資源簡介

2024-2025 學年高一下學期期中復習真題精選（常考 100 題 20 類題型
專練）
【人教 A 版（2019）】
題型歸納
題型 1 平面向量的概念（共 5小題）
1．（23-24 高一下·福建福州·期中）下列說法正確的是（ ）
A．若兩個非零向量 , 共線，則 , , , 必在同一直線上
B．若 與 共線， 與 共線，則 與 也共線
C．若| | = | |則 =
D．若非零向量 與 是共線向量，則它們的夾角是0 或180
【解題思路】根據共線向量的概念即可判斷 A,B,D;根據相等向量的概念可以判斷 C.
【解答過程】方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，因此 D 正確；
→ →
若非零向量 , 是共線向量，則 , , , 未必在同一直線上，A 錯；
→ → → → → → → →
若 = 0，則 與 共線， 與 共線，但是 與 未必共線，B 錯；
→ → → →
由| | = | |可以得到 , 的大小相等，但方向不一定相同，C 錯.
故選：D.
2．（23-24 高一下·天津河北·期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．若| | = 1，則 =± 1 B．若 = ，則 ∥
C．若| | = | |且 ∥ ，則 = D．若 ∥0，則| | = 0
【解題思路】對于 A：根據向量與數量的定義分析判斷；對于 B：根據向量相等和向量共線分析判斷；對于
C：舉反例說明即可；對于 D：根據零向量和向量共線分析判斷.
【解答過程】對于選項 A：因為 為向量， ± 1均為數量，故 A 錯誤；
對于選項 B：根據相等向量與平行向量的關系，知 = ，即有 ∥ ，故 B 正確；
對于選項 C：例如 = ≠ 0，滿足| | = | |且 ∥ ，但 ≠ ，故 C 錯誤；
對于選項 D：由零向量可知：對任意 ，均有 ∥0，即| | = 0不一定成立，故 D 錯誤；
故選：B.
3．（23-24 高一下·江蘇無錫·期中）下列說法錯誤的是（ ）
A．向量 與向量 是共線向量，則點 A，B，C，D 必在同一條直線上
→ →
B．若 = 0, ∈ R，則 = 0或 = 0
C．若向量 , 滿足| | > | |，且 與 同向，則 >
D．向量 與 ( ≠ 0)共線的充要條件是：存在唯一的實數 ，使 =
【解題思路】由平面向量共線以及共線定理可判斷 A 錯誤，D 正確，再由數乘運算可得 B 正確，因為平面
向量不能比較大小，可知 C 錯誤.
【解答過程】對于 A，向量 與向量 是共線向量，則 , 可能平行，因此 , , , 不一定在同一條直線
上，即 A 錯誤；
→ →
對于 B，若 = 0, ∈ R，則 = 0或 = 0，即 B 正確；
對于 C，向量不能比較大小，因此 > 錯誤，即 C 錯誤；
對于 D，由平面向量的共線定理可知 D 正確.
故選：AC.
4．（23-24 高一下·廣東廣州·期中）已知 , 為兩個不共線的非零向量，若 + 與 2 共線，則 k 的值為
12 ．
【解題思路】根據共線向量滿足的性質求解即可.
【解答過程】由題意若 + 與 2 共線，則 + = 2 , ∈ R，
則 + = 2 ，因為 , 為兩個不共線的非零向量，故 = ,1 = 2 ，
1
解得 = 2.
故答案為： 12.
5．（23-24 高一下·福建泉州·期中）已知邊長為 3 的等邊三角形 ，求 邊上的中線向量 的模| |.
【解題思路】根據正三角形的性質，求得 邊上的中線長，即可求解.
【解答過程】如圖所示，因為 △ 是正三角形，所以 邊上的中線向量 的模就是三角形的高，
3 2 3 3 3 3
即： 32 = ，所以 邊上的中線向量 的模| |為 .
2 2 2
題型 2 平面向量的線性運算（共 5小題）
1．（23-24 高一下·湖北武漢·期中）已知等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2，E 為 BC 的中
點，則 = （ ）
A 1．3 +
5 B 13 ．3 +
5
6
C 1 1 1 1．3 + 2 D． 3 + 6
【解題思路】根據向量的線性運算法則進行代換即可求解．
【解答過程】因為 = = ( + ) = = 12 ，
3
所以2 = ，即 =
2
3 +
2
3 ，
又 的中點為 E，
所以 = 1 1 1 2 22( ) = 2 2 + =
1 1
3 + 6 ，3 3
故選：D．
2．（23-24 高一下·廣東深圳·期中）已知向量 1， 2是平面上兩個不共線的單位向量，且 = 1 +2 2，
= 3 1 +2 2， = 3 1 6 2，則（ ）
A． 、 、 三點共線 B． 、 、 三點共線
C． 、 、 三點共線 D． 、 、 三點共線
【解題思路】結合向量的線性運算，逐項判斷向量共線得解.
1
【解答過程】對 A，因為 3 ≠
2
2，則 、 、 三點不共線，故 A 錯誤；
B 1 2對 ，因為3 ≠ 6，則 、 、 三點不共線，故 B 錯誤；
對 C，因為 = + = 1 +2 2 +
2
( 3 1 + 2 2) = 2 1 +4 2 = 3 ，則 、 、 三點共線，則 C 正
確；
對 D， = + = 4 4 3 21 2，因為 4 ≠ 4，則 、 、 三點不共線.
故選：C．
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是
一個非常有趣、優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系（在如圖所示的正五角星中，多邊形

