資源簡介

專題 9.4 統計圖的相關運算大題專項訓練【七大題型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班級：___________考號：___________
題型一 繪制、補全頻率分布直方圖
1．（2024 高一下·江蘇·專題練習）有一容量為 50 的樣本，數據的分組及各組的數據如下：[10,15)，4；
[30,35)，9；[15,20)，5；[35,40)，8；[20,25)，10；[40,45]，3；[25,30)，11.
(1)列出樣本頻率分布表；
(2)畫出頻率直方圖及頻率折線圖.
2．（2024 高一下·江蘇·專題練習）某校高二年級期末統一測試，隨機抽取一部分學生的數學成績，分組統
計如下表.
分組 頻數 頻率
[0,30) 3 0.03
[30,60) 3 0.03
[60,90) 37 0.37
[90,120) m n
[120,150] 15 0.15
合計 M N
(1)求出表中 , , , 的值，并根據表中所給數據在給出的坐標系中畫出頻率直方圖；
(2)若全校參加本次考試的學生有 600 人，試估計這次測試中全校成績在 90 分以上的人數.
3．（24-25 高一下·江西南昌·階段練習）某班同學利用勞動節進行社會實踐，對 25，55 歲的人群隨機抽取
n 人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非
低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
組數 分組 低碳族的人數 占本組的頻率
第一組 25，30 120 0.6
第二組 30，35 195
第三組 35，40 100 0.5
第四組 40，45 0.4
第五組 45，50 30 0.3
第六組 50，55 15 0.3
（1）補全頻率分布直方圖并求 n、a、p 的值；
（2）從年齡段在 40，50 的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取 6 人參加戶外低碳體驗活動，其中每組各選多
少人？
4．（23-24 高一下·陜西西安·階段練習）某地有 2000 名學生參加數學學業水平考試，現將成績匯總，得到
如圖所示的頻率分布表．
成績分 頻數頻 成績分
組 率 組
[50,60] 100
(60,70]
(70,80] 800
(80,90]
(90,100] 200
(1)請完成題目中的頻率分布表，并補全題目中的頻率分布直方圖；
(2)將成績按分層抽樣的方法抽取 150 名同學進行問卷調查，甲同學在本次測試中數學成績為 95 分，求他被
抽中的概率．
5．（2024·全國·模擬預測）以“建設包容、普惠、有韌性的數字世界——攜手構建網絡空間命運共同體”為
主題的 2023 年世界互聯網大會烏鎮峰會于 11 月 8 日至 10 日在中國浙江省烏鎮舉行．為保障大會順利進行，
世界互聯網大會的秘書處從招募的志愿者中隨機抽取 100 名進行了一次互聯網知識競賽，所得成績（單位：
分）均在[50,100]內，并制成如下頻數分布表：
成績/分 [90,100]
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
頻數 8 28 20 12
(1)根據頻數分布表，在下圖中作出頻率分布直方圖；
(2)以樣本估計總體，記競賽成績不低于 86 分的志愿者為優秀志愿者，則優秀志愿者的占比能否達到 20%？
題型二 頻率分布直方圖的相關計算問題
用向量證明線段垂直
6．（24-25 高一上·全用向國量證·課明線后段垂作直業）中小學生的視力狀況受到全社會的廣泛關注，某市有關部門對全市 4 萬
名初中生的視力狀況進行一次抽樣調查統計，所得到的有關數據繪制成頻率分布直方圖，如圖，從左至右
五個小組的頻率之比是 2∶4∶9∶7∶3，第五小組的頻數是 30．
(1)本次調查共抽調了多少名學生？
(2)如果視力在[4.85,5.15）屬正常，那么全市初中生視力正常的約有多少人？
7．（23-24 高一下·江蘇無錫·期末）我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了
了解全市居民生活用水量分布情況，通過抽樣，獲得 100 戶居民月均用水量（單位：m3），將數據按照
[0,4)，[4,8)，…，[32,36)分成 9 組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．為了鼓勵居民節約用水，該市政府
在本市實行居民生活用水“階梯水價”：第一階梯為每戶每月用水量不超過20m3的部分按 3 元/m3收費，第
二階梯為超過20m3但不超過28m3的部分按 5 元/m3收費，第三階梯為超過28m3的部分按 8 元/m3收費．
(1)求直方圖中 的值；
(2)已知該市有 20 萬戶居民，估計全市居民中月均用水費用不超過 60 元的用戶數；
(3)該市政府希望使至少有95%的用戶每月用水量不超過第二階梯收費標準，請根據樣本數據判斷，現行收
費標準是否符合要求？若不符合，則應該將第二階梯用水量的上限至少上調到多少m3？
8．（24-25 高一下·吉林長春·階段練習）某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),
[180,200)，[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．
(1)求直方圖中 的值；
(2)在這100戶居民中，月平均用電量不低于220度的有多少戶？
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶
居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？
9．（23-24 高一下·福建福州·期末）我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市為了制定
合理的節水方案，需要了解全市居民用水量分布情況．通過抽樣，獲得了 位居民某年的月均用水量（單位：
t），將數據按照[0,0.5)，[0.5,1)， ，[4,4.5]分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，若已知樣本
數據落在區間[1.5,2)的頻數為 20．
(1)求樣本容量 和頻率分布直方圖中 的值；
(2)用樣本頻率估計總體，若該市有 60 萬居民，市政府希望使 51 萬的居民每月的用水量不超過標準 t，試
估計 的值，并說明理由．
10．（24-25 高二下·安徽滁州·開學考試）某大學藝術專業 400 名學生參加某次測評，根據男女學生人數比
例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了 100 名學生，記錄他們的分數，將數據分成 7 組：
[20,30),[30,40), ,[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)從總體的 400 名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于 70 的概率；
(2)已知樣本中分數小于 40 的學生有 5 人，試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數；
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于 70，且樣本中分數不小于 70 的男女生人數相等.試估計總體中男生
和女生人數的比例.
題型三 統計圖的綜合應用問題
11．（24-25 高一上·全國·課后作業）某廠生產一種產品，圖①是該廠第一季度三個月產量的統計圖，圖②
是這三個月的產量與第一季度總產量的比例分布統計圖，統計員在制作圖①，圖②時漏填了部分數據．根
據上述信息，回答下列問題：
(1)該廠第一季度幾月份的產量最高？
(2)該廠一月份的產量占第一季度總產量的百分比是多少？
(3)該廠質檢科從第一季度的產品中隨機抽樣，抽檢結果發現樣品的合格率為98%．請你估計該廠第一季度
大約生產了多少件合格的產品？（寫出解答過程）
12．（24-25 高一上·全國·課后作業）某校分別于 2020 年、2022 年隨機調查相同數量的學生，對數學課開
展小組合作學習的情況進行調查（開展情況分為極少、有時、常常、總是共四種），繪制成部分統計圖如
下．請根據圖中信息，解答下列問題：
(1) = ________%， = ________%，“總是”對應扇形統計圖中的圓心角度數為________；
(2)請你補全條形統計圖；
(3)若該校 2022 年共有 1200 名學生，請你統計其中認為數學課“總是”開展小組合作學習的學生有多少名？
(4)相比 2020 年，2022 年數學課開展小組合作學習的情況有何變化？
13．（24-25 高一上·全國·課后作業）以下是某手機店根據某手機銷售的相關數據繪制的統計圖的一部分.請
根據圖 1、圖 2 解答下列問題:
(1)來自該店財務部的數據報告表明，該手機店 1~4 月的手機銷售總額一共是 290 萬元，請將圖 1 中的統計
圖補充完整;
(2)該店 1 月份音樂手機的銷售額為多少萬元
(3)小剛觀察圖 2 后，認為 4 月份音樂手機的銷售額比 3 月份減少了，你同意他的看法嗎 請說明理由.
14．（23-24 高一上·江西贛州·開學考試）某校為了解學生第一個“雙減”后的暑假最期待什么活動，校學生
會隨機對該校七年級部分學生進行了問卷調查，調查結果分為四個類別：A 表示“廣泛閱讀”，B 表示“勞動
實踐”，C 表示“戶外運動”，D 表示“其他”，每個同學只能選擇其中的一項，根據調查統計結果，繪制成兩
種不完整的統計圖．請結合統計圖，回答下列問題．
(1)參加這次調查的學生總人數為______ 人；
(2)將條形統計圖補充完整；
(3)該校七年級有 800 名學生，估計全校七年級學生中最期待“勞動實踐”的約有多少名？
15．（2025 高一·全國·專題練習）某市為了增強學生體質，全面實施“學生飲用奶”營養工程．某品牌牛奶供
應商提供了原味、草莓味、菠蘿味、香橙味、核桃味五種口味的牛奶供學生飲用．某中學為了了解學生對
不同口味牛奶的喜好，對全校訂購牛奶的學生進行了隨機調查(每盒各種口味牛奶的體積相同)，繪制了如下
兩張不完整的統計圖：
(1)本次被調查的學生有多少名？
(2)補全上面的條形統計圖①，并計算出喜好菠蘿味牛奶的學生人數在扇形統計圖②中所占圓心角的度數；
(3)該校共有 1200 名學生訂購了該品牌的牛奶，牛奶供應商每天只為每名訂購牛奶的學生配送一盒牛奶．要
使學生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供應商每天送往該校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少
盒？
題型四 頻率分布直方圖中總體百分位數的估計
16．（24-25 高二上·云南保山·期末）保山古稱永昌，“永子”即永昌所產的圍棋子，又名“永棋”．以保山南
紅瑪瑙、玉石、天然琥珀等珍貴原料，采用保密配方、經絕技熔煉和傳統手工點“丹”而成．為了讓學生更好
了解和學習保山永子文化的歷史淵源、永子的制作技藝以及此文化的傳承與發展歷史，2024 年 12 月，保山
市某校組織了所有學生參加“永子”文化測試，該校一數學興趣小組從所有成績（滿分 100 分，最低分 50 分）
中，隨機調查了 200 名參與者的測試成績，將他們的成績按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
分組，并繪制出了部分頻率分布直方圖如圖所示．
(1)請將頻率分布直方圖補充完整；
(2)估計該校所有學生成績的第 70 百分位數；
(3)從成績在[70,80)，[80,90)內的學生中用分層抽樣的方法抽取 7 人，再從這 7 人中隨機抽取 2 人開座談會，
求這 2 人來自不同分組的概率．
17．（24-25 高一上·遼寧朝陽·期末）對于居民生活用水，某市實行階梯水價．具體來說，季度用水量在40m3
及以下的部分，收費標準為 3 元/m3；季度用水量超過40m3但不超過80m3的部分，收費標準為 4 元/m3；
季度用水量超過80m3的部分，收費標準為 6 元/m3．
(1)求某戶居民用水費用 （單位：元）關于季度用水量 （單位：m3）的函數關系式；
(2)為了了解居民的用水情況，通過抽樣獲得了 2024 年第三季度本市 1000 戶居民每戶的季度用水量，統計
分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這 1000 戶居民中，季度用水費用超過 200 元的有 400 戶，求直
方圖中 , 的值以及季度用水量的第 75 百分位數．
18．（24-25 高二上·四川綿陽·期中）從某小區抽取 100 戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的用電量
都在50~350kW h之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區間）畫出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中 的值；
(2)政府為了倡議市民節約用電，計劃對居民生活用電費用實施階梯式電價制度，即確定一戶居民月用電量
標準 ，用電量不超過 的部分按照平價收費，超出部分按照議價收費，若使 85%居民用戶的電費支出不受
影響，應確定 值為多少
19．（24-25 高二上·北京平谷·階段練習）某高中高一 500 名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，
使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了 100 名學生，記錄他們的分數，將數據分成 7 組：[20,30),[30,40), ,
[80,90]，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)從總體的 500 名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于 60 的概率（寫出計算過程）；
(2)已知樣本中分數小于 40 的學生有 5 人，試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數（寫出計算過程）；
(3)估計測評成績的75%分位數.（寫出計算過程）
20．（23-24 高一下·安徽·期末）某廠引進一種生產新能源汽車關鍵部件的設備，為了解該設備生產的關鍵
部件的某項指標的情況，隨機抽取了 100 件關鍵部件的該項指標數據，按[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),
[30,35]分組，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求 的值；
(2)估計樣本中指標數據的70%分位數．
題型五 頻率分布直方圖中集中趨勢參數的計算
21．（23-24 高一下·全國·課后作業）在神舟十五號載人飛行任務取得了圓滿成功的背景下.某學校高一年級
利用高考放假期間組織 1200 名學生參加線上航天知識競賽活動，現從中抽取 200 名學生，記錄他們的首輪
競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據圖形，請回答下列問題：
(1)若從成績不高于 60 分的同學中按分層抽樣方法抽取 10 人，求 10 人中成績不高于 50 分的人數；
(2)求 的值，并以樣本估計總體，估計該校學生首輪競賽成績的平均數以及中位數.
