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專題 9.7 統計圖中必考六類問題
【人教 A 版（2019）】
【類型 1 繪制、補全頻率分布直方圖】 ................................................................................................................2
【類型 2 頻率分布直方圖中的相關計算】 ............................................................................................................6
【類型 3 根據其他統計圖解決實際問題】 ..........................................................................................................10
【類型 4 頻率分布直方圖中百分位數與統計參數的估計】 ..............................................................................16
【類型 5 頻率分布直方圖中總體離散程度的估計】 ..........................................................................................21
【類型 6 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度】 ..................................................................................28
【知識點 1 統計圖】
1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義
為了探索一組數據的取值規律，一般先要用表格對數據進行整理，或者用圖將數據直觀表示出來.在初
中，我們曾用頻數分布表和頻數分布圖來整理和表示這種數值型數據，由此能使我們清楚地知道數據分布
在各個小組的個數.
有時，我們更關心各個小組的數據在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直
方圖來整理和表示數據.
(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟
與畫頻數分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.
第一步，求極差
極差為一組數據中最大值與最小值的差.
第二步，決定組距與組數
第三步，將數據分組
通常對組內數據取左閉右開區間，最后一組數據取閉區間.
第四步，列頻率分布表
計算各小組的頻率，作出頻率分布表.
第五步，畫頻率分布直方圖
畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示 .
2．頻率分布直方圖中的統計參數
(1)頻率分布直方圖中的“眾數”
根據眾數的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標為這組數據的眾數.一般用
中點近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數”
根據中位數的意義，在樣本中，有 50%的個體小于或等于中位數，也有 50%的個體大于或等于中位數.
因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可估計中位數的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數”
平均數是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數可以表示為數據與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【方法技巧與總結】
1．頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆.
【類型 1 繪制、補全頻率分布直方圖】
1．（24-25 高一上·全國·課后作業）某養豬場定購了一批仔豬，從中隨機抽查了 100 頭仔豬的體重（單位：
斤），經數據處理得到如圖①的頻率分布直方圖，其中體重最輕的 14 頭仔豬的體重的頻數分布表如圖②，
為了將這批仔豬分欄喂養，需計算頻率分布直方圖中的一些數據，其中 a＋b 的值為（ ）
體重 22 24 26 27 28 29 31
頻數 1 1 2 3 3 2 2
圖②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
【解題思路】根據圖表的頻數及頻率分布直方圖概率和為 1 列式求參即可.
12 1
【解答過程】由題意得 + = 100 × 5 = 0.024，且[2( + ) + + ] × 5 = 1 ，
所以2 × 0.024 + + = 0.2，所以 + = 0.152.
故選：B.
2．（23-24 高三上·云南·階段練習）要調查某地區高中學生身體素質，從高中生中抽取100人進行跳遠測試，
根據測試成績制作頻率分布直方圖如圖，現從成績在[120,140)之間的學生中用分層抽樣的方法抽取5人，應
從[120,130)間抽取人數為 ，則（ ）
A． = 0.025， = 2 B． = 0.025， = 3
C． = 0.030， = 4 D． = 0.030， = 3
【解題思路】先由頻率之和為1解得 值，再分別計算各段學生人數，根據抽樣比得 .
【解答過程】由題得10 × (0.005 + 0.035 + + 0.020 + 0.010) = 1，所以 = 0.030．
在[120,130)之間的學生：100 × 10 × 0.030 = 30人，
在[130,140)之間的學生：100 × 10 × 0.020 = 20人，
在[120,140)之間的學生：50人，
1
又用分層抽樣的方法在[120,140)之間的學生 50 人中抽取 5 人，即抽取比為：10，
1
所以成績在[120,130)之間的學生中抽取的人數應為30 × 10 = 3，即 = 3.
故選：D．
3．（多選）（24-25 高二上·內蒙古·期末）某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機從采摘好的哈密瓜中
挑選了 100 個稱重（單位：kg），并整理數據，得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖，
下面結論正確的是（ ）
A． = 0.8
B．估計該哈密瓜的質量不低于 1.6kg 的比例為 30%
C．估計有一半以上的該哈密瓜的質量介于 1.4kg 至 1.6kg 之間
D．估計該哈密瓜的質量的中位數介于 1.5kg 至 1.6kg 之間
【解題思路】先根據概率和為1，可得 = 1，進而根據頻率分布直方圖得到對應概率，進而可得.
【解答過程】選項 A：0.5 + 2 + 2 + 2.5 + 3 = 10，解得 = 1，A 錯誤；
選項 B：估計該哈密瓜的質量不低于1.6kg的比例為2 × 0.1 + 1 × 0.1 = 300 0，B 正確；
選項 C：低于1.4kg的概率為0.5 × 0.1 + 1 × 0.1 = 0.15，
低于1.6kg的概率為0.5 × 0.1 + 1 × 0.1 + 3 × 0.1 + 2.5 × 0.1 = 0.7，
故估計有一半以上的該哈密瓜的質量介于1.4kg至1.6kg之間，C 正確；
選項 D：
低于1.5kg的概率為0.5 × 0.1 + 1 × 0.1 + 3 × 0.1 = 0.45，
低于1.6kg的概率為0.7，
估計該哈密瓜的質量的中位數介于1.5kg至1.6kg之間，D 正確.
故選：BCD.
4．（23-24 高二下·上海楊浦·期末）學校開展國防知識競賽，對 100 名學生的競賽成績進行統計，發現這
100 名同學的成績都在[50，100]的范圍內，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間為[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，圖中 x 的值是 0.030 ．
【解題思路】利用面積之和等于 1 即能解.
【解答過程】因為每個小矩形的面積就是頻率，所以面積之和等于 1，即10 ×
(0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.04) = 1，解出 = 0.030.
故答案為：0.030.
5．（23-24 高二·上海·課堂例題）某校 30 名高一女生的扔手球記錄如下（單位：m）：
16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1
14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9
17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5
(1)選擇適當的組距，制作一張頻率分布表；
(2)在（1）的基礎上，繪制一幅頻率分布直方圖.
【解題思路】（1）根據所給數據求出極差，分組，求出各區間的頻數及頻率即可求出頻率分布表；
（2）根據（1）作出頻率分布直方圖即可
【解答過程】（1）由題目數據可知極差為21.4 11.7 = 9.7，組距為2，所以分 5 組較好，
[11.55,13.55),[13.55,15.55),[15.55,17.55),[17.55,19.55),[19.55,21.55]，
頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
[11.55,13.55) 3 0.10
[13.55,15.55) 7 0.23
[15.55,17.55) 11 0.37
[17.55,19.55) 6 0.20
[19.55,21.55] 3 0.10
合計 30 1.00
（2）根據（1）的頻率分布表可以畫出頻率分布直方圖如圖所示：
6．（24-25 高二·上海·課堂例題）從高一學生中抽取 50 名參加調研考試，成績的分組及各組的頻數如下（單
位：分）：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖；
(3)估計成績在[70,80)分的學生所占總體的百分比．
【解題思路】（1）根據題中所給數據 即可得出頻率分布表；
（2）根據頻率分布表畫出頻率分布直方圖即可；
（3）根據頻率分布直方圖即可得解.
【解答過程】（1）頻率分布表如下：
成績分組 頻數 頻率
[40,50) 2 0.04
[50,60) 3 0.06
[60,70) 10 0.20
[70,80) 15 0.30
[80,90) 12 0.24
[90,100] 8 0.16
合計 50 1.00
（2）由題意知組距為 10，取小矩形的高根據表格畫出如下的頻率分布直方圖：
（3）由頻率分布直方圖，可估計成績在[70,80)分的學生所占總體的百分比是0.03 × 10 = 0.3 = 30%.
【類型 2 頻率分布直方圖中的相關計算】
7．（2024·陜西渭南·模擬預測）在某次高中數學模擬考試中，對 800 名考生的考試成績進行統計，得到如
圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間分別為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100].若考生成績在[70,80)內的人數為 ，考生成績在[80,100]內的人數為 ，則 = （ ）
A．20 B．10 C．60 D．40
【解題思路】由頻率分布直方圖求出 、 ，即可得解.
【解答過程】由頻率分布直方圖可得 = 800 × 0.03 × 10 = 240， = 800 × (0.01 + 0.015) × 10 = 200，
所以 = 240 200 = 40.
故選：D.
8．（2025 高三上·河南·專題練習）為了調查某工廠生產的一批口罩的質量情況，隨機抽取了一批口罩，所
得數據如下圖所示，為了進一步了解情況，研究人員在被抽取的口罩中按照質量的指標值再次進行分層抽
樣，共抽取 個，若質量的指標值在[110,120)中的抽取80個，則下列說法正確的是（ ）
A．質量的指標值在[140,150)中的抽取5個
B．質量的指標值在[130,140)中的抽取60個
C．質量的指標值在[120,130)中的抽取40個
D． = 200
【解題思路】計算出質量的指標值在[110,120)內的頻率，由頻率、頻數以及總容量三者之間的關系額可求
得 的值，可判斷 D 選項；然后將 的值乘以對應組的頻率，可判斷 ABC 選項.
