資源簡介

例談離數(shù)型隨機變量概率分布與數(shù)學(xué)期望
從2008年全國各省市高考數(shù)學(xué)試題中，概率統(tǒng)計考題，可謂“軍書十二卷，卷卷有爺名”，顯然它是高考的必考內(nèi)容，特別是離散型隨機變量概率分布與數(shù)學(xué)期望內(nèi)容的考題分布極為廣泛，確實是一個重要考點，但縱觀其解法，可以歸納為定義法、公式法、分析法與變量推理法四種，2009年考生務(wù)必對上述四種解題方法引起高度重視，本文就其命題特點，解題規(guī)律作專題闡述，以饗讀者。
一、定義法求解概率分布與數(shù)學(xué)期望
定義法即根據(jù)隨機事件的概率、隨機變量、概率分布、數(shù)學(xué)期望的定義求解概率分布與數(shù)學(xué)期望的方法。
可使用本法解題的考題，一般以古典離散型概率為特征，它可直接利用排列組合的加法原理與乘法原理寫出離散型隨機變量概率的計算式，進而求得隨機變量各值條件下的概率分布與數(shù)學(xué)期望。此類題型解題思路明確，利用定義法求解，其方法容易掌握。
例1，（08浙江理）一個袋中裝有若干個大小相同的黑球，白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．
（1）若袋中共有10個球，（1）若袋中共有10個球，（ⅰ）求白球的個數(shù)；（ⅱ）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望．
（2）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少．
分析：本題是以古典概率為題材的高考題，由于從袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相獨立的，系互不影響事件，所發(fā)生的概率是等可能的。故可根據(jù)概率定義，利用排列組合計算方法求解隨機變量各值的概率。
解：袋中共有10個球，且至少得到1個球的概率為，設(shè)其中有X個白球，我們將至少得到一個白球的事件為A，則P（A）=，又∵P（A）=，∴，化簡后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5個白球。
（2）記從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為的事件為B，則P（Bi）=P(=i) i =0,1,2,3
則P（=o）=，P（=1）=，
P（=2）=，P（=3）=
∴的分布列為：
0
1
2
3
P
數(shù)學(xué)期望E=O×+1×+2×+3×=
（3）記從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的事件為C，且其中有n個球y個黑色球。
∴由變形得P（c）=
由,
設(shè)袋中有個球，其中個黑球，個白球，個紅球，由題意得，從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．則，即，化簡得（視為已知）解之得
∵是數(shù)，則必為5的倍數(shù)；取=55，則=22；
∵，又，取，則∴∴∵∴∵∴
所以，，故．
記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，則
．
所以白球的個數(shù)比黑球多，白球個數(shù)多于，紅球的個數(shù)少于．
故袋中紅球個數(shù)最少．
二、公式法求隨機變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望
公式法即根據(jù)隨機事件概率發(fā)生的等可能性、互斥性、獨立性、對立性等計算公式求隨機變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望的方法。
可使用本法求解的離散型隨機變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望的高考題，通常會把可能發(fā)生的隨機事件的基本事件的概率作為已知，考生可用隨機事件的可能事件概率公式（），互斥事件公式（），獨立事件概率公式（）與對立事件概率公式（）進行計算。
例2：（08湖南理）（湖南理）（16）（本小題滿分12分）甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：
（1）至少有1人面試合格的概率;
（2）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
分析：本題中每人面試合的概率都是，是本題的基本事件，因為每個人的面試合格事件是相互獨立互不影響的，所以可用公式法計算隨機事件的概率。若每個人面視合格事件記為A，則其不合格事件為A的對立事件，記為，合格事件概率記為P（A），對立的事件是面試不合格事件的概率是。
解 面試互不影響，甲乙丙三人面試合格事件分別記為A、B、C其不合格事件記為、、，（與合格對立）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
（1）至少有1人面試合格的概率是
（2）三人參加面試合格與不合格都是等可能的所以，的可能取值為0，1，2，3.

