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四川省綿陽市三臺中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題
1．（2025高二下·三臺月考）數(shù)列的遞推公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列第一項(xiàng)是1，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，所以遞推公式為.
故答案為：C.
【分析】觀察數(shù)列可知：數(shù)列的第一項(xiàng)為1，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，由此可得數(shù)列的遞推公式判斷即可.
2．（2025高二下·三臺月考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以，則，所以.
故答案為：B.
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
3．（2025高二下·三臺月考）函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是（　　）
A． B． C． . D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】解： .
令 ，解得 ，
故答案為：D.
【分析】
先求積的導(dǎo)數(shù)，再令 f′(x)>0，解得 x>2 即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
4．（2025高二下·三臺月考）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（　　）
A．21 B．18 C．15 D．12
【答案】A
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以成等比數(shù)列，即3，6，成等比數(shù)列，
所以，解得．
故答案為：A．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知成等比數(shù)列，求出，再求即可.
5．（2025高二下·三臺月考）已知函數(shù)，滿足當(dāng)時，，若，則有（　　）
A． B．
C． D．與的大小關(guān)系不定
【答案】B
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】解：設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋裕瑒t.
故答案為：B.
【分析】當(dāng)時，，構(gòu)造上的單調(diào)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性去比較大小，從而找出正確的選項(xiàng)。
6．（2025高二下·三臺月考）設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍是，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式
【解析】【解答】解：曲線，求導(dǎo)可得，
因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，所以切線的斜率，
即，解得，故點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為.
故答案為：D.
【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍是，列不等式求解即可.
7．（2025高二下·三臺月考）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列，且對任意正整數(shù)恒成立，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式；數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列滿足：，所以，故，
所以，
又因?yàn)椋裕剩?br/>所以．
故答案為：C.
【分析】原式變形可得，再利用累乘法得，故，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可．
8．（2025高二下·三臺月考）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法探求：若，則（　　）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
【答案】D
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：由題意，根據(jù)等比數(shù)列額性質(zhì)可得：，
因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
令，則，
所以，所以.
故答案為：D.
【分析】由題意，推出，再利用倒序相加法求解即可.
9．（2025高二下·三臺月考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（　　）
A．是遞增數(shù)列 B．
C．當(dāng)時， D．當(dāng)或4時，取得最大值
【答案】C,D
【知識點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系
【解析】【解答】解：當(dāng)時，，
因?yàn)椋裕?br/>則是遞減數(shù)列，故A錯誤；
因?yàn)椋蔅錯誤；
當(dāng)時，，故C正確；
因?yàn)榈膶ΨQ軸為，開口向下，
又因?yàn)槭钦麛?shù)，且或距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，
所以當(dāng)或時，取得最大值，故D正確.
故答案為：CD.
【分析】根據(jù)的表達(dá)式和當(dāng)時，的關(guān)系式，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判斷出選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)C；利用結(jié)合二次函數(shù)的圖象求最值的方法，從而判斷出選項(xiàng)D，進(jìn)而找出說法正確的選項(xiàng).
10．（2025高二下·三臺月考）下列命題正確的有（　　）
A．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則
B．已知函數(shù)，若，則
C．
D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
【答案】B,D
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；導(dǎo)數(shù)的概念
【解析】【解答】解：對于A：因?yàn)楹瘮?shù)在上可導(dǎo)，且，
所以，故錯誤；
對于：因?yàn)椋?br/>若，則，即，故正確；
對于：因?yàn)椋叔e誤；
對于：因?yàn)椋?br/>所以，則，故正確.
故答案為：.
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的概念判斷出選項(xiàng)；對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，從而計(jì)算判斷出選項(xiàng)；用除法的求導(dǎo)法則判斷出選項(xiàng)；先求導(dǎo)，再解方程得出的值，則判斷出選項(xiàng)D，從而找出真命題的選項(xiàng).
11．（2025高二下·三臺月考）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式；數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，
所以，
，
所以數(shù)列從第4項(xiàng)起以4，2，1循環(huán)，而，所以，
.
故答案為：ABD.
【分析】根據(jù)已知條件，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列從第4項(xiàng)起以4，2，1循環(huán)，再逐項(xiàng)判斷即可.
12．（2025高二下·三臺月考）曲線在點(diǎn)在時的切線斜率為　 　.
【答案】3
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式
【解析】【解答】解：曲線，求導(dǎo)可得，當(dāng)時，，故曲線在點(diǎn)在時的切線斜率為3.
故答案為：3.
【分析】求導(dǎo)，將代入求值即可.
13．（2025高二下·三臺月考）正項(xiàng)數(shù)列共有9項(xiàng)，前3項(xiàng)成等差，后7項(xiàng)成等比，.前項(xiàng)和為，則的值為　 　.