80
【解答過程】質量的指標值在[110,120)內的頻率為0.04 × 10 = 0.4，所以， = 0.4 = 200，
所以，質量的指標值在[140,150)中的抽取的數量為200 × 0.005 × 10 = 10個，
質量的指標值在[130,140)中的抽取的數量為200 × 0.02 × 10 = 40個，
質量的指標值在[120,130)的抽取的數量為200 × 0.03 × 10 = 60個，ABC 錯，D 對.
故選：D.
9．（多選）（23-24 高一下·內蒙古通遼·階段練習）某學校為了調查學生在一周生活方面的支出情況，抽出
了一個容量為 n 的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)內的學生有 60 人，則下列說法
正確的是（ ）
A．樣本中支出在[50，60)內的頻率為 0.03
B．樣本中支出不少于 40 元的人數為 132
C．n 的值為 200
D．若該校有 2000 名學生，則估計有 600 人支出在[50，60)內
【解題思路】根據頻率之和為 1 即可求解 A，進而根據選項即可逐一求解.
【解答過程】樣本中支出在[50，60)內的頻率為1 (0.01 + 0.024 + 0.036) × 10 = 0.3，所以 A 錯誤；
60
樣本容量為 = 0.3＝200，支出在[40，50)內的人數為200 × 0.036 × 10 = 72，
支出不少于 40 元的人數為72 + 60 = 132，所以 B，C 正確；
若該校有 2000 名學生，則估計有2000 × 0.3 = 600人支出在[50，60)內，故 D 正確．
故選：BCD.
10．（24-25 高一上·全國·課后作業）為了了解某校學生的體重情況，采用隨機抽樣的方法調查．將樣本體
重數據整理后，得到的頻率分布直方圖如圖所示．已知圖中從左到右前三個矩形面積之比為 1∶2∶3，第二小
組頻數為 12，則全校共抽取人數為 48 ．
【解題思路】根據圖以及前三組的頻率之比可得第二組的頻率，即可求解.
【解答過程】由圖可知：第四，五小組的頻率之和為(0.0375 + 0.0125) × 5 = 0.25，
所以前三組的頻率和為1 0.25 = 0.75，
2
故第二組的頻率為0.75 × 1+2+3 = 0.25，
12
故總人數為0.25 = 48
故答案為：48.
11．（2024 高三·全國·專題練習）某市為了了解學生的體能情況，從全市所有高一學生中按90:1的比例隨機
抽取200人進行一分鐘跳繩測試，將所得數據整理后，分為6組畫出頻率分布直方圖（如圖所示），由于操
作失誤，導致第一組和第二組的數據丟失，但知道第二組頻率是第一組的2倍.
(1)求 和 的值；
(2)若次數在120以上（含120次）為優秀，試估計全市高一學生的優秀率是多少？全市優秀學生的人數約為
多少？
【解題思路】（1）根據頻率之和為1列方程，結合已知條件求得 , ；
（2）根據頻率分布直方圖計算出優秀率，并計算出全市優秀學生的人數.
1 ( + + 0.034 + 0.030 + 0.018 + 0.006) × 10 = 1【解答過程】（ ）由題意得 = 2 ，
= 0.004
解得 = 0.008 ；
（2）由圖可知，超過120分的組的頻率分別為0.30，0.18，0.06，
故優秀率為0.30 + 0.18 + 0.06 = 0.54，
則全市優秀學生的人數約為0.54 × 200 × 90 = 9720（人）.
12．（24-25 高一上·北京西城·階段練習）為調查某校學生的校志愿者活動情況，現抽取一個容量為 100 的
樣本，統計了這些學生一周內的校志愿者活動時長，并繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖，記數據分布
在[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]的頻率分別為 1，
2，…， 7.已知 1 + 2 + 3 = 0.5， 4 = 2 6.
(1)求 2， 6的值；
(2)求樣本中在[150,300)內的頻數；
(3)若全校共2000名學生，請根據樣本數據估計：全校學生一周內的校志愿者活動時長不少于250分鐘的人
數.
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖及直方圖的性質得到方程組，解得即可；
（2）首先求出 3 + 4 + 5，即可求出頻數；
（3）求出 5 + 6 + 7，從而估計人數.
【解答過程】（1）依題意 1 = 7 = 0.001 × 50 = 0.05， 3 = 0.006 × 50 = 0.3，
又 1 + 2 + 3 = 0.5， 4 = 2 6且 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1， 2 = 5，
解得 2 = 0.15， 6 = 0.1， 4 = 0.2；
（2）因為 3 + 4 + 5 = 0.3 + 0.2 + 0.15 = 0.65，
所以樣本中在[150,300)內的頻數為100 × 0.65 = 65；
（3）因為 5 + 6 + 7 = 0.15 + 0.1 + 0.05 = 0.3，
所以根據樣本數據估計全校學生一周內的校志愿者活動時長不少于250分鐘的人數約為2000 × 0.3 = 600
（人）.
【類型 3 根據其他統計圖解決實際問題】
13．（23-24 高一下·湖南·階段練習）如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，
根據該圖，下列結論正確的是（ ）
（注：同比，指當前的數據與上一年同期進行比對；環比，指當前數據與上個月的數據進行比對.）
A．2024 年1 2月份，商品零售總額同比增長9.2%
B．2023 年3 12月份，餐飲收入總額同比都降低
C．2023 年6 10月份，商品零售總額同比都增加
D．2023 年 12 月，餐飲收入總額環比增速為 14.1%
【解題思路】根據折線統計圖一一分析即可.
【解答過程】對于 A，2024 年1 2月份，商品零售總額同比增長2.9%，故 A 錯誤；
對于 B，2023 年 8 月份，餐飲收入總額同比增加，故 B 錯誤；
對于 C，2023 年6 10月份，商品零售總額同比都增加，故 C 正確；
對于 D，2023 年 12 月，餐飲收入總額環比增速并未告知，故 D 錯誤.
故選：C.
14．（23-24 高一下·四川內江·期末）某調查機構對全國互聯網行業進行調查統計，得到整個互聯網行業從
業者年齡的分布餅狀圖 90 后從事互聯網行業者的崗位分布條形圖，則下列結論中不一定正確的是（ ）
A．互聯網行業從事技術崗位的人數中，90 后比 80 后多
B．90 后互聯網行業者中從事技術崗位的人數超過整個從事互聯網行業者總人數的20%
C．互聯網行業中從事運營崗位的人數 90 后比 80 前多
D．互聯網行業從業人員中 90 后占一半以上
【解題思路】利用整個互聯網行業從業者年齡分布餅狀圖、90 后從事互聯網行業崗位分布條形圖即可判斷
各選項的真假．
【解答過程】選項 A；設整個互聯網行業總人數為 a，
互聯網行業中從事技術崗位的 90 后人數為56% × 39.6% = 22.176% ，小于 80 后的人數38% ，
但 80 后中從事技術崗位的人數比例未知，故 A 錯誤．
選項 B：設整個互聯網行業總人數為 a，90 后從事技術崗位人數為 56％×39.6％a，
而 90 后總人數的 20％為56% × 39.6% ，故 B 正確；
選項 C：設整個互聯網行業總人數為 a，
互聯網行業中從事運營崗位的 90 后人數為56% × 17% = 9.52% ，
超過 80 前的人數 6％a，且 80 前中從事運營崗位的人數比例未知，故 C 正確；
選項 D： 由整個互聯網行業從業者年齡分布餅狀圖得到互聯網行業從業人員中 90 后占56%，故 D 正確.
故選：A．
15．（多選）（23-24 高一下·廣西柳州·階段練習）給出如圖所示的三幅統計圖，則下列命題中正確的有
（ ）
A．從折線圖能看出世界人口的變化情況
B．2050 年非洲人口將達到大約 13 億
C．2050 年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
D．從 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增長速度最慢
【解題思路】從折線統計圖能看出世界人口的變化情況，可判定 A 正確；從條形統計圖中可得到：2050 年
非洲人口大約將達到 18 億，可判定 B 錯誤；從扇形統計圖表中可得 2050 年亞洲人口比其他各洲人口的總
和還要多，可判定 C 正確；由上述三幅統計圖并不能得出從 1957 年到 2050 年中哪個洲人口增長速度最慢，
可判定 D 錯誤.
【解答過程】對于 A 中，從折線統計圖能看出世界人口的變化情況，所以是正確的；
對于 B 中，從條形統計圖中可得到：2050 年非洲人口大約將達到 18 億，所以是錯誤的；
對于 C 中，從扇形統計圖表中能夠明顯的得到結論：2050 年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，所以
是正確的；
對于 D 中，由上述三幅統計圖并不能得出從 1957 年到 2050 年中哪個洲人口增長速度最慢，所以是不正確
的.
故選：AC.
16．（23-24 高一下·廣西玉林·期中）某學校組建了演講，舞蹈，航模，合唱，機器人五個社團，全校所有
學生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委將統計結果繪制成如下兩個不完整的統計圖，則合唱社團
的人數占全體學生人數的百分比為 40% .
【解題思路】根據直方圖和餅圖中數據求總人數，再由合唱社團人數求其百分比即可.
50
【解答過程】由統計圖知，演講社團共有 50 人，占比10%，則總人數為10% = 500人，
200
又合唱社團共有 200 人，占比為500 × 100% = 40%．
故答案為：40%.