22．（23-24 高一下·遼寧朝陽·開學考試）對某校高三年級學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取 M
名學生，得到這 M 名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．
分組 頻數 頻率
[10,15) 10 0.20
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.04
合計 M 1
(1)求出表中 M，p 及圖中 a 的值；
(2)若該校有高三學生 300 人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[15,20)內的人數；
(3)估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數、中位數及平均數．（保留一位小數）
23．（23-24 高一下·內蒙古興安盟·期末）隨著社會經濟的發展，物業管理這個行業發展迅猛，某小區居民
代表組織居民對所屬物業公司的服務進行問卷調查，隨機選取了 200 戶居民的問卷評分（得分都在 50~100
分內，滿分 100 分），并將評分按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成 5 組，繪制成如圖
所示的頻率分布直方圖．
注：本次評分不低于 80 分的居民支持所屬物業公司延續服務；成績低于 80 分的居民支持更換新物業公司．
(1)求這 200 戶居民本次問卷評分的中位數及眾數；
(2)若該小區共有居民 1200 戶，試估計該小區居民支持所屬物業公司延續服務的有多少戶？
24．（23-24 高一下·天津河北·期末）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居
民用水情況進行了調查．通過抽樣，獲得了某年 100 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照
[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中 a 的值；
(2)已知該市有 30 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 3 噸的人數，說明理由；
(3)估計居民月均用水量的眾數、中位數，說明理由．
25．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）為了解甲、乙兩種農藥在某種綠植表面的殘留程度，進行如下試驗：將
100 株同種綠植隨機分成 、 兩組，每組 50 株，其中 組綠植噴甲農藥， 組綠植噴乙農藥，每株綠植所噴
的農藥體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在綠植表面的百分比，根據
試驗數據分別得到如圖直方圖：
記 為事件：“乙農藥殘留在表面的百分比不低于 5.5”，根據直方圖得到 (C)的估計值為 0.70．
(1)求乙農藥殘留百分比直方圖中 , 的值；
(2)估計甲農藥殘留百分比的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(3)估計乙農藥殘留百分比的中位數．（保留 2 位小數）
題型六 頻率分布直方圖中總體離散程度的估計
26．（23-24 高一上·遼寧沈陽·階段練習）某次考試后，年級組抽取了 100 名同學的數學考試成績，繪制了
如下圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據圖中數據計算參數 的值，并估算這 100 名同學成績的平均數和中位數，結果保留至百分位；
(2)已知這 100 名同學中，成績位于[80,90)內的同學成績方差為 12，成績位于[90,100)內的同學成績方差為
10，為了分析學優生的成績分布情況，請估算成績在 80 分及以上的同學的成績的平均數和方差．
27．（24-25 高二上·黑龍江·期末）教育局組織學生參加“防溺水”網絡知識問答，該地區有小學生 4500 人，
初中生 4300 人，高中生 2200 人，按學段比例分層抽樣，從中抽取 220 名學生，對其成績進行統計頻率分
析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中 的值；
(2)用樣本估計總體，估計該地區成績的中位數（保留小數點后兩位），并估計該地區學生成績大于等于 90
分的人數；
(3)教育局的工作人員在此次競賽成績中抽取了 10 名同學的分數： 1, 2, 3, , 10，已知這 10 個分數的平均
數 = 90，方差 2 = 25，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 個分數的平均數與方差.
（參考數據：982 = 9604，862 = 7396，89.52 = 8010.25）
28．（23-24 高一下·河北·期末）2023 年以來，河北省文化和旅游廳制定出臺推動文旅市場恢復振興的系列
措施，以豐富的旅游業態和高品質的文旅服務不斷提升游客出游體驗，促進文旅消費增長的同時，也使“這
么近，那么美，周末到河北”成為休閑度假新時尚．現為進一步發展河北文旅，提升河北經濟，在 5 月份對
來冀旅游的部分游客發起滿意度調查，從飲食、住宿、交通、服務等方面調查旅客滿意度，滿意度采用百
分制，統計的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中 = 4 ．
(1)求圖中 a 的值并估計滿意度得分的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)若有超過60%的人滿意度在 75 分及以上，則認為該月文旅成績合格．河北省 5 月份文旅成績合格了嗎
(3)河北文旅 6 月份繼續對來冀旅游的游客發起滿意度調查，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現知 6
月 1 日-6 月 15 日調查的 4 萬份數據中其滿意度的平均值為 80，方差為 75；6 月 16 日-6 月 30 日調查的 6 萬
份數據中滿意度的平均值為 90，方差為 70．由這些數據計算 6 月份的總樣本的平均數與方差．
29．（23-24 高一下·廣東廣州·期末）為推動習近平新時代中國特色社會主義思想深入人心，促進全社會形
成愛讀書、讀好書、善讀書的新風尚，培育有堅定理想信念、愛黨愛國、堪當民族復興大任的有為青年，
某學校舉辦了讀書節活動.現從該校的 2000 名學生中發放調查問卷，隨機調查了 100 名學生一周的課外閱讀
時間，將統計數據按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單
位：分鐘，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
(1)求 的值，若每周課外閱讀時間 60 分鐘以上（含 60 分鐘）視為達標，試估計該校達標的人數；
(2)估計該校學生每周課外閱讀的平均時間；
(3) 5若樣本數據在[0,20)與[20,40)內的方差分別為 2 = 3， 2 21 2 = 3，計樣本數據在[0,40)內的方差 .
30．（23-24 高一下·河南商丘·期末）2023 年 12 月，“爾濱”持續爆火，冰雪主題熱度狂飆，隨之而來的是大
家對冬季戶外運動裝備的高需求，從雪鞋 雪板等滑雪裝備，到手套 帽子等保暖用品，各家體育用品店在
這個冬天迎來“滑雪十”新熱潮．某體育用品制造企業為了提升產品質量，對現有的一條生產線進行技術升級
改造，為了分析改造的效果，該企業質檢人員從該條生產線所生產的體育用品中隨機抽取了1000件，檢測
產品的某項質量指標值，根據檢測數據得到下表（單位：件）．
質量指標值 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)
產品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估計這組樣本的質量指標值的平均數 和方差 2（同一組中的數據用該組區間中點值作代表）；
(2)設{ } + 表示不小于 的最小整數，[ ]表示不大于 的最大整數， = 5 , = 5 ，根據檢驗標準，
5 5
技術升級改造后，若質量指標值落在[ , )內的頻率超過65%，可認為生產線技術改造成功．請根據樣本數
據估計，是否可以判定生產線的技術改造是成功的？（參考數據： 171 ≈ 13， 241 ≈ 16）
題型七 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度
31．（23-24 高一下·寧夏·期末）某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵大家加入健步運動，要求 200 名職
工每天晚上 9：30 上傳手機計步截圖，對于步數超過 10000 的予以獎勵．圖 1 為甲乙兩名職工在某一星期
內的運動步數統計圖，圖 2 為根據這星期內某一天全體職工的運動步數做出的頻率分布直方圖．
(1)請根據頻率分布直方圖，求 m 的值，并求出該天運動步數不少于 15000 步的人數；
(2)估計全體職工在該天運動步數的眾數、平均數和中位數；
(3)如果當天甲的排名為第 130 名，乙的排名為第 40 名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖．
32．（23-24 高二上·四川成都·期末）為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨
機選取了 10 個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm） 記錄下來并繪制出折線圖：
(1)分別計算甲、 乙兩廠提供 10 個輪胎寬度的平均值；
(2)輪胎的寬度在[193，195]內，則稱這個輪胎是標準輪胎，試比較甲、 乙兩廠分別提供的 10 個輪胎中所
有標準輪胎寬度的方差的大小，根據兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個
廠的輪胎相對更好.
33．（23-24 高一下·湖北武漢·期末）近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經成為推動消費
的一種流行的營銷形式．某直播平臺 1200 個直播商家，對其進行調查統計，發現所售商品多為小吃、衣帽、
生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖所示．
(1)該直播平臺為了更好地服務買賣雙方，打算隨機抽取 60 個直播商家進行問詢交流．如果按照比例分層抽
樣的方式抽取，則應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？
(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對（1）中抽取的 60 個商家的平均日利潤進行了統計（單
位：元），所得頻率分布直方圖如右圖所示，請根據頻率分布直方圖計算下面的問題：
①估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數與平均數（結果保留一位小數，求平均數時同一組中的數據用
該組區間的中點值作代表）；
②若將平均日利潤超過 430 元的商家評為“優秀商家”，估計該直播平臺“優秀商家”的個數．
34．（24-25 高一下·全國·課后作業）甲、乙兩人在相同條件下各射靶 10 次，每次射靶的成績情況如圖所示：
（1）填寫下表：
平均數 方差 中位數 命中 9 環及以上
甲 7 1.2 1
乙 5.4 3
（2）請從四個不同的角度對這次測試進行分析：①結合平均數和方差分析離散程度；②結合平均數和中位
數分析誰的成績好些；③結合平均數和命中 9 環及以上的次數看誰的成績好些；④從折線圖上看兩人射靶
命中環數及走勢分析誰更有潛力.
