資源簡介

第1講　曲線運動　運動的合成與分解
學習目標　1.理解物體做曲線運動的條件及運動性質。 2.理解合運動與分運動的概念，會用運動的合成與分解處理小船渡河和關聯速度等問題。
1.曲線運動
2.運動的合成與分解
1.思考判斷
(1)速度發生變化的運動，一定是曲線運動。(×)
(2)做曲線運動的物體受到的合力一定是變力。(×)
(3)做曲線運動的物體所受合力的方向一定指向軌跡的凹側。(√)
(4)合運動的速度一定比分運動的速度大。(×)
(5)只要兩個分運動為直線運動，合運動一定是直線運動。(×)
(6)曲線運動一定不是勻變速運動。(×)
(7)運動的合成與分解的實質是對描述運動的物理量(位移、速度、加速度)的合成與分解。(√)
2.(2023·全國乙卷，15)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加，如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是(　　)
答案　D
考點一　曲線運動的條件與軌跡分析
1.曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
(1)速度方向與運動軌跡相切。
(2)合力方向指向曲線的“凹”側。
(3)運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間。
2.速率變化的判斷
例1 一個物體在光滑水平面上做勻速直線運動，其速度方向如圖中的v所示。從A點開始，它受到向前但偏右(觀察者沿著物體前進的方向看，下同)的外力F;到達B點時，這個外力的方向突然變為與前進方向相同;到達C點時，外力的方向又突然改為向前但偏左，物體最終到達D點。則關于物體由A點到D點的運動軌跡，下列選項中可能正確的是(　　)
答案　C
解析　由合力方向指向運動軌跡的“凹側”，運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間，可知C正確。
跟蹤訓練
1.如圖所示是物體在恒力作用下所做的曲線運動的軌跡的示意圖，箭頭表示物體在該點的速度方向。已知物體在B點的加速度方向與速度方向垂直，則下列說法正確的是(　　)
A.C點的速率大于B點的速率
B.C點的速率小于B點的速率
C.A點的加速度比C點的加速度大
D.從A點到C點加速度方向與速度方向的夾角先增大后減小，速率是先減小后增大
答案　A
解析　由題意可知物體做勻變速曲線運動，B到C點的加速度方向與速度方向夾角小于90°，物體做加速運動，C點的速率比B點的速率大，故A正確，B錯誤;物體在恒力作用下運動，所以經過A點時的加速度與C點的加速度相同，故C錯誤;物體運動到B點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則有A點速度方向與加速度方向夾角大于90°，C點的加速度方向與速度方向夾角小于90°，所以加速度與速度的夾角一直減小，故D錯誤。
考點二　運動的合成與分解
1.合運動的性質判斷
加速度(或合力)
加速度(或合力)
方向與速度方向
加速度(或合力)為0:勻速直線運動
2.兩個互成角度的直線運動的合運動性質的判斷
(1)依據:看合初速度方向與合加速度(或合力)方向是否共線。
(2)常見的情況
兩個互成角度的分運動 合運動的性質
兩個勻速直線運動 勻速直線運動
一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動 勻變速曲線運動
兩個初速度為零的勻加速直線運動 勻加速直線運動
兩個初速度不為零的勻變速直線運動 如果v合與a合共線，為勻變速直線運動
如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動
例2 (多選)(2024·江西卷，8)一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是(　　)
答案　AD
解析　由于小魚在運動過程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做勻速直線運動，即vx為一定量，則有x＝vxt，A正確，C錯誤;小魚在豎直方向上做豎直上拋運動，則有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最終減為0，B錯誤，D正確。
跟蹤訓練
2.(2025·湖北黃岡模擬)質量為2 kg的物體在xOy平面內做曲線運動，圖(a)、(b)分別是其在x方向的速度—時間圖像、在y方向的位移—時間圖像。sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列說法正確的是(　　)
A.物體的加速度方向與初速度垂直
B.物體的初速度大小為3 m/s
C.t＝2 s時，物體的速度大小為2 m/s
D.物體所受合力大小為4 N
答案　C
解析　由題圖可知，物體沿x正方向做勻加速直線運動，初速度為v0x＝3 m/s，加速度為a＝ m/s2＝1.5 m/s2，y方向做勻速直線運動，速度為vy＝4 m/s，則物體的初速度為v0＝＝5 m/s，故B錯誤;由cos θ＝＝0.6知物體初速度方向與x軸成53°，而合力方向沿x正方向，物體的加速度與初速度不垂直，故A錯誤;2 s末，x方向的速度為vx＝v0x＋at＝6 m/s，此時合速度大小為v＝＝2 m/s，故C正確;由牛頓第二定律可得，物體所受合力為F＝ma＝3 N，故D錯誤。
考點三　小船渡河模型
1.船的實際運動:是隨水漂流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
2.三種速度:船在靜水中的速度v船、水流的速度v水、船的實際速度v。
3.兩類問題、三種情景
