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專題二　微專題2
A組·基礎(chǔ)練
1.(2024·遼寧卷)如圖，高度h＝0.8 m的水平桌面上放置兩個相同物塊A、B，質(zhì)量mA＝mB＝0.1 kg。A、B間夾一壓縮量Δx＝0.1 m的輕彈簧，彈簧與A、B不拴接。同時由靜止釋放A、B，彈簧恢復原長時A恰好從桌面左端沿水平方向飛出，水平射程xA＝0.4 m；B脫離彈簧后沿桌面滑行一段距離xB＝0.25 m后停止。A、B均視為質(zhì)點，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)脫離彈簧時A、B的速度大小vA和vB；
(2)物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)μ；
(3)整個過程中，彈簧釋放的彈性勢能ΔEp。
【答案】　(1)1 m/s,1 m/s　(2)0.2　(3)0.12 J
【解析】　(1)對A物塊由平拋運動知識得h＝gt2
xA＝vAt
代入數(shù)據(jù)解得，脫離彈簧時A的速度大小為vA＝1 m/s
AB物塊質(zhì)量相等，同時受到大小相等方向相反的彈簧彈力及大小相等方向相反的摩擦力，則AB物塊整體動量守恒，則mAvA＝mBvB
解得脫離彈簧時B的速度大小為vB＝1 m/s。
(2)對物塊B脫離彈簧后的運動由動能定理－μmBgxB＝0－mBv
代入數(shù)據(jù)解得，物塊與桌面的動摩擦因數(shù)為μ＝0.2。
(3)彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為AB物塊的動能及這個過程中克服摩擦力所產(chǎn)生的內(nèi)能，即ΔEp＝mAv＋mBv＋μmAgΔxA＋μmBgΔxB
其中mA＝mB，Δx＝ΔxA＋ΔxB
解得整個過程中，彈簧釋放的彈性勢能ΔEp＝0.12 J。
B組·綜合練
2.(2024·山東卷)如圖甲所示，質(zhì)量為M的軌道靜止在光滑水平面上，軌道水平部分的上表面粗糙，豎直半圓形部分的表面光滑，兩部分在P點平滑連接，Q為軌道的最高點。質(zhì)量為m的小物塊靜置在軌道水平部分上，與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。已知軌道半圓形部分的半徑R＝0.4 m，重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)若軌道固定，小物塊以一定的初速度沿軌道運動到Q點時，受到軌道的彈力大小等于3mg，求小物塊在Q點的速度大小v；
(2)若軌道不固定，給軌道施加水平向左的推力F，小物塊處在軌道水平部分時，軌道加速度a與F對應關(guān)系如圖乙所示。
①求μ和m；
②初始時，小物塊靜置在軌道最左端，給軌道施加水平向左的推力F＝8 N，當小物塊到P點時撤去F，小物塊從Q點離開軌道時相對地的速度大小為7 m/s。求軌道水平部分的長度L。
【答案】　(1)v＝4 m/s　(2)①m＝1 kg，μ＝0.2　②4.5 m
【解析】　(1)根據(jù)題意可知小物塊在Q點由合力提供向心力有mg＋3mg＝m
代入數(shù)據(jù)解得v＝4 m/s。
(2)①根據(jù)題意可知當F≤4 N時，小物塊與軌道是一起向左加速，根據(jù)牛頓第二定律可知F＝(M＋m)a
根據(jù)圖乙有k＝＝0.5 kg－1
當外力F>4 N時，軌道與小物塊有相對滑動，則對軌道有F－μmg＝Ma
結(jié)合題圖乙有a＝F－
可知k＝＝1 kg－1
截距b＝－＝－2 m/s2
聯(lián)立以上各式可得M＝1 kg，m＝1 kg，μ＝0.2。
②由圖乙可知，當F＝8 N時，軌道的加速度為6 m/s2，小物塊的加速度為a2＝μg＝2 m/s2