35．（23-24 高一下·廣東東莞·期末）樹人中學男女學生比例約為2:3，某數學興趣社團為了解該校學生課外
體育鍛煉情況（鍛煉時間長短（單位：小時），采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生 人，女生 人
進行調查．記男生樣本為 1， 2， ， ，樣本平均數、方差分別為 、 21；女生樣本為 1， 2， ， ，
樣本平均數、方差分別為 、 2；總樣本平均數、方差分別為 、 22 .

(1)證明： ( )2 2 = 1 + ( )2 ；
=1
(2)該興趣社團通過分析給出以下兩個統計圖，假設兩個統計圖中每個組內的數據均勻分布，根據兩圖信息
分別估計男生樣本、女生樣本的平均數；
(3)已知男生樣本方差 21 = 5.5，女生樣本方差 22 = 5.7，請結合（2）問的結果計算總樣本方差 2的估計值.專題 9.4 統計圖的相關運算大題專項訓練【七大題型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班級：___________考號：___________
題型一 繪制、補全頻率分布直方圖
1．（2024 高一下·江蘇·專題練習）有一容量為 50 的樣本，數據的分組及各組的數據如下：[10,15)，4；
[30,35)，9；[15,20)，5；[35,40)，8；[20,25)，10；[40,45]，3；[25,30)，11.
(1)列出樣本頻率分布表；
(2)畫出頻率直方圖及頻率折線圖.
【解題思路】（1）由各組的頻數除以樣本容量即可求得頻率分布表；
（2）根據（1）中的頻率除以組距得到各組的縱坐標，進而繪制出頻率分布直方圖，然后連接各個小矩形
頂端的中點得到頻率分布折線圖.
【解答過程】（1）由所給的數據，不難得出以下樣本的頻率分布表.
數據段 頻數 頻率
[10,15) 4 0.08
[15,20) 5 0.10
[20,25) 10 0.20
[25,30) 11 0.22
[30,35) 9 0.18
[35,40) 8 0.16
[40,45] 3 0.06
合計 50 1
（2）頻率直方圖如圖 1 所示，頻率折線圖如圖 2 折線部分所示.
2．（2024 高一下·江蘇·專題練習）某校高二年級期末統一測試，隨機抽取一部分學生的數學成績，分組統
計如下表.
分組 頻數 頻率
[0,30) 3 0.03
[30,60) 3 0.03
[60,90) 37 0.37
[90,120) m n
[120,150] 15 0.15
合計 M N
(1)求出表中 , , , 的值，并根據表中所給數據在給出的坐標系中畫出頻率直方圖；
(2)若全校參加本次考試的學生有 600 人，試估計這次測試中全校成績在 90 分以上的人數.
【解題思路】（1）利用頻率分布表的性質依次求得 , , , ，再利用頻率分布直方圖的作法即可得解；
（2）利用頻率分布表，結合比例列式即可得解.
3
【解答過程】（1）由頻率分布表得 = 0.03 = 100，
= 100 (3 + 3 + 37 + 15) = 42, = 42所以 100 = 0.42， = 0.03 + 0.03 + 0.37 + 0.42 + 0.15 = 1，
頻率直方圖如圖所示，
2 42+15（ ）由題意，知全校成績在 90 分以上的學生的人數約為 100 × 600 = 342.
3．（24-25 高一下·江西南昌·階段練習）某班同學利用勞動節進行社會實踐，對 25，55 歲的人群隨機抽取
n 人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非
低碳族”，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
組數 分組 低碳族的人數 占本組的頻率
第一組 25，30 120 0.6
第二組 30，35 195
第三組 35，40 100 0.5
第四組 40，45 0.4
第五組 45，50 30 0.3
第六組 50，55 15 0.3
（1）補全頻率分布直方圖并求 n、a、p 的值；
（2）從年齡段在 40，50 的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取 6 人參加戶外低碳體驗活動，其中每組各選多
少人？
【解題思路】（1）根據頻率分步直方圖的面積是這組數據的頻率，求出頻率，除以組距得到高，畫出頻率
分步直方圖的剩余部分，根據頻率，頻數和樣本容量之間的關系，做出 n、a、p 的值．
（2）根據分層抽樣方法求出兩個部分的人數即可．
【解答過程】（1）第二組的頻率為1 (0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.3，
0.3
所以高為 5 = 0.06.頻率分布直方圖如下：
120
第一組的人數為 0.6 = 200，頻率為0.04 × 5 = 0.2，
200
所以 = 0.2 = 1000．
由題可知，第二組的頻率為0.3，
所以第二組的人數為1000 × 0.3 = 300，
= 195所以 300 = 0.65．
第四組的頻率為0.03 × 5 = 0.15，
所以第四組的人數為1000 × 0.15 = 150，
所以 = 150 × 0.4 = 60．
（2）因為 40，45 歲年齡段的“低碳族”與 45，50 歲年齡段的“低碳族”的比值為 2：1，
所以采用分層抽樣法抽取 6 人， 40，45 歲中有 4 人， 45，50 歲中有 2 人．
4．（23-24 高一下·陜西西安·階段練習）某地有 2000 名學生參加數學學業水平考試，現將成績匯總，得到
如圖所示的頻率分布表．
成績分 頻數頻 成績分
組 率 組
[50,60] 100
(60,70]
(70,80] 800
(80,90]
(90,100] 200
(1)請完成題目中的頻率分布表，并補全題目中的頻率分布直方圖；
(2)將成績按分層抽樣的方法抽取 150 名同學進行問卷調查，甲同學在本次測試中數學成績為 95 分，求他被
抽中的概率．
頻率
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖，利用頻率、頻數與樣本容量的關系，填寫頻率分布表，計算 ，
組距
補全頻率分布直方圖即可；
2 150（ ）用分層抽樣方法，該同學被抽中的概率是與每一個同學的幾率相等，為2000．
【解答過程】（1）完成題目中的頻率分布表，如下；
成績分組 頻數 頻率
[50,60] 100 0.05
(60,70] 600 0.30
(70,80] 800 0.40
(80,90] 300 0.15
(90,100] 200 0.10
補全題目中的頻率分布直方圖，如下；
（2）將成績按分層抽樣的方法抽取 150 名同學進行問卷調查，
甲同學在本次測試中數學成績為 95 分，
150
他被抽中的概率為2000 = 0.075．
5．（2024·全國·模擬預測）以“建設包容、普惠、有韌性的數字世界——攜手構建網絡空間命運共同體”為
主題的 2023 年世界互聯網大會烏鎮峰會于 11 月 8 日至 10 日在中國浙江省烏鎮舉行．為保障大會順利進行，
世界互聯網大會的秘書處從招募的志愿者中隨機抽取 100 名進行了一次互聯網知識競賽，所得成績（單位：
分）均在[50,100]內，并制成如下頻數分布表：
成績/分 [90,100]
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
頻數 8 28 20 12
(1)根據頻數分布表，在下圖中作出頻率分布直方圖；
(2)以樣本估計總體，記競賽成績不低于 86 分的志愿者為優秀志愿者，則優秀志愿者的占比能否達到 20%？
【解題思路】（1）先求出 n 值，再確定每組的頻率再畫圖即可；
（2）計算出不低于 86 分的志愿者的頻率即可求解.
【解答過程】（1） = 100 8 28 20 12 = 32，
不同成績對應的頻率如下表：
成績/分 [90,100]
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
頻數 8 28 32 20 12
頻率 0.08 0.28 0.32 0.20 0.12
作出頻率分布直方圖如圖所示：
（2）在隨機抽取的 100 名志愿者中，不低于 86 分的志愿者的頻率為0.012 × 10 + 0.02 × (90 86)
= 0.12 + 0.08 = 0.2，故優秀志愿者的占比能達到 20%．
題型二 頻率分布直方圖的相關計算問題
用向量證明線段垂直
6．（24-25 高一上·全用向國量證·課明線后段垂作直業）中小學生的視力狀況受到全社會的廣泛關注，某市有關部門對全市 4 萬
名初中生的視力狀況進行一次抽樣調查統計，所得到的有關數據繪制成頻率分布直方圖，如圖，從左至右
五個小組的頻率之比是 2∶4∶9∶7∶3，第五小組的頻數是 30．
(1)本次調查共抽調了多少名學生？
(2)如果視力在[4.85,5.15）屬正常，那么全市初中生視力正常的約有多少人？
【解題思路】（1）由第五小組的頻數得出比列，再根據頻率分布直方圖計算出可得頻數；
（2）求出第 4 組頻率，從而可得總人數；
【解答過程】（1）因為頻率之比等于頻數之比，設第一小組的頻數為2 ，所以各組的頻數依次為，
于是3 = 30，所以 = 10．
所以本次調查共抽調的學生人數為20 + 40 + 90 + 70 + 30 = 250．
（2）因為視力在[4.85,5.15）范圍內的有 70 人，
70
所以頻率為250 = 0.28，
所以全市初中生視力正常的約有40000 × 0.28 = 11200（人）.
7．（23-24 高一下·江蘇無錫·期末）我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了
了解全市居民生活用水量分布情況，通過抽樣，獲得 100 戶居民月均用水量（單位：m3），將數據按照
[0,4)，[4,8)，…，[32,36)分成 9 組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．為了鼓勵居民節約用水，該市政府
在本市實行居民生活用水“階梯水價”：第一階梯為每戶每月用水量不超過20m3的部分按 3 元/m3收費，第
二階梯為超過20m3但不超過28m3的部分按 5 元/m3收費，第三階梯為超過28m3的部分按 8 元/m3收費．
(1)求直方圖中 的值；
(2)已知該市有 20 萬戶居民，估計全市居民中月均用水費用不超過 60 元的用戶數；
(3)該市政府希望使至少有95%的用戶每月用水量不超過第二階梯收費標準，請根據樣本數據判斷，現行收
費標準是否符合要求？若不符合，則應該將第二階梯用水量的上限至少上調到多少m3？
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖的矩形面積之和為 1，即可列式求解；
（2）由題意可知用戶月均用水費用不超過 60 元，即用戶月均用水不超過20cm3，算出頻率，得出全市不超
過 60 元的用戶數；
（3）首先計算抽取的 100 戶居民月均用水量不超過28m3的頻率和不超過32m3的頻率，從而判斷是否符合
要求，以及根據比例確定上調到的數量.