為正五邊形， = 5 1 ≈ 0.618）．則（ ）2
A． + = B． =
C． + = 5 1 D． = 5+1
2 2
【解題思路】利用正五角星的結構特征，結合向量的線性運算，逐項計算判斷即可.
【解答過程】對于 A， + = + = = ，A 正確；
對于 B， = = = ，B 錯誤；
對于 C， + = + = = | | = 5+1 ，C 錯誤；
| | 2
對于 D， = = = | | = 5+1 ，D 正確.
| | 2
故選：AD.
4．（23-24 高一下·四川成都·期中）設 ， 是兩個不共線向量， = 2 + ， = + ， = 2 ．若
A，C，D 三點共線，則實數 = -7 ．
【解題思路】求出 = 3 + ( + 1) ，設 = ，得到方程組，得到 = 7.
【解答過程】 = + = 2 + + + = 3 + ( + 1) ，
A，C，D 三點共線，設 = ，則3 + ( + 1) = 2 ，
故 = 3, + 1 = 2 ，解得 = 6 1 = 7.
故答案為：-7.
5．（23-24 高一下·黑龍江雞西·期中）計算：
(1)( 3) × 4 ；
(2)3( + ) 2( ) ；
(3)(2 +3 ) (3 2 + )；
(4) ；
(5) + + .
【解題思路】（1）根據向量的數乘運算求解；
（2）根據向量的數乘和加減法運算律求解即可；
（3）根據向量的數乘和加減法運算律求解即可；
（4）（5）根據向量的加減法法則求解即可.
→ →
【解答過程】（1）( 3) × 4 = 12 ；
（2）3( + ) 2( ) = 3 +3 2 +2 = 5 ；
（3）(2 +3 ) (3 2 + ) = 2 +3 3 +2
= +5 2 ；
（4） = = ；
（5） + + = +
= + = 0.
題型 3 平面向量的數量積（共 5小題）
1．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知 ， ， 是三個非零平面向量，則下列敘述正確的是（ ）
A．若| | = | |，則 =± B．若| + | = | |，則 ⊥
C．若 = ，則 = D．若 // ，則 = | || |
【解題思路】利用向量的模、數量積的運算律及共線向量直接判斷各個選項即可.
【解答過程】對于 A，| | = | |，而 與 的方向不確定，不一定有 =± ，A 錯誤；
2 2
對于 B，由| + | = | |，得 2 +2 + = 2 2 + ，即 = 0，則 ⊥ ，B 正確；
對于 C， = ( ) = 0，當( ) ⊥ 時， ≠ 也成立，C 錯誤；
對于 D， // ，當 與 的方向相反時， = | || |，D 錯誤.
故選：B.
2．（23-24 高一下·山東臨沂·期中）如圖，圓 為 △ 的外接圓， = 3, = 5, 為邊 的中點，則
= （ ）
A 15 17．7 B． 2 C．8 D． 2
1
【解題思路】由三角形中線性質可知 = 2( + )，再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知| |
cos∠ = 12| |，同理可得| |cos∠ =
1
2| |，再由數量積運算即可得解.
【解答過程】因為 是 BC 中點，
∴ = 12( + )，
因為 M 為 △ 的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，
∴ = | || |cos∠ = 12| |
2 = 12 × 3
2 = 92，
1 25
同理可得 = 2| |
2 = 2 ，
∴ = 12( + ) =
1 + 12 2 =
1 9 1 25 17
2 × 2 + 2 × 2 = 2 .
故選：D.
3．（23-24 高一下·河南洛陽·期中）關于平面向量，下列說法正確的是（ ）
A．若 = ，則 =
→ → → →
B．兩個非零向量 ， ，若| | = | | + | |，則 與 共線且反向
C．若 與 不共線且 +2 與2 +3 共線，則 = 43
D．若 = (1,2)， = ( 1,1)，且 與 + 的夾角為銳角，則 ∈ ( 5, + ∞)
【解題思路】根據特殊值法判斷 A，D 選項，應用向量的平行求參判斷 C 選項，根據向量的數量積公式判
斷 B 選項.
→ → → → → → →
【解答過程】對于 A： = (0,0), = (1,1), = (1,2), · = · ，A 選項不正確；
|→ →| |→| |→| |→ →|2 |→| |→|
2 |→對于 B：因為 = + ，所以 = + ， |2 |→|2 → →+ 2 · = |→ |2 → 2 → →+ | | +2| || |，
→ → → → → →
所以 2 · = 2| || | = 2| || |cos ，
→ →
所以cos = 1，即 = π，則 , 共線反向，B 選項正確；
→ → → → → → → → → →
對于 C：因為 , 不共線， +2 ,2 +3 共線，可得 +2 = 2 + 3 ，
所以 = 2 ,2 = 3 4，所以 = 3，C 選項正確；
→ → →
對于 D：當 = 0時， , + 所成角為0°，不是銳角，D 選項錯誤.
故選：BC.
4．（23-24 高一下·北京·期中）已知非零平面向量 ， ， ，
①若 = ，則 = ；②若| + | = | | + | |，則 // ；
③若| + | = | |，則 ⊥ ；④若 + = 0，則 = 或 = ．
其中正確命題的序號是 ②③ ．
【解題思路】舉反例結合向量垂直可判斷①；對已知等式兩邊平方可判斷②③；根據向量相等可判斷④．
【解答過程】對于①，例如 ⊥ ， = 時，則 = = 0，滿足題意，但 ≠ ，故錯誤；
2 2
對于②，若| + | = | | + | |，則| + | = | | + | | ，
可得 = | | | |cos , = | | | |，所以cos , = 1，
所以 與 的夾角為0，故正確；
2 2
對于③，若| + | = | |，則| + | = | | ，
2 = 2 ，可得 = 0，
因為向量 ， 是非零向量，則 ⊥ ，故正確；
2
對于④，若 + = 0，則| |2 | | = 0，
所以| | = | |，可得 與 的模長相等，但夾角不確定，故錯誤.
其中正確命題的序號是②③.
故答案為：②③.
5．（23-24 高一下·山東臨沂·期中）已知向量 , 滿足| | = 3,| | = 6, 5 4 2 + = 81．
(1)求向量 與 的夾角；
(2)若向量 在 方向上的投影向量為 ，求 + 的值．
【解題思路】（1）由題意得到 = 9，利用平面向量的夾角公式即可求解；
（2）利用投影向量和數量積的運算即可求解．
【解答過程】（1） ∵ (5 4 ) (2 + ) = 81，
∴ 10| |2 3 4| |2 = 81，即90 3 144 = 81，
∴ = 9， ∴ cos < , >= = 93×6 =
1
| || | 2
，
π
又 < , >∈ [0,π]， ∴ 與 的夾角為3；
（2） ∵ = | |cos < , > = 14 ，| |
2
∴ ( + ) = 14 ( + ) =
1
4 +
1 1 1
4 = 4 × 9 + 4 × 6
2 = 454 ．
題型 4 平面向量基本定理及其應用（共 5小題）
1．（23-24 高一下·河北·期中）在 △ 中， 為 邊上的中點， 是 上靠近 的四等分點，則 =
（ ）
A 7． 8 +
1
8 B．
1 7
8 8
C 7 1． 8 8 D．
1
8 +
7
8
【解題思路】根據幾何關系，轉化向量，用基底表示.
1
【解答過程】因為 = 4 ，
1 1
由已知可得， = 2 + ，所以 = 8 + ，
所以 = = 18 + =
7
8 +
1
8 ．
故選：A.
2．（23-24 高一下·四川樂山·期中）如圖，已知點 是 △ 的重心，過點 作直線分別與 ， 兩邊交于
， 兩點，設 = ， = ，則 + 9 的最小值為（ ）
A 5 16．2 B．4 C． 3 D．3
1 1
【解題思路】利用三角形重心性質，得 = 3 + 3 ，再由平面向量基本定理設 = +(1 ) ，
1
即 = +(1 ) 1 1，對照系數，得3( + ) = 1，最后運用常值代換法，由基本不等式即可求得 + 9
的最小值.
【解答過程】
如圖，延長 交 于點 ，因點 是 △ 的重心，
則 = 2 = 2 × 13 3 2( + ) =
1
3 +
1
3 ，①
因 , , 三點共線，則 > 0，使 = +(1 ) ，
因 = ， = ，代入得， = +(1 ) ，②
= 1 1 1 1
由①，②聯立，可得， 3 1 ，消去 即得，3( + ) = 1，(1 ) =
3
1 1 1 1 + 9 = ( + 9 ) ( + ) = (10 + + 9 ) ≥ 10 1則 3 3 3 + 3 2 =
16
9 3 ，
當且僅當 = 3 時等號成立，
4 4 16
即 = 3, = 9時， + 9 取得最小值，為 3 .
故選：C.
3．（23-24 高一下·河北·期中）如圖，在 △ 中，BD 與 EC 交于點 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分點，D
是 AC 的中點，且有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，則下列命題正確的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C 1 1． = 2 + 4
D．過 G 作直線 MN 分別交線段 AB，AC 于點 M，N，設 = ， = （ > 0， > 0），則
+ 2 的最小值為 2．
A,B,C 1 + 1【解題思路】根據向量的線性運算法則計算可判斷 ；利用共線定理的推論可得2 4 = 1，然后妙用
“1”可判斷 D.
2
【解答過程】對于 A,B,C,設 = + ，將 = 3 ， =
1
2 代入，
= 3 +
得 2 ，因為 E、G、C 三點共線，且 B、G、D 三點共線，
= + 2
3 1 + = 1 =
所以 2 ，得 2
+ 2 = 1 = 1
，
4
即 = 1 + 12 4 ．所以 A 錯，B，C 正確；
1 1
對于 D， = 2 + 4 ， = ， = ，
則 = 1 12 +
1 1
4 ，因為 M、G、N 三點共線，
1 1
則2 + 4 = 1
2
，即 +
1
= 4，
+ 2 = 1 1( + 2 ) 2 + 1 = 2 + + 4 4 + 2 4 ≥ 2，
2 + 1 = 4 = 1
當且僅當 ，即 = 1 時取得等號．所以 D 正確． = 2 2
故選：BCD．
4．（23-24 高一下·廣東潮州·期中）在 △ 中， 為 BC 上一點， 是 AD 的中點，若 = ， = 13
+ ，則 + = 13 .
+1 1 1 5
【解題思路】利用向量線性運算得 = 3 + ，再由中點的向量表示列式求得 = 2, = 3 6，
從而得解.
【解答過程】因為 = ，
所以 = 13 + =
1
3( ) + =
1
3 +
1
3
= 1 13 + +
1 = 3 + +
1
3 3
= +13 +
1 ，
3
1 1 +1 1 1 1因為 是 AD 的中點，所以 = 2 + 2 ，所以 3 = 2， 3 = 2，
1 5 1
解得 = 2, = 6，所以 + = 3.
1
故答案為： 3.
5．（23-24 高一下·陜西渭南·期中）如圖所示，△ 中，點 為 的中點，點 是線段 上靠近點 的一
個三等分點， ， 相交于點 ，設 = ， = .
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 = ， = ，求 ， 的值.
【解題思路】（1）由向量的線性運算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的線性運算
和相等向量的充要條件，求出 和 即可.
【解答過程】（1）因為在△ 中，點 為 的中點，
所以 + = 2 ；
所以 = 2 = 2 ，
則 = = 2 23 = 2
5
3
（2）因為 = = 23 ，
又 = ，
所以 23 = 2
5 ，
3
= 2 = 4
即 5 2 = 5 ，解得： .
3 3 =
2
5
題型 5 向量的夾角問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·廣平面西向量玉線林性運·算期的坐中標）表示已知向量 = (1,2), = ( ,3)，若 ⊥ (2 )，則 與 夾角的余弦值為
（ ）
A 2 5 B 5 C 10． ． ． D 3 10．
5 5 10 10
【解題思路】根據平面向量垂直的坐標表示求得向量 ，再利用平面向量夾角的坐標計算公式求值即可.
【解答過程】因為 = (1,2), = ( ,3)，所以2 = (2 ,1)，
因為 ⊥ (2 )，所以 (2 ) = 1 × (2 ) + 2 × 1 = 0，解得 = 4，所以 = (4,3)，
1×4+2×3
設 與 夾角為 ，則cos = = 2 512+22× 42+32 = ，| | ∣ 5
即 與 夾角的余弦值為2 5．
5
故選：A.
2．（23-24 高一下·河南鄭州·期中）已知向量 = (1,1), = ( , 2)，則“ 與 的夾角為鈍角”是“ < 2”的
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據已知條件，結合平面向量數量積運算，以及向量共線的性質，即可求解
【解答過程】已知向量 = (1,1), = ( , 2)，
若 與 的夾角為鈍角，則 = 2 < 01 × ≠ 1 × ( 2) ，解得 < 2且 ≠ 2，
故“ 與 的夾角為鈍角”是“ < 2”的充分不必要條件．
故選：A．
3．（23-24 高一下·陜西寶雞·期中）若向量 = (2,0)， = (1, 3)，則（ ）
A． | + | = | | B． = 2
C 1
π
． 在 上的投影向量為2 D． 與 的夾角為6
【解題思路】根據向量坐標形式的數量積定義、投影向量概念和模長、夾角公式直接計算即可判斷.
【解答過程】由題| + | = |(3, 3)| = 32 + 32 = 2 3，| | = |(1, 3)| = 12 + ( 3)2 = 2，
所以| + | ≠ | |，故 A 錯；
又 = 2 × 1 + 0 × 3 = 2，故 B 正確；
|→ | = 22 + 02 = 2，所以 在 1上的投影向量為2 ，故 C 正確；
因為| | = 12 + 32 = 2,cos · 2 1 , = | | =| | 2×2 = 2，又 , ∈ (0, )，
所以 , = 3，故 D 錯誤.
故選：BC.
4．（23-24 5高一下·北京順義·期中）已知平面向量 = (1,2)， = ( 2, 4)， = ( , )滿足 + = 2，
2π
| | = 5，則 與 的夾角為 3 ．
5
【解題思路】根據條件 + = 2求出 · ，接著根據條件以及向量夾角余弦公式求解即可.
5
【解答過程】由題| | = 12 + 22 = 5，且 + = ( 1, 2)·( , ) = 2 = ( + 2 ) = 2，
所以 · = + 2 = 52，
5
所以cos , =
· 1
2
| || | = = 2，又 , ∈ [0, ]，5
2 2
所以 , = 3 ，即 與 的夾角為 3 .
2
故答案為： 3 .
5．（23-24 高一下·廣東深圳·期中）已知向量 = (1, ), = (2,3)．
(1)若 ⊥ ，求| |；
(2)若 = ( 3, 4)， // + ，求3 + 與 的夾角的余弦值．
2
1 ⊥ = 0 = 1, 11【解題思路】（ ）由向 ，得到 ，列出方程求得 的值，得到 ，進而求得
3
，即可求解；
（2）由 // + ，列出方程求得 = 1，結合向量的夾角公式，即可求解.
2
【解答過程】（1）解：由向量 = (1, ), = (2,3)，因為 ⊥ ，可得 = 0，
2
又因為 = 2 + 3 ，且 = 22 + 32 = 13 11，所以2 + 3 13 = 0，解得 = 3 ，
11 2
所以 = 1, ， = 1, 2 ，所以| | = 1 + 2 = 13．
3 3 3 3
（2）解：由向量 = (1, ), = ( 3, 4)，可得 + = ( 2, 4)，
因為 // + ，所以 2 × 3 2( 4) = 0，解得 = 1，所以 = (1,1)，
又由3 + = (3,5)，可得 3 + = 8，|3 + | = 34,| | = 2
cos 3 + 3 + , = = 4 17所以 |3 + | ，| | 17
3 + 4 17所以 與 的夾角的余弦值為 ．
17
題型 6 向量的模長問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·重平面慶向量·期線性中運算）的坐平標面表示向量 , 滿足 = (2,1)，|2 | = 3且 2 ⊥ ，則| | = （ ）
A．3 B． 10 C． 11 D．2 3
【解題思路】根據向量垂直得數量積為 0，結合向量的模長與數量積的公式求解即可.
【解答過程】由 2 ⊥ 可得 2| |2 = 0，又| | = 22 + 12 = 5，故 = 10.
| 2 2又 2 | = 3，故4| | 4 + | |2 = 9，即4| | 40 + 5 = 9，故| | = 11.
故選：C.
2．（23-24 高一下·福建廈門·階段練習）在平面四邊形 ABCD 中，E，F 分別為 AD，BC 的中點，若
= 4， = 2，且 = 4，則| | = （ ）
A． 2 B． 3 C． 7 D．2 2
【解題思路】作出圖形，連接 ， ，由向量的線性運算和數量積運算可得 = 4，從而根據向量的
數量積以及模長運算公式求解即可.
【解答過程】連接 ， 1 1 1，如圖，可知 = 2 + = 2 + + + = 2 + .
2
所以 = 1 12 + ，即 2 2 = 4，可得 = 4.
2 2 2 2 2
從而，| | = = 14 + =
1
4 + 2 + = 7，所以| | = 7.
故選：C.
3．（23-24 高一下·云南·階段練習）已知向量 , 滿足| + 2 | = | |, + 2 = 0，且| | = 2，則（　　）
A．| | = 8 B． + = 0 C．| 2 | = 6 D． = 4
【解題思路】本題依據向量模、夾角的運算公式即可求解.首先將題目條件式| + 2 | = | |兩邊同時平方，
結合| | = 2，即可計算| |和 的值，可判斷 A、D 選項；利用向量夾角公式計算向量 , 的夾角，可判斷
B、C 選項.
【解答過程】因為| + 2 | = | |，
| 2所以 + 2 | = | |2，
2
即 2 +4 +4 = 2
2
，整理可得 + = 0 ，
2
再由 + 2 = 0，且| | = 2可得 2 = = 4，
所以| | = 2， = 4，故A,D錯誤；
又因為cos 4 , = | || | = 2×2 = 1，
所以向量 , 的夾角π，
故向量 , 共線且方向相反，
所以 + = 0，故 B 正確；
2 2
又| 2 | = 2 4 +4 = 22 4 × ( 4) +4 × 22 = 4 + 16 + 16 = 36，
所以| 2 | = 6，故 C 正確．
故選：BC．
4．（23-24 高一下·重慶九龍坡·期中）已知向量 與 的夾角為60°，| | = 2,| | = 1，則| 2 | = 2 ．
【解題思路】將| 2 |平方并利用數量積定義可計算可得結果.
【解答過程】易知| 2 | = | 2 |2 = | |2 + 4| |2 4
= | |2 + 4| |2 4| || |cos60 = 4 + 4 4 × 2 × 1 × 1 = 2.
2
故答案為：2.
5 1 1．（23-24 高一下·浙江·期中）已知| | = 1, = 2, + = 2．
(1)求| |的值；
(2)求向量 與 + 夾角的余弦值；
(3)求| |( ∈ )的最小值．
【解題思路】（1）根據數量積的運算律，即可結合模長求解，
（2）根據模長公式以及夾角公式即可求解，
（3）根據余弦定理可求解長度，即可得 ⊥ ，即可求解最值，或者利用模長公式以及二次函數的性質
求解.
2 1
【解答過程】（1） + = | |2 | | = 2
2
由于| |2 = 1 1，所以| | = 2，故| | =
2
2
（2） + = 2 + =
3
2
| + | 10= ( + )2 = 2 + 2 + 2 = 2
cos + , + = | | =
3 10
| | + 10
（3）法一：記 = , = , ′ = ，
則cos∠ = = 2
| || | 2
| | = 2根據余弦定理得 + 2 2| | | |cos∠ = 2，2
π
則∠ = 2，即 ⊥
則| | = | ′| ≥ | |，所以| |最小值為 22
法二：| | = 2 + 2 2 2 = 1 2 + 1
2
當 = 1時，| |取得最小值 2.2
題型 7 向量的平行、垂直問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·廣平面東向量茂線名性運·算期的坐中標）表示已知向量 = (3,4), = ( , 6)，且 ⊥ ，則實數 = ( )
A 9 9． 2 B．2 C． 8 D．8
【解題思路】根據向量垂直的坐標表示，即可求解.
【解答過程】由 ⊥ ，可知，3 + 4 × ( 6) = 0，得 = 8.
故選：D.
2．（23-24 高一下·四川成都·期中）已知向量 = (1, 2)， = ( 3, )， = (4, )，若 // ， ⊥ ，則 + =
（ ）
A． 192 B．8 C． 4 D．6
【解題思路】運用向量平行，垂直的坐標結論即可求解.
【解答過程】 // ,向量 = (1, 2)， = ( 3, ),則 3 × ( 2) = ，則 = 6；
⊥ ，向量 = (1, 2)， = (4, )，則1 × 4 + ( 2) = 0，則 = 2.
則 + = 8.
故選：B.
3．（23-24 高一下·新疆烏魯木齊·期中）已知向量 = ( 2,1), = ( 1, )，則下列說法正確的是（ ）
A．若 ⊥ ，則 的值為 2 B．若0 < < 2，則 與 的夾角為銳角
C 1．若 // ，則 的值為2 D．若 = 3，則 在 方向上的投影向量為(2, 1)
1
【解題思路】借助向量垂直的性質計算可得 A；借助 = 2時， 與 共線可得 B；借助向量平行的性質計算
可得 C；借助投影向量定義計算可得 D.
【解答過程】對 A：由 ⊥ ，則 = ( 2) × ( 1) + = 0，解得 = 2，故 A 正確；
B 1對 ：當 = 2時，有 = 2 ，此時 與 共線，故 B 錯誤；
1
對 C：若 // ，則有( 2) × 1 × ( 1) = 0，解得 = 2，故 C 正確；
2 3
D = 3 = = 1 = 2 1對 ：當 時，有| | | | 5 5 , ，故 D 錯誤.5 5 5
故選：AC.
4．（23-24 高一下·云南迪慶·期中）已知向量 = (2,1), = (3, 1), = (3, ),( ∈ R)，且 2 ⊥ ，則
= 4 .
【解題思路】先算出 2 的坐標，然后由向量的數量積公式列方程即可求解.
【解答過程】因為向量 = (2,1), = (3, 1), = (3, ),( ∈ R)，
所以 2 = (2,1) 2(3, 1) = ( 4,3), = (3, )，
而 2 ⊥ ，所以 12 + 3 = 0，解得 = 4.
故答案為：4.
5．（23-24 高一下·云南德宏·期中）已知向量 = (2,1)， = (1,2)， = (4, )．
(1)若 // ，求| |的值；
(2)若( + ) ⊥ ，求 的值．
【解題思路】（1）先由向量平行的坐標表示求出未知量 ，進而求得 ，再由坐標形式的向量模長公式即可
求解| |.
（2）先由題意得 + ，再由向量垂直的坐標表示即可求解.
【解答過程】（1）由 // 得4 = 2 ，所以 = 2，故 = (4,2)，
所以| | = 42 + 22 = 2 5.
（2）由已知 + = (2,1) + (1,2) = (2 + 1, + 2)
又( + ) ⊥ ，所以( + )· = 2 × (2 + 1) + 1 × ( + 2) = 5 + 4 = 0，
4
解得 = 5.
題型 8 三角形的個數問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·湖平面北向量·期線性中運算）的坐根標據表示下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（ ）
A． = 1, = 45°, = 60° B． = 1, = 2, = 60°
C． = 3, = 1, = 120° D． = 3, = 4, = 45°
【解題思路】根據已知結合正弦定理判斷各個選項即可.
【解答過程】A 項是角角邊類型的三角形，有唯一解；
B 項解兩邊夾一角類型的三角形，是唯一解；
C 項是兩邊一對角類型的三角形，角 B 為鈍角，也是三角形的最大角，對應三角形最大邊，但是 < ，故
該三角形無解；

