資源簡介

點到直線的距離公式說課稿
----湖州中學 邱紅霞
今天我說課的內容是人教版數學必修（2）第三章“3.3.3點到直線的距離”，主要內容是點到直線的距離公式的推導和公式的簡單應用．
我將通過教材分析、目標分析、教法學法、教學程序和教學評價五個部分，闡述本課的教學設計．
一、教材與學情分析
1．地位與作用
本節對“點到直線的距離”的認識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了高中解析幾何的定量計算。對本節的研究，既是兩點間距離公式的繼續,又為兩條平行直線的距離的推導以及后面直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習，奠定了基礎，具有承上啟下的重要作用。
2．學情分析
（1）知識與能力：學生已經學習了兩點之間的距離公式，具備直線的有關知識，如交點、垂直、三角形、兩點間距離公式等。學生對坐標法解決幾何問題有了初步的認識。
（2）學生實際：我校學生實際是基礎扎實、思維活躍，但解題能力特別是抽象思維的能力比較欠缺，所以需要老師循序漸進的引導。
二、目標分析
1．教學目標
根據新課程標準的理念,以及上述教材結構與內容的分析，考慮到學生已有的知識結構及心理特征，制定如下三維教學目標：
【知識與技能】（直接性目標）
（1）讓學生理解點到直線距離公式的推導過程 ，掌握點到直線距離公式及其簡單應用；（2）通過由特殊到一般的歸納，培養學生探索問題的能力。
【過程與方法】（發展性目標）
（1）通過推導公式方法的發現，培養學生觀察發現、分析歸納、抽象概括、數學表達等基本數學思維能力；
（2）在推導過程中，滲透數形結合、轉化化歸等數學思想以及特殊與一般的方法.
【情感態度價值觀】（可持續性目標）
引導學生用聯系與轉化的觀點看問題，體驗在探索問題的過程中的受挫感和成功感，培養合作意識和創新精神。同時感受數學的形式美與簡潔美，從而激發學習興趣。
2．教學重點、難點
根據教學目標，應有一個讓學生參與實踐——探索發現——總結歸納的探索認知過程。特確定如下重點與難點：
【重點】 點到直線距離公式和簡單應用．
【難點】 點到直線距離公式的推導．
【難點的確定】根據學生的認知水平，學生比較容易接受具體的、特殊的事物，而對抽象的含字母的點與直線方程的接受需要一個過程。所以把對公式的推導確定為本節課的難點。
【難點的突破】
本課在設計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學思路，采用探究式教學方法。利用歸納的思想，由淺入深，讓學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同思路．同時，借助于多媒體的直觀演示，幫助學生理解，并通過逐步深入的課堂練習，師生互動、講練結合，從而突出重點、突破教學難點．
三、教法學法
數學是發展學生思維、培養學生良好意志品質和美好情感的重要學科，在教學中，我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力，還要讓學生在教師的啟發引導下學會學習、樂于學習，感受數學學科的人文思想，使學生在學習中培養堅強的意志品質、形成良好的道德情感。為此我設計如下教法和學法：
1．教學方法
在“以生為本”理念的指導下，充分體現課堂教學中“教師為主導，學生為主體”的教學關系和“以人為本，以學定教”的教學理念，構建學生主動的學習活動過程。在教學策略上我采用：創設問題情境————學生自主探究——歸納與總結——反思與評價組成的探究式教學策略，并使用計算機多媒體和實物投影儀作為輔助教具，提高課堂效率。本節課難點在于公式的推導，所以利用探究式教學以及多媒體幫助分散難點，更符合學生的認知規律。同時在教學中注意關注整個過程和全體學生，充分調動學生積極參與教學過程的每個環節。
2．學法指導