當小物塊運動到P點時，經(jīng)過t0時間，則軌道有v1＝a1t0
小物塊有v2＝a2t0
在這個過程中系統(tǒng)機械能守恒有Mv＋mv＝Mv＋mv＋2mgR
水平方向動量守恒，以水平向左的正方向，則有Mv1＋mv2＝Mv3＋mv4
聯(lián)立解得t0＝1.5 s
根據(jù)運動學公式有L＝a1t－a2t
代入數(shù)據(jù)解得L＝4.5 m。
3.(2024·湖北卷)如圖所示，水平傳送帶以5 m/s的速度順時針勻速轉(zhuǎn)動，傳送帶左右兩端的距離為3.6 m。傳送帶右端的正上方有一懸點O，用長為0.3 m、不可伸長的輕繩懸掛一質(zhì)量為0.2 kg的小球，小球與傳送帶上表面平齊但不接觸。在O點右側(cè)的P點固定一釘子，P點與O點等高。將質(zhì)量為0.1 kg的小物塊無初速輕放在傳送帶左端，小物塊運動到右端與小球正碰，碰撞時間極短，碰后瞬間小物塊的速度大小為1 m/s、方向水平向左。小球碰后繞O點做圓周運動，當輕繩被釘子擋住后，小球繼續(xù)繞P點向上運動。已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.5，重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)求小物塊與小球碰撞前瞬間，小物塊的速度大小；
(2)求小物塊與小球碰撞過程中，兩者構(gòu)成的系統(tǒng)損失的總動能；
(3)若小球運動到P點正上方，繩子不松弛，求P點到O點的最小距離。
【答案】　(1)5 m/s　(2)0.3 J　(3)0.2 m
【解析】　(1)根據(jù)題意，小物塊在傳送帶上，由牛頓第二定律有μm物g＝m物a
解得a＝5 m/s2
由運動學公式可得，小物塊與傳送帶共速時運動的距離為x＝＝2.5 m可知，小物塊運動到傳送帶右端前與傳送帶共速，即小物塊與小球碰撞前瞬間，小物塊的速度大小等于傳送帶的速度大小5 m/s。
(2)小物塊運動到右端與小球正碰，碰撞時間極短，小物塊與小球組成的系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律有m物v＝m物v1＋m球v2
其中v＝5 m/s，v1＝－1 m/s
解得v2＝3 m/s
小物塊與小球碰撞過程中，兩者構(gòu)成的系統(tǒng)損失的總動能為ΔEk＝m物v2－m物v－m球v
解得ΔEk＝0.3 J。
(3)若小球運動到P點正上方，繩子恰好不松弛，設此時P點到O點的距離為d，小球在P點正上方的速度為v3，在P點正上方，由牛頓第二定律有m球g＝m球
小球從O點正下方到P點正上方過程中，由機械能守恒定律有m球v＝m球v＋m球g(2L繩－d)
聯(lián)立解得d＝0.2 m
即P點到O點的最小距離為0.2 m。
4.(2024·浙江卷)某固定裝置的豎直截面如圖所示，由傾角θ＝37°的直軌道AB，半徑R＝1 m的圓弧軌道BCD，長度L＝1.25 m、傾角為θ的直軌道DE，半徑為R、圓心角為θ的圓弧管道EF組成，軌道間平滑連接。在軌道末端F的右側(cè)光滑水平面上緊靠著質(zhì)量m＝0.5 kg的滑塊b，其上表面與軌道末端F所在的水平面平齊。質(zhì)量m＝0.5 kg的小物塊a從軌道AB上高度為h處靜止釋放，經(jīng)圓弧軌道BCD滑上軌道DE，軌道DE由特殊材料制成，小物塊a向上運動時動摩擦因數(shù)μ1＝0.25，向下運動時動摩擦因數(shù)μ2＝0.5，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當小物塊a在滑塊b上滑動時動摩擦因數(shù)恒為μ1，小物塊a動到滑塊右側(cè)的豎直擋板能發(fā)生完全彈性碰撞。(其他軌道均光滑，小物塊視為質(zhì)點，不計空氣阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若h＝0.8 m，求小物塊