17．（24-25 高一上·全國·課后作業）以下是某手機店根據某手機銷售的相關數據繪制的統計圖的一部分.請
根據圖 1、圖 2 解答下列問題:
(1)來自該店財務部的數據報告表明，該手機店 1~4 月的手機銷售總額一共是 290 萬元，請將圖 1 中的統計
圖補充完整;
(2)該店 1 月份音樂手機的銷售額為多少萬元
(3)小剛觀察圖 2 后，認為 4 月份音樂手機的銷售額比 3 月份減少了，你同意他的看法嗎 請說明理由.
【解題思路】（1）用 290 減去 1 月，2 月和 4 月的銷售額可得 3 月份的銷售額，從而可將圖 1 中的統計圖
補充完整，
（2）用 1 月份的銷售額乘以 1 月份音樂手機所占的百分比可得結果，
（3）根據兩個分別計算 3 月份和 4 月份音樂手機的銷售額，然后比較可得結論.
【解答過程】（1）290 (85 + 80 + 65) = 60（萬元），補圖如下圖.
（2）85 × 23% = 19.55（萬元），所以該店 1 月份音樂手機的銷售額為19.55萬元.
（3）不同意.理由如下:
3 月份音樂手機的銷售額是60 × 18% = 10.8（萬元），
4 月份音樂手機的銷售額是65 × 17% = 11.05（萬元），
而10.8 < 11.05，因此 4 月份音樂手機的銷售額比 3 月份的銷售額增多了.
18．（23-24 高一上·云南保山·開學考試）近幾年購物的支付方式日益增多，某數學興趣小組就此進行了抽
樣調查.調查結果顯示，支付方式有：A 微信、B 支付寶、C 現金、D 其他，該小組對某超市一天內購買者
的支付方式進行調查統計，得到如下兩幅不完整的統計圖.
請你根據統計圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次一共調查了多少名購買者？
(2)請補全條形統計圖；
在扇形統計圖中 A 種支付方式所對應的圓心角為______度.
(3)若該超市這一周內有 1600 名購買者，請你估計使用 A 和 B 兩種支付方式的購買者共有多少名？
【解題思路】（1）根據頻率即可求解，
（2）根據頻率之和即可求解，
（3）根據所占頻率即可求解.
【解答過程】（1）56 ÷ 28% = 200，即本次一共調查了 200 名購買者；
（2）D 方式支付的有：200 × 20% = 40（人），
A 方式支付的有：200 56 44 40 = 60（人），
補全的條形統計圖如圖所示，
60
在扇形統計圖中 A 種支付方式所對應的圓心角為：360° × 200 = 108°
60+56
（3）1600 × 200 = 928（名），
使用 A 和 B 兩種支付方式的購買者共有 928 名.
【類型 4 頻率分布直方圖中百分位數與統計參數的估計】
19．（23-24 高一下·天津南開·期末）某校隨機抽取了 400 名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都
在 50 分至 100 分之間，進行適當分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．直方圖中 x 的值為 0.035
B．在被抽取的學生中，成績在區間[70,80)的學生數為 30 人
C．估計全校學生的平均成績為 84 分
D．估計全校學生成績的樣本數據的 80%分位數約為 93 分
【解題思路】由頻率分布直方圖求得 x 值判斷 A；由頻率求得學生數判斷 B；由頻率頻率分布直方圖估計平
均數判斷 C；由頻率分布直方圖求出百分位數判斷 D.
【解答過程】對于 A，由頻率分布直方圖得10(0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.040) = 1，解得 x=0.03，A 錯
誤；
對于 B，成績在區間[70,80)的學生數為10 × 0.015 × 400 = 60（人），B 錯誤；
對于 C，平均成績為55 × 0.05 + 65 × 0.1 + 75 × 0.15 + 85 × 0.3 + 95 × 0.4 = 84（分），C 正確；
0.2
對于 D，全校學生成績的樣本數據的 80%分位數約為90 + 0.4 × 10 = 95（分），D 錯誤.
故選：C.
20．（23-24 高一下·天津和平·期末）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨 知史愛國的熱情，
某校舉辦了“學黨史 育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將 1000 名師生的競賽成績（滿分 100 分，
成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（ ）
A．a 的值為 0.005
B．估計這組數據的眾數為 75
C．估計這組數據的第 85 百分位數為 86
D．估計成績低于 60 分的有 25 人
【解題思路】對 A：根據頻率之和為 1，結合圖表數據，計算即可；
對 B：找出面積最大的小長方形對應的區間，求得眾數即可；
對 C：根據百分位數定義，結合數據求解即可；
對 D：求得成績低于 60 分的頻率，結合總人數計算即可.
【解答過程】對 A：10 × (2 + 3 + 3 + 6 + 5 + ) = 1，
即10 × 20 = 1， = 0.005，故 A 正確；
對 B：由面積最大的小長方形可知，估計這組數據的眾數為 75，故 B 正確；
對 C：前 4 組頻率之和為14 × 0.005 × 10 = 0.7，
前 5 組頻率之和為19 × 0.005 × 10 = 0.95，
設這組數據的第 85 百分位數為 ，
則0.7 + ( 80) × 0.025 = 0.85， = 86，故 C 正確；
對 D：成績低于 60 分的頻率為0.025 × 10 = 0.25，
故估計成績低于 60 分的有1000 × 0.25 = 250人，D 錯誤.
故選：D.
21．（多選）（23-24 高一下·全國·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態.圖
（1）形成對稱形態，圖（2）形成“右拖尾”形態，圖（3）形成“左拖尾”形態，根據所給圖作出以下判斷，
正確的是（ ）
A．圖（1）的平均數 = 中位數 = 眾數
B．圖（2）的平均數<眾數<中位數
C．圖（2）的眾數 < 中位數<平均數
D．圖（3）的平均數 < 中位數 < 眾數
【解題思路】根據平均數，中位數，眾數的概念結合圖形分析判斷.
【解答過程】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數=中位數=眾數，故 A 正確；
圖（2）眾數最小，右拖尾平均數大于中位數，故 B 錯誤，C 正確；
圖（3）左拖尾眾數最大，平均數小于中位數，故 D 正確.
故選：ACD.
22．（23-24 高一上·江西南昌·期末）支原體肺炎是學齡前兒童及青年人常見的一種肺炎，全年均可發病，
以冬季多見，主要通過飛沫傳播，潛伏期較長，近期，某班級出現許多學生感染支原體肺炎的現象，為確
保班級的正常教學，該班班主任統計了最近一周 5 天感染支原體肺炎的學生人數，已知這 5 天的人數互不
相等，且 5 天數據的平均數為 ，若最后一天的數據不小心被墨水污染，前 4 天的數據的平均數為 ，若 =
，則 4 天數據的第 60 百分位數 大于 （填“大于”，“小于”“等于”）這 5 天數據的第 60 百分位數．
【解題思路】先求出污染數據的值，再結合百分位數的定義，即可求解.
【解答過程】5 天數據的平均數為 ，前 4 天的數據的平均數為 且 = ，
則被污染的數據為5 4 = 5 4 = ，
不妨設 5 天的數據關系為 1 < 2 < 3 < 4 < 5，其中 3 = ，
+
則 5 天數據的第 60 3 4百分位數為 2 ，
污染后的數據關系為 1 < 2 < 4 < 5，
則 4 天數據的第 60 百分位數為 4，
> 3+ 4顯然 4 2 .
故答案為：大于.
23．（23-24 高一下·廣東廣州·期末）5 月 11 日是世界防治肥胖日.我國超過一半的成年人屬于超重或肥胖，
6～17 歲的兒童青少年肥胖率接近 20%，肥胖已成為嚴重危害我國居民健康的公共衛生問題.目前，國際上
常用身體質量指數（BodyMassIndex，縮寫 BMI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康.我國成人的 BMI 數值
標準為：BMI<18.5 為偏瘦；18.5≤BMI<24 為正常；24≤BMI<28 為偏胖；BMI≥28 為肥胖.為了解某公司員工
的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數據中，采用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取了 60 名男員工、
40 名女員工的身高和體重數據，通過計算得到男女員工的 BMI 值并將女員工的 BMI 值繪制成如圖所示的
頻率分布直方圖：
(1)求圖中 a 的值，并估計樣本中女員工 BMI 值的 70%分位數；
(2)已知樣本中男員工 BMI 值的平均數為 22，試估計該公司員工 BMI 值的平均數.
【解題思路】（1）根據頻率分布直方圖的矩形面積之和為 1 可求出 a 的值，再根據百分位數的定義求解 70%
分位數；
（2）先根據頻率分布直方圖計算女員工的平均 BMI 值，再求解該公司員式 BMI 值的平均數即可.
