資源簡介

專題 9.6 統計全章八大壓軸題型歸納（拔尖篇）
【人教 A 版（2019）】
題型 1 簡單隨機抽樣估計總體
1．（24-25 高三下·湖北·階段練習）我國古代數學名著《數書九章》是南宋數學家秦九韶所著數學著作，書
中共列算題 81 問，分為 9 類，全書采用問題集的形式，并不按數學方法來分類．題文也不只談數學，還涉
及自然現象和社會生活，成為了解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻．《數書九章》中有“米谷粒分”
一題，現有類似的題：糧倉開倉收糧，糧農送來米 1500 石，驗得米夾谷，抽樣取米一把，數得 304 粒夾谷
30 粒，則這批米內夾谷約為（ ）
A．148 石 B．149 石 C．150 石 D．151 石
【解題思路】抽樣調查中簡單隨機抽樣，對象被抽到的概率是相同的， 304 粒夾谷 30 粒，1500 石米夾谷
的比例是相同的，計算即可.
【解答過程】由題意可知這批米內夾谷約為1500 × 30304 ≈ 148（石）．
故選：A.
2．（2024·河南·三模）中國農歷的“二十四節氣”是凝結著中華民族的智慧與傳統文化的結晶，2022 年 2 月
4 日北京冬奧會開幕式，以二十四節氣的方式開始倒計時，驚艷全球.某小學一年級隨機抽查 100 名學生并
提問“二十四節氣歌”，只能說出兩句的有 32 人，能說出三句或三句以上的有 45 人，據此估計該校一年級的
400 名學生中對“二十四節氣歌”只能說出一句或一句也說不出的人數約為（ ）
A．23 B．92 C．128 D．180
【解題思路】先計算 100 名學生中能說出一句或一句也說不出的人數，根據抽樣比例計算即可
【解答過程】由題意，100 名學生中能說出一句或一句也說不出的人數為100 32 45 = 23人
故該校一年級的 400 400名學生中對“二十四節氣歌”只能說出一句或一句也說不出的人數約為100 × 23 = 92人
故選：B.
3．（24-25 高一·全國·課后作業）為了解某中學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的 情況，調查部門
在該校進行了如下的隨機調查，向被調查者提出兩個問題：
（1）你的學號是奇數嗎？（2）在過路口時你是否闖過紅燈？
要求被調查者背對著調查人員拋擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則就回答第二個問
題．被調查者不必告訴調查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調查者本人知
道回答了哪一個問題，所以都如實地做了回答．結果被調查的 800 人（學號從 1 至 800）中有 240 人回答了
“是”.由此估計這 800 人中闖過紅燈的人數？
【解題思路】在準備的兩個問題中每一個問題被問到的概率相同，第一個問題可能被詢問 400 次，在被詢
問的 400 人中有 200 人學號是奇數，比 200 人多出來的人數就是 400 人中闖過紅燈的人數，從而估計出 800
人中有過闖過紅燈的人數．
【解答過程】解：要調查 800 名學生，在準備的兩個問題中每一個問題被問到的概率相同，
∴第一個問題可能被詢問 400 次，
∵在被詢問的 400 人中有 200 人學號是奇數，而有 240 人回答了“是”，
∴估計有240 200 = 40個人闖過紅燈，即在 400 人中有 40 個人闖過紅燈，
∴根據概率的知識來估計這 800 人中有過闖過紅燈的人數為 80．
4．（24-25 高一·全國·課后作業）近年來，我國高速鐵路發展迅速，到 2016 年底為止，已經運營的高鐵軌
道的總長度已達2.2 × 104km，位居世界第一.為了提高營運的效率，鐵路部門在安排停靠站臺時通過分班次、
間隔站點的方式進行，如京滬高鐵 G125 班次 11∶10 從北京始發，開往上海虹橋（據 2017 年 10 月時刻
表），停靠站分別為天津南、德州東、濟南西、滕州東、蚌埠南、南京南、鎮江南、常州北、昆山南，而
08∶35 從北京始發的 G111 班次，停靠站分別為德州東、濟南西、泰安、滁州、南京南、丹陽北、無錫東，
最后停靠終點站上海虹橋.試運用統計研究的方法完成下述任務：
(1)如何確定每天的總班次及具體班次的安排？
(2)在確定各個班次停靠站的數量時應考慮哪些因素？如何實施？
(3)在確定各個班次停靠站時應考慮哪些因素？如何實施？
【解題思路】（1）估算總人數除以載客量得到總班次，具體班次由站臺人數分布確定.
（2）確定各個班次停靠站的數量時應考慮時間和人數，抽樣調查人數的高峰期，得到方案.
（3）確定各個班次停靠站時應考慮時間和人數分布，抽樣調查，估算總數，得到方案.
【解答過程】（1）運用抽樣調查的方式，用樣本估計總體，得到從北京到上海及沿途乘坐總人數，
除以每列火車的運載量，得到總班次；
具體班次的安排主要是由每個車站的乘坐人數決定，由于是間隔停靠，站臺人數和多的站點多安排車次.
（2）在確定各個班次停靠站的數量時應考慮時間和人數，
有的站點人數會跟時間強烈相關，并不是平均分布的，需要在高峰時段多安排車輛；
實施的方式是統計各個站臺各個時間段內的人數，估計總人數，繪制圖像，制定方案.
（3）在確定各個班次停靠站時應考慮時間和人數分布，
采取抽樣調查的方式，統計各個時間段的人數分布，為制定方案提供數據支持.
題型 2 分層抽樣的計算
1．（23-24 高一下·江西景德鎮·期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數學生都在家進行網上上課，某校高一，
高二，高三共有學生 6000 名，為了了解同學們對某授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這 6000
名學生中抽取一個容量 60 的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，則
該校高二年級的人數為（ ）
A．1000 B．1500 C．2000 D．3000
【解題思路】根據分層抽樣的性質，結合樣本容量進行求解即可.
【解答過程】因為從高一、高二、高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，
所以設高三抽取的人數為2 ，則高二抽取的人數為2 2，高一抽取的人數為2 4，
因為樣本容量為 60，所以2 + 2 2 + 2 4 = 60 2 = 22，
設我校高二年級的人數為 ，

= 22 2根據分層抽樣得：6000 60 = 2000，
故選：C.
2．（24-25 高一·全國·課后作業）某學校在校學生有 2000 人，為了增強學生的體質，學校舉行了跑步和登
山比賽，每人都參加且只參加其中一項比賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數分別為 a，b，c，且
: : = 2:5:3 1，全校參加登山的人數占總人數的4．為了了解學生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法
從中抽取一個容量為 200 的樣本進行調查，則應從高三年級參加跑步的學生中抽取（ ）
A．15 人 B．30 人 C．40 人 D．45 人
2000 × 3【解題思路】由題知全校參加跑步的人數為 4 = 1500，再根據分層抽樣的方法求解即可得答案.
3
【解答過程】解：由題意，可知全校參加跑步的人數為2000 × 4 = 1500，
所以 + + = 1500．因為 : : = 2:5:3，所以 = 1500 × 32+5+3 = 450．
因為按分層抽樣的方法從中抽取一個容量為 200 的樣本，
200
所以應從高三年級參加跑步的學生中抽取的人數為450 × 2000 = 45．
故選：D.
3．（24-25 高一下·全國·課后作業）某大型企業針對改善員工福利的 ， ， 三種方案進行了問卷調查，調
查結果如下：
支持 方案 支持 方案 支持 方案
35 歲以下的人數 200 400 800
35 歲及以上的人數 100 100 400
（1）從所有參與調查的人中，用分層隨機抽樣的方法抽取 人，已知從支持 方案的人中抽取了 6 人，求
的值.
（2）從支持 方案的人中，用分層隨機抽樣的方法抽取 5 人，這 5 人中年齡在 35 歲及以上的人數是多少？
年齡在 35 歲以下的人數是多少？
【解題思路】（1）根據分層抽樣時，各層的抽樣比相等，結合已知構造關于 n 的方程，解方程可得 n 值；
5
（2）根據抽樣比500即可求出年齡在 35 歲以下，及年齡在 35 歲及以上的人數.
6
【解答過程】（1）由題意得100+200 = 200+400+800+100+100+400，解得 = 40.
（2）年齡在 35 5歲以下的人數為500 × 400 = 4，
35 5年齡在 歲及以上的人數為500 × 100 = 1.
4．（24-25 高一下·全國·課后作業）某市兩所高級中學聯合在暑假組織全體教師外出旅游，活動分為兩條線
路：華東五市游和長白山之旅，且每位教師至多參加了其中的一條線路.在參加活動的教師中，高一教師占
42.5% 1，高二教師占 47.5%，高三教師占 10%.參加華東五市游的教師占參加活動總人數的4，且該組中，高
一教師占 50%，高二教師占 40%，高三教師占 10%.為了了解各條線路不同年級的教師對本次活動的滿意程
度，現用分層隨機抽樣的方法從參加活動的全體教師中抽取一個容量為 200 的樣本.試確定：
（1）參加長白山之旅的高一教師、高二教師、高三教師在該組分別所占的比例；
（2）參加長白山之旅的高一教師、高二教師、高三教師分別應抽取的人數.
【解題思路】（1）設參加華東五市游的人數為 x，參加長白山之旅的高一教師、高二教師、高三教師所占
的比例分別為 a，b，c，計算得到答案.
（2）根據分層抽樣公式計算得到答案.
【解答過程】（1）設參加華東五市游的人數為 x，參加長白山之旅的高一教師、高二教師、高三教師所占
的比例分別為 a，b，c
40%+3
則有 4 = 47.5%
10%+3
， 4 = 10%，解得 = 50%， = 10%.
故 = 100% 50% 10% = 40%
參加長白山之旅的高一教師、高二教師、高三教師在該組所占的比例分別為 40%，50%，10%.
3
（2）參加長白山之旅的高一教師應抽取人數為200 × 4 × 40% = 60；
3
抽取的高二教師人數為200 × 4 × 50% = 75；
3
抽取的高三教師人數為200 × 4 × 10% = 15.
