資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
《正比例和反比例》單元整體設計
單元主題解讀
課程標準要求分析
《正比例和反比例》單元是“數(shù)與代數(shù)”方面的重要內(nèi)容。《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》在“課程內(nèi)容”的“第三學段”中提出：
在“內(nèi)容要求”中指出：“通過具體情境，認識成正比的量；能探索規(guī)律或變化趨勢。”
在“學業(yè)要求”中指出：“能在具體情境中描述成正比的量，能找出生活中成正比的量的實例；能根據(jù)給出的成正比關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，了解y=kx（k≠0）的形式，能根據(jù)其中一個量的值計算另一量的值。”
在“教學提示”中指出：“成正比的量教學要在具體情境中呈現(xiàn)兩個成正比的量的變化規(guī)律，引導學生理解可以把這個規(guī)律表示為=k(k≠0)的形式，也可以表示為y=kx(k≠0)的形式，感悟這兩個表達式的共性與差異；引導學生嘗試在方格紙上畫出給定的成正比的量的數(shù)據(jù)，建立幾何直觀，為初中學習函數(shù)積累經(jīng)驗。”
單元教材內(nèi)容分析
本單元主要安排了3個例題，第一課時教學例1“認識成正比例的量”，通過展示汽車行駛時間與路程的對應表格，引導學生發(fā)現(xiàn)“時間越長，路程越多”的直觀規(guī)律，汽車行駛的時間與路程關系的實例，通過表格數(shù)據(jù)引導學生觀察、計算并總結正比例的定義。第二課時教學例2“正比例的圖像”，通過表格和圖表結合的方式，表格中列舉了不同路程數(shù)值，從實際數(shù)據(jù)中抽象出比例關系，并進行數(shù)學建模，為學生提供了圖像是探究比例關系的有效工具。第三課時教學例3“反比例的意義”，以購買筆記本和生產(chǎn)零件兩個生活化場景為載體，通過表格數(shù)據(jù)引導學生觀察、計算并總結反比例的定義。購買筆記本和生產(chǎn)零件的案例貼近學生生活，降低抽象概念的接受難度。通過直觀的“單價與數(shù)量反向變化”現(xiàn)象，引發(fā)學生對反比例關系的興趣。第4課時是一節(jié)綜合實踐課，通過計算大樹的高度，引導學生發(fā)現(xiàn)正比例規(guī)律，并應用數(shù)學方法解決現(xiàn)實問題。
學生認知情況
本單元是在學生已學習了比和比例等知識的基礎上進行教學的，主要讓學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量。正、反比例的知識在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應用，而且還是今后進一步學習數(shù)學、物理、化學等知識的重要基礎，因而學好這部分知識是非常重要的。通過學習這部分知識，還可以幫助學生加深對過去學過的數(shù)量關系的認識，使學生初步學會從變量的角度來認識兩個量之間的關系，從而初步體會函數(shù)的思想。
學生已學習了比和比例等知識為本單元的學習奠定了知識基礎；正、反比例的知識在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應用，學生接觸到較多的素材，這些為本單元的系統(tǒng)學習做了生活經(jīng)驗方面的準備，但是缺乏細致、深入的了解。
單元目標擬定
1. 使學生結合實際情景認識成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例或反比例。
2. 使學生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應的直線，能根據(jù)具有正比例關系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。
3. 使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數(shù)量之間的相互依存的關系，感受有效表示數(shù)量關系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學模型，進一步提升思維水平。
4. 使學生進一步體會數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系，增強探索數(shù)學知識和規(guī)律的意識，養(yǎng)成積極主動的參與學習活動的習慣，提高學好數(shù)學的自信心。
三、關鍵內(nèi)容確定
（一）教學重點
1.能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例或反比例。能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應的直線，能根據(jù)具有正比例關系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。
2.體會數(shù)量之間的相互依存的關系，感受有效表示數(shù)量關系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學模型，進一步提升思維水平。
（二）教學難點