D 4
3 2 2
項是兩邊一對角類型的三角形， 2sin = sin ,sin = 2,sin = > = sin45°， 有兩個解，此三角形有兩2 3 2
解.
故選：D.
2．（23-24 高一下·北京大興·期中）在 △ 中， ， ， 分別為∠ ，∠ ，∠ 的對邊，給出下列四個條件：
① = 4， = 5， = 45° ； ② = 5， = 6， = 8；
③ = 6， = 6 3， = 105°； ④ = 2 3， = 5， = 60°．
能判斷三角形存在且有唯一解的是（ ）
A．①④ B．②③
C．①②③ D．②③④
【解題思路】由正弦定理及三角形的性質分別判斷出所給命題的真假．
【解答過程】①中， = 4， = 5， = 45°，
4= = 5 sin = 5 2 5 2由正弦定理可得sin sin ，即 2 sin ，可得 ，
2 < < 1
2 8 2 8
因為角 為銳角，所以角 有兩解，所以①不正確；
②中，由三邊為定值，且滿足任意兩邊之和大于第三邊，所以②唯一確定三角形；所以②正確；
③中，由兩邊和夾角確定唯一三角形，可得③正確；
5
④ 3 5中，由正弦定理可得sin = sin = × = 4 > 12 3 ，所以不存在這樣的三角形，所以④不正確．2
故選：B．
3．（23-24 高一下·云南昭通·期中）由下列條件解三角形問題中，對解的情況描述正確的是（ ）
A． = 20, = 11, = 30°，有兩解
B． = 2, = 2, = 30°，有兩解
C． = 8, = 16, = 30°，有兩解
D． = 23, = 34, = 41°，有一解
【解題思路】ABC 選項，根據 ≥ 得到三角形有一解，由 sin < < 得到三角形有兩解，D 選項，由余
弦定理得到 唯一，故三角形有一解.
【解答過程】對 A：由20 > 11知， > ，所以三角形有一解，A 錯誤；
對 B：由2sin30° = 1 < 2 < 2，即 sin < < ，所以三角形有兩解，B 正確；
對 C：由16sin30° = 8，即 = sin ，故三角形為直角三角形，有一解，C 錯誤；
對 D： = 23, = 34, = 41°，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos ， 唯一，已知兩邊及其夾角知三角形有一解，D 正確.
故選：BD．
π
4．（23-24 高一下·山東濟南·期中）在 △ 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ．若 = 6 3， = 3，
且該三角形有兩解，則 的取值范圍是 (6 3,12) .
π >
【解題思路】由正弦定理可得sin = 12，依題意可得 > 且 ≠ 2，即可得到 sin < 1 ，從而求出 的取值
范圍.
3
【解答過程】由正弦定理可得sin =

sin ，即sin =
sin
2
= = ，6 3 12
π > > 6 3
因為三角形有兩解，所以 > 且 ≠ 2，則 sin < 1 ，即 < 1 ，所以6 3 < < 12，
12
即 的取值范圍是(6 3,12).
故答案為：(6 3,12).
5．（23-24 高一下·江西宜春·期中）在 △ 中，角 , , 所對的邊分別為 , , ，且(2 3 )cos = 3 cos
.
(1)求角 的大小；
(2)已知 = + 1，且角 有兩解，求 的范圍.
【解題思路】（1）由正弦定理可得(2sin 3sin )cos = 3sin cos 3，利用兩角和差公式可得cos = ，2
即可得解；
（2）由 = + 1 sin = +1 1及正弦定理可得 2 ，因為角 的解有兩個，所以角 的解也有兩個，從而有2 < sin
< 1 1 < +1，2 2 < 1，求解即可.
【解答過程】（1）解：因為(2 3 )cos = 3 cos ，
由正弦定理得(2sin 3sin )cos = 3sin cos ，
所以2sin cos = 3sin( + ) = 3sin ,sin > 0，
所以cos = 3，
2
因為 ∈ (0,π)，
π
所以 = 6；
2
+1
（ ）解：將 = + 1代入正弦定理sin = sin ，得sin = sin ，
+1
所以sin = 2 ，
π
因為 = 6，角 的解有兩個，所以角 的解也有兩個，
1
所以2 < sin < 1，
1 +1
即2 < 2 < 1，
又 > 0，
所以 < + 1 < 2 ，
解得 > 1.
所以 的范圍為(1, + ∞).
題型 9 判斷三角形的形狀（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·江平面蘇向量鎮線江性運·算期的中坐標）表示在 △ 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若 cos = cos
，則 △ 的形狀是（ ）三角形
A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角
2+ 2 2 2+ 2 2
【解題思路】利用余弦定理將等式整理得到 = ，對
2 + 2 2 = 0或 2 + 2 2 ≠ 0分類討論
即可判斷．
【解答過程】由 cos = cos ，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理得 × + 2 = ×
+
2 ，
2+ 2 2 =
2+ 2 2
化簡得 ，
當 2 + 2 2 = 0時，即 2 + 2 = 2，則 △ 為直角三角形；
當 2 + 2 2 ≠ 0時，得 = ，則 △ 為等腰三角形；
綜上： △ 為等腰或直角三角形，故 D 正確．
故選：D．
2．（23-24 高一下·河北邢臺·期中）在 △ 中，角 , , 的對邊分別是 , , ，若sin2 + sin2 + cos2 < 1，
則 △ 的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定的
【解題思路】利用同角三角函數的平方關系將cos2 轉化為sin2 ，利用正弦定理角化邊，結合余弦定理可判
斷角 ，即可得答案.
【解答過程】因為sin2 + sin2 + cos2 < 1，所以sin2 + sin2 < 1 cos2 ，
即sin2 + sin2 < sin2 ，由正弦定理角化邊得 2 + 2 < 2，
2 2 2 2+ 2 2即 + < 0，故cos = 2 < 0．
因為0 < < π，所以 是鈍角，即 △ 是鈍角三角形．
故選：C.
3．（23-24 高一下·四川達州·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，則下列結論正確的
是（ ）
A．若 = 45°， = 2， = 3，則 △ 有兩解
B．若 2 + 2 < 2，則 △ 是鈍角三角形
C．若 △ 為銳角三角形，則sin > cos

D．若cos =

cos ，則 △ 為等腰三角形
【解題思路】根據正弦、余弦定理逐項判斷即可.
>
【解答過程】對 A：由 sin = 3sin45° = 6 < 2 ，所以 △ 有兩解，故 A 正確；
2
對 B：由余弦定理： 2 = 2 + 2 2 cos > 2 + 2 cos < 0，
所以∠ 為鈍角，即 △ 為鈍角三角形，故 B 正確；
對 C：因為三角形 △ 為銳角三角形，
所以 + > 90° 90° < < 90° sin(90° ) < sin ，即cos < sin ，故 C 正確；

D = sin = sin 對 ：因為cos cos ，由正弦定理得：cos cos sin2 = sin2 ，
所以2 = 2 或2 + 2 = 180°，即 = 或 + = 90°，
所以 △ 為等腰或直角三角形，故 D 錯誤.
故選：ABC.
4．（23-24 + 高一下·河南三門峽·期中）已知 △ 中，內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ， = cos +cos ，
則 △ 的形狀是 直角三角形 .
【解題思路】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cos (sin + sin ) = 0，進一步有cos = 0，即可
求解.
+ sin +sin
【解答過程】由正弦定理以及 = cos +cos ，可得sin = cos +cos ，
所以sin cos + sin cos = sin + sin = sin( + ) + sin( + )
= sin cos + cos sin + sin cos + cos sin ，
化簡可得：cos (sin + sin ) = 0，
因為0 < < π，0 < < π，所以sin > 0，sin > 0，則cos = 0，
π
因為0 < < π，所以 = 2，則 △ 的形狀是直角三角形；
故答案為：直角三角形.
5．（23-24 高一下·廣東江門·期中）在 △ 中，內角 , , 所對的邊分別為 ， ， ，已知 2 = 2 + 2
.
(1)求角 的大小；
(2) 3若 + = 4， △ 的面積為 ，求 的值；
2
(3)若 2 = ，判斷 △ 的形狀.
【解題思路】（1）已知條件利用余弦定理可求得角 的大小；
（2）由面積公式求得 = 2，又 + = 4，代入余弦定理求 的值；
π
（3）將 2 = 代入已知等式中得 = ，又 = 3，可得 △ 的形狀.
【解答過程】（1）在 △ 中，已知 2 = 2 + 2 ，即 2 + 2 2 = ，
2
cos = +
2 2 1 π
由余弦定理得 2 = 2，而0 < < π，所以 = 3.
2 = 1 1 3 3（ ）因為 △ 2 sin = 2 = ，所以 = 2，2 2
又 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 = 16 6 = 10，
所以 = 10.
π
（3）由 2 = 2 + 2 及 2 = ，得( )2 = 0，則 = ，由（1）知 = 3，
所以 △ 為正三角形.
題型 10 三角形的面積問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
π
1．（23-24 高一下·廣平東面向廣量線州性·運期算的中坐標）表△示 的內角 , , 的對邊分別為 ， ， .若 = 6， = 2 ， = 3，則 △
的面積為（ ）
A．6 3 B．12 3 C．6 D．12
【解題思路】利用余弦定理可得 = 2 3, = 4 3，代入面積公式運算求解即可.
1
【解答過程】由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 cos ，即36 = 4 2 + 2 2 × 2 × × 2 = 3
2，
解得 = 2 3, = 4 3，
△ = 1 sin = 1 × 4 3 × 2 3 × 3所以 的面積 △ 2 2 = 62 3.
故選：A.
2．（23-24 高一下·北京·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的對邊分別是 , , , = 4,∠ = 60°，點 為邊 BC
上的一點， = 2 7, = 6，則 △ 的面積為（ ）
A．6 3 B．9 3 C．14 3 D．20 3
【解題思路】根據給定條件，利用余弦定理求出 ，再利用三角形面積公式計算即得.
【解答過程】在 △ 中， = 4,∠ = 60°, = 2 7，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即28 = 2 +16 2 × 4 × 1，整理得 22 4 12 = 0，而 > 0，解得 = 6，
又 = 6，顯然 是 中點，所以 △ 1 3的面積 △ = △ = 2 × 4 × 6 × = 6 3.2
故選：A.
π
3．（23-24 高一下·江西萍鄉·期中）在 △ 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 = 2， = 3，則 △
的面積可能為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【解題思路】由余弦定理，結合基本不等式求 的范圍，再求三角形面積的取值范圍.
π
【解答過程】由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos3，
即4 = 2 + 2 ≥ ，
π
所以 △ =
1
2 sin ≤
1
2 × 4 × sin3 = 3，滿足條件的有 ABC.
故選：ABC.
4．（23-24 高一下·陜西安康·期中）在 △ 中， = 7， = 5， = 10，則 △ 的面積 = 2 66 .
【解題思路】利用余弦定理及同角公式求出sin ，再利用三角形面積公式計算即得.
2+ 2 2 72+52 102 13
【解答過程】在 △ 中，由余弦定理得cos = 2 = 2×7×5 = 35，
則sin = 21 cos2 = 1 ( 13 ) = 4 66，
35 35
1
所以 △ 的面積 △ = 2 sin =
1 4 66
2 × 7 × 5 × = 2 .35 66
故答案為：2 66.
5．（23-24 高一下·貴州六盤水·期中）在 △ 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且cos2 sin2
sin sin = 1 sin2 .
(1)求 B；
(2)若 = 2 3；求 △ 面積的最大值.
【解題思路】（1）由cos2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，得1 sin2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，由正弦
定理及余弦定理結合求解即可；
（2）由余弦定理結合重要不等式求三角形面積得最大值即可.
【解答過程】（1）因為cos2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，
所以1 sin2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，
即sin2 + sin2 + sin sin = sin2 ，
由正弦定理得： 2 + 2 + = 2，即 2 + 2 2 = ，
2cos = +
2 2 1 2π
所以 2 = 2 = 2，因為 ∈ (0,π)，所以 = 3 .
2 2π（ ）由（1）可知： = 3 ，又 = 2 3，
所以由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos ,
所以12 = 2 + 2 + ≥ 3 ，所以 ≤ 4，當且僅當 = = 2時，等號成立.
1 1 3
所以 △ = 2 sin ≤ 2 × 4 × = 3,2
所以 △ 面積的最大值為 3.
題型 11 距離、高度、角度測量問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量龍線巖性運·算期的中坐標）表示如圖，某數學興趣小組的成員為了測量某直線型河流的寬度，在該河流
的一側岸邊選定 A，B 兩處，在該河流的另一側岸邊選定 處，測得 = 30米，∠ = 75°,∠ = 45°，
則該河流的寬度是（ ）
A．15 + 5 3米 B．10 3 +10米 C．15 3 15米 D．10 3 10米
【解題思路】利用正弦定理求出 ，再求出 △ 邊 上的高即可.
【解答過程】在 △ 中，由∠ = 75°,∠ = 45°，得∠ = 60 ，
sin75 = sin(45 + 30 ) = 2 × 3 + 2 × 1 = 6+ 22 ，2 2 2 4
30× 6+ 2
由正弦定理得 4sin∠ = sin∠ ，即 = 3 = 5(3 2 + 6)，
2
因此 △ 邊 上的高為 sin∠ = 5(3 2 + 6) × 2 = 15 + 5 3，2
所以該河流的寬度是15 + 5 3米.
故選：A.
2．（23-24 高一下·安徽黃山·期中）長慶寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黃山市歙縣的西干披云峰麓，歷經
900 多年風雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現存少有的方形佛塔．如圖，為測量塔的總高度 ，選取與塔底
在同一水平面內的兩個測量基點 與 ，現測得∠ = 30 ，∠ = 45 ， = 32m，在 點測得塔頂 的
仰角為60 ，則塔的總高度為（ ）
A．(96 32 6)m B．(96 32 3)m
C．(92 32 2)m D．(92 32 3)m

【解題思路】設 = ，則 = 3，在 △ 中，利用正弦定理求解.

