資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
《正比例的意義》教學(xué)設(shè)計
課題 正比例的意義 單元 第六單元 學(xué)科 數(shù)學(xué) 年級 六年級
教材分析 例1以汽車行駛為背景，貼近學(xué)生生活，降低抽象概念的難度。汽車行駛的時間與路程關(guān)系的實例，通過表格數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生觀察、計算并總結(jié)正比例的定義。通過展示汽車行駛時間與路程的對應(yīng)表格，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“時間越長，路程越多”的直觀規(guī)律。要求學(xué)生計算路程與時間的比值，發(fā)現(xiàn)速度不變的規(guī)律。通過“比值一定”的共性，引出正比例關(guān)系。整個教學(xué)環(huán)節(jié)非常清晰，通過表格觀察→比值計算→規(guī)律總結(jié)→公式表達，逐步構(gòu)建知識體系。
學(xué)習(xí) 目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)目標(biāo)描述：使學(xué)生經(jīng)歷從具體實例中認(rèn)識成正比例的量的過程，初步理解正比例的意義，學(xué)會根據(jù)正比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例。 2.學(xué)習(xí)內(nèi)容分析：使學(xué)生在認(rèn)識成正比例的量的過程中，初步體會數(shù)量之間相依互變的關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型，進一步培養(yǎng)觀察能力和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。 3.學(xué)科核心素養(yǎng)分析：進一步體會數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強從生活現(xiàn)象中探索數(shù)學(xué)知識和規(guī)律的意識。
重點 結(jié)合實際情境認(rèn)識成正比例的量的特點。
難點 能根據(jù)正比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例。
教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖
導(dǎo)入新課 談話引入，揭示課題 談話：已知路程和時間，怎樣求速度？已知總價和數(shù)量，怎樣求單價？已知工作總量和工作時間，怎樣求工作效率？ 引入：這些是我們已經(jīng)學(xué)過的一些常見數(shù)量關(guān)系，每組數(shù)量之間是有聯(lián)系的。 今天，我們就來研究和認(rèn)識這種變化規(guī)律。 引導(dǎo)學(xué)生回顧這些基本關(guān)系式，為引入正比例關(guān)系做鋪墊。 通過復(fù)習(xí)已學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生自然過渡到新知識的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
講授新課 任務(wù)一：正比例的意義 1.探究時間與路程兩個量之間的關(guān)系。 PPT課件出示例1。 提問：仔細(xì)觀察這張表格， 看一看，表中有哪兩種量？這兩種量的數(shù)值是怎樣變化的？ 通過交流，使學(xué)生初步感知兩種量的變化情況。 預(yù)設(shè)：(1)行駛的路程隨著時間的變化而變化。 (2)行駛的時間越長，行駛路程越多；行駛的時間越短，行駛路程越少。 小結(jié)：路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時間變化，路程也隨著變化。 2.分析時間與路程這兩個量的比值。 師：那么這兩種量的變化有沒有什么規(guī)律呢？下面我們來做進一步的研究。 師：建議大家可以寫出幾組相對應(yīng)的路程和時間的比，看一看你有什么發(fā)現(xiàn)。 讓學(xué)生動手寫出幾組對應(yīng)的路程和時間的比，并求出比值。 引導(dǎo)學(xué)生回答：通過計算，我們發(fā)現(xiàn)這些比值都是相等的。 師：根據(jù)上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進一步啟發(fā)學(xué)生思考：這個比值表示什么？上面的規(guī)律能不能用一個式子來表示？ 根據(jù)學(xué)生的回答，教師板書關(guān)系式： = 速度(一定)。 3.揭示正比例的意義。 教師對兩種量之間的關(guān)系作具體說明：例1中的路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時間變化，路程也隨著變化。當(dāng)路程和相對應(yīng)時間的比的比值總是一定(也就是速度一定)時，我們就說行駛的路程和時間成正比例，行駛的路程和時間是成正比例的量。(板書：路程和時間成正比例) 觀察表格數(shù)據(jù)，討論路程和時間的變化規(guī)律。 組織全班交流。 學(xué)生觀察比值，計算比值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，匯報小結(jié)。 通過具體實例和表格數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和歸納，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和探究能力。 通過生活中的實例，拓寬學(xué)生的思維，增強數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。
