資源簡介

專題強化二　追及相遇問題
學習目標　1.會分析追及相遇問題，掌握追及相遇問題的分析方法和技巧。 2.熟練運用運動學公式結合運動學圖像解決追及相遇問題。
　　追及相遇問題的實質就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置。追及相遇問題的基本物理模型:以甲追乙為例。
1.二者距離變化與速度大小的關系
(1)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲v乙，追上之前，甲、乙的距離就不斷減小。
(2)若v甲=v乙，甲、乙的距離保持不變。
2.解答追及相遇問題的三種方法
情境 分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立一幅物體運動關系的情境圖
圖像 分析法 將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一坐標系中，然后利用圖像分析求解相關問題
函數 分析法 設相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于位移x與時間t的函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況
角度　情境分析法
例1 (2025·山東濰坊模擬)如圖所示，甲、乙兩輛5G自動駕駛測試車，在不同車道上沿同一方向做勻速直線運動，甲車在乙車前，甲車的速度大小v1=72 km/h，乙車的速度大小v2=36 km/h。當甲、乙兩車相距x0=20 m時，甲車因前方突發情況緊急剎車，已知剎車過程的運動可視為勻減速直線運動，加速度大小a=2 m/s2，從剎車時開始計時，兩車均可看作質點。求:
(1)兩車并排行駛之前，兩者在運動方向上的最遠距離Δx;
(2)從甲車開始減速到兩車并排行駛所用時間t。
答案　(1)45 m　(2)12 s
解析　(1)當兩車速度相等時，兩者的距離最大，設經過時間t1兩者速度相等，由v1=72 km/h=20 m/s，v2=36 km/h=10 m/s
則v1－at1=v2
解得t1=5 s
在t1時間內甲車位移為
x1=t1=×5 m=75 m
乙車位移為x2=v2t1=10×5 m=50 m
兩車并排行駛之前，兩者在運動方向上的最遠距離Δx=x0+x1－x2=20 m+75 m－50 m=45 m。
(2)設經過時間t2甲車停下來，根據運動學公式可得
t2== s=10 s
在t2時間內，甲車的位移
x1'=t2=×10 m=100 m
乙車的位移為x2'=v2t2=10×10 m=100 m
說明甲車速度減小到零時，甲、乙兩車還相距20 m，兩車并排時乙車再運動的時間為
t3== s=2 s
所以從甲車開始減速到兩車并排行駛所用時間
t=t2+t3=12 s。
拓展　 若甲車剛停止時，危險解除，甲車立刻以a0=2 m/s2的加速度加速行駛至原速度后勻速運動，問乙車是否還能追上甲車(甲、乙兩車不在同一車道行駛，不會相撞)。
答案　能追上
解析　方法一　設甲車加速到與乙車速度相等時用時 t4，則v2=a0t4
解得t4=5 s
x甲=x1'+t4=125 m
x乙=v2(t2+t4)=150 m
由于x乙>x甲+x0，故乙車可以追上甲車。
方法二　畫出甲、乙兩車運動的v－t圖像，如圖所示
x1=×10×5 m=25 m
x2=×10×(15－5) m=50 m
因x2>x1+x0，故乙車可以追上甲車。
總結提升
1.情境分析法的基本思路
2.特別提醒
若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。
跟蹤訓練
1.(多選)(2025·山東聊城高三期末)飛盤是一項新興運動項目。在某場比賽中，運動員甲以大約10 m/s的速度帶飛盤沿直線進攻，他的隊友乙正以6 m/s的速度同向奔跑，t=0時刻，兩人恰好齊頭并進且相距8 m。從該時刻起，乙的速度保持不變，甲由于受到對方隊員的圍堵，以大小為1 m/s2的加速度做勻減速直線運動直至停止。若甲根據經驗判斷自己與乙之間的距離在10 m以內才有把握成功將球傳給乙，從t=0時刻開始，甲在下列哪些時刻伺機把飛盤傳出，乙可以順利接到飛盤(　　)
A.1 s B.4 s
C.8 s D.10 s
答案　AC
解析　甲要想把飛盤傳給乙，則兩人沿同一方向的位移之差小于Δx= m=6 m，設當經過時間為t時兩人之間的同方向距離恰好為6 m，則=Δx，解得t=2 s或t=6 s或t= s，甲停止運動的時間為t0==10 s，兩人間距小于10 m時應該在0~2 s和6~ s之間，故A、C正確。
角度　圖像分析法
例2 (2024·河北邯鄲模擬)玩具車甲、乙在兩條平行的直軌道上運行，它們的－t圖像如圖所示。初始時刻，兩車在運動方向上相距l=1 m，甲在前，乙在后，下列說法正確的是(　　)
A.甲、乙兩車之間的距離先減小后增加
B.甲車做加速度大小為a=0.5 m/s2的勻加速直線運動，乙車做勻速直線運動