渡河 時間 最短 當船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船>v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ＝v水時，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河寬d
如果v船例3 (2025·四川德陽模擬)如圖所示，消防員正在寬度為d＝100 m、河水流速為v1＝5 m/s的河流中進行水上救援演練，可視為質點的沖鋒舟距離下游危險區的距離為x＝75 m，其在靜水中的速度為v2，則(　　)
A.若沖鋒舟船頭垂直于岸，以在靜水中的初速度為零、加速度為a＝0.9 m/s2勻加速沖向對岸，則能安全到達對岸
B.為了使沖鋒舟能安全到達河對岸，沖鋒舟在靜水中的速度v2不得小于3 m/s
C.若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30°斜向上游且以速度v2＝10 m/s勻速航行，則恰能到達正對岸
D.沖鋒舟勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間t＝25 s
答案　A
解析　沖鋒舟的運動分解為沿船頭方向與沿水流方向的兩個分運動，有d＝at2，解得t＝ s，沿水流方向的位移為x水＝v1t＝ m5 m/s，可知沖鋒舟的合速度不指向正對岸，所以不能到達正對岸，故C錯誤。
拓展
(1)若沖鋒舟的船頭正對河岸行駛，河水流速突然增大，則沖鋒舟到達對岸的時間有變化嗎
答案　渡河時間等于河的寬度與船垂直河岸方向的分速度之比，即t＝，與河水流速無關，故沖鋒舟到達對岸的時間不變。
(2)消防員接到命令，要求在20 s內到達河的正對岸，則沖鋒舟行駛的最小速度v2'是多少 該如何行駛
答案　合速度最小為v合min＝ m/s＝5 m/s，
則v2min'＝＝5 m/s。
沖鋒舟船頭與上游河岸的夾角為θ，則tan θ＝1，即θ＝45°
故沖鋒舟船頭與上游河岸成45°角，以最小速度5 m/s行駛。
跟蹤訓練
3.(2024·遼寧本溪模擬)解放軍某部在某次登島演習過程中，要渡過一條寬度為d的小河。現有甲、乙兩個戰斗小組分別乘兩只小船渡河，船頭朝向如圖所示，渡河時兩小船船頭與河岸夾角都是θ角，兩船在靜水中的速率都為v，水流速率為v0，此時甲船恰好能到小河正對岸的A點，則(　　)
A.甲船渡河時間為
B.乙船比甲船更早到達對岸
C.靠岸時兩船間距增大了(vcos θ＋v0)
D.如果河水流速增大，甲船不改變船頭方向也能到達A點
答案　C
解析　將小船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，根據分運動和合運動具有等時性，可知甲、乙兩船到達對岸的時間均為t＝，兩船同時到達對岸，故A、B錯誤;靠岸時兩船間距增大了x＝v相對t＝(v0＋vcos θ)，故C正確;水流速率為v0，甲船恰好能到小河正對岸的A點，則vcos θ＝v0，故如果河水流速增大，要使甲船到達A點，小船船頭與河岸夾角應減小，故D錯誤。
考點四　繩(桿)端速度分解模型
1.模型特點
與繩(桿)相連的物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上，沿繩(桿)方向的速度分量大小相等。
2.解題關鍵:明確合速度與分速度
合速度→繩(桿)拉物體的實際運動速度v→平行四邊形對角線
3.常見模型
模型　繩端速度分解模型
例4 (2025·江蘇淮陰中學高三聯考)如圖所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，物體P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。已知重力加速度為g，則當小車與滑輪間的細繩和水平方向的夾角為θ2時，下列判斷正確的是(　　)
A.P做勻速運動 B.P的速率為
C.繩的拉力大于mgsin θ1 D.繩的拉力小于mgsin θ1
答案　C
解析　將小車速度在沿繩方向與垂直繩方向分解，P的速率為vP＝vcos θ2，故B錯誤;小車以速率v水平向右做勻速直線運動，θ2逐漸減小，P的速度逐漸增大，P沿斜面向上做加速運動，根據牛頓第二定律有FT－mgsin θ1＝ma>0，則繩的拉力大于mgsin θ1，故C正確，A、D錯誤。
模型　桿端速度分解模型
例5 (2025·陜西西安工業大學附屬中學高三檢測)如圖，甲、乙兩光滑小球(均可視為質點)用輕直桿連接，乙球處于粗糙水平地面上，甲球套在光滑的豎直桿上，初始時輕桿豎直，桿長為4 m。施加微小的擾動，使得乙球沿水平地面向右滑動，當乙球距離起點3 m時，下列說法正確的是(　　)
A.甲、乙兩球的速度大小之比為∶3
B.甲、乙兩球的速度大小之比為3∶7
C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等
D.甲球即將落地時，乙球的速度達到最大
答案　B
解析　設輕桿與豎直方向的夾角為θ，則v1在沿桿方向的分量為v1∥＝v1cos θ，v2在沿桿方向的分量為v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，圖示位置時，有cos θ＝，sin θ＝，解得此時甲、乙兩球的速度大小之比為，選項A錯誤，B正確;當甲球即將落地時，θ＝90°，此時甲球的速度達到最大，而乙球的速度為零，選項C、D錯誤。
A級　基礎對點練
對點練1　曲線運動的條件與軌跡分析
1.(2023·遼寧卷，1)某同學在練習投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力F的示意圖可能正確的是(　　)
答案　A
解析　籃球做曲線運動，則籃球的速度與合力不在同一條直線上，且籃球的軌跡應向受力的一方發生偏轉，故B、C、D錯誤;當籃球的速度斜向右上方時，A選項符合條件，故A正確。