題型 3 頻率分布直方圖的相關計算問題
1．（24-25 高一下·廣西崇左·階段練習）某個高級中學組織物理 化學學科能力競賽，全校 1000 名學生都參
加兩科考試，考試后按學科分別評出一 二 三等獎和淘汰的這四個等級，現有某考場的兩科考試數據統計
如下，其中物理科目成績為二等獎的考生有 12 人.如果以這個考場考生的物理和化學成績去估計全校考生的
物理和化學成績分布，則以下說法正確的是（ ）
①該考場化學考試獲得一等獎的有 4 人；
②全校物理考試獲得二等獎的有 240 人；
③如果采用分層抽樣從全校抽取 200 人，則化學考試被淘汰 78 人.
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
【解題思路】由物理二等獎的人數和頻率可得該考場總共人數，乘以化學考試獲得一等獎的頻率可判斷①；
計算出全校獲得物理考試二等獎的頻率和總人數相乘可判斷②；采用分層抽樣從全校抽取 200 人，乘以化
學考試被淘汰的人數的頻率可判斷③.
12
【解答過程】由于1 0.4 0.1 0.26 = 50，所以該考場總共有 50 人，所以化學考試獲得一等獎的有
50 (1 0.16 0.38 0.38) = 4人，所以①正確；全校獲得物理考試二等獎的有1000 × 0.24 = 240人，所以
②正確；如果采用分層抽樣從全校抽取 200 人，則化學考試被淘汰的人數為200 × 0.38 = 76人，所以③錯
誤.
故選：C.
2．（24-25 高一上·全國·課后作業）某養豬場定購了一批仔豬，從中隨機抽查了 100 頭仔豬的體重（單位：
斤），經數據處理得到如圖①的頻率分布直方圖，其中體重最輕的 14 頭仔豬的體重的頻數分布表如圖②，
為了將這批仔豬分欄喂養，需計算頻率分布直方圖中的一些數據，其中 a＋b 的值為（ ）
體重 22 24 26 27 28 29 31
頻數 1 1 2 3 3 2 2
圖②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
【解題思路】根據圖表的頻數及頻率分布直方圖概率和為 1 列式求參即可.
+ = 12 1【解答過程】由題意得 100 × 5 = 0.024，且[2( + ) + + ] × 5 = 1 ，
所以2 × 0.024 + + = 0.2，所以 + = 0.152.
故選：B.
3．（24-25 高一下·吉林長春·階段練習）某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),
[180,200)，[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．
(1)求直方圖中 的值；
(2)在這100戶居民中，月平均用電量不低于220度的有多少戶？
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶
居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？
【解題思路】（1）利用頻率分布表各小矩形面積和為 1，列式計算即得.
（2）根據頻率分布直方圖求出[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]內的頻率，再利用頻率乘以樣本容
量即得.
（3）利用（2）的信息，求出分層抽樣的抽樣比即可計算得解.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖，得
(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + + 0.005 + 0.0025) × 20 = 1，解得 = 0.0075，
所以直方圖中 x 的值是0.0075.
（2）月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125 × 20 × 100 = 25戶，
月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075 × 20 × 100 = 15戶，
月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005 × 20 × 100 = 10戶，
月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025 × 20 × 100 = 5戶，
所以月平均用電量不低于220度的有25 + 15 + 10 + 5 = 55戶.
11 1
（3）由（2）可知，抽取比例為25+15+10+5 = 5，
1
所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取25 × 5 = 5戶．
4．（23-24 高一下·河南·階段練習）已知某工廠一區生產車間與二區生產車間均生產某種型號的零件，這兩
個生產車間生產的該種型號的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示（每組區間均為左開右閉）.
尺寸大于 的零件用于大型機器中，尺寸小于或等于 的零件用于小型機器中.
(1)若 = 60，試分別估計該工廠一區生產車間生產的 500 個該種型號的零件和二區生產車間生產的 500 個
該種型號的零件用于大型機器中的零件個數.
(2)若 ∈ (60,70]，現有足夠多的來自一區生產車間與二區生產車間的零件，分別用于大型機器 小型機器各
5000 臺的生產，每臺機器僅使用一個該種型號的零件.
方案一：直接將一區生產車間生產的零件用于大型機器中，其中用了尺寸小于或等于 的零件的大型機器每
臺會使得工廠損失 200 元；直接將二區生產車間生產的零件用于小型機器中，其中用了尺寸大于 的零件的
小型機器每臺會使得工廠損失 100 元.
方案二：重新測量一區生產車間與二區生產車間生產的零件尺寸，并正確匹配型號，重新測量的總費用為
35 萬元.
請寫出采用方案一，工廠損失費用的估計值 ( )（單位：萬元）的表達式，并從工廠損失的角度考慮，選
擇合理的方案.
【解題思路】（1）計算出兩個生產車間生產的零件尺寸大于 60 的頻率，進而求出兩個生產車間生產的 500
個該種型號的零件用于大型機器中的零件數；
（2）計算出一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于 的頻率和二區生產車間生產的零件尺寸大于 的頻
率，從而得到 ( ) = 0.8 12，結合 ∈ (60,70]，求出 ( ) ∈ (36,44]，與 35 比較后得到結論.
【解答過程】（1）一區生產車間生產的零件尺寸大于 60 的頻率為(0.020 + 0.024 + 0.020 + 0.020)
× 10 = 0.84，
則該工廠一區生產車間生產的 500 個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為500 × 0.84 = 420；
二區生產車間生產的零件尺寸大于 60 的頻率為(0.024 + 0.016) × 10 = 0.4，
則該工廠二區生產車間生產的 500 個該種型號的零件用于大型機器中的零件個數為500 × 0.40 = 200.
（2）一區生產車間生產的零件尺寸小于或等于 的頻率為
0.004 × 10 + 0.012 × 10 + 0.02 × ( 60) = 0.02 1.04.
二區生產車間生產的零件尺寸大于 的頻率為
0.024 × (70 ) +0.016 × 10 = 1.84 0.024 .
故 ( ) = (0.02 1.04) × 0.02 × 5000 + (1.84 0.024 ) × 0.01 × 5000 = 0.8 12.
因為 ∈ (60,70]，所以 ( ) ∈ (36,44].
又因為采用方案二重新測量的總費用為 35 萬元，
所以從工廠損失的角度考慮，應選擇方案二.
題型 4 統計圖的綜合應用問題
1．（23-24 高一下·吉林通化·階段練習）2024 年 3 月，樹人中學組織三個年級的學生進行黨史知識競賽．經
統計，得到前 200 名學生分布的餅狀圖（如圖）和前 200 名中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖），
則下列命題錯誤的是（ ）
A．成績在前 200 名的學生中，高一人數比高二人數多 30
B．成績在第 1~50 名的學生中，高三最多有 32 人
C．高一學生成績在第 101~150 名的人數一定比高三學生成績在第 1~50 名的人數多
D．成績在第 51~100 名的學生中，高二人數比高一人數多
【解題思路】由餅狀圖可計算出高一年級共 90 人，高二年級共 60 人，高三年級共 50 人，再由高一學生排
名分布的頻率條形圖可計算出各排名段中高一年級學生的人數，由此即可判斷出答案.
【解答過程】由餅狀圖可知，成績在前 200 名的學生中，高一人數比高二人數多200 × (45% 30%) = 30，
A 正確；
成績在第1 50名的學生中，高一人數為200 × 45% × 0.2 = 18，因此高三最多有 32 人，B 正確；
由條形圖知高一學生的成績在第101 150名的人數為200 × 45% × 0.4 = 36，
而高三的學生成績在第1 50名的人數最多為32人，
故高一學生的成績在第101 150名的人數一定比高三的學生成績在第1 50名的人數多，C 正確；
成績在第51 100名的學生中，高一人數為200 × 45% × 0.3 = 27，
高二成績在第51 100名的人數最多為23，
即成績在第 51~100 名的學生中，高一的人數一定比高二的人數多，D 錯誤.
故選：D.
2．（2024·福建龍巖·一模）圍繞民宿目的地進行吃住娛樂閉環消費已經成為疫情之后人們出游的新潮流．在
用戶出行旅游決策中，某機構調查了某地區 1000 戶偏愛酒店的用戶與 1000 戶偏愛民宿的用戶住宿決策依
賴的出行旅游決策平臺，得到如下統計圖，則下列說法中不正確的是（ ）
A．偏愛民宿用戶對小紅書平臺依賴度最高
B．在被調查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等
C．小紅書在所有被調查用戶住宿決策中的占比與攜程旅行在所有被調查用戶住宿決策中的占比不相等
D．在被調查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比都比抖音的占比高
【解題思路】由酒店預訂條形圖和民宿預訂扇形圖逐一分析四個選項得答案．
【解答過程】解：由右圖可知，偏愛民宿用戶對小紅書平臺的選擇占比為
1 (10% + 20% + 16% + 18% + 12%) = 24%，
則偏愛民宿用戶對小紅書平臺依賴度最高，故 A 正確；
在被調查的酒店用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為25% + 19% = 44%，
在被調查的民宿用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為24% + 20% = 44%，
則在被調查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等，故 B 正確；
小紅書在所有被調查用戶住宿決策中的占比為19% + 24% = 43%，
攜程旅行的占比為25% + 20% = 45%，攜程旅行的占比略高于小紅書占比，故 C 正確；
在被調查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比分別為15%和12%，
抖音的占比分別為6%和18%，則酒店預訂方面同程旅行占比高，民宿預訂方面抖音的占比高，故 D 錯誤．
故選：D．
3．（24-25 高一下·山東聊城·階段練習）共享單車入駐某城區 5 年以來，因其“綠色出行，低碳環保”的理念
而備受人們的喜愛，值此 5 周年之際，某機構為了了解共享單車使用者的年齡段、使用頻率、滿意度等三
個方面的信息，在全市范圍內發放 10000 份調查問卷，回收到有效問卷 6300 份，現從中隨機抽取 160 份，
分別對使用者的年齡段、26～35 歲使用者的使用頻率、26～35 歲使用者的滿意度進行匯總，得到如下三個
表格：
表（一）
使用者年齡段 25 歲以下 26 歲～35 歲 36 歲～45 歲 45 歲以上
人數 40 80 20 20
表（二）
使用頻率 0～6 次/月 7～14 次/月 15～22 次/月 23～31 次/月
人數 10 20 40 10
表（三）
滿意度 非常滿意（10） 滿意（9） 一般（8） 不滿意（7）
人數 30 20 20 10
(1)依據上述表格完成下列三個統計圖形：
　　
　
(2)某城區現有常住人口 80 萬，請用樣本估計總體的思想，試估計年齡在 26 歲～35 歲之間，每月使用共享
單車在 7～14 次的人數.
