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第2講　拋體運(yùn)動(dòng)
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解平拋運(yùn)動(dòng)、斜拋運(yùn)動(dòng)的概念及運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。 2.掌握拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，會(huì)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法處理拋體運(yùn)動(dòng)、類拋體運(yùn)動(dòng)。 3.學(xué)會(huì)處理斜面或圓弧面約束下的平拋運(yùn)動(dòng)問題。
1.
2.
1.思考判斷
(1)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向時(shí)刻在變化，加速度方向也時(shí)刻在變化。(×)
(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的初速度越大，水平位移越大。(×)
(3)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的初速度越大，在空中飛行時(shí)間越長(zhǎng)。(×)
(4)平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)都是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。(√)
(5)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等的時(shí)間內(nèi)速度的變化量是相同的。(√)
(6)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在相等時(shí)間內(nèi)速度大小變化相同。(×)
2.(人教版必修第二冊(cè)P19T4改編)在水平路面上騎摩托車的人，遇到一個(gè)壕溝，其尺寸如圖所示。摩托車后輪離開地面后失去動(dòng)力，可視為平拋運(yùn)動(dòng)，g取10 m/s2。若摩托車剛好可以安全落到壕溝對(duì)面，則摩托車剛離開地面時(shí)的速度為(　　)
A.5 m/s　　　　 B.10 m/s
C.15 m/s D.20 m/s
答案　C
3.(魯科版必修第二冊(cè)P43圖2－11改編)球場(chǎng)上，運(yùn)動(dòng)員多次從同一高度以不同的水平速度擊出網(wǎng)球。若網(wǎng)球均落在水平地面上，每次網(wǎng)球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同嗎 落地速度相同嗎 (不計(jì)空氣阻力)
答案　相同　不同
考點(diǎn)一　平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的應(yīng)用
1.飛行時(shí)間
由t＝知，下落的時(shí)間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)。
2.水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落的高度h共同決定。
3.速度改變量
因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示。
4.兩個(gè)重要推論
(1)做平拋
運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，即xB＝xA，如圖所示。
(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻、任意位置處，有tan θ＝2tan α。
角度　單物體(或流體)的平拋運(yùn)動(dòng)
例1 (2024·北京卷，17)如圖所示，水平放置的排水管滿口排水，管口的橫截面積為S，管口離水池水面的高度為h，水在水池中的落點(diǎn)與管口的水平距離為d。假定水在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，h遠(yuǎn)大于管口內(nèi)徑。求:
(1)水從管口到水面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t;
(2)水從管口排出時(shí)的速度大小v0;
(3)管口單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積Q。
答案　(1)　(2)d　(3)Sd
解析　(1)水在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，豎直方向有h＝gt2
解得t＝。
(2)由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知
水平方向有d＝v0t
結(jié)合(1)問解得v0＝d。
(3)管口單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積Q＝Sv0
結(jié)合(2)問解得Q＝Sd。
角度　多物體的平拋運(yùn)動(dòng)
例2 (2024·廣東廣州模擬)在一次娛樂活動(dòng)中，教師和學(xué)生分別在A、B兩點(diǎn)以速度v1和v2水平拋出沙包，兩沙包在空中的C點(diǎn)相遇，忽略空氣阻力，重力加速度為g，則(　　)
A.教師和學(xué)生同時(shí)拋出沙包
B.學(xué)生應(yīng)先拋出沙包
C.若教師遠(yuǎn)離學(xué)生幾步，則需要與學(xué)生同時(shí)扔出沙包，兩沙包才能相遇
D.若知A和C、B和C的高度差hAC和hBC，可求出A、B兩點(diǎn)間的水平距離
答案　D
解析　拋出的沙包做平拋運(yùn)動(dòng)，由h＝gt2可得t＝，由題圖可知，教師拋出的沙包下落的高度比學(xué)生拋出的沙包下落的高度大，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間較長(zhǎng)，所以教師應(yīng)先拋出沙包，兩沙包才能相遇，故A、B、C錯(cuò)誤;若A和C、B和C的高度差hAC和hBC，則可計(jì)算出兩沙包相遇前平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，A、B兩點(diǎn)的水平距離可表示為L(zhǎng)AB＝v1t1＋v2t2＝v1＋v2，故D正確。
角度　類平拋運(yùn)動(dòng)
例3 (多選)如圖所示的光滑斜面長(zhǎng)為l，寬為b，傾角為θ，將一物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))由斜面左上方頂點(diǎn)P以初速度v0水平射入斜面。物塊恰好從斜面底端Q點(diǎn)離開斜面，重力加速度為g，則(　　)
A.物塊由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間t＝
B.物塊由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間t＝
C.初速度v0＝b
D.初速度v0＝b
答案　AC
解析　根據(jù)牛頓第二定律可得mgsin θ＝ma，則物塊做類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度為a＝gsin θ，根據(jù)l＝at2得t＝，A正確，B錯(cuò)誤;物塊射入斜面的初速度為v0＝＝b，C正確，D錯(cuò)誤。
類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法
用研究平拋運(yùn)動(dòng)的方法處理類平拋運(yùn)動(dòng)，將物體的運(yùn)動(dòng)沿著初速度方向(x方向)和垂直于初速度方向(y方向)分解，由于物體在初速度方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，滿足vx＝v0，x＝v0t;與初速度垂直的方向上由于受恒力作用，物體在該方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滿足vy＝at，y＝at2。
考點(diǎn)二　與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
角度　與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
例4 (2025·河北保定高三月考)跳臺(tái)滑雪是冬奧會(huì)的重要項(xiàng)目之一。如圖所示，某次比賽中，運(yùn)動(dòng)員以初速度v0從跳臺(tái)頂端水平飛出，經(jīng)過一段時(shí)間后落在傾斜賽道上，賽道的傾角為θ，重力加速度為g，空氣阻力忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)員(包括滑雪板)視為質(zhì)點(diǎn)。則運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的過程中下列說法正確的是(　　)
A.后一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量大于前一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量