【答案】384
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)數(shù)列后7項(xiàng)的公比為，易知首項(xiàng)為，因?yàn)椋?br/>所以，解得，
則，顯然，所以．
故答案為：384.
【分析】設(shè)數(shù)列后7項(xiàng)的公比為，根據(jù)已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出及，再分組求和即可．
14．（2025高二下·三臺月考）若分別是曲線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為　 　.
【答案】
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
【解析】【解答】解：設(shè)圓圓心為，作出曲線和圓的圖象，如圖所示：
當(dāng)垂直于曲線在點(diǎn)處的切線時，最小，取得最小值時，取得最小值，
設(shè)點(diǎn)，曲線求導(dǎo)可得，所以，即，
由于時滿足上式，且在單調(diào)遞增，所以有唯一解，
所以，此時，所以
故答案為：.
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點(diǎn)到圓心距離的最小值，找出取得最小值時候滿足的條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則列式求解即可.
15．（2025高二下·三臺月考）已知曲線．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若曲線在處的切線與曲線相切，求的取值．
【答案】（1）解：因?yàn)椋郑?br/>故曲線在處的切線方程：， 即.
（2）解：因?yàn)椋瑒t曲線在處的切線方程為：，
又直線與曲線相切，
聯(lián)立方程消得：，
由題意有，即，解得：.
【知識點(diǎn)】簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再求在處的導(dǎo)數(shù)值，即直線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得曲線在處的切線方程；
（2）先求切線方程，再聯(lián)立直線與曲線方程，最后由求即可.
16．（2025高二下·三臺月考）等差數(shù)列中，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，
所以．
（2）解：因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，
所以，所以．
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程組，求解即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，再利用分組求和即可.
17．（2025高二下·三臺月考）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求和的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）解：由題意可得，
所以，即，則切線方程為，
所以，
所以，.
（2）解：由（1）得，，
函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，再結(jié)合已知條件求出b的值，從而得出切線方程，再由切點(diǎn)在曲線上和切線上，從而建立關(guān)于a的等量關(guān)系，進(jìn)而求出a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（1）由題可得，
所以，即，切線方程為，
所以.
所以；.
（2）由（1）得，，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
18．（2025高二下·三臺月考）某企業(yè)年初在一個項(xiàng)目上投資千萬元，據(jù)市場調(diào)查，每年獲得的利潤為投資的，為了企業(yè)長遠(yuǎn)發(fā)展，每年底需要從利潤中取出萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造，其余繼續(xù)投入該項(xiàng)目．設(shè)經(jīng)過年后，該項(xiàng)目的資金為萬元．
（1）寫出一個遞推公式，表示之間的關(guān)系，并求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若該項(xiàng)目的資金達(dá)到翻一番，至少經(jīng)過幾年？（，）
【答案】（1）證明：由題意知．
即，所以．
由題意知，
所以數(shù)列的首項(xiàng)為，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
（2）由（1）知數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．
所以，所以，當(dāng)，得，
兩邊取常用對數(shù)得，所以，所以，
因?yàn)椋裕粗辽俳?jīng)過年，該項(xiàng)目的資金達(dá)到翻一番
【知識點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的遞推公式
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，即，利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列即可；
（2）由（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再令，得，解不等式即可求解．
19．（2025高二下·三臺月考）如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的邊長為．
（1）求的值；
（2）求出的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求證：．
【答案】（1）解：依題意，為正三角形，且，
觀察圖象得，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
即，解得，
所以為正三角形，且，
又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以，
整理得，解得，
所以，.
（2）解：令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是正三角形，
點(diǎn)，，
所以點(diǎn)在曲線上，
則，即，
當(dāng)時，，
兩式相減得：，
整理得，
則，
又因?yàn)闈M足上式，因此，，
即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，
所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（3）證明：由（2）知，當(dāng)時，，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
顯然滿足上式，因此，
由求導(dǎo)得，，所以，
當(dāng)時，，
.
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和；通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系
【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線方程，從而解一元二次方程得出的值.
（2）令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用與表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線方程可得與的關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（3）由（2）求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，再利用裂項(xiàng)相消法和放縮法，從而證出不等式成立.
（1）依題意，為正三角形，且，觀察圖象得，而點(diǎn)在曲線上，
即，解得，為正三角形，且，點(diǎn)在曲線上，
，整理得，解得，
所以，.
（2）令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是正三角形，點(diǎn)，
，于是點(diǎn)在曲線上，
則，即，當(dāng)時，，
兩式相減得：，整理得，
則，而滿足上式，因此，，
即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（3）由（2）知，當(dāng)時，，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然滿足上式，因此，
由求導(dǎo)得，，于是，
當(dāng)時，，
所以.
