橋附近進行了觀察測量和計算：“復興號”列車從開始上橋到完全過橋的時間約為42.5s：列車完全在橋上的時間約為32.5s你能根據該小組同學獲得的數據求出復興號”列車過橋時的速度和列車的長度嗎
分析：若設火車的速度為xm/s，火車的長度為ym，本題的等量關系是：
火車42.5s內所行路程=橋長+火車長；
火車32.5s內所行路程=橋長－火車長.
解：設火車的速度為xm/s，火車的長度為ym，
根據題意，得
解這個方程組，得
答：火車的速度為84m/s，火車的長度為420m.
師生活動：教師放“完全過橋”和“整列火車在橋上”的動畫”幫助學生理解題意.學生找等量關系，教師巡視指導，學生講述自己的想法，教師引導同學們進行評價.
設計意圖：繼續熟練用二元一次方程組解決實際問題，加強學生的審題能力，對于不夠明確的等量關系，需要學生反復讀題挖掘題意背后的數量關系，培養學生解決問題的能力.
歸納：用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：
（1）審題，找出數量關系
（2）設兩個未知數
（3）列方程組
（4）解方程組
（5）寫出答語.
課堂練習
1.甲、乙兩人在400m的環形跑道上練習賽跑.若兩人同時同地反向跑，則經過25s第一次相遇；若兩人同時同地同向跑，則經過250s甲第一次追上乙.甲、乙兩人的速度各是多少
分析：根據題意，設甲、乙二人的速度分別為x、y，甲、乙同時同地反向跑第一次相遇時，甲的路程加上乙的路程等于環形跑道的一圈，即25x+25y= 400；甲、乙同時同地同向跑第一次相遇時，甲的路程減去乙的路程等于環形跑道的一圈 ，即250x－250y= 400；然后組成二元一次方程組，再解方程組即可.
解：設甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，
由題意可得，， 解方程組得
答：甲每秒跑米，乙每秒跑米．
2.某公司甲、乙兩個銷售點1月份的總銷售額為50000元.2月份，甲銷售點的銷售額比1月份增加了5%，乙銷售點的銷售額比1月份增加了7.5%.這樣，兩個銷售點2月份比1月份共增加銷售額3000元.兩個銷售點1月份的銷售額分別是多少
解：設甲銷售點1月份的銷售額為x元，乙銷售點1月份的銷售額為y元.
根據題意，得 ，解這個方程組，得.
答：甲銷售點1月份的銷售額為30000元，乙銷售點1月份的銷售額為20000元.
3.一艘船在某河道上航行，已知順水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h.該船在靜水中的速度與該河的水流速度分別是多少
解：設船在靜水中的速度為x千米/時，水流速度為y千米/時，
根據題意，得
解這個方程組，得.
答：船在靜水中的速度為14千米/時，水流速度為1千米/時.
4.甲、乙兩車相距100km，兩車同時出發.如果同向而行，乙車經過4h可追上甲車；如果相向而行，兩車經過0.8h相遇.求甲、乙兩車的速度.
解：設甲車的速度為x千米/時，乙車的速度為y千米/時，
根據題意，得
解這個方程組，得.
答：甲車的速度為50千米/時，乙車的速度為75千米/時.
設計意圖：通過練習，讓學生熟練掌握利用二元一次方程組解決實際問題的步驟，并能夠靈活運用，培養學生的思維能力.
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？說說你的體會.
設計意圖：通過學生對本節課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.
課堂檢測
1.學校閱覽室整理一批圖書，如果一個人單獨做，要用才能完成.現由兩組同學共同參與此項工作，第一組整理了，第二組整理了，恰好完成工作.如果每個人的工作效率都相同，且第二組比第一組多人，那么第一組、第二組各有多少人
解：設第一組有人，第二組有人.
由題意可得，， 解方程組得
答：第一組有9人，第二組有14人．
2.某超市店慶期間所有商品均打a 折出售.打折前，買5件甲商品和2件乙商品需要44元，買3件甲商品和4件乙商品需要32元；打折后，買10件甲商品和20件乙商品需要96元.求a的值.
解：設打折前甲商品每件x元，乙商品每件y元.
由題意可得，， 解方程組得
所以，打折前甲商品每件元，乙商品每件元.
依題意，解得
答：的值為8．
3.
解：設小明答對的題目有x道，答錯的題目有y道.
由題意可得，， 解方程組得.
不答的題有：(道)
答：小明答對的題目有19道，答錯的題目有2道，不答的題目有4道.
4.某酒店有三人間、雙人間的客房，三人間每天每間元，雙人間每天每間元，為了吸引游客，實行團體入住五折優惠措施，一個人的旅游團優惠期間到該酒店入住，住了一些三人間和雙人間客房，若每間客房正好住滿且一天共花去住宿費元，則該旅行團住了三人間和雙人間客房各多少間？
分析：本題中的等量關系有兩個：三人間所住人數二人間所住人數人；三人間費用二人間費用，據此可列方程組求解．
解：設三人間和雙人間客房各間、間，
根據題意，得，
解得．
答：該旅行團住了三人間和雙人間客房各間、間．
實踐作業：我國民間流傳著許多趣味算題，它們多以順口溜的形式表達，請看這樣的一個數學問題：一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一梨，一人兩個少二梨，請問君子知道否，幾個老頭幾個梨 請你猜想一下：幾個老頭幾個梨
本節課的教學中，為了突破重難點，我主要讓學生通過獨立思索、自主探究、合作溝通、估算驗證等學習方式，在思索、溝通等數學活動中，養成學生嚴謹的思維方式和良好的學習習慣，在解決這些實際問題當中，我充分表達了以學生進展為本，讓學生積極參加并且有效參加的新課程理念，在這樣的理念指導下，我充分把時間留給學生，把講臺留給學生，注意學生情感價值觀的培育，發揚教學民主，發揮了學生的主動意識．因為在上一節課中學生已經學習用列方程組的方法來解決具體實際問題，所以本節課探究環節學生自然想到列方程組的方法，而且學生還嘗試用不同的設元方法解題，擴展了學生的思維，讓學生體驗解題時有方法、方法多、方法好，從而樹立了學生學習的信念，激發了學生學習的積極性，讓學生真正成為學習的主人.

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