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第4講　萬有引力定律及應用
學習目標　1.了解開普勒三定律的內容，會用開普勒第三定律進行相關計算。 2.理解萬有引力定律，并會計算萬有引力。 3.掌握計算天體質量和密度的方法。
1.
2.
1.思考判斷
(1)圍繞同一天體運動的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個共同的焦點。(√)
(2)行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越大。(×)
(3)只要知道兩個物體的質量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝G計算物體間的萬有引力。(×)
(4)地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。(√)
2.地球繞太陽公轉一周的時間是365天5小時48分46秒。地球繞太陽公轉一周所需要的時間，就是地球公轉周期。籠統地說，地球公轉周期是一“年”。根據地球的公轉周期和軌道半徑，我們能否推導出太陽的質量 能否推導出地球的質量
答案　根據G＝m地r可知，可推導出太陽的質量，無法推導出地球的質量。
考點一　開普勒三定律的理解和應用
1.行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。
2.開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
3.由開普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠日點速度最小。
4.開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同。但該定律只能用在同一中心天體的星體之間。
例1 (2024·浙江6月選考，8)與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則(　　)
A.小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度
B.小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度
C.小行星甲與乙的運行周期之比
D.甲、乙兩行星從遠日點到近日點的時間之比
答案　D
解析　由開普勒第二定律可知，小行星甲在遠日點的速度小于在近日點的速度，A錯誤;由萬有引力定律和牛頓第二定律有＝ma，可得a＝，結合題圖可知，小行星乙的遠日點到太陽的距離等于地球的公轉半徑，故小行星乙在遠日點的加速度等于地球公轉加速度，B錯誤;根據開普勒第三定律可得，則，C錯誤;甲、乙兩行星從遠日點到近日點的時間之比，D正確。
跟蹤訓練
1.如圖所示，是某小行星繞太陽運動的橢圓軌道，M、N、P是小行星依次經過的三個位置，F1、F2為橢圓的兩個焦點。小行星由M到N和由N到P的過程中，通過的路程相等，小行星與太陽中心的連線掃過的面積分別為S1和S2。已知由M到N過程中，太陽的引力對小行星做正功。下列判斷正確的是(　　)
A.太陽位于焦點F1處
B.S1>S2
C.在M和N處，小行星的動能EkM>EkN
D.在N和P處，小行星的加速度aN>aP
答案　B
解析　由M到N過程中，太陽的引力對小行星做正功，說明小行星靠近太陽運動，所以太陽位于焦點F2處，A錯誤;根據開普勒行星運動定律可知小行星由M到P的過程中速度逐漸增大，小行星由M到N和由N到P的過程中，通過的路程相等，所以小行星由M到N的運動時間大于由N到P的運動時間，由開普勒第二定律可知S1>S2，B正確;由動能定理知，由M到N過程中，萬有引力做正功，則動能增大，即EkM考點二　萬有引力定律的理解和應用
角度　萬有引力定律的應用
例2 從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業實現了由地月系到行星際的跨越。已知火星質量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
答案　B
解析　懸停時“祝融”和“玉兔”所受平臺的作用力等于萬有引力，根據F＝G得×2＝，故B正確。
角度　“挖補法”求解萬有引力
例3 (2025·重慶九龍坡模擬)如圖甲所示，一半徑為R、密度均勻的球體，在與球心O相距2R的P處有一質量為m的質點，球體對該質點的萬有引力大小為F。現從球體中挖去“半徑為的小球體(球心在OP連線上，右端位于O點)，如圖乙所示，則剩余部分對該質點的萬有引力大小為(　　)
A.F B.F
C.F D.F
答案　C
解析　設球體的密度為ρ，球體的質量為M，可得M＝ρ·πR3，則小球體的質量M'＝ρ·π，球體對該質點的萬有引力大小F＝G，故挖去小球體后，剩余部分對該質點的萬有引力大小F剩余＝F－G，解得F剩余＝F，故C正確。
角度　萬有引力與重力的關系
例4 (2024·湖南長沙模擬)2023年11月16日，中國北斗系統正式加入國際民航組織標準，成為全球民航通用的衛星導航系統。北斗系統空間段由若干地球靜止軌道衛星、傾斜地球同步軌道衛星和中圓地球軌道衛星等組成。將地球看成質量均勻的球體，若地球半徑與同步衛星的軌道半徑之比為k，下列說法正確的是(　　)
A.傾斜地球同步軌道衛星有可能保持在長沙的正上方
B.地球靜止軌道衛星與地面上的點線速度大小相等，所以看起來是靜止的
C.地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為