1．根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例或反比例。
2．能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應的直線。
四、單元整合框架及說明
整合指導思想定位：
會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界
會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界
會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界
這是數(shù)學課程的核心素養(yǎng)內(nèi)涵。《數(shù)學課程標準》指出：“每一堂課都應該以學生為中心，以探究為手段，積極發(fā)展學生的求異思維，以培養(yǎng)學生各種能力為目的，最終讓學生形成一種新型的數(shù)學思想，養(yǎng)成數(shù)學能力，體驗數(shù)學與生活的關系。”
本單元教材的具體編排結構：
本單元教科書編寫的基本特點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：*.1
1.生活情境導入，強化數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系
通過學生熟悉的現(xiàn)實情境用“購買文具的總價與數(shù)量”“汽車行駛路程與時間”等生活實例，引導學生觀察變量間的依存關系，建立正比例、反比例的表象認知。引入比例概念，幫助學生在具體問題中理解抽象的數(shù)學關系。注重對比辨析，突出概念本質(zhì)，將正比例與反比例進行對比分析，引導學生通過觀察、計算、畫圖等方式，發(fā)現(xiàn)兩種比例關系的異同點。通過表格填寫、數(shù)據(jù)計算發(fā)現(xiàn)變量間的變化規(guī)律，從具體實例中提煉正比例、反比例的定義，用字母公式表示關系，借助坐標系繪制圖像，直觀理解比例關系。設置“動手做”“試一試”等欄目，鼓勵學生通過實驗、畫圖、舉例驗證等方式自主探究。
2. 圖表結合，發(fā)展數(shù)形結合思想
利用表格整理數(shù)據(jù)規(guī)律，通過坐標系繪制正比例直線和反比例曲線，幫助學生從“數(shù)”與“形”兩個角度理解比例關系。“根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷比例關系”“根據(jù)圖像寫出比例式”等，強化數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。畫出圖像后，教材引導學生根據(jù)圖像判斷問題，幫助學生進一步理解圖像上的點所表示的實際含義，初步體會圖像的作用，為今后進一步學習函數(shù)及函數(shù)圖像打下一定的基礎。
3.分層練習設計，讓學生逐步提高判斷正、反比例的量的能力。
設計判斷比例關系、填寫表格、簡單應用題等，夯實概念，結合工程問題、圖形縮放、比例分配等實際情境，提升解決問題的能力，設置逆向思考題，深化邏輯思維。這種形式的練習，對學生來說比較具體，便于觀察，容易理解，有利于學生完整體驗判斷成正比例、反比例的量的思考過程，獲得對正、反比例意義的深刻理解。通過辨析題引導學生關注比例關系的本質(zhì)，學生在練習中能夠進一步學會從結構上把握各種量之間的比例關系，提高判斷成正反比例的能力。
單元課時規(guī)劃
單元劃分依據(jù) □課程標準 教材章節(jié) □知識結構
課程內(nèi)容模塊 數(shù)與代數(shù) 圖形與幾何 □統(tǒng)計與概率 綜合與實踐
單元數(shù)量 1
單元主題 單元名稱 主要內(nèi)容 課時
數(shù)與代數(shù) 正比例和反比例 認識正比例的量 1
正比例的圖像 1
認識反比例的量 1
大樹有多高 1
重點滲透的數(shù)學思想方法 □抽象 符號化 分類 □集合 □對應 演繹 歸納 類比 轉(zhuǎn)化 數(shù)形結合 □極限 模型 方程 函數(shù) □統(tǒng)計 分析 綜合 比較 假設 □其他
課時 學習目標 評價形式 評價標準
6.1《正比例的意義》 目標：使學生經(jīng)歷從具體實例中認識成正比例的量的過程，初步理解正比例的意義，學會根據(jù)正比例的意義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例。 任務一：正比例的意義。 表中有哪兩種量？這兩種量的數(shù)值是怎樣變化的？→ 任務二：判斷正比例關系？ 讓學生根據(jù)板書完整地說一說鉛筆的總價和數(shù)量成什么關系？→ 1.初步理解正比例的意義。 2.學會根據(jù)正比例的意義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例。
6.2《正比例的圖像》 目標：能用“描點法”畫出表示正比例關系的圖像，幫助學生初步認識正比例的圖像，進一步認識成正比例的量的變化規(guī)律。能根據(jù)具有正比例關系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。 任務一：認識正比例的圖像。 路程和時間的比值是否一定？ 如何用圖像表示這種關系？→ 任務二：畫正比例的圖像。 根據(jù)圖像判斷，這輛汽車2.5小時行駛多少千米？→ 1.能用“描點法”畫出表示正比例關系的圖像。 2.根據(jù)具有正比例關系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。