【解答過程】（1）由直方圖可知，
(0.010 + 0.020 + + 0.050 + 0.065 + + 0.015 + 0.010 + 0.005) × 4 = 1,
解得： = 0.0375；
（2）居民用水量為20m3時，收費為60元，
所以用水費用不超過 60 元，則用水量小于等于20m3，
由頻率分布直方圖可知，用水量小于等于20m3的頻率為(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065)
× 4 = 0.73；
20 × 0.73 = 14.6萬戶，
所以全市居民中月均用水費用不超過 60 元的用戶數為14.6萬戶.
（3）抽取的 100 戶居民月均用水量不超過28m3的頻率為：
(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065 + 0.0375 + 0.015) × 4 = 0.94，
0.94 < 0.95，所以現行收費標準不符合要求，
抽取的 100 戶居民月均用水量不超過32m3的頻率為：
(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065 + 0.0375 + 0.015 + 0.010) × 4 = 0.98，
0.95 0.94
0.98 0.94 × (32 28) = 1，
現行收費標準不符合要求，需將第二階段用水量的上限至少上調到29m3.
8．（24-25 高一下·吉林長春·階段練習）某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),
[180,200)，[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．
(1)求直方圖中 的值；
(2)在這100戶居民中，月平均用電量不低于220度的有多少戶？
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶
居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？
【解題思路】（1）利用頻率分布表各小矩形面積和為 1，列式計算即得.
（2）根據頻率分布直方圖求出[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]內的頻率，再利用頻率乘以樣本容
量即得.
（3）利用（2）的信息，求出分層抽樣的抽樣比即可計算得解.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖，得
(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + + 0.005 + 0.0025) × 20 = 1，解得 = 0.0075，
所以直方圖中 x 的值是0.0075.
（2）月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125 × 20 × 100 = 25戶，
月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075 × 20 × 100 = 15戶，
月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005 × 20 × 100 = 10戶，
月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025 × 20 × 100 = 5戶，
所以月平均用電量不低于220度的有25 + 15 + 10 + 5 = 55戶.
11 1
（3）由（2）可知，抽取比例為25+15+10+5 = 5，
1
所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取25 × 5 = 5戶．
9．（23-24 高一下·福建福州·期末）我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市為了制定
合理的節水方案，需要了解全市居民用水量分布情況．通過抽樣，獲得了 位居民某年的月均用水量（單位：
t），將數據按照[0,0.5)，[0.5,1)， ，[4,4.5]分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，若已知樣本
數據落在區間[1.5,2)的頻數為 20．
(1)求樣本容量 和頻率分布直方圖中 的值；
(2)用樣本頻率估計總體，若該市有 60 萬居民，市政府希望使 51 萬的居民每月的用水量不超過標準 t，試
估計 的值，并說明理由．
【解題思路】（1）由頻率分布直方圖的性質，列出方程求得 = 0.40，結合題意，進而求得樣本容量；
（2）解法 1：根據頻率分布直方圖，求得前 5 組和前 6 組的頻率，得到2.5 < < 3，結合題意，列出方程，
即可求解；
解法 2：根據題意，得出 (0.08 + 0.18 + 0.30 + 0.40 + 0.50) × 0.5 + 0.3( 2.5) = 0.85，即可求解；
解法 3：根據頻率分布直方圖，求得前 5 組和前 6 組的頻率，得到 85%分位數位于區間[2.5,3)，結合百分位
數的計算方法，即可求解.
【解答過程】（1）解：由頻率分布直方圖的性質，可得：
(0.08 + 0.16 + 0.30 + + 0.52 + 0.30 + 0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 1，解得 = 0.40，
因為樣本數據落在[1.5,2)的頻數為20，所以樣本容量為 = 200.4×0.5 = 100.
（2）解法 1：因為 60 萬居民中有 51 萬不超過標準，即有 85%的居民的用水量不超過標準．
由樣本數據得，前 6 組[0,3)的頻率之和為1 (0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.88 > 0.85，
前 5 組[0,2.5)的頻率之和為1 (0.30 + 0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.73 < 0.85，
可得2.5 < < 3，
又由0.3 × ( 2.5) = 0.85 0.73，解得 = 2.9．
因此，由樣本估計總體，估計月用水量標準為 2.9t 時，約有 51 萬的居民每月的用水量不超過標準．
解法 2：因為 60 萬居民中有 51 萬不超過標準，即有 85%的居民的用水量不超過標準．
根據題意，可得(0.08 + 0.18 + 0.30 + 0.40 + 0.50) × 0.5 + 0.3( 2.5) = 0.85，
解得 = 2.9，
因此，由樣本估計總體，估計月用水量標準為 2.9t 時，約有 51 萬的居民每月的用水量不超過標準．
解法 3：因為 60 萬居民中有 51 萬不超過標準，即有 85%的居民的用水量不超過標準．
由樣本數據得，前 6 組[0,3)的頻率之和為1 (0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.88 > 0.85，
前 5 組[0,2.5)的頻率之和為1 (0.30 + 0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.73 < 0.85，
因此，85%分位數一定位于區間[2.5,3)，
∵ 2.5 + 0.5 × 0.85 0.730.88 0.73 = 2.9，可以估計 85%分位數約為2.9，
因此，由樣本估計總體，估計月用水量標準為 2.9t 時，約有 51 萬的居民每月的用水量不超過標準．
10．（24-25 高二下·安徽滁州·開學考試）某大學藝術專業 400 名學生參加某次測評，根據男女學生人數比
例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了 100 名學生，記錄他們的分數，將數據分成 7 組：
[20,30),[30,40), ,[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)從總體的 400 名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于 70 的概率；
(2)已知樣本中分數小于 40 的學生有 5 人，試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數；
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于 70，且樣本中分數不小于 70 的男女生人數相等.試估計總體中男生
和女生人數的比例.
【解題思路】（1）先計算出樣本中分數不小于 70 的頻率，然后算出樣本中分數小于 70 的頻率，由頻率估
計概率即可；
（2）先由已知求出樣本 100 人中分數在區間[40,50)內的人數，然后估計總體中分數在區間[40,50)內的人數
即可；
（3）先求出樣本中男生女生的人數，由分層抽樣的原理可知，樣本中男生和女生人數的比例就是總體中男
生和女生人數的比例.
【解答過程】（1）根據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于 70 的頻率為(0.02 + 0.04) × 10 = 0.6，
所以樣本中分數小于 70 的頻率為1 0.6 = 0.4，所以從總體的 400 名學生中隨機抽取一人，其分數小于 70
的概率估計為 0.4.
（2）根據題意，樣本中分數不小于 50 的頻率為(0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02) × 10 = 0.9，
分數在區間[40,50)內的人數為100 100 × 0.9 5 = 5，
所以總體中分數在區間[40,50)內的人數估計為400 × 5100 = 20.
（3）由題意可知，樣本中分數不小于 70 的學生人數為(0.02 + 0.04) × 10 × 100 = 60，
1
所以樣本中分數不小于 70 的男生人數為60 × 2 = 30，
所以樣本中的男生人數為30 × 2 = 60，女生人數為100 60 = 40，
所以樣本中男生和女生人數的比例為60:40 = 3:2，所以根據分層抽樣原理，估計總體中男生和女生人數的
比例為3:2.
題型三 統計圖的綜合應用問題
11．（24-25 高一上·全國·課后作業）某廠生產一種產品，圖①是該廠第一季度三個月產量的統計圖，圖②
是這三個月的產量與第一季度總產量的比例分布統計圖，統計員在制作圖①，圖②時漏填了部分數據．根
據上述信息，回答下列問題：
(1)該廠第一季度幾月份的產量最高？
(2)該廠一月份的產量占第一季度總產量的百分比是多少？
(3)該廠質檢科從第一季度的產品中隨機抽樣，抽檢結果發現樣品的合格率為98%．請你估計該廠第一季度
大約生產了多少件合格的產品？（寫出解答過程）
【解題思路】（1）根據條形統計圖判斷；
（2）根據扇形統計圖求解；
（3）由兩統計圖結合求出第一季度總產量，再乘以98%可得答案.
【解答過程】（1）由條形統計圖可知，三月的產量最高．
（2）該廠一月份的產量占第一季度總產量的百分比為1 38% 32% = 30%.
（3）該廠共生產1900 ÷ 38% = 5000（件）產品．因為合格率為98%，
所以該廠第一季度大約生產了5000 × 98% = 4900（件）合格的產品．
12．（24-25 高一上·全國·課后作業）某校分別于 2020 年、2022 年隨機調查相同數量的學生，對數學課開
展小組合作學習的情況進行調查（開展情況分為極少、有時、常常、總是共四種），繪制成部分統計圖如
下．請根據圖中信息，解答下列問題：
(1) = ________%， = ________%，“總是”對應扇形統計圖中的圓心角度數為________；
(2)請你補全條形統計圖；
(3)若該校 2022 年共有 1200 名學生，請你統計其中認為數學課“總是”開展小組合作學習的學生有多少名？
(4)相比 2020 年，2022 年數學課開展小組合作學習的情況有何變化？
【解題思路】（1）利用開展情況為總是的人數得出總人數，進而由人數或比例求解即可；
（2）利用比例計算“有時”、“常常”的人數，再填表；
（3）利用比例計算數學課“總是”的人數；
（4）觀察條形統計圖，得出結論.
【解答過程】（1）80 ÷ 40% = 200（人），
= 38200 × 100% = 19%，
= 100% 40% 21% 19% = 20%，
圓心角度數為40% × 360° = 144°．
（2）“有時”的人數為20% × 200 = 40（人），“常常”的人數為200 × 21% = 42（人），
如圖所示．
3 80（ ）1200 × 200 = 480（人），故認為數學課“總是”開展小組合作學習的學生有 480 人．
（4）相比 2020 年，2022 年數學課開展小組合作學習的情況有所好轉．
13．（24-25 高一上·全國·課后作業）以下是某手機店根據某手機銷售的相關數據繪制的統計圖的一部分.請
根據圖 1、圖 2 解答下列問題:
(1)來自該店財務部的數據報告表明，該手機店 1~4 月的手機銷售總額一共是 290 萬元，請將圖 1 中的統計
圖補充完整;
(2)該店 1 月份音樂手機的銷售額為多少萬元
(3)小剛觀察圖 2 后，認為 4 月份音樂手機的銷售額比 3 月份減少了，你同意他的看法嗎 請說明理由.