①第一次經(jīng)過C點的向心加速度大小；
②在DE上經(jīng)過的總路程；
③在DE上向上運動時間t上和向下運動時間t下之比。
(2)若h＝1.6 m，滑塊至少多長才能使小物塊不脫離滑塊。
【答案】　(1)①16 m/s2　②2 m　③1∶2
(2)0.2 m
【解析】　(1)①對小物塊a從A到第一次經(jīng)過C的過程，根據(jù)機械能守恒定律有mgh＝mv
第一次經(jīng)過C點的向心加速度大小為a＝＝＝16 m/s2。
②小物塊a在DE上時，因為μ2mgcos θ所以小物塊a每次在DE上升至最高點后一定會下滑，之后經(jīng)過若干次在DE上的滑動使機械能損失，最終小物塊a將在B、D間往復運動，且易知小物塊每次在DE上向上運動和向下運動的距離相等，設其在DE上經(jīng)過的總路程為s，根據(jù)功能關(guān)系有mg[h－R(1－cos θ)]＝(μ1mgcos θ＋μ2mgcos θ)
解得s＝2 m。
③根據(jù)牛頓第二定律可知小物塊a在DE上向上運動和向下運動的加速度大小分別為a上＝gsin θ＋μ1gcos θ＝8 m/s2
a下＝gsin θ－μ2gcos θ＝2 m/s2
將小物塊a在DE上的若干次運動等效看作是一次完整的上滑和下滑，則根據(jù)運動學公式有a上t＝a下t
解得＝。
(2)對小物塊a從A到F的過程，根據(jù)動能定理有
mg[h－Lsin θ－2R(1－cos θ)]－μ1mgLcos θ＝mv－0
解得vF＝2 m/s
設滑塊長度為l時，小物塊恰好不脫離滑塊，且此時二者達到共同速度v，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律有mvF＝2mv
mv＝·2mv2＋2μ1mgl
解得l＝0.2 m。
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微專題2　動力學三大觀點的綜合運用
力學三大觀點對比
力學三大觀點 對應規(guī)律 表達式 選用原則
能量觀點 動能定理 W合＝ΔEk 涉及做功與能量轉(zhuǎn)換
機械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
功能關(guān)系 WG＝－ΔEp等
能量守恒定律 E1＝E2
力學三大觀點 對應規(guī)律 表達式 選用原則
動量
觀點 動量定理 I合＝p′－p 只涉及初末速度、力、時間而不涉及位移、功
動量守恒定律 p1＋p2＝p1′＋p2′ 只涉及初末速度而不涉及力、時間
“類碰撞”問題
情境 類比“碰撞” 滿足規(guī)律
初態(tài) 末態(tài)
相距最近時 完全非彈性碰撞 動量守恒，動能損失最多
再次恢復原長時 彈性碰撞 動量守恒，動能無損失
情境 類比“碰撞” 滿足規(guī)律
初態(tài) 末態(tài)
共速時 完全非彈性碰撞 動量守恒，動能損失最多
滑離時 非彈性碰撞 動量守恒，部分動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能
到達最高點時 完全非彈性碰撞 動量守恒，動能損失最多
再次回到地面時 彈性碰撞 動量守恒，動能無損失
１
“類碰撞”問題
(2024·安徽卷)如圖所示，一實驗小車靜止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平軌道與光滑四分之一圓弧軌道。圓弧軌道與水平軌道相切于圓弧軌道最低點，一物塊靜止于小車最左端，一小球用不可伸長的輕質(zhì)細線懸掛于O點正下方，并輕靠在物塊右側(cè)。現(xiàn)將細線拉直到水平位置，靜止釋放小球，小球運動到最低點時與物塊發(fā)生彈性碰撞。碰撞后，物塊沿著小車上的軌道運動，已知細線長L＝1.25 m。小球質(zhì)量m＝0.20 kg。物塊、小車質(zhì)量均為M＝0.30 kg。小車上的水平軌道長s＝