C.在t=t0時刻甲、乙兩車共速
D.0~t0，甲車的平均速度大小為4 m/s
答案　D
解析　由x=v0t+at2，得=v0+at，由圖像可知，甲車初速度v0=2 m/s，由a= m/s2得a=1 m/s2，所以甲車做初速度為v0=2 m/s，加速度為a=1 m/s2的勻加速直線運動，乙車做v=4 m/s的勻速直線運動，故B錯誤;由v=v0+at得共速時t=2 s，此時x甲=t=6 m，x乙=vt=8 m，Δx=x乙－x甲=2 m>l，則共速前乙車已追上甲，整個過程中兩車可相遇兩次，甲、乙兩車之間的距離先減小后增加，再減小再增加，故A錯誤;t0時刻二者平均速度相等，則有v=，得t0=4 s，此時v甲=v0+at0=2 m/s+1×4 m/s=6 m/s，不等于乙車的速度，故C錯誤;0~t0，甲車的平均速度為==4 m/s，故D正確。
總結提升　圖像法分析追及相遇問題的方法和思路
方法 基本思路
數理 轉換 定量畫圖時，需根據物體在不同階段的運動情況，通過定量計算分階段、分區間作出x－t圖像或v－t圖像等;或根據已知的運動圖像分析物體的運動情況
用圖 利用圖像中斜率、面積、截距、交點等的含義進行定性分析或定量計算，進而解決相關問題
跟蹤訓練
2.(2025·山東青島高三期末)在一平直路面上，甲、乙兩車做勻變速直線運動，其速度與時間的關系圖像如圖。t=0時刻，乙車在甲車前方15 m處。則下列說法正確的是(　　)
A.t=2 s時刻，甲車剛好追上乙車
B.t=4 s時刻，甲車剛好追上乙車
C.乙車的加速度大小大于甲車的加速度大小
D.0~4 s過程中甲、乙兩車之間的距離先增大后減小
答案　A
解析　由v－t圖像與橫軸所圍面積表示位移，可知在t=2 s時刻，甲車比乙車多走的距離為Δx=×(20－5)×2 m=15 m，因為Δx=x0=15 m，則此時甲車剛好追上乙車，A正確，B錯誤;由v－t圖像的斜率表示加速度，可知a甲= m/s2=5 m/s2，a乙= m/s2=2.5 m/s2，所以乙車的加速度大小小于甲車的加速度大小，C錯誤;0~2 s內兩車距離減小，2 s后甲車速度小于乙車速度，兩車距離又增大，故0~4 s過程中甲、乙兩車之間的距離先減小后增大，D錯誤。
角度　函數分析法
例3 在水平軌道上有兩列火車A和B相距為x，后面的A車做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞(未相遇)，A車的初速度v0應滿足什么條件
答案　v0<
解析　假設經過時間t，A車能追上B車，對A車有
xA=v0t－×2at2
對B車有xB=at2
則有xA=x+xB
即v0t－×2at2=x+at2
整理得3at2－2v0t+2x=0
兩車不相撞，t無實數解，則
Δ=(－2v0)2－4×3a×2x<0
則A車的初速度v0應滿足的條件是v0<。
函數分析法討論相遇問題的思路
設運動時間為t，根據條件列方程，得到關于二者之間的距離Δx與時間t的二次函數關系，Δx=0時，表示兩者相遇。若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次;若Δ=0，即有一個解，說明剛好追上或相遇;若Δ<0，無解，說明追不上或不能相遇。當t=－時，函數有極值，代表兩者距離有最大值或最小值。
A級　基礎對點練
1.大霧天氣行車容易發生交通事故。在大霧中，一輛客車以10 m/s的速度在平直公路上勻速行駛，一輛轎車以20 m/s的速度同方向在同一公路上駛來，轎車司機在距客車100 m時發現客車并立即緊急制動，為不使兩車相撞，轎車的制動加速度至少為(　　)
A.0.25 m/s2 B.0.5 m/s2
C.1 m/s2 D.2 m/s2
答案　B
解析　當兩車共速時距離最小為零，此時兩車恰不相碰，則v轎－at=v客，v轎t－at2=Δx+v客t，解得a=0.5 m/s2，故B正確。
2.(多選)(2024·河北石家莊期末)甲、乙兩物體沿直線同向運動，其位置x隨時間t的變化如圖所示，甲、乙圖線分別為部分拋物線、直線。下列說法正確的是(　　)
A.甲做勻減速直線運動 B.乙做勻加速直線運動
C.第4 s末，二者速度相等 D.前4 s內，二者位移相同
答案　AD
解析　由x－t圖像知甲做勻減速直線運動，乙做勻速直線運動，故A正確，B錯誤;第4 s末，甲、乙的位置相同，前4 s內二者位移相同，圖線的斜率不同，即二者的速度不相等，故C錯誤，D正確。
3.兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后同向勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。已知每輛車在剎車過程中所行駛的距離均為s，若要保證兩車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時保持的距離至少為(　　)
A.s B.2s
C.3s D.4s
答案　B