D.地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為
答案　D
解析　傾斜地球同步軌道衛星周期仍然是24小時，但軌道與赤道平面有夾角，如果某時刻在長沙正上方，則24小時后就又在長沙正上方，但不能保持在長沙正上方，故A錯誤;地球靜止軌道衛星與地面上的點角速度相等，由v＝ωr可知，地球靜止軌道衛星的軌道半徑大于地面上的點的軌道半徑，因此靜止軌道衛星的線速度大小大于地面上的點線速度大小，B錯誤;根據題意，對同步衛星，由萬有引力提供向心力有＝m·，在地球北極有＝mg極，在赤道上有＝mg赤＋mR，聯立可得g赤＝g極，則地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為，C錯誤，D正確。
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果:一是物體的重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力Fn，如圖所示(設地球質量為M)。
(1)在赤道上:
G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上:G＝mg2。
(3)在一般位置:萬有引力G等于重力mg與向心力Fn的矢量和。越靠近南北兩極g值越大。由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黃金代換)。
角度　星體上空及星體內部重力加速度的求解
例5 (2025·山西太原一模)神舟家族太空接力，“奮斗者”號極限深潛，真正實現了“可上九天攬月，可下五洋捉鱉”!已知“奮斗者”號在馬里亞納海溝的坐底深度為d(10 909 m)，空間站離地面的高度為h(400 km)。假設地球質量分布均勻，半徑為R，不考慮其自轉，且質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，則深度為d處和高度為h處的重力加速度之比為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　設質量為m1的物體在馬里亞納海溝底處，有G＝m1g1，又，質量為m2的物體在空間站，有G＝m2g2，解得馬里亞納海溝底處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為，故A正確。
1.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉):mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度g':mg'＝，得g'＝，所以。
2.萬有引力的“兩個推論”
推論1:在勻質球殼空腔內的任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。
推論2:在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M')對其的萬有引力，即F＝G。
考點三　天體質量和密度的計算
天體質量和密度的計算方法
類型 方法 已知量 利用公式 表達式 備注
質 量 的 計 算 利用運 行天體 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天體的質量
r、v G＝m m中＝
v、T G＝m，G＝mr m中＝
利用天體表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ —
密 度 的 計 算 利用運 行天體 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 當r＝R時，ρ＝ 利用近地衛星只需測出其運行周期
利用天體表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ —
角度　重力加速度法
例6 (2025·陜西寶雞模擬)我國計劃在2030年前實現載人登陸月球開展科學探索，其后將探索建造月球科研試驗站，開展系統、連續的月球探測和相關技術試驗驗證。若航天員在月球表面附近高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球運動的水平位移大小為L。若月球可視為均勻的天體球，已知月球半徑為R，引力常量為G，則下列說法正確的是(　　)
A.月球表面的重力加速度g月＝
B.月球的質量m月＝
C.月球的第一宇宙速度v＝
D.月球的平均密度ρ＝
答案　D
解析　由平拋運動規律可得h＝g月t2，L＝v0t，聯立得月球表面的重力加速度g月＝，故A錯誤;在月球表面，由萬有引力等于重力得G＝mg月，將g月＝代入上式得月球的質量m月＝，故B錯誤;由牛頓第二定律得G＝m，將m月＝代入上式得月球的第一宇宙速度v＝，故C錯誤;月球的平均密度ρ＝，故D正確。
角度　環繞法
例7 (2024·新課標卷，16)天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
答案　B
解析　設行星質量為m，軌道半徑為r1，周期為T1，紅矮星質量為M1，由萬有引力提供向心力有G＝mr1，可得M1＝;同理可得太陽質量M2＝(其中r2為日地距離，T2為地球公轉周期)，·≈0.1，B正確。
跟蹤訓練
