資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.2 消元-解二元一次方程組
10.2.2 加減消元法
一、教學目標
1.理解加減消元法的基本思想，能恰當地應用加減消元法解方程組；
2.通過對方程組中未知數系數特點的觀察和分析，明確解二元一次方程組的主要思路是“消元”，從而促成未知向已知的轉化，培養觀察能力、體會化歸的思想；
3.經歷加減消元法解方程組的過程，體會消元思想在解方程中的應用；進一步理解加減法解二元一次方程組的一般步驟；
4.通過探究加減消元法解二元一次方程組的過程，提高學生邏輯思維能力、計算能力、解決實際問題的能力.
二、教學重難點
重點：用加減消元法解二元一次方程組.
難點：利用等式性質，將二元一次方程組等價變形為適用加減法的形式.
三、教學用具
多媒體等.
教學過程設計
環節一 復習回顧
【回顧】
1.解二元一次方程組的基本思想是什么？
預設答案：消元
2.代入法解二元一次方程組的步驟是什么？
預設答案：①變：用含一個未知數的式子表示另一個未知數；②代：將新式子代入到另一個方程中得一元一次方程；③求：解一元一次方程進而求出兩個未知數的值；④解：寫出方程組的解.
教師活動：教師帶領學生回顧上節課的知識，強調解二元一次方程組的基本思想是消元，通過消去一個未知數將二元一次方程轉化為一元一次方程進行求解. 然后教師給出下面的二元一次方程組，讓學生用代入消元法進行求解.待學生計算結束后，教師展示過程，并結合過程再次強調代入法解二元一次方程組的步驟.
設計意圖：幫助學生回顧舊知，便于建立新舊知識之間的聯系.
解二元一次方程組：
解：由①，得：y=6-x，③
把③代入②，得：2x(6-x)=8，
解得：x=2.
把x=2代入③，得：y=4.
所以方程組的解為：
追問：還有別的消元方法嗎？
設計意圖：鞏固代入法解二元一次方程組，在此基礎上，提出新的問題，引導學生思考，為講解加減法做鋪墊.
環節二 探究新知
【思考】
問題1 解二元一次方程組：
這個方程組的兩個方程中，y的系數有什么關系？
教師活動：引導學生觀察兩個方程中未知數y的系數，發現y的系數相同，都是1.進而引導學生思考：怎樣才可以把y消去呢？此時可讓學生分小組討論，2分鐘后小組代表發言.
可依據等式的性質，把兩個方程分別相減，就可以消去未知數y.如：②式的左邊①式的左邊②式的右邊①式的右邊.即2xy(xy)86，整理化簡，得：2xyxy2，解得：x 2具體過程如下：
解：②①，得：
2xy(xy)86，
x2.
把x2代入①，得：y4.
所以方程組的解為：
追問1：①②行嗎？
追問2：求出的值后，把x2代入②行嗎？
預設答案：都可以，具體過程如下：
解：①②，得：
xy(2xy)68，
x2.
把x2代入②，得：y4.
所以方程組的解為：
設計意圖：通過觀察方程組中同一個未知數的系數特點，引導學生思考新的消元方法.培養學生的觀察能力以及小組協作解決問題的能力.
問題2 聯系上面的解法，想一想怎樣解方程組：
教師活動：引導學生觀察，兩個方程中未知數y的系數互為相反數，把兩個方程的兩邊分別相加，就可以消去未知數y.
解：①②，得：3x10y15x10y2.88，
18x10.8，
x0.6.
把x0.6代入①，得：30.610y2.8，
y0.1.
所以方程組的解為：
設計意圖：使學生能夠舉一反三，有減法聯想到加法.
【歸納】
教師活動：教師展示上面兩個方程組的解題過程，讓學生通過對比分析，歸納出加減消元法的概念.
當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.
強調：當未知數系數相反時，讓兩個方程相加，即可消去這個未知數；當未知數的系數相同時，讓兩個方程相減，即可消去這個未知數.
口訣記憶：同減異加.
設計意圖：歸納總結出加減消元法的概念.
【做一做】
選擇你喜歡的方法解方程組：
教師活動：先讓學生觀察兩個方程中x的系數，發現x的系數相同，引導學生消未知數x.學生大概率會用本節課學習的加減法消x，待學生完成后，教師展示兩種方法消x的過程，使學生體會兩種方法之間的計算差異.