解析　兩輛完全相同的汽車，剎車時加速度相同，剎車位移也相同，均為s，設加速度大小為a，前車的剎車時間為t=，剎車位移為s=，在此時間內，后車做勻速運動，位移為x=v0t==2s，此后，后車剎車，剎車位移也為s，要保持兩車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時保持的距離至少為Δx=x+s－s=x=2s，故選項B正確，A、C、D錯誤。
4.如圖所示，裝備了“全力自動剎車”安全系統的汽車，當車速滿足3.6 km/h≤v≤28.8 km/h，且與前方行人之間的距離接近安全距離時，如果司機未采取制動措施，系統就會立即啟動“全力自動剎車”，使汽車避免與行人相撞。若該車在不同路況下“全力自動剎車”的加速度取值范圍是5~7 m/s2，則該系統設置的安全距離約為(　　)
A.0.07 m B.0.1 m
C.4.57 m D.6.4 m
答案　D
解析　汽車從開始剎車到停止運動的位移x=，系統設置的安全距離應為減速的最大位移，即初速度取最大值28.8 km/h=8 m/s，加速度取最小值5 m/s2時的位移，代入數據可得x=6.4 m，故D正確。
5.(2025·山東濟南模擬)如圖所示，一輛轎車以20 m/s的速度，從匝道駛入限速為90 km/h的某高架橋快速路的行車道。由于前方勻速行駛的貨車速度較小，轎車司機踩油門超車，加速8 s后發現無超車條件，立即踩剎車減速，經過3 s減速后，剛好與前方貨車保持約60 m左右距離同速跟隨。整個過程中轎車的速度與時間的關系如圖乙所示，貨車一直保持勻速。下列說法中正確的是(　　)
A.該過程轎車出現了超速情況
B.該過程轎車的平均加速度大小為1.25 m/s2
C.該過程轎車與貨車之間的距離先減小后增大
D.轎車開始加速時與貨車的距離約為100 m
答案　D
解析　由題圖乙可知轎車的最大速度為24 m/s=86.4 km/h<90 km/h，該過程轎車沒有超速，故A錯誤;轎車的平均加速度大小為= m/s2≠1.25 m/s2，故B錯誤;轎車速度一直大于貨車速度，直到11 s末兩車速度相等，所以兩車距離一直在減小，故C錯誤;0~11 s內，轎車的位移為x1=×(20+24)×8 m+(24+18)×3 m=239 m，貨車的位移為x2=18×11 m=198 m，開始的距離為d=x1+x0－x2=239 m+60 m－198 m=101 m，故D正確。
6.(多選)(2024·山東德州模擬)甲、乙兩質點沿同一直線運動，其中甲做勻變速直線運動，乙以大小為5 m/s速度做勻速直線運動，在t=3 s時兩質點相遇，他們的位置隨時間變化及相遇時切線數據如圖所示，在0~3 s時間內，下列判斷正確的是(　　)
A.相遇時甲質點的速度大小為3 m/s
B.甲質點的初速度大小為7 m/s
C.甲質點的加速度大小為2 m/s2
D.在t=1.5 s時，甲、乙兩質點相距最遠
答案　BC
解析　相遇時交點的縱坐標x=－7 m，x－t圖像的斜率表示速度，甲質點的速度大小為v3= m/s=1 m/s，故A錯誤;設甲質點的初速度為v0，加速度大小為a，有v3=v0－at，x甲=v0t－at2，其中t=3 s，x甲=12 m，聯立解得v0=7 m/s，a=2 m/s2，故B、C正確;甲、乙速度相等時，兩質點相距最遠，有v0－at1=v乙，解得t1=1 s，故D錯誤。
7.(2025·遼寧東北育才高三期中)中國高鐵向世界展示了中國速度，和諧號和復興號高鐵相繼從沈陽站點由靜止出發，沿同一方向做勻加速直線運動。兩車運動的速度—時間圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A.復興號高鐵追上和諧號動車前，t=70 s時兩車相距最遠
B.復興號高鐵經過95 s加速達到最大速度
C.t=140 s時，復興號高鐵追上和諧號動車
D.復興號高鐵追上和諧號動車前，兩車最遠相距4 900 m
答案　B
解析　由v－t圖像可知，0≤t≤140 s時，和諧號動車速度大于復興號高鐵速度，t>140 s時，和諧號動車速度小于復興號高鐵速度，故復興號高鐵追上和諧號動車前，t=140 s時兩車相距最遠，故A、C錯誤;復興號高鐵的加速度為a== m/s2=1 m/s2，復興號高鐵加速達到最大速度所需的時間為t1== s=95 s，故B正確;根據v－t圖像與坐標軸圍成的面積表示位移，可知復興號高鐵追上和諧號動車前，兩車最遠相距Δx=×140×70 m－×(140－70)×70 m=2 450 m，故D錯誤。
B級　綜合提升練
8.(多選)兩個滑塊a、b從同一位置出發沿同一直線運動，先勻加速運動后勻減速運動。在坐標紙上畫出a、b運動的v－t圖像如圖所示，t1、t2兩時刻a、b速度相等。下列說法正確的是(　　)
A.t1時刻b與a再次相遇
B.t2時刻b與a再次相遇
C.加速階段a、b加速度大小之比為
D.從開始運動到b停下的時間內，b的平均速度大于a的平均速度
答案　BC