＝
＝

=
=


所以， 的分布列是
0
1
2
3
P
的期望
三、分析法求離散型隨機變量的概率分布
分析法即根據(jù)離散型隨機變量在實際生產(chǎn)生活中的作用與地位，并對其進行綜合分析選取隨機變量值，進而求得離散型隨機變量的概率分布的方法。
可本法求解的離散型概率分布與數(shù)學(xué)期望的高考題，通常與現(xiàn)實生活緊密相關(guān)，具有很強的綜合性，需要考生在認(rèn)真分析題意的基顧上對隨機變量的選取與各隨機變量的概率進行綜合分析，是目前高考命題中較難理解的綜合性題型，解這類問題時，考生通常應(yīng)注意完成問題解答的分類與分步，同時還要注意前后聯(lián)系，準(zhǔn)確分析各變量條件下的概率值。
例3、（江西理）18．（本小題滿分12分）因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施．若實施方案一，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實施方案二，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令表示方案實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．
（1）寫出ξ1、ξ2的分布列；
（2）實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大?
（3）不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實施哪種方案的平均利潤更大?
分析：由于本題的兩種方案均系通過兩步完成的，且第二年的恢復(fù)還都分兩年
所以總倍數(shù)與總概率均需按分步的乘法原理與分類的加法原理求得。即第
一步是第一年恢復(fù)的倍數(shù)（）與概率（），第二步是第二年恢復(fù)的倍數(shù)（）
與概率（），則兩年恢復(fù)的總倍數(shù)（）與概率（），于是得到如下解答過程：
解：（1）方案1
第一年
(第一步)
第二年(第二步)
第一類
第二類
倍數(shù)
概率
倍數(shù)
概率
倍數(shù)
概率
1
0.8
0.4
2
0.9
0.3
3
1.0
0.3
ξ1的分布列為
ξ1
0.8
0.9
1
1.125
1.25
P1
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
（1）方案2
第一年
(第一步)
第二年(第二步)
第一類
第二類
倍數(shù)
概率
倍數(shù)
概率
倍數(shù)
概率
1
0.8
0.5
2
1.0
0.3
3
1.2
0.2
ξ2的分布列為
ξ2
0.8
0.96
1
1.2
1.44
P2
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）由（1）可得P1＞1的概率P（P1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3，
P2＞1的概率P（P2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32，
可見，P（P2＞1）＞P（P1＞1）
∴實施方案2，兩年后產(chǎn)量超過災(zāi)前概率更大。
（3）設(shè)實施方案1、2的平均利潤分別為利潤1、利潤2，根據(jù)題意
利潤1 = （0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 + （0.15 + 0.15）×20
= 14.75（萬元）
利潤2 = （0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20
= 14.1（萬元）
∴利潤1＞利潤2，
∴實施方案1平均利潤更大。
四、變量推理法解離散型隨機變量的概率分布問題
變量推理法即根據(jù)隨機變量之間的關(guān)系等式推理離散型隨機變量的概率分布問題的方法。
可本法求解的離散型概率分布與數(shù)學(xué)期望的高考題，通常有兩種形式，
一是題目能直接或間接地已知某離散型隨機變量的概率分布或數(shù)學(xué)期望的高考題（如例題4），考生可根據(jù)已知的隨機變量分布列或數(shù)學(xué)期望，利用變量之間的關(guān)系式推理出另一隨機變量量的分布列與數(shù)學(xué)期望，進而求得其方差，再用方差靈活地建立函數(shù)關(guān)系，綜合條件求解并回答題目問題。
二是根據(jù)題目條件先求出該隨機變量概率分布與數(shù)學(xué)期望，然后根據(jù)所求得的隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，進而求得方差，再靈活地建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)性質(zhì)求解（如例題3的2、3小題），也是綜合性較大的考題，考生應(yīng)引起足夠的重視。
例4．（海南寧夏理）（19）．（本小題滿分12分）兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2．根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為
 X1
5％
10％
P
0.8
0.2
（1）在兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY1，DY2；
（2）將萬元投資A項目，萬元投資B項目，表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求的最小值，并指出x為何值時，取到最小值．（注：）
分析：本題所已知的利潤率隨機變量Ｘ１與Ｘ２分布列，實際上是已知利潤Ｙ１和Ｙ２為隨機變量概率的分布列，因為在兩個項目上各投資100萬元后，由于利潤＝成本利潤率，所以，從而可求利潤隨機變量Ｙ１和Ｙ２的方差。
解：（1）由題設(shè)可知和的分布列分別為
Y1
5
10
P
0.8
0.2
，
，
，
．
（2）
，
當(dāng)時，為最小值．

展開更多......

收起↑