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第八章立體幾何初步
人教A版2019必修第二冊
8.5.2 直線與平面平行
了解直線與平面平行的判定定理與性質定理，培養直觀想 象、邏輯推理的核心素養.
通過直觀感知歸納直線與平面平行的判定定理
學習目標
通過動手實踐直觀感知直線與平面平行的特點
1
位置關系 直線a在平面α內 直線a與平面α平行
直線a與平面α相交
公 共 點 有無數個公共點 沒有公共點
有且只有一個公共點
符號表示 a Cα a //α
aNα=A
圖形表示
y 復習回顧
直線與平面的位置關系有幾種 以什么作為劃分的標準
在直線與平面的位置關系中，平行是一種非常重要的關系，它不僅應 用廣泛，而且是學習平面與平面平行的基礎。
怎樣判定直線與平面平行呢
根據定義，只需判定直線與平面有沒有公共點.
a
但是，直線是無限延伸的，平面是無限延展的，如何保證直線與平面
沒有公共點呢
你能想到更簡單的判斷方法嗎
y 新課導入
在門扇的旋轉過程中：
· 直線a在門框所在的平面α外
· 直線b在門框所在的平面α內
· 直線a與b始終是平行的
推出：直線a與平面α平行
追問若將門扇再次關上，門扇轉動的一邊與墻面平行嗎
察1門扇的兩邊是平行的.當門扇繞著一邊轉動時，另一邊與墻面有公共點
沒有公共點，因此平行
此時門扇轉動的一邊與墻面平行嗎
y 新 知 探 究
不平行
硬紙板的邊AB與CD平行，只要DC緊貼著桌面，邊AB轉動時就不可能
與桌面有公共點，所以它與桌面平行.
兩個實驗告訴我們一個現象，就是平面外的一條直線不管怎么移動，
只要保證直線與平面內的一條直線平行，那么這條直線就不會與平面有公 共點，即直線與平面平行，這就是直線與平面平行的判定定理.
觀察2 將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上，
把這塊紙板繞邊DC 轉動，在轉動的過程中(AB
離開桌面),DC的對邊AB與桌面有公共點嗎
邊AB 與桌面平行嗎
y 新知探究
直線與平面平行的判定定理
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平 面 平 行。
注意：使用定理時， 必須具備三個條件：
①a在平面α外，即a≠ α(面外)
② b在平面α內，即ba (面內)
③a與b平行，即a//b (平行)
簡述為：線線平行→線面平行
空間問題 平面問題
y 概念生成
用符號表示：
直線與平面平行的判定定理是證明直線與平面平行的依據.
定理告訴我們，可以通過直線間的平行，可以得到直線與平面平行. 這
是處理空間位置關系的一種常用方法.定理的實質就是將直線與平面的平 行關系(空間問題)轉化為直線間的平行關系(平面問題).即
這一定理在現實生活中有許多應用.
例如，安裝矩形鏡子時，為了使鏡子上的上邊
框與天花板平行，只需鏡子的上邊框與天花板
和墻面的交線平行，就是應用了這個判定定理
你還能舉出其它一些應用實例嗎
y
線線平行
線面平行
新知探究
因為α//b, 所 以AEb
因為bc 平面α,所以在平面α內可以過點A作直線c,
使c//b,又因為a//b, 由基本事實4知a//c,
與a∩c=A矛盾，所以a//α
y
證 明 ：假設直線a 與平面α不平行，因為直線α在平面α外
所以直線a與平面α相交，設aNα=A
問題1 你能否證明直線與平面平行的判定定理
已知：atα,bcα,a//b.
求 證 ：a//α.
新知探究
反證法
1. 如圖，在長方體 ABCD-A'B'C'D '中，
(1)與AB平行的平面是 平面A'B'C'D'
(2)與AA '平行的平面是_平面BCC'B'
(3)與AD平行的平面是 平面A'B'C'D'
學以致用 教材P138
平面CDD'C' ;
平面CDD'C ';
平面BCC'B'
例2 求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊的平面.