解析　開始加速時，a的速度大于b的速度，a在前b在后，a、b間距離逐漸變大，t1時刻二者速度相等，然后b的速度大于a的速度，a、b間距離逐漸變小，在v－t圖像中，先連接a、b的兩轉折點(速度最大點)，再連接O與a、b的第二個交點，可發現兩條線的斜率相等，即兩條線平行。由幾何知識可知兩個陰影部分三角形面積相等，可知0~t2內二者位移相等，此時b與a相遇，A錯誤，B正確;t2時刻后，a的速度大于b的速度，當b停下時，a在b前方還有速度，從開始運動到b停下過程，a的位移大于b的位移，a的平均速度大于b的平均速度，D錯誤;由圖中加速時圖像斜率關系可知，加速階段a、b加速度之比為，C正確。
9.物理興趣小組的同學用兩個相同的遙控小車沿直線進行追逐比賽，兩小車分別安裝不同的傳感器并連接到計算機中，A小車安裝加速度傳感器，B小車安裝速度傳感器，兩車初始時刻速度大小均為v0=30 m/s，A車在前、B車在后，兩車相距100 m，其傳感器讀數與時間的函數關系圖像如圖所示，規定初始運動方向為正方向。下列說法正確的是(　　)
A.t=3 s時兩車間距離為25 m
B.3~9 s內，A車的加速度大于B車的加速度
C.兩車最近距離為10 m
D.0~9 s內兩車相遇一次
答案　C
解析　在0~3 s內A車做勻減速運動，A車減速到零所需時間tA==3 s，故在t=3 s時A車減速到零，A車前進的位移為xA=tA=45 m，B車前進的位移為xB=v0tA=90 m，t=3 s時兩車間距離為Δx=d+xA－xB=55 m，故A錯誤;由題圖可知在3~9 s內A車的加速度為aA2=5 m/s2，在v－t圖像中，圖像的斜率表示加速度，則以aB==－5 m/s2，故A、B兩車的加速度大小相等，故B錯誤;t=3 s后，A車開始由靜止做勻加速運動，B車開始做勻減速運動，3~9 s的過程中，設經歷時間t兩者速度相同，則v共=aA2t=v0+aBt，解得t=3 s，v共=15 m/s，A車在t=3 s內前進的位移為x1=t=22.5 m，B車前進的位移為x2=t=67.5 m，故此時兩車相距的最小距離為Δxmin=Δx+x1－x2=10 m，此后A車的速度大于B車的速度，兩者間的距離開始增大，故不可能相遇，故C正確，D錯誤。
10.(2024·河北石家莊模擬)如圖所示，直線MN表示一條平直單車道，甲、乙兩輛汽車開始靜止，車頭分別在A、B兩處，兩輛車長均為L=4 m，兩個車頭間的距離為x0=89 m，現甲車先開始向右做勻加速直線運動，加速度a1=2.5 m/s2，甲車運動了t0=5 s后，發現乙車仍然靜止，甲車立即鳴笛，又經過t1=1 s，乙車才開始向右做勻加速直線運動。
(1)若乙車運動的加速度a2=5.0 m/s2，兩輛汽車是否會相撞 通過計算說明。
(2)若要使兩車不相撞，乙車運動的加速度至少是多少
答案　(1)會　見解析　(2)5.3 m/s2
解析　(1)假設兩車某時刻相撞，如圖所示。
應滿足時間關系t甲=t乙+t0+t1
位移關系x甲=x乙+x0－L
甲車在t0+t1=6 s時間內的位移為
x甲1=a1=45 m此時尚未撞上乙車，若此后再經時間t與乙車相撞，則有a1=a2t2+x0－L
代入數據解得t=4 s(另一解舍去)，即再經過t=4 s
甲、乙兩車會相撞。
(2)若經過時間t2，兩車速度相等，且此時兩車恰好不相撞，以后兩車不會相撞，此種情況下乙車加速度設為a0，則有
a1t2=a0(t2－t0－t1)
a1=a0(t2－t0－t1)2+x0－L
解得a0= m/s2=5.3 m/s2
即要使兩車不相撞，乙車運動的加速度至少為5.3 m/s2。
C級　培優加強練
11.(2025·廣東汕頭聯考)某一長直的賽道上，一輛F1賽車前方200 m處有一安全車正以10 m/s的速度勻速前進，這時賽車從靜止出發以2 m/s2的加速度追趕。
(1)求賽車出發3 s末的瞬時速度大小;
(2)求賽車何時追上安全車及追上之前與安全車的最遠距離;
(3)當賽車剛追上安全車時，賽車手立即剎車，使賽車以4 m/s2的加速度做勻減速直線運動，則兩車再經過多長時間第二次相遇 (設賽車可以從安全車旁經過而不相碰)
答案　(1)6 m/s　(2)20 s　225 m　(3)20 s
解析　(1)賽車3 s末的速度
v1=a1t1=2×3 m/s=6 m/s。
(2)設經t2時間追上安全車，由位移關系得
v0t2+s0=a1，其中s0=200 m
解得t2=20 s
此時賽車的速度v=a1t2=2×20 m/s=40 m/s
當兩車速度相等時，兩車相距最遠
由v0=a1t3得兩車速度相等時，經過的時間t3== s=5 s
兩車最遠相距Δs=v0t3+s0－a1=225 m。
(3)假設再經t4時間兩車第二次相遇(兩車一直在運動)
由位移關系得vt4－a2=v0t4
解得t4=15 s
賽車停下來的時間t'== s=10 s
所以t4=15 s不符合實際，兩車第二次相遇時賽車已停止運動
設再經時間t5兩車第二次相遇，應滿足=v0t5
解得t5=20 s。(共45張PPT)
專題強化二　追及相遇問題
第一章　運動的描述　勻變速直線運動的研究