6.3《反比例的意義》 目標：理解反比例的意義，能根據(jù)反比例的定義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成反比例。掌握反比例關系的數(shù)學表達式 x×y=k（一定）。 任務一：反比例的意義 從“用60元購買筆記本”這句話中，你懂得了什么？→ 任務二：反比例的應用 “工作總量如何保持不變？”“工作效率與工作時間的關系是否符合反比例？” 理解反比例的意義。 2.能根據(jù)反比例的定義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成反比例。
6.4《大樹有多高》 目標：通過測量各種目標物影子長度的實踐活動，使學生主動探索掌握影子長度與目標物實際高度之間的比例關系，發(fā)現(xiàn)在同一時刻、同一地點，物體的高度與影長成正比例關系，并能運用這一規(guī)律解決一些簡單的實際問題。 任務一：提出問題 “如何不直接測量就能知道大樹的高度？”“影子的長度和物體的高度有什么關系？”→ 任務二：實驗操作 在太陽光下，竹竿直立在地面上，同時量出竹竿的影長。比較每次的測量結果，你發(fā)現(xiàn)了什么？→ 任務三：應用規(guī)律解決問題 一根1米長的竹竿，當時直立在地面上的影長是多少？ 發(fā)現(xiàn)在同一時刻、同一地點，物體的高度與影長成正比例關系。 能運用這一規(guī)律解決一些簡單的實際問題。
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《反比例的意義》教學設計
課題 反比例的意義 單元 第六單元 學科 數(shù)學 年級 六年級
教材分析 例3以購買筆記本和生產(chǎn)零件兩個生活化場景為載體，通過表格數(shù)據(jù)引導學生觀察、計算并總結反比例的定義。購買筆記本和生產(chǎn)零件的案例貼近學生生活，降低抽象概念的接受難度。通過直觀的“單價與數(shù)量反向變化”現(xiàn)象，引發(fā)學生對反比例關系的興趣。通過生活實例和結構化探究活動，有效幫助學生構建反比例概念，但在引導學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律和強化概念區(qū)分上仍有優(yōu)化空間。教學中應注重“觀察→計算→抽象→應用”的思維路徑，結合多樣化實例和練習，幫助學生深入理解反比例的本質(zhì)，并能在復雜情境中靈活應用。
學習 目標 1.學習目標描述：理解反比例的意義，能根據(jù)反比例的定義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成反比例。掌握反比例關系的數(shù)學表達式 x×y=k（一定）。 2.學習內(nèi)容分析：通過實例分析、數(shù)據(jù)對比，體會反比例關系中“一個量變化，另一個量隨之反向變化”的規(guī)律。 3.學科核心素養(yǎng)分析：感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，增強數(shù)學應用意識。培養(yǎng)合作探究精神和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。
重點 反比例的意義及判斷方法。
難點 從實際問題中抽象出反比例關系，理解“積一定”的本質(zhì)。
教學過程
教學環(huán)節(jié) 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 一、復習引入，揭示課題 展示彈簧秤吊物品的圖片。 提問：“當?shù)跗?千克物品時，彈簧伸長10厘米。如果吊起10千克物品，彈簧會伸長多少厘米？” 觀察彈簧長度與質(zhì)量的關系圖，回答問題。 思考：“質(zhì)量增加時，彈簧伸長的長度如何變化？” 引導學生回顧這些基本關系式，為引入反比例關系做鋪墊。 通過生活實例引發(fā)興趣，初步感知“一個量變化，另一個量反向變化”的規(guī)律。 為反比例概念的引入做鋪墊。
講授新課 任務一：反比例的意義 活動1：分析購買筆記本數(shù)據(jù) 1.認識反比例的意義。 (1)初步感知反比例。PPT課件出示教材例3。 提問：從“用60元購買筆記本”這句話中，你懂得了什么？ 引導學生認識：60元是這批筆記本的總價，筆記本的數(shù)量和單價發(fā)生變化，但是筆記本的總價是固定的，始終是60元。 (2)探究反比例關系。 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)：以小組為單位依次討論下面三個問題： ①當單價變化時，數(shù)量是否也隨著變化？ ②這種變化有沒有規(guī)律？是什么規(guī)律？ ③這種規(guī)律與成正比例的量的規(guī)律有什么不同？你能用一個式子來表示上面三種數(shù)量之間的關系嗎？ 根據(jù)學生的回答，教師板書關系式：數(shù)量×單價 = 總價(一定)。 (3)揭示反比例的意義。 引導總結：購買筆記本的數(shù)量和單價是兩種相關聯(lián)的量，單價變化，數(shù)量也隨著變化。當單價和對應數(shù)量的積總是一定，也就是總價一定時，單價和數(shù)量成反比例關系，單價和數(shù)量是成反比例的量。(板書：單價和數(shù)量成反比例) 同桌相互說一說。 組織全班交流。 小組討論，展示交流，并用表達式說明。 通過數(shù)據(jù)計算和對比，直觀理解反比例的本質(zhì)。 培養(yǎng)從具體實例中抽象數(shù)學模型的能力。