【解題思路】（1）用 290 減去 1 月，2 月和 4 月的銷售額可得 3 月份的銷售額，從而可將圖 1 中的統計圖
補充完整，
（2）用 1 月份的銷售額乘以 1 月份音樂手機所占的百分比可得結果，
（3）根據兩個分別計算 3 月份和 4 月份音樂手機的銷售額，然后比較可得結論.
【解答過程】（1）290 (85 + 80 + 65) = 60（萬元），補圖如下圖.
（2）85 × 23% = 19.55（萬元），所以該店 1 月份音樂手機的銷售額為19.55萬元.
（3）不同意.理由如下:
3 月份音樂手機的銷售額是60 × 18% = 10.8（萬元），
4 月份音樂手機的銷售額是65 × 17% = 11.05（萬元），
而10.8 < 11.05，因此 4 月份音樂手機的銷售額比 3 月份的銷售額增多了.
14．（23-24 高一上·江西贛州·開學考試）某校為了解學生第一個“雙減”后的暑假最期待什么活動，校學生
會隨機對該校七年級部分學生進行了問卷調查，調查結果分為四個類別：A 表示“廣泛閱讀”，B 表示“勞動
實踐”，C 表示“戶外運動”，D 表示“其他”，每個同學只能選擇其中的一項，根據調查統計結果，繪制成兩
種不完整的統計圖．請結合統計圖，回答下列問題．
(1)參加這次調查的學生總人數為______ 人；
(2)將條形統計圖補充完整；
(3)該校七年級有 800 名學生，估計全校七年級學生中最期待“勞動實踐”的約有多少名？
【解題思路】（1）根據扇形圖中 C 的比例結合條形圖中相應的人數，即可求得答案；
（2）求出 B 的人數，即可將條形統計圖補充完整；
（3）計算最期待“勞動實踐”的學生比例，結合總數，即可得答案.
【解答過程】（1）參加這次調查的學生總人數為：15 ÷ 30% = 50(人)；
故答案為：50；
（2）
由題意得 B 的人數為：50 9 15 18 = 8 (人)，
將條形統計圖補充完整如下：
8
（3）800 × 50 = 128（名），
答：估計全校七年級學生中最期待“勞動實踐”的約有128名．
15．（2025 高一·全國·專題練習）某市為了增強學生體質，全面實施“學生飲用奶”營養工程．某品牌牛奶供
應商提供了原味、草莓味、菠蘿味、香橙味、核桃味五種口味的牛奶供學生飲用．某中學為了了解學生對
不同口味牛奶的喜好，對全校訂購牛奶的學生進行了隨機調查(每盒各種口味牛奶的體積相同)，繪制了如下
兩張不完整的統計圖：
(1)本次被調查的學生有多少名？
(2)補全上面的條形統計圖①，并計算出喜好菠蘿味牛奶的學生人數在扇形統計圖②中所占圓心角的度數；
(3)該校共有 1200 名學生訂購了該品牌的牛奶，牛奶供應商每天只為每名訂購牛奶的學生配送一盒牛奶．要
使學生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供應商每天送往該校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少
盒？
【解題思路】（1）根據題意，由核桃味的人數以及其占比，即可得到樣本容量；
（2）根據題意，直接補全條形圖，再由喜好菠蘿味牛奶的學生人數占比，即可得到其所占圓心角的度數；
（3）根據題意，代入公式計算即可得到結果.
【解答過程】（1）根據喜好核桃味的學生數，得本次被調查的學生數(樣本容量)為10 ÷ 50 0 = 200.
（2）喜好香橙味牛奶的學生數是200 38 62 50 10 = 40
補全條形圖如圖所示，
喜好菠蘿味牛奶的學生人數為 50，
50
在扇形統計圖中所占圓心角的度數為200 × 360° = 90°
1200
（3）草莓味要比原味多 200 × (62 38) = 144 (盒)．
題型四 頻率分布直方圖中總體百分位數的估計
16．（24-25 高二上·云南保山·期末）保山古稱永昌，“永子”即永昌所產的圍棋子，又名“永棋”．以保山南
紅瑪瑙、玉石、天然琥珀等珍貴原料，采用保密配方、經絕技熔煉和傳統手工點“丹”而成．為了讓學生更好
了解和學習保山永子文化的歷史淵源、永子的制作技藝以及此文化的傳承與發展歷史，2024 年 12 月，保山
市某校組織了所有學生參加“永子”文化測試，該校一數學興趣小組從所有成績（滿分 100 分，最低分 50 分）
中，隨機調查了 200 名參與者的測試成績，將他們的成績按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
分組，并繪制出了部分頻率分布直方圖如圖所示．
(1)請將頻率分布直方圖補充完整；
(2)估計該校所有學生成績的第 70 百分位數；
(3)從成績在[70,80)，[80,90)內的學生中用分層抽樣的方法抽取 7 人，再從這 7 人中隨機抽取 2 人開座談會，
求這 2 人來自不同分組的概率．
【解題思路】（1）根據各頻率的和為 1 結合頻率分布直方圖求出成績在[70,80)的頻率，從而可將頻率分布
直方圖補充完整；
（2）先利用頻率分布直方圖判斷出第 70 百分位數在[80，90)內，然后列式求解即可；
（3）根據分層抽樣的定義結合頻率分布直方圖求出從成績在[70,80)，[80,90)內所抽陛的人數，然后利用列
舉法可求得結果.
【解答過程】（1）成績在[70,80)的頻率為1 (0.005 + 0.010 + 0.040 + 0.015) × 10 = 0.3，
補充完整的頻率分布直方圖如圖所示：
（2）由頻率分布直方圖可知成績小于 80 分的學生所占比例為5% +10% +30% = 45%，
成績小于 90 分的學生所占比例為45% +40% = 85%，
所以第 70 百分位數一定在[80，90)內，
因為80 + 0.70 0.450.04 = 86.25，
所以估計該校所有學生成績的第 70 百分位數約為 86.25 分．
（3）由分層抽樣的方法可知，抽取的 7 人中，成績在[70，80)內的有 3 人，分別記為 1, 2, 3；
成績在[80，90)內的有 4 人，分別記為 1, 2, 3, 4，
則從這 7 人中隨機抽取 2 人的所有基本事件為： 1 2， 1 3， 1 1， 1 2， 1 3， 1 4，
2 3， 2 1， 2 2， 2 3， 2 4， 3 1， 3 2， 3 3， 3 4， 1 2, 1 3, 1 4，
2 3, 2 4, 3 4，共 21 種，
“記這 2 人來自不同分組”為事件 A，其基本事件有 1 1， 1 2， 1 3， 1 4， 2 1， 2 2，
2 3， 2 4， 3 1， 3 2， 3 3， 3 4，共 12 種，
2 ( ) = 12 4故這 人來自不同分組的概率為 21 = 7.
17．（24-25 高一上·遼寧朝陽·期末）對于居民生活用水，某市實行階梯水價．具體來說，季度用水量在40m3
及以下的部分，收費標準為 3 元/m3；季度用水量超過40m3但不超過80m3的部分，收費標準為 4 元/m3；
季度用水量超過80m3的部分，收費標準為 6 元/m3．
(1)求某戶居民用水費用 （單位：元）關于季度用水量 （單位：m3）的函數關系式；
(2)為了了解居民的用水情況，通過抽樣獲得了 2024 年第三季度本市 1000 戶居民每戶的季度用水量，統計
分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這 1000 戶居民中，季度用水費用超過 200 元的有 400 戶，求直
方圖中 , 的值以及季度用水量的第 75 百分位數．
【解題思路】（1）根據題設依次寫出0 ≤ ≤ 40、40 < ≤ 80、 > 80對應解析式，進而寫出分段函數形
式；
（2）根據頻率直方圖求參數，由百分位數的定義求季度用水量的第 75 百分位數.
【解答過程】（1）當0 ≤ ≤ 40時， = 3 ；
當40 < ≤ 80時， = 3 × 40 + 4( 40) = 4 40；
當 > 80時， = 3 × 40 + 4 × 40 + 6( 80) = 6 200；
3 ,0 ≤ ≤ 40
所以 與 之間的函數關系式為 = 4 40,40 < ≤ 80 .
6 200, > 80
（2）由（1）知，當 = 200時， = 60，即季度用水量超過60m3的占40%，
0.005 × 20 + 20 + 0.015 × 20 = 0.6
結合頻率分布直方圖知 20 + 20 + 0.0025 × 20 = 0.4 ，解得 = 0.0075, = 0.0100．
設第75%分位數為 ，
因為季度用水量低于60m3的所占比例為60%，低于80m3的占0.6 + 20 × 0.01 = 80%，
所以第75%分位數 在[60,80)內，故0.6 + ( 60) × 0.01 = 0.75，解得 = 75，
即季度用水量的第75%分位數為75m3．
18．（24-25 高二上·四川綿陽·期中）從某小區抽取 100 戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的用電量
都在50~350kW h之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區間）畫出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中 的值；
(2)政府為了倡議市民節約用電，計劃對居民生活用電費用實施階梯式電價制度，即確定一戶居民月用電量
標準 ，用電量不超過 的部分按照平價收費，超出部分按照議價收費，若使 85%居民用戶的電費支出不受
影響，應確定 值為多少
【解題思路】（1）由頻率分布直方圖的性質可知每組小矩形的面積之和為 1 求解；
（2）由標準 度為求該直方圖 85%分位數求解.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖的性質可知每組小矩形的面積之和為 1，
可得：(0.0024 + 0.0036 + 0.0060 + + 0.0024 + 0.0012) × 50 = 1，
解得 = 0.0044；
（2）由題意知，要使得 85%居民用戶的電費支出不受影響，
即 85%的居民每月的用電量不超過標準 度，也即 為求該直方圖 85%分位數.
因為前 4 個分組頻率之和為 0.12+0.18+0.3+0.22=0.82，
所以 85%分位數在第五組，則有：
0.82 + 25050 × 0.12 = 0.85，
解得 = 262.5.
19．（24-25 高二上·北京平谷·階段練習）某高中高一 500 名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，
使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了 100 名學生，記錄他們的分數，將數據分成 7 組：[20,30),[30,40), ,
[80,90]，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)從總體的 500 名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于 60 的概率（寫出計算過程）；
(2)已知樣本中分數小于 40 的學生有 5 人，試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數（寫出計算過程）；
(3)估計測評成績的75%分位數.（寫出計算過程）
【解題思路】（1）由對立事件結合頻率分布直方圖先得出數不小于 60 的頻率，即可得出分數小于 60 的頻
率，則可得出總體的 500 名學生中隨機抽取一人，其分數小于 60 的概率估計值；
（2）先由頻率分布直方圖可得分數不小于 50 的頻率，即可得出分數不小于 50 的人數，在集合題意即可得
出總體中分數在區間[40,50)內的人數；
（3）測評成績的 75%分位數先得出從前到后的頻率之和為 0.75 時在哪個區間，再通過頻率求出.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得分數不小于 60 的頻率為：(0.02 + 0.04 + 0.02) × 10 = 0.8，
則分數小于 60 的頻率為：1 0.8 = 0.2，故從總體的 500 名學生中隨機抽取一人，其分數小于 60 的概率估
計為0.2.