1.會分析追及相遇問題，掌握追及相遇問題的分析方法和技巧。
2.熟練運用運動學公式結合運動學圖像解決追及相遇問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升素養能力
追及相遇問題的實質就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置。追及相遇問題的基本物理模型:以甲追乙為例。
1.二者距離變化與速度大小的關系
(1)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲v乙，追上之前，甲、乙的距離就不斷減小。
(2)若v甲=v乙，甲、乙的距離保持不變。
2.解答追及相遇問題的三種方法
情境 分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立一幅物體運動關系的情境圖
圖像 分析法 將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一坐標系中，然后利用圖像分析求解相關問題
函數 分析法 設相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于位移x與時間t的函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況
角度　　情境分析法
例1 (2025·山東濰坊模擬)如圖所示，甲、乙兩輛5G自動駕駛測試車，在不同車道上沿同一方向做勻速直線運動，甲車在乙車前，甲車的速度大小v1=72 km/h，乙車的速度大小v2=36 km/h。當甲、乙兩車相距x0=20 m時，甲車因前方突發情況緊急剎車，已知剎車過程的運動可視為勻減速直線運動，加速度大小a=2 m/s2，從剎車時開始計時，兩車均可看作質點。求:
解析　當兩車速度相等時，兩者的距離最大，設經過時間t1兩者速度相等，由v1=72 km/h=20 m/s，v2=36 km/h=10 m/s
則v1－at1=v2
解得t1=5 s
在t1時間內甲車位移為
x1=t1=×5 m=75 m
乙車位移為x2=v2t1=10×5 m=50 m
兩車并排行駛之前，兩者在運動方向上的最遠距離
Δx=x0+x1－x2=20 m+75 m－50 m=45 m。
(1)兩車并排行駛之前，兩者在運動方向上的最遠距離Δx;
答案　45 m
解析　設經過時間t2甲車停下來，根據運動學公式可得
t2== s=10 s
在t2時間內，甲車的位移x1'=t2=×10 m=100 m
乙車的位移為x2'=v2t2=10×10 m=100 m
說明甲車速度減小到零時，甲、乙兩車還相距20 m，兩車并排時乙車再運動的時間為t3== s=2 s
所以從甲車開始減速到兩車并排行駛所用時間t=t2+t3=12 s。
(2)從甲車開始減速到兩車并排行駛所用時間t。
答案　12 s
拓展　 若甲車剛停止時，危險解除，甲車立刻以a0=2 m/s2的加速度加速行駛至原速度后勻速運動，問乙車是否還能追上甲車(甲、乙兩車不在同一車道行駛，不會相撞)。
答案　能追上
解析　方法一　設甲車加速到與乙車速度相等時用時 t4，則v2=a0t4
解得t4=5 s
x甲=x1'+t4=125 m
x乙=v2(t2+t4)=150 m
由于x乙>x甲+x0，故乙車可以追上甲車。
方法二　畫出甲、乙兩車運動的v－t圖像，如圖所示
x1=×10×5 m=25 m
x2=×10×(15－5) m=50 m
因x2>x1+x0，故乙車可以追上甲車。
總結提升
1.情境分析法的基本思路
2.特別提醒
若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。
1.(多選)(2025·山東聊城高三期末)飛盤是一項新興運動項目。在某場比賽中，運動員甲以大約10 m/s的速度帶飛盤沿直線進攻，他的隊友乙正以6 m/s的速度同向奔跑，t=0時刻，兩人恰好齊頭并進且相距8 m。從該時刻起，乙的速度保持不變，甲由于受到對方隊員的圍堵，以大小為1 m/s2的加速度做勻減速直線運動直至停止。若甲根據經驗判斷自己與乙之間的距離在10 m以內才有把握成功將球傳給乙，從t=0時刻開始，甲在下列哪些時刻伺機把飛盤傳出，乙可以順利接到飛盤(　　)
A.1 s B.4 s C.8 s D.10 s
跟蹤訓練
AC
解析　甲要想把飛盤傳給乙，則兩人沿同一方向的位移之差小于Δx= m=6 m，設當經過時間為t時兩人之間的同方向距離恰好為6 m，則=Δx，解得t=2 s或t=6 s或t= s，甲停止運動的時間為t0==10 s，兩人間距小于10 m時應該在0~2 s和6~ s之間，故A、C正確。
角度　　圖像分析法
例2 (2024·河北邯鄲模擬)玩具車甲、乙在兩條平行的直軌道上運行，它們的－t圖像如圖所示。初始時刻，兩車在運動方向上相距l=1 m，甲在前，乙在后，下列說法正確的是(　　)
D
A.甲、乙兩車之間的距離先減小后增加