2.在風洞實驗室中進行如圖所示的實驗，光滑的水平面上一小球以速度v0向東運動，運動中要穿過水平向北的風洞MN，在風洞施加的水平恒定風力作用下，小球通過風洞過程及通過后的軌跡正確的圖像是(　　)
答案　A
解析　小球在光滑的水平面上以速度v0向東運動，給小球一個向北的水平恒定風力，根據曲線運動的條件，合力指向物體做曲線運動軌跡的凹側，且速度的方向沿著軌跡的切線方向，故A正確。
對點練2　運動的合成與分解
3.如圖所示，某跳傘運動員從一定高度跳傘，在降落過程中受到水平恒定風力影響，最后降落到某一水平面上，下列說法正確的是(　　)
A.該運動員一定做曲線運動
B.其他條件不變，風力越大，該運動員在空中運動時間越短
C.其他條件不變，風力越大，該運動員在空中運動時間越長
D.其他條件不變，風力越大，該運動員著地時的速率越大
答案　D
解析　若運動員跳傘時的速度方向與運動員所受的合力方向相同，則運動員做直線運動，A錯誤;豎直方向，根據h＝gt2，可得t＝，可知該運動員在空中運動時間與風力無關，B、C錯誤;水平方向風力越大，水平方向的加速度越大，落地時的水平速度就越大，可知其他條件不變，該運動員著地時的速率越大，D正確。
4.(2025·安徽淮北質檢)在一次無人機表演中，若分別以水平向右、豎直向上為x軸、y軸的正方向，某架參演的無人機在x、y方向的v－t圖像分別如圖甲、乙所示，則在0~t2時間內，該無人機的運動軌跡為(　　)
答案　A
解析　由題圖可知，在0~t1時間內無人機豎直方向做勻速直線運動，水平方向向右做勻減速直線運動，可知在0~t1時間內無人機受到的合力方向水平向左，根據合力指向軌跡凹側，可知0~t1時間內無人機運動的軌跡向左彎曲;在t1~t2時間內無人機豎直方向向上做勻減速直線運動，水平方向做勻速直線運動，可知在t1~t2時間內無人機的合力豎直向下，根據合力指向軌跡凹側，可知在t1~t2時間內無人機運動的軌跡向下彎曲，故A正確。
5.(2025·江蘇連云港高三期中)風洞實驗是進行空氣動力學研究的重要方法。如圖所示，將小球從A點以某一速度v0水平向左拋出，經過一段時間，小球運動到A點正下方的B點，O點是軌跡的最左端，風對小球的作用力水平向右，大小恒定。則小球速度最小時位于(　　)
A.A點 B.O點
C.軌跡AO之間的某一點 D.軌跡OB之間的某一點
答案　C
解析　如圖所示，將重力和風力合成，速度v0分解為沿合力方向分速度v1和垂直合力方向分速度v2，當沿合力方向的分速度減為0時，小球的速度最小，即小球最小速度為圖中的v2，可知該點位于軌跡AO之間的某一點，故C正確。
對點練3　小船渡河模型
6.如圖所示，兩次渡河時船頭指向均垂直于岸，且船相對水的速度大小不變。已知第一次實際航程為A至B，位移為x1，實際航速為v1，所用時間為t1，由于水速增大，第二次實際航程為A至C，位移為x2，實際航速為v2，所用時間為t2。則(　　)
A.t2>t1，v2＝ B.t2>t1，v2＝
C.t2＝t1，v2＝ D.t2＝t1，v2＝
答案　C
解析　設河寬為d，由運動的獨立性，船相對水的航速v不變，航向也不變，則渡河時間t＝不變，即t2＝t1，船做勻速運動，運動時間t＝，故v2＝，又t2＝t1＝，聯立解得v2＝，故C正確。
7.(多選)如圖，小船以大小為v1＝5 m/s、船頭與上游河岸成θ＝60°角的速度(在靜水中的速度)從A處渡河，經過一段時間正好到達正對岸B處。已知河寬d＝180 m，則下列說法中正確的是(　　)
A.河中水流速度為2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的時間為24 s
C.小船渡河的最短時間為24 s
D.小船以最短時間渡河時到達對岸的位移大小是90 m
答案　BD
解析　河中水流速度為v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，故A錯誤;小船以最短位移渡河的時間為t＝ s＝24 s，故B正確;當船頭方向指向正對岸時渡河時間最短，則小船渡河的最短時間為tmin＝ s＝36 s，故C錯誤;小船以最短時間渡河時到達對岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，則總位移大小s＝＝90 m，故D正確。
對點練4　繩(桿)端速度分解模型
8.(多選)(2025·天津武清區楊村第一中學高三月考)如圖所示，不可伸長的輕繩平行于斜面，一端與質量為m的物塊B相連，B放在光滑斜面上。輕繩另一端跨過滑輪與質量為M的物塊A連接。A在外力作用下沿豎直桿以速度v1向下勻速運動，物塊B始終沿斜面運動且斜面始終靜止，當輕繩與桿的夾角為β時，物塊B的速度大小為v2。斜面傾角為α，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A. B.＝cos β
C.輕繩拉力等于mgsin α D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
答案　AD
解析　將物塊A的速度沿繩方向與垂直于繩方向分解，有v1cos β＝v2，則，故A正確，B錯誤;由于物塊A在外力作用下沿豎直桿以速度v1向下勻速運動，可知輕繩與桿的夾角逐漸減小，則B的速度大小v2逐漸增大，即B在沿斜面向上做加速運動，根據牛頓第二定律有FT－mgsin θ＝ma>0，可知輕繩拉力一定大于mgsin α，故C錯誤;B對光滑斜面有斜向右下方的壓力，斜面在該壓力作用下有向右運動的趨勢，則斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正確。
