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第2講　力的合成與分解
學習目標　1.會用平行四邊形定則及三角形定則求合力。 2.能利用效果分解法和正交分解法計算分力。3.能利用力的合成與分解解決實際問題。
1.力的合成
2.力的分解
3.矢量和標量
1.思考判斷
(1)合力和分力可以同時作用在一個物體上。(×)
(2)兩個力的合力一定比其分力大。(×)
(3)當一個分力增大時，合力一定增大。(×)
(4)幾個力的共同作用效果可以用一個力來替代。(√)
(5)一個力只能分解為一對分力。(×)
(6)兩個大小恒定的力F1、F2的合力的大小隨它們夾角的增大而減小。(√)
(7)互成角度的兩個力的合力與分力間一定構成封閉的三角形。(√)
2.物體在五個共點力的作用下保持平衡，如圖所示。其中F5大小為10 N，方向水平向右。若撤去力F5，保持其余四個力不變，此時的合力為F;若將F5轉過120°，此時的合力為F'，則F與F'大小之比為(　　)
A.1∶1　　　　 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
答案　C
3.一個物體受到三個共點力F1、F2、F3作用，其合力為0，這三個力的大小分別為20 N、18 N、30 N，現將F3突然減小到18 N，三個力的方向仍保持不變，則此時它們的合力為(　　)
A.8 N B.10 N
C.12 N D.18 N
答案　C
4.(人教版必修第一冊P80T6改編)如圖所示，用一根輕質細繩將一重力大小為10 N的相框對稱地懸掛在墻壁上，相框上兩個掛釘間的距離為0.5 m。已知繩能承受的最大張力為10 N，為使繩不斷裂，繩子的最短長度為(　　)
A.0.5 m B.1.0 m
C. m D. m
答案　C
考點一　共點力的合成
1.兩個共點力的合力
合力大小的變化范圍為|F1－F2|≤F≤F1＋F2，兩個力的大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小。
2.三個共點力的合力
(1)最大值:當三個分力同方向時，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值:如果一個力的大小處于另外兩個力的合力大小范圍內，則其合力的最小值為零，即Fmin＝0;如果不處于這個范圍，則合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1為三個力中最大的力)。
例1 (2024·湖北卷，6)如圖所示，兩拖船P、Q拉著無動力貨船S一起在靜水中沿圖中虛線方向勻速前進，兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30°。假設水對三艘船在水平方向的作用力大小均為f，方向與船的運動方向相反，則每艘拖船發動機提供的動力大小為(　　)
A.f B.f
C.2f D.3f
答案　B
解析　
方法總結　幾種特殊情況的共點力的合成方法
類型 作圖 合力的計算
兩力互 相垂直 F＝ tan θ＝
兩力等大， 夾角為θ F＝2F1cos F與F1夾角為
兩力等大， 夾角為120° F'＝F F'與F夾角為60°
跟蹤訓練
1.(2025·皖豫名校聯盟高三聯考)質量為2 kg的物體在4個共點力作用下處于靜止狀態，其中最大的一個力大小為F1＝20 N，最小的一個力大小為F2＝2 N。下列判斷正確的是(　　)
A.其他兩個力的合力大小可能等于10 N
B.其他兩個力的合力大小一定為22 N或18 N
C.若保持其他力不變，只撤除F2，物體運動的加速度大小一定是1 m/s2
D.若保持其他力不變，瞬間把F2的方向改變60°，物體由靜止開始運動，在最初1秒內的位移大小是1 m
答案　C
解析　物體處于平衡狀態，則合力為0，根據力的合成法則，2個力的合力與剩余2個力的合力等大反向。F1與F2的合力范圍為F1－F2≤F合≤F1＋F2，即18 N≤F合≤22 N，故其他兩個力的合力范圍為18 N≤F合'≤22 N，故A、B錯誤;其余三個力的合力與F2等大反向，只撤除F2，物體運動的加速度大小為a＝ m/s2＝1 m/s2，故C正確;若把F2的方向改變60°，則其余三力的合力與F2大小相等，方向成120°角，合力F＝F2，此時物體的加速度為a'＝＝1 m/s2，在最初1秒內的位移大小是x＝a't2＝0.5 m，故D錯誤。
考點二　力的分解
力的分解的兩種常用方法
(1)按照解決問題需要分解
(2)正交分解法
①建系原則:一般選共點力的作用點為原點，在靜力學中，以少分解力和容易分解力為原則(使盡量多的力在坐標軸上);在動力學中，常以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸方向建立坐標系。
②分解步驟:把物體受到的多個力F1、F2、F3、…依次分解到x軸、y軸上。
x軸上的合力:Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y軸上的合力:Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小:F＝(如圖所示)
合力方向:若F與x軸夾角為θ，則tan θ＝。
角度　按照解決問題需要分解
例2 (2025·重慶一中模擬)如圖所示，靜止在水平桌面上厚度不計的圓柱形玻璃杯中放有兩個半徑相同的玻璃球A和B，每個玻璃球的重力為G。已知玻璃杯的底部直徑是玻璃球半徑的3倍，玻璃球A對玻璃杯側壁的壓力大小為F1，玻璃球A對玻璃球B的壓力大小為F2，不計一切摩擦。下列說法正確的是(　　)