B.甲車做加速度大小為a=0.5 m/s2的勻加速直線運動，乙車做勻速直線運動
C.在t=t0時刻甲、乙兩車共速
D.0~t0，甲車的平均速度大小為4 m/s
解析　由x=v0t+at2，得=v0+at，由圖像可知，甲車初速度v0=2 m/s，由a= m/s2得a=1 m/s2，所以甲車做初速度為v0=2 m/s，加速度為a=1 m/s2的勻加速直線運動，乙車做v=4 m/s的勻速直線運動，故B錯誤;由v=v0+at得共速時t=2 s，
此時x甲=t=6 m，x乙=vt=8 m，Δx=x乙－x甲=2 m>l，則共速前乙車已追上甲，整個過程中兩車可相遇兩次，甲、乙兩車之間的距離先減小后增加，再減小再增加，故A錯誤;t0時刻二者平均速度相等，則有v=，得t0=4 s，此時v甲=v0+at0=2 m/s+1×4 m/s=6 m/s，不等于乙車的速度，故C錯誤;0~t0，甲車的平均速度為==4 m/s，故D正確。
總結提升　圖像法分析追及相遇問題的方法和思路
方法 基本思路
數理 轉換 定量畫圖時，需根據物體在不同階段的運動情況，通過定量計算分階段、分區間作出x－t圖像或v－t圖像等;或根據已知的運動圖像分析物體的運動情況
用圖 利用圖像中斜率、面積、截距、交點等的含義進行定性分析或定量計算，進而解決相關問題
2.(2025·山東青島高三期末)在一平直路面上，甲、乙兩車做勻變速直線運動，其速度與時間的關系圖像如圖。t=0時刻，乙車在甲車前方15 m處。則下列說法正確的是(　　)
跟蹤訓練
A
A.t=2 s時刻，甲車剛好追上乙車
B.t=4 s時刻，甲車剛好追上乙車
C.乙車的加速度大小大于甲車的加速度大小
D.0~4 s過程中甲、乙兩車之間的距離先增大后減小
解析　由v－t圖像與橫軸所圍面積表示位移，可知在t=2 s時刻，甲車比乙車多走的距離為Δx=×(20－5)×2 m=15 m，因為Δx=x0=15 m，則此時甲車剛好追上乙車，A正確，B錯誤;由v－t圖像的斜率表示加速度，可知a甲= m/s2=5 m/s2，a乙= m/s2=2.5 m/s2，所以乙車的加速度大小小于甲車的加速度大小，C錯誤;0~2 s內兩車距離減小，2 s后甲車速度小于乙車速度，兩車距離又增大，故0~4 s過程中甲、乙兩車之間的距離先減小后增大，D錯誤。
角度　　函數分析法
例3 在水平軌道上有兩列火車A和B相距為x，后面的A車做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞(未相遇)，A車的初速度v0應滿足什么條件
解析　假設經過時間t，A車能追上B車，對A車有
xA=v0t－×2at2
對B車有xB=at2
則有xA=x+xB
即v0t－×2at2=x+at2
整理得3at2－2v0t+2x=0
兩車不相撞，t無實數解，則
Δ=(－2v0)2－4×3a×2x<0
則A車的初速度v0應滿足的條件是v0<。
答案　v0<
函數分析法討論相遇問題的思路
設運動時間為t，根據條件列方程，得到關于二者之間的距離Δx與時間t的二次函數關系，Δx=0時，表示兩者相遇。若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次;若Δ=0，即有一個解，說明剛好追上或相遇;若Δ<0，無解，說明追不上或不能相遇。當t=－時，函數有極值，代表兩者距離有最大值或最小值。
提升素養能力
2
A級　基礎對點練
B
1.大霧天氣行車容易發生交通事故。在大霧中，一輛客車以10 m/s的速度在平直公路上勻速行駛，一輛轎車以20 m/s的速度同方向在同一公路上駛來，轎車司機在距客車100 m時發現客車并立即緊急制動，為不使兩車相撞，轎車的制動加速度至少為(　　)
A.0.25 m/s2 B.0.5 m/s2 C.1 m/s2 D.2 m/s2
解析　當兩車共速時距離最小為零，此時兩車恰不相碰，則v轎－at=v客，v轎t－at2=Δx+v客t，解得a=0.5 m/s2，故B正確。
AD
2.(多選)(2024·河北石家莊期末)甲、乙兩物體沿直線同向運動，其位置x隨時間t的變化如圖所示，甲、乙圖線分別為部分拋物線、直線。下列說法正確的是(　　)
A.甲做勻減速直線運動 B.乙做勻加速直線運動
C.第4 s末，二者速度相等 D.前4 s內，二者位移相同
解析　由x－t圖像知甲做勻減速直線運動，乙做勻速直線運動，故A正確，B錯誤;第4 s末，甲、乙的位置相同，前4 s內二者位移相同，圖線的斜率不同，即二者的速度不相等，故C錯誤，D正確。
B
3.兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后同向勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。已知每輛車在剎車過程中所行駛的距離均為s，若要保證兩車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時保持的距離至少為(　　)
A.s B.2s C.3s D.4s