任務(wù)二：判斷正比例關(guān)系 (1)要求學(xué)生根據(jù)表中的已知條件先把“試一試”的表格填寫完整。 (2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，依次討論表格下面的四個問題，并仿照例1作適當(dāng)?shù)陌鍟?(3)讓學(xué)生根據(jù)板書完整地說一說鉛筆的總價和數(shù)量成什么關(guān)系？ 小結(jié)： 5.用含有字母的式子表示正比例關(guān)系。 (1)引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的兩個例子，說說它們有什么共同點。 (2)啟發(fā)學(xué)生思考：如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，那么正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示？ 根據(jù)學(xué)生的回答，板書關(guān)系式：=k(一定)。 2.拓展延伸。 生活中還有哪些成正比例的量？你能舉例說一說嗎？ 3.總結(jié)1：判斷兩種量成正比例關(guān)系的方法： (1)變化的兩種量是相關(guān)的量； (2)這兩種量能寫成比的形式； (3)比值一定。 滿足上述三種要求即成正比例關(guān)系。 總結(jié)2：巧學(xué)妙記 正比例，很和氣，兩量相關(guān)要謹(jǐn)記。 同擴同縮默契好，比值一定不變異。 填寫表格，計算總價與數(shù)量的比值。 討論總價與數(shù)量成正比例的原因，總結(jié)判斷正比例關(guān)系的關(guān)鍵。 通過實際問題的討論和計算，幫助學(xué)生理解正比例關(guān)系的判斷方法，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力。 通過生活中的實例，拓寬學(xué)生的思維，增強數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。
課堂練習(xí) 基礎(chǔ)題： 1.文具店賣出足球數(shù)量和總價如下表： （1）把上表填寫完整，說說總價是隨著哪個量的變化而變化的。 （2）寫出幾組相對應(yīng)的數(shù)量的比，并計較比值的大小。 2.根據(jù)下表中底是6 cm的平行四邊形的面積與高相對應(yīng)的數(shù)據(jù)，判斷它們是不是成正比例關(guān)系，并說明理由。 3.現(xiàn)在某體育用品店聲稱：如果買的籃球不超過50個，每個42元；如果買的籃球不少于50個，每個40元。 請問總價與籃球的數(shù)量是不是成正比例關(guān)系，如果成正比例關(guān)系，在什么情況下呢？ 4.填一填。 A×B=C(A，B，C均不為0)。 (1)當(dāng)A一定時，(　　)和(　　)成(　　)比例。 (2)當(dāng)B一定時，(　　)和(　　)成(　　)比例。 通過基礎(chǔ)題和提高題，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，并提高解決實際問題的能力。
提高題： 5.填一填。 A×B=C(A，B，C均不為0)。 (1)當(dāng)A一定時，(　　)和(　　)成(　　)比例。 (2)當(dāng)B一定時，(　　)和(　　)成(　　)比例。
拓展題 6.在60米賽跑中，甲沖過終點線時，領(lǐng)先乙10米， 乙領(lǐng)先丙20米。假如乙和丙的速度始終不變，那么乙到達終點時，將領(lǐng)先丙多少米？
課堂小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有什么收獲？ 跟隨教師回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，梳理知識結(jié)構(gòu)。 課堂小結(jié)可以幫助學(xué)生理清所學(xué)知識的層次結(jié)構(gòu)，掌握其外在的形式和內(nèi)在聯(lián)系，形成知識系列及一定的結(jié)構(gòu)框架。
板書 正比例的意義 路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量 路程和時間成正比例 利用簡潔的文字呈現(xiàn)本節(jié)課的新知，可以幫助學(xué)生理解掌握知識，形成完整的知識體系。
作業(yè)設(shè)計 【知識技能類作業(yè)】 1.彤彤把家里今年上半年的用水情況作了如下統(tǒng)計，已知每噸水的水費一定，請把表格填寫完整。 2.東東和浩浩在400米的環(huán)形跑道上，背對背出發(fā)，已知東東和浩浩的速度比是2∶3，當(dāng)他倆相遇時，東東走了多少米？浩浩呢？ 想：時間一定，路程和(　　　　)成正比例。 3.如果 a= b(a，b≠0)，那么a與b成正比例嗎？為什么？ 4.體育課上正在進行百米賽跑。當(dāng)李靈到達終點時，魏花在李靈后面20米處。如果她們各自的速度不變，要使兩人同時到達終點，李靈的起點線應(yīng)比原來后移多少米？