【解題思路】（1）依據表格完成三個統計圖形即可；
（2）由表（一）年齡在 26 歲～35 歲之間的人數占總抽取人數的比估算 80 萬人口中年齡在 26 歲～35 歲之
間的人數即可；由表（二）年齡在 26 歲～35 歲之間每月使用共享單車在 7～14 次之間的人數占總抽取人數
的比來估算年齡在 26 歲～35 歲之間的 40 萬人中每月使用共享單車在 7～14 次之間的人數可得答案.
【解答過程】（1）
（2 1）由表（一）可知年齡在 26 歲～35 歲之間的有 80 人，占總抽取人數的2，所以 80 萬人口中年齡在 26
歲～35 1歲之間的約有80 × 2 = 40（萬人）．
由表（二）可知，年齡在 26 歲～35 歲之間每月使用共享單車在 7～14 次之間的有 20 人，占總抽取人數的
1
2，所以年齡在 26
1
歲～35 歲之間的 40 萬人中，每月使用共享單車在 7～14 次之間的約有40 × 4 = 10（萬
人）.
4．（23-24 高一上·云南保山·開學考試）近幾年購物的支付方式日益增多，某數學興趣小組就此進行了抽樣
調查.調查結果顯示，支付方式有：A 微信、B 支付寶、C 現金、D 其他，該小組對某超市一天內購買者的
支付方式進行調查統計，得到如下兩幅不完整的統計圖.
請你根據統計圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次一共調查了多少名購買者？
(2)請補全條形統計圖；
在扇形統計圖中 A 種支付方式所對應的圓心角為______度.
(3)若該超市這一周內有 1600 名購買者，請你估計使用 A 和 B 兩種支付方式的購買者共有多少名？
【解題思路】（1）根據頻率即可求解，
（2）根據頻率之和即可求解，
（3）根據所占頻率即可求解.
【解答過程】（1）56 ÷ 28% = 200，即本次一共調查了 200 名購買者；
（2）D 方式支付的有：200 × 20% = 40（人），
A 方式支付的有：200 56 44 40 = 60（人），
補全的條形統計圖如圖所示，
60
在扇形統計圖中 A 種支付方式所對應的圓心角為：360° × 200 = 108°
3 1600 × 60+56（ ） 200 = 928（名），
使用 A 和 B 兩種支付方式的購買者共有 928 名.
題型 5 頻率分布直方圖中集中趨勢參數的計算
1．（23-24 高一下·天津和平·期末）某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為
確定一個比較合理的標準，從該市隨機調查了 100 位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下
頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數為（ ）
①估計居民月均用水量低于 1.5m3的概率為 0.25；
②估計居民月均用水量的中位數約為 2.1m3
③該市有 40 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 3m3的人數為 6 萬；
④根據這 100 位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為 20 人的樣本，
則在用水量區間[1.5,2)中應抽取 3 人
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【解題思路】由頻率分布直方圖求頻率判斷①，結合直方圖中位數的求法計算中位數，即可判斷②；用頻
率估計總體即可判斷③，結合分層抽樣的概念即可判斷④.
【解答過程】由頻率分布直方圖可知，
居民月均用水量低于的概率 = (0.2 + 0.3) × 0.5 = 0.25，故①正確，
三組的頻率之和為(0.2 + 0.3 + 0.4) × 0.5 = 0.45 < 0.5，
而前四組頻率之和為(0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5) × 0.5 = 0.7 > 0.5，
2 + 0.5 × 0.5 0.45故中位數位于[2,2.5)，由 0.7 0.45 = 2.1，②正確
估計萬居民中月均用水量不低于 3m3的人數為400000 × 0.1 × 3 × 0.5 = 60000，③正確
根據用水量對這 100 位居民進行分層，用分層抽樣的方法抽取 20 人，則用水量在[1.5,2)中應抽取20 ×
(0.4 × 0.5) = 4人，④錯誤，
故選：C.
2．（2024·陜西西安·二模）某教育機構為調查中小學生每日完成作業的時間，收集了某位學生 100 天每天
完成作業的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區間均為左閉右開），根據此直方圖得出了
下列結論，其中正確的是（ ）
A．估計該學生每日完成作業的時間在 2 小時至 2.5 小時的有 50 天
B．估計該學生每日完成作業時間超過 3 小時的概率為 0.3
C．估計該學生每日完成作業時間的平均數為 2.75 小時
D．估計該學生每日完成作業時間的中位數與平均數相等
【解題思路】直接根據直方圖來計算判斷每一個選項.
【解答過程】對于 A：估計該學生每日完成作業的時間在 2 小時至 2.5 小時的有100 × 0.5 × 0.5 = 25天，A
錯誤；
對于 B：估計該學生每日完成作業時間超過 3 小時的概率為(0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1) × 0.5 = 0.35，B 錯誤；
對于 C：
(1.25 × 0.1 + 1.75 × 0.3 + 2.25 × 0.5 + 2.75 × 0.4 + 3.25 × 0.3 + 3.75 × 0.2 + 4.25 × 0.1 + 4.75 × 0.1) × 0.5
= 2.75，C 正確；
對于 D：估計該學生每日完成作業時間的中位數為 ，
則(0.1 + 0.3 + 0.5) × 0.5 + 0.4 × ( 2.5) = 0.5，解得 = 2.625，D 錯誤.
故選：C.
3．（23-24 高一下·北京通州·期中）對某校高一學生參加志愿服務次數進行統計，隨機抽取 名學生作為樣
本，得到這 名學生參加志愿服務的次數，根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖.
頻 頻
分組
數 率
[10,15) 15 0.3
[15,20) 25
[20,25)
[25,30] 4 0.08
合計 1
(1)請補全表格，并求出圖中 的值；
(2)若該校高一年級學生有 400 人，試估計該校高一年級學生參加志愿服務的次數在區間 10，20 上的人數；
(3)試估計該校高一年級學生參加志愿服務次數的中位數和平均數（每組次數用中間值代替）.
【解題思路】（1）根據頻率和為 1 補全表格，再利用頻率分布直方圖矩形面積和組距的關系即可求出 值；
（2）求出在[10,20)上的頻率是0.8，再乘以總人數即可.
（3）首先分析出中位數在區間[15,20)上，再設中位數為 ，列方程，解出即可，再根據頻率分布圖中平均
數公式即可求出平均數.
25
【解答過程】（1） = 15 ÷ 0.3 = 50， = 50 = 0.5，
則 = 50 15 25 4 = 6 = 6， 50 = 0.12，表格如下：
分組 頻數 頻率
[10,15) 15 0.3
[15,20) 25 0.5
[20,25) 6 0.12
[25,30] 4 0.08
合計 50 1
故 = 0.5 ÷ 5 = 0.1.
（2）因為該校高一年級學生有400人，在[10,20)上的頻率是0.8，
所以估計該校高一年級學生參加志愿服務的次數在此區間上的人數為400 × 0.8 = 320人.
（3）因為0.3 < 0.5且0.3 +0.5 > 0.5，
所以中位數在區間[15,20)上，
因為中位數及前面的數的頻率之和為0.5，設樣本中位數為 ，
則0.3 +0.1( 15) = 0.5，解得 =17，
估計該校高一年級學生參加志愿服務次數的中位數是17.
平均數 =12.5 × 0.3+17.5 × 0.5 + 22.5 × 0.12 + 27.5 × 0.08=17.4，
估計該校高一年級學生參加志愿服務次數的平均數是17.4.
4．（23-24 高一下·湖南長沙·期末） （身體質量指數）是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否
體重(單位:kg)
健康的一個標準，其計算公式是： = 2 : m2 ．中國成人的 數值參考標準為： < 18.5為偏身高 單位
瘦；18.5 ≤ < 24為正常；24 ≤ < 28為偏胖； ≥ 28為肥胖．某公司為了解公司員工的身體肥胖
情況，研究人員從公司員工體檢數據中，采用分層隨機抽樣的方法抽取了 60 名男員工，40 名女員工的身高
體重數據，通過計算男女員工的 值，整理得到如下的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中 a 的值，并估計該公司員工為肥胖的百分比；
(2)估計該公司員工的 值的眾數，中位數；
(3)已知樣本中 60 名男員工 值的平均數為 1 = 22.4，根據頻率分布直方圖，估計樣本中 40 名女員工
值的平均數 2．
【解題思路】（1）利用頻率之和為 1 可計算 的值，再結合頻率分布直方圖即可得肥胖的百分比；
（2）利用頻率分布直方圖即可估計眾數，中位數；
（3）先計算整體的平均數，然后由分層抽樣平均數的公式即可得解．
【解答過程】（1）由題，2 × (0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.06 + 0.07 + 0.08 + + 0.13) = 1，解得： = 0.1，
由頻率分布直方圖可得，該公司員工為肥胖的百分比為2 × (0.01 + 0.03) × 100% = 8%；
2 18+20（ ）由頻率分布直方圖可得，眾數為 2 = 19，
因為2 × (0.08 + 0.13) = 0.42 < 0.5，2 × (0.08 + 0.13 + 0.1) = 0.62 > 0.5，
故中位數在[20,22)，設為 ，則 = 20 + 0.5 0.422×0.1 × (22 20) = 20.8；
（3）設樣本平均數為 ，
則由頻率分布直方圖可得；
= 2 × (17 × 0.08 + 19 × 0.13 + 21 × 0.1 + 23 × 0.06 + 25 × 0.07 + 27 × 0.02 + 29 × 0.01 + 31 × 0.03)
，
= 21.64
= 60 1+40 2又 100 ，
60×22.4+40 2
即 100 = 21.64，解得： 2 = 20.5．
題型 6 頻率分布直方圖中方差的計算
1．（2025·河南三門峽·模擬預測）甲，乙兩組數據的頻率分布直方圖如圖所示，兩組數據采用相同的分組
方法，用 1和 2分別表示甲、乙的平均數， 21， 22分別表示甲、乙的方差，則（ ）
A． = ， 2 < 2 B． = ， 2 21 2 1 2 1 2 1 > 2
C． < ， 2 = 2 D． > ， 2 = 21 2 1 2 1 2 1 2
【解題思路】由頻率分布直方圖中平均數的計算方法、數據的集中程度即可判斷作答.
