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雙曲線壓軸題專項訓練-2025年高考數學二輪復習題
1．已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，過的直線與交于兩點，當軸時，．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)若經過點，為的左支上一動點．
（?。┊數男甭蕿闀r，求的面積的最小值；
（ⅱ）設，為的右支上一動點，若三點不共線，且平分，證明：直線恒過定點．
2．已知雙曲線的右焦點為，點在右支上，且的最小值為1，的漸近線為．
(1)求的方程；
(2)若點在軸上方，且軸，過點的直線與雙曲線交于兩點．
（?。┣笞C：直線和的斜率之和為定值；
（ⅱ）過點作軸的垂線，與直線交于點，設線段的中點為，過點作平行于軸的直線，交于兩點，的面積為，求點的坐標．
3．已知雙曲線與拋物線有公共焦點，且.
(1)若拋物線的方程為.
①求雙曲線的方程；
②設直線與軸交于點，過點的直線交于兩點，點在直線上，且直線軸，證明：直線恒過定點.
(2)過的直線與拋物線交于兩點，與的兩條漸近線交于兩點（均位于軸右側）.若實數滿足，求的取值范圍.
4．已知雙曲線的實軸長為2，且過點為其右焦點．
(1)求雙曲線的標準方程．
(2)直線經過點，傾斜角為，與交于兩點（點在兩點之間），若，求的值．
(3)已知點，過點作直線與交于兩點，記直線的斜率分別為，試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
5．設．如圖，在平面直角坐標系中，是雙曲線和圓在第一象限內的交點，曲線由中滿足的部分和中滿足的部分構成．
(1)若，求的值；
(2)設，、分別為與軸的左、右兩個交點．第一象限內的點也在上，且，求的大??；
(3)過點作斜率為的直線．若與恰有兩個不同的公共點，求的取值范圍以及雙曲線的離心率的取值范圍．
6．已知雙曲線過點，其右焦點到漸近線的距離為1，過作與坐標軸都不垂直的直線交的右支于兩點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)為雙曲線C上一動點，過點分別作兩條漸近線的平行線交漸近線于，四邊形OEPG的面積是否為定值？若是求出該定值，若不是請說明理由；
(3)在軸上是否存在定點，使恒成立，若存在求出定點的坐標，若不存在請說明理由．
7．已知雙曲線的右頂點到其漸近線的距離為，點在上.
(1)求的方程；
(2)過點的直線交雙曲線于，兩點.
（?。┤襞c的漸近線交于點，，且（是坐標原點），求的方程；
（ⅱ）記，若點滿足，求點的軌跡方程.
8．已知雙曲線的離心率為，直線與雙曲線相交于，兩點．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若以為直徑的圓過雙曲線的左頂點，試判斷直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由；
(3)設點是滿足（2）的雙曲線上的一個動點，過分別作的漸近線的兩條垂線，垂足分別為，，判斷的面積是否為定值；若是，求出該定值并證明；若不是，請說明理由．
9．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為，且點到其漸近線的距離為．
(1)求C的標準方程；
(2)若點是C上第一象限的動點，過點作直線l（l不與漸近線平行），若l與C只有一個公共點，且l與x軸相交于點M．
（i）證明：；
（ii）若點N在直線l上，且，那么點N是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請說明理由．
10．已知雙曲線的兩條漸近線的斜率之積為.
(1)求的離心率.
(2)若過點且斜率為1的直線與交于兩點（在左支上，在右支上），且.
①求的方程；
②已知不經過點的直線與交于兩點，直線的斜率存在且直線與的斜率之積為1，證明：直線過定點.