9.(2025·江蘇鹽城建湖高級中學高三檢測)如圖所示，一根長為L的輕桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個小球A，輕桿靠在一個質量為M、高為h的物塊上。若物塊與地面摩擦不計，則當物塊以速度v向右運動至桿與水平方向夾角為θ時，小球A的線速度大小為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　當物塊以速度v向右運動至桿與水平方向夾角為θ時，B點的線速度等于木塊的速度在垂直于桿方向上的分速度vB＝vsin θ，則桿的角速度ω＝，小球A的線速度vA＝ωL＝，故A正確。
B級　綜合提升練
10.(2023·江蘇卷，10)達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗:一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動，沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是(　　)
答案　D
解析　
11.(多選)如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，河寬為d，M、N分別是甲、乙兩船的出發點，兩船頭與河岸均成α角，甲船船頭恰好對準N點的正對岸P點，經過一段時間乙船恰好到達P點，如果劃船速度均為v0，且兩船相遇不影響各自的航行。下列說法正確的是(　　)
A.水流方向向右，大小為v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移為
C.甲、乙兩船不會在NP上某點相遇
D.兩船同時到達河對岸，渡河時間均為
答案　AD
解析　由于乙船恰好到達P點，則水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正確;設甲船的渡河時間為t，則d＝v0tsin α，甲船水平位移x甲＝(v0cos α＋v水)t，聯立解得x甲＝，故B錯誤;由于乙船沿NP運動，在水流的作用下，甲船到達對岸時，應在P點的右側，而兩船在垂直河岸方向速度相同，一定會相遇，且在NP上某點相遇，故C錯誤;兩船在垂直河岸方向的分速度都為v垂直＝v0sin α，河寬d一定，因此兩船同時到達河對岸，渡河時間均為t＝，故D正確。
12.(多選)如圖所示，有一個水平向左做勻速直線運動的半圓柱體，速度為v0，半圓柱體上有一根能沿豎直方向運動的豎直桿，在豎直桿未下降到地面之前，桿同半圓柱體接觸點和柱心的連線與豎直方向的夾角為θ，下列說法正確的是(　　)
A.豎直桿向下做加速直線運動
B.豎直桿向下做減速直線運動
C.v0∶v桿＝tan θ∶1
D.v0∶v桿＝1∶tan θ
答案　AD
解析　桿受到半圓柱體的作用力如圖所示，因兩接觸運動物體沿接觸彈力方向的分速度相等，所以有v0sin θ＝v桿cos θ，即v桿＝v0tan θ，桿向下運動，θ變大，tan θ變大，則v桿＝v0tan θ變大，桿做加速直線運動，v0∶v桿＝1∶tan θ，A、D正確，B、C錯誤。
C級　培優加強練
13.(多選)(2024·安徽卷，9)一傾角為30°足夠大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐標系，如圖甲所示從t＝0開始，將一可視為質點的物塊從O點由靜止釋放，同時對物塊施加沿x軸(與斜面底邊平行)正方向的力F1和F2，其大小與時間t的關系如圖乙所示。已知物塊的質量為1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力。則(　　)
A.物塊始終做勻變速曲線運動
B.t＝1 s時，物塊的y坐標值為2.5 m
C.t＝1 s時，物塊的加速度大小為5 m/s2
D.t＝2 s時，物塊的速度大小為10 m/s
答案　BD
解析　根據圖像可得F1＝(4－t) N，F2＝3t N，故兩力的合力為F＝(4＋2t) N，物塊在y軸方向受到的力為mgsin 30°不變，x軸方向的力在改變，合力在改變，故物塊做的不是勻變速曲線運動，故A錯誤;在y軸方向的加速度為ay＝＝5 m/s2，t＝1 s時，物塊的y坐標值為y1＝ayt2＝2.5 m，故B正確;當t＝1 s時，Fx＝6 N，物塊的加速度大小為a＝ m/s2＝5 m/s2，故C錯誤;沿x軸正方向，對物塊根據動量定理有Ft＝mvx－0，由于F與時間t成線性關系，故可得 N·s＝1.2vx，解得vx＝10 m/s，此時y軸方向速度為vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s，故此時物塊的速度大小為v＝＝10 m/s，故D正確。(共62張PPT)
第1講　曲線運動　運動的合成與分解
第四章　曲線運動　萬有引力與宇宙航行
理解物體做曲線運動的條件及運動性質。
理解合運動與分運動的概念，會用運動的合成與分解處理小船渡河和關聯速度等問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
夯實必備知識
01
研透核心考點
02
提升素養能力
03
夯實必備知識
1
切線
1.曲線運動
方向
變速
加速度
合力
分運動
2.運動的合成與分解
合運動
實際效果
正交分解
平行四邊形
時間
獨立
效果
1.思考判斷
(1)速度發生變化的運動，一定是曲線運動。( )
(2)做曲線運動的物體受到的合力一定是變力。( )
(3)做曲線運動的物體所受合力的方向一定指向軌跡的凹側。( )
(4)合運動的速度一定比分運動的速度大。( )
(5)只要兩個分運動為直線運動，合運動一定是直線運動。( )
(6)曲線運動一定不是勻變速運動。( )
(7)運動的合成與分解的實質是對描述運動的物理量(位移、速度、加速度)的合成與分解。( )
×
×
√
×
×
×
√
D