A.F1＝G，F2＝G B.F1＝G，F2＝G
C.F1＝G，F2＝G D.F1＝G，F2＝G
答案　A
解析　設兩玻璃球A、B的球心連線與豎直方向的夾角為θ，如圖甲所示，由幾何關系可知sin θ＝，θ＝30°，將玻璃球A的重力進行分解，如圖乙所示
可得F1＝Gtan θ＝G，F2＝2F1＝G，故玻璃球A對玻璃杯側壁的壓力大小為G，玻璃球A對玻璃球B的壓力大小為G，故A正確。
角度　力的正交分解
例3 (2024·河北卷，5)如圖，彈簧測力計下端掛有一質量為0.20 kg的光滑均勻球體，球體靜止于帶有固定擋板的斜面上，斜面傾角為30°，擋板與斜面夾角為60°。若彈簧測力計位于豎直方向，讀數為1.0 N，g取10 m/s2，擋板對球體支持力的大小為(　　)
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
答案　A
解析　對球體受力分析如圖所示，正交分解列方程，x軸方向有FN1sin 30°＝FN2sin 30°，y軸方向有FN1 cos 30°＋FN2cos 30°＋F＝mg，聯立解得FN1＝ N，A正確。
銜接教材 (人教版必修第一冊P79練習與應用T5)將一個質量為4 kg的鉛球放在傾角為45°的斜面上，并用豎直擋板擋住，鉛球處于靜止狀態(如圖)。不考慮鉛球受到的摩擦力，鉛球對擋板的壓力和對斜面的壓力分別是多少
銜接分析　教材中該題與2024年河北卷第5題模型與解題思路完全一致，考查利用正交分解法解決共點力的平衡問題，題目涉及斜面、擋板和小球，對研究對象小球進行受力分析，將共點力正交分解，求擋板和斜面與球間的作用力。
跟蹤訓練
2.(2024·廣東深圳模擬)豎直墻上M為一堅實的固定圓環，N為一鐵釘，圓環與鐵釘之間連著細鐵絲，選項A中，有一力F沿圖中水平方向拉著鐵釘，選項B、C、D中同一大小的力F在鐵絲中點沿圖中方向拉鐵絲，四種情況下，鐵釘受到拉力最大的是(　　)
答案　B
解析　選項A中，鐵釘受到的拉力FA＝F;選項B中鐵絲中點的力F的分解示意圖如圖所示，根據力的平行四邊形及幾何關系，解得鐵釘受到拉力FB＝F，可知θ＝90°時，FB>F;在選項C、D中α角度不變，力F不變，θ角度減小，鐵釘受到拉力也逐漸減小，因此選項B中鐵釘受到拉力最大，故B正確。
考點三　“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”問題
角度　“活結”和“死結”模型分析
模型結構 模型解讀 模型特點
“活結”模型 “活結”把繩子分為兩段，且可沿繩移動，“活結”一般由繩跨過滑輪或繩上掛一光滑掛鉤而形成，繩子因“活結”而彎曲，但實際為同一根繩 “活結”兩側的繩子上的張力大小處處相等
“死結”模型 “死結”把繩子分為兩段，且不可沿繩移動，“死結”兩側的繩因結而變成兩根獨立的繩 “死結”兩側的繩子上張力不一定相等
例4 如圖，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體質量相等。系統平衡時，O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β。若α＝70°，則β等于(　　)
A.45° B.55°
C.60° D.70°
答案　B
解析　懸掛甲物體的細線拴牢在O點，且甲、乙兩物體的質量相等，則滑輪兩側繩的拉力大小相等，O點處于平衡狀態，則左側繩子拉力的方向在連接甲、乙繩子的角平分線上，如圖所示，根據幾何關系有180°＝2β＋α，解得β＝55°，故B正確。
角度　“動桿”和“定桿”模型分析
模型結構 模型解讀 模型特點
“動桿”模型 輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，輕桿可圍繞轉軸或鉸鏈自由轉動 當桿處于平衡狀態時，桿所受的彈力方向一定沿桿
“定桿”模型 輕桿被固定在接觸面上，不能發生轉動 桿所受的彈力方向不一定沿桿，可沿任意方向
例5 (2024·浙江杭州月考)如圖所示，輕繩AD跨過固定在水平橫梁BC右端的定滑輪掛住一個質量為10 kg的物體，∠ACB＝30°;輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過輕繩EG拉住，EG與水平方向成30°角，在輕桿的G點用輕繩FG懸掛一個質量也為10 kg的物體，下列說法正確的是(　　)
A.橫梁BC對C端的彈力方向沿著BC向右
B.輕繩AC段的張力與輕繩EG段的張力之比為2∶1
C.橫梁BC對C端的彈力大小與輕桿HG對G端的彈力大小之比為∶1
D.橫梁BC對C端的彈力大小與輕桿HG對G端的彈力大小之比為1∶
答案　D
解析　題圖甲和乙中的兩個物體都處于平衡狀態，根據平衡條件可判斷，與物體相連的輕繩拉力大小等于物體的重力，分別取C點和G點為研究對象，進行受力分析如圖甲、乙所示。圖甲中，根據幾何關系得FAC＝FCD＝M1g，且二者夾角為120°，故可得橫梁BC對C端的彈力大小為FNC＝FAC＝M1g，方向和水平方向成30°角斜向右上方，A錯誤;圖乙中由FEGsin 30°＝M2g，FEGcos 30°＝FNG，得FEG＝2M2g，FNG＝M2g，所以有，B、C錯誤，D正確。
A級　基礎對點練
對點練1　共點力的合成
1.一物體受到三個共面共點力F1、F2、F3的作用，三力的矢量關系如圖所示(小方格邊長相等)，則下列說法正確的是(　　)
A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不確定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向與F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3，方向與F3同向
