資源簡介

教學(xué)設(shè)計
名稱 三角形的中位線
知識點來源 □學(xué)科：數(shù)學(xué) □年級：八年級下冊 □教材版本：北師大版 □所屬章節(jié)：第六章第3節(jié)
設(shè)計思路 通過有趣的古巴比倫泥板上的土地分割問題，帶領(lǐng)學(xué)生進入中位線的探索之旅。 動畫演示中線和中位線的畫法，讓學(xué)生直觀感受這兩者的區(qū)別和聯(lián)系。 觀察猜想中位線和第三邊的關(guān)系（包含數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系），并加以論證（給出了九種證法：倍長法之中位線倍長2種、倍長法之中線倍長、平行法2種、相似法、中點公式法、作高法）。 方法多樣，讓學(xué)生感受到：倍長法和平行法的相通性（轉(zhuǎn)化為全等三角形和平行四邊形問題）、相似法和中點公式法的精妙（寥寥幾步，化繁為簡）。 三個常用結(jié)論的提煉和證明，進一步豐富了中位線定理的體系，大大加深學(xué)生對定理的理解，以及提升他們的解題能力。 例題講解和闖關(guān)游戲（6個關(guān)卡）是對定理的靈活運用，逐級加大難度，讓學(xué)生感受到晉級的緊張和喜悅，激發(fā)他們的積極性和興趣。 鏈接數(shù)學(xué)史（歐幾里得面積法、劉徽割補法），讓學(xué)生感受先人的偉大智慧，激勵他們勇于探索，在數(shù)學(xué)道路上越走越遠。 整個微課，知識容量大，節(jié)奏緊湊，既重視知識發(fā)生的源頭、探究的過程，又重視知識的變式運用，滲透化歸、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的無窮魅力。
教學(xué)設(shè)計
內(nèi) 容
教學(xué)目的 運用三角形中位線定理解決簡單問題。 2.經(jīng)歷觀察猜想、論證三角形中位線定理、三個常用結(jié)論的過程，滲透化歸、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，并發(fā)展合情推理意識和演繹推理能力。 3.體驗探究的快樂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲。 4.領(lǐng)略數(shù)學(xué)史，感受前人的偉大智慧和數(shù)學(xué)的無窮魅力。
教學(xué)重點難點 教學(xué)重點：中位線定理的證明和運用。 教學(xué)難點：中位線定理的證明。
教學(xué)過程 一、情境引入-----古巴比倫泥板上的故事 在古巴比倫，有位父親為將他的一塊三角形土地均分給四個兒子而愁眉不展，幸虧聰明的測量師幫忙，給出了三種解決辦法，這里涉及的D、E、F均為邊上的等分點，可是，父親又犯起愁來，三個方案都將土地均分成四個大小、形狀相同的小土地了嗎？選擇哪一種方案更合理呢？帶著這個問題，我們進入新課的學(xué)習(xí)，屆時謎底自然揭曉哦！ 【設(shè)計意圖】 三角形的中位線定理最早在古籍中出現(xiàn)是用于土地分割問題，以古巴比倫泥板上的故事引入，讓學(xué)生大膽探究哪個方案最合理，問題具有開放性，既貼近生活，又與本節(jié)課的中位線知識點息息相關(guān)，大大激發(fā)了學(xué)生的興趣和積極性。 中位線 中位線概念 什么是中位線？在三角形中，任選兩條邊中點，像這樣一連，就是中位線了，顯然，這么一連，也是中位線，這兩中點的連線，也是中位線，那三角形就有三條中位線了，連接三角形兩邊中點的線段就是中位線的概念。 【設(shè)計意圖】 動畫演示中位線的畫法，并引入中位線的概念，讓學(xué)生明晰中位線的準(zhǔn)確定義和在三角形中的位置（三角形有三條中位線），為后面中位線定理的證明和運用做好鋪墊。 中線和中位線的異同 中線和中位線的異同，不難看出，相同的地方：都是線段，且都有三條。不同的地方：中線-----線段一個端點是三角形頂點，另一端點是三角形的邊的中點。中位線------線段兩個端點都是三角形邊的中點。 【設(shè)計意圖】 中線和中位線一字之差，有著相同點和不同點，學(xué)生容易混淆！分別動畫演示中線和中位線，讓學(xué)生直觀感受它們的異同點，師生共同總結(jié)歸納成文字。 觀察猜想 觀察猜想：DE和BC有什么關(guān)系呢？ 關(guān)系是指數(shù)量關(guān)系（即大小關(guān)系）和位置關(guān)系（即平行或垂直），從圖上來看，一長一短，數(shù)量上有著一半的關(guān)系，即DE=BC，位置上，是平行的關(guān)系.怎么證明呢？ 【設(shè)計意圖】 不直接告訴學(xué)生中位線定理的內(nèi)容，而是讓學(xué)生自己觀察圖形，猜想出中位線和第三邊的關(guān)系（包含數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系），親身體會數(shù)學(xué)探究的來龍去脈和求知的樂趣。 證明中位線定理（9種） （一）方法一：測量法 第一步，用尺子量出DE長5.15cm，BC長10.3cm，得到DE=BC。 第二步，用量角器量出∠ADE=45°，∠ABC=45°，從而得到∠ADE=∠ABC，進而證出DE//BC. 