2.(2025·遼寧大連模擬)嫦娥七號探測器將于2026年前后發射，準備在月球南極登陸。假設嫦娥七號探測器在登陸月球之前環繞月球表面做勻速圓周運動，如圖所示。已知嫦娥七號的運動周期為T1，軌道半徑約等于月球球體的半徑，月球繞地球近似做勻速圓周運動的周期為T2，軌道半徑為月球球體半徑的k倍，引力常量為G。根據題中所給信息，下列說法正確的是(　　)
A.可以估測地球的質量
B.可以估測月球的密度
C.周期T2與周期T1滿足＝k3
D.地球的質量與月球的質量之比等于
答案　B
解析　月球繞地球近似做勻速圓周運動的周期為T2，則有G＝M月(kR月)，解得M地＝，由于不知道月球的半徑，故不能求出地球的質量，故A錯誤;嫦娥七號繞月球表面做圓周運動，則有G＝mR月，解得M月＝，月球的密度為ρ＝，故B正確;由于地球質量不知道，故不能從所給信息中直接求出的值，故C錯誤;地球的質量與月球的質量之比等于，故D錯誤。
A級　基礎對點練
對點練1　開普勒三定律的理解和應用
1.(2025·八省聯考內蒙古卷，3)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺首次發現，其繞太陽運行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為(　　)
A.1.5×103 B.1.5×104
C.1.5×106 D.1.5×107
答案　A
解析　由開普勒第三定律，可得該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值為≈1.5×103，故A正確。
2.(2025·江蘇鹽城高三月考)哈雷彗星的運動軌道是一個非常扁的橢圓，在近日點與太陽中心的距離為r1，在遠日點與太陽中心的距離為r2，若地球的公轉軌道可視為半徑為r的圓軌道，哈雷彗星的公轉周期為T。則哈雷彗星(　　)
A.質量M＝
B.公轉周期T＝年
C.在近日點與遠日點的速度大小之比為
D.在近日點與遠日點的加速度大小之比為
答案　D
解析　由萬有引力定律可以計算中心天體的質量，哈雷彗星是環繞天體，其質量無法計算，故A錯誤;由開普勒第三定律可得，其中T地球＝1年，解得T＝年，故B錯誤;根據開普勒第二定律，取時間微元Δt，結合扇形面積公式，可得v1Δtr1＝v2Δtr2，解得，故C錯誤;在近日點時，由牛頓第二定律可得＝ma1，在遠日點時，由牛頓第二定律可得＝ma2，聯立解得，故D正確。
3.(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發射升空。當抵達距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
A.周期約144 h
B.近月點的速度大于遠月點的速度
C.近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D.近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
答案　B
解析　凍結軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據開普勒第三定律得，整理得T1＝T2＝288 h，A錯誤;根據開普勒第二定律知，近月點的速度大于遠月點的速度，B正確;從捕獲軌道到凍結軌道鵲橋二號進行近月制動，其在捕獲軌道近月點的速度大于在凍結軌道運行時近月點的速度，C錯誤;兩軌道的近月點所受的萬有引力相同，根據牛頓第二定律可知，其在捕獲軌道近月點的加速度等于在凍結軌道運行時近月點的加速度，D錯誤。
對點練2　萬有引力定律的理解和應用
4.(2023·新課標卷，17)2023年5月，世界現役運輸能力最大的貨運飛船天舟六號，攜帶約5 800 kg的物資進入距離地面約400 km(小于地球同步衛星與地面的距離)的軌道，順利對接中國空間站后近似做勻速圓周運動。對接后，這批物資(　　)
A.質量比靜止在地面上時小
B.所受合力比靜止在地面上時小
C.所受地球引力比靜止在地面上時大
D.做圓周運動的角速度大小比地球自轉角速度大
答案　D
解析　物體的質量由物體本身決定，與其所處位置、狀態均無關，A錯誤;物資所受地球引力的大小F＝G，故其所受地球引力比靜止在地面上時小，C錯誤;空間站軌道半徑小于地球同步衛星軌道半徑，由開普勒第三定律可知，物資做圓周運動的周期小于地球同步衛星的周期，所以物資做圓周運動的角速度大于地球自轉角速度，D正確;物資所受合力即為其做圓周運動的向心力，由向心力公式Fn＝mω2r可知，對接后物資所受合力比靜止在地面上時大，B錯誤。
5.(2025·河南開封質檢)在利用探測器探測石油的過程中，遇到空腔或者其他物質時，引力會發生變化，引起該區域重力加速度的大小和方向發生微小的變化，以此來探尋石油區域的位置，簡化模型如圖所示。一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F，如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對質點P的萬有引力變為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　設質點與原球體球心相距L，萬有引力為F，則F＝，在球體中央挖去半徑為r的一部分球體后，質點與原球體剩余部分之間的萬有引力F1＝·F，故C正確。
6.(2025·山東泰安模擬)中國將全面推進探月工程四期，計劃2026年前后發射嫦娥七號。嫦娥七號準備在月球南極著陸，主要任務是勘察月球南極月表環境、月壤水冰和揮發組分等。嫦娥七號探測器在距離月面的高度等于月球半徑處繞著月球做勻速圓周運動時，其周期為T1;當探測器停在月球的南極時，測得重力加速度的大小為g0。已知月球自轉的周期為T2，月球視為均勻球體，月球赤道處的重力加速度為(　　)