D.由題給條件無法求合力大小
答案　B
解析　先以力F1和F2為鄰邊作平行四邊形，其合力與F3共線，大小F12＝2F3，如圖所示，F12再與第三個力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，方向與F3同向，故B正確。
2.如圖所示，有5個力作用于同一點O，表示這5個力的有向線段恰好構成一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線，已知F1＝10 N，則這5個力的合力大小為(　　)
A.50 N B.30 N
C.20 N D.10 N
答案　B
解析　如圖所示，利用平行四邊形定則可知，F2和F4的合力等于F1，F3和F5的合力也等于F1，所以這5個力的合力大小為3F1＝30 N，故B正確。
3.(2025·山東濟南高三針對性訓練)高空滑索因其驚險刺激而深受年輕人追捧。人通過輕繩與輕質滑環相連，開始下滑前，輕質滑環固定在鋼索AB上O點處，滑環和人均處于靜止狀態，鋼索和輕繩的夾角關系如圖所示。設OA段鋼索的拉力大小為T1，OB段鋼索的拉力大小為T2，OC段輕繩的拉力大小為T3，下列判斷正確的是(　　)
A.T1>T2>T3 B.T1>T3>T2
C.T2>T1>T3 D.T3>T2>T1
答案　A
解析　以結點O為研究對象受力分析，如圖所示，由力的平衡條件得OA段鋼索的拉力與OB段鋼索的拉力的合力大小等于OC段的拉力大小，由圖中幾何關系知γ>α>β，則三段的拉力大小關系為T1>T2>T3，A正確。
對點練2　力的分解
4.(2024·遼寧遼陽模擬)一鑿子兩側面與中心軸線平行，尖端夾角為θ，當鑿子豎直向下插入木板中后，用錘子沿中心軸線豎直向下以力F敲打鑿子上側時，鑿子仍靜止，側視圖如圖所示。若敲打鑿子時鑿子作用于木板1、2面的彈力大小分別記為F1、F2，忽略鑿子受到的重力及摩擦力，下列判斷正確的是(　　)
A.F1＝Fsin θ B.F1＝Fcos θ
C.F2＝Ftan θ D.F2＝
答案　D
解析　將力F沿垂直木板1、2面進行分解如圖所示，可得F1＝，F2＝，故D正確。
5.(2023·廣東卷，2)如圖所示，可視為質點的機器人通過磁鐵吸附在船舷外壁面檢測船體。壁面可視為斜面，與豎直方向夾角為θ。船和機器人保持靜止時，機器人僅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列關系式正確的是(　　)
A.Ff＝G　　　　　 B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ D.F＝Gsin θ
答案　C
解析　如圖所示，將重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡條件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正確，A、B、D錯誤。
6.如圖所示，開口向下的“”形框架兩側豎直桿光滑固定，上面水平橫桿中點固定一定滑輪。兩側桿上套著的兩滑塊用輕繩繞過光滑定滑輪相連，并處于靜止狀態，此時連接滑塊A的繩與水平方向夾角為θ，連接滑塊B的繩與水平方向的夾角為2θ，則A、B兩滑塊的質量之比為(　　)
A.1∶2cos θ B.2cos θ∶1
C.2sin θ∶1 D.1∶2sin θ
答案　A
解析　對兩個滑塊分別受力分析，如圖所示，根據平衡條件可知，mAg＝F1sin θ，mBg＝F2sin 2θ，又F1＝F2，因此，A正確。
對點練3　“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”問題
7.如圖所示，蜘蛛用蛛絲將其自身懸掛在水管上，并處于靜止狀態。蛛絲OM、ON與豎直方向夾角分別為α、β(α>β)。用F1、F2分別表示OM、ON的拉力，則(　　)
A.F1的豎直分力大于F2的豎直分力
B.F1的豎直分力等于F2的豎直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
答案　D
解析　對結點O受力分析，根據平衡條件，水平方向有F1sin α＝F2sin β＝Fx，即F1的水平分力等于F2的水平分力，選項C錯誤，D正確;豎直方向，有F1的豎直分量F1y＝F1cos α＝ ，F2的豎直分量F2y＝F2cos β＝，由tan α>tan β可知，F1y8.一質量為m的小球通過短輕繩懸掛在光滑鉸鏈上，光滑鉸鏈(不計質量)與輕桿連接，輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O'連接，如圖所示。已知兩輕桿與水平地面和豎直墻壁的夾角都為30°，重力加速度為g，則下面輕桿和上面輕桿受到鉸鏈的作用力大小分別為(　　)
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
答案　B
解析　由題可知，兩輕桿為兩個“動桿”，而“動桿”上彈力方向沿輕桿。對中間鉸鏈進行受力分析，鉸鏈所受輕繩拉力大小為mg，方向豎直向下，下面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向下，設為F1，上面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向上，設為F2，
