資源簡介

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向量運算的坐標表示
1．若向量，，．
(1)，求的值；
(2)若與共線，求k的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因，即，
所以 ，解得 ，故；
（2）因與共線，，，
所以，故．
2．已知向量.
(1)若，求實數的值；
(2)若，求向量與的夾角.
【答案】(1)或.(2)
【詳解】（1）已知，
所以.
又因為，所以有，
所以，解得或.
（2）因為，所以.
又，所以，
解得，所以.
所以，
因為，所以.
3．向量，向量．
(1)求；
(2)若向量與向量共線，，求的模的最小值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）；
（2）由題設且，則，
所以，
當時，.
4．已知向量，，．
(1)求與垂直的單位向量的坐標；
(2)若，求實數的值．
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）設與垂直的單位向量，
則，解得：或，
或.
（2），，又，
，解得：.
5．已知，．
(1)求，；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）由，，
所以，．
（2）由，，
則，
所以．
6．已知.
(1)當k為何值時，與共線
(2)若=，= 且A，B，C三點共線，求m的值.
【答案】(1)k=(2)m=
【詳解】（1）由題可得，；
.
因為與共線，則；
（2）因為A，B，C三點共線，與不共線，所以存在實數λ，使得=λ(λ∈R)，即，整理得，
所以m=.
7．已知
(1)若且 時，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；
(2)若函數，求的最小值.
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）當 時， ，與的夾角為鈍角，
于是，且與不共線，
則 ，解得，又，即，
則有，又當與共線時，，解得，
因此與不共線時，，
所以的取值范圍是.
（2）依題意，當時，
，
令，則，
于是，而函數在上為增函數，
則當時，y有最小值，
所以的最小值為
8．已知平面向量，，，且．
(1)求的坐標；
(2)求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）設，因為 ，所以，又，
解得，，所以；
（2），所以，
則向量在向量上的投影向量的模為；
綜上，，向量在向量上的投影向量的模為5.
9．已知向量，.
(1)求；
(2)求與的夾角.
【答案】(1)2(2)
【詳解】（1）因為向量，，所以，
則
（2），
所以與的夾角為.
10．已知向量，．
(1)若，求在上的投影向量的模長；
(2)若，求實數的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題意得當時,,
則，，
所以在上的投影向量的模為．
（2）由，，
由，得，
即，解得．
11．設，是兩個不共線的向量．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，又向量夾角范圍為[0,π]，
所以.
（2）因為，設，μ為實數，
即，則，即，解得．
12．已知當為何值時，
(1)與共線；
(2)與的夾角為
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，所以，
，
由與共線，則，所以.
（2）因為，，
因為與的夾角為，所以，得到，所以.
13．（1）已知單位向量、的夾角為，與垂直，求；
（2）已知向量，，，若，求.
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）因為單位向量、的夾角為，所以，
又與垂直，所以，即，即，解得；
（2）因為，，所以，
又且，所以，解得.
14．已知向量，求：
(1)若﹐求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)1(2)
【詳解】（1）因為，所以，，所以，
又因為，所以，解得，所以.
（2）因為，所以，
又，所以，即，所以.
15．已知向量，．
(1)若，求k的值；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）由已知，，
∵，∴，解得；
（2），
∵，∴，解得．
16．已知平面向量，．
(1)在方向上的投影向量；
(2)當k為何值時，與垂直．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）在方向上的投影向量.
（2）∵與垂直，，，
∴，即，解得．
17．已知向量，，
(1)當實數為何值時，向量與共線
(2)當實數為何值時，向量與垂直
【答案】(1)(2)
【詳解】（1），，
向量與共線，所以，所以.
（2），，
向量與垂直，所以，解得.
18．已知向量，.
(1)求時，求的值；
(2)若與共線，求夾角
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）∵，
當時，，∴，
∴.
（2），且與共線
∴，解得，
所以，，
所以夾角為.
19．已知向量，.
(1)求與夾角的余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：由向量，，可得，且，
所以與夾角的余弦值.
（2）解：由，可得，
即，解得.
20．設平面三點A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．
(1)若試求D點的坐標；
(2)試求向量與的夾角余弦值；
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）設，則，
因為所以，解得
所以D點的坐標為.
（2）由（1）知，又，
所以，
故向量與的夾角余弦值為.
21．已知，是同一平面內的兩個向量，其中，且．
(1)若，求的坐標；
(2)若，求與夾角．
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）設．
因為，，
所以即
又因為，所以．
解之得時，或時，，
所以或．
（2）記與夾角為．
因為，所以，
則，即，
所以，
又因為，所以．
22．設A，B，C，D為平面內的四點，且.
(1)若，求D點的坐標；
(2)設向量，若向量與平行，求實數k的值.
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）設，因為，于是，整理得，
即有，解得，
所以.