2.(2023·全國乙卷，15)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加，如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是(　　)
研透核心考點
2
考點二　運動的合成與分解
考點一　曲線運動的條件與軌跡分析
考點三　小船渡河模型
考點四　繩(桿)端速度分解模型
考點一　曲線運動的條件與軌跡分析
1.曲線運動中速度方向、合力方向與運動軌跡之間的關系
(1)速度方向與運動軌跡相切。
(2)合力方向指向曲線的“凹”側。
(3)運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間。
2.速率變化的判斷
例1 一個物體在光滑水平面上做勻速直線運動，其速度方向如圖中的v所示。從A點開始，它受到向前但偏右(觀察者沿著物體前進的方向看，下同)的外力F;到達B點時，這個外力的方向突然變為與前進方向相同;到達C點時，外力的方向又突然改為向前但偏左，物體最終到達D點。則關于物體由A點到D點的運動軌跡，下列選項中可能正確的是(　　)
C
解析　由合力方向指向運動軌跡的“凹側”，運動軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間，可知C正確。
跟蹤訓練
1.如圖所示是物體在恒力作用下所做的曲線運動的軌跡的示意圖，箭頭表示物體在該點的速度方向。已知物體在B點的加速度方向與速度方向垂直，則下列說法正確的是(　　)
A
A.C點的速率大于B點的速率
B.C點的速率小于B點的速率
C.A點的加速度比C點的加速度大
D.從A點到C點加速度方向與速度方向的夾角先增大后減小，速率是先減小后增大
解析　由題意可知物體做勻變速曲線運動，B到C點的加速度方向與速度方向夾角小于90°，物體做加速運動，C點的速率比B點的速率大，故A正確，B錯誤;物體在恒力作用下運動，所以經過A點時的加速度與C點的加速度相同，故C錯誤;物體運動到B點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則有A點速度方向與加速度方向夾角大于90°，C點的加速度方向與速度方向夾角小于90°，所以加速度與速度的夾角一直減小，故D錯誤。
考點二　運動的合成與分解
1.合運動的性質判斷
加速度(或合力)
加速度(或合力)
方向與速度方向
加速度(或合力)為0:勻速直線運動
2.兩個互成角度的直線運動的合運動性質的判斷
(1)依據:看合初速度方向與合加速度(或合力)方向是否共線。
(2)常見的情況
兩個互成角度的分運動 合運動的性質
兩個勻速直線運動 勻速直線運動
一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動 勻變速曲線運動
兩個初速度為零的勻加速直線運動 勻加速直線運動
兩個初速度不為零的勻變速直線運動 如果v合與a合共線，為勻變速直線運動
如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動
例2 (多選)(2024·江西卷，8)一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是(　　)
AD
解析　由于小魚在運動過程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做勻速直線運動，即vx為一定量，則有x＝vxt，A正確，C錯誤;小魚在豎直方向上做豎直上拋運動，則有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最終減為0，B錯誤，D正確。
跟蹤訓練
2.(2025·湖北黃岡模擬)質量為2 kg的物體在xOy平面內做曲線運動，圖(a)、(b)分別是其在x方向的速度—時間圖像、在y方向的位移—時間圖像。sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列說法正確的是(　　)
C
A.物體的加速度方向與初速度垂直
B.物體的初速度大小為3 m/s
C.t＝2 s時，物體的速度大小為2 m/s
D.物體所受合力大小為4 N
解析　由題圖可知，物體沿x正方向做勻加速直線運動，初速度為v0x＝3 m/s，加速度為a＝ m/s2＝1.5 m/s2，y方向做勻速直線運動，速度為vy＝4 m/s，則物體的初速度為v0＝＝5 m/s，故B錯誤;由cos θ＝＝
0.6知物體初速度方向與x軸成53°，而合力方向沿x正方向，物體的加速度與初速度不垂直，故A錯誤;2 s末，x方向的速度為vx＝v0x＋at＝6 m/s，此時合速度大小為v＝＝2 m/s，故C正確;由牛頓第二定律可得，物體所受合力為F＝ma＝3 N，故D錯誤。
1.船的實際運動:是隨水漂流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
2.三種速度:船在靜水中的速度v船、水流的速度v水、船的實際速度v。
考點三　小船渡河模型
3.兩類問題、三種情景
渡河 時間 最短 當船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船>v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ＝v水時，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河寬d
如果v船例3 (2025·四川德陽模擬)如圖所示，消防員正在寬度為d＝100 m、河水流速為v1＝5 m/s的河流中進行水上救援演練，可視為質點的沖鋒舟距離下游危險區的距離為x＝75 m，其在靜水中的速度為v2，則(　　)
A
A.若沖鋒舟船頭垂直于岸，以在靜水中的初速度為零、加速度為a＝0.9 m/s2勻加速沖向對岸，則能安全到達對岸