如圖所示。在力的矢量三角形中，由正弦定理有，解得F1＝mg，F2＝mg，選項B正確。
B級　綜合提升練
9.(多選)兩個力F1和F2之間的夾角為θ，其合力為F。以下說法正確的是(　　)
A.合力F總比分力F1和F2中的任何一個力都大
B.若F1和F2大小不變，θ角減小，合力F一定增大
C.若夾角θ不變，F1大小不變，F2增大，合力F可能減小
D.若F1和F2大小不變，合力F與θ的關系圖像如圖所示，則任意改變這兩個分力的夾角，能得到的合力大小的變化范圍是2 N≤F≤10 N
答案　BC
解析　合力F的取值范圍是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力F不一定總比分力F1和F2中的任何一個力都大，故A錯誤;根據余弦定理可得合力大小為F＝，θ角減小，則合力F一定增大，故B正確;若夾角θ為鈍角，θ不變，F1大小不變，F2增大，合力F可能減小，故C正確;由題圖知，當θ＝180°時，F合＝2 N，即|F1－F2|＝2 N，當θ＝90°時，F合'＝10 N，即＝10 N，解得F1＝6 N，F2＝8 N或F1＝8 N，F2＝6 N，故2 N≤F≤14 N，故D錯誤。
10.(2025·四川成都一模)如圖所示，兩固定斜面OM粗糙、ON光滑，兩物塊a、b通過鉸鏈與輕桿相連，且都靜止于斜面上，桿垂直于OM。當對b物體施加豎直向下的恒力時(　　)
A.a向上滑動
B.b仍靜止
C.a與OM間的摩擦力增大
D.b沿斜面向下運動
答案　B
解析　設b的質量為m，桿對b的彈力為F，ON對b的支持力為FNb，其力的矢量圖如圖所示，由幾何知識可知F＝FNb＝mg。當b受到豎直向下的恒力時，豎直方向的作用力增大，桿和斜面ON的支持力等比例增大，合力仍為零，b仍靜止，故B正確，D錯誤;桿對a的力始終垂直斜面OM，a始終靜止，摩擦力Ff＝magsin 60°不變，故A、C錯誤。
11.(2025·江蘇南京師范大學附屬中學期末)如圖所示，兩個質量均為m的小球分別套在豎直固定的光滑圓環上，圓環半徑為R，一不可伸長的細線兩端各系在一個小球上，細線長為2R。用豎直向上的力F拉細線中點O，可使兩小球保持等高靜止在圓上a、b兩點不同處。當a、b間的距離為R時，力F的大小為(重力加速度為g)(　　)
A.2mg B.3mg
C.2mg D.3mg
答案　B
解析　a、b等高且距離為R，O為細線中點且細線長為2R，則Oa＝Ob＝R，三角形Oab為等邊三角形，如圖所示，O'為圓心，選取左側小球進行分析，由圖中幾何關系可得，圓環彈力沿O'a向外，與水平方向夾角為30°，則小球所受重力與圓環彈力相等、兩者的合力為F合＝2mgcos 30°＝mg，與細線拉力FT等大，力F的大小與細線拉力的合力等大反向，兩細線夾角為60°，則F＝2FTcos 30°＝FT＝3mg，故B正確。
12.如圖所示，輕繩MN的兩端固定在水平天花板上，物體A系在輕繩MN的某處，懸掛有物體B的光滑輕滑輪跨在輕繩MN上。系統靜止時的幾何關系如圖，則A與B的質量之比為(　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶ D.∶2
答案　A
解析　對物體A上方繩的結點受力分析，如圖甲所示，根據共點力平衡及幾何關系可知，合力正好平分兩個分力的夾角，可得F1＝mAg，對滑輪受力分析，如圖乙所示，由于滑輪兩側繩的拉力相等，兩側繩夾角為120°，可得F2＝mBg，根據同一根輕繩拉力相等的特點可知F1＝F2，則mA＝mB，得，A正確。
13.(2025·福建福州一中月考)為了安全，卡車運輸卷材時常用“V”形槽固定。如圖，將“V”形槽簡化為兩光滑固定于卡車的斜面Ⅰ和Ⅱ，兩斜面的傾角分別為30°和60°。質量為m的勻質圓筒狀鋼卷放在斜面上，當卡車沿平直公路行駛時，鋼卷對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1和F2，則(重力加速度為g)(　　)
A.若卡車勻速運動，則F1＝mg
B.若卡車勻速運動，則F1＝F2
C.若卡車加速運動，則F1和F2都可能大于mg
D.若卡車急剎車且F1減小為零時，F2＝1.5mg
答案　B
解析　若卡車勻速運動，鋼卷受力平衡，根據重力的作用效果分解如圖甲，則有F1＝mgcos 30°＝mg，F2＝mgsin 30°＝mg，可知F1＝F2，A錯誤，B正確;若卡車加速運動，如果加速度從零逐漸增大，F2逐漸減小，當加速度最大時，F2＝0，此時受力如圖乙，則有F1＝mg>mg，C錯誤;若卡車急剎車且F1減小為零時，F2＝＝2mg，D錯誤。
C級　培優加強練
14.(2025·河北衡水聯考)將一根長195 cm的細鋼絲的兩端分別用螺絲固定在兩個相同的小木塊上，取兩根長98.5 cm的硬質輕木條，在頂點用鉸鏈連接起來。將兩木塊分開，拉直鋼絲，放在比較光滑的水平面上，然后將兩輕木條的自由端分別卡在兩木塊的凹槽內，用手指在頂點鉸鏈處用大小為F的力下按，細鋼絲就會被拉斷。該實驗中，細鋼絲被拉斷前瞬間承受的拉力大小約為(　　)
A.F B.F
C.F D.F
答案　B
解析　把豎直向下的力F沿兩木條方向分解，如圖甲所示，設兩木條之間的夾角為θ，由幾何關系可知tan，則木條作用于木塊上的力為F1＝F2＝，木條對木塊的作用力F1產生兩個效果，豎直向下壓木塊的力F1″和沿水平方向推木塊的力F1'，如圖乙所示，細鋼絲上的張力FT與F1'大小相等，即FT＝F1sin·sinFtanF，B正確。(共62張PPT)
第2講　力的合成與分解
第二章　相互作用——力
1.會用平行四邊形定則及三角形定則求合力。
2.能利用效果分解法和正交分解法計算分力。