【解答過程】因甲，乙兩組數據采用相同的分組方法，則它們的分組各個中點值對應相同，
設第 1 組到 5 組的中點值依次為 1, 2, 3, 4, 5，
由兩個頻率分布直方圖知，
它們都關于過最中間一個小矩形下底邊的中點且垂直于橫軸的直線對稱，
即 1 + 5 = 2 + 4 = 2 3，
令甲組數據從第一組到第五組的頻率依次為 1, 2, 3, 4, 5，且 1 = 5, 2 = 4，
乙組數據從第一組到第五組的頻率依次為 ′1, ′2, ′3, ′4, ′5，且 ′1 = ′5, ′2 = ′4，
則 1 = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 = 2 3 1 +2 3 2 + 3 3 = 3( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3，
同理 2 = 3，因此， 1 = 2，
由頻率分布直方圖知，乙組數據比甲組數據相對于平均數更集中，
甲組數據波動較乙的大，則有 2 21 > 2，
所以 = ， 2 21 2 1 > 2.
故選：B.
2．（2024·北京通州·一模）2022 年北京冬季奧運會中國體育代表團共收獲 9 金 4 銀 2 銅，金牌數和獎牌數
均創歷史新高．獲得的 9 枚金牌中，5 枚來自雪上項目，4 枚來自冰上項目．某體育院校隨機調查了 100 名
學生冬奧會期間觀看雪上項目和冰上項目的時間長度（單位：小時），并按[0,10]，(10,20]，(20,30]，
(30,40]，(40,50]分組，分別得到頻率分布直方圖如下：
估計該體育院校學生觀看雪上項目和冰上項目的時間長度的第 75 百分位數分別是 1和 2，方差分別是 21和
22，則（ ）
A． > ， 2 2 2 21 2 1 > 2 B． 1 > 2， 1 < 2
C． 1 < 2 22， 1 > 2 D． 1 < ， 2 < 22 1 2
【解題思路】分別計算出 1和 2，進行比較；由方差的意義比較 21和 22，即可得到答案.
【解答過程】由題意進行數據分析，可得：
0.020 × (10 0) +0.010 × (20 10) +0.030 × (30 20) +0.015 × ( 1 30) = 0.75，解得： 1 = 40；
0.010 × (10 0) +0.020 × (20 10) +0.030 × (30 20) +0.025 × ( 2 30) = 0.75，解得： 2 = 36；
所以 1 > 2.
比較兩個頻率分布直方圖可以看出：雪上項目的數據更分散，冰上項目的數據更集中，由方差的意義可以
得到： 21 > 22.
故選：A.
3．（23-24 高一下·福建漳州·期末）漳州古城有著上千年的建城史，是國家級閩南文化生態保護區的重要組
成部分，并人選首批“中國歷史文化街區”.五一假期來漳州古城旅游的人數創新高，單日客流峰值達 20 萬人
次.為了解游客的旅游體驗滿意度，某研究性學習小組用問卷調查的方式隨機調查了 100 名游客，該興趣小
組將收集到的游客滿意度分值數據（滿分 100 分）分成六段：[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如圖所示的頻
率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中 的值，并估計 100 名游客滿意度分值的眾數和中位數（結果保留整數）；
(2)已知滿意度分值落在[70,80)的平均數 1 = 75，方差 21 = 9，在[80,90)的平均數為 2 = 85，方差 22 = 4，
試求滿意度分值在[70,90)的平均數 和方差 2.
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖中各組頻率之和為 1 即可求得 a 的值；結合眾數和中位數的含義即
可求得它們的值；
（2）根據平均數以及方差的計算公式，即可求得答案.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得，(0.005 + 0.010 × 2 + 0.020 + + 0.025) × 10 = 1，解得
= 0.030，
由頻率分布直方圖可估計眾數為 85，
滿意度分值在[40,80)的頻率為(0.005 + 0.010 × 2 + 0.020) × 10 = 0.45 < 0.5，
在[40,90)的頻率為(0.005 + 0.010 × 2 + 0.002 + 0.030) × 10 = 0.75 > 0.5，
所以中位數落在區間[80,90)內，
所以中位數為80 + 10 × 0.5 0.45 = 2450.3 3 ≈ 82.
（2）由頻率分布直方圖得，滿意度分值在[70,80)的頻率為0.02 × 10 = 0.2，人數為 20；
在[80,90)的頻率為0.03 × 10 = 0.3，人數為 30，
把滿意度分值在[70,80)記為 1, 2, , 20，其平均數 1 = 75，方差 21 = 9，
在[80,90)內記為 1, 2, , 30，其平均數 2 = 85，方差 22 = 4，
20 +30 20×75+30×85
所以滿意度分值在[70,90) 1 2的平均數 = 50 = 50 = 81，
1 20 30
根據方差的定義，滿意度分值在[70,90)的方差為 2 = 50 ( )
2 + ( )2
=1 =1
20 30
1
= 50 ( 1 + 1 )
2 + ( 2 + 2 )2
=1 =1
20 20 20 20
由 ( 1) = 20 1 = 0，可得 2( 1)( 1 ) = 2( 1 ) ( 1) = 0，
=1 =1 =1 =1
30
同理可得 2( 2)( 2 ) = 0，
=1
1 20 20 30 30
因此， 2 = 50 (
2
1) + ( 1 )2 + ( 2)2 + ( 2 )2
=1 =1 =1 =1
20 30
= 50
2
1 + ( 2 2 21 ) + 50 2 + ( 2 )
= 20 3050 9 + (75 81)
2 + 50 4 + (85 81)
2 = 30.
4．（23-24 高一下·湖北·期末）某市根據居民的月用電量實行三檔階梯電價，為了深入了解該市第二檔居民
用戶的用電情況，該市統計局用比例分配的分層隨機抽樣方法，從該市所轄 ， ， 三個區域的第二檔居民
用戶中按 2：2：1 的比例分配抽取了 100 戶后，統計其去年一年的月均用電量（單位：kW h），進行適當
分組后（每組為左閉右開的區間），頻率分布直方圖如下圖所示.
(1)求 的值；
(2)若去年小明家的月均用電量為234kW h，小明估計自己家的月均用電量超出了該市第二檔用戶中 85%的
用戶，請判斷小明的估計是否正確？
(3)通過進一步計算抽樣的樣本數據，得到 A 區樣本數據的均值為 213，方差為 24.2；B 區樣本數據的均值
為 223，方差為 12.3；C 區樣本數據的均值為 233，方差為 38.5，試估計該市去年第二檔居民用戶月均用電
量的方差.（需先推導總樣本方差計算公式，再利用數據計算）
【解題思路】（1）利用頻率和為 1 列式即可得解；
（2）求出 85%分位數后判斷即可；
（3）利用方差公式推導總樣本方差計算公式，從而得解.
【解答過程】（1）根據頻率和為 1，可知( + 0.009 + 0.022 + 0.025 + 0.028) × 10 = 1，
可得 = 0.016.
（2）由題意，需要確定月均用電量的 85%分位數，
因為(0.028 + 0.022 + 0.025) × 10 = 0.75，
(0.028 + 0.022 + 0.025 + 0.016) × 10 = 0.91，
所以 85%分位數位于[230,240)內，
從而 85%分位數為230 + 10 × 0.85 0.750.91 0.75 = 236.25 > 234.
所以小明的估計不正確.
（3）由題意，A 區的樣本數為100 × 0.4 = 40，樣本記為 1， 2， ， 40，平均數記為 ；
B 區的樣本數100 × 0.4 = 40，樣本記為 1， 2， ， 40，平均數記為 ；
C 區樣本數為100 × 0.2 = 20，樣本記為 1， 2， ， 20，平均數記為 .
記抽取的樣本均值為 ， = 0.4 × 213 + 0.4 × 223 + 0.2 × 233 = 221.
設該市第二檔用戶的月均用電量方差為 2，則根據方差定義，總體樣本方差為
40 40 20
1 2 2 2
2 = 100 + +
=1 =1 =1
40 40 20
1 2 2 2
= 100 + + + + +
=1 =1 =1
40 40 40
因為 = 0，所以 2 = 2 = 0，
=1 =1 =1
40 40
同理 2 = 2 = 0，
=1 =1
20 20
2 = 2 = 0，
=1 =1
40 40 40 40
因此 2 = 1
2 2 1 2 2
100 + + 100 + =1 =1 =1 =1
1 20 2 20+ 2100 + ， =1 =1
代入數據得
2 1 1 = 100 40 × 24.2 + 40 × (213 221)
2 + 100 40 × 12.3 + 40 × (223 221)
2
+ 1100 20 × 38.3 + 20 × (233 221)
2 = 78.26.
題型 7 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度
1．（2024·全國·模擬預測）如圖為 2014—2022 年中國游戲用戶規模（單位：百萬人）及同比增長率、
2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量（單位：個）的統計圖，則下列結論正確的是（ ）
A．2014—2022 年中國游戲用戶規模逐年增長
B．2014—2022 年中國游戲用戶規模的同比增長率的中位數為3.1%
C．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的極差為 223 個
D．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的平均數超過 1600 個
【解題思路】根據條形統計圖、折線統計圖逐項分析樣本的數字特征即可判斷.