B.運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是
C.運(yùn)動(dòng)員從離開傾斜賽道至垂直賽道最遠(yuǎn)處所用的時(shí)間是
D.運(yùn)動(dòng)員從離開傾斜賽道至垂直賽道最遠(yuǎn)處的水平位移是
答案　C
解析　由Δv＝gΔt可知，后一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量與前一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量相等，故A錯(cuò)誤;由平拋運(yùn)動(dòng)的水平和豎直位移關(guān)系tan θ＝可得t＝，故B錯(cuò)誤;距離賽道最遠(yuǎn)時(shí)，速度與斜面平行，有tan θ＝得t＝，故C正確;運(yùn)動(dòng)員離開傾斜賽道至垂直賽道最遠(yuǎn)處的水平位移是x＝v0t＝，故D錯(cuò)誤。
總結(jié)提升
從斜面上某點(diǎn)水平拋出，又落到斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)
兩種 特殊 狀態(tài) 落回斜面的時(shí)刻 速度與斜面平行的時(shí)刻
處理 方法 分解位移 tan θ＝ 分解速度 tan θ＝
運(yùn)動(dòng) 特征 ①位移偏轉(zhuǎn)角度等于斜面傾角θ; ②落回斜面上時(shí)速度方向與水平面的夾角α與初速度大小無關(guān)，只與斜面的傾角有關(guān)，即tan α＝2tan θ; ③落回斜面上時(shí)的水平位移與初速度的平方成正比，即x∝ ①豎直分速度與水平分速度的比值等于斜面傾角的正切值; ②該時(shí)刻是運(yùn)動(dòng)全過程的中間時(shí)刻; ③該時(shí)刻物體距斜面最遠(yuǎn)
運(yùn)動(dòng) 時(shí)間 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得 t＝
例5 (2025·江蘇南通高三月考)在某次演習(xí)中，轟炸機(jī)沿水平方向投放了一枚炸彈，炸彈正好垂直擊中山坡上的目標(biāo)，山坡的傾角為θ，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，則(　　)
A.僅改變炸彈的水平初速度，炸彈仍可能垂直擊中山坡
B.僅改變炸彈投放高度，炸彈仍可能垂直擊中山坡
C.可求出炸彈水平方向通過的距離
D.可求出炸彈豎直方向下落的距離與水平方向通過的距離之比
答案　D
解析　炸彈正好垂直擊中山坡上的目標(biāo)，設(shè)水平初速度為v0，豎直分速度為vy，則有tan θ＝，又＝2gh，僅改變炸彈的水平初速度，由于vy保持不變，則炸彈不可能垂直擊中山坡;僅改變炸彈投放高度，則vy發(fā)生改變，但水平初速度為v0不變，則炸彈不可能垂直擊中山坡，故A、B錯(cuò)誤;由于炸彈投放高度不知道，無法求出下落時(shí)間，也不能求出炸彈水平方向通過的距離，故C錯(cuò)誤;炸彈豎直方向下落的距離與水平方向通過的距離之比為·，故D正確。
總結(jié)提升　平拋運(yùn)動(dòng)與斜面結(jié)合的三種模型
模型
處理 方法 分解速度 分解速度 分解位移
運(yùn)動(dòng) 時(shí)間 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝
角度　與圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
1.從空中某處平拋，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道，如圖所示，即已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向。
處理方法:分解速度tan θ＝。
2.從圓心處或與圓心等高的圓弧上拋出，落到半徑為R的圓弧上。
情景 處理方法
x＝v0t y＝gt2 x2＋y2＝R2
水平方向: R±＝v0t 豎直方向:h＝gt2
例6 (多選)如圖所示，一個(gè)半徑為R＝0.75 m的半圓柱體放在水平地面上，一小球從圓柱體左端A點(diǎn)正上方的B點(diǎn)水平拋出(小球可視為質(zhì)點(diǎn))，恰好從半圓柱體的右上方C點(diǎn)掠過。已知O為半圓柱體側(cè)面半圓的圓心，OC與水平方向夾角為53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，則(　　)
A.小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間為0.3 s
B.小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間為0.5 s
C.小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為4 m/s
D.小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為6 m/s
答案　AC
解析　小球做平拋運(yùn)動(dòng)，飛行過程中恰好與半圓軌道相切于C點(diǎn)，可知速度方向與水平方向的夾角為37°，tan 37°＝，設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，則有tan θ＝tan 37°＝，因?yàn)閠an θ＝，解得y＝ m，根據(jù)y＝gt2，可得小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間為t＝ s＝0.3 s，故A正確，B錯(cuò)誤;小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0＝ m/s＝4 m/s，故C正確，D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)三　斜拋運(yùn)動(dòng)
以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例，如圖所示。
(1)斜拋運(yùn)動(dòng)的飛行時(shí)間:t＝。
(2)射高:h＝。
(3)射程:s＝v0xt＝v0cos θ·t＝，對(duì)于給定的v0，當(dāng)θ＝45°時(shí)，射程達(dá)到最大值，smax＝。
例7 (2024·江蘇卷，4)噴泉a、b出射點(diǎn)高度相同，形成如圖所示的形狀，不計(jì)空氣阻力，則噴泉a、b的(　　)
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高點(diǎn)的速度相同 D.在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同
答案　A
解析　水在空中的運(yùn)動(dòng)為斜拋運(yùn)動(dòng)，只受重力作用，則a、b加速度相同，均為重力加速度，A正確;設(shè)噴泉噴出的水豎直方向的分速度為vy，水平方向分速度為vx，豎直方向由對(duì)稱性可知，在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝2，則ta例8 (多選)(2024·山東卷，12)如圖所示，工程隊(duì)向峽谷對(duì)岸平臺(tái)拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點(diǎn)P和落點(diǎn)Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是(　　)
A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2 s
B.落地速度與水平方向夾角為60°
C.重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離為10 m
D.軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差為45 m
答案　BD
解析　對(duì)重物從P運(yùn)動(dòng)到Q的過程，水平方向上有x＝v0cos 30°·t，豎直方向上有y＝－v0sin 30°·t＋gt2，由幾何關(guān)系有＝tan 30°，聯(lián)立解得重物的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝4 s，A錯(cuò)誤;結(jié)合A項(xiàng)分析可知，重物落地時(shí)的水平分速度vx＝v0cos 30°，豎直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，則tan θ＝，所以重物的落地速度與水平方向夾角為60°，B正確;對(duì)重物從P運(yùn)動(dòng)到Q的過程，垂直于PQ連線方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離hm＝10 m，C錯(cuò)誤;結(jié)合B項(xiàng)分析，豎直方向上有2gym＝，聯(lián)立解得重物軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差ym＝45 m，D正確。
跟蹤訓(xùn)練
