資源簡介

第七章 相交線與平行線
1 兩條直線的位置關系
第2課時 兩條直線垂直
一、教學目標
1.通過畫、折等活動，進一步豐富對兩條直線互相垂直的認識，掌握兩條直線互相垂直的符號表示.
2.能通過具體情境說出并掌握垂直和垂線的概念.
3.會借助三角尺、量角器、方格紙畫垂線，積累操作活動經驗.
4.通過操作活動，探索并了解有關兩條直線互相垂直的一些性質，理解“垂線的性質”、“垂線段最短”的性質以及點到直線的距離.
二、教學重難點
重點：理解并掌握垂線的概念及性質，了解點到直線的距離.
難點：能夠運用垂線的概念及性質進行運算并解決實際問題.
三、教學用具
電腦、多媒體、課件、教學用具等.
教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
教師活動：教師提出問題，引導學生思考回答.
問題1：①在同一平面內，兩條直線的位置關系有 和 兩種.
②若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為 .
③在同一平面內，不相交的兩條直線叫做 .
預設：①相交；平行
②相交線；③平行線
對頂角的性質：對頂角相等.
∠1=∠2 （或 ∠3=∠4）
問題2：下列說法正確的有(　　)
①對頂角相等；②相等的角是對頂角；
③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；
④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不
相等．
A．1個　 B．2個　
C．3個　 D．4個
預設：B.
余角和補角的性質：
同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.
教師補充：同角：是一個角；等角：是兩個角.
問題3：如圖，已知：直線AB與CD交于點O， ∠EOD=90°，回答下列問題：
(1)∠AOE的余角是 ；補角是 ；
(2)∠AOC的余角是 ；補角是 ；對頂角是 .
預設：(1) ∠AOC；∠BOE；
(2)∠AOE；∠BOC；∠BOD．
設計意圖：通過對已有知識的復習，學生能很快地進入到下一個知識點的探究中去.
環節二 探究新知
【觀察思考】
教師活動：教師重視學生的課堂參與，讓學生在活動中自主探究以及與同伴交流，有條理的進行思考和表達思考的過程，獲得分析問題和解決問題的能力.
觀察圖片，你能找出其中相交的線嗎？它們有什么特殊的位置關系？
預設：
追問：你還能舉出哪些例子呢？
垂直的定義：
兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直.
其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足.
注意：兩條線段互相垂直是指這兩條線段所在的直線互相垂直.
垂直的表示方法：
通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直.如圖，直線AB與直線CD垂直.
記作：AB⊥CD
讀作：AB垂直于CD ，垂足為O.
直線l與直線m垂直，
記作：l⊥m，垂足為O．
【注意】“⊥”是“垂直”的記號，而“┐”是圖形中“垂直”(直角)的標記.
垂直的性質、定義判定的應用格式:
∵AB⊥CD
∴∠1=90 °
線線垂直 直角(90°)
∵∠1=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直的定義)
直角(90°) 線線垂直
設計意圖：數學來源于生活，引導學生從身邊熟悉的圖形出發，既復習了上一節課的知識點——兩條直線的位置關系，又體會到生活中大量存在特殊的相交線—垂直，在比較中發現新知，加深了學生對垂直和平行的感性認識，感受垂直“無處不在”，進而引出兩條直線互相垂直、垂足的概念，給出兩條直線互相垂直的符號表示.同時也使學生充分體驗到現實世界的美來源于數學的美，在美的享受中進入新知識的殿堂.
【思考交流】
(1)如圖 ，O為直線 AB上一點，∠AOC=∠BOC，那么OC與AB垂直嗎 為什么
(2)以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎 你知道她每一步的依據嗎 與同伴進行交流．
小穎的思考過程如下:
由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°（平角的定義），
可得∠AOC=∠BOC=90°（等角的性質），
所以 OC⊥AB．（垂直的定義）
(3)如果OC⊥AB ，那么∠AOC=∠BOC嗎，為什么
預設答案：由OC⊥AB，
根據垂直的定義，
可得∠AOC=∠BOC=90°．
【操作思考】
教師活動：鼓勵學生探索畫垂線的方法，積累數學活動經驗.方法不唯一，只要正確、可操作即可.
（1）你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看！
1.折疊長方形紙片的一個角；
2.沿1中的折痕對折，使它與1中的折痕互相重合；
3.展開長方形紙片，則兩次折疊所形成的折痕互相垂直.
（2）如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？
教師提示：方格紙是由小正方形構成！
設計意圖：通過畫、折等活動，進一步豐富對兩條直線互相垂直的認識，掌握有關的符號表示.讓學生經歷思考、實踐猜想，動手驗證等過程，不僅加深對“垂直”的理解，而且感受到“做數學”的樂趣，從而享受到成功的喜悅，形成探索新知的內驅力!
【嘗試思考】
教師活動：指導學生獨立完成，然后請學生上臺展示自己所做的題目.教師鼓勵學生運用自己的語言描述所得到的結論.