【解答過程】設 = ，則 = tan60 = ，且∠ = 180° (30
+ 45 3 )，
在 △ 中，sin∠ = sin(30 + 45 ) = sin30 cos45 + cos30 sin45 = 2+ 6，4

∴
32
3
sin∠ = sin45 ，即 2+ 6 = 2，4 2
解得 = 96 32 3．
故選：B．
3．（23-24 高一下·廣西欽州·期中）某校數學興趣小組欲對當地一唐代古塔進行測量，如圖是該古塔 的
示意圖，其中 與地面垂直，從地面上 點看塔頂 的仰角為 ,沿直線 向外前進 米到點 處，此時看塔頂
的仰角為 ,根據以上數據得到塔高為 米，則（ ）
sin sin sin
A． = sin( )米 B． = sin( )米
sin
C = D = 1 + sin cos ． sin( )米 ． 米sin( )
【解題思路】利用正弦定理，選擇合適的三角形進行求解即可求解出答案.
sin
【解答過程】對于 A，在 △ 中，由正弦定理得sin = sin( ).所以 = sin( )米，故 A 錯誤；
sin sin
對于 B，在Rt △ 中 = sin = sin( )米，故 B 正確；
sin
對于 C，在 △ 中，由正弦定理得sin(π ) = sin( )，所以 = sin( )米，故 C 正確；
sin cos
對于 D，在Rt △ 中， = tan = sin( )米，所以 = 1 +
sin cos
米，故 D 正確．
sin( )
故選：BCD．
4．（23-24 高一下·安徽蕪湖·期中）如圖，已知兩座山的海拔高度 = 300米， = 100米，在 BC 同一
水平面上選一點 ，測得 點的仰角為60°, 點的仰角為30°，以及∠ = 45°，則 M，N 間的距離為
249 米.（結果保留整數，參考數據 6 ≈ 2.449, 6.2 ≈ 2.490）
【解題思路】由題意求出 , ，在 △ 中結合余弦定理計算即可求解.
300
【解答過程】由題意知， = sin60° = 3 = 200 3米， =2 sin30°
= 200米，
在 △ 中，由余弦定理得
= 2 + 2 2 cos∠
= 2002 3 + 2002 2 200 3 200 2 ≈ 62040 ≈ 100 6.2 = 249米，
2
即 , 的距離為 249 米.
故答案為：249.
5．（23-24 高一下·湖南邵陽·期中）一艘海輪從 A 出發，沿北偏東75°的方向航行( 3 1)n mile后到達海島
B，然后從 B 出發，沿北偏東15°的方向航行 2n mile到達海島 C.
(1)求 AC 的長；
(2)如果下次航行直接從 A 出發到達 C，應沿什么方向航行多少n mile？
【解題思路】（1）先計算出∠ = 120°，由余弦定理求出 = 6n mile；
（2）由余弦定理求出∠ = 45°，從而得到答案.
【解答過程】（1）在 △ 中，∠ = 180° 75° + 15° = 120°， = 3 1， = 2
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠
2
= ( 3 1) + 22 2( 3 1) × 2cos120° = 6，解得 = 6n mile
2
2 △ cos∠ = +
2 2
（ ）在 中，由余弦定理得： 2
2
= ( 3 1) +6 2
2
= 2，
2( 3 1)× 6 2
所以∠ = 45°，又75° 45° = 30°，
因此應沿北偏東30°方向航行 6n mile即可到達 C 處.
題型 12 復數的概念（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·山平面東向量臨線沂性運·算期的坐中標）表示下列幾個命題，其中正確的命題的個數有（ ）
（1）實數的共軛復數是它本身
（2）復數的實部是實數，虛部是虛數
（3）復數與復平面內的點一一對應
（4）復數i是最小的純虛數.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據復數的共軛復數的定義判斷命題（1），根據實部和虛部的定義判斷命題（2），根據復
數的幾何意義判斷（3），根據復數的定義判斷（4）.
【解答過程】因為復數 = + i ( , ∈ R)的共軛復數 = i，
若 為實數，則 = 0，此時 = ，命題（1）正確，
復數 = + i ( , ∈ R)的實部為 ，虛部為 ，
復數 = + i ( , ∈ R)的虛部是實數，（2）錯誤；
因為復數 = + i ( , ∈ R)在復平面上的對應點為( , )，
復平面上的點( , )對應復數 = + i，（3）正確；
復數不能比較大小，命題（4）錯誤，
故選：C.
2．（23-24 高一下·云南·期中）設 = 1 + 2i，則 的實部與虛部之和為（ ）
A． 1 B．2 C．1 D． 2
【解題思路】由復數實部、虛部的概念分別計算實部、虛部，求和得到答案.
【解答過程】 = 1 + 2i的實部為 1，虛部為 2，所以實部與虛部之和為 1，
故選：C．
3．（23-24 高一下·江蘇泰州·期中）對于復數 = + i( , ∈ )，則下列結論中錯誤的是（ ）
A．若 = 0，則 + i為純虛數 B．若 = 3 2i，則 = 3, = 2
C．若 = 0，則 + i為實數 D．若 = = 0，則 不是復數
【解題思路】A.由 = 0, = 0判斷；B.由復數的實部和虛部判斷；C.復數的分類判斷；D.由復數的分類判斷.
【解答過程】A.當 = 0, = 0時， + i為實數，故錯誤；
B.若 = 3 2i，則 = 3, = 2，故錯誤；
C.若 = 0，則 + i為實數，故正確；
D.若 = = 0，則 是實數，故錯誤；
故選：ABD.
4．（23-24 高一下·新疆·期中）已知( + 3) + ( 2)i = 0，則 = 1 ．
【解題思路】由復數分類的定義可知，實部和虛部都為 0，則復數為 0，聯立方程求解即可．
【解答過程】由( + 3) + ( 2)i = 0 + 3 = 0 = 2，得 2 = 0 ，解得 = 1 ．
故答案為：1．
5．（23-24 高一下·新疆克孜勒蘇·期中）若復數 = ( 2 + 12) + ( 2 3 )i，當實數 為何值時
(1) 是實數；
(2) 是純虛數.
【解題思路】（1）因為 是實數，所以虛部為0，解出 的值；
（2）因為 是純虛數，所以實部為0且虛部不為0，解出 的值.
【解答過程】（1）因為 是實數，所以 2 3 = 0，解得 = 0或3，從而 = 0或3時， 是實數.
2
2 + 12 = 0 = 4 3（ ）因為 是純虛數，所以 或 2 3 ≠ 0 解得 ≠ 0 ≠ 3 所以 = 4，且
所以 = 4時， 是純虛數.
題型 13 復數的幾何意義（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·云平面南向量曲線靖性運·算期的中坐標）表示復數 = (2 ) + ( 1)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數 的
取值范圍是（ ）
A．(2, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ∞,1) D．( 1, + ∞)
【解題思路】根據復數的幾何意義即可得解.
2 < 0 > 2【解答過程】根據題意得 1 > 0 > 1 > 2 ，
所以實數 的取值范圍是(2, + ∞).
故選：A.
2．（23-24 高一下·廣東清遠·期中）已知復數 = 3 4i，則（ ）
A． 的虛部為 4i B．| | = 3 + 4i
C． = 3 + 4i D． 在復平面內對應的點在第三象限
【解題思路】根據復數虛部、共軛復數、模和對應點坐標所在象限的知識，選出正確選項.
【解答過程】復數 = 3 4i的虛部為 4，故 A 不正確；
| | = |3 4i| = 32 + ( 4)2 = 5，故 B 不正確；
= 3 + 4i，故 C 正確；
在復平面內對應的點的坐標為(3, 4)，位于第四象限，故 D 不正確.
故選：C.
3．（23-24 高一下·安徽阜陽·期中）已知復數 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )，則下列命題正確的是（ ）
A．若 為純虛數，則 = 1
B．若 為實數，則 = 0
C．若 在復平面內對應的點在直線 = 2 上，則 = 1
D． 在復平面內對應的點不可能在第三象限
【解題思路】首先得到復數的實部與虛部，再根據復數的類型求出參數的值，即可判斷 A、B，根據復數的
幾何意義判斷 C、D.
【解答過程】復數 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )的實部為 2 1，虛部為 + 1，
復數 在復平面內對應的點的坐標為( 2 1, + 1)，
A
2 1 = 0
對于 ：若 為純虛數，則 + 1 ≠ 0 ，解得 = 1，故 A 正確；
對于 B：若 為實數，則 + 1 = 0，解得 = 1，則 = 0，故 B 正確；
對于 C：若 在復平面內對應的點在直線 = 2 上，
所以 + 1 = 2 3( 2 1)，解得 = 1或 = 2，故 C 錯誤；
2
D 1 < 0 1 < < 1對于 ：令 + 1 < 0 ，即 < 1 ，不等式組無解，
所以 在復平面內對應的點不可能在第三象限，故 D 正確.
故選：ABD.
4．（23-24 高一下·廣東惠州·期中）在復平面內，把與復數3 3i對應的向量繞原點 O 按順時針方向旋轉
90°后，則所得向量對應的復數為 3 3i （用代數形式表示）.
【解題思路】根據復數的幾何意義，結合三角形計算即可.
【解答過程】
如圖所示，復數3 3i對應的向量 = (3, 3),則∠ = 30°,| | = 32 + 32 = 2 3,
繞原點 按順時針方向旋轉 90°，得向量 ,則∠ = 60°,| | = | | = 2 3,
則向量 = ( 3, 3),對應的復數為 3 3i.
故答案為： 3 3i.
5．（23-24 高一下·江蘇蘇州·期中）復數平面內表示復數 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的點分別滿足
下列條件：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直線 = 上．求實數 的取值范圍．
【解題思路】（1）結合復數的幾何意義與第四象限的點的特點計算即可得；
（2）結合復數的幾何意義與第一象限或第三象限的點的特點計算即可得；
（3）由題意可得 2 8 + 15 = 2 5 14，計算即可得.
【解答過程】（1）由題意，復數 在復平面內對應的點為( 2 8 + 15, 2 5 14)．
2
8 + 15 > 0 > 5或 < 3當點位于第四象限時，則 2 5 14 < 0 ，即 2 < < 7 ，
故 2 < < 3或5 < < 7；
（2）當點位于第一象限或第三象限時，
則( 2 8 + 15)( 2 5 14) > 0，
即( 3)( 5)( 7)( + 2) > 0，
故 < 2或3 < < 5或 > 7．
（3）當點位于直線 = 上，則 2 8 + 15 = 2 5 14 29，解得 = 3 ．
題型 14 復數的四則運算（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
3
1．（23-24 高一下·湖平面北向量·期線性中運算的坐 1 i）已標知表示i為虛數單位，復數 = 3+4i9，則 = （ ）
A 7 i B 7+i 1 7i 1+i． 25 ． 25 C． 25 D． 25
【解題思路】結合復數的四則運算進行求解即可.
= 1 i
3
= 1 ( i)
(1+i)(3 4i) 7 i
【解答過程】由 3+4i9 3+4i = (3+4i)(3 4i) = 25 ，
故選：A.
2．（23-24 高一下·湖北· 1+ i期中）已知復數 = 1 i ，其中i為虛數單位， ∈ R，若 為純虛數，則復數 +
在復平面內對應的點在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【解題思路】先化簡復數，再根據復數為純虛數求參，最后求出 + 的對應點即可.
(1+ i)(1+i) (1 )+(1+ )i
【解答過程】因為 = (1 i)(1+i) = 2 ，
若 z 為純虛數，則1 = 0，即 = 1，
則 = i, + = 1 + i在復平面內對應的點為(1,1),
則復數 + 在復平面內對應的點在第一象限.
故選：A.
3．（23-24 高一下·安徽黃山·期中）已知復數 = 1 3i1+i （i是虛數單位），則下列結論正確的是（ ）
A．復數 的虛部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是實數， + 是純虛數，則 = 1
【解題思路】先化簡復數 ，然后根據復數的虛部概念，純虛數，共軛復數，及復數的運算逐項判定，即可
求解.
1 3i (1 i)(1 3i)
【解答過程】由題意，復數 = 1+i = (1 i)(1+i) = 1 2i，
對于 A 項： = 1 2i，所以復數 的虛部等于 2，故 A 錯誤；
對于 B 項： = | |2 = 5，故 B 錯誤；
對于 C 項： + = ( 1 2i) + ( 1 + 2i) = 2，故 C 正確；
對于 D 項：因為 + 是純虛數且 是實數，即 1 2i為純虛數，所以 1 = 0，解得 = 1，故 D 正確．
故選：CD.
2
4．（23-24 5(4+i)高一下·天津河北·期中）已知i是虛數單位，化簡 2+i 的結果為 38 + i .
【解題思路】利用復數乘除運算法則計算即可求得結論.
5(4+i)2 5(16+8i+i2) 5(15+8i)(2 i)
【解答過程】 2+i = 2+i = (2+i)(2 i) = (15 + 8i)(2 i) = 30 + 16i 15i 8i
2 = 38 + i.
故答案為：38 + i.
5．（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知復數 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)為純虛數.
(1)求復數 1；