【解答過程】（1）由題意得2 × (0.08 + 0.13 + + 0.06 + 0.07 + 0.02 + 0.01 + 0.03) = 1，解得 = 0.10，
因為2 × (0.08 + 0.13 + 0.10) = 0.62 < 0.7，2 × (0.08 + 0.13 + 0.10 + 0.06) = 0.74 > 0.7，
所以70%分位數在[22,24)，設70%分位數為 ，則
0.62 + 0.06 × ( 22) = 0.7 = 70，解得 3 ，
70
所以樣本中女員工 BMI 值的 70%分位數為 3 ，
（2）由題意得，樣本中女員工 BMI 值的平均數為
2 × (17 × 0.08 + 19 × 0.13 + 21 × 0.10 + 23 × 0.06
+25 × 0.07 + 27 × 0.02 + 29 × 0.01 + 31 × 0.03） = 21.64，
22×60+21.64×40
所以估計該公司員工 BMI 值的平均數為 100 = 21.856.
24．（23-24 高一下·湖南長沙·期末） （身體質量指數）是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是
體重(單位:kg)
否健康的一個標準，其計算公式是： = 2 : m2 ．中國成人的 數值參考標準為： < 18.5為身高 單位
偏瘦；18.5 ≤ < 24為正常；24 ≤ < 28為偏胖； ≥ 28為肥胖．某公司為了解公司員工的身體肥
胖情況，研究人員從公司員工體檢數據中，采用分層隨機抽樣的方法抽取了 60 名男員工，40 名女員工的身
高體重數據，通過計算男女員工的 值，整理得到如下的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中 a 的值，并估計該公司員工為肥胖的百分比；
(2)估計該公司員工的 值的眾數，中位數；
(3)已知樣本中 60 名男員工 值的平均數為 1 = 22.4，根據頻率分布直方圖，估計樣本中 40 名女員工
值的平均數 2．
【解題思路】（1）利用頻率之和為 1 可計算 的值，再結合頻率分布直方圖即可得肥胖的百分比；
（2）利用頻率分布直方圖即可估計眾數，中位數；
（3）先計算整體的平均數，然后由分層抽樣平均數的公式即可得解．
【解答過程】（1）由題，2 × (0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.06 + 0.07 + 0.08 + + 0.13) = 1，解得： = 0.1，
由頻率分布直方圖可得，該公司員工為肥胖的百分比為2 × (0.01 + 0.03) × 100% = 8%；
2 18+20（ ）由頻率分布直方圖可得，眾數為 2 = 19，
因為2 × (0.08 + 0.13) = 0.42 < 0.5，2 × (0.08 + 0.13 + 0.1) = 0.62 > 0.5，
故中位數在[20,22) = 20 + 0.5 0.42，設為 ，則 2×0.1 × (22 20) = 20.8；
（3）設樣本平均數為 ，
則由頻率分布直方圖可得；
= 2 × (17 × 0.08 + 19 × 0.13 + 21 × 0.1 + 23 × 0.06 + 25 × 0.07 + 27 × 0.02 + 29 × 0.01 + 31 × 0.03)
，
= 21.64
= 60 1+40 2又 100 ，
60×22.4+40 2
即 100 = 21.64，解得： 2 = 20.5．
【類型 5 頻率分布直方圖中總體離散程度的估計】
25．（24-25 高一下·安徽·開學考試）已知甲，乙兩名運動員進行射擊比賽，每名運動員射擊 10 次，得分情
況如下圖所示．則根據本次比賽結果，以下說法正確的是（ ）
乙射擊環數 6 7 8 9 10
頻數 1 2 2 2 3
A．甲比乙的射擊水平更高
B．甲的射擊水平更穩定
C．甲射擊成績的中位數大于乙射擊成績的中位數
D．甲射擊成績的眾數大于乙射擊成績的眾數
【解題思路】計算甲，乙的平均數并比較即可判斷 A；計算甲，乙的方差并比較即可判斷 B；求出甲，乙的
中位數即可判斷 C；求出甲，乙的眾數即可判斷 D．
1
【解答過程】甲的平均數 1 = 10(5 + 7 + 3 × 8 + 4 × 9 + 10) = 8.2
1
乙的平均數 2 = 10(6 + 2 × 7 + 2 × 8 + 2 × 9 + 3 × 10) = 8.4
∵ 1 < 2，∴乙的射擊水平更高，故 A 錯誤；
1
甲的方差 2 = (5 8.2)21 10 + (7 8.2)
2 + 3 × (8 8.2)2 + 4 × (9 8.2)2 + (10 8.2)2 = 1.76
1
乙的方差 22 = 10 (6 8.4)
2 + 2 × (7 8.4)2 + 2 × (8 8.4)2 + 2 × (9 8.4)2 + 3 × (10 8.4)2 = 1.84
∵ 2 21 < 2，∴甲的射擊水平更穩定，故 B 正確；
甲的射擊成績由小到大排列為：5,7,8,8,8,9,9,9,9,10，位于第 5、第 6 位的數分別是8,9，所以甲的中位數是
8+9
2 = 8.5；
乙的射擊成績由小到大排列為：6,7,7,8,8,9,9,10,10,10，位于第 5、第 6 位的數分別是8,9，所以乙的中位數
8+9
是 2 = 8.5，
故甲射擊成績的中位數與乙射擊成績的中位數相等，故 C 錯誤；
甲的眾數為 9，乙的眾數為 10，故 D 錯誤.
故選：B.
26．（2024·陜西西安·一模）某班學生每天完成數學作業所需的時間的頻率分布直方圖如右圖，為響應國家
減負政策，若每天作業布置量在此基礎上減少 5 分鐘，則減負后完成作業的時間的說法中正確的是（ ）
A．減負后完成作業的時間的標準差減少 25
B．減負后完成作業的時間的方差減少 25
C．減負后完成作業的時間在 60 分鐘以上的概率為12%
D．減負后完成作業的時間的中位數為 25
【解題思路】根據給定的頻率分布直方圖求出 ，利用方差、標準差的意義判斷 AB；求出減負前完成作業
的時間在 60 分鐘以上的概率及中位數判斷 CD.
【解答過程】由頻率分布直方圖可得：20 + 0.025 × 20 + 0.0065 × 20 + 0.003 × 2 × 20 = 1，解得
= 0.0125，
減負后每天作業布置量減少 5 分鐘，則減負后完成作業的時間的平均數減少 5 分鐘，
而完成作業的時間波動大小不變，因此減負后完成作業的時間的標準差、方差不變，AB 錯誤；
減負前完成作業時間在 60 分鐘以上的頻率為0.003 × 40 = 0.12，減負后完成作業時間在 60 分鐘以上的頻率
小于0.12，
由此估計減負后完成作業的時間在 60 分鐘以上的概率小于12%，C 錯誤；
減負前，第一組的頻率為0.0125 × 20 = 0.25，第二組的頻率為0.025 × 20 = 0.5，
20+40
則完成作業的時間的中位數在第二組的中間，即中位數為 2 = 30（分鐘），
所以減負后完成作業時間的中位數為30 5 = 25（分鐘），D 正確.
故選：D.
27．（多選）（24-25 高三上·黑龍江牡丹江·階段練習）某次物理考試后，為分析學生的學習情況，某校從
某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成
績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于[80,90)內的學生成績方差為12，成績位于[90,100)內的同
學成績方差為10．則（ ）
A． = 0.005
B．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為86.50
C．估計該年級學生成績的中位數約為76.14
D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25
【解題思路】對于 A 選項，由各組頻率之和為1求參數；對于 B 選項，兩組求加權平均數可得；對于 C 選
項，由頻率分布直方圖面積與0.5比較，估計中位數所在區間，利用面積關系建方程求解可得；對于 D 選項，
由兩組成績的方差與兩組總方差的關系求解即可.
【解答過程】對于 A 選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，
則(2 + 3 + 7 + 6 + 2 ) × 10 = 200 = 1，解得 = 0.005，故 A 正確；
對于 B 選項，估計成績在80分以上的同學的成績的平均數為
6
6 +2 × 85 +
2
6 +2 × 95 = 87.5分，故 B 錯誤；
對于 C 選項，前兩個矩形的面積之和為(2 + 3 ) × 10 = 50 = 0.25 < 0.5
前三個矩形的面積之和為(2 + 3 + 7 ) × 10 = 120 = 0.6 > 0.5.
設該年級學生成績的中位數為 ，則 ∈ (70,80)，
根據中位數的定義可得0.25 + ( 70) × 0.035 = 0.5，解得 ≈ 77.14，
所以，估計該年級學生成績的中位數約為77.14，故 C 錯誤；
對于 D 選項，估計該年級成績在 80 分及以上的學生成績的方差為
3 2 + 14 12 + (87.5 85) 4 10 + (87.5 95)
2 = 30.25，故 D 正確.
故選：AD.
28．（23-24 高一下·江蘇蘇州·期末）2023 年 10 月 22 日，漢江生態城 2023 襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成
功舉行，志愿者的服務工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔
的面試工作．現隨機抽取了 100 名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三
組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之
和為 0.3，第一組和第五組的頻率相同．
(1)估計這 100 名候選者面試成績的平均數和第 25 百分位數；
(2)在這 100 名候選者用分層隨機抽樣的方法從第四組和第五組面試者內抽取 10 人，再從這 10 名面試者中
隨機抽取兩名，求兩名面試者成績都在第五組的概率．
(3)現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取 20 人，擔任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的
面試成績的平均數和方差分別為 62 和 40，第四組面試者的面試成績的平均數和方差分別為 80 和 70，據此
估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．
【解題思路】（1）首先算出 , ，然后根據平均數、百分位數的計算公式計算即可；
（2）由列舉法求解古典概型概率即可；
（3）由分層抽樣方差公式計算即可.