（2）由頻率分布直方圖可得分數不小于 50 的頻率為：(0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02) × 10 = 0.9，
則分數在區間[40,50)內的人數為：100 100 × 0.9 5 = 5人.
5
則總體中分數在區間[40,50)內的人數為：500 × 100 = 25人.
（3）由頻率分布直方圖可得分數小于 70 的頻率為 0.4，分數小于 80 的頻率為 0.8，則測評成績的 75%分位
0.35
數落在區間[70,80)上，則測評成績的 75%分位數為70 + 10 × 0.4 = 78.75.
20．（23-24 高一下·安徽·期末）某廠引進一種生產新能源汽車關鍵部件的設備，為了解該設備生產的關鍵
部件的某項指標的情況，隨機抽取了 100 件關鍵部件的該項指標數據，按[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),
[30,35]分組，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求 的值；
(2)估計樣本中指標數據的70%分位數．
【解題思路】（1）頻率分布直方圖中，所有矩形的面積和為 1，列出關于 的方程，求解即可．
（2）根據百分位數的概念求解即可．
【解答過程】（1）由圖可知，5 × (0.02 + + 0.05 + 0.08 + 0.02) = 1，
解得 = 0.03．
（2）由頻率分布直方圖可知，數據小于 25 的指標數據所占比例為10% +15% +25% = 50%，
數據小于 30 的指標數據所占比例為10% +15% +25% +40% = 90%，
所以70% 0.70 0.50分位數一定在[25,30)內，由25 + 0.08 = 27.5，
所以估計樣本中指標數據的70%分位數為 27.5．
題型五 頻率分布直方圖中集中趨勢參數的計算
21．（23-24 高一下·全國·課后作業）在神舟十五號載人飛行任務取得了圓滿成功的背景下.某學校高一年級
利用高考放假期間組織 1200 名學生參加線上航天知識競賽活動，現從中抽取 200 名學生，記錄他們的首輪
競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據圖形，請回答下列問題：
(1)若從成績不高于 60 分的同學中按分層抽樣方法抽取 10 人，求 10 人中成績不高于 50 分的人數；
(2)求 的值，并以樣本估計總體，估計該校學生首輪競賽成績的平均數以及中位數.
【解題思路】（1）先分別求出[40,50),[50,60)的頻率，進而由 10 乘以抽樣比可求答案；
（2）根據頻率的性質，利用各小長方形的面積和等于 1 可求 ；利用各組中值與頻率可估計平均數；先確
定中位數所在的小長方形，再設中位數為 ，進而利用面積等于 0.5 即可求解.
【解答過程】（1）從圖中可知組距為10，則[40,50),[50,60)的頻率分別為0.1,0.15，
從成績不高于 60 分的同學中按分層抽樣方法抽取 10 人時，
0.1
成績不高于 50 分的人數為10 × 0.1+0.15 = 4（人）.
（2）由圖可知0.1 + 0.15 + 0.15 + 10 + 0.25 + 0.05 = 1，解得 = 0.030.
使用組中值與頻率可估計平均數為
0.1 × 45 + 0.15 × 55 + 0.15 × 65 + 0.3 × 75 + 0.25 × 85 + 0.05 × 95 = 71.
因為0.1 + 0.15 + 0.15 = 0.4 < 0.5且0.1 + 0.15 + 0.15 + 0.3 = 0.7 > 0.5，
所以中位數在[70,80)內，
70 220
設估計的中位數為 ，則0.4 + 10 × 0.3 = 0.5，得 = 3 .
22．（23-24 高一下·遼寧朝陽·開學考試）對某校高三年級學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取 M
名學生，得到這 M 名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．
分組 頻數 頻率
[10,15) 10 0.20
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.04
合計 M 1
(1)求出表中 M，p 及圖中 a 的值；
(2)若該校有高三學生 300 人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[15,20)內的人數；
(3)估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數、中位數及平均數．（保留一位小數）
【解題思路】（1）借助頻數、頻率與總數之間的關系計算即可得；
（2）以所得頻率估計概率計算即可得；
（3）借助眾數、中位數及平均數的定義計算即可得.
【解答過程】（1）由分組[10,15) 10對應的頻數是 10，頻率是 0.20，知 = 0.20，所以 = 50，

所以10 + 24 + + 2 = 50，解得 = 14，所以 = = 14 50 = 0.28 =
24
， 50×5 = 0.096；
2 24（ ）估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[15,20)內的人數為50 × 300 = 144；
15+20
（3）估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數是 2 = 17.5．
24
因為 = 50 = 0.48，所以估計該校高三學生參加社區服務次數的中位數 x 滿足：
0.2 + ( 15) × 0.485 = 0.5，
解得 = 18.125，所以該校高三學生參加社區服務次數的中位數約為 18.1，
由12.5 × 0.20 + 17.5 × 0.48 + 22.5 × 0.28 + 27.5 × 0.04 = 18.3，
所以估計該校高三學生參加社區服務次數的平均數是 18.3.
23．（23-24 高一下·內蒙古興安盟·期末）隨著社會經濟的發展，物業管理這個行業發展迅猛，某小區居民
代表組織居民對所屬物業公司的服務進行問卷調查，隨機選取了 200 戶居民的問卷評分（得分都在 50~100
分內，滿分 100 分），并將評分按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成 5 組，繪制成如圖
所示的頻率分布直方圖．
注：本次評分不低于 80 分的居民支持所屬物業公司延續服務；成績低于 80 分的居民支持更換新物業公司．
(1)求這 200 戶居民本次問卷評分的中位數及眾數；
(2)若該小區共有居民 1200 戶，試估計該小區居民支持所屬物業公司延續服務的有多少戶？
【解題思路】（1）在頻率分布直方圖中，所有小長方形面積之和等于 1，解出 的值，再根據中位數的公式
和求眾數的公式計算得出結果；
（2）先計算小區居民支持所屬物業公司延續服務的概率，在計算小區居民支持所屬物業公司延續服務的戶
數．
【解答過程】（1）由圖知，10 × (0.010 + + 0.020 + 0.025 + 0.030) = 1，
解得 = 0.015．
評分在[50,70)的頻率為10 × (0.010 + 0.020) = 0.3 < 0.5；
評分在[50,80)的頻率為0.3 + 10 × 0.030 = 0.6 > 0.5，
故中位數在[70,80)之間．
設這 200 戶居民本次問卷評分的中位數為 x，
則( 70) × 0.03 + 0.3 = 0.5，
230
解得 = 3 ，
故這 200 230 70+80戶居民本次問卷評分的中位數為 3 ，眾數為 2 = 75．
（2）由圖知，評分在[80,100]的頻率為1 0.6 = 0.4，
故可估計該小區居民支持所屬物業公司延續服務的概率約為 0.4，
∴估計該小區居民支持所屬物業公司延續服務的有1200 × 0.4 = 480戶．
24．（23-24 高一下·天津河北·期末）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居
民用水情況進行了調查．通過抽樣，獲得了某年 100 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照
[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中 a 的值；
(2)已知該市有 30 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 3 噸的人數，說明理由；
(3)估計居民月均用水量的眾數、中位數，說明理由．
【解題思路】（1）根據頻率之和為1即可得解；
（2）求出月均用水量不低于 3 噸的頻率，進而可得出答案；
（3）根據頻率分布直方圖中眾數和中位數的求法計算即可.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖知，(0.08 + 0.16 + + 0.42 + 0.50 + + 0.12 + 0.08 + 0.04)
× 0.5 = 1，解得 = 0.30，
所以直方圖中 的值為 = 0.30；
（2）由圖得月均用水量不低于 3 噸的頻率為0.5 × (0.12 + 0.08 + 0.04) = 0.12，
所以估計全市居民中月均用水量不低于 3 噸的人數為300000 × 0.12 = 36000（人）；
（3 2+2.5）由圖可知，眾數是 2 = 2.25；
因為(0.08 + 0.16 + 0.30 + 0.42) × 0.5 = 0.48 < 0.5，
(0.08 + 0.16 + 0.30 + 0.42 + 0.50) × 0.5 = 0.73 > 0.5，
所以中位數在區間[2,2.5)內，設為 ，
則0.48 + 0.50( 2) = 0.5，解得 = 2.04，
即中位數為2.04.
25．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）為了解甲、乙兩種農藥在某種綠植表面的殘留程度，進行如下試驗：將
100 株同種綠植隨機分成 、 兩組，每組 50 株，其中 組綠植噴甲農藥， 組綠植噴乙農藥，每株綠植所噴
的農藥體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在綠植表面的百分比，根據
試驗數據分別得到如圖直方圖：
記 為事件：“乙農藥殘留在表面的百分比不低于 5.5”，根據直方圖得到 (C)的估計值為 0.70．
(1)求乙農藥殘留百分比直方圖中 , 的值；
(2)估計甲農藥殘留百分比的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(3)估計乙農藥殘留百分比的中位數．（保留 2 位小數）
【解題思路】（1）由的估計值為 0.70，可得 + 0.20 + 0.15 = 0.7，求得 值，再由整體頻率為1即可求得；
（2）根據平均數的定義，取組區間的中點值進行計算即可得解；
（3）中位數在使得直方圖面積為0.5處取得，經計算即可得解.
【解答過程】（1） 為事件：“乙農藥殘留在表面的百分比不低于 5.5”，
根據直方圖得到 (C)的估計值為 0.70．
+ 0.20 + 0.15 = 0.7 = 0.35
則由頻率分布直方圖得： 0.05 + + 0.15 = 1 0.7 ,解得 = 0.10 ,
所以乙農藥殘留在表面的百分比直方圖中 = 0.35, = 0.10．
（2）估計甲農藥殘留百分比的平均數為：
甲 = 2 × 0.15 + 3 × 0.20 + 4 × 0.30 + 5 × 0.20 + 6 × 0.10 + 7 × 0.05 = 4.05．
（3）設乙農藥殘留百分比的中位數為 ，則
(0.05 + 0.10 + 0.15) × 1 + 0.35 × ( 5.5) = 0.5,解得 ≈ 6.07，
所以估計乙農藥殘留百分比的中位數約為6.07.