= 1(2)若 2 (1 i)2，求復數 2及| 2|.
【解題思路】（1）根據 1 = 4 + i( ∈ )和 1 (1 2i)為純虛數列關于 的方程組求解 ，求出復數 1；
（2）求出 1，求出 2，求出 2，求出| 2|.
【解答過程】（1）由 1 = 4 + i( ∈ )，所以(4 + i) (1 2i) = 4 + 2 + ( 8)i，
又 1 (1 2i)
4 + 2 = 0
為純虛數，所以 8 ≠ 0 ，
解得 = 2，所以復數 1 = 4 2i；
4+2i (4+2i) 2i
（2）由（1 4+2i）知 1 = 4 + 2i，所以 2 = (1 i)2 = 2i = ( 2i) 2i = 1 + 2i，
故 2 = 1 2i，| 2| = ( 1)2 + 22 = 5.
題型 15 基本立體圖形（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·山平面西向量太線原性運·算期的坐中標）表示下列結論不正確的是（ ）
A．三棱錐是四面體 B．長方體是平行六面體
C．正方體是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面體
【解題思路】利用四面體的定義判斷 A；利用平行六面體的定義判斷 BD；利用直四棱柱的定義判斷 C．
【解答過程】對于 A，三棱錐是四面體，故 A 正確；
對于 B，長方體是平行六面體，故 B 正確；
對于 C，正方體是直四棱柱，故 C 正確；
對于 D，四棱柱的底面不一定是平行四邊形，
∴ 四棱柱不一定是平行六面體，故 D 錯誤．
故選：D．
2．（23-24 高一下·浙江·期中）下列四個命題中正確的是（ ）
A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體
C．以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱
D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐
【解題思路】根據題意，舉出反例可得 AB 錯誤，由圓柱、圓錐的定義分析 CD，綜合可得答案．
【解答過程】根據題意，依次分析選項：
對于 A，如圖：
在三棱錐 中，有 = = = = ， = = ，
該每個面都是等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐，A 錯誤；
對于 B，底面為菱形的直四棱柱，其側棱與底面邊長相等，
該四棱柱的所有棱長都相等，但不是正方體，B 錯誤；
對于 C，以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱，C 正確；
對于 D，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做
圓錐，D 錯誤．
故選：C．
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）下列說法正確的是（ ）
A．一個多面體至少有 4 個面
B．圓柱的母線與它的軸可以不平行
C．用任意一個平面截球得到的截面都是一個圓面
D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
【解題思路】根據多面體和旋轉體的定義判斷即可．
【解答過程】對于 A，多面體至少有 4 個面，故 A 正確；
對于 B，圓柱的母線與它的軸平行，故 B 錯誤；
對于 C，用任意的平面截一個球得到的截面都是一個圓面，故 C 正確；
對于 D，滿足條件的幾何體可能是組合體，如圖所示，故 D 錯誤．
故選：AC．
4．（23-24 高一下·山東聊城·期中）五棱臺的頂點數為 ，棱數為 ，面數為 ，則 + = 2 ．
【解題思路】根據題意，由棱臺的結構特征求出 、 、 的值，計算可得答案．
【解答過程】解：根據題意，五棱臺中， = 10， = 15， = 7，
則 + = 2．
故答案為：2．
5．（23-24 高一下·安徽·期中）（1）如圖 1，底面半徑為 1cm，高為 3cm 的圓柱，在點 A 處有一只螞蟻，
現在這只螞蟻要圍繞圓柱，由點 A 爬到點 B，求螞蟻爬行的最短路線長（π 取 3）；
（2）如圖 2，在長方體 1 1 1 1中，M 是 CC1的中點， = 1 = 4cm， = 3cm，一只螞蟻從
點 A 出發沿長方體表面爬行到點 M，求螞蟻爬行的最短路線長.
【解題思路】（1）根據題意，把圓柱側面沿過點 A 的母線剪開，然后展開成為矩形，由此分析可得答案；
（2）根據題意，沿長方體的一條棱剪開，分 3 種情況討論，求出 AM 的值，比較可得答案.
【解答過程】解：（1）根據題意，把圓柱的側面沿過點 A 的母線剪開，然后展開成為矩形，如圖所示，
連接 AB，則 AB 就是為螞蟻爬行的最短距離，
因為 ＝3 , ＝π × 1＝3 ，
所以 = 2 + 2 = 32 + 32 = 3 2(cm)，
所以螞蟻爬行的最短路線長為3 2 ；
（2）根據題意，沿長方體的一條棱剪開，有三種剪法，
①如圖 1，以 DC 為軸展開，
此時 = 42 + (3 + 2)2 = 41 ，
②如圖 2.以 BC 為軸展開，
此時， = (4 + 2)2 + 32 = 3 5 ，
③如圖 3、以 BB1為軸展開，
此時 = 22 + (4 + 3)2 = 53 ，
綜上，螞蟻爬行的最短路線長為 41 .
題型 16 空間幾何體的表面積和體積（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·浙平面江向量·期線性中運算）的坐已標知表示圓臺的上，下底面的半徑長分別為 2，3，母線長 2，則其體積為（ ）
A．5 3 B 19 3π． C．5 3π D．10π3
【解題思路】根據題意，利用圓臺的性質，求得圓臺的高，結合圓臺的體積公式，即可求解.
【解答過程】由題意知，圓臺的上，下底面的半徑長分別為 2，3，母線長 2，
設圓臺的高為 ，可得 = 22 (3 2)2 = 3，
= 1 1 + + = (4π + 4π 9π + 9π) 3 = 19 3π所以圓臺的體積為 3 1 1 2 2 3 .3
故選：B.
2．（23-24 高一下·山東青島·期末）底面邊長為 3 的正四棱錐被平行底面的平面所截，截去一個底面邊長為
1，高為 1 的正四棱錐，所得棱臺的體積為（ ）
A 26 B 38． 3 ． 3 C．13 D．26
【解題思路】畫出直觀圖，由題意可得 △ 1 1∽ △ ，從而可求出棱臺的高，再根據棱臺的體積公式求
解即可.
【解答過程】如圖所示，正四棱錐 被平行于底面的平面 1 1 1 1所截，
由題意可知 = 3, 1 1 = 1, 1 = 1，
因為 1 1∥ ，所以 △ 1 1∽ △ ，
1
1 = 1 1

= 2 1
1 = 1 1 = 2 = 1所以 1 ，
2 3 2 3
所以 = 3，所以 1 = 2，
1
所以所得棱臺的體積為3 × (1 + 9 + 1 × 9) × 2 =
26
3 .
故選：A.
3．（23-24 高一下·福建三明·期中）如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2
相等，則下列結論正確的是（ ）
A．圓錐的側面積為2π 2
B 3．圓柱與球的表面積之比為2
C．圓柱的側面積與球的表面積相等
D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:2
【解題思路】根據圓柱、圓錐、球的表面積、體積公式計算可得.
【解答過程】對于 A：圓錐的母線 = (2 )2 + 2 = 5 ，所以圓錐的側面積 1 = π = 5π 2，故 A 錯
誤；
對于 B：圓柱的側面積 2 = 2 π × 2 = 4π 2，則圓柱的表面積 = +2π 23 2 = 6π 2，
2
球的表面積 4 = 4π 2
6π 3
，所以圓柱與球的表面積之比為4π 2 = 2，圓柱的側面積與球的表面積相等，故 B、C
正確；
對于 D：圓柱的體積 21 = π × 2 = 2π 3
1 2 2，圓錐的體積 32 = 3π × 2 = 3π ，
球的體積 3 =
4
3π
3，
所以圓柱、圓錐、球的體積之比為 1: 2: 23 = (2π 3): π 3 : 4 π 3 = 3:1:2，故 D 正確.3 3
故選：BCD.
4．（23-24 2高一下·吉林·期中）如圖所示，在三棱柱 1 1 1中，若點 E，F 分別滿足 = 3 ， =
2 1 19
3 ，平面 1 1 將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為 1和 2，則 ＝ 2 8 .
【解題思路】先計算三棱柱 1 1 1的體積 = ，再得出三棱臺 1 1 1的體積 1，從而根據
= = 82 1 27 ，即可求解.
【解答過程】在三棱柱 1 1 1中，設 △ 的面積為 S，三棱柱 1 1 1的高為 h，
= = 2 2則三棱柱 1 1 1的體積為 ，由 3 ， = 3 ，
2 4
得 // ，則 △ ∽△ ，且 = 3，于是 △ 的面積為 1 = 9 ，
1 19 8
則三棱臺 1 1 1的體積為 1 = 3 ( 1 + + 1 ) = 27 ，從而 2 = 1 = 27 ，
191 = 27 = 19所以 8 8 .2 27
19
故答案為： 8 .
5．（23-24 高一下·貴州六盤水·期中）亭子是一種中國傳統建筑，多建于園林，人們在欣賞美景的同時也能
在亭子里休息、避雨、乘涼（如圖 1）.某學生到工廠勞動實踐，利用3 打印技術制作一個亭子模型（如圖
2），該模型為圓錐 1與圓柱 1構成的幾何體Ω（圓錐 1的底面與圓柱 1的上底面重合）.已知圓錐 1
8
的高為 18cm，母線長為 30cm，其側面展開圖是一個圓心角為 5 的扇形，AB 為圓錐的底面直徑.圓柱 1的
高為 30cm，DC 為圓柱下底面的直徑，且 = 40cm.
(1)求圓錐 1的側面積；
(2)求幾何體Ω的體積.
【解題思路】（1）由勾股定理求出圓錐底面半徑，然后由側面積公式求解即可；
（2）分別求出圓錐，圓柱的體積，然后求和即可求出幾何體Ω的體積.
【解答過程】（1）因為圓錐 1的高為 18cm，母線長為 30cm，
所以圓錐底面半徑為 = 302 182 = 24cm，
所以圓錐 1的側面積為π = π × 24 × 30 = 720π(cm2)
（2）由（1）可知，圓錐 1的體積為：
1 21=3 × π × 24 × 18 = 3456π(cm
3)，
圓柱 的體積為： =π × 2021 2 × 30 = 12000π(cm3)，
所以幾何體Ω的體積為： 1 + 2 = 3456π+12000π = 15456π(cm3).
題型 17 點共線、線共面問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量開線封性運·算期的坐中標）表示如圖，在正方體 1 1 1 1中， 為棱 1 1的靠近 1上的三等分
點.設 與平面 1 1 的交點為 ，則（ ）
A．三點 1, , 共線，且 = 2 1
B．三點 1, , 共線，且 = 3 1
C．三點 1, , 不共線，且 = 2 1
D．三點 1, , 不共線，且 = 3 1
【解題思路】連接 1， 1利用公理 2 可直接證得，并且由三角形相似得比例關系，從而求出結果.
【解答過程】連接連接 1， 1，
∵ ∈ 直線 , 平面 1 1, ∴ ∈ 平面 1 1.
又 ∵ ∈ 平面 1 1 ，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1, ∴ ∈ 直線 1
∴三點 1, , 共線.
∵△ △ 1 , ∴ : 1 = : 1 = 3:1, ∴ = 3 1.
故選：B.
2．（23-24 高一下·湖北黃岡·期中）如圖所示，在空間四邊形 ABCD 中，E，F 分別為 AB，AD 的中點， ,
分別在 ，CD 上，且 : = : = 1:2.則下面幾個說法中正確的個數是（ ）
①E，F，G，H 四點共面；② // ;③若直線 EG 與直線 FH 交于點 P，則 P，A，C 三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】推導出 // ， // ，從而 // ，由此能證明 E，F，G，H 四點共面； ≠ ，從
而直線 EG 與直線 FH 必相交，設交點為 P，證明 P 點在直線 上．
【解答過程】如圖所示，
E 1，F 分別為 AB，AD 的中點，∴ // ， = 2 ，
, 分別在 ，CD 上，且 : = : = 1:2，∴ // ， = 23 ，
∴ // ，則 E，F，G，H 四點共面，說法①正確；
∵ > ，四邊形 是梯形， // 不成立，說法②錯誤；
若直線 與直線 交于點 P，則由 ∈ ， 平面 ，得 ∈ 平面 ，
同理 ∈ 平面 ，又平面 ∩ 平面 = ， ∈
∴則 P，A，C 三點共線，說法③正確；
說法中正確的有 2 個.
故選：C.
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）已知正方體 1 1 1 1中， 為 1 1的中點，直線 1 交平面 1
1于點 ，則下列結論正確的是（ ）
A． , , 三點共線 B． , , , 1四點共面
C． , , , 四點共面 D． , 1, , 四點共面
【解題思路】根據基本事實和推論判斷.
【解答過程】
連接 1 1， ， ，因為 為 1 1的中點，所以 1 1 ∩ 1 1 = ，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = ，
因為 1 ∩ 平面 1 1 = ， 1 平面 1 1 ，所以點 是平面 1 1 和平面 1 1的交點，
所以 ∈ ， ， ， 三點共線，故 A 正確；
因為 ， ， 三點共線，所以 ， ， ， 1四點共面， ， ， ， 四點共面，故 BC 正確；
取 中點 1 11，連接 1交 1 于點 ，由題意得 △ 1 ∽△ ， = 2，
1 = 1所以 2，即 為 1 的三等分點，因為 ， 1， 不共線， , 1, ∈ 平面 1 1 ，平面 1 1 ∩ 1
= ， 為 1 的中點，
所以點 平面 1 1 ， ， 1， ， 四點不共面，故 D 錯.
故選：ABC.
4．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如圖所示． 1 1 1 1是正方體，O 是 1 1的中點，直線 1 交
平面 1 1于點 M，給出下列結論：
①A、M、O 三點共線； ②A、M、O、 1不共面：
③A、M、C、O 共面； ④B、 1、O、M 共面，
其中正確的序號為 ①③ ．
【解題思路】由公理 1 判斷①，由公理 2 判斷②和③，用反證法判斷④
【解答過程】連接 1 1，因為 是 1 1的中點，所以 ∈ 1 1，
平面 1 1與平面 1 1 有公共點 A 與 ，則平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = ，
對于①， ∈ 1, 1 平面 1 1 ，則 ∈ 平面 1 1 ，因為 ∈ 平面 1 1，則 ∈ ，即 A，M，O
三點共線，所以①正確，
對于②③，由①知 A，M，O 三點共線，所以 A，M，O， 1共面，A，M，C，O 共面，所以②錯誤，③
正確；
對于④，連接 ，則 , 1, 都在平面 1 1 上，若 ∈ 平面 1 1 ，則直線 平面 1 1 ，所以 ∈
平面 1 1 ，顯然 平面 1 1 ，所以④錯誤，
故答案為：①③.
5．（23-24 高一下·安徽滁州·期中）如圖， 為空間四邊形，點 、 分別是 、 的中點，點 、 分
別在 、 上，且 = 1 13 ， = 3 ．求證：
(1) 、 、 、 四點共面；
(2) 、 必相交且交點在直線 上．
【解題思路】（1）根據中位線及等比分點可得平行，進而可證四點共面；
（2）結合面面位置關系可得證.
【解答過程】（1）
連接 、 ， ，
由 ， 分別為 ， 中點，則 // ，
又 = 1 13 ， = 3 ，則 // ，
∴ // ，
∴ 、 、 、 四點共面.
（2）
= 1 = 1由 3 ， 3 ，
易知 = 13 ，
又 ， 分別為 ， 中點，即 = 12 ，
∴ ≠ ，
結合（1）的結論可知，四邊形 是梯形，因此直線 、 不平行，
設它們交點為 ， ∈ 平面 ，同理 ∈ 平面 ，
又平面 ∩ 平面 = ，因此 ∈ ，
即 、 必相交且交點在直線 上．
題型 18 空間中的線面位置關系（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量廈線門性運·算期的坐中標）表示設 m，n 是兩條不同的直線， ， ， 是三個不同的平面，給出下列四
個命題：
①若 // ， // ，則 //
②若 // ， // ， ⊥ 則 ⊥
③若 ⊥ ， // ，則 ⊥
④若 ⊥ ， ⊥ ，則 //
其中正確命題的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解題思路】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系，結合線面垂直的性質，逐項分析判斷即可．
【解答過程】對于①， // 且 // 成立， , 可能平行，異面或者相交，①錯誤；
對于②，由 // 且 // ，得 // ，又 ⊥ ，則 ⊥ ，②正確；
對于③，由 // ，得存在過直線 與平面 相交的平面，令交線為 ，則 // ，
而 ⊥ ，于是 ⊥ ， ⊥ ，③正確；
對于④，若 ⊥ ， ⊥ ， , 可能平行，也可能相交，④錯誤.
故選：B.
2．（23-24 高一下·江蘇無錫·期中）正四面體 中， , , , 分別是棱 , , , 的中點，則不正確
的選項為（ ）
A． //平面 B． ⊥
C． ⊥ 平面 D． , , , 四點共面
【解題思路】選項 A，根據條件得到 // ，利用線面平行的判定定理，即可判斷出選項 A 的正誤；選項
B，根據條件得到 ⊥ 面 ，利用線面垂直的性質，即可判斷出選項 B 的正誤；對于選項 C，根據條件
得到 // ，而 不垂直 ，即可判斷選項 C 的正誤；對于選項 D，利用 // ，即可判斷選項 D 的正
誤.
【解答過程】將正四面體 放置到正方體中，
對于選項 A，如圖 1，因為 , 上棱 , 的中點，所以 // ，
又 面 ， 面 ，所以 //平面 ，所以選項 A 正確，
對于選項 B，如圖 2，取 中點 ，連接 , ，因為四面體 是正四面體，
所以 ⊥ , ⊥ ，又 ∩ = ， , 面 ，
所以 ⊥ 面 ，又 面 ，所以 ⊥ ，故選項 B 正確，
對于選項 C，如圖 3，由選項 A 知， // ，又 △ 是等邊三角形，所以 與 不垂直，
故 與 不垂直，若 ⊥ 平面 ，又 平面 ，則 ⊥ ，所以選項 C 錯誤，
對于選項 D，如圖 3，因為 , 是 , 的中點，所以 // ，又 // ，
所以 // ，故 , , , 四點共面，所以選項 D 正確，
故選：C.
3．（23-24 高一下·浙江·期中）已知正方體 1 1 1 1的棱長為 2，棱 AB，BC 的中點分別為 E，F，
點 在上底面 1 1 1 1上（包含邊界），則下列結論正確的是（ ）
A．存在點 ，使得平面 //平面 1 1
B．不存在點 ，使得直線 1//平面 EFG
C．三棱錐 的體積不變
D．存在點 ，使得 ⊥ 平面 1
【解題思路】取 1 1的中點 與 E，F 構成平面 EFG，利用面面平行的判定定理證明，即可判斷 A，分別取
1 1, 1 1, 1, 1的中點 , , , ，與 E，F 構成正六邊形，利用線面平行判定定理證明，即可判斷 B，求
出三棱錐的體積即可判斷 C，當點 與點 1重合時，有 ⊥ 平面 1，利用線面垂直性質定理和判定定理
證明，即可判斷 D.
【解答過程】對于A，取 1 1的中點 與 E，F 構成平面 EFG（如圖），
因為棱 AB，BC 的中點分別為 E，F，所以 // ，
因為 平面 1 1， 平面 1 1，所以 //平面 1 1，
又棱 AB， 1 1的中點分別為 E，G，所以 // 1，
因為 平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 //平面 1 1，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 //平面 1 1，故 A 正確；
對于B，分別取 1 1, 1 1, 1, 1的中點 , , , ，與 E，F 構成正六邊形（如圖），
因為棱 1， 1 1的中點分別為 M，N，所以 // 1，
因為 1 平面 ， 平面 ，所以 1//平面 ，
此時點 G 的軌跡為線段 NP，故 B 錯誤．
對于C，因為點 到下底面 ABCD 的距離不變為正方體的棱長 2，
三角形 1 1面積為2 × 1 × 1 = 2，
所以三棱錐 1 1 1的體積不變，為3 × 2 × 2 = 3，故 C 正確；
對于D，當點 與點 1重合，連接 1，可得 ⊥ 平面 1，（如圖），
下證： 1 ⊥ 平面 1，
由正方體 1 1 1 1中可得 1 ⊥ 平面 ，
因為 平面 ，所以 1 ⊥ ，
因為底面 為正方形，所以 ⊥ ，
因為 ∩ 1 = , , 1 平面 1 1，所以 ⊥ 平面 1 1.
因為 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ ，
由正方體 1 1 1 1中可得 1 1 ⊥ 平面 1 1，
因為 1 平面 1 1，所以 1 1 ⊥ 1，
因為側面 1 1為正方形，所以 1 ⊥ 1，
因為 1 1 ∩ 1 = 1, 1 1, 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 平面 1 1 .
因為 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，
又因為 1 ∩ = , 1, 平面 1，所以 1 ⊥ 平面 1，故 D 正確．
故選：ACD.
4．（23-24 高一下·吉林長春·期中）已知 , 為兩個不同的平面， , 為兩條不同的直線，下列說法正確的是
①④ ．
① // ， // ， // ② ⊥ ， ⊥ //
③ // ， ， // ④ // ， ⊥ ， // ⊥
【解題思路】利用線面平行、線面垂直及面面平行的性質逐一判斷各個命題即得.
【解答過程】對于①，由 // ，得存在過 的平面與 相交，令交線為 ，則 // ，而 // ，
于是 // ，又 ，因此 // ，①正確；
對于②， ⊥ ， ⊥ ， 可能在 內，②錯誤；
對于③， // ， ， ， , 可以是異面直線，③錯誤；
對于④，由 // ，得存在過 的平面與 相交，令交線為 ，則 // ，
由 // ， ⊥ ，得 ⊥ ，則 ⊥ ，因此 ⊥ ，④正確.
故答案為：①④.
5．（23-24 高一下·吉林·期中）如圖，在四棱錐 中，四邊形 是正方形， = ，E 為側棱
PD 上的點，且 = 3 .
(1)證明： ⊥ ；
(2) PC F // 在側棱 上是否存在一點 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）設 交 AC 于點 O，由題意可得 PO⊥AC， ⊥ ，可證得 ⊥ 平面 ，進而證得
結論.
2 2（ ）在線段 PE 取一點 G，使得 = ，由題意可得 = 3，可證得 //平面 ，進而可得平面 //
平面 ，再證得 // ，可得 的值.
【解答過程】（1）設 交 于點 O，連接 ，正方形 中，則 = ， ⊥ ，
又 = ，則 ⊥ ，又 ∩ = , , 平面 ，
因此 ⊥ 平面 ，而 平面 ，
所以 ⊥ .
（2）側棱 上存在一點 F，滿足條件，
證明如下：如圖，正方形 中， = ，
在線段 取一點 G，使得 = ，由 = 3 2，得 = 3，
連接 , ，則 // ，而 平面 ， 平面 ，
則 //平面 ，由 //平面 ， ∩ = ， , 平面 ，
得平面 //平面 ，而平面 ∩ 平面 = ，平面 ∩ 平面 = ，
于是 // 2， = = 3，
3
所以 ＝2.
題型 19 空間角（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·吉平面林向量長線春性運·算期的坐中標）表示已知三棱柱 1 1 1的各棱長均相等，且側棱垂直于底面，點 是
側面 1 1 的中心，則 與平面 所成的角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
【解題思路】先根據題意作出三棱柱，取 的中點 ，連接 ， ，得到∠ 為所求的線面角，再設三
棱柱 1 1 1的棱長為 2，求出tan∠ ，即可得出結果.
【解答過程】如圖所示，取 的中點 ，連接 ， ，則 // 1，又 1 ⊥ 平面 ，
于是 ⊥ 平面 ，∠ 為 與平面 所成的角，
設三棱柱 1 1 1的棱長為 2，則 = 1, = 3，
在Rt △ 中，tan∠ = =
3
，所以∠ = 30 .
3
故選：A.
2．（23-24 高一下·山東青島·期中）如圖，在正方體 1 1 1 1中，下列結論錯誤的為（ ）
π
A．直線 1與直線 1 所成的角為2
π
B．直線 1與平面 1 1 1 1所成的角為4
C．直線 1 ⊥ 平面 1
π
D．平面 1 1 與平面 所成的二面角為6
【解題思路】對 A，證明直線 1 ⊥ 平面 1 即可；對 B，根據線面角的定義，根據直線 1與平面 1 1 1
1所成的角為∠ 1 1即可；對 C，根據線面垂直的判定證明即可；對 D，根據二面角的定義可得平面 1 1
與平面 所成的二面角為∠ 1 1即可.
【解答過程】對 A，連接如圖，由正方體性質可得 1 ⊥ 1，且 ⊥ 平面 1 1， 1 平面 1 1，
故 ⊥ 1.
又 1 ∩ = ， 1 , 平面 1 ，故 1 ⊥ 平面 1 .
又 1 平面 1 ，故 1 ⊥ 1 .
π
故直線 1與直線 1 所成的角為2，故 A 正確；
對 B，因為 1 ⊥ 平面 1 1 1 1，故直線 1與平面 1 1 1 1所成的角為∠ 1 1 = 45°，故 B 正確；
對 C，連接如圖，由正方體性質可得 ⊥ ，且 1 ⊥ 平面 ， 平面 ，故 ⊥ 1.
又 ∩ 1 = ， , 1 平面 1，故 ⊥ 平面 1.
又 1 平面 1 ，故 ⊥ 1 .
同理 1 ⊥ 1 ，又 1 ∩ = ， 1, 平面 1 ，故 1 ⊥ 平面 1 ，故 C 正確；
對 D，平面 1 1 與平面 交于 ，且 ⊥ ， ⊥ 1 ，故平面 1 1 與平面 所成的二面
角為∠ 1 1 = 45°，故 D 錯誤.
故選：D.
3．（23-24 高一下·河北邯鄲·期中）如圖所示，在棱長為 2 的正方體 1 1 1 1中，M，N 分別為 1
1， 1 的中點，其中不正確的結論是（ ）
A．直線 MN 與 AC 所成的角為60° B．直線 AM 與 BN 是平行直線
C．二面角 的平面角的正切值為 2 D．點 C 與平面 MAB 的距離為 2
【解題思路】利用線線平行結合異面直線的夾角即可求解 A，由異面直線的性質即可求解 B，根據二面角的
定義可得其平面角，即可根據三角形的邊角關系求解 C，根據等體積法即可求解 D.
【解答過程】對于 A，連接 1， ∵ // 1，則直線 與 所成角為∠ 1或其補角，
∴△ 1為等邊三角形， ∴ ∠ 1 = 60°， ∴ 直線 與 所成角為60°，故 A 對；
對于 B，取 1中點為 ，連接 ，由于 // ，而 , 相交，所以直線 ， 異面，故 B 錯誤；
對于 C，連接 , 相交于 ，連接 ,
由于 = = 22 + 12 = 5，所以 ⊥ , ⊥ ,
所以∠ 為二面角 的平面角，
1
在Rt △ 中，tan∠ = = =
2
2 ，故 C 錯誤，2
對于 D， = = 12 + 1 2 = 3，設 到平面 的距離為 ，
1 ×2×2×2
由 △ 1 2 = 得 = = 1 ×2 32 12 = 2，故 D 正確，△ 2
故選：BC.
4．（23-24 高一下·天津·期中）如圖，邊長為 4 的正方形 所在平面與正三角形 所在平面互相垂直，
為 的中點．二面角 的正切值為 6 ．
【解題思路】利用面面垂直性質證明得出線面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得線段長度，
即可得出二面角 的正切值.
【解答過程】依題意平面 ⊥ 平面 ，且平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
易知 ⊥ ，因此可得 ⊥ 平面 ，
過點 作 ⊥ 于點 ，連接 ，如下圖所示：
由 ⊥ 平面 ，又 , 平面 ，所以 ⊥ , ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ， 平面 ，可得 ⊥ ；
即可得∠ 即為二面角 的平面角；
顯然∠ = 45 ，且 = 4，三角形 為正三角形，所以 = 2 3, = sin45 = 2；