B.為了使沖鋒舟能安全到達河對岸，沖鋒舟在靜水中的速度v2不得小于3 m/s
C.若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30°斜向上游且以速度v2＝10 m/s勻速航行，則恰能到達正對岸
D.沖鋒舟勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間t＝25 s
解析　沖鋒舟的運動分解為沿船頭方向與沿水流方向的兩個分運動，有d＝at2，解得t＝ s，沿水流方向的位移為x水＝v1t＝ m合速度與水流速度夾角為θ，則沖鋒舟在靜水中的速度至少應為vmin＝v1sin θ，由幾何知識知tan θ＝，聯立解得vmin＝4 m/s，由圖可知OP＝＝125 m，沖鋒舟以最小速度勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間為t2＝ s，故B、D錯誤;若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30°斜向上游，且以速度v2＝10 m/s勻速航行，則有v2cos 30°＝5 m/s>5 m/s，可知沖鋒舟的合速度不指向正對岸，所以不能到達正對岸，故C錯誤。
拓展
(1)若沖鋒舟的船頭正對河岸行駛，河水流速突然增大，則沖鋒舟到達對岸的時間有變化嗎
答案　渡河時間等于河的寬度與船垂直河岸方向的分速度之比，即t＝，與河水流速無關，故沖鋒舟到達對岸的時間不變。
(2)消防員接到命令，要求在20 s內到達河的正對岸，則沖鋒舟行駛的最小速度v2'是多少 該如何行駛
答案　合速度最小為v合min＝ m/s＝5 m/s，
則v2min'＝＝5 m/s。
沖鋒舟船頭與上游河岸的夾角為θ，則tan θ＝1，即θ＝45°
故沖鋒舟船頭與上游河岸成45°角，以最小速度5 m/s行駛。
跟蹤訓練
3.(2024·遼寧本溪模擬)解放軍某部在某次登島演習過程中，要渡過一條寬度為d的小河。現有甲、乙兩個戰斗小組分別乘兩只小船渡河，船頭朝向如圖所示，渡河時兩小船船頭與河岸夾角都是θ角，兩船在靜水中的速率都為v，水流速率為v0，此時甲船恰好能到小河正對岸的A點，則(　　)
A.甲船渡河時間為
B.乙船比甲船更早到達對岸
C.靠岸時兩船間距增大了(vcos θ＋v0)
D.如果河水流速增大，甲船不改變船頭方向也能到達A點
C
解析　將小船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，根據分運動和合運動具有等時性，可知甲、乙兩船到達對岸的時間均為t＝，兩船同時到達對岸，故A、B錯誤;靠岸時兩船間距增大了x＝v相對t＝(v0＋vcos θ)，故C正確;水流速率為v0，甲船恰好能到小河正對岸的A點，則vcos θ＝v0，故如果河水流速增大，要使甲船到達A點，小船船頭與河岸夾角應減小，故D錯誤。
1.模型特點
與繩(桿)相連的物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上，沿繩(桿)方向的速度分量大小相等。
考點四　繩(桿)端速度分解模型
2.解題關鍵:明確合速度與分速度
合速度→繩(桿)拉物體的實際運動速度v→平行四邊形對角線
3.常見模型
模型 　繩端速度分解模型
例4 (2025·江蘇淮陰中學高三聯考)如圖所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，物體P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。已知重力加速度為g，則當小車與滑輪間的細繩和水平方向的夾角為θ2時，下列判斷正確的是(　　)
A.P做勻速運動 B.P的速率為
C.繩的拉力大于mgsin θ1 D.繩的拉力小于mgsin θ1
C
解析　將小車速度在沿繩方向與垂直繩方向分解，P的速率為vP＝vcos θ2，故B錯誤;小車以速率v水平向右做勻速直線運動，θ2逐漸減小，P的速度逐漸增大，P沿斜面向上做加速運動，根據牛頓第二定律有FT－mgsin θ1＝ma>0，則繩的拉力大于mgsin θ1，故C正確，A、D錯誤。
模型 　桿端速度分解模型
例5 (2025·陜西西安工業大學附屬中學高三檢測)如圖，甲、乙兩光滑小球(均可視為質點)用輕直桿連接，乙球處于粗糙水平地面上，甲球套在光滑的豎直桿上，初始時輕桿豎直，桿長為4 m。施加微小的擾動，使得乙球沿水平地面向右滑動，當乙球距離起點3 m時，下列說法正確的是(　　)
A.甲、乙兩球的速度大小之比為∶3
B.甲、乙兩球的速度大小之比為3∶7
C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等
D.甲球即將落地時，乙球的速度達到最大
B
解析　設輕桿與豎直方向的夾角為θ，則v1在沿桿方向的分量為v1∥＝v1cos θ，v2在沿桿方向的分量為v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，圖示位置時，有cos θ＝，sin θ＝，解得此時甲、乙兩球的速度大小之比為，選項A錯誤，B正確;當甲球即將落地時，θ＝90°，此時甲球的速度達到最大，而乙球的速度為零，選項C、D錯誤。
提升素養能力
3
A級　基礎對點練
A
對點練1　曲線運動的條件與軌跡分析
1.(2023·遼寧卷，1)某同學在練習投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力F的示意圖可能正確的是(　　)
解析　籃球做曲線運動，則籃球的速度與合力不在同一條直線上，且籃球的軌跡應向受力的一方發生偏轉，故B、C、D錯誤;當籃球的速度斜向右上方時，A選項符合條件，故A正確。
A