A. B.
C. D.g0
答案　A
解析　設月球的半徑為R，月球的質量為M，由題意得G＝m(2R)，G＝mg0，G＝mR＋mg，綜合以上三式解得月球赤道處的重力加速度g＝，故A正確。
7.中國科學院沈陽自動化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主模式下刷新了中國下潛深度紀錄，最大下潛深度超過了10 000米，首次實現了無纜無人潛水器萬米坐底并連續拍攝高清視頻影像。若把地球看成質量分布均勻的球體，且球殼對球內任一質點的萬有引力為零，忽略地球的自轉，則下列關于“海斗一號”下潛所在處的重力加速度大小g和下潛深度h的關系圖像可能正確的是(　　)
答案　D
解析　設地球的質量為M，地球的半徑為R，“海斗一號”下潛h深度后，以地心為球心、以R－h為半徑的球體的質量為M'，根據密度相等，有，由于球殼對球內任一質點的萬有引力為零，根據萬有引力定律有G＝mg，聯立以上兩式并整理可得g＝(R－h)，故D正確，A、B、C錯誤。
對點練3　天體質量和密度的計算
8.(2024·山東卷，5)“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道上運行時，根據＝mr可知M＝，則有，D正確。
9.(2024·海南卷，6)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　
B級　綜合提升練
10.(2025·八省聯考河南卷，3)水星是太陽系中距離太陽最近的行星，其平均質量密度與地球的平均質量密度可視為相同。已知水星半徑約為地球半徑的，則靠近水星表面運動的衛星與地球近地衛星做勻速圓周運動的線速度之比約為(　　)
A.64∶9 B.8∶3
C.3∶8 D.9∶64
答案　C
解析　由萬有引力提供向心力有G＝m，又M＝ρ·V， V＝πR3，聯立解得v＝2R∝R，所以，故C正確。
11.(多選)(2025·安徽滁州市期末)已知火星半徑是地球半徑的，質量是地球質量的，自轉周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉影響的條件下，下列說法正確的是(　　)
A.該人以相同的初速度在火星上起跳時，可跳起的最大高度是
B.火星表面的重力加速度是g
C.火星的平均密度是地球平均密度的
D.該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的
答案　ABC
解析　根據萬有引力定律F＝G，知×22＝，該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的，故D錯誤;根據G＝mg，可得×22＝，則火星表面的重力加速度為g，故B正確;根據ρ＝∝，可得×23＝，故C正確;因為火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，根據h＝知該人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度h火＝h，故A正確。
C級　培優加強練
12.2024年4月25日，神舟十八號載人飛船成功發射，標志著中國載人航天技術已走在世界前列。有人對今后神舟系列飛船的發射構想:沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設成光滑軌道，在通道的兩個出口分別將一物體和飛船同時釋放，利用兩者碰撞(彈性碰撞)效應，將飛船發射出去，已知地表重力加速度為g，地球的半徑為R;物體做簡諧運動的周期T＝2π，m為物體的質量，k為簡諧運動物體的回復力和其離開平衡位置的位移大小之比。
(1)若神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運動，求其運行的線速度大小;
(2)如圖所示，設想在地球上距地心h處挖一條光滑通道AB，從A點靜止釋放一個質量為m的物體，求物體從A點運動到B點的時間，以及物體通過通道中心O'的速度大小(質量分布均勻的空腔對穿腔內的物體的萬有引力為零)。
答案　(1)　(2)π　
解析　(1)神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有
G＝m飛船
根據地球表面萬有引力與重力的關系有G＝m飛船g
解得神舟十八號飛船運行的線速度大小為v＝。
(2)半徑為r的球體質量為M'＝ρV＝ρ·πr3
質量為m的物體在距離地心r處受到的萬有引力大小為F＝GπρGmr
故萬有引力在AB通道方向的分力大小為Fx＝FπρGmx＝kx
該力與x成正比，故物體做簡諧運動，當r＝R時，有GπρGmR
根據萬有引力與重力的關系有G＝mg
則k＝
物體從A點運動到B點的時間為
tAB＝T＝×2π＝π
從A點到O'點，萬有引力對物體做的功為
W＝·xAO'＝·xAO'＝·(R2－h2)
從A點到O'點，由動能定理可得
W＝m
解得物體通過通道中心O'的速度大小
vO'＝。(共55張PPT)
第4講　萬有引力定律及應用
第四章　曲線運動　萬有引力與宇宙航行
1.了解開普勒三定律的內容，會用開普勒第三定律進行相關計算。
2.理解萬有引力定律，并會計算萬有引力。
3.掌握計算天體質量和密度的方法。
學習目標
目 錄
CONTENTS
夯實必備知識
01
研透核心考點
02
提升素養能力
03
夯實必備知識
1
橢圓
1.