1.0 m。圓弧軌道半徑R＝0.15 m。小球、物塊均可視為質(zhì)點。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球運動到最低點與物塊碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大小；
(3)為使物塊能進入圓弧軌道，且在上升階段不脫離小車，求物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ的取值范圍。
【答案】　(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0.25≤μ<0.4
(2024·江蘇卷)在水平面上有一個U形滑板A，A的上表面有一個靜止的物體B，左側(cè)用輕彈簧連接在物體B的左側(cè)，右側(cè)用一根細繩連接在物體B的右側(cè)，開始時彈簧處于拉伸狀態(tài)，各表面均光滑，剪斷細繩后，則(　　)
A．彈簧原長時B動量最大
B．彈簧最短時A動能最大
C．系統(tǒng)動量變大
D．系統(tǒng)機械能變大
【答案】　A
故可知彈簧原長時物體速度最大，此時動量最大，動能最大。由于動量守恒，所以此時滑板A的動量也最大。對于系統(tǒng)來說動量一直為零，系統(tǒng)機械能不變。
故選A。
2
板塊模型
(2024·河北卷)如圖，三塊厚度相同、質(zhì)量相等的木板A、B、C(上表面均粗糙)并排靜止在光滑水平面上，尺寸不計的智能機器人靜止于A木板左端。已知三塊木板質(zhì)量均為2.0 kg，A木板長度為2.0 m，機器人質(zhì)量為6.0 kg，重力加速度g取10 m/s2，忽略空氣阻力。
(1)機器人從A木板左端走到A木板右端時，求A、B木板間的水平距離；
(2)機器人走到A木板右端相對木板靜止后，以做功最少的方式從A木板右端跳到B木板左端，求起跳過程機器人做的功，及跳離瞬間的速度方向與水平方向夾角的正切值；
(3)若機器人以做功最少的方式跳到B木板左端后立刻與B木板相對靜止，隨即相對B木板連續(xù)不停地3次等間距跳到B木板右端，此時B木板恰好追上A木板。求該時刻A、C兩木板間距與B木板長度的關(guān)系。
【解析】　(1)機器人從A木板左端走到A木板右端，機器人與A木板組成的系統(tǒng)動量守恒，設機器人質(zhì)量為M，三個木板質(zhì)量為m，根據(jù)人船模型得Mx＝mx1
同時有x＋x1＝LA
解得A、B木板間的水平距離x1＝1.5 m。
(2024·甘肅卷)如圖，質(zhì)量為2 kg的小球A(視為質(zhì)點)在細繩O′P和OP作用下處于平衡狀態(tài)，細繩O′P＝OP＝1.6 m，與豎直方向的夾角均為60°。質(zhì)量為6 kg的木板B靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為2 kg的物塊C靜止在B的左端。剪斷細繩O′P，小球A開始運動。(重力加速度g取 10 m/s2)
(1)求A運動到最低點時細繩OP所受的拉力；
(2)A在最低點時，細繩OP斷裂。A飛出后恰好與C左側(cè)碰撞(時間極短)、碰后A豎直下落，C水平向右運動。求碰后C的速度大小；
(3)A、C碰后，C相對B滑行4 m后與B共速。求C和B之間的動摩擦因數(shù)。
【答案】　(1)40 N　(2)4 m/s　(3)0.15
【解析】　根據(jù)題意，設A、C質(zhì)量為m＝2 kg，B的質(zhì)量為M＝ 6 kg，細繩OP長為l＝1.6 m，初始時細線與豎直方向夾角θ＝60°。

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