新課標的理念倡導“以人為本”，強調“以學生發展為核心”．因此本節課給學生提供以下4種學習的機會：1．提供觀察、思考的機會：用親切的語言鼓勵學生觀察并用學生自己的語言進行歸納．2．提供操作、嘗試、合作的機會：鼓勵學生大膽利用資源，發現問題，討論問題，解決問題．3．提供表達、交流的機會：鼓勵學生敢想敢說，設置問題促使學生愿想愿說．4．提供成功的機會：贊賞學生提出的問題，讓學生在課堂中能更多地體驗成功的樂趣．
四、教學程序
“數學是思維的體操”，課程標準指出，教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識間的有機聯系，感受數學的整體性．課標又指出，鼓勵學生積極參與教學活動．為此，在具體教學過程中，把本節課分為以下：“創設情境 提出問題——互動交流 探究問題——概括歸納 解決問題——課堂訓練 簡單應用——學生體會 教師點評——課外作業 鞏固提高”六個階段來完成．
第一階段 創設情境 提出問題
1、這一環節要解決的主要問題是：
創設情境，引導學生由直觀的實際問題轉化為數學問題，揭示本課任務．
2、具體教學安排：
由學生熟知的運動引出本課課題“點到直線的距離”．
（設計意圖：以學生熟悉的實際生活為教學背景，引入新課，有效激發學生的學習興趣．）
第二階段 互動交流 探究問題
1、這一環節要解決的主要問題是：
充分發揮學生的主體作用，引導學生發現點到直線距離公式的推導方法，并推導出公式．在公式的推導過程中，圍繞兩條線索：明線為知識的學習，暗線為特殊與一般的邏輯方法以及轉化、數形結合等數學思想的滲透．
（本環節的設計意圖：尊重教材但不照搬，創造性的使用教材，符合學生從特殊到一般，循序漸進的認知規律。一題多解使發散思維得到訓練。同時培養了學生的情操，體驗“快樂—受挫—希望—成功”的過程。）
2、具體教學安排：
第一步 復習定義 解決實例
首先，由學生回答，初中有關“點到直線的距離”的定義：過點作直線的垂線，垂足為點，線段的長度叫做點到直線的距離．
（設計意圖：引導學生復習舊知識，為新課的學習打下基礎．）
然后，提問：怎樣用解析幾何方法求解點到直線距離？
給出實例：求點P（1，2）到直線的距離。
由定義，學生容易想到解法，并進行解答, 很快得到答案，我給予學生肯定的評價。
（設計意圖： 由定義出發解決具體的點到直線的距離，簡單明了，思路自然，學生樂于接受并體驗快樂。而且為下面點到直線距離公式的推導作了鋪墊。）
第二步 師生互動 分析思路
拋出問題：求點到直線的距離？
由于思維的局限性，以及實例的引入，容易想到思路一：過作于點，根據點斜式寫出直線方程，由與聯立方程組解得點坐標，然后利用兩點距離公式求得．
我及時評價這種方法思路自然，是一種基本的解決辦法，呈現解題流程，并讓學生動手操作。
（設計意圖：思路一是推導公式的基本辦法，但是合理不合情，計算太復雜。讓學生實踐體會，也為今后圓錐曲線的學習做準備，即如何優化解題。同時較多的同學在有限的時間里并不能得到準確的答案，使學生經歷了挫折教育。學生會發現這種解法的缺陷，于是愿意探求其他更優的解法。）
我繼續引導學生探求其他解法，逐步提問，層層深入：
(1)不求點Q的坐標行嗎?（行。）
(2)線段PQ的長度如何求?(引導學生想到構造三角形)
(3)如何構造?(學生討論)
當然由于學生程度的不同,可以得到多種直角三角形(如圖，
大的，小的),從而產生不同的解決辦法。
讓學生分析比較，整理出兩中常規的思路。
思路二：中用等面積法
思路三： 中，求，用邊角關系
（或中解決，只是角的關系有所不同，而且直線位置的變化也對解題造成影響，布置研究性作業。）
(設計意圖：在探究公式的過程當中，采用開放式教學，充分發揮學生的主觀能動性，拓寬思維。通過師生互動，從思路一的“自然接受”→思路二的“巧妙構造”→思路三的“奇特變化”，使學生看到希望。在實際教學中，可能會遇到其他解法，應鼓勵學生積極發表自己的意見，鍛煉學生的膽量與表達能力，亦可留做課后思考，具體處理視課堂情況靈活處理)
第三步 分工合作 具體操作