焦點
面積
半長軸
公轉周期
正比
2.
反比
G　
質點
兩球心
1.思考判斷
×
√
(1)圍繞同一天體運動的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個共同的焦點。( )
(2)行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越大。( )
(3)只要知道兩個物體的質量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝G計算物體間的萬有引力。( )
(4)地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。( )
×
√
2.地球繞太陽公轉一周的時間是365天5小時48分46秒。地球繞太陽公轉一周所需要的時間，就是地球公轉周期。籠統地說，地球公轉周期是一“年”。根據地球的公轉周期和軌道半徑，我們能否推導出太陽的質量 能否推導出地球的質量
答案　根據G＝m地r可知，可推導出太陽的質量，無法推導出地球的質量。
研透核心考點
2
考點二　萬有引力定律的理解和應用
考點一　開普勒三定律的理解和應用
考點三　天體質量和密度的計算
考點一　開普勒三定律的理解和應用
1.行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。
2.開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
3.由開普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠日點速度最小。
4.開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同。但該定律只能用在同一中心天體的星體之間。
例1 (2024·浙江6月選考，8)與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則(　　)
D
A.小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度
B.小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度
C.小行星甲與乙的運行周期之比
D.甲、乙兩行星從遠日點到近日點的時間之比
解析　由開普勒第二定律可知，小行星甲在遠日點的速度小于在近日點的速度，A錯誤;由萬有引力定律和牛頓第二定律有＝ma，可得a＝，結合題圖可知，小行星乙的遠日點到太陽的距離等于地球的公轉半徑，故小行星乙在遠日點的加速度等于地球公轉加速度，B錯誤;根據開普勒第三定律
可得，則，C錯誤;甲、乙兩行星從遠日點到近日點的時間之比，D正確。
跟蹤訓練
1.如圖所示，是某小行星繞太陽運動的橢圓軌道，M、N、P是小行星依次經過的三個位置，F1、F2為橢圓的兩個焦點。小行星由M到N和由N到P的過程中，通過的路程相等，小行星與太陽中心的連線掃過的面積分別為S1和S2。已知由M到N過程中，太陽的引力對小行星做正功。下列判斷正確的是(　　)
B
A.太陽位于焦點F1處
B.S1>S2
C.在M和N處，小行星的動能EkM>EkN
D.在N和P處，小行星的加速度aN>aP
解析　由M到N過程中，太陽的引力對小行星做正功，說明小行星靠近太陽運動，所以太陽位于焦點F2處，A錯誤;根據開普勒行星運動定律可知小行星由M到P的過程中速度逐漸增大，小行星由M到N和由N到P的過程中，通過的路程相等，
所以小行星由M到N的運動時間大于由N到P的運動時間，由開普勒第二定律可知S1>S2，B正確;由動能定理知，由M到N過程中，萬有引力做正功，則動能增大，即EkM考點二　萬有引力定律的理解和應用
角度　　萬有引力定律的應用
B
例2 從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業實現了由地月系到行星際的跨越。已知火星質量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
解析　懸停時“祝融”和“玉兔”所受平臺的作用力等于萬有引力，根據F＝G×2＝，故B正確。
角度　　“挖補法”求解萬有引力
例3 (2025·重慶九龍坡模擬)如圖甲所示，一半徑為R、密度均勻的球體，在與球心O相距2R的P處有一質量為m的質點，球體對該質點的萬有引力大小為F。現從球體中挖去“半徑為的小球體(球心在OP連線上，右端位于O點)，如圖乙所示，則剩余部分對該質點的萬有引力大小為(　　)
C
A.F B.F
C.F D.F
解析　設球體的密度為ρ，球體的質量為M，可得M＝ρ·πR3，則小球體的質量M'＝ρ·π，球體對該質點的萬有引力大小F＝G，故挖去小球體后，剩余部分對該質點的萬有引力大小F剩余＝F－G，解得F剩余＝F，故C正確。
角度　　萬有引力與重力的關系
例4 (2024·湖南長沙模擬)2023年11月16日，中國北斗系統正式加入國際民航組織標準，成為全球民航通用的衛星導航系統。北斗系統空間段由若干地球靜止軌道衛星、傾斜地球同步軌道衛星和中圓地球軌道衛星等組成。將地球看成質量均勻的球體，若地球半徑與同步衛星的軌道半徑之比為k，下列說法正確的是(　　)