（1）如圖，已知直線 l ，用三角板畫直線 l 的垂線，你能畫出多少條？
總結：這樣畫l的垂線可以畫無數條.
（2）如圖，點 A 在直線 l 上，過點 A 畫直線 l 的垂線，你能畫出多少條？
總結：這樣畫 l 的垂線可以畫一條.
（3）如果點 A 在直線 l 外呢？過點A你能畫多少條直線 l 的垂線？
總結：這樣畫 l 的垂線可以畫一條.
垂線的性質：
平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
注意：
1.“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
教師活動：引導學生歸納“嘗試交流”的結論，在學習垂線性質的基礎上引出點到直線的距離的概念.
點P是直線 l 外一點，PO⊥l，點O是垂足，線段PO叫作點P到直線 l 的垂線段.
垂線段PO的長度叫作點P到直線l的距離.
過直線外一點向已知直線作垂線時，這一點與垂足之間的線段叫作垂線段.
點P是直線l外一點，PO⊥l，點O是垂足，點A，B，C在直線l上，比較線段PO、PA、PB、PC的長短，你發現了什么？
總結：直線外一點與直線上各點所連的所有線段中垂線段最短.
【嘗試思考】
在圖中，哪條線段的長度可以表示點 P到直線l的距離
預設答案：PO的長度表示點P到直線l的距離.
設計意圖：通過作已知直線的垂線，一方面鍛煉了學生的畫圖能力，另一方面通過畫圖得出“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這一結論，培養學生的動手能力及表達能力.
【思考交流】
你知道體育課上老師是怎樣測最跳遠成績的嗎 你能說說其中的道理嗎 與同伴進行交流．
答案：在起跳線垂直于跳遠方向的位置上放置一個標尺或測量帶．當運動員完成跳遠后，老師會沿著與起跳線垂直的方向，從起跳線到運動員在沙坑或落地點的最近點（通常是腳后跟）拉一條直線，并讀取這條直線在標尺或測量帶上的刻度，這個刻度就是運動員的跳遠成績．
這種測量方法的道理在于，它遵循了“垂線段最短”的幾何原理.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考解答，然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1 如圖，直線BC與MN相交于點O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度數．
解：∵∠BOE＝∠NOE(已知)，
∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，
又∵∠MOC＝∠BON＝40° (對頂角相等).
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
例2 如圖，已知直線AB、CD都經過O點，OE為射線，若∠1＝35°， ∠2＝55°，則OE與AB的位置關系是 .
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°(已知)
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴OE⊥AB (垂直的定義)
教師總結:由垂直這一條件可得兩條直線相交構成的四個角為直角，反過來，由兩條直線相交構成的角為直角，可得這兩條直線互相垂直.判斷兩條直線垂直最基本的方法就是說明這兩條直線的夾角等于90°.
設計意圖：通過例題引出研究本節課所要學習知識的必要性，清楚新知識的引出是由于實際生活的需要.學生積極參與學習活動，為學生動腦思考提供機會，發揮學生的想象力和創造性，體現教師的主導作用.
環節四 鞏固新知
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并進行相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
【隨堂練習】
1.畫一條直線 l，在直線 l 上取一點 A，在直線外取一點 B，分別經過點 A，B 用三角尺或量角器畫直線 l 的垂線.
答案：
直線AP就是所求垂線.
直線BC就是所求垂線.
2.分別找出下列圖中互相垂直的線段.
答案：
(1)AO⊥OC，OB⊥OD.
(2)DC⊥BC，DC⊥CE，DC⊥BE；
AC⊥BC，AC⊥CE，AC⊥BE；
DA⊥BC，DA⊥CE，DA⊥BE.
3.兩條直線相交所成的四個角分別滿足下列條件之一，其中不能判定這兩條直線垂直的條件是( )
A. 兩對對頂角分別相等
B. 有一對對頂角互補
C. 有一對鄰補角相等
D. 有三個角相等
答案：A.
4.如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則圖中能表示點到直線的距離的線段共有( )
A.2條 B.3條 C.4條 D.5條
答案：D
5. 如圖，碼頭、火車站分別位于A，B兩點，直線a和b分別表示鐵路與河流.
(1)從火車站到碼頭怎樣走最近 畫圖并說明理由.
(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近 畫圖并說明理由.
(3)從火車站到河流怎樣走最近 畫圖并說明理由.
答案：(1)
如圖所示，沿BA走最近，理由:兩點之間線段最短.
(2)
沿AC走最近，理由:垂線段最短.
(3)
沿BD走最近，理由:垂線段最短.
設計意圖：設置一些難度較低但概念性強、能考查垂直定義及垂線段性質的基礎練習，不僅對學生所學新知起到檢測作用，有利于知識的掌握與理解，還有利于學生體驗成功，激發更佳的學習狀態.
環節五 課堂小結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過總結，讓學生對本節課內容整體有一個更深刻全面的認識.有利于幫助學生理清知識脈絡，鞏固學習效果，為下節課學習作好鋪墊.

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