1 / 1四川省綿陽市三臺中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題
1．（2025高二下·三臺月考）數(shù)列的遞推公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·三臺月考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2025高二下·三臺月考）函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是（　　）
A． B． C． . D．
4．（2025高二下·三臺月考）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（　　）
A．21 B．18 C．15 D．12
5．（2025高二下·三臺月考）已知函數(shù)，滿足當(dāng)時，，若，則有（　　）
A． B．
C． D．與的大小關(guān)系不定
6．（2025高二下·三臺月考）設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍是，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·三臺月考）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列，且對任意正整數(shù)恒成立，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·三臺月考）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法探求：若，則（　　）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
9．（2025高二下·三臺月考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（　　）
A．是遞增數(shù)列 B．
C．當(dāng)時， D．當(dāng)或4時，取得最大值
10．（2025高二下·三臺月考）下列命題正確的有（　　）
A．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則
B．已知函數(shù)，若，則
C．
D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
11．（2025高二下·三臺月考）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025高二下·三臺月考）曲線在點(diǎn)在時的切線斜率為　 　.
13．（2025高二下·三臺月考）正項(xiàng)數(shù)列共有9項(xiàng)，前3項(xiàng)成等差，后7項(xiàng)成等比，.前項(xiàng)和為，則的值為　 　.
14．（2025高二下·三臺月考）若分別是曲線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為　 　.
15．（2025高二下·三臺月考）已知曲線．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若曲線在處的切線與曲線相切，求的取值．
16．（2025高二下·三臺月考）等差數(shù)列中，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)和．
17．（2025高二下·三臺月考）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求和的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
18．（2025高二下·三臺月考）某企業(yè)年初在一個項(xiàng)目上投資千萬元，據(jù)市場調(diào)查，每年獲得的利潤為投資的，為了企業(yè)長遠(yuǎn)發(fā)展，每年底需要從利潤中取出萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造，其余繼續(xù)投入該項(xiàng)目．設(shè)經(jīng)過年后，該項(xiàng)目的資金為萬元．
（1）寫出一個遞推公式，表示之間的關(guān)系，并求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若該項(xiàng)目的資金達(dá)到翻一番，至少經(jīng)過幾年？（，）
19．（2025高二下·三臺月考）如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的邊長為．
（1）求的值；
（2）求出的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求證：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列第一項(xiàng)是1，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，所以遞推公式為.
故答案為：C.
【分析】觀察數(shù)列可知：數(shù)列的第一項(xiàng)為1，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，由此可得數(shù)列的遞推公式判斷即可.
2．【答案】B
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以，則，所以.
故答案為：B.
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
3．【答案】D
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】解： .
令 ，解得 ，
故答案為：D.
【分析】
先求積的導(dǎo)數(shù)，再令 f′(x)>0，解得 x>2 即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
4．【答案】A
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以成等比數(shù)列，即3，6，成等比數(shù)列，
所以，解得．
故答案為：A．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知成等比數(shù)列，求出，再求即可.
5．【答案】B
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】解：設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋裕瑒t.
故答案為：B.
【分析】當(dāng)時，，構(gòu)造上的單調(diào)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性去比較大小，從而找出正確的選項(xiàng)。
6．【答案】D
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式
【解析】【解答】解：曲線，求導(dǎo)可得，
因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，所以切線的斜率，
即，解得，故點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為.
故答案為：D.
【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍是，列不等式求解即可.
7．【答案】C
【知識點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式；數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列滿足：，所以，故，
所以，
又因?yàn)椋裕剩?br/>所以．
故答案為：C.
【分析】原式變形可得，再利用累乘法得，故，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可．
8．【答案】D
【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：由題意，根據(jù)等比數(shù)列額性質(zhì)可得：，
因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
令，則，
所以，所以.
故答案為：D.
【分析】由題意，推出，再利用倒序相加法求解即可.
9．【答案】C,D
【知識點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系
【解析】【解答】解：當(dāng)時，，
因?yàn)椋裕?br/>則是遞減數(shù)列，故A錯誤；
因?yàn)椋蔅錯誤；
當(dāng)時，，故C正確；
因?yàn)榈膶ΨQ軸為，開口向下，
又因?yàn)槭钦麛?shù)，且或距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，
所以當(dāng)或時，取得最大值，故D正確.
故答案為：CD.
【分析】根據(jù)的表達(dá)式和當(dāng)時，的關(guān)系式，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判斷出選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)C；利用結(jié)合二次函數(shù)的圖象求最值的方法，從而判斷出選項(xiàng)D，進(jìn)而找出說法正確的選項(xiàng).
10．【答案】B,D
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；導(dǎo)數(shù)的概念
【解析】【解答】解：對于A：因?yàn)楹瘮?shù)在上可導(dǎo)，且，
所以，故錯誤；
對于：因?yàn)椋?br/>若，則，即，故正確；
對于：因?yàn)椋叔e誤；
對于：因?yàn)椋?br/>所以，則，故正確.