A.傾斜地球同步軌道衛星有可能保持在長沙的正上方
B.地球靜止軌道衛星與地面上的點線速度大小相等，所以看起來是靜止的
C.地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為
D.地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為
D
解析　傾斜地球同步軌道衛星周期仍然是24小時，但軌道與赤道平面有夾角，如果某時刻在長沙正上方，則24小時后就又在長沙正上方，但不能保持在長沙正上方，故A錯誤;地球靜止軌道衛星與地面上的點角速度相等，由v＝ωr可知，地球靜止軌道衛星的軌道半徑大于地面上的點的軌道半徑，因此靜止軌道衛星的線速度大小大于地面上的點線速度大小，B錯誤;根據題意，對同步衛星，由萬有引力提供向心力有＝m·，在地球北極有＝mg極，在赤道上有＝mg赤＋mR，聯立可得g赤＝g極，則地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為，C錯誤，D正確。
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果:一是物體的重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力Fn，如圖所示(設地球質量為M)。
(1)在赤道上:
G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上:G＝mg2。
(3)在一般位置:萬有引力G等于重力mg與向心力Fn的矢量和。越靠近南北兩極g值越大。由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黃金代換)。
角度　　星體上空及星體內部重力加速度的求解
例5 (2025·山西太原一模)神舟家族太空接力，“奮斗者”號極限深潛，真正實現了“可上九天攬月，可下五洋捉鱉”!已知“奮斗者”號在馬里亞納海溝的坐底深度為d(10 909 m)，空間站離地面的高度為h(400 km)。假設地球質量分布均勻，半徑為R，不考慮其自轉，且質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，則深度為d處和高度為h處的重力加速度之比為(　　)
A. B. C. D.
A
解析　設質量為m1的物體在馬里亞納海溝底處，有G＝m1g1，又，質量為m2的物體在空間站，有G＝m2g2，解得馬里亞納海溝底處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為，故A正確。
1.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉):mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度g':mg'＝，得g'＝，所以。
2.萬有引力的“兩個推論”
推論1:在勻質球殼空腔內的任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。
推論2:在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M')對其的萬有引力，即F＝G。
天體質量和密度的計算方法
考點三　天體質量和密度的計算
類型 方法 已知量 利用公式 表達式 備注
質 量 的 計 算 利用運 行天體 r、T 只能得到中心天體的質量
r、v v、T 利用天體表面重力加速度 g、R —
類型 方法 已知量 利用公式 表達式 備注
密 度 的 計 算 利用運 行天體 r、T、R 利用近地衛星只需測出其運行周期
利用天體表面重力加速度 g、R —
角度　　重力加速度法
例6 (2025·陜西寶雞模擬)我國計劃在2030年前實現載人登陸月球開展科學探索，其后將探索建造月球科研試驗站，開展系統、連續的月球探測和相關技術試驗驗證。若航天員在月球表面附近高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球運動的水平位移大小為L。若月球可視為均勻的天體球，已知月球半徑為R，引力常量為G，則下列說法正確的是(　　)
A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的質量m月＝
C.月球的第一宇宙速度v＝ D.月球的平均密度ρ＝
D
解析　由平拋運動規律可得h＝g月t2，L＝v0t，聯立得月球表面的重力加速度g月＝，故A錯誤;在月球表面，由萬有引力等于重力得G＝mg月，將g月＝代入上式得月球的質量m月＝，故B錯誤;由牛頓第二定律得G＝m，將m月＝代入上式得月球的第一宇宙速度v＝，故C錯誤;月球的平均密度ρ＝，故D正確。
角度　　環繞法
例7 (2024·新課標卷，16)天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍
B
解析　設行星質量為m，軌道半徑為r1，周期為T1，紅矮星質量為M1，由萬有引力提供向心力有G＝mr1，可得M1＝;同理可得太陽質量M2＝(其中r2為日地距離，T2為地球公轉周期)，·≈0.1，B正確。