2.在風洞實驗室中進行如圖所示的實驗，光滑的水平面上一小球以速度v0向東運動，運動中要穿過水平向北的風洞MN，在風洞施加的水平恒定風力作用下，小球通過風洞過程及通過后的軌跡正確的圖像是(　　)
解析　小球在光滑的水平面上以速度v0向東運動，給小球一個向北的水平恒定風力，根據曲線運動的條件，合力指向物體做曲線運動軌跡的凹側，且速度的方向沿著軌跡的切線方向，故A正確。
D
對點練2　運動的合成與分解
3.如圖所示，某跳傘運動員從一定高度跳傘，在降落過程中受到水平恒定風力影響，最后降落到某一水平面上，下列說法正確的是(　　)
A.該運動員一定做曲線運動
B.其他條件不變，風力越大，該運動員在空中運動時間越短
C.其他條件不變，風力越大，該運動員在空中運動時間越長
D.其他條件不變，風力越大，該運動員著地時的速率越大
解析　若運動員跳傘時的速度方向與運動員所受的合力方向相同，則運動員做直線運動，A錯誤;豎直方向，根據h＝gt2，可得t＝，可知該運動員在空中運動時間與風力無關，B、C錯誤;水平方向風力越大，水平方向的加速度越大，落地時的水平速度就越大，可知其他條件不變，該運動員著地時的速率越大，D正確。
A
4.(2025·安徽淮北質檢)在一次無人機表演中，若分別以水平向右、豎直向上為x軸、y軸的正方向，某架參演的無人機在x、y方向的v－t圖像分別如圖甲、乙所示，則在0~t2時間內，該無人機的運動軌跡為(　　)
解析　由題圖可知，在0~t1時間內無人機豎直方向做勻速直線運動，水平方向向右做勻減速直線運動，可知在0~t1時間內無人機受到的合力方向水平向左，根據合力指向軌跡凹側，可知0~t1時間內無人機運動的軌跡向左彎曲;在t1~t2時間內無人機豎直方向向上做勻減速直線運動，水平方向做勻速直線運動，可知在t1~t2時間內無人機的合力豎直向下，根據合力指向軌跡凹側，可知在t1~t2時間內無人機運動的軌跡向下彎曲，故A正確。
C
5.(2025·江蘇連云港高三期中)風洞實驗是進行空氣動力學研究的重要方法。如圖所示，將小球從A點以某一速度v0水平向左拋出，經過一段時間，小球運動到A點正下方的B點，O點是軌跡的最左端，風對小球的作用力水平向右，大小恒定。則小球速度最小時位于(　　)
A.A點 B.O點
C.軌跡AO之間的某一點 D.軌跡OB之間的某一點
解析　如圖所示，將重力和風力合成，速度v0分解為沿合力方向分速度v1和垂直合力方向分速度v2，當沿合力方向的分速度減為0時，小球的速度最小，即小球最小速度為圖中的v2，可知該點位于軌跡AO之間的某一點，故C正確。
C
對點練3　小船渡河模型
6.如圖所示，兩次渡河時船頭指向均垂直于岸，且船相對水的速度大小不變。已知第一次實際航程為A至B，位移為x1，實際航速為v1，所用時間為t1，由于水速增大，第二次實際航程為A至C，位移為x2，實際航速為v2，所用時間為t2。則(　　)
A.t2>t1，v2＝ B.t2>t1，v2＝
C.t2＝t1，v2＝ D.t2＝t1，v2＝
解析　設河寬為d，由運動的獨立性，船相對水的航速v不變，航向也不變，則渡河時間t＝不變，即t2＝t1，船做勻速運動，運動時間t＝，故v2＝，又t2＝t1＝，聯立解得v2＝，故C正確。
BD
7.(多選)如圖，小船以大小為v1＝5 m/s、船頭與上游河岸成θ＝60°角的速度(在靜水中的速度)從A處渡河，經過一段時間正好到達正對岸B處。已知河寬d＝180 m，則下列說法中正確的是(　　)
A.河中水流速度為2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的時間為24 s
C.小船渡河的最短時間為24 s
D.小船以最短時間渡河時到達對岸的位移大小是90 m
解析　河中水流速度為v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，故A錯誤;小船以最短位移渡河的時間為t＝ s＝24 s，故B正確;當船頭方向指向正對岸時渡河時間最短，則小船渡河的最短時間為tmin＝ s＝36 s，故C錯誤;小船以最短時間渡河時到達對岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，則總位移大小s＝＝90 m，故D正確。
AD
對點練4　繩(桿)端速度分解模型
8.(多選)(2025·天津武清區楊村第一中學高三月考)如圖所示，不可伸長的輕繩平行于斜面，一端與質量為m的物塊B相連，B放在光滑斜面上。輕繩另一端跨過滑輪與質量為M的物塊A連接。A在外力作用下沿豎直桿以速度v1向下勻速運動，物塊B始終沿斜面運動且斜面始終靜止，當輕繩與桿的夾角為β時，物塊B的速度大小為v2。斜面傾角為α，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A. B.＝cos β
C.輕繩拉力等于mgsin α D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
解析　將物塊A的速度沿繩方向與垂直于繩方向分解，有v1cos β＝v2，則，故A正確，B錯誤;由于物塊A在外力作用下沿豎直桿以速度v1向下勻速運動，可知輕繩與桿的夾角逐漸減小，則B的速度大小v2逐漸增大，即B在沿斜面向上做加速運動，根據牛頓第二定律有FT－mgsin θ＝ma>0，可知輕繩拉力一定大于mgsin α，故C錯誤;B對光滑斜面有斜向右下方的壓力，斜面在該壓力作用下有向右運動的趨勢，則斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正確。
A
9.(2025·江蘇鹽城建湖高級中學高三檢測)如圖所示，一根長為L的輕桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個小球A，輕桿靠在一個質量為M、高為h的物塊上。若物塊與地面摩擦不計，則當物塊以速度v向右運動至桿與水平方向夾角為θ時，小球A的線速度大小為(　　)