(2025·湖北省高三起點(diǎn)考試)如圖所示，甲、乙兩位同學(xué)正對(duì)豎直墻壁進(jìn)行投球游戲，兩人投球時(shí)出手點(diǎn)均在地面P點(diǎn)正上方，結(jié)果兩人投出的球都正好垂直打在墻壁上的同一點(diǎn)Q，已知甲投球時(shí)球離開手時(shí)速度大小為v1，方向與豎直方向夾角為60°;乙投球時(shí)球離開手時(shí)速度大小為v2，方向與豎直方向夾角為30°。不計(jì)空氣阻力，則v1∶v2為(　　)
A.1∶1 B. ∶1
C.1∶ D.1∶3
答案　A
解析　
逆向思維法處理斜拋運(yùn)動(dòng)
對(duì)斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可逆過程分析，看成平拋運(yùn)動(dòng);分析完整的斜上拋運(yùn)動(dòng)，還可根據(jù)對(duì)稱性求解某些問題。
A級(jí)　基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練
對(duì)點(diǎn)練1　平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的應(yīng)用
1.(2024·海南卷，3)如圖，在跨越河流表演中，一人騎車以v0＝25 m/s的速度水平?jīng)_出平臺(tái)，恰好跨越寬度為d＝25 m的河流落在河對(duì)岸平臺(tái)上，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g＝10 m/s2，則兩平臺(tái)的高度差h為(　　)
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
答案　B
解析　
平拋運(yùn)動(dòng)h＝5 m，B正確。
2.(2024·浙江1月選考，8)如圖所示，小明取山泉水時(shí)發(fā)現(xiàn)水平細(xì)水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.(＋1)D
答案　C
解析　設(shè)出水孔到水桶中心距離為x，則x＝v0，落到桶底A點(diǎn)時(shí)，水平方向有x＋＝v0，解得v0＝，故C正確。
3.(2025·四川綿陽一模)同學(xué)們?cè)趯W(xué)校操場(chǎng)練習(xí)投擲實(shí)心球。假設(shè)兩同學(xué)在同一高度(足夠高)分別以大小為v01＝2 m/s、v02＝8 m/s的水平初速度沿相反方向同時(shí)拋出兩小球，不考慮空氣阻力的影響，重力加速度g＝10 m/s2。則兩球從拋出到速度方向垂直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為(　　)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.5 s D.0.6 s
答案　B
解析　設(shè)經(jīng)過時(shí)間t兩球速度與水平方向的夾角分別為α、β，由題意得tan α＝，tan β＝，因兩球相遇時(shí)速度方向垂直，則tan α＝，聯(lián)立可得t＝0.4 s，故B正確。
4.(2024·浙江金華模擬)如圖所示，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)在距離墻L處將網(wǎng)球以不同的水平速度射出打到豎直墻上。已知墻上的O點(diǎn)與網(wǎng)球出射點(diǎn)等高，A、B兩點(diǎn)分別為兩個(gè)擊中點(diǎn)，OA＝AB，擊中A點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為v0，空氣阻力忽略不計(jì)，網(wǎng)球可看作質(zhì)點(diǎn)。下列說法正確的是(　　)
A.擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為2v0
B.擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為v0
C.要使原來?yè)糁蠥點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中B點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿OP方向后退L
D.要使原來?yè)糁蠦點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中A點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿PO方向前進(jìn)L
答案　D
解析　網(wǎng)球在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，有yOA＝g，yOB＝g，因OA＝AB，所以tB＝tA，又x＝v0tA，x＝vB0tB，得擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為vB0＝v0，A、B錯(cuò)誤;要使原來?yè)糁蠥點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中B點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)樵瓉淼谋叮运骄嚯x也應(yīng)變?yōu)楸叮淳W(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)后退L，C錯(cuò)誤;要使原來?yè)糁蠦點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)樵瓉淼谋叮运骄嚯x也應(yīng)變?yōu)楸叮淳W(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)前進(jìn)L，故D正確。
5.(多選)(2025·貴州貴陽模擬)如圖所示，A、B兩小球以相同的水平速度v0拋出，A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P1，B在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P2。兩球的水平位移分別為xA和xB，不計(jì)阻力，下列關(guān)系正確的是(　　)
A.xA>xB
B.xAC.xA＝xB
D.B球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tB＝
答案　BD
解析　小球A做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有xA＝v0tA，h＝g，解得A球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tA＝，小球B視為在光滑斜面上的類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度為aB＝＝gsin θ，沿著斜面的方向和水平方向分別有y＝aB，xB＝v0tB，B球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tB＝>tA，A、B兩球沿x軸方向都做水平速度相等的勻速直線運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間不等，所以沿x軸方向的位移大小不同，根據(jù)x＝vt可知xA對(duì)點(diǎn)練2　與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
6.如圖所示，兩小球從斜面的頂點(diǎn)先后以不同的初速度向右水平拋出，在斜面上的落點(diǎn)分別是a和b，不計(jì)空氣阻力。關(guān)于兩小球的說法正確的是(　　)
A.兩小球的飛行時(shí)間均與初速度v0成正比
B.落在b點(diǎn)的小球飛行過程中速度變化快
C.落在a點(diǎn)的小球飛行過程中速度變化大
D.小球落在a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)的速度方向不同
答案　A
解析　設(shè)斜面傾角為θ，則tan θ＝，可得t＝，兩小球的飛行時(shí)間均與初速度v0成正比，故A正確;兩球拋出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的變化快慢相同，故B錯(cuò)誤;根據(jù)題意知，兩小球下落的豎直高度ha7.(2025·黑龍江哈爾濱高三期中)如圖所示，圓環(huán)豎直放置，從圓心O點(diǎn)正上方的P點(diǎn)，以速度v0水平拋出的小球恰能從圓環(huán)上的Q點(diǎn)沿切線方向飛過，若OQ與OP間夾角為θ，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。則(　　)
A.圓環(huán)的半徑為R＝
B.小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為t＝
C.小球從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的速度變化量為
D.小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為vQ＝
答案　A