10 + 10 = 0.3 = 0.005
【解答過程】（1）由題意可知： 10(0.045 + 0.020 + ) = 0.7 ，解得 = 0.025 ，
可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均數為50 × 0.05 + 60 × 0.25 + 70 × 0.45 + 80 × 0.2 + 90 × 0.05 = 69.5，
因為0.05 + 0.25 = 0.3 > 0.25，
設第 25 百分位數為 ，則 ∈ [55,65)，則0.05 + ( 55) × 0.025 = 0.25，解得 = 63，故第 25 百分位數為
63．
（2）10 人中，第四組為 8 人.第五組為 2 人，記第四組的人的編號為 1 到 8，第五組的人的編號為 9 和 10，
則樣本空間Ω = {(1,2),(1,3),(1,4), (1,10),(2,3),(2,4), (2,10),(3,4),(3,5), (3,10), (4,5),
(4,6), (4,10),(5,6), (5,10),(6,7), (6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)}共 45 個樣本點，
1
記兩名面試者成績都在第五組為事件 A， 則事件 = {(9,10)}，故 ( ) = 45；
（3）設第二組、第四組面試者的面試成績的平均數與方差分別為 , , 21 2 1, 22，
0.25 5 5×62+4×80
且兩組頻率之比為0.20 = 4，則第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數 = 9 = 70，
第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差
2 = 5 2 2 + 4 2 2 = 5 2 + 4 2 = 4009 1 + ( 1 ) 9 2 + ( 2 ) 9 40 + (62 70) 9 70 + (80 70) 3 ．
400
故估計第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差是 3 ．
29．（23-24 高一下·廣東廣州·期末）為推動習近平新時代中國特色社會主義思想深入人心，促進全社會形
成愛讀書、讀好書、善讀書的新風尚，培育有堅定理想信念、愛黨愛國、堪當民族復興大任的有為青年，
某學校舉辦了讀書節活動.現從該校的 2000 名學生中發放調查問卷，隨機調查了 100 名學生一周的課外閱讀
時間，將統計數據按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單
位：分鐘，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
(1)求 的值，若每周課外閱讀時間 60 分鐘以上（含 60 分鐘）視為達標，試估計該校達標的人數；
(2)估計該校學生每周課外閱讀的平均時間；
(3) 5若樣本數據在[0,20)與[20,40)內的方差分別為 21 = 3， 22 = 3，計樣本數據在[0,40)內的方差
2.
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為 1 求出 ；求出閱讀時間達標的頻率即可得解.
（2）利用頻率分布直方圖求出平均時間.
（3）利用分層抽樣的方差公式計算即得.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖，得
20(0.0025 + 0.005 + 0.0125 + + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 1，所以 = 0.015；
閱讀時間達標的頻率為20(0.015 + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 0.6，
估計該校閱讀時間達標的人數為2000 × 0.6 = 1200.
（2）一周的課外閱讀時間在[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140]
內的頻率依次為：0.05,0.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05，
= 0.05 × 10 + 0.1 × 30 + 0.25 × 50 + 0.3 × 70 + 0.15 × 90 + 0.1 × 110 + 0.05 × 130 = 68，
所以估計該校學生每周課外閱讀的平均時間為 68 分鐘.
（3）樣本數據在[0,20)與[20,40)內的平均數分別為10,30，
0.05×10+0.1×30 70
則樣本數據在[0,40)內的平均數為 0.15 = 3 ，
0.05 2 0.1 5 2
所以樣本數據在[0,40) 70 70內的方差 2 = 0.15[3 + (10 ) ] + 0.15[3 + (30 ) ] = 913 3 .
30．（23-24 高一下·云南昭通·階段練習）某中學舉行了一次“垃圾分類知識競賽”，全校學生參加了這次競
賽，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績 x（單位：分，得分取正整數，滿分為 100 分）
作為樣本進行統計將成績進行整理后，分為五組（50 ≤ < 60，60 ≤ < 70，70 ≤ < 80，80 ≤ < 90，
90 ≤ ≤ 100），其中 = 8 ，請根據下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：
(1)求 , 的值；
(2)某老師在此次競賽成績中抽取了 10 名學生的分數： 1, 2, 3, , 10，已知這 10 個分數的平均數 = 90，
標準差 = 6，若剔除其中的 95 和 85 兩個分數，求剩余 8 個分數的平均數與方差；
1 1 1
附：方差計算公式： 2 = ( )2 = ( )2 + ( )2 + + ( )2 或 2 = 2 2
1
1 2 = =1 =1
21 + 22 + + 2 2
(3)已知總體分為 2 層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為： 1, , 21；
1
2 2 2 22, , 22．記總樣本的平均數為 ，樣本方差為 ．試證明： = + 1 1 + ( ) + 2
2 2
1 2 2 + ( ) ．
【解題思路】（1）由頻率分布直方圖面積和為 1，列出等式求解即可；
（2）由平均數、方差計算公式代入數據求解即可；
（3）由方差的計算過公式即可求證；
【解答過程】（1）由題意知， = 8 ，且(0.008 + 0.016 + + 0.04 + ) × 10 = 1，
所以 = 0.032， = 0.004．
（2）解： = 90，故： 1 + 2 + 3 + + 10 = 10 × 90 = 900．
又 2 = 1 2 2 2 2 2 2 2 210 1 + 2 + + 10 90 = 6 ， 1 + 2 + + 10 = 81360，
剔除其中的 95 和 85 兩個分數，設剩余 8 個數為 1, 2, 3, , 8，
平均數與標準差分別為 0， 0，
則剩余 8 個分數的平均數： =
1+ 2+ 3+ + 8 = 900 95 850 8 8 = 90；
2 = 1 1方差： 0 8
2
1 + 22 + + 2 902 = 2 2 28 8(81360 95 85 ) 90 = 38.75．
（3）證明：已知總體分為 2 層，通過分層隨機抽樣，
各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為： 1, , 21； 2, , 22．
記總樣本的平均數為 ，樣本方差為 2，
1 2 1 2
2
1 1
= + ( )
2 + ( )2 = + ( + )
2 + ( + )2
1 2 =1 =1 1 2 =1 =1
1 2 1 2
由 ( ) = ( ) = 0，得 2( )( ) = 2( )( ) = 0，
=1 =1 =1 =1
1 1 2
所以 2 = 2 2 + ( + ) + ( + )1 2 =1 =1
1 1 2 2
2
1
= ( 2 + ) + ( )
2 + ( )2 + ( )2
1 2 =1 =1 =1 =1
1
= 2 2 2 2 1+ 1 1 + ( ) + 2 2 + ( ) ．2
【類型 6 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度】
31．（2024·全國·模擬預測）如圖為 2014—2022 年中國游戲用戶規模（單位：百萬人）及同比增長率、
2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量（單位：個）的統計圖，則下列結論正確的是（ ）
A．2014—2022 年中國游戲用戶規模逐年增長
B．2014—2022 年中國游戲用戶規模的同比增長率的中位數為3.1%
C．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的極差為 223 個
D．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的平均數超過 1600 個
【解題思路】根據條形統計圖、折線統計圖逐項分析樣本的數字特征即可判斷.
【解答過程】A 選項：2022 年中國游戲用戶規模比 2021 年少，A 錯誤；
B 選項：2014—2022 年中國游戲用戶規模的同比增長率從小到大依次為 0.3%，0.2%，
2.5%，3.1%，3.2%，3.7%，4.6%，5.9%，7.3%，中位數為3.2%，B 錯誤；
C 選項：2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的極差為9177 245 = 8932（個），C 錯誤；
D 選項：200 + 2 × 400 + 2 × 500 + 3 × 600 + 2 × 1300 + 2000 + 4000 + 9100
= 21500 > 13 × 1600 = 20800，D 正確．
故選：D.
32．（23-24 高一下·福建福州·期末）圖為某地 2014 年至 2023 年的糧食年產量折線圖，則下列說法錯誤的
是（ ）
A．這 10 年糧食年產量的極差為 16
B．這 10 年糧食年產量的第 70 百分位數為 35
C．這 10 年糧食年產量的平均數為 33.7
D．前 5 年的糧食年產量的方差小于后 5 年糧食年產量的方差
【解題思路】將數據由小到大排列26,28,30,32,32,35,35,38,39,42，利用極差、百分位數、平均數的定義得到
A、B、C 選項；由前 5 年和后 5 年的波動性得到方差的大小，得到 D 選項.
【解答過程】A 選項，將樣本數據從小到大排列為26,28,30,32,32,35,35,38,39,42，這 10 年的糧食年產量極
差為42 26 = 16，故 A 正確；
B 選項，10 × 70% = 7，結合 A 選項可知第 70 35+38百分位數為第 7 個數和第 8 個數的平均數，即 2 = 36.5，
故 B 不正確；
C 1選項，這 10 年糧食年產量的平均數10 × (32 + 32 + 30 + 28 + 35 + 38 + 42 + 39 + 26 + 35) = 33.7，故 C
正確：
D 選項，結合圖形可知，前 5 年的糧食年產量的波動小于后 5 年的糧食產量波動，所以前 5 年的糧食年產
量的方差小于后 5 年的糧食年產量的方差，故 D 正確．
故選：B.