題型六 頻率分布直方圖中總體離散程度的估計
26．（23-24 高一上·遼寧沈陽·階段練習）某次考試后，年級組抽取了 100 名同學的數學考試成績，繪制了
如下圖所示的頻率分布直方圖．
(1)根據圖中數據計算參數 的值，并估算這 100 名同學成績的平均數和中位數，結果保留至百分位；
(2)已知這 100 名同學中，成績位于[80,90)內的同學成績方差為 12，成績位于[90,100)內的同學成績方差為
10，為了分析學優生的成績分布情況，請估算成績在 80 分及以上的同學的成績的平均數和方差．
【解題思路】（1）根據頻率和為1列方程求 ，然后直接求解平均數和中位數即可；
（2）先求出平均數，在利用方差公式計算方差即可.
1
【解答過程】（1）依題意，20 + 30 + 70 + 60 + 20 = 1，得 = 200，
∴ 各組的頻率依次為0.1,0.15,0.35,0.3,0.1，
∴ 平均數為0.1 × 55 + 0.15 × 65 + 0.35 × 75 + 0.3 × 85 + 0.1 × 95 = 76.50分，
中位數為70 + 10 × 0.250.35 ≈ 77.14分．
（2）分數在[80,90)區間內的人數為100 × 0.3 = 30，
分數在[90,100)區間內的人數為100 × 0.1 = 10，
30×85+10×95
所以成績在 80 分及以上的同學的成績的平均數為 30+10 = 87.5分，
方差為30× 12+(87.5 85)
2 +10× 10+(87.5 95)2 = 30.25.
30+10
27．（24-25 高二上·黑龍江·期末）教育局組織學生參加“防溺水”網絡知識問答，該地區有小學生 4500 人，
初中生 4300 人，高中生 2200 人，按學段比例分層抽樣，從中抽取 220 名學生，對其成績進行統計頻率分
析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中 的值；
(2)用樣本估計總體，估計該地區成績的中位數（保留小數點后兩位），并估計該地區學生成績大于等于 90
分的人數；
(3)教育局的工作人員在此次競賽成績中抽取了 10 名同學的分數： 1, 2, 3, , 10，已知這 10 個分數的平均
數 = 90，方差 2 = 25，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 個分數的平均數與方差.
（參考數據：982 = 9604，862 = 7396，89.52 = 8010.25）
【解題思路】（1）利用頻率之和為 1 列方程求解；
（2）根據中位數的定義計算中位數，利用頻率計算成績不小于 90 的人數即可；
（3）根據平均數及方差的計算公式計算即可得解.
【解答過程】（1）由10 × (0.010 + 0.015 + 0.015 + 0.025 + + 0.005) = 1，
解得 = 0.030.
（2）因為0.1 + 0.15 + 0.15 = 0.4 < 0.5，0.1 + 0.15 + 0.15 + 0.3 = 0.7 > 0.5，
所以中位數為 滿足70 < < 80，
由( 70) × 0.030 = 0.5 0.4，解得 =
220
3 ≈ 73.33，
即估計該地區成績的中位數為73.33分；
估計該地區學生成績大于等于 90 分的人數為(4500 + 4300 + 2200) × 0.05 = 550（人）.
3 8 = 10 98 86 10×90 98 86（ ）由題意，剩余 個成績的平均值為 0 8 = 8 = 89.5 ，
10
2 2
因為 10 個分數的方差 2 = 10 =1 = 25，
10
所以 21 + + 210 = 10 × 25 + 10 × (90)2 = 81250，
所以剩余 8 個分數的方差
2 2+ + 2 2 = 1 10 86 98
2 8×(89.5)2 = 64250 64082 1680 8 8 = 8 = 21，
即剩余 8 個分數的平均數與方差分別為89.5,21.
28．（23-24 高一下·河北·期末）2023 年以來，河北省文化和旅游廳制定出臺推動文旅市場恢復振興的系列
措施，以豐富的旅游業態和高品質的文旅服務不斷提升游客出游體驗，促進文旅消費增長的同時，也使“這
么近，那么美，周末到河北”成為休閑度假新時尚．現為進一步發展河北文旅，提升河北經濟，在 5 月份對
來冀旅游的部分游客發起滿意度調查，從飲食、住宿、交通、服務等方面調查旅客滿意度，滿意度采用百
分制，統計的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中 = 4 ．
(1)求圖中 a 的值并估計滿意度得分的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)若有超過60%的人滿意度在 75 分及以上，則認為該月文旅成績合格．河北省 5 月份文旅成績合格了嗎
(3)河北文旅 6 月份繼續對來冀旅游的游客發起滿意度調查，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現知 6
月 1 日-6 月 15 日調查的 4 萬份數據中其滿意度的平均值為 80，方差為 75；6 月 16 日-6 月 30 日調查的 6 萬
份數據中滿意度的平均值為 90，方差為 70．由這些數據計算 6 月份的總樣本的平均數與方差．
【解題思路】（1）利用頻率和為 1，即可求出 a 的值，再求平均值即可；
（2）超過60%的人滿意度在 75 540分及以上，即為40%分位數大于等于 75，求估計40%分位數為 7 > 75，即
可判斷；
（3）根據題意結合總樣本的平均數、方差公式，即可求出．
【解答過程】（1）由題意知 + 4 + 0.05 = 0.1，解得 = 0.01．
估計滿意度得分的平均值為 = 65 × 0.15 + 75 × 0.35 + 85 × 0.4 + 95 × 0.1 = 79.5．
（2）超過60%的人滿意度在 75 分及以上，即為40%分位數大于等于 75，
以為滿意度在[60,70)的頻率為0.15 < 0.4，滿意度在[60,80)的頻率為0.5 > 0.4，
可知40%分位數位于[70,80)．
則70 + 0.4 0.150.5 0.15 × 10 =
540
7 ，可以估計 40%
540
分位數為 7 > 75，
所以有超過 60%的人滿意度在 75 分及以上，河北省 5 月份文旅成績合格了．
（3）把 6 月 1 日-6 月 15 日的樣本記為 1, 2, , 40000，其平均數記為 ，方差記為 2 ，
把 6 月 16 日-6 月 30 日的樣本記為 1, 2, , 60000，其平均數記為 ，方差記為 2 ，
4 6 4
則總樣本平均數 = 10 × + 10 × = 10 × 80 +
6
10 × 90 = 86，
1 40000 2 60000 2 1
則總樣本方差 2 = 2 2 2 2100000 + = =1 =1 10
× 4 + ( ) + 6 + ( )
= 110 × 4 × 75 + (80 86)
2 + 6 × 70 + (90 86)2 = 96，
所以總樣本平均值為 86，總樣本方差為 96．
29．（23-24 高一下·廣東廣州·期末）為推動習近平新時代中國特色社會主義思想深入人心，促進全社會形
成愛讀書、讀好書、善讀書的新風尚，培育有堅定理想信念、愛黨愛國、堪當民族復興大任的有為青年，
某學校舉辦了讀書節活動.現從該校的 2000 名學生中發放調查問卷，隨機調查了 100 名學生一周的課外閱讀
時間，將統計數據按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單
位：分鐘，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
(1)求 的值，若每周課外閱讀時間 60 分鐘以上（含 60 分鐘）視為達標，試估計該校達標的人數；
(2)估計該校學生每周課外閱讀的平均時間；
(3) 5若樣本數據在[0,20)與[20,40)內的方差分別為 2 = 3， 21 2 = 3，計樣本數據在[0,40)內的方差
2.
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為 1 求出 ；求出閱讀時間達標的頻率即可得解.
（2）利用頻率分布直方圖求出平均時間.
（3）利用分層抽樣的方差公式計算即得.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖，得
20(0.0025 + 0.005 + 0.0125 + + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 1，所以 = 0.015；
閱讀時間達標的頻率為20(0.015 + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 0.6，
估計該校閱讀時間達標的人數為2000 × 0.6 = 1200.
（2）一周的課外閱讀時間在[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140]
內的頻率依次為：0.05,0.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05，
= 0.05 × 10 + 0.1 × 30 + 0.25 × 50 + 0.3 × 70 + 0.15 × 90 + 0.1 × 110 + 0.05 × 130 = 68，
所以估計該校學生每周課外閱讀的平均時間為 68 分鐘.
（3）樣本數據在[0,20)與[20,40)內的平均數分別為10,30，
0.05×10+0.1×30 70
則樣本數據在[0,40)內的平均數為 0.15 = 3 ，
2 2
所以樣本數據在[0,40)內的方差 2 =
0.05
0.15[3 + (10
70 ) ] + 0.1 [50.15 3 + (30
70 ) ] = 91
3 3 .
30．（23-24 高一下·河南商丘·期末）2023 年 12 月，“爾濱”持續爆火，冰雪主題熱度狂飆，隨之而來的是大
家對冬季戶外運動裝備的高需求，從雪鞋 雪板等滑雪裝備，到手套 帽子等保暖用品，各家體育用品店在
這個冬天迎來“滑雪十”新熱潮．某體育用品制造企業為了提升產品質量，對現有的一條生產線進行技術升級
改造，為了分析改造的效果，該企業質檢人員從該條生產線所生產的體育用品中隨機抽取了1000件，檢測
產品的某項質量指標值，根據檢測數據得到下表（單位：件）．
質量指標值 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)
產品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估計這組樣本的質量指標值的平均數 和方差 2（同一組中的數據用該組區間中點值作代表）；
(2) { } 設 表示不小于 的最小整數，[ ]表示不大于 的最大整數， = 5 , = 5 + ，根據檢驗標準，
5 5
技術升級改造后，若質量指標值落在[ , )內的頻率超過65%，可認為生產線技術改造成功．請根據樣本數
據估計，是否可以判定生產線的技術改造是成功的？（參考數據： 171 ≈ 13， 241 ≈ 16）
【解題思路】（1）根據平均數與方差公式直接計算可得解；
（2）直接代入可得 ， ，再根據頻率公式可得解.
