資源簡介

浦東區2024-2025學年第二學期高二年級數學期中
2025.4
一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）只要求直接填寫結果，每個空格填對得3分，否則一律得零分.
1．經過點、的直線的斜率為 ．
2．橢圓的長軸的長為 .
3．拋物線的焦點坐標為 .
4．雙曲線的漸近線方程為 ．
5. 過點且與直線垂直的直線的一般式方程為 .
6．直線與直線的距離為 .
7．若圓的方程為，則實數的取值范圍為 .
8．橢圓與雙曲線有相同的焦點，則正實數的值等于 .
9．若直線與直線的夾角為，則實數的值為 .
10．已知關于的方程組無解，則實數的值為 .
11. 若對任意的實數，直線與橢圓恒有公共點，則實數的取值范圍為 .
12．江西景德鎮青花瓷始創于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，如圖所示.若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是 .
二、選擇題(本大題共有4題，滿分12分) 每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得 3分，否則一律得零分.
13.直線的傾斜角的取值范圍是（ ）.
A. B. C. D.
14. 圓和與圓的位置關系為（ ）.
A. 內含 B. 相交 C. 外切 D. 外離
15.雙曲線的兩焦點為，為上一點，若，則的值
為（ ）.
A. 1或13 B. 1 C. 13 D. 15
16.已知方程，（）所表示的曲線為，則下列四個結論中正確的個數是（ ）.
(1) 當時，曲線表示一條直線. (2) 當時，曲線表示橢圓.
(3) 存在實數，使得曲線為等軸雙曲線. (4) 存在實數，使得曲線為拋物線.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．
17．（本題滿分10分，第（1）問5分，第（2）問5分）
已知在中，，，點是此三角形的重心.
（1）求邊所在直線的一般式方程；
（2）若直線經過點且在軸、軸上的截距相等，求直線的斜截式方程．
18．（本題滿分10分，第（1）問5分，第（2）問5分）
過圓外一點任意作一條割線交圓于兩點.
（1）若割線的方程為，求的值；
（2）求弦的中點的軌跡．
19．（本題滿分10分，第（1）問4分，第（2）問6分）
已知拋物線的準線方程為.
（1）求拋物線的標準方程;
（2）過點的直線與拋物線交于兩點，若,求的值．
20．（本題滿分10分，第（1）問4分，第（2）問6分）
已知雙曲線.
（1）若雙曲線的離心率為，求的值；
（2）若直線:與圓相切，證明：直線與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.
21．（本題滿分12分，第（1）問4分，第（2）問8分）
已知橢圓的左右兩個焦點分別為，，是該橢圓的短軸，且，三角形的面積為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點是橢圓上任意一點，求的最值．
浦東區2024-2025學年第二學期高二年級數學期中
2025.4
一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）只要求直接填寫結果，每個空格填對得3分，否則一律得零分.
1．經過點、的直線的斜率為 ．
【答案】
2．橢圓的長軸的長為 .
【答案】
3．拋物線的焦點坐標為 .
【答案】
4．雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
5. 過點且與直線垂直的直線的一般式方程為 .
【答案】
6．直線與直線的距離為 .
【答案】
7．若圓的方程為，則實數的取值范圍為 .
【答案】
8．橢圓與雙曲線有相同的焦點，則正實數的值等于 .
【答案】
9．若直線與直線的夾角為，則實數的值為 .
【答案】
10．已知關于的方程組無解，則實數的值為 .
【答案】
11. 若對任意的實數，直線與橢圓恒有公共點，則實數的取值范圍為 .
【答案】
12．江西景德鎮青花瓷始創于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，如圖所示.若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是 .
【答案】
二、選擇題(本大題共有4題，滿分12分) 每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得 3分，否則一律得零分.
13.直線的傾斜角的取值范圍是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
14. 圓和與圓的位置關系為（ ）.
A. 內含 B. 相交 C. 外切 D. 外離
【答案】B
15.雙曲線的兩焦點為，為上一點，若，則的值
為（ ）.
A. 1或13 B. 1 C. 13 D. 15
【答案】C
16.已知方程，（）所表示的曲線為，則下列四個結論中正確的個數是（ ）.
(1) 當時，曲線表示一條直線. (2) 當時，曲線表示橢圓.
(3) 存在實數，使得曲線為等軸雙曲線. (4) 存在實數，使得曲線為拋物線.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．
注：其它解法相應得分.
17．（本題滿分10分，第（1）問5分，第（2）問5分）
已知在中，，，點是此三角形的重心.
（1）求邊所在直線的一般式方程；
（2）若直線經過點且在軸、軸上的截距相等，求直線的斜截式方程．
【答案】（1） （2）或．
【解析】（1）設，則，解得，即
則邊所在直線的方程為.
整理得邊所在直線的一般式方程為.
（2）由已知得直線的斜率存在，設直線的方程為
當時，; 當時，.則，解得或.
則直線的方程為或．
整理得直線的斜截式方程為或．
18．（本題滿分10分，第（1）問5分，第（2）問5分）
過圓外一點任意作一條割線交圓于兩點.
（1）若割線的方程為，求的值；
（2）求弦的中點的軌跡．
【答案】（1）
（2）點的軌跡是以為圓心，以為半徑，且位于圓內的一段圓弧.
【解析】（1）圓心到直線的距離
則.
（2）設，連接．可得,即,則.
因為，所以，
整理得.
所以，點的軌跡是以為圓心，以為半徑，且位于圓內的一段圓弧.
19．（本題滿分10分，第（1）問4分，第（2）問6分）
已知拋物線的準線方程為.
（1）求拋物線的標準方程;
（2）過點的直線與拋物線交于兩點，若,求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由準線方程，得,則拋物線的標準方程為.
（2）設，, 由解得，所以點
由拋物線的對稱性，不妨取，則直線的方程為
聯立
所以，.
20．（本題滿分10分，第（1）問4分，第（2）問6分）
已知雙曲線.
（1）若雙曲線的離心率為，求的值；
（2）若直線:與圓相切，證明：直線與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.
【答案】（1） （2）證明見解析
【解析】（1）由題意，，解得，又，則.
（2）由直線與圓相切，得，即，
聯立得， 即，
該一元二次方程的判別式，因此有兩個不相等的實數根，
且兩根之積為，因此兩根一正一負，
即與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.
21．（本題滿分12分，第（1）問4分，第（2）問8分）
已知橢圓的左右兩個焦點分別為，，是該橢圓的短軸，且，三角形的面積為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點是橢圓上任意一點，求的最值．
【答案】（1）
（2）當或時，；當時，.
【解析】（1）由橢圓的性質和已知條件得，解得，，,
則橢圓的標準方程為.
（2）由橢圓的定義可知，
設，則
因為，所以當時，；當時，.
令，則則，
所以，當或時，；當時，.

展開更多......

收起↑