在Rt △ 中，tan∠ = 2 3 = = 6.2
即二面角 的正切值為 6.
故答案為： 6.
5．（23-24 高一下·內蒙古興安盟·期末）如圖，在四棱錐 中，底面 是正方形， ⊥ 平面
，且 = = 2.
(1)求直線 與平面 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小.
【解題思路】（1）由已知可證得 ⊥ 平面 ，所以∠ 為直線 與平面 所成的角，然后在Rt △
中求解即可；
（2）連接 交 于點 ，過點 作 ⊥ 于點 ，連接 ，則可得∠ 是二面角 的平面角，
然后在 △ 中求解即可.
【解答過程】（1）在正方形 中，有 ⊥ ，
因為 ⊥ 平面 , 面 ，所以 ⊥ ，
又因為 平面 , 平面 , ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ，
所以∠ 為直線 與平面 所成的角，
在Rt △ 中， = 2 + 2 = 22 + 22 = 2 2，
在Rt △ 2中， = 2 + 2 = (2 2) + 22 = 2 3，
cos∠ = =
2 2 = 6，
2 3 3
所以直線 6與平面 所成角的余弦值為 ；
3
（2）連接 交 于點 ，
在正方形 中，有 ⊥ ，
因為 ⊥ 平面 ，所以 ⊥ ，
因為 平面 , 平面 , ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ，所以 ⊥ ，
在 △ 中，過點 作 ⊥ 于點 ，連接 ，
因為 平面 , 平面 , ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ，所以 ⊥ ，
則∠ 是二面角 的平面角，
在 △ 中， = 2 2, = 2, = 2 3，
= × 2 2×2 2 6 2 6則 = = ，同理可求得 = ，2 3 3 3
在 △ 中， = 2 2, = = 2 6，3
2 2 2 8+8 + 8cos∠ = 3 32 = 2× 8 =
1
2，
3
因為∠ ∈ [0,π) ∠ = 2，所以 3π，
2
則二面角 的大小為3π.
題型 20 點、線、面距離問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量鄭線州性運·算期的中坐標）表示如圖，直三棱柱 1 1 1的體積為4， △ 1 的面積為2 2，則點
到平面 1 的距離為（ ）
A．4
B．3 2
C．2
D． 2
【解題思路】利用等體積法即可求點 到平面 1 的距離．
【解答過程】解：由直三棱柱 1 1 1的體積為4，
1 4
可得 1 = 3 1 1 1 = 3，
設 到平面 1 的距離為 ，
由 1 4 1 = 1 得3 △ 1 = 3
∴ 13 × 2
4
2 = 3，解得 = 2．
故選：D．
2．（23-24 高一下·福建廈門·期中）柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，
結構等價的特點．如圖是棱長均為 2 的柏拉圖多面體 PABCDQ，已知四邊形 ABCD 為正方形，O，E 分別為
PQ，CQ 的中點，則點 A 到平面 OEB 的距離為（ ）
A 1 1． 2 B．1 C．2 D．4
【解題思路】由三棱錐等體積法，可得 = ，運算得解.
【解答過程】連接 , ，如圖所示.因為 , 分別為 , 的中點，
所以 為 △ 的中位線，所以| | = 1，
因為 為正三角形 的中線，所以| | = 3，| | = 2,
所以| |2 = | |2 +| |2，所以 △ 為直角三角形，即 ⊥ ，
= 1所以 2△ 2| | | | = ．因為| | = | |，2
1 1 2所以 到平面 的距離為2| | = 2
2
2 2 ( 2) = ，2
設 到平面 的距離為 ，因為 = ，
1
所以3 △ =
1 2
3 △ ，2
1
所以 2 = 2
2 2
2 2 ，所以 = 1．2
故選：B.
3．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如圖，正方體 1 1 1 1的棱長為 1， 為 1的中點.下列說法正
確的是（ ）
A．直線 1與直線 是異面直線
B．在直線 1 1上存在點 ，使 ⊥ 平面 1
π
C．直線 1與平面 1 所成角是3
D．點 到平面 的距離是 21 2
【解題思路】證明 1與 在平面 1 1上，可以判斷 A；連接 1 1， 1，取 1 1的中點 ，連接 ，
證明 ⊥ 平面 1 可判斷 B；連接 1 交 1于點 ，連接 1 ，由 1 ⊥ 平面 1 ，有 ⊥ 平面 1 ，
可判斷 C 和 D.
【解答過程】
對于 A， ∵ 正方體 1 1 1 1， ∴ 1 1// ， 1 1 = ，
∴ 四邊形 1 1是平行四邊形， ∴ 1, , , 1四點共面，
由圖可知直線 1與直線 都在平面 1 1中，
∴ 直線 1與直線 不可能是異面直線，故 A 錯誤；
對于 B，連接 1 1， 1，取 1 1的中點 ，連接 ，
又 為 1的中點，則 // 1，
∵ 正方體 1 1 1 1， ∴ 1 1// ， 1 1 = ，
∴ 四邊形 1 1是平行四邊形， ∴ 1 // 1 ，
∵ 1 ⊥ 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，
∵ 正方體 1 1 1 1， ∴ ⊥ 平面 1 1，又 1 平面 1 1，
∴ ⊥ 1，且 ∩ 1 = ， , 1 平面 1 ，
得 1 ⊥ 平面 1 ，則 ⊥ 平面 1 ，故 B 正確；
對于 C，連接 1 交 1于點 ，連接 1 ，
由 1 ⊥ 平面 1 ，有 ⊥ 平面 1 ，
則∠ 1 即為直線 1與平面 1 所成的角，
∵ 正方體的棱長為 1 1，所以 = = 22 1 ，2
π
∵ ∠ 1 = 90 ，則∠ 1 = 6，故 C 錯誤；
對于 D， 由 ⊥ 平面 1 知， 即為點 到平面 1 的距離， = 2，故 D 正確.2
故選：BD.
4．（23-24 高一下·江蘇無錫·期中）已知平面 外兩點 A，B 到平面 的距離分別是 2 和 4，則 的中點 P 到
平面 的距離是 3 或 1 .
【解題思路】根據點到平面距離的意義，分 A，B 在 同側和 A，B 在 異側兩種情況求解即可.
【解答過程】設點 A、B 在平面 的投影分別為點 ′， ′，依題意， ′ = 2， ′ = 4，
若 A，B 在 同側，如圖 1，設點 P 在平面 的投影為點 ，
1
則 P 到 的距離為 = 2( ′ + ′) = 3；
若 A，B 在 異側，如圖 2，設點 P 在平面 的投影為點 O，
過 A 作 ⊥ ′，交 ′的延長線于點 C，延長 交 于點 ′，
1 1
則 P 到 的距離為 = ′ ′ = ′2 = 2 × 6 2 = 1，
所以 的中點 P 到平面 的距離為 3 或 1.
故答案為：3 或 1.
5．（23-24 高一下·云南麗江·期中）在三棱錐 中， = = = ， = .
(1)求證： ⊥ ；
(2)若 = 3， = 2，求點 到平面 的距離.
【解題思路】（1）作出輔助線，得到線面垂直，進而得到線線垂直；
（2）利用等體積法求解點到平面的距離.
【解答過程】（1）證明：取 的中點 ，連接 ， ，如圖所示.
在 △ 中， = ， 是 的中點，所以 ⊥ ，
在 △ 中， = ， 是 的中點，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ；
（2）在 △ 中， = = 3， = 2， 是 的中點2024-2025 學年高一下學期期中復習真題精選（常考 100 題 20 類題型
專練）
【人教 A 版（2019）】
題型歸納
題型 1 平面向量的概念（共 5小題）
1．（23-24 高一下·福建福州·期中）下列說法正確的是（ ）
A．若兩個非零向量 , 共線，則 , , , 必在同一直線上
B．若 與 共線， 與 共線，則 與 也共線
C．若| | = | |則 =
D．若非零向量 與 是共線向量，則它們的夾角是0 或180
2．（23-24 高一下·天津河北·期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．若| | = 1，則 =± 1 B．若 = ，則 ∥
C．若| | = | |且 ∥ ，則 = D．若 ∥0，則| | = 0
3．（23-24 高一下·江蘇無錫·期中）下列說法錯誤的是（ ）
A．向量 與向量 是共線向量，則點 A，B，C，D 必在同一條直線上
→ →
B．若 = 0, ∈ R，則 = 0或 = 0
C．若向量 , 滿足| | > | |，且 與 同向，則 >
D．向量 與 ( ≠ 0)共線的充要條件是：存在唯一的實數 ，使 =
4．（23-24 高一下·廣東廣州·期中）已知 , 為兩個不共線的非零向量，若 + 與 2 共線，則 k 的值為
．
5．（23-24 高一下·福建泉州·期中）已知邊長為 3 的等邊三角形 ，求 邊上的中線向量 的模| |.
題型 2 平面向量的線性運算（共 5小題）
1．（23-24 高一下·湖北武漢·期中）已知等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2，E 為 BC 的中
點，則 = （ ）
A 1 5 1 5．3 + 3 B．3 + 6
C 1．3 +
1
2 D
1
． 3 +
1
6
2．（23-24 高一下·廣東深圳·期中）已知向量 1， 2是平面上兩個不共線的單位向量，且 = 1 +2 2，
= 3 1 +2 2， = 3 1 6 2，則（ ）
A． 、 、 三點共線 B． 、 、 三點共線
C． 、 、 三點共線 D． 、 、 三點共線
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是
一個非常有趣、優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系（在如圖所示的正五角星中，多邊形