3.能利用力的合成與分解解決實際問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
夯實必備知識
01
研透核心考點
02
提升素養能力
03
夯實必備知識
1
相同
1.力的合成
合力
分力
等效替代
合力
有向線段
合力
有向線段
分力
2.力的分解
逆運算
平行四邊形
垂直
方向
3.矢量和標量
平行四邊形
方向
算術
1.思考判斷
×
(1)合力和分力可以同時作用在一個物體上。( )
(2)兩個力的合力一定比其分力大。( )
(3)當一個分力增大時，合力一定增大。( )
(4)幾個力的共同作用效果可以用一個力來替代。( )
(5)一個力只能分解為一對分力。( )
(6)兩個大小恒定的力F1、F2的合力的大小隨它們夾角的增大而減小。( )
(7)互成角度的兩個力的合力與分力間一定構成封閉的三角形。( )
×
×
√
×
√
√
C
2.物體在五個共點力的作用下保持平衡，如圖所示。其中F5大小為10 N，方向水平向右。若撤去力F5，保持其余四個力不變，此時的合力為F;若將F5轉過120°，此時的合力為F'，則F與F'大小之比為(　　)
A.1∶1　　　　 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
C
3.一個物體受到三個共點力F1、F2、F3作用，其合力為0，這三個力的大小分別為20 N、18 N、30 N，現將F3突然減小到18 N，三個力的方向仍保持不變，則此時它們的合力為(　　)
A.8 N B.10 N C.12 N D.18 N
C
4.(人教版必修第一冊P80T6改編)如圖所示，用一根輕質細繩將一重力大小為10 N的相框對稱地懸掛在墻壁上，相框上兩個掛釘間的距離為0.5 m。已知繩能承受的最大張力為10 N，為使繩不斷裂，繩子的最短長度為(　　)
A.0.5 m B.1.0 m
C. m D. m
研透核心考點
2
考點二　力的分解
考點一　共點力的合成
考點三　“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”問題
考點一　共點力的合成
1.兩個共點力的合力
合力大小的變化范圍為|F1－F2|≤F≤F1＋F2，兩個力的大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小。
2.三個共點力的合力
(1)最大值:當三個分力同方向時，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值:如果一個力的大小處于另外兩個力的合力大小范圍內，則其合力的最小值為零，即Fmin＝0;如果不處于這個范圍，則合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1為三個力中最大的力)。
例1 (2024·湖北卷，6)如圖所示，兩拖船P、Q拉著無動力貨船S一起在靜水中沿圖中虛線方向勻速前進，兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30°。假設水對三艘船在水平方向的作用力大小均為f，方向與船的運動方向相反，則每艘拖船發動機提供的動力大小為(　　)
B
A.f B.f
C.2f D.3f
解析　
方法總結　幾種特殊情況的共點力的合成方法
類型 作圖 合力的計算
兩力互 相垂直 F＝
tan θ＝
兩力等大， 夾角為θ F＝2F1cos
F與F1夾角為
兩力等大， 夾角為120° F'＝F
F'與F夾角為60°
跟蹤訓練
1.(2025·皖豫名校聯盟高三聯考)質量為2 kg的物體在4個共點力作用下處于靜止狀態，其中最大的一個力大小為F1＝20 N，最小的一個力大小為F2＝2 N。下列判斷正確的是(　　)
A.其他兩個力的合力大小可能等于10 N
B.其他兩個力的合力大小一定為22 N或18 N
C.若保持其他力不變，只撤除F2，物體運動的加速度大小一定是1 m/s2
D.若保持其他力不變，瞬間把F2的方向改變60°，物體由靜止開始運動，在最初1秒內的位移大小是1 m
C
解析　物體處于平衡狀態，則合力為0，根據力的合成法則，2個力的合力與剩余2個力的合力等大反向。F1與F2的合力范圍為F1－F2≤F合≤F1＋F2，即18 N≤F合≤22 N，故其他兩個力的合力范圍為18 N≤F合'≤22 N，故A、B錯誤;其余三個力的合力與F2等大反向，只撤除F2，物體運動的加速度大小為a＝ m/s2＝1 m/s2，故C正確;若把F2的方向改變60°，則其余三力的合力與F2大小相等，方向成120°角，合力F＝F2，此時物體的加速度為a'＝＝1 m/s2，在最初1秒內的位移大小是x＝a't2＝0.5 m，故D錯誤。
考點二　力的分解
力的分解的兩種常用方法
(1)按照解決問題需要分解
(2)正交分解法
①建系原則:一般選共點力的作用點為原點，在靜力學中，以少分解力和容易分解力為原則(使盡量多的力在坐標軸上);在動力學中，常以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸方向建立坐標系。
②分解步驟:把物體受到的多個力F1、F2、F3、…依次分解到x軸、y軸上。
x軸上的合力:Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y軸上的合力:Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小:F＝(如圖所示)
合力方向:若F與x軸夾角為θ，則tan θ＝。
角度　　按照解決問題需要分解