解析　兩輛完全相同的汽車，剎車時加速度相同，剎車位移也相同，均為s，設加速度大小為a，前車的剎車時間為t=，剎車位移為s=，在此時間內，后車做勻速運動，位移為x=v0t==2s，此后，后車剎車，剎車位移也為s，要保持兩車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時保持的距離至少為Δx=x+s－s=x=2s，故選項B正確，A、C、D錯誤。
D
4.如圖所示，裝備了“全力自動剎車”安全系統的汽車，當車速滿足3.6 km/h≤v≤28.8 km/h，且與前方行人之間的距離接近安全距離時，如果司機未采取制動措施，系統就會立即啟動“全力自動剎車”，使汽車避免與行人相撞。若該車在不同路況下“全力自動剎車”的加速度取值范圍是5~7 m/s2，則該系統設置的安全距離約為(　　)
A.0.07 m B.0.1 m C.4.57 m D.6.4 m
解析　汽車從開始剎車到停止運動的位移x=，系統設置的安全距離應為減速的最大位移，即初速度取最大值28.8 km/h=8 m/s，加速度取最小值5 m/s2時的位移，代入數據可得x=6.4 m，故D正確。
D
5.(2025·山東濟南模擬)如圖所示，一輛轎車以20 m/s的速度，從匝道駛入限速為90 km/h的某高架橋快速路的行車道。由于前方勻速行駛的貨車速度較小，轎車司機踩油門超車，加速8 s后發現無超車條件，立即踩剎車減速，經過3 s減速后，剛好與前方貨車保持約60 m左右距離同速跟隨。整個過程中轎車的速度與時間的關系如圖乙所示，貨車一直保持勻速。下列說法中正確的是(　　)
A.該過程轎車出現了超速情況
B.該過程轎車的平均加速度大小
為1.25 m/s2
C.該過程轎車與貨車之間的距離
先減小后增大
D.轎車開始加速時與貨車的距離約為100 m
解析　由題圖乙可知轎車的最大速度為24 m/s=86.4 km/h<90 km/h，該過程轎車沒有超速，故A錯誤;轎車的平均加速度大小為= m/s2≠1.25 m/s2，故B錯誤;轎車速度一直大于貨車速度，直到11 s末兩車速度相等，所以兩車距離一直在減小，故C錯誤;0~11 s內，轎車的位移為x1=×(20+24)×8 m+(24+18)×3 m=239 m，
貨車的位移為x2=18×11 m=198 m，開始的距離為d=x1+x0－x2=239 m+60 m－198 m=101 m，故D正確。
BC
6.(多選)(2024·山東德州模擬)甲、乙兩質點沿同一直線運動，其中甲做勻變速直線運動，乙以大小為5 m/s速度做勻速直線運動，在t=3 s時兩質點相遇，他們的位置隨時間變化及相遇時切線數據如圖所示，在0~3 s時間內，下列判斷正確的是(　　)
A.相遇時甲質點的速度大小為3 m/s
B.甲質點的初速度大小為7 m/s
C.甲質點的加速度大小為2 m/s2
D.在t=1.5 s時，甲、乙兩質點相距最遠
解析　相遇時交點的縱坐標x=－7 m，x－t圖像的斜率表示速度，甲質點的速度大小為v3= m/s=1 m/s，故A錯誤;設甲質點的初速度為v0，加速度大小為a，有v3=v0－at，x甲=v0t－at2，其中t=3 s，x甲=12 m，聯立解得v0=7 m/s，a=2 m/s2，故B、C正確;甲、乙速度相等時，兩質點相距最遠，有v0－at1=v乙，解得t1=1 s，故D錯誤。
B
7.(2025·遼寧東北育才高三期中)中國高鐵向世界展示了中國速度，和諧號和復興號高鐵相繼從沈陽站點由靜止出發，沿同一方向做勻加速直線運動。兩車運動的速度—時間圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A.復興號高鐵追上和諧號動車前，t=70 s時兩車相距最遠
B.復興號高鐵經過95 s加速達到最大速度
C.t=140 s時，復興號高鐵追上和諧號動車
D.復興號高鐵追上和諧號動車前，兩車最遠相距4 900 m
解析　由v－t圖像可知，0≤t≤140 s時，和諧號動車速度大于復興號高鐵速度，t>140 s時，和諧號動車速度小于復興號高鐵速度，故復興號高鐵追上和諧號動車前，t=140 s時兩車相距最遠，故A、C錯誤;復興號高鐵的加速度為a== m/s2=1 m/s2，復興號高鐵加速達到最大速度所需的時間為t1== s=95 s，故B正確;根據v－t圖像與坐標軸圍成的面積表示位移，可知復興號高鐵追上和諧號動車前，兩車最遠相距Δx=×140×70 m－×(140－70)×70 m=2 450 m，故D錯誤。
BC
8.(多選)兩個滑塊a、b從同一位置出發沿同一直線運動，先勻加速運動后勻減速運動。在坐標紙上畫出a、b運動的v－t圖像如圖所示，t1、t2兩時刻a、b速度相等。下列說法正確的是(　　)
B級　綜合提升練
A.t1時刻b與a再次相遇
B.t2時刻b與a再次相遇
C.加速階段a、b加速度大小之比為
D.從開始運動到b停下的時間內，b的平均速度大于a的平均速度