故答案為：.
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的概念判斷出選項(xiàng)；對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，從而計(jì)算判斷出選項(xiàng)；用除法的求導(dǎo)法則判斷出選項(xiàng)；先求導(dǎo)，再解方程得出的值，則判斷出選項(xiàng)D，從而找出真命題的選項(xiàng).
11．【答案】A,B,D
【知識點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式；數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的前n項(xiàng)和
【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，
所以，
，
所以數(shù)列從第4項(xiàng)起以4，2，1循環(huán)，而，所以，
.
故答案為：ABD.
【分析】根據(jù)已知條件，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列從第4項(xiàng)起以4，2，1循環(huán)，再逐項(xiàng)判斷即可.
12．【答案】3
【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式
【解析】【解答】解：曲線，求導(dǎo)可得，當(dāng)時，，故曲線在點(diǎn)在時的切線斜率為3.
故答案為：3.
【分析】求導(dǎo)，將代入求值即可.
13．【答案】384
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)數(shù)列后7項(xiàng)的公比為，易知首項(xiàng)為，因?yàn)椋?br/>所以，解得，
則，顯然，所以．
故答案為：384.
【分析】設(shè)數(shù)列后7項(xiàng)的公比為，根據(jù)已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出及，再分組求和即可．
14．【答案】
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
【解析】【解答】解：設(shè)圓圓心為，作出曲線和圓的圖象，如圖所示：
當(dāng)垂直于曲線在點(diǎn)處的切線時，最小，取得最小值時，取得最小值，
設(shè)點(diǎn)，曲線求導(dǎo)可得，所以，即，
由于時滿足上式，且在單調(diào)遞增，所以有唯一解，
所以，此時，所以
故答案為：.
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點(diǎn)到圓心距離的最小值，找出取得最小值時候滿足的條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則列式求解即可.
15．【答案】（1）解：因?yàn)椋郑?br/>故曲線在處的切線方程：， 即.
（2）解：因?yàn)椋瑒t曲線在處的切線方程為：，
又直線與曲線相切，
聯(lián)立方程消得：，
由題意有，即，解得：.
【知識點(diǎn)】簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再求在處的導(dǎo)數(shù)值，即直線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得曲線在處的切線方程；
（2）先求切線方程，再聯(lián)立直線與曲線方程，最后由求即可.
16．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，
所以．
（2）解：因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，
所以，所以．
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程組，求解即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，再利用分組求和即可.
17．【答案】（1）解：由題意可得，
所以，即，則切線方程為，
所以，
所以，.
（2）解：由（1）得，，
函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，再結(jié)合已知條件求出b的值，從而得出切線方程，再由切點(diǎn)在曲線上和切線上，從而建立關(guān)于a的等量關(guān)系，進(jìn)而求出a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（1）由題可得，
所以，即，切線方程為，
所以.
所以；.
（2）由（1）得，，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
18．【答案】（1）證明：由題意知．
即，所以．
由題意知，
所以數(shù)列的首項(xiàng)為，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
（2）由（1）知數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．
所以，所以，當(dāng)，得，
兩邊取常用對數(shù)得，所以，所以，
因?yàn)椋裕粗辽俳?jīng)過年，該項(xiàng)目的資金達(dá)到翻一番
【知識點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的遞推公式
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，即，利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列即可；
（2）由（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再令，得，解不等式即可求解．
19．【答案】（1）解：依題意，為正三角形，且，
觀察圖象得，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
即，解得，
所以為正三角形，且，
又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以，
整理得，解得，
所以，.
（2）解：令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是正三角形，
點(diǎn)，，
所以點(diǎn)在曲線上，
則，即，
當(dāng)時，，
兩式相減得：，
整理得，
則，
又因?yàn)闈M足上式，因此，，
即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，
所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（3）證明：由（2）知，當(dāng)時，，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
顯然滿足上式，因此，
由求導(dǎo)得，，所以，
當(dāng)時，，
.
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和；通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系
【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線方程，從而解一元二次方程得出的值.
（2）令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用與表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線方程可得與的關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（3）由（2）求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，再利用裂項(xiàng)相消法和放縮法，從而證出不等式成立.
（1）依題意，為正三角形，且，觀察圖象得，而點(diǎn)在曲線上，
即，解得，為正三角形，且，點(diǎn)在曲線上，
，整理得，解得，
所以，.
（2）令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是正三角形，點(diǎn)，
，于是點(diǎn)在曲線上，
則，即，當(dāng)時，，
兩式相減得：，整理得，
則，而滿足上式，因此，，
即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（3）由（2）知，當(dāng)時，，
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然滿足上式，因此，
由求導(dǎo)得，，于是，
當(dāng)時，，
所以.
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