資源簡介

人教A版高二(下)數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊7.4.2超幾何分布
本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)超幾何分布
超幾何分布是一類應(yīng)用廣泛的概率模型，常常與二項(xiàng)分布問題綜合運(yùn)用，本節(jié)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件、等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨(dú)立事件概率的求法、也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。它是對前面所學(xué)知識的綜合應(yīng)用。節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過程。
課程目標(biāo) 學(xué)科素養(yǎng)
A. 理解超幾何分布,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布; B.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識解決實(shí)際問題,會求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值. 1.數(shù)學(xué)抽象：超幾何分布的概念 2.邏輯推理： 超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：超幾何分布的有關(guān)計(jì)算 4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想
重點(diǎn)：超幾何分布的概念及應(yīng)用
難點(diǎn)：超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系
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教學(xué)過程 教學(xué)設(shè)計(jì)意圖 核心素養(yǎng)目標(biāo)
探究新知 問題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列. （1）：采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？ 采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即X～B(4，0.08). （2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？ 不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列. 解：從100件產(chǎn)品中任取4件有 種不同的取法，從100件產(chǎn)品中任取4件，次品數(shù)X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有種. 由古典概型的知識，得隨機(jī)變量X的分布列為 X01234P
　 超幾何分布 一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為 P(X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布． 1.公式 中個(gè)字母的含義 N—總體中的個(gè)體總數(shù) M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù)) n—樣本容量 k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù)) 2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列. 3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式. 4.各對應(yīng)的概率和必須為1. 1.下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是(　　） A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X B．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)X C．某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù) 解析：由超幾何分布的定義可知B正確． 答案：B 二、典例解析 例1：從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率. 解: 設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被選中的概率為 例2. 一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測，求至少有1件不合格的概率. 解:設(shè)抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù)為 ,則 服從超幾何分布,且 =30, =3, =10, 的分布列為, 至少有1件不合格的概率為 ( ≥1)= ( =1)+ ( =2)+ ( =3) 另解:( ≥1)=1 ( =0) （1）當(dāng)研究的事物涉及二維離散型隨機(jī)變量(如：次品、兩類顏色等問題）時(shí)的概率分布可視為一個(gè)超幾何分布； （2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)公式求出X取不同值時(shí)的概率． 跟蹤訓(xùn)練1.在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示． (1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列． 解析：(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1， 但不包含B1”的事件為M，則P(M)＝＝. (2)由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列為 X01234P
探究1：服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么 設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而 是抽取的n件產(chǎn)品的次品率， E()=p，即E(X)=np. 超幾何分布的均值 設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝，則E(X）＝__ np_． 例6.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù). (1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例， 求誤差不超過0.1的概率. 解:(1)對于有放回摸球,由題意知 ~ (20,0.4), 的分布列為 對于不放回摸球,由題意知 服從超幾何分布， 的分布列為 （2） 樣本中黃球的比例 是一個(gè)隨機(jī)變量 有放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7469； 不放回摸球：P(||≤0.1)=P（6≤X≤10）≈0.7988. 因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些。 兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8. 但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近. 當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取一次,對N的影響很小.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似. 二項(xiàng)分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系 1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對于抽樣,則是有放回抽樣. 2.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布. 通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入超幾何分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過問題分析，讓學(xué)生掌握超幾何分布的概念及其特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 通過典例解析，在具體的問題情境中，深化對超幾何分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
三、達(dá)標(biāo)檢測 1.一袋中裝5個(gè)球，編號為1，2，3，4，5，從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為(　　） 解析：隨機(jī)變量ξ的可能值為1，2，3，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故選C. 答案：C 2.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________． 解析：次品數(shù)服從超幾何分布，則E(X)＝3×＝0.3. 答案：0.3 3. 在高二年級的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)紅球和10個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率． 解析：由題意知，摸到紅球個(gè)數(shù)X為離散型隨機(jī)變量，X服從超幾何分布，則至少摸到2個(gè)紅球的概率為 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＝. 故中獎(jiǎng)的概率為. 4.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求： (1）不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)ξ的均值； (2）放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)η的均值． 解析：(1)方法一　P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝， ∴隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ012P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二　由題意知P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2)， ∴隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10， ∴E(ξ)＝＝＝. (2)由題意，知每次取到次品的概率為＝， ∴η～B， ∴E(η)＝3×＝. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
小結(jié) 1.超幾何分布 2.超幾何分布的均值 五、課時(shí)練 通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。
課后通過對教學(xué)過程的反思與研究, 才能不斷完善教學(xué)設(shè)計(jì)中的不足, 才能提升教材分析的能力和課堂教學(xué)實(shí)效.
1. 多元展示, 多方評價(jià). 在教學(xué)過程中我借問題牽引，保證了課堂教學(xué)的順利實(shí)施；而在整個(gè)過程中，我對學(xué)生所作練習(xí)、疑問及時(shí)解析評價(jià)；學(xué)生之間、小組之間的互相評價(jià)補(bǔ)充，使學(xué)生共享成果分享喜悅，堅(jiān)定了學(xué)好數(shù)學(xué)的信念，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo).
2. 創(chuàng)造性的使用教材. 有別于教材，我在教學(xué)中,讓學(xué)生考察了分別考察了兩類題型之后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納, 這樣更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平， 學(xué)生課后反饋，效果較為理想.
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