11．已知等軸雙曲線的對稱中心均為坐標原點，焦點分別在軸和軸上，且焦距均為4．設兩點分別在上，滿足直線的斜率之積為1，點為上異于的另一點，過分別作平行于的直線，交于兩點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)證明：；
(3)設，，證明：為定值．
12．已知O為坐標原點，動點P到x軸的距離為d，且，其中，均為常數，動點P的軌跡稱為曲線．
(1)若曲線為雙曲線，試問，應滿足什么條件？
(2)設曲線C為曲線，點是C上位于第一象限的一點，點A，B關于原點O中心對稱，點A，D關于y軸對稱．延長AD至E，使得，且直線BE和曲線C的另一個交點G位于第二象限內．
（?。┣蟮娜≈捣秶?；
（ⅱ）設直線OA斜率為，直線AG斜率為，判斷與的關系，并求的取值范圍．
13．我們把焦點在x軸上，且離心率相同的雙曲線稱為雙曲線系），記的方程為，左、右頂點為．已知雙曲線系中曲線經過兩點．
(1)求雙曲線系的離心率；
(2)已知是雙曲線系上的動點，其中在第二象限，在第三象限，依次構造點滿足當三點共線時，直線的斜率與直線的斜率之比恒為常數．
（?。┳C明：數列是以為公比的等比數列；
（ⅱ）定義：無窮等比遞減數列的所有項之和為，其中為的首項，q為的公比，且．設O是坐標原點，的面積的最小值為，求數列的所有項之和T．
14．已知雙曲線（，）的兩條漸近線為，且經過點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點、和點、，、分別為弦和的中點，直線與軸交于點；過點作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點、和點、，、分別為弦和的中點，直線與軸交于點……；依此類推得到點列，.
（?。┣髷盗械耐椆剑?br/>（ⅱ）、分別在雙曲線的左支和右支上，且直線經過點，當，時滿足：①直線的傾斜角總是；②點和關于軸對稱.設點的坐標為，數列的前項和為.證明：.
15．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線右支于、兩點（點在軸上方），點在雙曲線上，直線交軸于點（點在點的右側）．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若點，且，求點的坐標；
(3)若的重心在軸上，記、的面積分別為、，求的最小值．
16．如圖，已知雙曲線的離心率為，線段、分別為的實軸與虛軸，四邊形的面積為．
(1)求的標準方程；
(2)若直線與的左、右兩支分別交于、兩點，且總有平分．
①求證：直線恒過定點，并求出定點坐標；
②若直線、與直線分別交于、兩點，求與面積之和的最小值．
17．已知雙曲線的離心率為，且經過點．
(1)求的方程；
(2)過曲線上任意一點作曲線的切線，設與的兩條漸近線分別交于點，，試討論的面積是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由；
(3)將橫、縱坐標均為正整數的點稱為“格點”，記上的所有格點為，，，…，且，證明：為定值．
18．已知點，動點滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線;
(2)直線l過定點D，與曲線C在第一，四象限交于兩點，分別記為H，N兩點，且滿足，求直線l的方程.
(3)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE交C于點G. 證明：;
19．已知雙曲線的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且，，三點中有且僅有兩點在雙曲線上．
(1)求雙曲線的標準方程．
(2)直線，均經過的右焦點，與交于兩點，與交于兩點，以為直徑的圓記作，以為直徑的圓記作．
①求證：存在定圓與相切；
②設與的公共弦所在直線為，求直線經過的定點．
20．圓錐曲線第二定義：設動點到定點的距離與點到定直線的距離的比是，當時，該動點的軌跡為雙曲線.定直線稱為準線，比值稱為離心率，稱為焦半徑.如圖，為曲線的左、右焦點，該曲線離心率，準線.動點在曲線的右支上.設的平分線與軸、軸分別交于點.
(1)求曲線的標準方程；
(2)求的取值范圍；
(3)設過點的直線與雙曲線交于兩點，求面積的最大值.
《雙曲線壓軸題專項訓練-2025年高考數學二輪復習題》參考答案
1．(1)
(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析.
【分析】（1）根據弦長列式計算得出結合雙曲線計算求解即可；
（2）（ⅰ）聯立方程得出弦長，再結合對稱性應用點到直線距離即可得出面積最小值；（ⅱ）設出直線直線的方程為及方程，聯立應用斜率公式結合韋達定理計算求解即可得出定點.