【綜合實踐類作業(yè)】 請找一找在日常生活中找找成正比例的量。
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《正比例和反比例》單元整體設(shè)計
單元主題解讀
課程標(biāo)準(zhǔn)要求分析
《正比例和反比例》單元是“數(shù)與代數(shù)”方面的重要內(nèi)容。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在“課程內(nèi)容”的“第三學(xué)段”中提出：
在“內(nèi)容要求”中指出：“通過具體情境，認(rèn)識成正比的量；能探索規(guī)律或變化趨勢。”
在“學(xué)業(yè)要求”中指出：“能在具體情境中描述成正比的量，能找出生活中成正比的量的實例；能根據(jù)給出的成正比關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，了解y=kx（k≠0）的形式，能根據(jù)其中一個量的值計算另一量的值。”
在“教學(xué)提示”中指出：“成正比的量教學(xué)要在具體情境中呈現(xiàn)兩個成正比的量的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生理解可以把這個規(guī)律表示為=k(k≠0)的形式，也可以表示為y=kx(k≠0)的形式，感悟這兩個表達式的共性與差異；引導(dǎo)學(xué)生嘗試在方格紙上畫出給定的成正比的量的數(shù)據(jù)，建立幾何直觀，為初中學(xué)習(xí)函數(shù)積累經(jīng)驗。”
單元教材內(nèi)容分析
本單元主要安排了3個例題，第一課時教學(xué)例1“認(rèn)識成正比例的量”，通過展示汽車行駛時間與路程的對應(yīng)表格，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“時間越長，路程越多”的直觀規(guī)律，汽車行駛的時間與路程關(guān)系的實例，通過表格數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生觀察、計算并總結(jié)正比例的定義。第二課時教學(xué)例2“正比例的圖像”，通過表格和圖表結(jié)合的方式，表格中列舉了不同路程數(shù)值，從實際數(shù)據(jù)中抽象出比例關(guān)系，并進行數(shù)學(xué)建模，為學(xué)生提供了圖像是探究比例關(guān)系的有效工具。第三課時教學(xué)例3“反比例的意義”，以購買筆記本和生產(chǎn)零件兩個生活化場景為載體，通過表格數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生觀察、計算并總結(jié)反比例的定義。購買筆記本和生產(chǎn)零件的案例貼近學(xué)生生活，降低抽象概念的接受難度。通過直觀的“單價與數(shù)量反向變化”現(xiàn)象，引發(fā)學(xué)生對反比例關(guān)系的興趣。第4課時是一節(jié)綜合實踐課，通過計算大樹的高度，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正比例規(guī)律，并應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實問題。
學(xué)生認(rèn)知情況
本單元是在學(xué)生已學(xué)習(xí)了比和比例等知識的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，主要讓學(xué)生結(jié)合實際情境認(rèn)識成正比例和反比例的量。正、反比例的知識在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，而且還是今后進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等知識的重要基礎(chǔ)，因而學(xué)好這部分知識是非常重要的。通過學(xué)習(xí)這部分知識，還可以幫助學(xué)生加深對過去學(xué)過的數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，使學(xué)生初步學(xué)會從變量的角度來認(rèn)識兩個量之間的關(guān)系，從而初步體會函數(shù)的思想。
學(xué)生已學(xué)習(xí)了比和比例等知識為本單元的學(xué)習(xí)奠定了知識基礎(chǔ)；正、反比例的知識在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)生接觸到較多的素材，這些為本單元的系統(tǒng)學(xué)習(xí)做了生活經(jīng)驗方面的準(zhǔn)備，但是缺乏細(xì)致、深入的了解。
單元目標(biāo)擬定
1. 使學(xué)生結(jié)合實際情景認(rèn)識成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。