例2 (2025·重慶一中模擬)如圖所示，靜止在水平桌面上厚度不計的圓柱形玻璃杯中放有兩個半徑相同的玻璃球A和B，每個玻璃球的重力為G。已知玻璃杯的底部直徑是玻璃球半徑的3倍，玻璃球A對玻璃杯側壁的壓力大小為F1，玻璃球A對玻璃球B的壓力大小為F2，不計一切摩擦。下列說法正確的是(　　)
A
A.F1＝G，F2＝G B.F1＝G，F2＝G
C.F1＝G，F2＝G D.F1＝G，F2＝G
解析　設兩玻璃球A、B的球心連線與豎直方向的夾角為θ，如圖甲所示，由幾何關系可知sin θ＝，θ＝30°，將玻璃球A的重力進行分解，如圖乙所示
可得F1＝Gtan θ＝G，F2＝2F1＝G，故玻璃球A對玻璃杯側壁的壓力大小為G，玻璃球A對玻璃球B的壓力大小為G，故A正確。
角度　　力的正交分解
例3 (2024·河北卷，5)如圖，彈簧測力計下端掛有一質量為0.20 kg的光滑均勻球體，球體靜止于帶有固定擋板的斜面上，斜面傾角為30°，擋板與斜面夾角為60°。若彈簧測力計位于豎直方向，讀數為1.0 N，g取10 m/s2，擋板對球體支持力的大小為(　　)
A
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
解析　對球體受力分析如圖所示，正交分解列方程，x軸方向有FN1sin 30°＝FN2sin 30°，y軸方向有FN1 cos 30°＋FN2cos 30°＋F＝mg，聯立解得FN1＝ N，A正確。
銜接教材 (人教版必修第一冊P79練習與應用T5)將一個質量為4 kg的鉛球放在傾角為45°的斜面上，并用豎直擋板擋住，鉛球處于靜止狀態(如圖)。不考慮鉛球受到的摩擦力，鉛球對擋板的壓力和對斜面的壓力分別是多少
銜接分析　教材中該題與2024年河北卷第5題模型與解題思路完全一致，考查利用正交分解法解決共點力的平衡問題，題目涉及斜面、擋板和小球，對研究對象小球進行受力分析，將共點力正交分解，求擋板和斜面與球間的作用力。
跟蹤訓練
2.(2024·廣東深圳模擬)豎直墻上M為一堅實的固定圓環，N為一鐵釘，圓環與鐵釘之間連著細鐵絲，選項A中，有一力F沿圖中水平方向拉著鐵釘，選項B、C、D中同一大小的力F在鐵絲中點沿圖中方向拉鐵絲，四種情況下，鐵釘受到拉力最大的是(　　)
B
解析　選項A中，鐵釘受到的拉力FA＝F;選項B中鐵絲中點的力F的分解示意圖如圖所示，根據力的平行四邊形及幾何關系，解得鐵釘受到拉力FB＝F，可知θ＝90°時，FB>F;在選項C、D中α角度不變，力F不變，θ角度減小，鐵釘受到拉力也逐漸減小，因此選項B中鐵釘受到拉力最大，故B正確。
考點三　“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”問題
角度　　“活結”和“死結”模型分析
模型結構 模型解讀 模型特點
“活結”模型 “活結”把繩子分為兩段，且可沿繩移動，“活結”一般由繩跨過滑輪或繩上掛一光滑掛鉤而形成，繩子因“活結”而彎曲，但實際為同一根繩 “活結”兩側的繩子上的張力大小處處相等
“死結”模型 “死結”把繩子分為兩段，且不可沿繩移動，“死結”兩側的繩因結而變成兩根獨立的繩 “死結”兩側的繩子上張力不一定相等
例4 如圖，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體質量相等。系統平衡時，O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β。若α＝70°，則β等于(　　)
A.45° B.55° C.60° D.70°
B
解析　懸掛甲物體的細線拴牢在O點，且甲、乙兩物體的質量相等，則滑輪兩側繩的拉力大小相等，O點處于平衡狀態，則左側繩子拉力的方向在連接甲、乙繩子的角平分線上，如圖所示，根據幾何關系有180°＝2β＋α，解得β＝55°，故B正確。
角度　　“動桿”和“定桿”模型分析
模型結構 模型解讀 模型特點
“動桿”模型 輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，輕桿可圍繞轉軸或鉸鏈自由轉動 當桿處于平衡狀態時，桿所受的彈力方向一定沿桿
“定桿”模型 輕桿被固定在接觸面上，不能發生轉動 桿所受的彈力方向不一定沿桿，可沿任意方向
例5 (2024·浙江杭州月考)如圖所示，輕繩AD跨過固定在水平橫梁BC右端的定滑輪掛住一個質量為10 kg的物體，∠ACB＝30°;輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過輕繩EG拉住，EG與水平方向成30°角，在輕桿的G點用輕繩FG懸掛一個質量也為10 kg的物體，下列說法正確的是(　　)
D
A.橫梁BC對C端的彈力方向沿著BC向右
B.輕繩AC段的張力與輕繩EG段的張力
之比為2∶1
C.橫梁BC對C端的彈力大小與輕桿HG對G端
的彈力大小之比為∶1
D.橫梁BC對C端的彈力大小與輕桿HG對G端的彈力大小之比為1∶
解析　題圖甲和乙中的兩個物體都處于平衡狀態，根據平衡條件可判斷，與物體相連的輕繩拉力大小等于物體的重力，分別取C點和G點為研究對象，進行受力分析如圖甲、乙所示。圖甲中，根據幾何關系得FAC＝FCD＝M1g，
且二者夾角為120°，故可得橫梁BC對C端的彈力大小為FNC＝FAC＝M1g，方向和水平方向成30°角斜向右上方，A錯誤;圖乙中由FEGsin 30°＝M2g，FEGcos 30°＝FNG，得FEG＝2M2g，FNG＝M2g，所以有，B、C錯誤，D正確。
提升素養能力
3
A級　基礎對點練
B
對點練1　共點力的合成
1.一物體受到三個共面共點力F1、F2、F3的作用，三力的矢量關系如圖所示(小方格邊長相等)，則下列說法正確的是(　　)