【設(shè)計意圖】 測量法是學(xué)生最容易想到的辦法，雖然“質(zhì)樸”了些，但是一個直尺和一個量角器就能大致量出DE、BC的長度關(guān)系和角度關(guān)系，可以粗略驗證猜想的正確與否，不失為一個好辦法。 （二）方法二：倍長法（中位線倍長） 延長DE至點F使得EF=DE，連接CF. 因為∠AED=∠CEF，AE=CE，所以△ADE≌△CFE. 由此推出：AD=CF，∠ADE=∠CFE. 所以AD//CF. 因為AD=BD，且AD、BD在同一條直線上， 所以BD平行且等于CF. 推出四邊形BDFC是平行四邊形. 所以DF平行且等于BC. 故DE平行BC，且等于BC的一半. 【設(shè)計意圖】 中位線倍長法是課本上推薦的證明方法，證明思想是來源于剪拼法（將一個三角形拼成一個與其面積相等的平行四邊形）。 利用中點的對稱性添加輔助線，得到全等三角形，通過全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)，得到DE、BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。 （三）方法三：平行法 過點C作CF//AB交DE延長線于點F， 則∠A=∠ECF，因為AE=CE，∠AED=∠CEF，所以△ADE≌△CFE. 由此推出：AD=CF，DE=EF. 因為AD=BD，所以BD=CF. 又因為BD//CF， 所以四邊形BDFC是平行四邊形. 推出DF平行且等于BC. 故DE平行BC，且等于BC的一半. 【設(shè)計意圖】 平行法和倍長中位線法，輔助線看起來長得一樣，其實只是前面推理的步驟稍有不同，后面的推理是一樣的，讓學(xué)生感受到，輔助線作法的不同，導(dǎo)致條件不同，證明難易程度有別，但是大體證明思路是相通的（通過倍長線段或作平行將倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系，其本質(zhì)是一樣的，都是最終轉(zhuǎn)化為全等三角形和平行四邊形來解決問題），如何去正確書寫規(guī)范的證明過程，是學(xué)生要下功夫?qū)W習(xí)的。 方法四：相似法 因為∠A=∠A，AD/AB=AE/AC=1:2， 所以△ADE∽△ABC. 由此推出：∠ADE=∠B，DE/BC=1:2. 所以DE平行BC，且等于BC的一半. 【設(shè)計意圖】 由中點，聯(lián)想到小線段與大線段之比是1:2，又因為∠A是公共角，進而想聯(lián)到兩邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，那么對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，結(jié)論得證。讓學(xué)生感受到相似法的威力，寥寥幾步，化繁為簡，輕松證明猜想。 方法五：中點公式法 以點B為原點，如圖建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)點C坐標(biāo)為（x1,0），點A坐標(biāo)為（x2，y2）， 所以BC長為x1. 由中點公式知：點D坐標(biāo)為（，），點E坐標(biāo)為（，）， 所以DE平行BC，DE= =BC. 【設(shè)計意圖】 將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，有時候會讓人迅速抽絲剝繭，直達問題的本質(zhì)，找到解決問題的訣竅，與幾何法達到異曲同工之妙。 這讓學(xué)生感受到用平面直角坐標(biāo)系的威力以及數(shù)學(xué)的博大精深，很值得在數(shù)學(xué)這條路上深挖精妙的方法和技巧，為我所用。 方法補充（4種） 除了以上五種方法，在這里補充另外四種方法：倍長法之中位線倍長、中線倍長，平行法，作高法，當(dāng)然，證明中位線定理的方法遠不止這幾種，歡迎同學(xué)們課下繼續(xù)探究新方法喔！ 【設(shè)計意圖】 再次提供4種方法，一是讓學(xué)生感受到輔助線的添加辦法是多樣的，二是讓學(xué)生在這么多種方法中，總結(jié)梳理其中蘊含的思想和技巧，三是讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的無窮魅力，并增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。 三角形中位線定理及其運用 現(xiàn)在，來總結(jié)梳理三角形中位線定理的內(nèi)容：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。 用幾何語言來書寫的格式是： 因為點D、點E分別是AB、AC的中點， 所以DE//BC，DE= BC. 接下來看一道例題： 如圖，若點E，點F分別是AB，AC的中點，BC＝4 cm，∠B＝50°，則EF＝____cm，∠AEF＝____°. 