2.(2025·遼寧大連模擬)嫦娥七號探測器將于2026年前后發射，準備在月球南極登陸。假設嫦娥七號探測器在登陸月球之前環繞月球表面做勻速圓周運動，如圖所示。已知嫦娥七號的運動周期為T1，軌道半徑約等于月球球體的半徑，月球繞地球近似做勻速圓周運動的周期為T2，軌道半徑為月球球體半徑的k倍，引力常量為G。根據題中所給信息，下列說法正確的是(　　)
跟蹤訓練
B
A.可以估測地球的質量
B.可以估測月球的密度
C.周期T2與周期T1滿足＝k3
D.地球的質量與月球的質量之比等于
解析　月球繞地球近似做勻速圓周運動的周期為T2，則有G＝M月(kR月)，解得M地＝，由于不知道月球的半徑，故不能求出地球的質量，故A錯誤;嫦娥七號繞月球表面做圓周運動，則有G＝mR月，解得M月＝，月球的密度為ρ＝，故B正確;由于地球質量不知道，故不能從所給信息中直接求出的值，故C錯誤;地球的質量與月球的質量之比等于，故D錯誤。
提升素養能力
3
A級　基礎對點練
A
對點練1　開普勒三定律的理解和應用
1.(2025·八省聯考內蒙古卷，3)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺首次發現，其繞太陽運行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為(　　)
A.1.5×103 B.1.5×104 C.1.5×106 D.1.5×107
解析　由開普勒第三定律，可得該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值為≈1.5×103，故A正確。
D
2.(2025·江蘇鹽城高三月考)哈雷彗星的運動軌道是一個非常扁的橢圓，在近日點與太陽中心的距離為r1，在遠日點與太陽中心的距離為r2，若地球的公轉軌道可視為半徑為r的圓軌道，哈雷彗星的公轉周期為T。則哈雷彗星(　　)
A.質量M＝
B.公轉周期T＝年
C.在近日點與遠日點的速度大小之比為
D.在近日點與遠日點的加速度大小之比為
解析　由萬有引力定律可以計算中心天體的質量，哈雷彗星是環繞天體，其質量無法計算，故A錯誤;由開普勒第三定律可得，其中T地球＝1年，
解得T＝年，故B錯誤;根據開普勒第二定律，取時間微元Δt，結合扇形面積公式，可得v1Δtr1＝v2Δtr2，解得，故C錯誤;在近日點時，由牛頓第二定律可得＝ma1，在遠日點時，由牛頓第二定律可得＝ma2，聯立解得，故D正確。
B
3.(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發射升空。當抵達距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
A.周期約144 h
B.近月點的速度大于遠月點的速度
C.近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D.近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
解析　凍結軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據開普勒第三定律得，整理得T1＝T2＝288 h，A錯誤;根據開普勒第二定律知，近月點的速度大于遠月點的速度，B正確;從捕獲軌道到凍結軌道鵲橋二號進行近月制動，其在捕獲軌道近月點的速度大于在凍結軌道運行時近月點的速度，C錯誤;兩軌道的近月點所受的萬有引力相同，根據牛頓第二定律可知，其在捕獲軌道近月點的加速度等于在凍結軌道運行時近月點的加速度，D錯誤。
D
對點練2　萬有引力定律的理解和應用
4.(2023·新課標卷，17)2023年5月，世界現役運輸能力最大的貨運飛船天舟六號，攜帶約5 800 kg的物資進入距離地面約400 km(小于地球同步衛星與地面的距離)的軌道，順利對接中國空間站后近似做勻速圓周運動。對接后，這批物資(　　)
A.質量比靜止在地面上時小
B.所受合力比靜止在地面上時小
C.所受地球引力比靜止在地面上時大
D.做圓周運動的角速度大小比地球自轉角速度大
解析　物體的質量由物體本身決定，與其所處位置、狀態均無關，A錯誤;物資所受地球引力的大小F＝G，故其所受地球引力比靜止在地面上時小，C錯誤;空間站軌道半徑小于地球同步衛星軌道半徑，由開普勒第三定律可知，物資做圓周運動的周期小于地球同步衛星的周期，所以物資做圓周運動的角速度大于地球自轉角速度，D正確;物資所受合力即為其做圓周運動的向心力，由向心力公式Fn＝mω2r可知，對接后物資所受合力比靜止在地面上時大，B錯誤。
C
5.(2025·河南開封質檢)在利用探測器探測石油的過程中，遇到空腔或者其他物質時，引力會發生變化，引起該區域重力加速度的大小和方向發生微小的變化，以此來探尋石油區域的位置，簡化模型如圖所示。一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F，如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對質點P的萬有引力變為(　　)