為正五邊形， 5 1 = ≈ 0.618）．則（ ）2
A． + = B． =
C． + = 5 1 D． = 5+1
2 2
4．（23-24 高一下·四川成都·期中）設 ， 是兩個不共線向量， = 2 + ， = + ， = 2 ．若
A，C，D 三點共線，則實數 = ．
5．（23-24 高一下·黑龍江雞西·期中）計算：
(1)( 3) × 4 ；
(2)3( + ) 2( ) ；
(3)(2 +3 ) (3 2 + )；
(4) ；
(5) + + .
題型 3 平面向量的數量積（共 5小題）
1．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知 ， ， 是三個非零平面向量，則下列敘述正確的是（ ）
A．若| | = | |，則 =± B．若| + | = | |，則 ⊥
C．若 = ，則 = D．若 // ，則 = | || |
2．（23-24 高一下·山東臨沂·期中）如圖，圓 為 △ 的外接圓， = 3, = 5, 為邊 的中點，則
= （ ）
A．7 B 15 17． 2 C．8 D． 2
3．（23-24 高一下·河南洛陽·期中）關于平面向量，下列說法正確的是（ ）
A．若 = ，則 =
→ → → →
B．兩個非零向量 ， ，若| | = | | + | |，則 與 共線且反向
C．若 與 不共線且 +2 與2 +3 4共線，則 = 3
D．若 = (1,2)， = ( 1,1)，且 與 + 的夾角為銳角，則 ∈ ( 5, + ∞)
4．（23-24 高一下·北京·期中）已知非零平面向量 ， ， ，
①若 = ，則 = ；②若| + | = | | + | |，則 // ；
③若| + | = | |，則 ⊥ ；④若 + = 0，則 = 或 = ．
其中正確命題的序號是 ．
5．（23-24 高一下·山東臨沂·期中）已知向量 , 滿足| | = 3,| | = 6, 5 4 2 + = 81．
(1)求向量 與 的夾角；
(2)若向量 在 方向上的投影向量為 ，求 + 的值．
題型 4 平面向量基本定理及其應用（共 5小題）
1．（23-24 高一下·河北·期中）在 △ 中， 為 邊上的中點， 是 上靠近 的四等分點，則 =
（ ）
A． 78 +
1
8 B．
1
8
7
8
C 7． 8
1
8 D
1 7
． 8 + 8
2．（23-24 高一下·四川樂山·期中）如圖，已知點 是 △ 的重心，過點 作直線分別與 ， 兩邊交于
， 兩點，設 = ， = ，則 + 9 的最小值為（ ）
A 5 16．2 B．4 C． 3 D．3
3．（23-24 高一下·河北·期中）如圖，在 △ 中，BD 與 EC 交于點 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分點，D
是 AC 的中點，且有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，則下列命題正確的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C． = 1 12 + 4
D．過 G 作直線 MN 分別交線段 AB，AC 于點 M，N，設 = ， = （ > 0， > 0），則
+ 2 的最小值為 2．
4．（23-24 高一下·廣東潮州·期中）在 △ 中， 為 BC 上一點， 是 AD 1的中點，若 = ， = 3
+ ，則 + = .
5．（23-24 高一下·陜西渭南·期中）如圖所示，△ 中，點 為 的中點，點 是線段 上靠近點 的一
個三等分點， ， 相交于點 ，設 = ， = .
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 = ， = ，求 ， 的值.
題型 5 向量的夾角問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·廣平面西向量玉線林性運·算期的坐中標）表示已知向量 = (1,2), = ( ,3)，若 ⊥ (2 )，則 與 夾角的余弦值為
（ ）
A．2 5 B． 5 C 10 D 3 10． ．
5 5 10 10
2．（23-24 高一下·河南鄭州·期中）已知向量 = (1,1), = ( , 2)，則“ 與 的夾角為鈍角”是“ < 2”的
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（23-24 高一下·陜西寶雞·期中）若向量 = (2,0)， = (1, 3)，則（ ）
A． | + | = | | B． = 2
π
C． 在 1上的投影向量為2 D． 與 的夾角為6
4．（23-24 5高一下·北京順義·期中）已知平面向量 = (1,2)， = ( 2, 4)， = ( , )滿足 + = 2，
| | = 5，則 與 的夾角為 ．
5．（23-24 高一下·廣東深圳·期中）已知向量 = (1, ), = (2,3)．
(1)若 ⊥ ，求| |；
(2)若 = ( 3, 4)， // + ，求3 + 與 的夾角的余弦值．
題型 6 向量的模長問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·重平面慶向量·期線性中運算）的坐平標面表示向量 , 滿足 = (2,1)，|2 | = 3且 2 ⊥ ，則| | = （ ）
A．3 B． 10 C． 11 D．2 3
2．（23-24 高一下·福建廈門·階段練習）在平面四邊形 ABCD 中，E，F 分別為 AD，BC 的中點，若
= 4， = 2，且 = 4，則| | = （ ）
A． 2 B． 3 C． 7 D．2 2
3．（23-24 高一下·云南·階段練習）已知向量 , 滿足| + 2 | = | |, + 2 = 0，且| | = 2，則（　　）
A．| | = 8 B． + = 0 C．| 2 | = 6 D． = 4
4．（23-24 高一下·重慶九龍坡·期中）已知向量 與 的夾角為60°，| | = 2,| | = 1，則| 2 | = ．
5．（23-24 · · 1 1高一下 浙江 期中）已知| | = 1, = 2, + = 2．
(1)求| |的值；
(2)求向量 與 + 夾角的余弦值；
(3)求| |( ∈ )的最小值．
題型 7 向量的平行、垂直問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·廣平面東向量茂線名性運·算期的坐中標）表示已知向量 = (3,4), = ( , 6)，且 ⊥ ，則實數 = ( )
A． 9 92 B．2 C． 8 D．8
2．（23-24 高一下·四川成都·期中）已知向量 = (1, 2)， = ( 3, )， = (4, )，若 // ， ⊥ ，則 + =
（ ）
A 19． 2 B．8 C． 4 D．6
3．（23-24 高一下·新疆烏魯木齊·期中）已知向量 = ( 2,1), = ( 1, )，則下列說法正確的是（ ）
A．若 ⊥ ，則 的值為 2 B．若0 < < 2，則 與 的夾角為銳角
C．若 // 1，則 的值為2 D．若 = 3，則 在 方向上的投影向量為(2, 1)
4．（23-24 高一下·云南迪慶·期中）已知向量 = (2,1), = (3, 1), = (3, ),( ∈ R)，且 2 ⊥ ，則
= .
5．（23-24 高一下·云南德宏·期中）已知向量 = (2,1)， = (1,2)， = (4, )．
(1)若 // ，求| |的值；
(2)若( + ) ⊥ ，求 的值．
題型 8 三角形的個數問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·湖平面北向量·期線性中運算）的坐根標據表示下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（ ）
A． = 1, = 45°, = 60° B． = 1, = 2, = 60°
C． = 3, = 1, = 120° D． = 3, = 4, = 45°
2．（23-24 高一下·北京大興·期中）在 △ 中， ， ， 分別為∠ ，∠ ，∠ 的對邊，給出下列四個條件：
① = 4， = 5， = 45° ； ② = 5， = 6， = 8；
③ = 6， = 6 3， = 105°； ④ = 2 3， = 5， = 60°．
能判斷三角形存在且有唯一解的是（ ）
A．①④ B．②③
C．①②③ D．②③④
3．（23-24 高一下·云南昭通·期中）由下列條件解三角形問題中，對解的情況描述正確的是（ ）
A． = 20, = 11, = 30°，有兩解
B． = 2, = 2, = 30°，有兩解
C． = 8, = 16, = 30°，有兩解
D． = 23, = 34, = 41°，有一解
π
4．（23-24 高一下·山東濟南·期中）在 △ 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ．若 = 6 3， = 3，
且該三角形有兩解，則 的取值范圍是 .
5．（23-24 高一下·江西宜春·期中）在 △ 中，角 , , 所對的邊分別為 , , ，且(2 3 )cos = 3 cos
.
(1)求角 的大小；
(2)已知 = + 1，且角 有兩解，求 的范圍.
題型 9 判斷三角形的形狀（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·江平面蘇向量鎮線江性運·算期的中坐標）表示在 △ 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若 cos = cos
，則 △ 的形狀是（ ）三角形
A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角
2．（23-24 高一下·河北邢臺·期中）在 △ 中，角 , , 的對邊分別是 , , ，若sin2 + sin2 + cos2 < 1，
則 △ 的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定的
3．（23-24 高一下·四川達州·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，則下列結論正確的
是（ ）
A．若 = 45°， = 2， = 3，則 △ 有兩解
B．若 2 + 2 < 2，則 △ 是鈍角三角形
C．若 △ 為銳角三角形，則sin > cos