【詳解】（1）當軸時，，解得．
由，得，所以，
整理得，解得（舍去），
故雙曲線的離心率為．
（2）由（1）知，，又，所以，所以的方程為．
將代入，得，故的方程為．
（?。┊數男甭蕿闀r，其直線方程為，設，，
聯立得，
則，，
所以．
設過點與直線平行的直線的方程為，當直線與的左支相切時，直線與直線之間的距離最小，此時的面積最?。?br/>聯立得，
則，解得，
當時，直線與的左支相切，符合題意；當時，直線與的右支相切，不符合題意，
所以直線與直線之間的距離，
故的面積的最小值為．
（ⅱ）
證明：由上可知，，所以直線的方程為．
因為平分，所以直線與關于直線對稱，所以直線與的斜率之積為1，
顯然直線的斜率存在，設其方程為，設，，
聯立得，
則，且，
，，
，
整理得，
所以，
即，解得，或．
當時，直線的方程為，即直線恒過定點，三點共線，舍去；
當，且時，此時直線恒過定點．
綜上可知，直線恒過定點．
2．(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）
【分析】（1）由題意計算出，，然后解出方程；
（2）（?。┯深}意設直線的方程，與雙曲線方程聯立，利用韋達定理表示計算即可；
（ⅱ）方法1：設點的橫坐標為，由直線的方程和直線的方程結合中點坐標公式求出點的坐標為．代入雙曲線方程得出，通過計算求得點的坐標；
方法2：設點的坐標為，令代入雙曲線方程解得，再結合計算得．又由（?。┲嬎慵纯汕蟪鳇c的坐標.
【詳解】（1）由題意知，，解得，，
所以雙曲線的方程為．
（2）（?。┯深}意知．顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，，．
由得．
由，，得且，，．
所以
．
故直線和的斜率之和為定值4．
（ⅱ）方法1：設點的橫坐標為，
由（?。┰O直線的方程為，則直線的方程為，
于是，，
所以，
所以點的坐標為．
在方程中，令，得，
所以，
所以，
可得，
所以或，又因為，
所以，所以點的坐標為．
方法2：設點的坐標為，
在方程中，令，得，所以，
所以，解得．
又，且為線段的中點，所以，
又由（ⅰ）知或（舍去）．
所以點的坐標為．
3．(1)①；②證明見解析
(2).
【分析】（1）①根據拋物線計算得出即可得出雙曲線方程；②聯立直線和雙曲線得出韋達定理，再令，再計算求出恒過點；
（2）聯立直線和拋物線得出，再應用計算及，代入計算求出范圍.
【詳解】（1）①設雙曲線的焦距為，則有，又，則
所以，則，
所以雙曲線的方程為.
②由題意得，，
當直線與軸不重合時，設直線的方程為.
由整理得，，
恒成立，由韋達定理得，
則有
由得，直線的方程為，令，
即直線恒過點，
當直線與軸重合時，設，點，直線為軸，也過點
.綜上，直線恒過定點.
（2）由題意知，，又，則，
所以雙曲線的漸近線方程為，
易知直線的斜率不為0，設直線，
由于兩點且均位于軸右側，有，
由，解得，
設，由，消去得，
則有，
由及得，
，即，
又，則，所以，
故實數的取值范圍為.
4．(1)
(2)
(3)為定值，且該定值為
【分析】（1）根據題意得到，再通過點在雙曲線上，構造等式求解即可；
（2）利用點斜式方程得直線的方程為，與雙曲線方程聯立求出點C，D坐標，最后利用向量的坐標運算求出即可；
（3）設直線方程，與雙曲線方程聯立，韋達定理，代入兩點斜率公式化簡求解即可；
【詳解】（1）由題意可知，則此雙曲線方程為，
把點代入方程，得
所以得，即雙曲線的標準方程為．
（2）因為直線經過點，傾斜角為，
所以直線的方程為，由
解得或故得點和點，
則，
由得，解得．
（3）如圖，由題意得直線的斜率存在且不可能與軸重合，
設直線的方程為，
由得到
而．
由韋達定理得
則
，
故為定值，且該定值為．
5．(1)2
(2)
(3)，離心率的取值范圍
【分析】（1）由點在圓和雙曲線上代入可解；
（2）由雙曲線的性質和在中由余弦定理可得；
（3）由與的漸近線平行結合點斜式設出直線方程，利用點到直線的距離得到與相切，然后由點坐標為方程組的實數解解出，再聯立與相切和圓的方程解出點坐標，令可得的范圍；由離心率的齊次式計算可得.