A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不確定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向與F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3，方向與F3同向
D.由題給條件無法求合力大小
解析　先以力F1和F2為鄰邊作平行四邊形，其合力與F3共線，大小F12＝2F3，如圖所示，F12再與第三個力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，方向與F3同向，故B正確。
B
2.如圖所示，有5個力作用于同一點O，表示這5個力的有向線段恰好構成一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線，已知F1＝10 N，則這5個力的合力大小為(　　)
A.50 N B.30 N
C.20 N D.10 N
解析　如圖所示，利用平行四邊形定則可知，F2和F4的合力等于F1，F3和F5的合力也等于F1，所以這5個力的合力大小為3F1＝30 N，故B正確。
A
3.(2025·山東濟南高三針對性訓練)高空滑索因其驚險刺激而深受年輕人追捧。人通過輕繩與輕質滑環相連，開始下滑前，輕質滑環固定在鋼索AB上O點處，滑環和人均處于靜止狀態，鋼索和輕繩的夾角關系如圖所示。設OA段鋼索的拉力大小為T1，OB段鋼索的拉力大小為T2，OC段輕繩的拉力大小為T3，下列判斷正確的是(　　)
A.T1>T2>T3 B.T1>T3>T2
C.T2>T1>T3 D.T3>T2>T1
解析　以結點O為研究對象受力分析，如圖所示，由力的平衡條件得OA段鋼索的拉力與OB段鋼索的拉力的合力大小等于OC段的拉力大小，由圖中幾何關系知γ>α>β，則三段的拉力大小關系為T1>T2>T3，A正確。
D
對點練2　力的分解
4.(2024·遼寧遼陽模擬)一鑿子兩側面與中心軸線平行，尖端夾角為θ，當鑿子豎直向下插入木板中后，用錘子沿中心軸線豎直向下以力F敲打鑿子上側時，鑿子仍靜止，側視圖如圖所示。若敲打鑿子時鑿子作用于木板1、2面的彈力大小分別記為F1、F2，忽略鑿子受到的重力及摩擦力，下列判斷正確的是(　　)
A.F1＝Fsin θ B.F1＝Fcos θ
C.F2＝Ftan θ D.F2＝
解析　將力F沿垂直木板1、2面進行分解如圖所示，可得F1＝，F2＝，故D正確。
C
5.(2023·廣東卷，2)如圖所示，可視為質點的機器人通過磁鐵吸附在船舷外壁面檢測船體。壁面可視為斜面，與豎直方向夾角為θ。船和機器人保持靜止時，機器人僅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列關系式正確的是(　　)
A.Ff＝G　　　　　 B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ D.F＝Gsin θ
解析　如圖所示，將重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡條件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正確，A、B、D錯誤。
A
6.如圖所示，開口向下的“ ”形框架兩側豎直桿光滑固定，上面水平橫桿中點固定一定滑輪。兩側桿上套著的兩滑塊用輕繩繞過光滑定滑輪相連，并處于靜止狀態，此時連接滑塊A的繩與水平方向夾角為θ，連接滑塊B的繩與水平方向的夾角為2θ，則A、B兩滑塊的質量之比為(　　)
A.1∶2cos θ B.2cos θ∶1 C.2sin θ∶1 D.1∶2sin θ
解析　對兩個滑塊分別受力分析，如圖所示，根據平衡條件可知，mAg＝F1sin θ，mBg＝F2sin 2θ，又F1＝F2，因此，A正確。
D
對點練3　“活結”和“死結”與“動桿”和“定桿”問題
7.如圖所示，蜘蛛用蛛絲將其自身懸掛在水管上，并處于靜止狀態。蛛絲OM、ON與豎直方向夾角分別為α、β(α>β)。用F1、F2分別表示OM、ON的拉力，則(　　)
A.F1的豎直分力大于F2的豎直分力
B.F1的豎直分力等于F2的豎直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
解析　對結點O受力分析，根據平衡條件，水平方向有F1sin α＝F2sin β＝Fx，即F1的水平分力等于F2的水平分力，選項C錯誤，D正確;豎直方向，有F1的豎直分量F1y＝F1cos α＝ ，F2的豎直分量F2y＝F2cos β＝，由tan α>tan β可知，F1yB
8.一質量為m的小球通過短輕繩懸掛在光滑鉸鏈上，光滑鉸鏈(不計質量)與輕桿連接，輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O'連接，如圖所示。已知兩輕桿與水平地面和豎直墻壁的夾角都為30°，重力加速度為g，則下面輕桿和上面輕桿受到鉸鏈的作用力大小分別為(　　)
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
解析　由題可知，兩輕桿為兩個“動桿”，而“動桿”上彈力方向沿輕桿。對中間鉸鏈進行受力分析，鉸鏈所受輕繩拉力大小為mg，方向豎直向下，下面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向下，設為F1，上面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向上，設為F2，如圖所示。在力的矢量三角形中，由正弦定理有，解得F1＝mg，F2＝mg，選項B正確。