加減法：解：①②，得：
2y(4y)6，
y1.
把y1代入①，得：
3x28，
x2.
所以方程組的解為：
代入法：解：由①，得： x.
把③代入②，得：
34y2，
y1.
把y1代入①，得：
3x28，
x2.
所以方程組的解為：
總結：
根據未知數系數的特點，選擇恰當的方法解二元一次方程組，可以適當簡化計算. 當方程組中的兩個方程有某個未知數的系數相等或互為相反數時，用加減消元法比較簡便.
設計意圖：通過練習，鞏固加減法解二元一次方程組，并對比兩種解法在計算量上的差異，使學生能夠根據未知數系數的特點，選取最適合的消元方法.
追問：能否用加減法消去未知數y
教師活動：引導學生觀察兩個方程中y的系數，發現y的系數既不相同，也不互為相反數，無法直接用加減消元法.進一步觀察發現，兩個方程中y的系數存在倍數關系，引導學生思考，是否可以通過變形，將y的系數化為相同或互為相反數呢？事實上，只需把第一個方程兩邊同時擴大到原來的2倍.
解：①2，得：6x4y16. ③
②③，得：9x18，
x2.
把x2代入①，得：
322y8，
y1.
所以方程組的解為：
總結：
當兩個方程中沒有同一個未知數的系數相反或相等，直接加減這兩個方程不能消元，可對方程變形，使得這兩個方程中某個未知數的系數相反或相等.
設計意圖：進一步鞏固加減消元法，使學生明白，當同一個未知數的系數存在倍數關系時，可以利用等式的性質將其轉化，再利用加減法消元求解.
【歸納】
加減法解二元一次方程組的一般步驟：
1.變形：將同一個未知數的系數化為相同或互為相反數.
2.加減：將兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程.
3.求解：依次求出兩個未知數的值.
4.寫解：寫出方程組的解.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師活動：教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1 用加減法方程組：
解：①+②，得：5x=15
x=3.
把x=3代入①，得： 3×3+=0 .
y=-18
所以方程組的解為：
追問：代入②可以嗎？
預設：可以x=3代入②，得：
2×3 =15，
y=18.
例2 用加減法方程組：
教師活動：兩個方程中同一個未知數的系數既不相等，也不互為相反數，又不存在倍數關系，無法直接用加減消元法.引導學生仿照前面做一做的思路，思考如何把未知數的系數化為相同或者互為相反數.教師可適當提示：要消去哪個未知數，可先將兩個方程中該未知數的系數都化為它們的最小公倍數，再利用加減法進行消元.
法一：
解：①5，得：15x20y80. ③
②3，得：15x18y99. ④
③④，得：20y(18y)19，
y.
把y代入①，得：
3x4()16，
x6.
所以方程組的解為：
追問：把y代入②可以嗎？
預設答案：把y代入②，得：
5x6()33，
x6.
法二：
解：①3，得：9x12y48. ③
②2，得：10x12y66. ④
③④，得：19x114，
x6.
把x6代入①，得：
364y16，
y.
所以方程組的解為：
總結：
當未知數的系數沒有倍數關系，則應將兩個方程同時變形，同時選擇系數比較小的未知數消元.
設計意圖：通過例題，進一步加深加減消元法，鞏固所學知識.
環節四 課堂練習
教師活動：教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.用加減消元法解方程組
由①②得 ，解得 ，
由①②得 ，解得 .
答：8x16，x2，6y12，y2.
2.把方程組通過加減消元消去x得到的方程是( )
A. y4 B. 7y14
C. 7y14 D. y14
答：B.
3.用加減消元法解方程組時，在下列四種解法中，計算比較簡單的一種是( )
A. ①2②3消去x
B. ①②消去x
C. ①②消去y
D. ①②4消去y
答：D.
4.用加減消元法解方程組：
解：①2，得：10x4y50. ③
③②，得：7x35，
x5.
把x5代入①，得：y0.
所以方程組的解為：
設計意圖：通過練習，進一步鞏固所學知識，加深理解，培養學生在具體情境中分析問題和解決問題的能力.
環節五 歸納總結
以思維導圖的形式呈現：
設計意圖：通過提問讓學生回顧、總結、梳理本節課所學內容. 使零散的知識系統化，同時培養學生的語言表達能力.

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