【解答過程】A 選項：2022 年中國游戲用戶規模比 2021 年少，A 錯誤；
B 選項：2014—2022 年中國游戲用戶規模的同比增長率從小到大依次為 0.3%，0.2%，
2.5%，3.1%，3.2%，3.7%，4.6%，5.9%，7.3%，中位數為3.2%，B 錯誤；
C 選項：2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的極差為9177 245 = 8932（個），C 錯誤；
D 選項：200 + 2 × 400 + 2 × 500 + 3 × 600 + 2 × 1300 + 2000 + 4000 + 9100
= 21500 > 13 × 1600 = 20800，D 正確．
故選：D.
2．（23-24 高一下·江蘇徐州·期末）近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經成為推動消費的
一種流行營銷形式.某直播平臺有 800 個直播商家，對其進行調查統計，發現所售商品多為小吃、衣帽、生
鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務買賣雙方，該直播平臺打算用分
層抽樣的方式抽取 60 個直播商家進行問詢交流.
(1)應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？
(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的 60 個商家的平均日利潤進行了統計（單位：
元），所得頻率直方圖如圖②所示.
（i）估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數與平均數（求平均數時同一組中的數據用該組區間中點的數
值為代表）；
（ii）若將平均日利潤超過 470 元的商家稱為“優質商家”，估計該直播平臺“優質商家”的個數.
【解題思路】（1）根據分層抽樣的定義計算即可；
（2）（i）根據中位數和平均數的定義計算即可；
（ii）根據樣本中“優秀商家”的個數來估計總體中“優秀商家”的個數即可.
【解答過程】（1）根據分層抽樣知：
應抽取小吃類60 × (1 30% 15% 10% 5% 5%) = 21家，生鮮類60 × 15% = 9家，
所以應抽取小吃類 21 家，生鮮類 9 家.
（2）（i）根據題意可得(0.002 × 3 + 2 + 0.006) × 50 = 1，解得 = 0.004，
設中位數為 x，因為(0.002 + 0.004) × 50 = 0.3，(0.002 + 0.004 + 0.006) × 50 = 0.6，
1300
所以( 400) × 0.006 + 0.3 = 0.5，解得 = 3 ，
1300
所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數為 3 元.
平均數為(325 × 0.002 + 375 × 0.004 + 425 × 0.006 + 475 × 0.004 + 525 × 0.002 + 575 × 0.002)
× 50 = 440,
所以該直播平臺商家平均日利潤的平均數為 440 元.
500 470
（ii） × 0.004 + 0.002 + 0.002 × 50 × 800 = 256，
50
所以估計該直播平臺“優秀商家”的個數為 256.
3．（23-24 高三上·黑龍江雞西·期末）為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨
機選取了 10 個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出折線圖：
(1)分別計算甲、乙兩廠提供 10 個輪胎寬度的平均值；
(2)輪胎的寬度在[194,196]內，則稱這個輪胎是標準輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的 10 個輪胎中所有標
準輪胎寬度的方差的大小，根據兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的
輪胎相對更好
【解題思路】（1）根據平均數的求法可直接求得結果；
（2）確定甲、乙兩廠生產的輪胎中標準輪胎的寬度數據，由此可計算得到平均數和方差，對比數據即可得
到結論.
【解答過程】（1）記甲廠提供的10個輪胎寬度的平均值為 1，乙廠提供的10個輪胎寬度的平均值為 2，
= 195×2+194×2+196×2+193×2+197×2 = 195 = 195×4+194+196+193×2+192×21 10 (mm)， 2 10 = 194(mm).
（2）甲廠10個輪胎寬度在[194,196]內的數據為195,194,196,194,196,195，
195+194+196+194+196+195
則平均數為 6 = 195，
1 2
所以方差 2 21 = 6 × 0 + ( 1)
2 + 12 + ( 1)2 + 12 + 02 = 3；
乙廠10個輪胎寬度在[194,196]內的數據為195,196,195,194,195,195，
195+196+195+194+195+195
則平均數為 6 = 195，
所以方差 22 =
1 1
6 × 0
2 + 12 + 02 + ( 1)2 + 02 + 02 = 3；
因為甲、乙兩廠生產的標準輪胎寬度的平均值一樣，但乙廠的方差更小，
所有乙廠的輪胎相對更好.
4．（23-24 高一下·寧夏·期末）某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵大家加入健步運動，要求 200 名職工
每天晚上 9：30 上傳手機計步截圖，對于步數超過 10000 的予以獎勵．圖 1 為甲乙兩名職工在某一星期內
的運動步數統計圖，圖 2 為根據這星期內某一天全體職工的運動步數做出的頻率分布直方圖．
(1)請根據頻率分布直方圖，求 m 的值，并求出該天運動步數不少于 15000 步的人數；
(2)估計全體職工在該天運動步數的眾數、平均數和中位數；
(3)如果當天甲的排名為第 130 名，乙的排名為第 40 名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖．
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖中各組頻率之和為 1，即可求得 m 的值；結合頻率、頻數之間的關
系即可求得該天運動步數不少于 15000 步的人數；
（2）根據頻率分布直方圖，依據眾數、平均數和中位數的估計方法即可求得答案；
（3）計算甲乙排名的占比，結合頻率分布直方圖計算出甲乙兩人的步數，與已知的甲乙兩名職工在某一星
期內的運動步數統計圖比較，即得答案.
【解答過程】（1）由圖可知(0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.06 + ) × 5 = 1，解得 = 0.05；
所以該天運動步數不少于 15000 的人數為(0.05 + 0.03) × 5 × 200 = 80（人）；
2 10+15（ ）眾數是 2 = 12.5（千步）；
全體職工在該天的平均步數為：
2.5 × 0.1+7.5 × 0.2+12.5 × 0.3 + 17.5 × 0.25 + 22.5 × 0.15 = 13.25（千步）
由于前兩組頻率之和為0.1 + 0.2 = 0.3 < 0.5，前三組頻率之和為0.1 + 0.2 + 0.3 > 0.5，
故設中位數為 x，則0.3 + ( 10) × 0.06 = 0.5, ∴ = 403 ，
40
即中位數是： 3 （千步）
（3）因為40 ÷ 200 = 0.2，130 ÷ 200 = 0.65，
假設甲的步數為 千步，乙的步數為 千步，
由頻率分布直方圖可得：
0.02 × 5 + 0.04 × 5 + ( 10) × 0.06 = 1 0.65，解得 =
65
6 （千步），
0.02 × 5 + 0.04 × 5 + 0.06 × 5 + ( 15) × 0.05 = 1 0.2，解得 = 19（千步），
所以可得出是星期二的頻率分布直方圖．
題型 8 統計綜合
1．（23-24 高一下·廣東梅州·期末）某中學新建了學校食堂，每天有近 2000 名學生在學校食堂用午餐，午
餐開放時間約 40 分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學生憑喜好在做好的大約 6 種菜和主食米飯
中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等，為
了更合理地設置窗口布局，增加學生的用餐滿意度，學校學生會在用餐的學生中對就餐選擇、各類餐食的
平均每份取餐時長以及可接受等待時間進行問卷調查，并得到以下的統計圖表.
類別 選餐 套餐 面食
選擇人數 50 30 20
平均每份取餐時長（單位：分鐘） 2 0.5 1
已知飯堂的售飯窗口一共有 20 個，就餐高峰期時有 200 名學生在等待就餐.
(1)根據以上的調查統計，如果設置 12 個選餐窗口，4 個套餐窗口，4 個面食窗口，就餐高峰期時，假設大
家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學最
長等待時間是多少？這能否讓 80％的同學感到滿意（即在接受等待時長內取到餐）？
(2)根據以上的調查統計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設置各類售飯窗口數更優化，并給出你的
求解過程.
【解題思路】（1）求出就餐高峰期時選擇選餐的總人數，確定平均每個窗口等待就餐的人數即可求得選擇
選餐同學的最長等待時間；根據頻率分布直方圖可計算可接受等待時長在 15 分鐘以上的同學占比，即可得
結論；
（2）假設設置 m 個選餐窗口，n 個套餐窗口，k 個面食窗口，表示出各隊伍的同學最長等待時間，根據從
等待時長和公平的角度上考慮即為要求每個隊伍的最長等待時間大致相同，從而列式求解.
50
【解答過程】（1）由題意得，就餐高峰期時選擇選餐的總人數為200 × 50+30+20 = 100人；
這 100 100人平均分布在 12 個選餐窗口，平均每個窗口等待就餐的人數為 12 ≈ 9人，
所以選擇選餐同學的最長等待時間為2 × 9 = 18分鐘，
由可接受等待時長的頻率分布直方圖可知，分組為[5,10),[10,15),[15,20),[20,25)的頻率分別為0.15,0.45,0.35
,0.05，
所以可接受等待時長在 15 分鐘以上的同學占0.05 + 0.35 = 40% < 80%，
故設置 12 個選餐窗口，4 個套餐窗口，4 個面食窗口，不能讓 80％的同學感到滿意；
（2）假設設置 m 個選餐窗口，n 個套餐窗口，k 個面食窗口，則各隊伍的同學最長等待時間如下：
類別 選餐 套餐 面食
高峰期就餐總人數 100 60 40
100 60 40
各隊伍長度（人）

100 60 40
最長等待時間（分鐘） 2 × 0.5 × 1 ×
依題意，從等待時長和公平的角度上考慮，則要求每個隊伍的最長等待時間大致相同，
2 × 100即得 = 0.5 ×
60
= 1 ×
40
，即有 : : = 20:3:4，
而 + + = 20，故 ≈ 15, ≈ 2, ≈ 3，
因此建議設置選餐、套餐、面食三個類別的窗口數分別為15,2,3個.