【詳解】（1）將分別代入與可得，解得，因為，所以；
（2）由題設，．
、的坐標分別為、，即為的兩個焦點．
因為，所以點只能在上．
由雙曲線的定義，可得，故．
在中，，
故；
（3）由題設，直線的方程為，與的漸近線平行，故與有且僅有一個公共點．
由圓的圓心到直線的距離，
得與相切，即與有且僅有一個公共點．
由題意，與及各有一個公共點，依次記為、，且點的橫坐標大于．
由點坐標為方程組的實數解，解得
由與相切，得，直線的方程為，
代入圓的方程，解得點的坐標為．
于是，由，即解得．
．
6．(1)；
(2)是定值，定值為；
(3)存在定點，該定點坐標為.
【分析】（1）設出雙曲線的標準方程，利用焦點到漸近線的距離及過的點求出參數值即可.
（2）求出雙曲線的漸近線方程，求出過點與其中一條漸近線平行的直線并求出與另一條漸近線的交點，再利用平行四邊形面積公式計算求解.
（3）設出直線的方程，與雙曲線方程聯立，利用韋達定理及已知求解.
【詳解】（1）設雙曲線的標準方程為，右焦點，
雙曲線的漸近線，點到漸近線的距離，
又，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）雙曲線：的漸近線為，
由在雙曲線上，得，即，
過點與直線平行的直線方程為，
由，解得，得交點，
依題意，四邊形是平行四邊形，，
點到直線的距離，
所以四邊形的面積為定值.

（3）假設存在點，
由（1）知，，由直線不垂直于坐標軸，設直線的方程為，
由消去得，設，
，解得或，
由，得，而，
于是，則平分，因此直線的斜率互為相反數，
即，
，解得，
所以在軸上存在定點，使恒成立.
7．(1)
(2)（i）或；（ii）
【分析】（1）先求得到雙曲線右頂點為和一條漸近線方程為，結合題意，列出方程組，求得的值，即可求得雙曲線的方程；
（2）（?。┰O直線的方程為，聯立方程組，得到，求得，得到，再聯立方程組，求得的坐標，得到，結合，求得，即可得到直線的方程；
（ⅱ）設，由，得到，再由在曲線上，聯立方程組，求得，結合，得到，代入計算，求得，即可得到點的軌跡方.
【詳解】（1）解：由雙曲線，可得右頂點為，其中一條漸近線方程為，
因為雙曲線經過點，可得，
又因為右頂點到漸近線的距離為，可得，
聯立方程組，解得，所以雙曲線的方程為.
（2）解：（?。┯呻p曲線，可得漸近線方程為，即，
設直線的方程為，且，
聯立方程組，整理得，
則且，解得，
可得，
則，
即，所以，
聯立方程組，解得，
所以，
因為，可得，解得，
所以直線的方程為，即或.
（ⅱ）設，
由，可得，可得，
因為在曲線上，可得，所以，
解得，所以
又由，可得，
即，即，
將和，代入化簡得，
因為，可得，所以點的軌跡方程為.
8．(1)
(2)過定點，定點為
(3)為定值，定值為，證明見解析
【分析】（1）由題意利用離心率求出，即得答案；
（2）求出雙曲線方程，聯立直線方程，可得根系數關系式，結合題意知，化簡可得，即可得結論；
（3）求出的值，設漸近線的傾斜角為，則，求出，即可求出的面積，可得結論.
【詳解】（1）由，知，
雙曲線的漸近線方程為；
（2）由，得，雙曲線的方程為
聯立方程組得，
設，，則，，
則，．
因為
即，
展開得
即，
即，，或．
當時，直線過，不符合題意，舍去；
當時，直線過定點．
（3）由（1）知雙曲線的兩條漸近線方程為和；
設，有，即
則，
設漸近線的傾斜角為，則，
所以的面積,
即的面積為定值，定值為．
9．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）點N在定直線上
【分析】（1）由已知條件求出、的值，可得出的值，由此可得出雙曲線的方程；
（2）（i）利用兩點間的距離公式化簡、的表達式，證明出雙曲線在點處的切線方程為，求出點的坐標，由此可證得；
（ii）求出直線的方程，將該直線方程與直線的方程聯立，求出點的坐標，即可得出結論.