2. 使學(xué)生初步認(rèn)識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應(yīng)的直線，能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。
3. 使學(xué)生在認(rèn)識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數(shù)量之間的相互依存的關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型，進一步提升思維水平。
4. 使學(xué)生進一步體會數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強探索數(shù)學(xué)知識和規(guī)律的意識，養(yǎng)成積極主動的參與學(xué)習(xí)活動的習(xí)慣，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
三、關(guān)鍵內(nèi)容確定
（一）教學(xué)重點
1.能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應(yīng)的直線，能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。
2.體會數(shù)量之間的相互依存的關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型，進一步提升思維水平。
（二）教學(xué)難點
1．根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。
2．能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應(yīng)的直線。
四、單元整合框架及說明
整合指導(dǎo)思想定位：
會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界
會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界
會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界
這是數(shù)學(xué)課程的核心素養(yǎng)內(nèi)涵。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“每一堂課都應(yīng)該以學(xué)生為中心，以探究為手段，積極發(fā)展學(xué)生的求異思維，以培養(yǎng)學(xué)生各種能力為目的，最終讓學(xué)生形成一種新型的數(shù)學(xué)思想，養(yǎng)成數(shù)學(xué)能力，體驗數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。”
本單元教材的具體編排結(jié)構(gòu)：
本單元教科書編寫的基本特點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：*.1
1.生活情境導(dǎo)入，強化數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系
通過學(xué)生熟悉的現(xiàn)實情境用“購買文具的總價與數(shù)量”“汽車行駛路程與時間”等生活實例，引導(dǎo)學(xué)生觀察變量間的依存關(guān)系，建立正比例、反比例的表象認(rèn)知。引入比例概念，幫助學(xué)生在具體問題中理解抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系。注重對比辨析，突出概念本質(zhì)，將正比例與反比例進行對比分析，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、計算、畫圖等方式，發(fā)現(xiàn)兩種比例關(guān)系的異同點。通過表格填寫、數(shù)據(jù)計算發(fā)現(xiàn)變量間的變化規(guī)律，從具體實例中提煉正比例、反比例的定義，用字母公式表示關(guān)系，借助坐標(biāo)系繪制圖像，直觀理解比例關(guān)系。設(shè)置“動手做”“試一試”等欄目，鼓勵學(xué)生通過實驗、畫圖、舉例驗證等方式自主探究。
2. 圖表結(jié)合，發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想
利用表格整理數(shù)據(jù)規(guī)律，通過坐標(biāo)系繪制正比例直線和反比例曲線，幫助學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個角度理解比例關(guān)系。“根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷比例關(guān)系”“根據(jù)圖像寫出比例式”等，強化數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。畫出圖像后，教材引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖像判斷問題，幫助學(xué)生進一步理解圖像上的點所表示的實際含義，初步體會圖像的作用，為今后進一步學(xué)習(xí)函數(shù)及函數(shù)圖像打下一定的基礎(chǔ)。