2．（24-25 高二上·安徽六安·階段練習）隨機抽取 100 名學生，測得他們的身高（單位：cm），按照區間
[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求頻率分布直方圖中 的值及身高在170cm及以上的學生人數；
（2）估計該校 100 名生學身高的 75％分位數．
（3）若一個總體劃分為兩層，通過按樣本量比例分配分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣
本方差分別為： ， ， 2 21； ， ， 2．記總的樣本平均數為 ，樣本方差為 2，證明：

① = + + + ；
② 2 = 1 2
2
+ 1 + ( )
2 + 22 + ．
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖中長方形面積之和為 1，易求出 ，進而利用頻率分布直方圖可求身
高在170 及以上的學生人數；
（2）可設該校 100 名生學身高的 75％分位數，再利用頻率分布直方圖計算即得；
（3）利用樣本平均數，方差公式化簡即證.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可知5 × (0.01 + 0.07 + + 0.04 + 0.02 + 0.01) = 1，解得 = 0.06，
身高在170 及以上的學生人數100 × 5 × (0.06 + 0.04 + 0.02) = 60（人）．
（2）[180,185]的人數占比為5 × 0.02 = 10％，
[175,180]的人數占比為5 × 0.04 = 20％，
所以該校 100 名生學身高的 75％分位數落在[175,180]，
設該校 100 名生學身高的 75％分位數為 ，
則0.04(180 ) +0.1 = 25％，解得 = 176.25，
故該校 100 名生學身高的 75％分位數為176.25．
+
（3 1 1）由題得① = + = + + + ；②
2 = + ( )
2
+ ( )2 =
=1 =1 +

( + )2 + ( + )2
=1 =1
1 = + ( )
2 + 2 ( )( ) + ( )2 +
=1 =1

( )2 + 2 ( )( ) + ( )2
=1 =1

又 ( )( )= ( ) ( )= ( ) ( ) = 0
=1 =1

同理 ( )( )=0，
=1

∴ 2 = 1 2 + ( ) + ( )
2 + ( )2 + ( )2
=1 =1
1
= 2 2 + 1 + ( ) +n
2
2+ ( )2
= 1 +
2
1 + ( )2 + 22 + ( )2 .
3．（2025 高三·全國·專題練習）隨著社會的進步、科技的發展，人民對自己生活的環境要求越來越高，尤
其是居住環境的環保和綠化受到每一位市民的關注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡
每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經濟價值，力
爭物盡其用.某市環衛局在 、 兩個小區分別隨機抽取6戶，進行生活垃圾分類調研工作，依據住戶情況對
近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統計如下表：
住戶編號 1 2 3 4 5 6
小區（分鐘） 220 180 210 220 200 230
小區（分鐘） 200 190 240 230 220 210
（1）分別計算 、 小區每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；
（2）如果兩個小區住戶均按照1000戶計算，小區的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環衛局與兩個小區物業
及住戶協商，初步實施下列方案：
① 小區方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進
行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每
月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？
② 小區方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業讓專職人員進行生活垃圾分類，一位
專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于4位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工
作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費
是多少？
③市環衛局與兩個小區物業及住戶協商分別試行一個月，根據實施情況，試分析哪個方案惠民力度大，值
得進行推廣？
【解題思路】（1）利用表格中數值，代入平均值和方差計算即可；（2）①計算 小區一月至少需要5名工
作人員的費用和每位住戶每月需要承擔的費用即可；②由一位專職工人一天的工作時間按照8小時作為計算
標準，每月按照28天作為計算標準，一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當于4名普通居民對生活垃圾
分類的效果，計算出 小區一月需要專職工作人員數量即可；③根據以上的運算，分析可以得出結論.
1
【解答過程】（1） = 6(220 + 180 + 210 + 220 + 200 + 230) = 210（分鐘），
=
1
6(200 + 190 + 240 + 230 + 220 + 210) = 215（分鐘），
2 = 1[(220 210)2 + (180 210)2 6 + (210 210)
2 + (220 210)2 + (200 210)2 + (230 210)2] = 8003 ，
2 = 1[(200 215)2 6 + (190 215)
2 + (240 215)2 + (230 215)2 + (220 215)2 + (210 215)2] = 8753 ；
（2）①按照 方案， 小區一月至少需要5名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，其費用是
5 × 3000 = 15000元，
15000
每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為 1000 = 15（元），
②由（1）知， 小區平均每位住戶每周需要215分鐘進行垃圾分類，一月需要215 × 4 = 860（分鐘），
小區一月平均需要860 × 1000 = 860000分鐘的時間用于生活垃圾分類，
∵一位專職工人一天的工作時間按照8小時作為計算標準，每月按照28天作為計算標準，
一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當于4名普通居民對生活垃圾分類的效果，
∴ 860000小區一月需要專職工作人員至少8×60×28×4 ≈ 16（名），
16×4000
則每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為 1000 = 64（元），
③根據上述計算可知，按照每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費來說，
選擇 方案惠民力度大，但需要住戶平時做好生活垃圾分類事項；
如果對于高檔小區的居民來說，可以選擇 方案，這只是方便個別高收入住戶，
綜上，選擇 方案推廣，有利于國民熱愛勞動及素質的提升.
4．（23-24 高一下·河南鶴壁·期末）某電視臺有一檔益智答題類綜藝節目，每期節目從現場編號為 01～80
的 80 名觀眾中隨機抽取 10 人答題.答題選手要從“科技”和“文藝”兩類題目中選一類作答，一共回答 10 個問
題，答對 1 題得 1 分.
（1）若采用隨機數表法抽取答題選手，按照以下隨機數表，從下方帶點的數字 2 開始向右讀，每次讀取兩
位數，一行用完接下一行左端，求抽取的第 6 個觀眾的編號.
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164
·
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
（2）若采用等距系統抽樣法抽取答題選手，且抽取的最小編號為 06，求抽取的最大編號.
（3）某期節目的 10 名答題選手中 6 人選科技類題目，4 人選文藝類題目.其中選擇科技類的 6 人得分的平
7 5 5均數為 ，方差為3；選擇文藝類的 4 人得分的平均數為 8，方差為2.求這期節目的 10 名答題選手得分的平
均數和方差.
【解題思路】（1）根據隨機數表依次讀取數據即可，取 01～80 之間的數據；
（2）根據系統抽樣，確定組矩，計算可得；
（3）根據平均數和方差得出數據的整體關系，整體代入求解 10 名選手的平均數和方差.
【解答過程】（1）根據題意讀取的編號依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84
（超界），42,17，
所以抽取的第 6 個觀眾的編號為 42；
（2）若采用系統抽樣，組矩為 8，最小編號為 06，則最大編號為 6+9×8=78；
（3）記選擇科技類的 6 人成績分別為： 1, 2, , 6，
選擇文藝類的 4 人成績分別為： 1, 2, 3, 4，
由題： 1 + 2 + + 6 = 42，( 1 7)2 + ( 2 7)2 + + ( 7)2 = 6 ×
5
6 3 = 10，
+ + + = 32，( 8)2 + ( 8)2 + ( 8)2 21 2 3 4 1 2 3 + ( 4 8) = 4 ×
5
2 = 10，
1+ 2+ + 6+ 1+ 2+ 3+ 4 32+42
所以這 10 名選手的平均數為 10 = 10 = 7.4
1
方差為 210 × [( 1 7.4) + ( 2 7.4)
2 + + ( 6 7.4)2 + ( 7.4)21 + ( 2 7.4)2 + ( 3 7.4)2 + ( 4 7.4)2]
6 4
= 110 × [ (( 7) 0.4)
2 + (( 8) + 0.6)2 ]
=1 =1
6 6 4 4
1
= 10 × [ ( 7)
2 0.8 × ( 7) + 6 × 0.42 + ( 8)2 + 1.2 × ( 8) + 4 × 0.62]
=1 =1 =1 =1
1
= 10 × [10 0 + 0.96 + 10 + 0 + 1.44]
= 2.24.專題 9.6 統計全章八大壓軸題型歸納（拔尖篇）
【人教 A 版（2019）】
題型 1 簡單隨機抽樣估計總體
1．（24-25 高三下·湖北·階段練習）我國古代數學名著《數書九章》是南宋數學家秦九韶所著數學著作，書
中共列算題 81 問，分為 9 類，全書采用問題集的形式，并不按數學方法來分類．題文也不只談數學，還涉
及自然現象和社會生活，成為了解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻．《數書九章》中有“米谷粒分”
一題，現有類似的題：糧倉開倉收糧，糧農送來米 1500 石，驗得米夾谷，抽樣取米一把，數得 304 粒夾谷
30 粒，則這批米內夾谷約為（ ）
A．148 石 B．149 石 C．150 石 D．151 石
2．（2024·河南·三模）中國農歷的“二十四節氣”是凝結著中華民族的智慧與傳統文化的結晶，2022 年 2 月
4 日北京冬奧會開幕式，以二十四節氣的方式開始倒計時，驚艷全球.某小學一年級隨機抽查 100 名學生并
提問“二十四節氣歌”，只能說出兩句的有 32 人，能說出三句或三句以上的有 45 人，據此估計該校一年級的
400 名學生中對“二十四節氣歌”只能說出一句或一句也說不出的人數約為（ ）
A．23 B．92 C．128 D．180
3．（24-25 高一·全國·課后作業）為了解某中學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的 情況，調查部門
在該校進行了如下的隨機調查，向被調查者提出兩個問題：
（1）你的學號是奇數嗎？（2）在過路口時你是否闖過紅燈？
要求被調查者背對著調查人員拋擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則就回答第二個問
題．被調查者不必告訴調查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調查者本人知
道回答了哪一個問題，所以都如實地做了回答．結果被調查的 800 人（學號從 1 至 800）中有 240 人回答了
“是”.由此估計這 800 人中闖過紅燈的人數？
4．（24-25 高一·全國·課后作業）近年來，我國高速鐵路發展迅速，到 2016 年底為止，已經運營的高鐵軌
道的總長度已達2.2 × 104km，位居世界第一.為了提高營運的效率，鐵路部門在安排停靠站臺時通過分班次、
間隔站點的方式進行，如京滬高鐵 G125 班次 11∶10 從北京始發，開往上海虹橋（據 2017 年 10 月時刻
表），停靠站分別為天津南、德州東、濟南西、滕州東、蚌埠南、南京南、鎮江南、常州北、昆山南，而
08∶35 從北京始發的 G111 班次，停靠站分別為德州東、濟南西、泰安、滁州、南京南、丹陽北、無錫東，
最后停靠終點站上海虹橋.試運用統計研究的方法完成下述任務：
(1)如何確定每天的總班次及具體班次的安排？
(2)在確定各個班次停靠站的數量時應考慮哪些因素？如何實施？
(3)在確定各個班次停靠站時應考慮哪些因素？如何實施？
題型 2 分層抽樣的計算
1．（23-24 高一下·江西景德鎮·期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數學生都在家進行網上上課，某校高一，
高二，高三共有學生 6000 名，為了了解同學們對某授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這 6000
名學生中抽取一個容量 60 的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，則
該校高二年級的人數為（ ）
A．1000 B．1500 C．2000 D．3000
2．（24-25 高一·全國·課后作業）某學校在校學生有 2000 人，為了增強學生的體質，學校舉行了跑步和登
山比賽，每人都參加且只參加其中一項比賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數分別為 a，b，c，且
: : = 2:5:3 1，全校參加登山的人數占總人數的4．為了了解學生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法
從中抽取一個容量為 200 的樣本進行調查，則應從高三年級參加跑步的學生中抽取（ ）
A．15 人 B．30 人 C．40 人 D．45 人
3．（24-25 高一下·全國·課后作業）某大型企業針對改善員工福利的 ， ， 三種方案進行了問卷調查，調
查結果如下：
支持 方案 支持 方案 支持 方案
35 歲以下的人數 200 400 800
35 歲及以上的人數 100 100 400
（1）從所有參與調查的人中，用分層隨機抽樣的方法抽取 人，已知從支持 方案的人中抽取了 6 人，求
的值.