【詳解】（1）由題意可知，可得，
雙曲線C的漸近線方程為，即，
點到其漸近線的距離為，所以，
因此，雙曲線C的方程為．
（2）（i）因為是C上第一象限的動點，則，
可得且，易知點、，
所以，
，
由雙曲線的定義可得，
所以，
先證明：雙曲線在點處的切線方程為．
聯立，可得，又，
整理可得，解得，
所以雙曲線在點P處的切線方程為，
由，令，可得，即點，且，
所以，因此．
（ii）如下圖所示：
直線的斜率為，
因為，則直線的斜率為，
所以，直線的方程為，
聯立直線和直線l的方程，
消去y，可得，解得，
因此點N在定直線上．
10．(1)2
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）根據雙曲線漸近線方程和離心率公式，即可求解；
（2）①直線方程與雙曲線方程聯立，根據向量共線的條件，結合韋達定理，即可求解；
②首先設直線方程，與雙曲線方程聯立，利用韋達定理表示，即可證明定點問題.
【詳解】（1）由題意可知，
則.
（2）①解：直線的方程為，
聯立得，
.
設，則，
由，得，
代入，得，
則的方程為.
②證明：設的方程為.
聯立得，
，且，
.
因為，
所以，
即，
則，
整理得，
即.
因為點不在直線上，所以，則，
則，
故直線過定點.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是利用直線與雙曲線方程聯立，利用韋達定理表示坐標運算.
11．(1)的方程為，的方程為
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）設，，由焦距為4即可求出；
（2）設點，，由直線的斜率之積為1以及點在雙曲線上即可求證；
（3）由題意，設點，，，
得，點在雙曲線上，代入方程即可求解.
【詳解】（1）設，，
因此，所以，
的方程分別為，；
（2）設點，，
因此，，且，，
所以，
因此，，，
所以；
（3）由題意，設點，，，
因此，
又，從而，
整理得，
由（2）可知，因此為定值．
12．(1)，且
(2)（?。?；（ⅱ），
【分析】（1）由化為，根據曲線為雙曲線可得答案；
（2）方法一：（ⅰ）由題意得，，設點，由求出點坐標，求出直線BE的斜率可得直線BG的方程與雙曲線方程聯立， 由韋達定求出、，且可得答案；（ⅱ）由（?。┑谩ⅲY合的范圍可得求出的范圍可得答案；方法二：（ⅰ）由題意得，，設點，由．求出點坐標，求出直線BE的斜率可得直線BG的方程， 將兩式作差，將直線BG方程代入并化簡得可得答案；（ⅱ） 由（?。┑玫姆秶傻么鸢福?br/>【詳解】（1）由，得，
若曲線為雙曲線，則，
所以可化為，
則，則，
所以當，且時，曲線為雙曲線；
（2）方法一：當，時，，即，
（?。┯深}意得，，設點，由，
即，
即，得，則，
直線BE的斜率為，
所以直線BG的方程為，即，
聯立，得，
由直線BG與雙曲線有2個交點，則，
又因為滿足，
由韋達定得，解得，
因為，且，
得，所以，
又因為，可得，
所以，
因為，所以，
所以，可得，即的取值范圍為．
（ⅱ）由（?。┑?br/>，
所以，
因為，則，則，
；
方法二：當，時，，即，
（?。┯深}意得，，
設點，由．即，
即，得，則，
直線BE的斜率為，
所以直線BG的方程為，
設點（，），因為，
所以，所以，，
同理，由，
兩式作差得，
將直線BG方程代入并化簡得（*）
所以，所以，
可得，即的取值范圍為；
（ⅱ）由（*）式可得，
所以，
由（?。┑?，
所以．
13．(1)
(2)（i）證明見解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用給定條件應用點在雙曲線上列式得出，進而求出離心率；
（2）（ⅰ）由（1）求出雙曲線方程，設出直線的方程，與雙曲線方程聯立，借助韋達定理定理求出直線的斜率與直線的斜率，計算即可得出等比數列；（ⅱ）利用（1）求出的面積結合函數值域得出最小值，求出數列的所有項和即可.