3.分層練習(xí)設(shè)計，讓學(xué)生逐步提高判斷正、反比例的量的能力。
設(shè)計判斷比例關(guān)系、填寫表格、簡單應(yīng)用題等，夯實概念，結(jié)合工程問題、圖形縮放、比例分配等實際情境，提升解決問題的能力，設(shè)置逆向思考題，深化邏輯思維。這種形式的練習(xí)，對學(xué)生來說比較具體，便于觀察，容易理解，有利于學(xué)生完整體驗判斷成正比例、反比例的量的思考過程，獲得對正、反比例意義的深刻理解。通過辨析題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注比例關(guān)系的本質(zhì)，學(xué)生在練習(xí)中能夠進一步學(xué)會從結(jié)構(gòu)上把握各種量之間的比例關(guān)系，提高判斷成正反比例的能力。
單元課時規(guī)劃
單元劃分依據(jù) □課程標(biāo)準(zhǔn) 教材章節(jié) □知識結(jié)構(gòu)
課程內(nèi)容模塊 數(shù)與代數(shù) 圖形與幾何 □統(tǒng)計與概率 綜合與實踐
單元數(shù)量 1
單元主題 單元名稱 主要內(nèi)容 課時
數(shù)與代數(shù) 正比例和反比例 認(rèn)識正比例的量 1
正比例的圖像 1
認(rèn)識反比例的量 1
大樹有多高 1
重點滲透的數(shù)學(xué)思想方法 □抽象 符號化 分類 □集合 □對應(yīng) 演繹 歸納 類比 轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合 □極限 模型 方程 函數(shù) □統(tǒng)計 分析 綜合 比較 假設(shè) □其他
課時 學(xué)習(xí)目標(biāo) 評價形式 評價標(biāo)準(zhǔn)
6.1《正比例的意義》 目標(biāo)：使學(xué)生經(jīng)歷從具體實例中認(rèn)識成正比例的量的過程，初步理解正比例的意義，學(xué)會根據(jù)正比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例。 任務(wù)一：正比例的意義。 表中有哪兩種量？這兩種量的數(shù)值是怎樣變化的？→ 任務(wù)二：判斷正比例關(guān)系？ 讓學(xué)生根據(jù)板書完整地說一說鉛筆的總價和數(shù)量成什么關(guān)系？→ 1.初步理解正比例的意義。 2.學(xué)會根據(jù)正比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例。
6.2《正比例的圖像》 目標(biāo)：能用“描點法”畫出表示正比例關(guān)系的圖像，幫助學(xué)生初步認(rèn)識正比例的圖像，進一步認(rèn)識成正比例的量的變化規(guī)律。能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。 任務(wù)一：認(rèn)識正比例的圖像。 路程和時間的比值是否一定？ 如何用圖像表示這種關(guān)系？→ 任務(wù)二：畫正比例的圖像。 根據(jù)圖像判斷，這輛汽車2.5小時行駛多少千米？→ 1.能用“描點法”畫出表示正比例關(guān)系的圖像。 2.根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。
6.3《反比例的意義》 目標(biāo)：理解反比例的意義，能根據(jù)反比例的定義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成反比例。掌握反比例關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式 x×y=k（一定）。 任務(wù)一：反比例的意義 從“用60元購買筆記本”這句話中，你懂得了什么？→ 任務(wù)二：反比例的應(yīng)用 “工作總量如何保持不變？”“工作效率與工作時間的關(guān)系是否符合反比例？” 理解反比例的意義。 2.能根據(jù)反比例的定義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成反比例。
6.4《大樹有多高》 目標(biāo)：通過測量各種目標(biāo)物影子長度的實踐活動，使學(xué)生主動探索掌握影子長度與目標(biāo)物實際高度之間的比例關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在同一時刻、同一地點，物體的高度與影長成正比例關(guān)系，并能運用這一規(guī)律解決一些簡單的實際問題。 任務(wù)一：提出問題 “如何不直接測量就能知道大樹的高度？”“影子的長度和物體的高度有什么關(guān)系？”→ 任務(wù)二：實驗操作 在太陽光下，竹竿直立在地面上，同時量出竹竿的影長。比較每次的測量結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？→ 任務(wù)三：應(yīng)用規(guī)律解決問題 一根1米長的竹竿，當(dāng)時直立在地面上的影長是多少？ 發(fā)現(xiàn)在同一時刻、同一地點，物體的高度與影長成正比例關(guān)系。 能運用這一規(guī)律解決一些簡單的實際問題。
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