解析　開始加速時，a的速度大于b的速度，a在前b在后，a、b間距離逐漸變大，t1時刻二者速度相等，然后b的速度大于a的速度，a、b間距離逐漸變小，在v－t圖像中，先連接a、b的兩轉折點(速度最大點)，再連接O與a、b的第二個交點，可發現兩條線的斜率相等，即兩條線平行。由幾何知識可知兩個陰影部分三角形面積相等，可知0~t2內二者位移相等，此時b與a相遇，A錯誤，B正確;t2時刻后，a的速度大于b的速度，當b停下時，a在b前方還有速度，從開始運動到b停下過程，a的位移大于b的位移，a的平均速度大于b的平均速度，D錯誤;由圖中加速時圖像斜率關系可知，加速階段a、b加速度之比為，C正確。
C
9.物理興趣小組的同學用兩個相同的遙控小車沿直線進行追逐比賽，兩小車分別安裝不同的傳感器并連接到計算機中，A小車安裝加速度傳感器，B小車安裝速度傳感器，兩車初始時刻速度大小均為v0=30 m/s，A車在前、B車在后，兩車相距100 m，其傳感器讀數與時間的函數關系圖像如圖所示，規定初始運動方向為正方向。下列說法正確的是(　　)
A.t=3 s時兩車間距離為25 m
B.3~9 s內，A車的加速度大于
B車的加速度
C.兩車最近距離為10 m
D.0~9 s內兩車相遇一次
解析　在0~3 s內A車做勻減速運動，A車減速到零所需時間tA==3 s，故在t=3 s時A車減速到零，A車前進的位移為xA=tA=45 m，B車前進的位移為xB=v0tA=90 m，t=3 s時兩車間距離為Δx=d+xA－xB=55 m，故A錯誤;由題圖可知在3~9 s內A車的加速度為aA2=5 m/s2，在v－t圖像中，圖像的斜率表示加速度，則以aB==－5 m/s2，故A、B兩車的加速度大小相等，故B錯誤;t=3 s后，A車開始由靜止做勻加速運動，B車開始做勻減速運動，3~9 s的過程中，設經歷時間t兩者速度相同，則v共=aA2t=v0+aBt，解得t=3 s，v共=15 m/s，A車在t=3 s
內前進的位移為x1=t=22.5 m，B車前進的位移為x2=t=67.5 m，故此時兩車相距的最小距離為Δxmin=Δx+x1－x2=10 m，此后A車的速度大于B車的速度，兩者間的距離開始增大，故不可能相遇，故C正確，D錯誤。
10.(2024·河北石家莊模擬)如圖所示，直線MN表示一條平直單車道，甲、乙兩輛汽車開始靜止，車頭分別在A、B兩處，兩輛車長均為L=4 m，兩個車頭間的距離為x0=89 m，現甲車先開始向右做勻加速直線運動，加速度a1=2.5 m/s2，甲車運動了t0=5 s后，發現乙車仍然靜止，甲車立即鳴笛，又經過t1=1 s，乙車才開始向右做勻加速直線運動。
(1)若乙車運動的加速度a2=5.0 m/s2，兩輛汽車是否會相撞 通過計算說明。
(2)若要使兩車不相撞，乙車運動的加速度至少是多少
答案　(1)會　見解析　(2)5.3 m/s2
解析　(1)假設兩車某時刻相撞，如圖所示。
應滿足時間關系t甲=t乙+t0+t1
位移關系x甲=x乙+x0－L
甲車在t0+t1=6 s時間內的位移為x甲1=a1=45 m此時尚未撞上乙車，若此后再經時間t與乙車相撞，則有a1=a2t2+x0－L
代入數據解得t=4 s(另一解舍去)，即再經過t=4 s
甲、乙兩車會相撞。
(2)若經過時間t2，兩車速度相等，且此時兩車恰好不相撞，以后兩車不會相撞，此種情況下乙車加速度設為a0，則有a1t2=a0(t2－t0－t1)
a1=a0(t2－t0－t1)2+x0－L
解得a0= m/s2=5.3 m/s2
即要使兩車不相撞，乙車運動的加速度至少為5.3 m/s2。
11.(2025·廣東汕頭聯考)某一長直的賽道上，一輛F1賽車前方200 m處有一安全車正以10 m/s的速度勻速前進，這時賽車從靜止出發以2 m/s2的加速度追趕。
(1)求賽車出發3 s末的瞬時速度大小;
(2)求賽車何時追上安全車及追上之前與安全車的最遠距離;
(3)當賽車剛追上安全車時，賽車手立即剎車，使賽車以4 m/s2的加速度做勻減速直線運動，則兩車再經過多長時間第二次相遇 (設賽車可以從安全車旁經過而不相碰)
C級　培優加強練
答案　(1)6 m/s　(2)20 s　225 m　(3)20 s
解析　(1)賽車3 s末的速度v1=a1t1=2×3 m/s=6 m/s。
(2)設經t2時間追上安全車，由位移關系得
v0t2+s0=a1，其中s0=200 m
解得t2=20 s
此時賽車的速度v=a1t2=2×20 m/s=40 m/s
當兩車速度相等時，兩車相距最遠
由v0=a1t3得兩車速度相等時，經過的時間t3== s=5 s
兩車最遠相距Δs=v0t3+s0－a1=225 m。
(3)假設再經t4時間兩車第二次相遇(兩車一直在運動)
由位移關系得vt4－a2=v0t4
解得t4=15 s
賽車停下來的時間t'== s=10 s
所以t4=15 s不符合實際，兩車第二次相遇時賽車已停止運動
設再經時間t5兩車第二次相遇，應滿足=v0t5
解得t5=20 s。

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