【詳解】（1）雙曲線系中曲線經過兩點
由題意，得，，則，
所以雙曲線的離心率為，
所以雙曲線系的離心率為；
（2）（ⅰ）由（1）及題意，知，，．
設，．
設直線的方程為，其中在第二象限，在第三象限，
聯立得方程組，
消去并整理，得，
則，
，，
所以，
則
，
所以，則．
故數列是以為公比的等比數列．
（ⅱ）由（?。┲?，直線也恒過定點，
因此
，
設，則，
則，當時，則 ，
，
所以數列的所有項之和.
14．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，列式求出即得雙曲線方程.
（2）（?。┰O出過點的兩條直線方程，與雙曲線方程聯立求得弦中點坐標，再求出直線的方程，建立的關系即可求得通項公式；（ⅱ）求出直線的方程，與雙曲線方程聯立求出，再利用分組求和及等比數列前項和公式計算推理得證.
【詳解】（1）由雙曲線的兩條漸近線為，得，即，
又雙曲線經過點，得，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）令，設兩條直線的方程分別為和，
設，，由得，
由，得，，
則，，
點，同理得點，
于是直線的斜率，
直線的方程為：，
令，得，因此，
由，得，則數列是首項為，公比為的等比數列，
所以.

（ⅱ）設直線的方程為，由點的坐標為，得的坐標為，
由消去得，因此，，
則，
所以.
15．(1)
(2)點的坐標為
(3)的最小值為
【分析】（1）根據雙曲線方程即可得其漸近線方程；
（2）由點可得，從而可利用三角形外角關系從而可得直線的斜率，將直線方程代入雙曲線方程求解即可得點的坐標；
（3）設直線，代入雙曲線方程得交點坐標關系，由重心可得，根據點線關系即可得的范圍，再結合三角形面積關系得與的關系，由基本不等式可得最值.
【詳解】（1）已知雙曲線，則，所以雙曲線方程為；
（2）雙曲線的右焦點，
又，所以，則，
因為，所以，
則直線，即，
所以，解得，即，
則，所以點的坐標為；
（3）設直線，
，
則，
因為直線過點且與雙曲線右支交于、兩點，所以，
又因為的重心在軸上，所以，
由點在點的右側，可得，所以，解得，所以，
而，代入可得，
所以，
代入化簡可得：，
所以，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為.
16．(1)
(2)①證明見解析，定點坐標為；②
【分析】（1）由題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出雙曲線的標準方程；
（2）①分析可知，直線、的斜率之積為，且直線的斜率顯然存在，設的方程為，設點、，將該直線方程與雙曲線方程聯立，列出韋達定理，根據結合韋達定理可得出、的關系式，化簡直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標；
②不妨設，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，求出、的坐標，求出直線的坐標，可求出點的坐標，同理可得出點的坐標，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得的最小值.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以，雙曲線的標準方程為.
（2）①因為直線的方程為，且直線平分，
所以，直線、關于直線對稱，
不妨設直線、的傾斜角分別為、，則，
即，
若直線垂直于軸，則直線與雙曲線相切，不合乎題意，
同理可知直線的斜率也存在，
所以，，
所以，兩直線的斜率之積．
直線的斜率顯然存在，設的方程為，設點、，
聯立整理得．
則有，且，
由韋達定理可得，，
又，
整理得，
即，
所以，，得或．
當時，直線的方程為，
即直線過定點，此時不存在，舍去；
當，且時，此時直線的方程為，恒過定點．
綜上所述，直線恒過定點．
②由①知，直線的方程為，顯然時不符合題意，不妨設．
聯立得．
不妨設點在第三象限，點在第一象限，
則，，
所以．
又直線的方程為，令，得，
即．同理．
所以．
所以，
當且僅當時，即當時取等號．
所以與面積之和的最小值為．
17．(1)
(2)是定值，定值為；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據離心率公式并代入得到方程組，解出即可；
（2）首先討論直線斜率不存在的情況，再采用設線法并聯立雙曲線得到判別式等于0，計算出坐標，最后利用三角形面積公式即可得到答案；
（3）利用賦值法得和是C上的一個格點，從而總結出規律最后證明一般性即可.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以C的方程為．
（2）①當直線經過雙曲線的頂點時直線的斜率不存在，此時直線方程為，
漸進性方程為，當時，，兩漸近線夾角為，
則此時，點到直線的距離為1，所以此時；
②當直線的斜率存在時，設直線為，
由得，
因為直線與雙曲線相切，所以且，
整理得且，即，
由得，則，
同理得到，
所以
，，
所以.