解析　以速度v0水平拋出的小球恰能從圓環(huán)上的Q點(diǎn)沿切線方向飛過，小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為vQ＝，故D錯(cuò)誤;小球在Q點(diǎn)的豎直方向的速度為vQy＝v0tan θ，小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間t＝，故B錯(cuò)誤;小球在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有Rsin θ＝v0t，圓環(huán)的半徑為R＝，故A正確;小球從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的速度變化量Δv＝gt＝v0tan θ，故C錯(cuò)誤。
對(duì)點(diǎn)練3　斜拋運(yùn)動(dòng)
8.(2024·安徽合肥模擬)如圖所示，某同學(xué)在進(jìn)行投籃練習(xí)。已知A、B、C是籃球運(yùn)動(dòng)軌跡中的三個(gè)點(diǎn)，其中A為球拋出點(diǎn)，B為球運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)，C為球落入籃框的點(diǎn)，且A、B連線垂直于B、C連線，A、B連線與水平方向的夾角θ＝60°，不計(jì)空氣阻力。則籃球從A到B與從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為(　　)
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶ D.4∶1
答案　B
解析　將籃球從A到B運(yùn)動(dòng)的逆過程與從B到C運(yùn)動(dòng)的過程看作兩個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)，將BA過程沿水平和豎直方向分解，如圖所示，水平方向有xAB＝vBtAB，豎直方向有yAB＝g，對(duì)AB過程有tan 60°＝，同理將BC過程沿水平和豎直方向分解，對(duì)BC過程有tan(90°－60°)＝，聯(lián)立解得tAB∶tBC＝3∶1，故B正確。
B級(jí)　綜合提升練
9.(2025·江蘇南通模擬)如圖所示，一個(gè)沙漏沿水平方向以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿途連續(xù)漏出沙子，單位時(shí)間內(nèi)漏出的沙子質(zhì)量恒定為Q，出沙口距水平地面的高度為H。忽略沙子漏出瞬間相對(duì)沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不計(jì)空氣阻力，已知重力加速度為g，在已有沙子落地后，下列說法正確的是(　　)
A.沙子在空中形成的幾何圖形是一條拋物線
B.不同時(shí)刻下落的兩粒沙子之間的豎直間距保持不變
C.沙子落到地面時(shí)與沙漏的水平距離為v
D.在空中運(yùn)動(dòng)的沙子的總質(zhì)量為Q
答案　D
解析　由于沙子下落時(shí)，沙子與沙漏均具有水平向右的初速度v，所以漏出的沙子在水平方向上均與沙漏以相同的速度向右移動(dòng)，因此沙子在空中形成的幾何圖形是一條直線，故A錯(cuò)誤;下落的沙子在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，下落時(shí)間間隔為Δt的兩粒沙子豎直間距為Δy＝g(t＋Δt)2－gt2＝gΔt·t＋g(Δt)2，可知二者間距隨下落時(shí)間的增加而增加，故B錯(cuò)誤;因?yàn)樯匙优c沙漏在水平方向上以相同的速度v運(yùn)動(dòng)，所以沙子落地時(shí)與沙漏的水平距離為0，故C錯(cuò)誤;從第一粒沙子漏出開始到這粒沙子剛落地，這一過程中在豎直方向上，有H＝gt2，下落時(shí)間為t＝，由于單位時(shí)間內(nèi)漏出的沙子質(zhì)量恒定為Q，則這一過程中落下的沙子總質(zhì)量M＝Qt＝Q，故D正確。
10.(多選)(2025·山東臨沂高三期中)如圖所示，小球A以某一速度水平向右拋出的同時(shí)，小球B斜向左上方以速度v0拋出，與水平方向的夾角為53°。兩球拋出后在同一豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且恰好在空中相碰。已知單獨(dú)拋出小球B時(shí)，小球B到達(dá)的最高點(diǎn)恰好與小球A的拋出點(diǎn)處于同一水平線上，且小球B落地點(diǎn)位于小球A拋出點(diǎn)的正下方。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列說法正確的是(　　)
A.小球A拋出的初速度大小等于2.4v0
B.小球A拋出的初速度大小等于1.8v0
C.兩球拋出點(diǎn)的水平距離為
D.兩球拋出點(diǎn)的水平距離為
答案　BC
解析　小球B在水平方向和豎直方向的速度分別為vBx＝v0cos 53°＝v0，vBy＝v0sin 53°＝v0，單獨(dú)拋出小球B時(shí)，小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝，兩球拋出點(diǎn)的水平距離為x＝vBxt＝，故C正確，D錯(cuò)誤;小球A拋出高度為h＝，小球A、B恰好在空中相碰，有x＝(vA＋vBx)t1，h＝vByt1－gg，解得小球A拋出的初速度大小vA＝1.8v0，故A錯(cuò)誤，B正確。
11.(2025·八省聯(lián)考四川卷，13)某同學(xué)借助安裝在高處的籃球發(fā)球機(jī)練習(xí)原地豎直起跳接球。該同學(xué)站在水平地面上，與出球口水平距離l＝2.5 m，舉手時(shí)手掌距地面最大高度h0＝2.0 m。發(fā)球機(jī)出球口以速度v0＝5 m/s沿水平方向發(fā)球。從籃球發(fā)出到該同學(xué)起跳離地，耗時(shí)t0＝0.2 s，該同學(xué)跳至最高點(diǎn)伸直手臂恰能在頭頂正上方接住籃球。重力加速度g大小取10 m/s2。求:
(1) t0時(shí)間內(nèi)籃球的位移大小;
(2)出球口距地面的高度。
答案　(1) m　(2)3.7 m
解析　(1)在t0時(shí)間內(nèi)，籃球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移為
x＝v0t0＝5×0.2 m＝1 m
豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，位移為h＝g×10×0.22 m＝0.2 m
所以籃球的位移為x0＝ m＝ m。
(2)從發(fā)出球到接住球經(jīng)過的時(shí)間為t＝ s＝0.5 s
所以該同學(xué)起跳離地到接住球經(jīng)歷的時(shí)間為t1＝t－t0＝0.3 s
同學(xué)起跳后上升的高度為h1＝g×10×0.32 m＝0.45 m
整個(gè)過程籃球下降的高度為h2＝gt2＝×10×0.52 m＝1.25 m
所以出球口距地面的高度為H＝h0＋h1＋h2＝2 m＋0.45 m＋1.25 m＝3.7 m。
C級(jí)　培優(yōu)加強(qiáng)練
12.(多選)(2025·河北保定高三期末)將彈性小球以某初速度從O點(diǎn)水平拋出，與地面發(fā)生彈性碰撞(碰后豎直速度與碰前等大反向，水平速度不變)，反彈后在下降過程中恰好經(jīng)過固定于水平面上的豎直擋板的頂端。已知O點(diǎn)高度為1.25 m，與擋板的水平距離為6.5 m，擋板高度為0.8 m，g＝10 m/s2，不計(jì)空氣阻力的影響。下列說法中正確的是(　　)
A.小球水平方向的速率為5 m/s
B.小球第一次落地時(shí)速度與水平方向的夾角為30°
C.小球經(jīng)過擋板上端時(shí)，速度與水平方向夾角的正切值為1
D.小球從擋板上端運(yùn)動(dòng)到水平地面經(jīng)歷的時(shí)間為0.2 s
答案　AD
解析　反彈后在下降過程中恰好經(jīng)過固定于水平面上的豎直擋板的頂端，則從O點(diǎn)拋出到反彈上升到最高點(diǎn)所用時(shí)間為t1＝2＝2× s＝1 s，從最高點(diǎn)下降經(jīng)過豎直擋板的頂端所用時(shí)間為t2＝ s＝0.3 s，則小球水平方向的速率為v0＝ m/s＝5 m/s，故A正確;小球第一次落地時(shí)豎直方向分速度為vy＝ m/s＝5 m/s，則小球第一次落地時(shí)速度與水平方向的夾角滿足tan θ＝＝1，解得θ＝45°，故B錯(cuò)誤;小球經(jīng)過擋板上端時(shí)，豎直方向分速度為vy'＝gt2＝3 m/s，則速度與水平方向夾角的正切值為tan θ'＝，故C錯(cuò)誤;小球從擋板上端運(yùn)動(dòng)到水平地面經(jīng)歷的時(shí)間為Δt＝ s＝0.2 s，故D正確。(共63張PPT)
第2講　拋體運(yùn)動(dòng)
第四章　曲線運(yùn)動(dòng)　萬有引力與宇宙航行
理解平拋運(yùn)動(dòng)、斜拋運(yùn)動(dòng)的概念及運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。
掌握拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，會(huì)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法處理拋體運(yùn)動(dòng)、類拋體運(yùn)動(dòng)。
學(xué)會(huì)處理斜面或圓弧面約束下的平拋運(yùn)動(dòng)問題。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
夯實(shí)必備知識(shí)
01
研透核心考點(diǎn)
02
提升素養(yǎng)能力
03
夯實(shí)必備知識(shí)
1
重力
1.