A. B.
C. D.
解析　設質點與原球體球心相距L，萬有引力為F，則F＝，在球體中央挖去半徑為r的一部分球體后，質點與原球體剩余部分之間的萬有引力F1＝·F，故C正確。
A
6.(2025·山東泰安模擬)中國將全面推進探月工程四期，計劃2026年前后發射嫦娥七號。嫦娥七號準備在月球南極著陸，主要任務是勘察月球南極月表環境、月壤水冰和揮發組分等。嫦娥七號探測器在距離月面的高度等于月球半徑處繞著月球做勻速圓周運動時，其周期為T1;當探測器停在月球的南極時，測得重力加速度的大小為g0。已知月球自轉的周期為T2，月球視為均勻球體，月球赤道處的重力加速度為(　　)
A. B. C. D.g0
解析　設月球的半徑為R，月球的質量為M，由題意得G＝m(2R)，G＝mg0，G＝mR＋mg，綜合以上三式解得月球赤道處的重力加速度g＝，故A正確。
D
7.中國科學院沈陽自動化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主模式下刷新了中國下潛深度紀錄，最大下潛深度超過了10 000米，首次實現了無纜無人潛水器萬米坐底并連續拍攝高清視頻影像。若把地球看成質量分布均勻的球體，且球殼對球內任一質點的萬有引力為零，忽略地球的自轉，則下列關于“海斗一號”下潛所在處的重力加速度大小g和下潛深度h的關系圖像可能正確的是(　　)
解析　設地球的質量為M，地球的半徑為R，“海斗一號”下潛h深度后，以地心為球心、以R－h為半徑的球體的質量為M'，根據密度相等，有，由于球殼對球內任一質點的萬有引力為零，根據萬有引力定律有G＝mg，聯立以上兩式并整理可得g＝(R－h)，故D正確，A、B、C錯誤。
D
對點練3　天體質量和密度的計算
8.(2024·山東卷，5)“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為(　　)
A. B. C. D.
解析　“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道上運行時，根據＝mr可知M＝，則有，D正確。
D
9.(2024·海南卷，6)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A. B. C. D.
解析　
C
10.(2025·八省聯考河南卷，3)水星是太陽系中距離太陽最近的行星，其平均質量密度與地球的平均質量密度可視為相同。已知水星半徑約為地球半徑的，則靠近水星表面運動的衛星與地球近地衛星做勻速圓周運動的線速度之比約為(　　)
A.64∶9 B.8∶3 C.3∶8 D.9∶64
解析　由萬有引力提供向心力有G＝m，又M＝ρ·V， V＝πR3，聯立解得v＝2R∝R，所以，故C正確。
ABC
11.(多選)(2025·安徽滁州市期末)已知火星半徑是地球半徑的，質量是地球質量的，自轉周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉影響的條件下，下列說法正確的是(　 　)
A.該人以相同的初速度在火星上起跳時，可跳起的最大高度是
B.火星表面的重力加速度是g
C.火星的平均密度是地球平均密度的
D.該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的
B級　綜合提升練
解析　根據萬有引力定律F＝G，知×22＝，該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的，故D錯誤;根據G＝mg，可得×22＝，則火星表面的重力加速度為g，故B正確;根據ρ＝∝，可得×23＝，故C正確;因為火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，根據h＝知該人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度h火＝h，故A正確。
C級　培優加強練
12.2024年4月25日，神舟十八號載人飛船成功發射，標志著中國載人航天技術已走在世界前列。有人對今后神舟系列飛船的發射構想:沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設成光滑軌道，在通道的兩個出口分別將一物體和飛船同時釋放，利用兩者碰撞(彈性碰撞)效應，將飛船發射出去，已知地表重力加速度為g，地球的半徑為R;物體做簡諧運動的周期T＝2π，m為物體的質量，k為簡諧運動物體的回復力和其離開平衡位置的位移大小之比。
(1)若神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運動，求其運行的線速度大小;
(2)如圖所示，設想在地球上距地心h處挖一條光滑通道AB，從A點靜止釋放一個質量為m的物體，求物體從A點運動到B點的時間，以及物體通過通道中心O'的速度大小(質量分布均勻的空腔對穿腔內的物體的萬有引力為零)。
答案　(1)　(2)π　
解析　(1)神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有
G＝m飛船
根據地球表面萬有引力與重力的關系有G＝m飛船g
解得神舟十八號飛船運行的線速度大小為v＝。
(2)半徑為r的球體質量為M'＝ρV＝ρ·πr3
質量為m的物體在距離地心r處受到的萬有引力大小為F＝GπρGmr
故萬有引力在AB通道方向的分力大小為Fx＝FπρGmx＝kx
該力與x成正比，故物體做簡諧運動，當r＝R時，有GπρGmR
根據萬有引力與重力的關系有G＝mg,則k＝
物體從A點運動到B點的時間為tAB＝T＝×2π＝π
從A點到O'點，萬有引力對物體做的功為
W＝·xAO'＝·xAO'＝·(R2－h2)
從A點到O'點，由動能定理可得
W＝m
解得物體通過通道中心O'的速度大小
vO'＝。

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