（2）從支持 方案的人中，用分層隨機抽樣的方法抽取 5 人，這 5 人中年齡在 35 歲及以上的人數是多少？
年齡在 35 歲以下的人數是多少？
4．（24-25 高一下·全國·課后作業）某市兩所高級中學聯合在暑假組織全體教師外出旅游，活動分為兩條線
路：華東五市游和長白山之旅，且每位教師至多參加了其中的一條線路.在參加活動的教師中，高一教師占
42.5% 1，高二教師占 47.5%，高三教師占 10%.參加華東五市游的教師占參加活動總人數的4，且該組中，高
一教師占 50%，高二教師占 40%，高三教師占 10%.為了了解各條線路不同年級的教師對本次活動的滿意程
度，現用分層隨機抽樣的方法從參加活動的全體教師中抽取一個容量為 200 的樣本.試確定：
（1）參加長白山之旅的高一教師、高二教師、高三教師在該組分別所占的比例；
（2）參加長白山之旅的高一教師、高二教師、高三教師分別應抽取的人數.
題型 3 頻率分布直方圖的相關計算問題
1．（24-25 高一下·廣西崇左·階段練習）某個高級中學組織物理 化學學科能力競賽，全校 1000 名學生都參
加兩科考試，考試后按學科分別評出一 二 三等獎和淘汰的這四個等級，現有某考場的兩科考試數據統計
如下，其中物理科目成績為二等獎的考生有 12 人.如果以這個考場考生的物理和化學成績去估計全校考生的
物理和化學成績分布，則以下說法正確的是（ ）
①該考場化學考試獲得一等獎的有 4 人；
②全校物理考試獲得二等獎的有 240 人；
③如果采用分層抽樣從全校抽取 200 人，則化學考試被淘汰 78 人.
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
2．（24-25 高一上·全國·課后作業）某養豬場定購了一批仔豬，從中隨機抽查了 100 頭仔豬的體重（單位：
斤），經數據處理得到如圖①的頻率分布直方圖，其中體重最輕的 14 頭仔豬的體重的頻數分布表如圖②，
為了將這批仔豬分欄喂養，需計算頻率分布直方圖中的一些數據，其中 a＋b 的值為（ ）
體重 22 24 26 27 28 29 31
頻數 1 1 2 3 3 2 2
圖②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
3．（24-25 高一下·吉林長春·階段練習）某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),
[180,200)，[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．
(1)求直方圖中 的值；
(2)在這100戶居民中，月平均用電量不低于220度的有多少戶？
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶
居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？
4．（23-24 高一下·河南·階段練習）已知某工廠一區生產車間與二區生產車間均生產某種型號的零件，這兩
個生產車間生產的該種型號的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示（每組區間均為左開右閉）.
尺寸大于 的零件用于大型機器中，尺寸小于或等于 的零件用于小型機器中.
(1)若 = 60，試分別估計該工廠一區生產車間生產的 500 個該種型號的零件和二區生產車間生產的 500 個
該種型號的零件用于大型機器中的零件個數.
(2)若 ∈ (60,70]，現有足夠多的來自一區生產車間與二區生產車間的零件，分別用于大型機器 小型機器各
5000 臺的生產，每臺機器僅使用一個該種型號的零件.
方案一：直接將一區生產車間生產的零件用于大型機器中，其中用了尺寸小于或等于 的零件的大型機器每
臺會使得工廠損失 200 元；直接將二區生產車間生產的零件用于小型機器中，其中用了尺寸大于 的零件的
小型機器每臺會使得工廠損失 100 元.
方案二：重新測量一區生產車間與二區生產車間生產的零件尺寸，并正確匹配型號，重新測量的總費用為
35 萬元.
請寫出采用方案一，工廠損失費用的估計值 ( )（單位：萬元）的表達式，并從工廠損失的角度考慮，選
擇合理的方案.
題型 4 統計圖的綜合應用問題
1．（23-24 高一下·吉林通化·階段練習）2024 年 3 月，樹人中學組織三個年級的學生進行黨史知識競賽．經
統計，得到前 200 名學生分布的餅狀圖（如圖）和前 200 名中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖），
則下列命題錯誤的是（ ）
A．成績在前 200 名的學生中，高一人數比高二人數多 30
B．成績在第 1~50 名的學生中，高三最多有 32 人
C．高一學生成績在第 101~150 名的人數一定比高三學生成績在第 1~50 名的人數多
D．成績在第 51~100 名的學生中，高二人數比高一人數多
2．（2024·福建龍巖·一模）圍繞民宿目的地進行吃住娛樂閉環消費已經成為疫情之后人們出游的新潮流．在
用戶出行旅游決策中，某機構調查了某地區 1000 戶偏愛酒店的用戶與 1000 戶偏愛民宿的用戶住宿決策依
賴的出行旅游決策平臺，得到如下統計圖，則下列說法中不正確的是（ ）
A．偏愛民宿用戶對小紅書平臺依賴度最高
B．在被調查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等
C．小紅書在所有被調查用戶住宿決策中的占比與攜程旅行在所有被調查用戶住宿決策中的占比不相等
D．在被調查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比都比抖音的占比高
3．（24-25 高一下·山東聊城·階段練習）共享單車入駐某城區 5 年以來，因其“綠色出行，低碳環保”的理念
而備受人們的喜愛，值此 5 周年之際，某機構為了了解共享單車使用者的年齡段、使用頻率、滿意度等三
個方面的信息，在全市范圍內發放 10000 份調查問卷，回收到有效問卷 6300 份，現從中隨機抽取 160 份，
分別對使用者的年齡段、26～35 歲使用者的使用頻率、26～35 歲使用者的滿意度進行匯總，得到如下三個
表格：
表（一）
使用者年齡段 25 歲以下 26 歲～35 歲 36 歲～45 歲 45 歲以上
人數 40 80 20 20
表（二）
使用頻率 0～6 次/月 7～14 次/月 15～22 次/月 23～31 次/月
人數 10 20 40 10
表（三）
滿意度 非常滿意（10） 滿意（9） 一般（8） 不滿意（7）
人數 30 20 20 10
(1)依據上述表格完成下列三個統計圖形：
　　
　
(2)某城區現有常住人口 80 萬，請用樣本估計總體的思想，試估計年齡在 26 歲～35 歲之間，每月使用共享
單車在 7～14 次的人數.
4．（23-24 高一上·云南保山·開學考試）近幾年購物的支付方式日益增多，某數學興趣小組就此進行了抽樣
調查.調查結果顯示，支付方式有：A 微信、B 支付寶、C 現金、D 其他，該小組對某超市一天內購買者的
支付方式進行調查統計，得到如下兩幅不完整的統計圖.
請你根據統計圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次一共調查了多少名購買者？
(2)請補全條形統計圖；
在扇形統計圖中 A 種支付方式所對應的圓心角為______度.
(3)若該超市這一周內有 1600 名購買者，請你估計使用 A 和 B 兩種支付方式的購買者共有多少名？
題型 5 頻率分布直方圖中集中趨勢參數的計算
1．（23-24 高一下·天津和平·期末）某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為
確定一個比較合理的標準，從該市隨機調查了 100 位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下
頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數為（ ）
①估計居民月均用水量低于 1.5m3的概率為 0.25；
②估計居民月均用水量的中位數約為 2.1m3
③該市有 40 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 3m3的人數為 6 萬；
④根據這 100 位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為 20 人的樣本，
則在用水量區間[1.5,2)中應抽取 3 人
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
2．（2024·陜西西安·二模）某教育機構為調查中小學生每日完成作業的時間，收集了某位學生 100 天每天
完成作業的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區間均為左閉右開），根據此直方圖得出了
下列結論，其中正確的是（ ）
A．估計該學生每日完成作業的時間在 2 小時至 2.5 小時的有 50 天
B．估計該學生每日完成作業時間超過 3 小時的概率為 0.3
C．估計該學生每日完成作業時間的平均數為 2.75 小時
D．估計該學生每日完成作業時間的中位數與平均數相等
3．（23-24 高一下·北京通州·期中）對某校高一學生參加志愿服務次數進行統計，隨機抽取 名學生作為樣
本，得到這 名學生參加志愿服務的次數，根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖.
頻 頻
分組
數 率
[10,15) 15 0.3
[15,20) 25
[20,25)
[25,30] 4 0.08
合計 1
(1)請補全表格，并求出圖中 的值；
(2)若該校高一年級學生有 400 人，試估計該校高一年級學生參加志愿服務的次數在區間 10，20 上的人數；
(3)試估計該校高一年級學生參加志愿服務次數的中位數和平均數（每組次數用中間值代替）.