已知：空間四邊形ABCD 中 ，E,F 分別是AB,AD 的中點.
求證：EFI/平面BCD.
證 明 ：注 BD.
AE●EB,AFOFD
品EF//BD.
又EF BCD,BDGuBCD。
品EFI 元 BCD.
今后要證明一條直線與一個平面平行，只要在這個平面內找出一條與 此直線平行的直線就可以了.
典例分析
面AEC 的位置關系，并說明理由. 解 ：BD // 平面AEC. 理由如下： 連接BD, 交AC于點0,連接EO. ∵點E,0 分別是DD ,DB 的中點， ∴BD //EO,
A
又BD + 平面AEC,BD C 平面AEC, ∴BD // 平面AEC.
學以致用
2. 如圖，在正方體ABCD-A B C D 中 ，E 為DD 的中點，判斷BD 與平
教材P138
剛才，我們利用平面內的直線與平面外的直線平行，得到了判定平面
外的直線與此平面平行的方法，即得到了一條直線與平面平行的充分條件.
反過來，如果一條直線與一個平面平行，能推出哪些結論呢
這就是要研究直線與平面平行的性質，也就是研究直線與平面平行的
必要條件.
接下來我們就來研究在直線a平行于平面α的條件下，直線a與平面α
內的直線有何位置關系.
y 新知探究
問題2 (1)如果一條直線和一個平面平行，那么這
條直線和這個平面內的直線有怎樣的位置關系
(2)什么條件下，平面α內的直線與直線a平行呢
假設a與α內的直線b平行，那么由基本事實的
推論3,過直線a 、b 有唯一的平面β.
過直線a的平面β與平面α相交于b, 則allb.
下面，我們來證明這一結論.
y
a
平行 異面
新知探究
如圖示，已知alla,acβ,aNβ=b. 求證：allb.
證 明 ： ∵aNβ=b,
∴bCa.
又alla,
∴a與b沒有公共點.
又 acβ,bcβ,
∴a//b.
這樣，我們就得到了直線與平面平行的性質定理：
y 新知探究
直線與平面平行的性質定理
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該
直線與交線平行.
作用：判定直線與直線平行的重要依據。
關鍵： 尋找平面與平面的交線。
三個條件缺一不可
該定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行.即
線面平 行
線線平行
概念生成
符號號 語 言 ：
例3如右圖的一塊木料中，棱BC 平行面A'C'
(1)要經過面A'C'內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線
(2)所畫的線與平面AC 是什么位置關系
分析：經過木料表面A'C'內的一點P和棱BC 將木料鋸開，實際上是經過BC 及BC 外一 點P 作截面，也就是找出平面與平面的交線。我們可以由直線與平面平行的性質定理、
基本事實4和推論1作出。
解 ：(1)如圖，在平面A'℃'內，
過點P作直線EF, 使EFlIB'C', 分別交棱A'B' 、C'D'于點E 、F, 連結BE 、CF,
則EF 、BE 、CF為應畫的線.
典例分析
例3如右圖的一塊木料中，棱BC 平行面A'C'.
(1)要經過面A'C'內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線
(2)所畫的線與平面AC 是什么位置關系
(2)因為棱BC// 平面A'C',
面BCN 面A'C'=B'C', 所以 BC//B'C'.
由(1)知，EF//B'C', 所以 EF//BC,
EF//BC
EFa 平面ACl→EF// 平面AC.
BCc平面AC
BE,CF 顯然都與平面AC相交.
線面平行 線線平行 線面平行
典例分析
3.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“ √ ”,錯誤的畫“×”.
(1)如果直線allb, 那么a 平行于經過b的任何平面。 ( × )
(2)如果直線a和平面α滿足alla,那么a與α內的任何直線平行. (×)
(3)如果直線a,b 和平面α滿足alla,blla, 那么allb. ( × )
(4)如果直線a,b 和平面α滿足allb,alla,bta, 那么blla. ( √ )
4.如圖，aNβ=a,bca,cCβ,bllc, 求證：allbllc.