B級　綜合提升練
BC
9.(多選)兩個力F1和F2之間的夾角為θ，其合力為F。以下說法正確的是(　　)
A.合力F總比分力F1和F2中的任何一個力都大
B.若F1和F2大小不變，θ角減小，合力F一定增大
C.若夾角θ不變，F1大小不變，F2增大，合力F可能減小
D.若F1和F2大小不變，合力F與θ的關系圖像如圖所示，則任意改變這兩個分力的夾角，能得到的合力大小的變化范圍是2 N≤F≤10 N
解析　合力F的取值范圍是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力F不一定總比分力F1和F2中的任何一個力都大，故A錯誤;根據余弦定理可得合力大小為F＝，θ角減小，則合力F一定增大，故B正確;若夾角θ為鈍角，θ
不變，F1大小不變，F2增大，合力F可能減小，故C正確;由題圖知，當θ＝180°時，F合＝2 N，即|F1－F2|＝2 N，當θ＝90°時，F合'＝10 N，即＝10 N，解得F1＝6 N，F2＝8 N或F1＝8 N，F2＝6 N，故2 N≤F≤14 N，故D錯誤。
B
10.(2025·四川成都一模)如圖所示，兩固定斜面OM粗糙、ON光滑，兩物塊a、b通過鉸鏈與輕桿相連，且都靜止于斜面上，桿垂直于OM。當對b物體施加豎直向下的恒力時(　　)
A.a向上滑動
B.b仍靜止
C.a與OM間的摩擦力增大
D.b沿斜面向下運動
解析　設b的質量為m，桿對b的彈力為F，ON對b的支持力為FNb，其力的矢量圖如圖所示，由幾何知識可知F＝FNb＝mg。當b受到豎直向下的恒力時，豎直方向的作用力增大，桿和斜面ON的支持力等比例增大，合力仍為零，b仍靜止，故B正確，D錯誤;桿對a的力始終垂直斜面OM，a始終靜止，摩擦力Ff＝magsin 60°不變，故A、C錯誤。
B
11.(2025·江蘇南京師范大學附屬中學期末)如圖所示，兩個質量均為m的小球分別套在豎直固定的光滑圓環上，圓環半徑為R，一不可伸長的細線兩端各系在一個小球上，細線長為2R。用豎直向上的力F拉細線中點O，可使兩小球保持等高靜止在圓上a、b兩點不同處。當a、b間的距離為R時，力F的大小為(重力加速度為g)(　　)
A.2mg B.3mg C.2mg D.3mg
解析　a、b等高且距離為R，O為細線中點且細線長為2R，則Oa＝Ob＝R，三角形Oab為等邊三角形，如圖所示，O'為圓心，選取左側小球進行分析，由圖中幾何關系可得，圓環彈力沿O'a向外，與水平方向夾角為30°，則小球所受重力與圓環彈力相等、兩者的合力為F合＝2mgcos 30°＝mg，與細線拉力FT等大，力F的大小與細線拉力的合力等大反向，兩細線夾角為60°，則F＝2FTcos 30°＝FT＝3mg，故B正確。
A
12.如圖所示，輕繩MN的兩端固定在水平天花板上，物體A系在輕繩MN的某處，懸掛有物體B的光滑輕滑輪跨在輕繩MN上。系統靜止時的幾何關系如圖，則A與B的質量之比為(　　)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶ D.∶2
解析　對物體A上方繩的結點受力分析，如圖甲所示，根據共點力平衡及幾何關系可知，合力正好平分兩個分力的夾角，可得F1＝mAg，對滑輪受力分析，如圖乙所示，由于滑輪兩側繩的拉力相等，兩側繩夾角為120°，可得F2＝mBg，根據同一根輕繩拉力相等的特點可知F1＝F2，則mA＝mB，得，A正確。
B
13.(2025·福建福州一中月考)為了安全，卡車運輸卷材時常用“V”形槽固定。如圖，將“V”形槽簡化為兩光滑固定于卡車的斜面Ⅰ和Ⅱ，兩斜面的傾角分別為30°和60°。質量為m的勻質圓筒狀鋼卷放在斜面上，當卡車沿平直公路行駛時，鋼卷對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1和F2，則(重力加速度為g)(　　)
A.若卡車勻速運動，則F1＝mg
B.若卡車勻速運動，則F1＝F2
C.若卡車加速運動，則F1和F2都可能大于mg
D.若卡車急剎車且F1減小為零時，F2＝1.5mg
解析　若卡車勻速運動，鋼卷受力平衡，根據重力的作用效果分解如圖甲，則有F1＝mgcos 30°＝mg，F2＝mgsin 30°＝mg，可知F1＝F2，A錯誤，B正確;若卡車加速運動，如果加速度從零逐漸增大，F2逐漸減小，當加速度最大時，F2＝0，此時受力如圖乙，則有F1＝mg>mg，C錯誤;若卡車急剎車且F1減小為零時，F2＝＝2mg，D錯誤。
14.(2025·河北衡水聯考)將一根長195 cm的細鋼絲的兩端分別用螺絲固定在兩個相同的小木塊上，取兩根長98.5 cm的硬質輕木條，在頂點用鉸鏈連接起來。將兩木塊分開，拉直鋼絲，放在比較光滑的水平面上，然后將兩輕木條的自由端分別卡在兩木塊的凹槽內，用手指在頂點鉸鏈處用大小為F的力下按，細鋼絲就會被拉斷。該實驗中，細鋼絲被拉斷前瞬間承受的拉力大小約為(　　)
C級　培優加強練
A.F B.F
C.F D.F
B
解析　把豎直向下的力F沿兩木條方向分解，如圖甲所示，設兩木條之間的夾角為θ，由幾何關系可知tan，則木條作用于木塊上的力為F1＝F2＝，木條對木塊的作用力F1產生兩個效果，豎直向下壓木塊的力F1″和沿水平方向推木塊的力F1'，如圖乙所示，細鋼絲上的張力FT與F1'大小相等，即FT＝F1sin·sinFtanF，B正確。

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