從題目條件可以看到，點E，點F分別是AB，AC的中點，說明EF是△ABC的中位線，根據(jù)中位線定理，EF=BC=×4=2cm. EF//BC，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得到∠AEF=∠B=50°. 【設(shè)計意圖】 前面用了9種方法證明了對中位線和第三邊的猜想，已經(jīng)完全可以引入中位線定理了，一是明確定理內(nèi)容，二是指明可以開始運用定理了。這時，板書中位線定理的幾何語言書寫格式，以及講解一道例題，都大大加深了學(xué)生對中位線定理的理解，提升學(xué)生的解題能力。 常用結(jié)論 （一）結(jié)論一 根據(jù)中位線定理，可以推出三個常用結(jié)論。 結(jié)論一：三條中位線將原三角形分成四個全等的三角形。 證明思路：先由中位線定理得到：DE平行且等于BC的一半，進而得到DE平行且等于BF，由SAS證出△ADE≌△DBF，同理可證△ADE≌△EFC，從而得到這三個三角形全等，然后由邊邊邊證出△EFC≌△FED，從而證出這四個三角形全等。 具體證明過程見上面。 這個結(jié)論，為我們揭開了開頭均分土地的謎底，即第三種方案最合理。 【設(shè)計意圖】 中位線定理可以推出很多結(jié)論，但是有三個尤為常用，總結(jié)梳理出來，可以幫助學(xué)生在解決問題時，迅速找到要害，從而對癥下藥。 結(jié)論一也是對開頭古巴比倫土地分割問題的回應(yīng)，這既揭開了課前留下的謎底，又讓學(xué)生真切感受到中位線定理的實用性，一舉兩得。 結(jié)論二 結(jié)論二：三條中位線形成的三角形的周長是原三角形的一半。 證明思路是：由中位線定理得到，三條中位線分別是原三角形三邊的一半，結(jié)論得證。 具體證明過程見上面。 【設(shè)計意圖】 結(jié)論二是許多經(jīng)典考題的論據(jù)，內(nèi)容很簡單，也容易懂，但是題目千變?nèi)f化，許多學(xué)生云里霧里，弄不清其中的本質(zhì)，很有必要提煉和升華這個結(jié)論，加深學(xué)生對它的理解。 結(jié)論三 結(jié)論三：順次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形。 證明思路是：連接四邊形的任意一條對角線，將四邊形分割成兩個三角形，再根據(jù)中位線定理，得出兩條中位線都是平行且等于該對角線的一半，進而由一組對邊平行且相等證出新的四邊形是平行四邊形。 具體證明過程見上面。 【設(shè)計意圖】 課本上的議一議，提到了中點四邊形的形狀問題，而許多經(jīng)典考題也是來源于此，所以很有必要引出結(jié)論三，這也為后面闖關(guān)游戲關(guān)卡六，做好知識的鋪墊。 闖關(guān)游戲 接下來進入闖關(guān)游戲，檢驗同學(xué)們掌握了沒有哦。 關(guān)卡一：小試牛刀 關(guān)卡二：夯實基礎(chǔ) 關(guān)卡三：變式挑戰(zhàn) 關(guān)卡四：能力提升 關(guān)卡五：拓展訓(xùn)練 關(guān)卡六：終極挑戰(zhàn) 恭喜你，闖關(guān)成功！ 【設(shè)計意圖】 設(shè)置闖關(guān)游戲，共計六關(guān)，讓數(shù)學(xué)題變得更有趣。 題目由易變難，讓學(xué)生在一次又一次的挑戰(zhàn)中，收獲逐級通關(guān)的喜悅。另外，還附有答案解析，讓學(xué)生更好地消化吸收，為我所用。 七、小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形中位線定理、9種證明方法，以及三個常用結(jié)論，其中蘊含了化歸和特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。 【設(shè)計意圖】 本節(jié)課知識容量比較大，適時的小結(jié)，梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容和脈絡(luò)，讓學(xué)生迅速抓住重點和難點，加快學(xué)生對本節(jié)課的消化和吸收。 八、先人智慧 早在古代，先人就證明了三角形中位線定理，比如古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中，用面積法證明，而我國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》中，則是用割補法來證明。 【設(shè)計意圖】 在教學(xué)過程中我們可以適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生追本溯源，探究問題來源，刨根問題的優(yōu)良數(shù)學(xué)品質(zhì)，而考察問題的本源和發(fā)展史是最行之有效的方法。《幾何原本》和《九章算術(shù)》是古代中西方數(shù)學(xué)史上的兩個重要代表作品，帶著學(xué)生一起領(lǐng)略歐幾里得和劉徽的中位線證明的思想，讓學(xué)生感受先人的偉大智慧，激勵學(xué)生像先人那樣，不怕艱難，敢于探索，必定生出真理之花。

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