勻變速
勻速
自由落體
gt
v0t
gt2
斜向上方
2.
重力　
勻變速
拋物線
v0cos θ
v0sin θ-gt
1.思考判斷
(1)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向時(shí)刻在變化，加速度方向也時(shí)刻在變化。( )
(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的初速度越大，水平位移越大。( )
(3)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的初速度越大，在空中飛行時(shí)間越長(zhǎng)。( )
(4)平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)都是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。( )
(5)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等的時(shí)間內(nèi)速度的變化量是相同的。( )
(6)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在相等時(shí)間內(nèi)速度大小變化相同。( )
×
×
×
√
√
×
C
2.(人教版必修第二冊(cè)P19T4改編)在水平路面上騎摩托車的人，遇到一個(gè)壕溝，其尺寸如圖所示。摩托車后輪離開地面后失去動(dòng)力，可視為平拋運(yùn)動(dòng)，g取10 m/s2。若摩托車剛好可以安全落到壕溝對(duì)面，則摩托車剛離開地面時(shí)的速度為(　　)
A.5 m/s　　　　 B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s
3.(魯科版必修第二冊(cè)P43圖2－11改編)球場(chǎng)上，運(yùn)動(dòng)員多次從同一高度以不同的水平速度擊出網(wǎng)球。若網(wǎng)球均落在水平地面上，每次網(wǎng)球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同嗎 落地速度相同嗎 (不計(jì)空氣阻力)
答案　相同　不同
研透核心考點(diǎn)
2
考點(diǎn)二　與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
考點(diǎn)一　平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的應(yīng)用
考點(diǎn)三　斜拋運(yùn)動(dòng)
考點(diǎn)一　平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的應(yīng)用
1.飛行時(shí)間
由t＝知，下落的時(shí)間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)。
2.水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落的高度h共同決定。
3.速度改變量
因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示。
4.兩個(gè)重要推論
(1)做平拋
運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，即xB＝xA，如圖所示。
(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻、任意位置處，有tan θ＝2tan α。
角度　　單物體(或流體)的平拋運(yùn)動(dòng)
例1 (2024·北京卷，17)如圖所示，水平放置的排水管滿口排水，管口的橫截面積為S，管口離水池水面的高度為h，水在水池中的落點(diǎn)與管口的水平距離為d。假定水在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，h遠(yuǎn)大于管口內(nèi)徑。求:
(1)水從管口到水面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t;
解析　水在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，豎直方向有h＝gt2
解得t＝。
答案　　
(2)水從管口排出時(shí)的速度大小v0;
解析　由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知
水平方向有d＝v0t
結(jié)合(1)問解得v0＝d。
答案　d　
(3)管口單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積Q。
解析　管口單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積Q＝Sv0
結(jié)合(2)問解得Q＝Sd。
答案　Sd
角度　　多物體的平拋運(yùn)動(dòng)
例2 (2024·廣東廣州模擬)在一次娛樂活動(dòng)中，教師和學(xué)生分別在A、B兩點(diǎn)以速度v1和v2水平拋出沙包，兩沙包在空中的C點(diǎn)相遇，忽略空氣阻力，重力加速度為g，則(　　)
D
A.教師和學(xué)生同時(shí)拋出沙包
B.學(xué)生應(yīng)先拋出沙包
C.若教師遠(yuǎn)離學(xué)生幾步，則需要與學(xué)生同時(shí)扔出沙包，兩沙包才能相遇
D.若知A和C、B和C的高度差hAC和hBC，可求出A、B兩點(diǎn)間的水平距離
解析　拋出的沙包做平拋運(yùn)動(dòng)，由h＝gt2可得t＝，由題圖可知，教師拋出的沙包下落的高度比學(xué)生拋出的沙包下落的高度大，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間較長(zhǎng)，所以教師應(yīng)先拋出沙包，兩沙包才能相遇，故A、B、C錯(cuò)誤;若A和C、B和C的高度差hAC和hBC，則可計(jì)算出兩沙包相遇前平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，A、B兩點(diǎn)的水平距離可表示為L(zhǎng)AB＝v1t1＋v2t2＝v1＋v2，故D正確。
角度　　類平拋運(yùn)動(dòng)
例3 (多選)如圖所示的光滑斜面長(zhǎng)為l，寬為b，傾角為θ，將一物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))由斜面左上方頂點(diǎn)P以初速度v0水平射入斜面。物塊恰好從斜面底端Q點(diǎn)離開斜面，重力加速度為g，則(　　)
AC
A.物塊由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間t＝
B.物塊由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間t＝
C.初速度v0＝b
D.初速度v0＝b
解析　根據(jù)牛頓第二定律可得mgsin θ＝ma，則物塊做類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度為a＝gsin θ，根據(jù)l＝at2得t＝，A正確，B錯(cuò)誤;物塊射入斜面的初速度為v0＝＝b，C正確，D錯(cuò)誤。
類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法
用研究平拋運(yùn)動(dòng)的方法處理類平拋運(yùn)動(dòng)，將物體的運(yùn)動(dòng)沿著初速度方向(x方向)和垂直于初速度方向(y方向)分解，由于物體在初速度方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，滿足vx＝v0，x＝v0t;與初速度垂直的方向上由于受恒力作用，物體在該方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滿足vy＝at，y＝at2。
考點(diǎn)二　與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
角度　　與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
C
例4 (2025·河北保定高三月考)跳臺(tái)滑雪是冬奧會(huì)的重要項(xiàng)目之一。如圖所示，某次比賽中，運(yùn)動(dòng)員以初速度v0從跳臺(tái)頂端水平飛出，經(jīng)過一段時(shí)間后落在傾斜賽道上，賽道的傾角為θ，重力加速度為g，空氣阻力忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)員(包括滑雪板)視為質(zhì)點(diǎn)。則運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的過程中下列說法正確的是(　　)