D．若cos =

cos ，則 △ 為等腰三角形
4．（23-24 高一下·河南三門峽·期中）已知 △ 中，內角 ， ， + 的對邊分別為 ， ， ， = cos +cos ，
則 △ 的形狀是 .
5．（23-24 高一下·廣東江門·期中）在 △ 中，內角 , , 所對的邊分別為 ， ， ，已知 2 = 2 + 2
.
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 4， △ 3的面積為 ，求 的值；
2
(3)若 2 = ，判斷 △ 的形狀.
題型 10 三角形的面積問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
平面向量線性運算的坐標表示
π
1．（23-24 高一下·廣東廣州·期中）△ 的內角 , , 的對邊分別為 ， ， .若 = 6， = 2 ， = 3，則 △
的面積為（ ）
A．6 3 B．12 3 C．6 D．12
2．（23-24 高一下·北京·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的對邊分別是 , , , = 4,∠ = 60°，點 為邊 BC
上的一點， = 2 7, = 6，則 △ 的面積為（ ）
A．6 3 B．9 3 C．14 3 D．20 3
π
3．（23-24 高一下·江西萍鄉·期中）在 △ 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 = 2， = 3，則 △
的面積可能為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
4．（23-24 高一下·陜西安康·期中）在 △ 中， = 7， = 5， = 10，則 △ 的面積 = .
5．（23-24 高一下·貴州六盤水·期中）在 △ 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且cos2 sin2
sin sin = 1 sin2 .
(1)求 B；
(2)若 = 2 3；求 △ 面積的最大值.
題型 11 距離、高度、角度測量問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量龍線巖性運·算期的中坐標）表示如圖，某數學興趣小組的成員為了測量某直線型河流的寬度，在該河流
的一側岸邊選定 A，B 兩處，在該河流的另一側岸邊選定 處，測得 = 30米，∠ = 75°,∠ = 45°，
則該河流的寬度是（ ）
A．15 + 5 3米 B．10 3 +10米 C．15 3 15米 D．10 3 10米
2．（23-24 高一下·安徽黃山·期中）長慶寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黃山市歙縣的西干披云峰麓，歷經
900 多年風雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現存少有的方形佛塔．如圖，為測量塔的總高度 ，選取與塔底
在同一水平面內的兩個測量基點 與 ，現測得∠ = 30 ，∠ = 45 ， = 32m，在 點測得塔頂 的
仰角為60 ，則塔的總高度為（ ）
A．(96 32 6)m B．(96 32 3)m
C．(92 32 2)m D．(92 32 3)m
3．（23-24 高一下·廣西欽州·期中）某校數學興趣小組欲對當地一唐代古塔進行測量，如圖是該古塔 的
示意圖，其中 與地面垂直，從地面上 點看塔頂 的仰角為 ,沿直線 向外前進 米到點 處，此時看塔頂
的仰角為 ,根據以上數據得到塔高為 米，則（ ）
sin sin sin
A． = sin( )米 B． = sin( )米
sin
C = sin cos ． sin( )米 D． = 1 + 米sin( )
4．（23-24 高一下·安徽蕪湖·期中）如圖，已知兩座山的海拔高度 = 300米， = 100米，在 BC 同一
水平面上選一點 ，測得 點的仰角為60°, 點的仰角為30°，以及∠ = 45°，則 M，N 間的距離為
米.（結果保留整數，參考數據 6 ≈ 2.449, 6.2 ≈ 2.490）
5．（23-24 高一下·湖南邵陽·期中）一艘海輪從 A 出發，沿北偏東75°的方向航行( 3 1)n mile后到達海島
B，然后從 B 出發，沿北偏東15°的方向航行 2n mile到達海島 C.
(1)求 AC 的長；
(2)如果下次航行直接從 A 出發到達 C，應沿什么方向航行多少n mile？
題型 12 復數的概念（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·山平面東向量臨線沂性運·算期的坐中標）表示下列幾個命題，其中正確的命題的個數有（ ）
（1）實數的共軛復數是它本身
（2）復數的實部是實數，虛部是虛數
（3）復數與復平面內的點一一對應
（4）復數i是最小的純虛數.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24 高一下·云南·期中）設 = 1 + 2i，則 的實部與虛部之和為（ ）
A． 1 B．2 C．1 D． 2
3．（23-24 高一下·江蘇泰州·期中）對于復數 = + i( , ∈ )，則下列結論中錯誤的是（ ）
A．若 = 0，則 + i為純虛數 B．若 = 3 2i，則 = 3, = 2
C．若 = 0，則 + i為實數 D．若 = = 0，則 不是復數
4．（23-24 高一下·新疆·期中）已知( + 3) + ( 2)i = 0，則 = ．
5．（23-24 高一下·新疆克孜勒蘇·期中）若復數 = ( 2 + 12) + ( 2 3 )i，當實數 為何值時
(1) 是實數；
(2) 是純虛數.
題型 13 復數的幾何意義（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·云平面南向量曲線靖性運·算期的中坐標）表示復數 = (2 ) + ( 1)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數 的
取值范圍是（ ）
A．(2, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ∞,1) D．( 1, + ∞)
2．（23-24 高一下·廣東清遠·期中）已知復數 = 3 4i，則（ ）
A． 的虛部為 4i B．| | = 3 + 4i
C． = 3 + 4i D． 在復平面內對應的點在第三象限
3．（23-24 高一下·安徽阜陽·期中）已知復數 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )，則下列命題正確的是（ ）
A．若 為純虛數，則 = 1
B．若 為實數，則 = 0
C．若 在復平面內對應的點在直線 = 2 上，則 = 1
D． 在復平面內對應的點不可能在第三象限
4．（23-24 高一下·廣東惠州·期中）在復平面內，把與復數3 3i對應的向量繞原點 O 按順時針方向旋轉
90°后，則所得向量對應的復數為 （用代數形式表示）.
5．（23-24 高一下·江蘇蘇州·期中）復數平面內表示復數 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的點分別滿足
下列條件：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直線 = 上．求實數 的取值范圍．
題型 14 復數的四則運算（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
平面向量線性運算的坐標表示
3
1．（23-24 1 i高一下·湖北·期中）已知i為虛數單位，復數 = 3+4i9，則 = （ ）
A 7 i B 7+i C 1 7i D 1+i． 25 ． 25 ． 25 ． 25
2．（23-24 高一下·湖北· 1+ i期中）已知復數 = 1 i ，其中i為虛數單位， ∈ R，若 為純虛數，則復數 +
在復平面內對應的點在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3 1 3i．（23-24 高一下·安徽黃山·期中）已知復數 = 1+i （i是虛數單位），則下列結論正確的是（ ）
A．復數 的虛部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是實數， + 是純虛數，則 = 1
4 23-24 · · i 5(4+i)
2
．（ 高一下 天津河北 期中）已知 是虛數單位，化簡 2+i 的結果為 .
5．（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知復數 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)為純虛數.
(1)求復數 1；
1
(2)若 2 = (1 i)2，求復數 2及| 2|.
題型 15 基本立體圖形（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·山平面西向量太線原性運·算期的坐中標）表示下列結論不正確的是（ ）
A．三棱錐是四面體 B．長方體是平行六面體
C．正方體是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面體
2．（23-24 高一下·浙江·期中）下列四個命題中正確的是（ ）
A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體
C．以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱
D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）下列說法正確的是（ ）
A．一個多面體至少有 4 個面
B．圓柱的母線與它的軸可以不平行
C．用任意一個平面截球得到的截面都是一個圓面
D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
4．（23-24 高一下·山東聊城·期中）五棱臺的頂點數為 ，棱數為 ，面數為 ，則 + = ．
5．（23-24 高一下·安徽·期中）（1）如圖 1，底面半徑為 1cm，高為 3cm 的圓柱，在點 A 處有一只螞蟻，
現在這只螞蟻要圍繞圓柱，由點 A 爬到點 B，求螞蟻爬行的最短路線長（π 取 3）；
（2）如圖 2，在長方體 1 1 1 1中，M 是 CC1的中點， = 1 = 4cm， = 3cm，一只螞蟻從
點 A 出發沿長方體表面爬行到點 M，求螞蟻爬行的最短路線長.
題型 16 空間幾何體的表面積和體積（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·浙平面江向量·期線性中運算）的坐已標知表示圓臺的上，下底面的半徑長分別為 2，3，母線長 2，則其體積為（ ）
A．5 3 B 19 3π． C．5 3π D．10π3
2．（23-24 高一下·山東青島·期末）底面邊長為 3 的正四棱錐被平行底面的平面所截，截去一個底面邊長為
1，高為 1 的正四棱錐，所得棱臺的體積為（ ）
A 26 B 38． 3 ． 3 C．13 D．26
3．（23-24 高一下·福建三明·期中）如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2
相等，則下列結論正確的是（ ）
A．圓錐的側面積為2π 2
B 3．圓柱與球的表面積之比為2
C．圓柱的側面積與球的表面積相等
D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:2
4．（23-24 高一下·吉林·期中）如圖所示，在三棱柱 1 1 1中，若點 E，F 分別滿足 =
2
3 ， =
2 1
3 ，平面 1 1 將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為 1和 2，則 ＝ .2
5．（23-24 高一下·貴州六盤水·期中）亭子是一種中國傳統建筑，多建于園林，人們在欣賞美景的同時也能
在亭子里休息、避雨、乘涼（如圖 1）.某學生到工廠勞動實踐，利用3 打印技術制作一個亭子模型（如圖
2），該模型為圓錐 1與圓柱 1構成的幾何體Ω（圓錐 1的底面與圓柱 1的上底面重合）.已知圓錐 1
的高為 18cm，母線長為 30cm 8 ，其側面展開圖是一個圓心角為 5 的扇形，AB 為圓錐的底面直徑.圓柱 1的
高為 30cm，DC 為圓柱下底面的直徑，且 = 40cm.
(1)求圓錐 1的側面積；
(2)求幾何體Ω的體積.
題型 17 點共線、線共面問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量開線封性運·算期的坐中標）表示如圖，在正方體 1 1 1 1中， 為棱 1 1的靠近 1上的三等分
點.設 與平面 1 1 的交點為 ，則（ ）
A．三點 1, , 共線，且 = 2 1
B．三點 1, , 共線，且 = 3 1
C．三點 1, , 不共線，且 = 2 1
D．三點 1, , 不共線，且 = 3 1
2．（23-24 高一下·湖北黃岡·期中）如圖所示，在空間四邊形 ABCD 中，E，F 分別為 AB，AD 的中點， ,
分別在 ，CD 上，且 : = : = 1:2.則下面幾個說法中正確的個數是（ ）
①E，F，G，H 四點共面；② // ;③若直線 EG 與直線 FH 交于點 P，則 P，A，C 三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）已知正方體 1 1 1 1中， 為 1 1的中點，直線 1 交平面 1
1于點 ，則下列結論正確的是（ ）
A． , , 三點共線 B． , , , 1四點共面
C． , , , 四點共面 D． , 1, , 四點共面
4．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如圖所示． 1 1 1 1是正方體，O 是 1 1的中點，直線 1 交
平面 1 1于點 M，給出下列結論：
①A、M、O 三點共線； ②A、M、O、 1不共面：
③A、M、C、O 共面； ④B、 1、O、M 共面，
其中正確的序號為 ．
5．（23-24 高一下·安徽滁州·期中）如圖， 為空間四邊形，點 、 分別是 、 的中點，點 、 分
別在 、 1 1上，且 = 3 ， = 3 ．求證：
(1) 、 、 、 四點共面；
(2) 、 必相交且交點在直線 上．
題型 18 空間中的線面位置關系（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量廈線門性運·算期的坐中標）表示設 m，n 是兩條不同的直線， ， ， 是三個不同的平面，給出下列四
個命題：
①若 // ， // ，則 //
②若 // ， // ， ⊥ 則 ⊥
③若 ⊥ ， // ，則 ⊥
④若 ⊥ ， ⊥ ，則 //
其中正確命題的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．（23-24 高一下·江蘇無錫·期中）正四面體 中， , , , 分別是棱 , , , 的中點，則不正確
的選項為（ ）
A． //平面 B． ⊥
C． ⊥ 平面 D． , , , 四點共面
3．（23-24 高一下·浙江·期中）已知正方體 1 1 1 1的棱長為 2，棱 AB，BC 的中點分別為 E，F，
點 在上底面 1 1 1 1上（包含邊界），則下列結論正確的是（ ）
A．存在點 ，使得平面 //平面 1 1
B．不存在點 ，使得直線 1//平面 EFG
C．三棱錐 的體積不變
D．存在點 ，使得 ⊥ 平面 1
4．（23-24 高一下·吉林長春·期中）已知 , 為兩個不同的平面， , 為兩條不同的直線，下列說法正確的是
．
① // ， // ， // ② ⊥ ， ⊥ //
③ // ， ， // ④ // ， ⊥ ， // ⊥
5．（23-24 高一下·吉林·期中）如圖，在四棱錐 中，四邊形 是正方形， = ，E 為側棱
PD 上的點，且 = 3 .
(1)證明： ⊥ ；
(2)在側棱 PC 上是否存在一點 F，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由.
題型 19 空間角（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·吉平面林向量長線春性運·算期的坐中標）表示已知三棱柱 1 1 1的各棱長均相等，且側棱垂直于底面，點 是
側面 1 1 的中心，則 與平面 所成的角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
2．（23-24 高一下·山東青島·期中）如圖，在正方體 1 1 1 1中，下列結論錯誤的為（ ）
π
A．直線 1與直線 1 所成的角為2
π
B．直線 1與平面 1 1 1 1所成的角為4
C．直線 1 ⊥ 平面 1
π
D．平面 1 1 與平面 所成的二面角為6
3．（23-24 高一下·河北邯鄲·期中）如圖所示，在棱長為 2 的正方體 1 1 1 1中，M，N 分別為 1
1， 1 的中點，其中不正確的結論是（ ）
A．直線 MN 與 AC 所成的角為60° B．直線 AM 與 BN 是平行直線
C．二面角 的平面角的正切值為 2 D．點 C 與平面 MAB 的距離為 2
4．（23-24 高一下·天津·期中）如圖，邊長為 4 的正方形 所在平面與正三角形 所在平面互相垂直，
為 的中點．二面角 的正切值為 ．
5．（23-24 高一下·內蒙古興安盟·期末）如圖，在四棱錐 中，底面 是正方形， ⊥ 平面
，且 = = 2.
(1)求直線 與平面 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小.
題型 20 點、線、面距離問題（共 5小題）
平面向量線性運算的坐標表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量鄭線州性運·算期的中坐標）表示如圖，直三棱柱 1 1 1的體積為4， △ 1 的面積為2 2，則點
到平面 1 的距離為（ ）
A．4
B．3 2
C．2
D． 2
2．（23-24 高一下·福建廈門·期中）柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，
結構等價的特點．如圖是棱長均為 2 的柏拉圖多面體 PABCDQ，已知四邊形 ABCD 為正方形，O，E 分別為
PQ，CQ 的中點，則點 A 到平面 OEB 的距離為（ ）
A． 2 B
1 1
．1 C．2 D．4
3．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如圖，正方體 1 1 1 1的棱長為 1， 為 1的中點.下列說法正
確的是（ ）
A．直線 1與直線 是異面直線
B．在直線 1 1上存在點 ，使 ⊥ 平面 1
π
C．直線 1與平面 1 所成角是3
D．點 到平面 1 的距離是 22
4．（23-24 高一下·江蘇無錫·期中）已知平面 外兩點 A，B 到平面 的距離分別是 2 和 4，則 的中點 P 到
平面 的距離是 .
5．（23-24 高一下·云南麗江·期中）在三棱錐 中， = = = ， = .
(1)求證： ⊥ ；
(2)若 = 3， = 2，求點 到平面 的距離.

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