任務二：反比例的應用 1.呈現(xiàn)表格數(shù)據(jù)（工作效率與工作時間）。 活動：分析生產(chǎn)零件數(shù)據(jù) (1)要求學生根據(jù)表中的已知條件先把表格填寫完整。 (2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，依次討論表格下面的問題。 (3)讓學生根據(jù)板書完整地說一說工作效率和工作時間成什么關系。 總結規(guī)律：明確“工作總量固定時，效率與時間成反比例”。 2.用字母表示反比例的意義。 如果用字母x和y分別表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的積，那么反比例關系可以用怎樣的式子來表示？ 根據(jù)學生的回答，板書：x×y =k(一定)揭示板書課題。 拓展延伸。 生活中還有哪些成反比例的量？你能舉例說一說嗎？ 提問：“正比例和反比例有何異同？” 展示對比表格，引導學生歸納。 教師：想一想，怎樣的兩種量能成反比例？我們是根據(jù)什么來判斷的？ 根據(jù)學生回答小結：判斷兩種量成反比例的方法： (1)看變化的兩種量是相關的量。 (2)這兩種量能寫成乘積的形式。 (3)乘積一定。滿足上述三個要求即成反比例關系。 巧學妙記 反比例，犟脾氣，相關兩量不默契。 你擴我縮來變化，乘積一定永不異。 填寫表格，計算總價與數(shù)量的比值。 討論總價與數(shù)量成正比例的原因，總結判斷正比例關系的關鍵。 填寫表格：結合實例總結異同點。 巧記口訣 通過不同實例鞏固反比例判斷方法。 強化“積一定”的核心條件。 通過生活中的實例，拓寬學生的思維，增強數(shù)學與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的應用意識。
課堂練習 基礎題： 1.下面表格中的兩個量是否成反比例？ (1) 輸液時一小瓶葡萄糖均勻滴落時， 每份滴與所需時間的關系如下: (2)小明的身高與體重的關系如下： (3)體積一定，圓柱體的底面積和高的關系如下： 2.下面兩個量是否成比例？ 1.瓷磚面積一定，磚的塊數(shù)和鋪地面積。 2.鋪地面積一定，每塊磚的面積和所需塊數(shù)。 3.鋪地面積一定，每塊磚的邊長和所需塊數(shù)。 3.填空。 (1)如果xy=8×7，那么x和y成(　　)比例。 (2)如果5a=6b(a，b均不為0)，那么a和b成(　)比例。 (3)在每塊瓷磚面積，瓷磚的塊數(shù)和總面積三個量中： 當每塊瓷磚面積一定時，(　)和( 　)成(　)比例。 通過基礎題和提高題，幫助學生鞏固所學知識，并提高解決實際問題的能力。
提高題： 4.觀察下表。 (1)若a和b成正比例，則△=(　　)。 (2)若a和b成反比例，則△=(　　)。
拓展題 5. 一艘輪船往返甲、乙兩個碼頭，去時順水，每小時行20千米；返回時逆水，每小時行15千米，去時比返回少用了2小時。甲、乙兩個碼頭相距多少千米？
課堂小結 通過本節(jié)課的學習，你們有什么收獲？ 跟隨教師回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，梳理知識結構。 課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內(nèi)在聯(lián)系，形成知識系列及一定的結構框架。
板書 反比例的意義 單價×數(shù)量= 總價(一定)　　 　　 單價和數(shù)量成反比例 x×y =k(一定)　　x和y成反比例 利用簡潔的文字呈現(xiàn)本節(jié)課的新知，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系。
作業(yè)設計 【知識技能類作業(yè)】 1.判斷正誤。 (1)買書的總錢數(shù)一定，單價與數(shù)量成反比例。(　　) (2)小明從家到學校，騎自行車的速度與時間成反比例。(　　) (3)正方形的邊長與面積成反比例。(　　) (4)a×b=180中的a與b成反比例。 (　　) 2.平行四邊形的底和高如下表: (1)表中的(　　)和(　　)是相關聯(lián)的量，(　　)隨著(　　)的變化而變化。 (2)表中兩個量相對應的乘積表示(　　　　)，這個乘積是(　　　)。 (3)因為平行四邊形的高和底的(　　 )一定，所以平行四邊形的高和底成(　　)比例。 3.已知 ×5= ×b(a，b≠0)，a和b成不成比例？ 如果成，成什么比例？ (1) ×5=×b可整理為 = ，根據(jù)比例的基本性質(zhì)可知(　　　)×(　　　)=(　　　)×(　　　)=(　　　)。 (2)a和b的(　　　　)一定，所以a和b成(　　　　　　　)。 選做題 4.有甲、乙、丙三個互相咬合的齒輪，當甲轉(zhuǎn)2圈時，乙轉(zhuǎn)3圈，丙轉(zhuǎn)4圈，這三個齒輪的齒數(shù)比是多少？
【綜合實踐類作業(yè)】 請找一找在日常生活中找找成反比例的量。
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