4．（23-24 高一下·湖南長沙·期末） （身體質量指數）是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否
體重(單位:kg)
健康的一個標準，其計算公式是： = 2 : m2 ．中國成人的 數值參考標準為： < 18.5為偏身高 單位
瘦；18.5 ≤ < 24為正常；24 ≤ < 28為偏胖； ≥ 28為肥胖．某公司為了解公司員工的身體肥胖
情況，研究人員從公司員工體檢數據中，采用分層隨機抽樣的方法抽取了 60 名男員工，40 名女員工的身高
體重數據，通過計算男女員工的 值，整理得到如下的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中 a 的值，并估計該公司員工為肥胖的百分比；
(2)估計該公司員工的 值的眾數，中位數；
(3)已知樣本中 60 名男員工 值的平均數為 1 = 22.4，根據頻率分布直方圖，估計樣本中 40 名女員工
值的平均數 2．
題型 6 頻率分布直方圖中方差的計算
1．（2025·河南三門峽·模擬預測）甲，乙兩組數據的頻率分布直方圖如圖所示，兩組數據采用相同的分組
方法，用 1和 2分別表示甲、乙的平均數， 21， 22分別表示甲、乙的方差，則（ ）
A． 1 = 2 2 2 22， 1 < 2 B． 1 = 2， 1 > 2
C． 1 < 2， 21 = 2 22 D． 1 > 2， 1 = 22
2．（2024·北京通州·一模）2022 年北京冬季奧運會中國體育代表團共收獲 9 金 4 銀 2 銅，金牌數和獎牌數
均創歷史新高．獲得的 9 枚金牌中，5 枚來自雪上項目，4 枚來自冰上項目．某體育院校隨機調查了 100 名
學生冬奧會期間觀看雪上項目和冰上項目的時間長度（單位：小時），并按[0,10]，(10,20]，(20,30]，
(30,40]，(40,50]分組，分別得到頻率分布直方圖如下：
估計該體育院校學生觀看雪上項目和冰上項目的時間長度的第 75 百分位數分別是 1和 ，方差分別是 22 1和
22，則（ ）
A． 1 > 2， 2 > 21 2 B． 1 > 2， 21 < 22
C． 2 2 2 21 < 2， 1 > 2 D． 1 < 2， 1 < 2
3．（23-24 高一下·福建漳州·期末）漳州古城有著上千年的建城史，是國家級閩南文化生態保護區的重要組
成部分，并人選首批“中國歷史文化街區”.五一假期來漳州古城旅游的人數創新高，單日客流峰值達 20 萬人
次.為了解游客的旅游體驗滿意度，某研究性學習小組用問卷調查的方式隨機調查了 100 名游客，該興趣小
組將收集到的游客滿意度分值數據（滿分 100 分）分成六段：[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如圖所示的頻
率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中 的值，并估計 100 名游客滿意度分值的眾數和中位數（結果保留整數）；
(2)已知滿意度分值落在[70,80)的平均數 1 = 75，方差 21 = 9，在[80,90)的平均數為 22 = 85，方差 2 = 4，
試求滿意度分值在[70,90)的平均數 和方差 2.
4．（23-24 高一下·湖北·期末）某市根據居民的月用電量實行三檔階梯電價，為了深入了解該市第二檔居民
用戶的用電情況，該市統計局用比例分配的分層隨機抽樣方法，從該市所轄 ， ， 三個區域的第二檔居民
用戶中按 2：2：1 的比例分配抽取了 100 戶后，統計其去年一年的月均用電量（單位：kW h），進行適當
分組后（每組為左閉右開的區間），頻率分布直方圖如下圖所示.
(1)求 的值；
(2)若去年小明家的月均用電量為234kW h，小明估計自己家的月均用電量超出了該市第二檔用戶中 85%的
用戶，請判斷小明的估計是否正確？
(3)通過進一步計算抽樣的樣本數據，得到 A 區樣本數據的均值為 213，方差為 24.2；B 區樣本數據的均值
為 223，方差為 12.3；C 區樣本數據的均值為 233，方差為 38.5，試估計該市去年第二檔居民用戶月均用電
量的方差.（需先推導總樣本方差計算公式，再利用數據計算）
題型 7 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度
1．（2024·全國·模擬預測）如圖為 2014—2022 年中國游戲用戶規模（單位：百萬人）及同比增長率、
2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量（單位：個）的統計圖，則下列結論正確的是（ ）
A．2014—2022 年中國游戲用戶規模逐年增長
B．2014—2022 年中國游戲用戶規模的同比增長率的中位數為3.1%
C．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的極差為 223 個
D．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的平均數超過 1600 個
2．（23-24 高一下·江蘇徐州·期末）近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經成為推動消費的
一種流行營銷形式.某直播平臺有 800 個直播商家，對其進行調查統計，發現所售商品多為小吃、衣帽、生
鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務買賣雙方，該直播平臺打算用分
層抽樣的方式抽取 60 個直播商家進行問詢交流.
(1)應抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？
(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的 60 個商家的平均日利潤進行了統計（單位：
元），所得頻率直方圖如圖②所示.
（i）估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數與平均數（求平均數時同一組中的數據用該組區間中點的數
值為代表）；
（ii）若將平均日利潤超過 470 元的商家稱為“優質商家”，估計該直播平臺“優質商家”的個數.
3．（23-24 高三上·黑龍江雞西·期末）為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨
機選取了 10 個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出折線圖：
(1)分別計算甲、乙兩廠提供 10 個輪胎寬度的平均值；
(2)輪胎的寬度在[194,196]內，則稱這個輪胎是標準輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的 10 個輪胎中所有標
準輪胎寬度的方差的大小，根據兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的
輪胎相對更好
4．（23-24 高一下·寧夏·期末）某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵大家加入健步運動，要求 200 名職工
每天晚上 9：30 上傳手機計步截圖，對于步數超過 10000 的予以獎勵．圖 1 為甲乙兩名職工在某一星期內
的運動步數統計圖，圖 2 為根據這星期內某一天全體職工的運動步數做出的頻率分布直方圖．
(1)請根據頻率分布直方圖，求 m 的值，并求出該天運動步數不少于 15000 步的人數；
(2)估計全體職工在該天運動步數的眾數、平均數和中位數；
(3)如果當天甲的排名為第 130 名，乙的排名為第 40 名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖．
題型 8 統計綜合
1．（23-24 高一下·廣東梅州·期末）某中學新建了學校食堂，每天有近 2000 名學生在學校食堂用午餐，午
餐開放時間約 40 分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學生憑喜好在做好的大約 6 種菜和主食米飯
中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類是面食，如煮面、炒粉等，為
了更合理地設置窗口布局，增加學生的用餐滿意度，學校學生會在用餐的學生中對就餐選擇、各類餐食的
平均每份取餐時長以及可接受等待時間進行問卷調查，并得到以下的統計圖表.
類別 選餐 套餐 面食
選擇人數 50 30 20
平均每份取餐時長（單位：分鐘） 2 0.5 1
已知飯堂的售飯窗口一共有 20 個，就餐高峰期時有 200 名學生在等待就餐.
(1)根據以上的調查統計，如果設置 12 個選餐窗口，4 個套餐窗口，4 個面食窗口，就餐高峰期時，假設大
家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），問：選擇選餐的同學最
長等待時間是多少？這能否讓 80％的同學感到滿意（即在接受等待時長內取到餐）？
(2)根據以上的調查統計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設置各類售飯窗口數更優化，并給出你的
求解過程.
2．（24-25 高二上·安徽六安·階段練習）隨機抽取 100 名學生，測得他們的身高（單位：cm），按照區間
[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求頻率分布直方圖中 的值及身高在170cm及以上的學生人數；
（2）估計該校 100 名生學身高的 75％分位數．
（3）若一個總體劃分為兩層，通過按樣本量比例分配分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣
本方差分別為： ， ， 21； ， ， 22．記總的樣本平均數為 ，樣本方差為 2，證明：

① = + + + ；
② 2 = 1 2
2
+ 1 + ( )
2 + 22 + ．
3．（2025 高三·全國·專題練習）隨著社會的進步、科技的發展，人民對自己生活的環境要求越來越高，尤
其是居住環境的環保和綠化受到每一位市民的關注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡
每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經濟價值，力
爭物盡其用.某市環衛局在 、 兩個小區分別隨機抽取6戶，進行生活垃圾分類調研工作，依據住戶情況對
近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統計如下表：
住戶編號 1 2 3 4 5 6
小區（分鐘） 220 180 210 220 200 230
小區（分鐘） 200 190 240 230 220 210
（1）分別計算 、 小區每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；
（2）如果兩個小區住戶均按照1000戶計算，小區的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環衛局與兩個小區物業
及住戶協商，初步實施下列方案：
① 小區方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進
行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每
月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？
② 小區方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業讓專職人員進行生活垃圾分類，一位
專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于4位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工
作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費
是多少？
③市環衛局與兩個小區物業及住戶協商分別試行一個月，根據實施情況，試分析哪個方案惠民力度大，值
得進行推廣？
4．（23-24 高一下·河南鶴壁·期末）某電視臺有一檔益智答題類綜藝節目，每期節目從現場編號為 01～80
的 80 名觀眾中隨機抽取 10 人答題.答題選手要從“科技”和“文藝”兩類題目中選一類作答，一共回答 10 個問
題，答對 1 題得 1 分.
（1）若采用隨機數表法抽取答題選手，按照以下隨機數表，從下方帶點的數字 2 開始向右讀，每次讀取兩
位數，一行用完接下一行左端，求抽取的第 6 個觀眾的編號.
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164
·
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
（2）若采用等距系統抽樣法抽取答題選手，且抽取的最小編號為 06，求抽取的最大編號.
（3）某期節目的 10 名答題選手中 6 人選科技類題目，4 人選文藝類題目.其中選擇科技類的 6 人得分的平
5 5
均數為 7，方差為3；選擇文藝類的 4 人得分的平均數為 8，方差為2.求這期節目的 10 名答題選手得分的平
均數和方差.

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