33．（多選）（24-25 高一下·全國·開學考試）某市今年夏天迎來罕見的高溫炎熱天氣，當地氣象部門統計
進入八月份以來（8 月 1 日至 8 月 10 日）連續 10 天中每天的最高氣溫和最低氣溫，得到如下的折線圖：
根據該圖，關于這 10 天的氣溫，下列說法中正確的有（ ）
A．最高氣溫的眾數為 38°C B．最低氣溫的平均值為 29°C
C．8 月 4 日的溫差最大 D．最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差
【解題思路】根據折線圖分別判斷各選項.
【解答過程】由圖知，最高氣溫的眾數為 37°C，故 A 錯誤；
29+30+28+27+29+29+28+30+31+29
最低氣溫的平均值為 10 = 29 °C，故 B 正確；
這 10 天的溫差分別為 9°C，7°C，9°C，12°C，9°C，10°C，10°C，7°C，8°C，8°C，
則溫差最大的為 8 月 4 日，故 C 正確；
最高氣溫的極差為39 37 = 2 °C，最低氣溫的極差為31 27 = 4 °C，故 D 錯誤.
故選：BC.
34．（2025 高二下·北京·學業考試）某公司對去年甲、乙兩種產品的月投資額（單位：萬元）進行了統計，
作出如下統計圖（稱為雷達圖）．
根據圖中信息，給出下列三個結論：
①該公司去年 12 月份甲產品的月投資額低于乙產品的月投資額；
②該公司去年甲產品的月投資額的平均數大于乙產品的月投資額的平均數；
③該公司去年甲產品的月投資額的方差小于乙產品的月投資額的方差．
其中所有正確結論的序號是 ①②③ ．
【解題思路】根據雷達圖，明顯可得出甲、乙每月投資額的大小及波動幅度，即可得出結論.
【解答過程】由雷達圖可知，12 月份甲產品的月投資額低于乙產品的月投資額，故①正確；
由雷達圖可知，該公司去年甲產品的月投資額的平均數在 25 萬元附近，比較穩定，變化幅度小，乙產品的
月投資額的平均數明顯小于 25 萬元較多，并且不穩定，變化幅度大，故②③正確.
故答案為：①②③.
35．（23-24 高一下·福建三明·期末）已知 A，B 兩家公司的員工月均工資（單位：萬元）情況分別如圖 1，
圖 2 所示：
(1)以每組數據的區間中點值為代表，根據圖 1 估計 A 公司員工月均工資的平均數、中位數，你認為用哪個
數據更能反映該公司普通員工的工資水平？請說明理由．
(2)小明擬到 A，B 兩家公司中的一家應聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據，他應該選哪個公司？
【解題思路】（1）根據平均數、中位數的定義，由圖 1 扇形統計圖上讀取的數據，可得答案；
（2）求解出兩家公司的平均數、中位數、眾數，進行比較，可得答案.
【解答過程】（1）A 公司員工月均工資的平均數為
0.3 × 0.21 + 0.5 × 0.29 + 0.7 × 0.27 + 0.9 × 0.21 + 29 × 0.02 = 1.166（萬元）．
由題圖 1 可知 A 公司員工月均工資在 0.6 萬元以下的比例為0.21 + 0.29 = 0.5，
所以 A 公司員工月均工資的中位數約為 0.6 萬元．
用中位數更能反映該公司普通員工的工資水平，理由如下：
因為平均數受每一個數據的影響，越離群的數據對平均數的影響越大，該公司少數員工的月收入很高，在
這種情況下平均數并不能較好的反映普通員工的收入水平，而中位數不受少數極端數據的影響，可以較好
的反映普通員工的收入水平．
（2）B 公司員工月均工資的平均數為
(0.3 × 0.375 + 0.5 × 0.750 + 0.7 × 2.750 + 0.9 × 1.000 + 1.1 × 0.125) × 0.2 = 0.69（萬元）
由題圖 2 知，B 公司員工月均工資在 0.6 萬元以下的頻率為(0.375 + 0.75) × 0.2 = 0.225，在 0.8 萬元以下的
頻率為(0.375 + 0.75 + 2.75) × 0.2 = 0.775．
設 B 公司員工月均工資的中位數為 x 萬元，
則( 0.6) × 2.75 = 0.5 0.225，得 = 0.7．
小明應選擇 B 公司應聘，理由如下：
B 公司員工工資數據較為集中，月均工資的平均數和中位數均能反映該公司普通員工的平均收入水平，B 公
司員工月均工資平均數為 0.69，中位數為 0.7，均大于 A 公司員工月均工資的中位數 0.62，所以以公司普通
員工的工資水平作為決策依據，小明應該選 B 公司應聘．
36．（23-24 高一下·甘肅定西·階段練習）甲、乙兩人在相同的條件下各射靶 10 次，每次射靶成績均為整數
（單位：環），如圖所示
(1)填寫下表：
平均 方 中位
命中 9環及以上
數 差 數
甲 1.2 7
乙 3
(2)請從四個不同的角度對這次測試進行分析：
①從平均數與方差相結合的角度分析偏離程度；
②從平均數與中位數相結合的角度分析誰的成績好些；
③從平均數和命中 9 環以上的次數看誰的成績好些；
④從折線圖上兩人射擊命中環數及走勢分析誰更好．
【解題思路】（1）由折線圖對應的數據，算出平均數，方差，中位數，填入表中即可；
（2）根據數據特征的意義分析即可.
【解答過程】（1）
平均 方 中位
命中 9環及以上
數 差 數
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
9+5+7+8+7+6+8+6+7+7
甲的平均數為 10 = 7，
2+4+6+8+7+7+8+9+9+10
乙的平均數為 10 = 7，
2 = 1乙 10
(2 7)2 + (4 7)2 + (6 7)2 + (8 7)2 + (7 7)2 + (7 7)2 + (8 7)2 + (9 7)2 + (9 7)2 + (10 7)2 = 5.4，
乙的環數從小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，
7+8
所以乙的中位數為 2 = 7.5，
（2）甲乙的平均數都為 7，但是 2甲 <
2
乙，說明甲的偏離的程度小，乙的偏離程度大；
甲乙的平均數相同，而乙的中位數比甲大，可遇見乙射擊環數優秀次數比甲多，所以乙的成績好些；
甲乙的水平相同，乙命中 9 環以上的次數比甲多 2 次，可知乙的射擊成績好些；
從折線圖上，乙的成績基本成上升趨勢，而甲的成績在平均線上波動不大，說明乙的狀態在上升，有潛力
可挖.專題 9.7 統計圖中必考六類問題
【人教 A 版（2019）】
【類型 1 繪制、補全頻率分布直方圖】 ................................................................................................................2
【類型 2 頻率分布直方圖中的相關計算】 ............................................................................................................4
【類型 3 根據其他統計圖解決實際問題】 ............................................................................................................7
【類型 4 頻率分布直方圖中百分位數與統計參數的估計】 ..............................................................................10
【類型 5 頻率分布直方圖中總體離散程度的估計】 ..........................................................................................13
【類型 6 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度】 ..................................................................................17
【知識點 1 統計圖】
1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義
為了探索一組數據的取值規律，一般先要用表格對數據進行整理，或者用圖將數據直觀表示出來.在初
中，我們曾用頻數分布表和頻數分布圖來整理和表示這種數值型數據，由此能使我們清楚地知道數據分布
在各個小組的個數.
有時，我們更關心各個小組的數據在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直
方圖來整理和表示數據.
(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟
與畫頻數分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.
第一步，求極差
極差為一組數據中最大值與最小值的差.
第二步，決定組距與組數
第三步，將數據分組
通常對組內數據取左閉右開區間，最后一組數據取閉區間.
第四步，列頻率分布表
計算各小組的頻率，作出頻率分布表.
第五步，畫頻率分布直方圖
畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高度）表示 .
2．頻率分布直方圖中的統計參數
(1)頻率分布直方圖中的“眾數”
根據眾數的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標為這組數據的眾數.一般用
中點近似代替.
(2)頻率分布直方圖中的“中位數”
根據中位數的意義，在樣本中，有 50%的個體小于或等于中位數，也有 50%的個體大于或等于中位數.
因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可估計中位數的值.
(3)頻率分布直方圖中的“平均數”
平均數是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數可以表示為數據與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分
布直方圖中，樣本平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
【方法技巧與總結】
1．頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆.