A.后一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量大于前一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量
B.運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是
C.運(yùn)動(dòng)員從離開傾斜賽道至垂直賽道最遠(yuǎn)處所用的時(shí)間是
D.運(yùn)動(dòng)員從離開傾斜賽道至垂直賽道最遠(yuǎn)處的水平位移是
解析　由Δv＝gΔt可知，后一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量與前一半時(shí)間內(nèi)速度的變化量相等，故A錯(cuò)誤;由平拋運(yùn)動(dòng)的水平和豎直位移關(guān)系tan θ＝可得t＝，故B錯(cuò)誤;距離賽道最遠(yuǎn)時(shí)，速度與斜面平行，有tan θ＝得t＝，故C正確;運(yùn)動(dòng)員離開傾斜賽道至垂直賽道最遠(yuǎn)處的水平位移是x＝v0t＝，故D錯(cuò)誤。
總結(jié)提升
從斜面上某點(diǎn)水平拋出，又落到斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)
兩種 特殊 狀態(tài) 落回斜面的時(shí)刻 速度與斜面平行的時(shí)刻
處理 方法 分解位移 tan θ＝ 分解速度
tan θ＝
運(yùn)動(dòng) 特征 ①位移偏轉(zhuǎn)角度等于斜面傾角θ; ②落回斜面上時(shí)速度方向與水平面的夾角α與初速度大小無關(guān)，只與斜面的傾角有關(guān)，即tan α＝2tan θ; ③落回斜面上時(shí)的水平位移與初速度的平方成正比，即x∝ ①豎直分速度與水平分速度的比值等于斜面傾角的正切值;
②該時(shí)刻是運(yùn)動(dòng)全過程的中間時(shí)刻;
③該時(shí)刻物體距斜面最遠(yuǎn)
運(yùn)動(dòng) 時(shí)間 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝
例5 (2025·江蘇南通高三月考)在某次演習(xí)中，轟炸機(jī)沿水平方向投放了一枚炸彈，炸彈正好垂直擊中山坡上的目標(biāo)，山坡的傾角為θ，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，則(　　)
D
A.僅改變炸彈的水平初速度，炸彈仍可能垂直擊中山坡
B.僅改變炸彈投放高度，炸彈仍可能垂直擊中山坡
C.可求出炸彈水平方向通過的距離
D.可求出炸彈豎直方向下落的距離與水平方向通過的距離之比
解析　炸彈正好垂直擊中山坡上的目標(biāo)，設(shè)水平初速度為v0，豎直分速度為vy，則有tan θ＝，又＝2gh，僅改變炸彈的水平初速度，由于vy保持不變，則炸彈不可能垂直擊中山坡;僅改變炸彈投放高度，則vy發(fā)生改變，但水平
初速度為v0不變，則炸彈不可能垂直擊中山坡，故A、B錯(cuò)誤;由于炸彈投放高度不知道，無法求出下落時(shí)間，也不能求出炸彈水平方向通過的距離，故C錯(cuò)誤;炸彈豎直方向下落的距離與水平方向通過的距離之比為·，故D正確。
總結(jié)提升　平拋運(yùn)動(dòng)與斜面結(jié)合的三種模型
模型
處理方法 分解速度 分解速度 分解位移
運(yùn)動(dòng) 時(shí)間 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝ 由tan θ＝得t＝
角度　　與圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
1.從空中某處平拋，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道，如圖所示，即已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向。
處理方法:分解速度tan θ＝。
2.從圓心處或與圓心等高的圓弧上拋出，落到半徑為R的圓弧上。
情景 處理方法
x＝v0t
y＝gt2
x2＋y2＝R2
水平方向:
R±＝v0t
豎直方向:h＝gt2
例6 (多選)如圖所示，一個(gè)半徑為R＝0.75 m的半圓柱體放在水平地面上，一小球從圓柱體左端A點(diǎn)正上方的B點(diǎn)水平拋出(小球可視為質(zhì)點(diǎn))，恰好從半圓柱體的右上方C點(diǎn)掠過。已知O為半圓柱體側(cè)面半圓的圓心，OC與水平方向夾角為53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，則(　　)
AC
A.小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間為0.3 s
B.小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間為0.5 s
C.小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為4 m/s
D.小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為6 m/s
解析　小球做平拋運(yùn)動(dòng)，飛行過程中恰好與半圓軌道相切于C點(diǎn)，可知速度方向與水平方向的夾角為37°，tan 37°＝，設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，則有tan θ＝
tan 37°＝，因?yàn)閠an θ＝，解得y＝ m，根據(jù)y＝gt2，可得小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間為t＝ s＝0.3 s，故A正確，B錯(cuò)誤;小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0＝ m/s＝4 m/s，故C正確，D錯(cuò)誤。
以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例，如圖所示。
考點(diǎn)三　斜拋運(yùn)動(dòng)
(1)斜拋運(yùn)動(dòng)的飛行時(shí)間:t＝。
(2)射高:h＝。
(3)射程:s＝v0xt＝v0cos θ·t＝，對(duì)于給定的v0，當(dāng)θ＝45°時(shí)，射程達(dá)到最大值，smax＝。
例7 (2024·江蘇卷，4)噴泉a、b出射點(diǎn)高度相同，形成如圖所示的形狀，不計(jì)空氣阻力，則噴泉a、b的(　　)
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高點(diǎn)的速度相同 D.在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同
A
解析　水在空中的運(yùn)動(dòng)為斜拋運(yùn)動(dòng)，只受重力作用，則a、b加速度相同，均為重力加速度，A正確;設(shè)噴泉噴出的水豎直方向的分速度為vy，水平方向分速度為
vx，豎直方向由對(duì)稱性可知，在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝2，則ta例8 (多選)(2024·山東卷，12)如圖所示，工程隊(duì)向峽谷對(duì)岸平臺(tái)拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點(diǎn)P和落點(diǎn)Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是(　　)
BD
A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2 s
B.落地速度與水平方向夾角為60°
C.重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離為10 m
D.軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差為45 m
解析　對(duì)重物從P運(yùn)動(dòng)到Q的過程，水平方向上有x＝v0cos 30°·t，豎直方向上有y＝－v0sin 30°·t＋gt2，由幾何關(guān)系有＝tan 30°，聯(lián)立解得重物的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝4 s，A錯(cuò)誤;結(jié)合A項(xiàng)分析可知，重物落地時(shí)的水平分速度vx＝v0cos 30°，豎直
分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，則tan θ＝，所以重物的落地速度與水平方向夾角為60°，B正確;對(duì)重物從P運(yùn)動(dòng)到Q的過程，垂直于PQ連線方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離hm＝10 m，C錯(cuò)誤;結(jié)合B項(xiàng)分析，豎直方向上有2gym＝，聯(lián)立解得重物軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差ym＝45 m，D正確。