（3）在方程中，令，得，令，得，則．
因為，
所以，得是C上的一個格點，
，得是C上的一個格點．
按這種構造方式，由可以得到一系列格點．
下面證明C上的任意一個格點都滿足該式：
任取兩個由上述方式得到的相鄰格點和，
假設在點和之間存在另外的格點，即存在，，滿足．
因為是C上的格點，所以，
所以，
得，
設，，則．
由點，在C上，可得，，且，
所以，，再由，，，，得，，
故也是C上的格點．
另一方面，因為，，所以，
即，所以．
而，即．
顯然，C上不存在格點滿足該式，矛盾，假設不成立，
故C上的所有格點都滿足．
由，，得．
所以
所以，為定值．
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用設線法并聯立雙曲線方程得到判別式等于0，再計算出坐標，最后計算面積即可.
18．(1)，以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的雙曲線
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；
（2）設直線l的方程為，聯立直線與雙曲線方程，結合韋達定理代入計算，即可得到結果；
（3）方法一：表示出直線的斜率，以及，再由代入計算，即可證明；方法二：根據題意，由Q，E，G三點共線，再由點差法代入計算，即可證明.
【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，
由題意可知：，
所以曲線C是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的雙曲線，
其方程為；
（2）
設直線l的方程為，，
由題意知，
因為，所以
，得
聯立上式可得，因為，所以.
直線l的方程為.
（3）[方法一]依題意設，
直線的斜率為，則，
所以．
又，所以，
進而有．
[方法二]由題意設，則．
因為Q，E，G三點共線，所以，
又因為點P，G在雙曲線上，所以，
兩式相減得，
所以，所以．
19．(1)
(2)①證明見解析；②
【分析】(1)根據題意有雙曲線經過點，代入方程即可求解；
（2）①先討論直線的斜率不存在和斜率為0的情況，猜想所求圓為，再討論當直線的斜率不為0時，設，與雙曲線方程聯立即可得，設，，根據韋達定理有，得的中點，計算，得圓的方程，利用幾何法驗證圓和圓相切即可；
②當直線的斜率不為0時，設，計算圓，圓的方程和圓的方程相減得公共弦所在直線的方程，化簡即可得定點.
【詳解】（1）由題意可知，雙曲線經過點，．
設雙曲線的方程為，把點代入，得，
所以雙曲線的方程為．
（2）①當直線的斜率不存在時，，
當直線的斜率為0時，，
結合對稱性，猜想所求圓為．
當直線的斜率不為0時，設，
聯立得．
設，，則
所以的中點，
．
所以．
又，則，半徑為2，
所以．
所以．
當時，與的半徑之和，
所以，與外切；
當時，與的半徑之差的絕對值，
所以，與內切．
綜上所述，存在定圓與相切．
②當直線的斜率不為0時，設，
則．
又，
兩圓方程相減，得直線的方程為
，
，
，
，
，
，
即．
令，得，
所以直線經過定點．
20．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據已知求雙曲線參數，即可得雙曲線方程；
（2）法一：根據已知有得到，進而有，結合雙曲線的性質得，即可確定參數范圍；法二：根據已知寫出、，由角平分線及點線距離公式列方程得，結合即可得參數范圍；
（3）設直線的方程，求得，進而有并聯立雙曲線，應用韋達定理、弦長公式和三角形面積公式得，即可求最值.
【詳解】（1）由題設，可得，
則，故；
（2）法一：依題意有.
由焦半徑的定義知，.
在中，由角平分線定理知，即，
整理得，
將代入上式得，
由，及.
所以，從而m的取值范圍是.
法二：依題意有，
則，
，
由點N在的平分線上知，
則.
故，由及，
所以，故的取值范圍是.

（3）由（1）知，
令，故點，
由，
與雙曲線方程聯立消去得①，
，
設，則，
，
由，知，
設，故.
當，即點時，面積取最大值.
從而面積的最大值為.
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