A. B. C. D.
解析　當物塊以速度v向右運動至桿與水平方向夾角為θ時，B點的線速度等于木塊的速度在垂直于桿方向上的分速度vB＝vsin θ，則桿的角速度ω＝，小球A的線速度vA＝ωL＝，故A正確。
D
B級　綜合提升練
10.(2023·江蘇卷，10)達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗:一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動，沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是(　　)
解析　
AD
11.(多選)如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，河寬為d，M、N分別是甲、乙兩船的出發點，兩船頭與河岸均成α角，甲船船頭恰好對準N點的正對岸P點，經過一段時間乙船恰好到達P點，如果劃船速度均為v0，且兩船相遇不影響各自的航行。下列說法正確的是(　　)
A.水流方向向右，大小為v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移為
C.甲、乙兩船不會在NP上某點相遇
D.兩船同時到達河對岸，渡河時間均為
解析　由于乙船恰好到達P點，則水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正確;設甲船的渡河時間為t，則d＝v0tsin α，甲船水平位移x甲＝(v0cos α＋v水)t，聯立解得x甲＝，故B錯誤;
由于乙船沿NP運動，在水流的作用下，甲船到達對岸時，應在P點的右側，而兩船在垂直河岸方向速度相同，一定會相遇，且在NP上某點相遇，故C錯誤;兩船在垂直河岸方向的分速度都為v垂直＝v0sin α，河寬d一定，因此兩船同時到達河對岸，渡河時間均為t＝，故D正確。
AD
12.(多選)如圖所示，有一個水平向左做勻速直線運動的半圓柱體，速度為v0，半圓柱體上有一根能沿豎直方向運動的豎直桿，在豎直桿未下降到地面之前，桿同半圓柱體接觸點和柱心的連線與豎直方向的夾角為θ，下列說法正確的是(　　)
A.豎直桿向下做加速直線運動 B.豎直桿向下做減速直線運動
C.v0∶v桿＝tan θ∶1 D.v0∶v桿＝1∶tan θ
解析　桿受到半圓柱體的作用力如圖所示，因兩接觸運動物體沿接觸彈力方向的分速度相等，所以有v0sin θ＝v桿cos θ，即v桿＝v0tan θ，桿向下運動，θ變大，tan θ變大，則v桿＝v0tan θ變大，桿做加速直線運動，v0∶v桿＝1∶tan θ，A、D正確，B、C錯誤。
BD
13.(多選)(2024·安徽卷，9)一傾角為30°足夠大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐標系，如圖甲所示從t＝0開始，將一可視為質點的物塊從O點由靜止釋放，同時對物塊施加沿x軸(與斜面底邊平行)正方向的力F1和F2，其大小與時間t的關系如圖乙所示。已知物塊的質量為1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力。則(　　)
C級　培優加強練
A.物塊始終做勻變速曲線運動
B.t＝1 s時，物塊的y坐標值為2.5 m
C.t＝1 s時，物塊的加速度大小為5 m/s2
D.t＝2 s時，物塊的速度大小為10 m/s
解析　根據圖像可得F1＝(4－t) N，F2＝3t N，故兩力的合力為F＝(4＋2t) N，物塊在y軸方向受到的力為mgsin 30°不變，x軸方向的力在改變，合力在改變，故物塊做的不是勻變速曲線運動，故A錯誤;在y軸方向的加速度為ay＝＝5 m/s2，t＝1 s時，物塊的y坐標值為y1＝ayt2＝2.5 m，故B正確;當t＝1 s時，
Fx＝6 N，物塊的加速度大小為a＝ m/s2＝5 m/s2，故C錯誤;沿x軸正方向，對物塊根據動量定理有Ft＝mvx－0，由于F與時間t成線性關系，故可得 N·s＝1.2vx，解得vx＝10 m/s，此時y軸方向速度為vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s，故此時物塊的速度大小為v＝＝10 m/s，故D正確。

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