證明：由b//c,ccβ,b 女β,可得b//β .
又bcα,α∩β=a,
∴b/la.
∴a//b//c.
y 學以致用 教材P138
求證：直線EE // 平面FCC .
證明 如圖，取A B 的中點F , 連接 FF ,C F ,
在四棱柱ABCD-A B C D 中 ，BB //CC ,
因為F為棱AB 的中點，所以 FF //BB , 所 以 FF //CC , 所以F ∈ 平面FCC , 因此，平面FCC 即為平面C CFF . 連接A ,F C, 易得A F //D C //DC, 且A F =D C =DC,
所以四邊形A DCF 為平行四邊形，所以 A D//F C,
因為E,E 分別為棱AD,AA 的中點，所以EE //A D, 所以EE //F C, 又EE 女平面FCC ,F Cc 平面 FCC , 所以 EE // 平面 FCC .
y 能力提升
題型一 線面平行的判定定理
例題 1.如圖，在四棱柱ABCD-A B C D
AB=4,BC=CD=2,AA =2,E,E ,F
中，底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD,
分別為棱AD,AA ,AB 的中點，
(1)定義法：證明直線與平面無公共點；
(2)判定定理法： a α ,bcα ,且(a//b=a//α) ;
(3)反證法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內.
y 能力提升
判斷或證明線面平行的常用方法
方法總結
證明 因為四邊形AA B B,ABCD 均為正方形，
所以A B //AB//DC, 且 A B =AB=DC ,
所以四邊形 A B CD 為平行四邊形，
則B C//A D,
又B C女平面 A EFD,A Dc 平面A EFD, 所以B C// 平面A EFD,
而平面A EFD ∩平面B CD =EF,B Cc 平面B CD ,
所以 EF//B C.
y
2. 如圖所示，在多面體A B D DCBA 中，四邊形AA B B,ADD A ,ABCD 均為 正方形， E為B D 的中點，過A ,D,E 的平面交CD 于點F, 證 明 ：EF//B C.
線面平行的性質定理
能力提升
題型二
例題
方法總結 利用線面平行的性質定理證明線線平行的步驟
(1)在已知圖形中確定(或尋找)一條直線平行于一個平面.
(2)作出(或尋找)過這條直線且與這個平面相交的平面.
(3)得出交線.
(4)根據線面平行的性質定理得出結論 .
y 能力提升
證明 如圖，連接AC,A C .
在長方體ABCD-A B C D 中 ，
所以四邊形ACC A 是平行四邊形，所以AC//A C ,
因為ACd 平面A BC ,A C c 平面A BC ,
所以AC// 平面A BC ,
因為ACc 平面PAC, 平 面A BC n 平面PAC=MN, 所以 AC//MN.
又MN 丈 平 面 ABCD,ACc 平面ABCD, 所以 MN// 平面 ABCD.
y
例題 3.如圖，在長方體ABCD-A B C D 中，點P∈BB (P 不與B,B 重合),
PA∩A B=M,PC∩BC =N, 求證：MN// 平面ABCD.
線面平行的判定、性質定理的綜合應用
能力提升
題型三
關鍵：過已知平面內的一條直線作平面與另一已知平面相交.
思考方向：若條件中含有線線平行，則考慮線面平行的判定定理；
若條件中含有線面平行，則考慮線面平行的性質定理.
線面平行的判定定理和性質定理的關鍵與思考方向
y 能力提升
方法總結
1、直線與平面平行的判定定理
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此
平面平行.
線線平行 線面平行
2、直線與平面平行的性質定理
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該 直線與交線平行.
線線平行 線面平行
y課堂小結
人教A 版2019必修第二冊
感謝聆聽
主 講 ：

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