1 = 30×60+40×100+50×160+60×300+70×200+80×100+90×80【解答過程】（ ）由題意可知 1000 = 61，
2 = (30 61)
2×60+(40 61)2×100+(50 61)2×160+(60 61)2×300+(70 61)2×200+(80 61)2×100+(90 61)2×80
1000 = 241；
（2）由（1） 2 = 241，則 ≈ 16，
61 16
則 = 5 × = 45， = 5 × 61+16 = 75，
5 5
160+300+200
該抽樣數據落在[45,75)內的頻率為 1000 = 66% > 65%，
則可以判定生產線技術改造是成功的．
題型七 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度
31．（23-24 高一下·寧夏·期末）某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵大家加入健步運動，要求 200 名職
工每天晚上 9：30 上傳手機計步截圖，對于步數超過 10000 的予以獎勵．圖 1 為甲乙兩名職工在某一星期
內的運動步數統計圖，圖 2 為根據這星期內某一天全體職工的運動步數做出的頻率分布直方圖．
(1)請根據頻率分布直方圖，求 m 的值，并求出該天運動步數不少于 15000 步的人數；
(2)估計全體職工在該天運動步數的眾數、平均數和中位數；
(3)如果當天甲的排名為第 130 名，乙的排名為第 40 名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖．
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖中各組頻率之和為 1，即可求得 m 的值；結合頻率、頻數之間的關
系即可求得該天運動步數不少于 15000 步的人數；
（2）根據頻率分布直方圖，依據眾數、平均數和中位數的估計方法即可求得答案；
（3）計算甲乙排名的占比，結合頻率分布直方圖計算出甲乙兩人的步數，與已知的甲乙兩名職工在某一星
期內的運動步數統計圖比較，即得答案.
【解答過程】（1）由圖可知(0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.06 + ) × 5 = 1，解得 = 0.05；
所以該天運動步數不少于 15000 的人數為(0.05 + 0.03) × 5 × 200 = 80（人）；
2 10+15（ ）眾數是 2 = 12.5（千步）；
全體職工在該天的平均步數為：
2.5 × 0.1+7.5 × 0.2+12.5 × 0.3 + 17.5 × 0.25 + 22.5 × 0.15 = 13.25（千步）
由于前兩組頻率之和為0.1 + 0.2 = 0.3 < 0.5，前三組頻率之和為0.1 + 0.2 + 0.3 > 0.5，
故設中位數為 x，則0.3 + ( 10) × 0.06 = 0.5, ∴ = 403 ，
40
即中位數是： 3 （千步）
（3）因為40 ÷ 200 = 0.2，130 ÷ 200 = 0.65，
假設甲的步數為 千步，乙的步數為 千步，
由頻率分布直方圖可得：
0.02 × 5 + 0.04 × 5 + 65( 10) × 0.06 = 1 0.65，解得 = 6 （千步），
0.02 × 5 + 0.04 × 5 + 0.06 × 5 + ( 15) × 0.05 = 1 0.2，解得 = 19（千步），
所以可得出是星期二的頻率分布直方圖．
32．（23-24 高二上·四川成都·期末）為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨
機選取了 10 個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm） 記錄下來并繪制出折線圖：
(1)分別計算甲、 乙兩廠提供 10 個輪胎寬度的平均值；
(2)輪胎的寬度在[193，195]內，則稱這個輪胎是標準輪胎，試比較甲、 乙兩廠分別提供的 10 個輪胎中所
有標準輪胎寬度的方差的大小，根據兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個
廠的輪胎相對更好.
【解題思路】（1）由折線圖提供的數據，利用平均數公式代入計算即可；
（2）分別找出甲乙兩廠的所有標準輪胎寬度的數據，再分別求出平均值與方差，即可判斷.
【解答過程】（1）由題：甲廠輪胎寬度的平均值為：
1
10(195 + 194 + 196 + 193 + 194 + 197 + 196 + 195 + 193 + 197) = 195；
乙廠輪胎寬度的平均值為：
1
10(195 + 196 + 193 + 192 + 195 + 194 + 195 + 192 + 195 + 193) = 194；
所以甲、 乙兩廠提供 10 個輪胎寬度的平均值分別為 195，194.
（2）由題，甲廠提供的 10 個輪胎中所有標準輪胎寬度為：
195,194,193,194,195,193 1，其平均數為：6(195 + 194 + 193 + 194 + 195 + 193) = 194，
1 2
其方差為：6(1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1) = 3；
乙廠提供的 10 個輪胎中所有標準輪胎寬度為：
195,193,195,194,195,195,193 1，其平均數為：7(195 + 193 + 195 + 194 + 195 + 195 + 193) = 194
2
7，
1 25 81 25 4
其方差為：7(49 + 49 + 49 + 49 +
25
49 +
25 81 266 2
49 + 49) = 343 > 3；
從平均數上來看：乙廠提供的 10 個輪胎中所有標準輪胎寬度高于甲廠提供的 10 個輪胎中所有標準輪胎寬
度，但乙廠提供的 10 個輪胎中所有標準輪胎寬度方差較大，不夠穩定.
33．（23-24 高一下·湖北武漢·期末）近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經成為推動消費
的一種流行的營銷形式．某直播平臺 1200 個直播商家，對其進行調查統計，發現所售商品多為小吃、衣帽、
生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖所示．
(1)該直播平臺為了更好地服務買賣雙方，打算隨機抽取 60 個直播商家進行問詢交流．如果按照比例分層抽
樣的方式抽取，則應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？
(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對（1）中抽取的 60 個商家的平均日利潤進行了統計（單
位：元），所得頻率分布直方圖如右圖所示，請根據頻率分布直方圖計算下面的問題：
①估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數與平均數（結果保留一位小數，求平均數時同一組中的數據用
該組區間的中點值作代表）；
②若將平均日利潤超過 430 元的商家評為“優秀商家”，估計該直播平臺“優秀商家”的個數．
【解題思路】（1）根據分層抽樣的定義計算即可；
（2）①根據中位數和平均數的定義計算即可；
②根據樣本中“優秀商家”的個數來估計總體中“優秀商家”的個數即可.
【解答過程】（1）60 × (1 25% 15% 10% 5% 5%) = 24，60 × 15% = 9，
所以應抽取小吃類24家，生鮮類9家；
（2）①根據題意可得(0.001 × 3 + + 0.003 + 0.005 + 0.007) × 50 = 1，解得 = 0.002，
設中位數為 ，因為(0.001 + 0.003) × 50 = 0.2，(0.001 + 0.003 + 0.007) × 50 = 0.55，
所以( 300) × 0.007 + 0.2 = 0.5，解得 ≈ 342.9，
平均數為：
(225 × 0.001 + 275 × 0.003 + 325 × 0.007 + 375 × 0.005 + 425 × 0.002 + 475 × 0.001 + 525 × 0.001)
× 50 = 352.5，
所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數為 342.9，平均數為 352.5.
② 450 430 × 0.002 + 0.001 + 0.001 × 50 × 1200 = 168,
50
所以估計該直播平臺“優秀商家”的個數為168.
34．（24-25 高一下·全國·課后作業）甲、乙兩人在相同條件下各射靶 10 次，每次射靶的成績情況如圖所示：
（1）填寫下表：
平均數 方差 中位數 命中 9 環及以上
甲 7 1.2 1
乙 5.4 3
（2）請從四個不同的角度對這次測試進行分析：①結合平均數和方差分析離散程度；②結合平均數和中位
數分析誰的成績好些；③結合平均數和命中 9 環及以上的次數看誰的成績好些；④從折線圖上看兩人射靶
命中環數及走勢分析誰更有潛力.
【解題思路】（1）從圖上讀出甲乙兩人的 10 個數據，計算均值、方差，中位數等后可填表；
（2）由于均值相等，因此方差大小反映離散程度，中位數反映成績好壞，命環數多的次數也反映成績好壞，
折線的趨勢能反映個人的潛力大小．
【解答過程】（1）乙的射靶環數依次為 2，4，6，8，7，7，8，9，9 1，10.所以 乙 = 10 ×
(2 + 4 + 6 + 8 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10) = 7；乙的射靶環數從小到大排列為 2，4，6，7，7，8，8，9，9，
10 7+8，所以中位數是 2 = 7.5；甲的射靶環數從小到大排列為 5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位數
為 7.于是填充后的表格如下表所示：
平均數 方差 中位數 命中 9 環及以上
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（2）①甲、乙的平均數相同，均為 7，但 2 < 2甲 乙，說明甲離散程度小，而乙離散程度大.
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位數比甲大，說明乙射靶成績比甲好.
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中 9 環及以上的次數比甲多 2 次，可知乙的射靶成績比甲好.
④從折線圖上看，乙的成績呈上升趨勢，而甲的成績在平均線上波動不大，說明乙的狀態在提升，更有潛
力.
35．（23-24 高一下·廣東東莞·期末）樹人中學男女學生比例約為2:3，某數學興趣社團為了解該校學生課外
體育鍛煉情況（鍛煉時間長短（單位：小時），采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生 人，女生 人
進行調查．記男生樣本為 1， 2， ， ，樣本平均數、方差分別為 、 21；女生樣本為 1， 2， ， ，
樣本平均數、方差分別為 、 22；總樣本平均數、方差分別為 、 2.

(1)證明： ( 2 2 2 ) = 1 + ( ) ；
=1
(2)該興趣社團通過分析給出以下兩個統計圖，假設兩個統計圖中每個組內的數據均勻分布，根據兩圖信息
分別估計男生樣本、女生樣本的平均數；
(3)已知男生樣本方差 21 = 5.5，女生樣本方差 22 = 5.7，請結合（2）問的結果計算總樣本方差 2的估計值.
【解題思路】（1）利用平均數和方差計算公式結合完全平方運算化簡即可證明；
（2）利用平均數計算公式分別計算即可；
（3）先求出總樣本平均數，根據方差公式結合（1）中結論化簡求解即可.

【解答過程】（1） ( )2 = ( + )2 = ( 2 2 ) + 2( )( ) + ( )
=1 =1 =1

= ( )2 + 2( ) ( ) + ( )2
=1 =1 =1

= ( )2 +2( ) + ( )2，
=1 =1
1 1
因為 21 = ( )
2， = ， =1 =1

所以 2 2 2 = 0，則 ( ) = 1 + ( ) ；
=1 =1
（2）因為每個組內的數據均勻分布，所以以各組的區間中點值代表該組的各個值，
由頻率分布直方圖估計男生樣本課外體育鍛煉時間的平均數為
= 1 × 0.05 × 2 + 3 × 0.1 × 2 + 5 × 0.175 × 2 + 7 × 0.1 × 2 + 9 × 0.075 × 2 = 5.2，
由扇形圖估計女生樣本課外體育鍛煉時間的平均數為
= 1 × 0.15 + 3 × 0.25 + 5 × 0.30 + 7 × 0.2 + 9 × 0.1 = 4.7；
（3）因為采用按比例分配的分層隨機抽樣，所以 : = 2:3，
+
估計樹人中學學生課外運動時間的平均數為 = = 0.4 × 5.2 + 0.6 × 4.7 = 4.9 + ，
2 = 1

( )2 2 =
1 2 2 2 2
+ + ( ) =1 =1 +
1 + ( ) + 2 + ( )
2 = + 1 + ( )
2 + 2 2 + 2 + ( )
= 2 35 5.5 + (5.2 4.9)
2 + 5 5.7 + (4.7 4.9)
2 = 5.68.

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