【類型 1 繪制、補全頻率分布直方圖】
1．（24-25 高一上·全國·課后作業）某養豬場定購了一批仔豬，從中隨機抽查了 100 頭仔豬的體重（單位：
斤），經數據處理得到如圖①的頻率分布直方圖，其中體重最輕的 14 頭仔豬的體重的頻數分布表如圖②，
為了將這批仔豬分欄喂養，需計算頻率分布直方圖中的一些數據，其中 a＋b 的值為（ ）
體重 22 24 26 27 28 29 31
頻數 1 1 2 3 3 2 2
圖②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
2．（23-24 高三上·云南·階段練習）要調查某地區高中學生身體素質，從高中生中抽取100人進行跳遠測試，
根據測試成績制作頻率分布直方圖如圖，現從成績在[120,140)之間的學生中用分層抽樣的方法抽取5人，應
從[120,130)間抽取人數為 ，則（ ）
A． = 0.025， = 2 B． = 0.025， = 3
C． = 0.030， = 4 D． = 0.030， = 3
3．（多選）（24-25 高二上·內蒙古·期末）某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機從采摘好的哈密瓜中
挑選了 100 個稱重（單位：kg），并整理數據，得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖，
下面結論正確的是（ ）
A． = 0.8
B．估計該哈密瓜的質量不低于 1.6kg 的比例為 30%
C．估計有一半以上的該哈密瓜的質量介于 1.4kg 至 1.6kg 之間
D．估計該哈密瓜的質量的中位數介于 1.5kg 至 1.6kg 之間
4．（23-24 高二下·上海楊浦·期末）學校開展國防知識競賽，對 100 名學生的競賽成績進行統計，發現這
100 名同學的成績都在[50，100]的范圍內，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間為[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，圖中 x 的值是 ．
5．（23-24 高二·上海·課堂例題）某校 30 名高一女生的扔手球記錄如下（單位：m）：
16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1
14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9
17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5
(1)選擇適當的組距，制作一張頻率分布表；
(2)在（1）的基礎上，繪制一幅頻率分布直方圖.
6．（24-25 高二·上海·課堂例題）從高一學生中抽取 50 名參加調研考試，成績的分組及各組的頻數如下（單
位：分）：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖；
(3)估計成績在[70,80)分的學生所占總體的百分比．
【類型 2 頻率分布直方圖中的相關計算】
7．（2024·陜西渭南·模擬預測）在某次高中數學模擬考試中，對 800 名考生的考試成績進行統計，得到如
圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間分別為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100].若考生成績在[70,80)內的人數為 ，考生成績在[80,100]內的人數為 ，則 = （ ）
A．20 B．10 C．60 D．40
8．（2025 高三上·河南·專題練習）為了調查某工廠生產的一批口罩的質量情況，隨機抽取了一批口罩，所
得數據如下圖所示，為了進一步了解情況，研究人員在被抽取的口罩中按照質量的指標值再次進行分層抽
樣，共抽取 個，若質量的指標值在[110,120)中的抽取80個，則下列說法正確的是（ ）
A．質量的指標值在[140,150)中的抽取5個
B．質量的指標值在[130,140)中的抽取60個
C．質量的指標值在[120,130)中的抽取40個
D． = 200
9．（多選）（23-24 高一下·內蒙古通遼·階段練習）某學校為了調查學生在一周生活方面的支出情況，抽出
了一個容量為 n 的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)內的學生有 60 人，則下列說法
正確的是（ ）
A．樣本中支出在[50，60)內的頻率為 0.03
B．樣本中支出不少于 40 元的人數為 132
C．n 的值為 200
D．若該校有 2000 名學生，則估計有 600 人支出在[50，60)內
10．（24-25 高一上·全國·課后作業）為了了解某校學生的體重情況，采用隨機抽樣的方法調查．將樣本體
重數據整理后，得到的頻率分布直方圖如圖所示．已知圖中從左到右前三個矩形面積之比為 1∶2∶3，第二小
組頻數為 12，則全校共抽取人數為 ．
11．（2024 高三·全國·專題練習）某市為了了解學生的體能情況，從全市所有高一學生中按90:1的比例隨機
抽取200人進行一分鐘跳繩測試，將所得數據整理后，分為6組畫出頻率分布直方圖（如圖所示），由于操
作失誤，導致第一組和第二組的數據丟失，但知道第二組頻率是第一組的2倍.
(1)求 和 的值；
(2)若次數在120以上（含120次）為優秀，試估計全市高一學生的優秀率是多少？全市優秀學生的人數約為
多少？
12．（24-25 高一上·北京西城·階段練習）為調查某校學生的校志愿者活動情況，現抽取一個容量為 100 的
樣本，統計了這些學生一周內的校志愿者活動時長，并繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖，記數據分布
在[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]的頻率分別為 1，
2，…， 7.已知 1 + 2 + 3 = 0.5， 4 = 2 6.
(1)求 2， 6的值；
(2)求樣本中在[150,300)內的頻數；
(3)若全校共2000名學生，請根據樣本數據估計：全校學生一周內的校志愿者活動時長不少于250分鐘的人
數.
【類型 3 根據其他統計圖解決實際問題】
13．（23-24 高一下·湖南·階段練習）如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，
根據該圖，下列結論正確的是（ ）
（注：同比，指當前的數據與上一年同期進行比對；環比，指當前數據與上個月的數據進行比對.）
A．2024 年1 2月份，商品零售總額同比增長9.2%
B．2023 年3 12月份，餐飲收入總額同比都降低
C．2023 年6 10月份，商品零售總額同比都增加
D．2023 年 12 月，餐飲收入總額環比增速為 14.1%
14．（23-24 高一下·四川內江·期末）某調查機構對全國互聯網行業進行調查統計，得到整個互聯網行業從
業者年齡的分布餅狀圖 90 后從事互聯網行業者的崗位分布條形圖，則下列結論中不一定正確的是（ ）
A．互聯網行業從事技術崗位的人數中，90 后比 80 后多
B．90 后互聯網行業者中從事技術崗位的人數超過整個從事互聯網行業者總人數的20%
C．互聯網行業中從事運營崗位的人數 90 后比 80 前多
D．互聯網行業從業人員中 90 后占一半以上
15．（多選）（23-24 高一下·廣西柳州·階段練習）給出如圖所示的三幅統計圖，則下列命題中正確的有
（ ）
A．從折線圖能看出世界人口的變化情況
B．2050 年非洲人口將達到大約 13 億
C．2050 年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
D．從 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增長速度最慢
16．（23-24 高一下·廣西玉林·期中）某學校組建了演講，舞蹈，航模，合唱，機器人五個社團，全校所有
學生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委將統計結果繪制成如下兩個不完整的統計圖，則合唱社團
的人數占全體學生人數的百分比為 .
17．（24-25 高一上·全國·課后作業）以下是某手機店根據某手機銷售的相關數據繪制的統計圖的一部分.請
根據圖 1、圖 2 解答下列問題:
(1)來自該店財務部的數據報告表明，該手機店 1~4 月的手機銷售總額一共是 290 萬元，請將圖 1 中的統計
圖補充完整;
(2)該店 1 月份音樂手機的銷售額為多少萬元
(3)小剛觀察圖 2 后，認為 4 月份音樂手機的銷售額比 3 月份減少了，你同意他的看法嗎 請說明理由.
18．（23-24 高一上·云南保山·開學考試）近幾年購物的支付方式日益增多，某數學興趣小組就此進行了抽
樣調查.調查結果顯示，支付方式有：A 微信、B 支付寶、C 現金、D 其他，該小組對某超市一天內購買者
的支付方式進行調查統計，得到如下兩幅不完整的統計圖.
請你根據統計圖提供的信息，解答下列問題：
(1)本次一共調查了多少名購買者？
(2)請補全條形統計圖；
在扇形統計圖中 A 種支付方式所對應的圓心角為______度.
(3)若該超市這一周內有 1600 名購買者，請你估計使用 A 和 B 兩種支付方式的購買者共有多少名？
【類型 4 頻率分布直方圖中百分位數與統計參數的估計】
19．（23-24 高一下·天津南開·期末）某校隨機抽取了 400 名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都
在 50 分至 100 分之間，進行適當分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．直方圖中 x 的值為 0.035
B．在被抽取的學生中，成績在區間[70,80)的學生數為 30 人
C．估計全校學生的平均成績為 84 分
D．估計全校學生成績的樣本數據的 80%分位數約為 93 分
20．（23-24 高一下·天津和平·期末）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨 知史愛國的熱情，
某校舉辦了“學黨史 育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將 1000 名師生的競賽成績（滿分 100 分，
成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（ ）
A．a 的值為 0.005
B．估計這組數據的眾數為 75
C．估計這組數據的第 85 百分位數為 86
D．估計成績低于 60 分的有 25 人
21．（多選）（23-24 高一下·全國·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態.圖
（1）形成對稱形態，圖（2）形成“右拖尾”形態，圖（3）形成“左拖尾”形態，根據所給圖作出以下判斷，
正確的是（ ）
A．圖（1）的平均數 = 中位數 = 眾數
B．圖（2）的平均數<眾數<中位數
C．圖（2）的眾數 < 中位數<平均數
D．圖（3）的平均數 < 中位數 < 眾數
22．（23-24 高一上·江西南昌·期末）支原體肺炎是學齡前兒童及青年人常見的一種肺炎，全年均可發病，
以冬季多見，主要通過飛沫傳播，潛伏期較長，近期，某班級出現許多學生感染支原體肺炎的現象，為確
保班級的正常教學，該班班主任統計了最近一周 5 天感染支原體肺炎的學生人數，已知這 5 天的人數互不
相等，且 5 天數據的平均數為 ，若最后一天的數據不小心被墨水污染，前 4 天的數據的平均數為 ，若 =
，則 4 天數據的第 60 百分位數 （填“大于”，“小于”“等于”）這 5 天數據的第 60 百分位數．
23．（23-24 高一下·廣東廣州·期末）5 月 11 日是世界防治肥胖日.我國超過一半的成年人屬于超重或肥胖，
6～17 歲的兒童青少年肥胖率接近 20%，肥胖已成為嚴重危害我國居民健康的公共衛生問題.目前，國際上
常用身體質量指數（BodyMassIndex，縮寫 BMI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康.我國成人的 BMI 數值
標準為：BMI<18.5 為偏瘦；18.5≤BMI<24 為正常；24≤BMI<28 為偏胖；BMI≥28 為肥胖.為了解某公司員工
的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數據中，采用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取了 60 名男員工、
40 名女員工的身高和體重數據，通過計算得到男女員工的 BMI 值并將女員工的 BMI 值繪制成如圖所示的
頻率分布直方圖：
(1)求圖中 a 的值，并估計樣本中女員工 BMI 值的 70%分位數；
(2)已知樣本中男員工 BMI 值的平均數為 22，試估計該公司員工 BMI 值的平均數.