跟蹤訓(xùn)練
(2025·湖北省高三起點(diǎn)考試)如圖所示，甲、乙兩位同學(xué)正對(duì)豎直墻壁進(jìn)行投球游戲，兩人投球時(shí)出手點(diǎn)均在地面P點(diǎn)正上方，結(jié)果兩人投出的球都正好垂直打在墻壁上的同一點(diǎn)Q，已知甲投球時(shí)球離開手時(shí)速度大小為v1，方向與豎直方向夾角為60°;乙投球時(shí)球離開手時(shí)速度大小為v2，方向與豎直方向夾角為30°。不計(jì)空氣阻力，則v1∶v2為(　　)
A
A.1∶1 B. ∶1
C.1∶ D.1∶3
解析　
逆向思維法處理斜拋運(yùn)動(dòng)
對(duì)斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可逆過程分析，看成平拋運(yùn)動(dòng);分析完整的斜上拋運(yùn)動(dòng)，還可根據(jù)對(duì)稱性求解某些問題。
提升素養(yǎng)能力
3
A級(jí)　基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練
B
對(duì)點(diǎn)練1　平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的應(yīng)用
1.(2024·海南卷，3)如圖，在跨越河流表演中，一人騎車以v0＝25 m/s的速度水平?jīng)_出平臺(tái)，恰好跨越寬度為d＝25 m的河流落在河對(duì)岸平臺(tái)上，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g＝10 m/s2，則兩平臺(tái)的高度差h為(　　)
A.0.5 m B.5 m C.10 m D.20 m
解析　平拋運(yùn)動(dòng) h＝5 m，B正確。
C
2.(2024·浙江1月選考，8)如圖所示，小明取山泉水時(shí)發(fā)現(xiàn)水平細(xì)水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.(＋1)D
解析　設(shè)出水孔到水桶中心距離為x，則x＝v0，落到桶底A點(diǎn)時(shí)，水平方向有x＋＝v0，解得v0＝，故C正確。
B
3.(2025·四川綿陽一模)同學(xué)們?cè)趯W(xué)校操場(chǎng)練習(xí)投擲實(shí)心球。假設(shè)兩同學(xué)在同一高度(足夠高)分別以大小為v01＝2 m/s、v02＝8 m/s的水平初速度沿相反方向同時(shí)拋出兩小球，不考慮空氣阻力的影響，重力加速度g＝10 m/s2。則兩球從拋出到速度方向垂直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為(　　)
A.0.3 s B.0.4 s C.0.5 s D.0.6 s
解析　設(shè)經(jīng)過時(shí)間t兩球速度與水平方向的夾角分別為α、β，由題意得tan α＝，tan β＝，因兩球相遇時(shí)速度方向垂直，則tan α＝，聯(lián)立可得t＝0.4 s，故B正確。
D
4.(2024·浙江金華模擬)如圖所示，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)在距離墻L處將網(wǎng)球以不同的水平速度射出打到豎直墻上。已知墻上的O點(diǎn)與網(wǎng)球出射點(diǎn)等高，A、B兩點(diǎn)分別為兩個(gè)擊中點(diǎn)，OA＝AB，擊中A點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為v0，空氣阻力忽略不計(jì)，網(wǎng)球可看作質(zhì)點(diǎn)。下列說法正確的是(　　)
A.擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為2v0
B.擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為v0
C.要使原來?yè)糁蠥點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中B點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿OP方向后退L
D.要使原來?yè)糁蠦點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中A點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿PO方向前進(jìn)L
解析　網(wǎng)球在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，有yOA＝g，yOB＝g，因OA＝AB，所以tB＝tA，又x＝v0tA，x＝vB0tB，得擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為vB0＝v0，A、
B錯(cuò)誤;要使原來?yè)糁蠥點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中B點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)樵瓉淼谋叮运骄嚯x也應(yīng)變?yōu)楸叮淳W(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)后退L，C錯(cuò)誤;要使原來?yè)糁蠦點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)樵瓉淼谋叮运骄嚯x也應(yīng)變?yōu)楸叮淳W(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)前進(jìn)L，故D正確。
BD
5.(多選)(2025·貴州貴陽模擬)如圖所示，A、B兩小球以相同的水平速度v0拋出，A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P1，B在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P2。兩球的水平位移分別為xA和xB，不計(jì)阻力，下列關(guān)系正確的是(　　)
A.xA>xB
B.xAC.xA＝xB
D.B球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tB＝
解析　小球A做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有xA＝v0tA，h＝g，解得A球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tA＝，小球B視為在光滑斜面上的類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度為aB＝＝gsin θ，沿
著斜面的方向和水平方向分別有y＝aB，xB＝v0tB，B球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tB＝>tA，A、B兩球沿x軸方向都做水平速度相等的勻速直線運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間不等，所以沿x軸方向的位移大小不同，根據(jù)x＝vt可知xAA
對(duì)點(diǎn)練2　與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
6.如圖所示，兩小球從斜面的頂點(diǎn)先后以不同的初速度向右水平拋出，在斜面上的落點(diǎn)分別是a和b，不計(jì)空氣阻力。關(guān)于兩小球的說法正確的是(　　)
A.兩小球的飛行時(shí)間均與初速度v0成正比
B.落在b點(diǎn)的小球飛行過程中速度變化快
C.落在a點(diǎn)的小球飛行過程中速度變化大
D.小球落在a點(diǎn)和b點(diǎn)時(shí)的速度方向不同
解析　設(shè)斜面傾角為θ，則tan θ＝，可得t＝，兩小球的飛行時(shí)間均與初速度v0成正比，故A正確;兩球拋出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的變化
快慢相同，故B錯(cuò)誤;根據(jù)題意知，兩小球下落的豎直高度haA
7.(2025·黑龍江哈爾濱高三期中)如圖所示，圓環(huán)豎直放置，從圓心O點(diǎn)正上方的P點(diǎn)，以速度v0水平拋出的小球恰能從圓環(huán)上的Q點(diǎn)沿切線方向飛過，若OQ與OP間夾角為θ，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。則(　　)
A.圓環(huán)的半徑為R＝
B.小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為t＝
C.小球從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的速度變化量為