（2）因為，
所以，，
因為向量與平行，因此，解得，
所以實數k的值為.
23．已知是同一平面內的三個向量，其中．
(1)若，且∥，求的坐標；
(2)若，且與垂直，求與的夾角．
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）解：設，因為，
∴，即，①
由∥，得，②
由①②，得或，
故或；
（2）解：因為與垂直，
所以，
即，
又，，
所以，整理得，
故，
又，
所以．
24．已知向量，， ，求的值.
【答案】
【詳解】∵，，
∴，
∴
，
∴，
∴.
25．設向量
(1)求與垂直的單位向量；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍.
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）由已知，設與垂直的單位向量為
則，解得或
即與垂直的單位向量為或
（2）由已知
所以，
因為向量與向量的夾角為鈍角，
所以，解得，
又因為向量不與向量反向共線，
設，則
從而或（舍去），所以解得
26．已知非零向量和不共線.
(1)若，，，求證：A，B，D三點共線；
(2)若向量與向量平行，求實數k的值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1），
又，， A，B，D三點共線；
（2）向量與向量平行，
存在實數使，
，解得.
27．已知平面向量．
(1)若，且，求的坐標；
(2)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍．
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）由，
所以，
設，
因為，
所以，
因為，所以，
解得，或，
所以的坐標為或.
（2）由，
所以，
因為與的夾角為銳角，
所以且與不共線，
，
解得且，
即實數的取值范圍為.
28．已知向量、.
(1)求與的數量積.
(2)求與的夾角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，，所以.
（2）因為，，所以，，
所以.
29．已知向量，，，．
(1)若，求的值；
(2)若與垂直，求的值．
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）因為，，
所以，又，
所以，
即，
解得或．
（2）因為，，
所以，
又與垂直，，
所以，
解得．
30．已知向量
(1)已知且，求
(2)已知，且，求向量與向量的夾角．
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）由，所以設
又得，解得，
所以或.
（2）由題知，，，，
所以，
所以
所以
所以
所以
因為
所以向量與向量的夾角為.
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向量運算的坐標表示
1．若向量，，．
(1)，求的值；
(2)若與共線，求k的值．
2．已知向量.
(1)若，求實數的值；
(2)若，求向量與的夾角.
3．向量，向量．
(1)求；
(2)若向量與向量共線，，求的模的最小值．
4．已知向量，，．
(1)求與垂直的單位向量的坐標；
(2)若，求實數的值．
5．已知，．
(1)求，；
(2)求．
6．已知.
(1)當k為何值時，與共線
(2)若=，= 且A，B，C三點共線，求m的值.
7．已知
(1)若且 時，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；
(2)若函數，求的最小值.
8．已知平面向量，，，且．
(1)求的坐標；
(2)求向量在向量上的投影向量的模．
9．已知向量，.
(1)求；
(2)求與的夾角.
10．已知向量，．
(1)若，求在上的投影向量的模長；
(2)若，求實數的值．
11．設，是兩個不共線的向量．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
12．已知當為何值時，
(1)與共線；
(2)與的夾角為
13．（1）已知單位向量、的夾角為，與垂直，求；
（2）已知向量，，，若，求.
14．已知向量，求：
(1)若﹐求；
(2)若，求的值．
15．已知向量，．
(1)若，求k的值；
(2)若，求k的值．
16．已知平面向量，．
(1)在方向上的投影向量；
(2)當k為何值時，與垂直．
17．已知向量，，
(1)當實數為何值時，向量與共線
(2)當實數為何值時，向量與垂直
18．已知向量，.
(1)求時，求的值；
(2)若與共線，求夾角
19．已知向量，.
(1)求與夾角的余弦值；
(2)若，求的值.
20．設平面三點A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．
(1)若試求D點的坐標；
(2)試求向量與的夾角余弦值；
21．已知，是同一平面內的兩個向量，其中，且．
(1)若，求的坐標；
(2)若，求與夾角．
22．設A，B，C，D為平面內的四點，且.
(1)若，求D點的坐標；
(2)設向量，若向量與平行，求實數k的值.
23．已知是同一平面內的三個向量，其中．
(1)若，且∥，求的坐標；
(2)若，且與垂直，求與的夾角．
24．已知向量，， ，求的值.
25．設向量
(1)求與垂直的單位向量；
(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍.
26．已知非零向量和不共線.
(1)若，，，求證：A，B，D三點共線；
(2)若向量與向量平行，求實數k的值.
27．已知平面向量．
(1)若，且，求的坐標；
(2)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍．
28．已知向量、.
(1)求與的數量積.
(2)求與的夾角的余弦值.
29．已知向量，，，．
(1)若，求的值；
(2)若與垂直，求的值．
30．已知向量
(1)已知且，求
(2)已知，且，求向量與向量的夾角．
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