24．（23-24 高一下·湖南長沙·期末） （身體質量指數）是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是
體重(單位:kg)
否健康的一個標準，其計算公式是： = 2
身高 單位: m2 ．中國成人的 數值參考標準為： < 18.5為
偏瘦；18.5 ≤ < 24為正常；24 ≤ < 28為偏胖； ≥ 28為肥胖．某公司為了解公司員工的身體肥
胖情況，研究人員從公司員工體檢數據中，采用分層隨機抽樣的方法抽取了 60 名男員工，40 名女員工的身
高體重數據，通過計算男女員工的 值，整理得到如下的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中 a 的值，并估計該公司員工為肥胖的百分比；
(2)估計該公司員工的 值的眾數，中位數；
(3)已知樣本中 60 名男員工 值的平均數為 1 = 22.4，根據頻率分布直方圖，估計樣本中 40 名女員工
值的平均數 2．
【類型 5 頻率分布直方圖中總體離散程度的估計】
25．（24-25 高一下·安徽·開學考試）已知甲，乙兩名運動員進行射擊比賽，每名運動員射擊 10 次，得分情
況如下圖所示．則根據本次比賽結果，以下說法正確的是（ ）
乙射擊環數 6 7 8 9 10
頻數 1 2 2 2 3
A．甲比乙的射擊水平更高
B．甲的射擊水平更穩定
C．甲射擊成績的中位數大于乙射擊成績的中位數
D．甲射擊成績的眾數大于乙射擊成績的眾數
26．（2024·陜西西安·一模）某班學生每天完成數學作業所需的時間的頻率分布直方圖如右圖，為響應國家
減負政策，若每天作業布置量在此基礎上減少 5 分鐘，則減負后完成作業的時間的說法中正確的是（ ）
A．減負后完成作業的時間的標準差減少 25
B．減負后完成作業的時間的方差減少 25
C．減負后完成作業的時間在 60 分鐘以上的概率為12%
D．減負后完成作業的時間的中位數為 25
27．（多選）（24-25 高三上·黑龍江牡丹江·階段練習）某次物理考試后，為分析學生的學習情況，某校從
某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成
績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于[80,90)內的學生成績方差為12，成績位于[90,100)內的同
學成績方差為10．則（ ）
A． = 0.005
B．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為86.50
C．估計該年級學生成績的中位數約為76.14
D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25
28．（23-24 高一下·江蘇蘇州·期末）2023 年 10 月 22 日，漢江生態城 2023 襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成
功舉行，志愿者的服務工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔
的面試工作．現隨機抽取了 100 名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三
組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之
和為 0.3，第一組和第五組的頻率相同．
(1)估計這 100 名候選者面試成績的平均數和第 25 百分位數；
(2)在這 100 名候選者用分層隨機抽樣的方法從第四組和第五組面試者內抽取 10 人，再從這 10 名面試者中
隨機抽取兩名，求兩名面試者成績都在第五組的概率．
(3)現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取 20 人，擔任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的
面試成績的平均數和方差分別為 62 和 40，第四組面試者的面試成績的平均數和方差分別為 80 和 70，據此
估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．
29．（23-24 高一下·廣東廣州·期末）為推動習近平新時代中國特色社會主義思想深入人心，促進全社會形
成愛讀書、讀好書、善讀書的新風尚，培育有堅定理想信念、愛黨愛國、堪當民族復興大任的有為青年，
某學校舉辦了讀書節活動.現從該校的 2000 名學生中發放調查問卷，隨機調查了 100 名學生一周的課外閱讀
時間，將統計數據按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（單
位：分鐘，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
(1)求 的值，若每周課外閱讀時間 60 分鐘以上（含 60 分鐘）視為達標，試估計該校達標的人數；
(2)估計該校學生每周課外閱讀的平均時間；
(3)若樣本數據在[0,20)與[20,40)內的方差分別為 2 21 = 3， 2 =
5
3，計樣本數據在[0,40)內的方差
2.
30．（23-24 高一下·云南昭通·階段練習）某中學舉行了一次“垃圾分類知識競賽”，全校學生參加了這次競
賽，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績 x（單位：分，得分取正整數，滿分為 100 分）
作為樣本進行統計將成績進行整理后，分為五組（50 ≤ < 60，60 ≤ < 70，70 ≤ < 80，80 ≤ < 90，
90 ≤ ≤ 100），其中 = 8 ，請根據下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：
(1)求 , 的值；
(2)某老師在此次競賽成績中抽取了 10 名學生的分數： 1, 2, 3, , 10，已知這 10 個分數的平均數 = 90，
標準差 = 6，若剔除其中的 95 和 85 兩個分數，求剩余 8 個分數的平均數與方差；
1 1 1 1
附：方差計算公式： 2 = 2 2 2 2 2 2 2 ( ) = ( 1 ) + ( 2 ) + + ( ) 或 = =1
=
=1
2 2 21 + 2 + + 2
(3)已知總體分為 2 層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為： 21, , 1；
, , 2
1
2 2．記總樣本的平均數為 ，樣本方差為 2．試證明： 2 = 2 2 2 + 1 1 + ( ) + 2 2 + ( )2 ．1 2
【類型 6 其他統計圖表中反映的集中趨勢與離散程度】
31．（2024·全國·模擬預測）如圖為 2014—2022 年中國游戲用戶規模（單位：百萬人）及同比增長率、
2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量（單位：個）的統計圖，則下列結論正確的是（ ）
A．2014—2022 年中國游戲用戶規模逐年增長
B．2014—2022 年中國游戲用戶規模的同比增長率的中位數為3.1%
C．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的極差為 223 個
D．2010—2022 年中國國產游戲獲批版號數量的平均數超過 1600 個
32．（23-24 高一下·福建福州·期末）圖為某地 2014 年至 2023 年的糧食年產量折線圖，則下列說法錯誤的
是（ ）
A．這 10 年糧食年產量的極差為 16
B．這 10 年糧食年產量的第 70 百分位數為 35
C．這 10 年糧食年產量的平均數為 33.7
D．前 5 年的糧食年產量的方差小于后 5 年糧食年產量的方差
33．（多選）（24-25 高一下·全國·開學考試）某市今年夏天迎來罕見的高溫炎熱天氣，當地氣象部門統計
進入八月份以來（8 月 1 日至 8 月 10 日）連續 10 天中每天的最高氣溫和最低氣溫，得到如下的折線圖：
根據該圖，關于這 10 天的氣溫，下列說法中正確的有（ ）
A．最高氣溫的眾數為 38°C B．最低氣溫的平均值為 29°C
C．8 月 4 日的溫差最大 D．最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差
34．（2025 高二下·北京·學業考試）某公司對去年甲、乙兩種產品的月投資額（單位：萬元）進行了統計，
作出如下統計圖（稱為雷達圖）．
根據圖中信息，給出下列三個結論：
①該公司去年 12 月份甲產品的月投資額低于乙產品的月投資額；
②該公司去年甲產品的月投資額的平均數大于乙產品的月投資額的平均數；
③該公司去年甲產品的月投資額的方差小于乙產品的月投資額的方差．
其中所有正確結論的序號是 ．
35．（23-24 高一下·福建三明·期末）已知 A，B 兩家公司的員工月均工資（單位：萬元）情況分別如圖 1，
圖 2 所示：
(1)以每組數據的區間中點值為代表，根據圖 1 估計 A 公司員工月均工資的平均數、中位數，你認為用哪個
數據更能反映該公司普通員工的工資水平？請說明理由．
(2)小明擬到 A，B 兩家公司中的一家應聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據，他應該選哪個公司？
36．（23-24 高一下·甘肅定西·階段練習）甲、乙兩人在相同的條件下各射靶 10 次，每次射靶成績均為整數
（單位：環），如圖所示
(1)填寫下表：
平均 方 中位
命中 9環及以上
數 差 數
甲 1.2 7
乙 3
(2)請從四個不同的角度對這次測試進行分析：
①從平均數與方差相結合的角度分析偏離程度；
②從平均數與中位數相結合的角度分析誰的成績好些；
③從平均數和命中 9 環以上的次數看誰的成績好些；
④從折線圖上兩人射擊命中環數及走勢分析誰更好．

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