D.小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為vQ＝
解析　以速度v0水平拋出的小球恰能從圓環(huán)上的Q點(diǎn)沿切線方向飛過，小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為vQ＝，故D錯(cuò)誤;小球在Q點(diǎn)的豎直方向的速度為vQy＝v0tan θ，小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間t＝，故B錯(cuò)誤;小球在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有Rsin θ＝v0t，圓環(huán)的半徑為R＝，故A正確;小球從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的速度變化量Δv＝gt＝v0tan θ，故C錯(cuò)誤。
B
對(duì)點(diǎn)練3　斜拋運(yùn)動(dòng)
8.(2024·安徽合肥模擬)如圖所示，某同學(xué)在進(jìn)行投籃練習(xí)。已知A、B、C是籃球運(yùn)動(dòng)軌跡中的三個(gè)點(diǎn)，其中A為球拋出點(diǎn)，B為球運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)，C為球落入籃框的點(diǎn)，且A、B連線垂直于B、C連線，A、B連線與水平方向的夾角θ＝60°，不計(jì)空氣阻力。則籃球從A到B與從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為(　　)
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶ D.4∶1
解析　將籃球從A到B運(yùn)動(dòng)的逆過程與從B到C運(yùn)動(dòng)的過程看作兩個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)，將BA過程沿水平和豎直方向分解，如圖所示，水平方向有xAB＝vBtAB，豎直方向有yAB＝g，對(duì)AB過程有tan 60°＝，同理將BC過程沿水平和豎直方向分解，對(duì)BC過程有tan(90°－60°)＝，聯(lián)立解得tAB∶tBC＝3∶1，故B正確。
B級(jí)　綜合提升練
D
9.(2025·江蘇南通模擬)如圖所示，一個(gè)沙漏沿水平方向以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿途連續(xù)漏出沙子，單位時(shí)間內(nèi)漏出的沙子質(zhì)量恒定為Q，出沙口距水平地面的高度為H。忽略沙子漏出瞬間相對(duì)沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不計(jì)空氣阻力，已知重力加速度為g，在已有沙子落地后，下列說法正確的是(　　)
A.沙子在空中形成的幾何圖形是一條拋物線
B.不同時(shí)刻下落的兩粒沙子之間的豎直間距保持不變
C.沙子落到地面時(shí)與沙漏的水平距離為v
D.在空中運(yùn)動(dòng)的沙子的總質(zhì)量為Q
解析　由于沙子下落時(shí)，沙子與沙漏均具有水平向右的初速度v，所以漏出的沙子在水平方向上均與沙漏以相同的速度向右移動(dòng)，因此沙子在空中形成的幾何圖形是一條直線，故A錯(cuò)誤;下落的沙子在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，下落時(shí)間間隔為Δt的兩粒沙子豎直間距為Δy＝g(t＋Δt)2－gt2＝gΔt·t＋g(Δt)2，可知二者間距隨下落時(shí)間的增加而增加，
故B錯(cuò)誤;因?yàn)樯匙优c沙漏在水平方向上以相同的速度v運(yùn)動(dòng)，所以沙子落地時(shí)與沙漏的水平距離為0，故C錯(cuò)誤;從第一粒沙子漏出開始到這粒沙子剛落地，這一過程中在豎直方向上，有H＝gt2，下落時(shí)間為t＝，由于單位時(shí)間內(nèi)漏出的沙子質(zhì)量恒定為Q，則這一過程中落下的沙子總質(zhì)量M＝Qt＝Q，故D正確。
BC
10.(多選)(2025·山東臨沂高三期中)如圖所示，小球A以某一速度水平向右拋出的同時(shí)，小球B斜向左上方以速度v0拋出，與水平方向的夾角為53°。兩球拋出后在同一豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且恰好在空中相碰。已知單獨(dú)拋出小球B時(shí)，小球B到達(dá)的最高點(diǎn)恰好與小球A的拋出點(diǎn)處于同一水平線上，且小球B落地點(diǎn)位于小球A拋出點(diǎn)的正下方。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列說法正確的是(　　)
A.小球A拋出的初速度大小等于2.4v0
B.小球A拋出的初速度大小等于1.8v0
C.兩球拋出點(diǎn)的水平距離為
D.兩球拋出點(diǎn)的水平距離為
解析　小球B在水平方向和豎直方向的速度分別為vBx＝v0cos 53°＝v0，vBy＝v0sin 53°＝v0，單獨(dú)拋出小球B時(shí)，小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝，兩球拋出點(diǎn)的水
平距離為x＝vBxt＝，故C正確，D錯(cuò)誤;小球A拋出高度為h＝，小球A、B恰好在空中相碰，有x＝(vA＋vBx)t1，h＝vByt1－gg，解得小球A拋出的初速度大小vA＝1.8v0，故A錯(cuò)誤，B正確。
11.(2025·八省聯(lián)考四川卷，13)某同學(xué)借助安裝在高處的籃球發(fā)球機(jī)練習(xí)原地豎直起跳接球。該同學(xué)站在水平地面上，與出球口水平距離l＝2.5 m，舉手時(shí)手掌距地面最大高度h0＝2.0 m。發(fā)球機(jī)出球口以速度v0＝5 m/s沿水平方向發(fā)球。從籃球發(fā)出到該同學(xué)起跳離地，耗時(shí)t0＝0.2 s，該同學(xué)跳至最高點(diǎn)伸直手臂恰能在頭頂正上方接住籃球。重力加速度g大小取10 m/s2。求:
(1) t0時(shí)間內(nèi)籃球的位移大小;
(2)出球口距地面的高度。
答案　(1) m　(2)3.7 m
解析　(1)在t0時(shí)間內(nèi)，籃球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移為
x＝v0t0＝5×0.2 m＝1 m
豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，位移為h＝g×10×0.22 m＝0.2 m
所以籃球的位移為x0＝ m＝ m。
(2)從發(fā)出球到接住球經(jīng)過的時(shí)間為t＝ s＝0.5 s
所以該同學(xué)起跳離地到接住球經(jīng)歷的時(shí)間為t1＝t－t0＝0.3 s
同學(xué)起跳后上升的高度為h1＝g×10×0.32 m＝0.45 m
整個(gè)過程籃球下降的高度為h2＝gt2＝×10×0.52 m＝1.25 m
所以出球口距地面的高度為H＝h0＋h1＋h2＝2 m＋0.45 m＋1.25 m＝3.7 m。
AD
12.(多選)(2025·河北保定高三期末)將彈性小球以某初速度從O點(diǎn)水平拋出，與地面發(fā)生彈性碰撞(碰后豎直速度與碰前等大反向，水平速度不變)，反彈后在下降過程中恰好經(jīng)過固定于水平面上的豎直擋板的頂端。已知O點(diǎn)高度為1.25 m，與擋板的水平距離為6.5 m，擋板高度為0.8 m，g＝10 m/s2，不計(jì)空氣阻力的影響。下列說法中正確的是(　　)
C級(jí)　培優(yōu)加強(qiáng)練
A.小球水平方向的速率為5 m/s
B.小球第一次落地時(shí)速度與水平方向的夾角為30°
C.小球經(jīng)過擋板上端時(shí)，速度與水平方向夾角的正切值為1
D.小球從擋板上端運(yùn)動(dòng)到水平地面經(jīng)歷的時(shí)間為0.2 s
解析　反彈后在下降過程中恰好經(jīng)過固定于水平面上的豎直擋板的頂端，則從O點(diǎn)拋出到反彈上升到最高點(diǎn)所用時(shí)間為t1＝2＝2× s＝1 s，從最高點(diǎn)下降經(jīng)過豎直擋板的頂端所用時(shí)間為t2＝
s＝0.3 s，則小球水平方向的速率為v0＝ m/s＝5 m/s，故A正確;小球第一次落地時(shí)豎直方向分速度為vy＝ m/s＝5 m/s，則小球第一次落地時(shí)速度與水平方向的夾角滿足tan θ＝＝1，解得θ＝45°，故B錯(cuò)誤;小球經(jīng)過擋板上端時(shí)，豎直方向分速度為vy'＝gt2＝3 m/s，則速度與水平方向夾角的正切值為tan θ'＝，故C錯(cuò)誤;小球從擋板上端運(yùn)動(dòng)到水平地面經(jīng)歷的時(shí)間為Δt＝ s＝0.2 s，故D正確。

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