學生已經有了解決問題的思路，下面應該動手操作，進行分組練習。在學生求解過程中，我巡視，觀看學生解題，了解情況，根據課堂時間的實際情況，選取做好的學生的解題過程用實物投影儀顯示．這樣不僅能讓全體學生看到不同思路的具體解法，還能得出最佳解題方案，接著我展示最佳解題方案的規范步驟．目的讓學生有良好的規范的書面表達習慣，起到教師典范的作用．
（設計意圖：培養學生的具體操作和運算能力，自主學習和合作學習的能力，并感受成功。）
第三階段 概括歸納 解決問題
我提出提問：①上式是由條件下得出，對成立嗎？②點P在直線上成立嗎？③公式結構特點是什么？用公式時直線方程是什么形式？
通過學生的討論，使學生了解公式適用的范圍：任意點、任意直線．認識公式的形式特點，并用公式解決第二環節的實例。
（設計意圖：在探究問題的過程中體現了從特殊到一般的認識，而本環節探求公式成立的條件，又實現了從一般到特殊的認識，同時體現了知識的完備性。公式的形式特點體現了數學美，應用公式體現了簡潔美。）
第四階段 課堂訓練 簡單應用
1、這一環節解決的主要問題是：
通過練習，熟悉公式結構，記憶并簡單應用公式．
2、具體教學安排：
例1、求點P0(－1,2)到下列直線的距離 ：
①3x=2 ② 2x＋y=10 ③ y=-x+1 ④
例1變式：若點P0(m,2)到直線y=-x+1的距離為，求實數m的值。
（設計意圖：例題來源于課本，緊扣教材，又進行了適當的補充。例1一方面強調特殊問題特殊解決，另一方面強化學生對公式的記憶和應用． “代入公式計算前，首先應將直線方程化為一般式，以便確定系數的值”是學生在應用公式中，容易忽略的環節．將這一薄弱環節設置在例題中，使學生在“錯誤體驗”加深記憶，以期達到強化訓練的目的．變式使學生加強對參數的印象。）
例2、已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0）求的面積。
（設計意圖： 例2求三角形的面積是點到直線距離的直接應用，又回歸推導公式的思路二，達到有機統一。同時充分發揮學生的主觀能動性，挖掘其他解法，如幾何割補法，使直觀的幾何圖形與代數關系緊密聯系起來。同時也讓學生感受了利用代數方法解決幾何問題后，再回歸到幾何本身的重要性。當然在具體教學時，可能會由于第二環節學生思維特別活躍，時間不夠，那么本題留做課后解決。）
第五階段 學生體會 教師點評
1、這一環節解決的主要問題和達到的目的是：
通過師生共同小結，鞏固所學知識，提煉用到的解決問題的方法，其中蘊涵的數學思想方法，培養學生歸納概括能力．
2、具體教學安排：
本節課小結主要由學生談體會，在本節課中學到了什么，體驗到了什么，完成知識小結。而通過學習知識所體驗到的數學思想方法，由學生總結和相互補充，教師適當點評，加以經驗總結，進一步促進師生交流。
（設計意圖：通過學生小結，當場檢驗課堂的效率，鍛煉學生的表達能力和歸納概括能力，使學生本節所學的知識系統化、條理化，進一步鞏固知識，明確方法．）
第六階段 課外作業 鞏固提高
課本習題3.3的A組第9、10題，B組第2、4題；
繼續探究點到直線距離公式的推導思路．
思考題：求平行直線2x-3y+5=0與2x-3y-6=0的距離。
（設計意圖：作業1是課本習題，檢查學生所學知識掌握的程度．作業2是課堂的延伸，拓展學生思維。除了課堂上想到的方法還可以繼續思考，如優化思路1、函數思想甚至向量法等。作業3為下節課作好準備。）
板書設計
五、教學評價分析
1、評價學習過程：通過問題引入,以嘗試、提問、練習等方式，在探究過程中，層層深入，充分挖掘思維的深度和廣度，關注整個過程和全體學生,提高學習積極性。
2、評價情感教育：通過對學生的語言行為給予肯定的評價，和對暴露問題的及時矯正，培養學生的習慣并陶冶情操。
以上是我對這節課的設想，懇請各位專家和老師批評、指正．
謝謝！

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