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(共33張PPT)
微專題二　反比例函數中的面積
模型一　一點一垂線
[模型展示]
√
√
√
模型二　一點兩垂線
[模型展示]


特點：平行四邊形的一個頂點在雙曲線上，一邊與坐標軸平行，其對邊在坐標軸上．
結論2：由k的幾何意義得S陰影＝|k|．
√
C　[∵AB⊥x軸于點B，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
過點A作AM⊥y軸，
∴S矩形ABOM＝S平行四邊形ABCD＝|k|＝0.5，
∵反比例函數圖象在第二象限，
∴k＝－0.5．
故選C．]
√
B　[∵矩形OABC的面積為3，∴|k|＝3，
根據題干圖可知，k＜0，∴k＝－3．故選B．]
√
B　[如圖，延長CD，BA交y軸于點E，F，延長DA，CB交x軸于點M，N，
由k的幾何意義得，S矩形DEOM＝S矩形BFON，
∴S矩形ADEF＝S矩形ABNM，
∵AB＝AD，∴AF＝AM，
∵點D的坐標是(b，a)，
∴OM＝b＝AF＝AM，DM＝a＝BF，
∴DA＝BA＝a－b，
∵正方形ABCD的面積為4，
∴(a－b)2＝4，∴a－b＝2．故選B．]
模型三　兩點一垂線　
[模型展示]


特點：三角形的兩個頂點在雙曲線的兩個分支上，一邊過原點，一邊平行于坐標軸．
結論3：根據雙曲線的中心對稱性，結合k的幾何意義得S陰影＝|k|．
√
B　[由題意可知，△AOC的面積為1，
∵A，B關于原點O對稱，
∴△AOC與△BOC的面積相等，
∴S△ABC＝2S△AOC＝2．
故選B．]
√
模型四　兩點兩垂線　
[模型展示]



特點：(1)直角三角形的兩銳角頂點在雙曲線的兩個分支上，斜邊過原點，兩直角邊平行于坐標軸．
(2)平行四邊形的兩個對角頂點在雙曲線上，一條對角線在坐標軸上，另一條對角線過原點．
結論4：S陰影＝2|k|．
√
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2微專題二　反比例函數中的面積
模型一　一點一垂線
[模型展示]
特點：三角形的一個頂點在雙曲線上，另兩個頂點在坐標軸上，且有一邊平行于坐標軸．
結論1：①②由k的幾何意義得S三角形＝，③④⑤⑥⑦⑧根據同底等高的三角形面積相等得S三角形＝．
【典例1】　如圖，點A(－3，a)在反比例函數y＝－的圖象上，點B的坐標是(－3，0)，點C的坐標是(0，b)，則△ABC的面積是(　　)
A．30　　　　 B．3
C．60 D．6
B　[如圖，連接AO，
∵點A(－3，a)，點B(－3，0)，∴AB∥y軸，
∴S△ABC＝S△AOB＝×6＝3．
故選B．]
[跟蹤訓練]
1．如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數y＝(k為常數，k＞0，x＞0)的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為，則k的值(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[△AOB的面積為＝＝，
所以k＝．
故選A．]
2．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B在函數y＝(x>0)的圖象上，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，連接OA，OB交AC于點E，若AE＝CE，四邊形BECD的面積為3，則k的值為(　　)
A．6 B．9
C．12 D．15
C　[∵點A，B在反比例函數y＝的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥x軸，
∴S△AOC＝S△BOD＝k，
又∵S四邊形BECD＝S△BOD－S△EOC，S△AOE＝S△AOC－S△EOC，
∴S△AOE＝S四邊形BECD＝3，
∵AE＝CE，∴S△AOC＝2S△AOE＝2×3＝6，
∴k＝2S△AOC＝2×6＝12．
故選C．]
模型二　一點兩垂線
[模型展示]
特點：平行四邊形的一個頂點在雙曲線上，一邊與坐標軸平行，其對邊在坐標軸上．
結論2：由k的幾何意義得S陰影＝|k|．
【典例2】　如圖，點A為反比例函數y＝(k＜0，x＜0)的圖象上一點，AB⊥x軸于點B，點C是y軸正半軸上一點，連接BC，AD∥BC交y軸于點D，若S四邊形ABCD＝0.5，則k的值為(　　)
A．1　　　B．0.5　　　C．－0.5　　　D．－1
C　[∵AB⊥x軸于點B，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
過點A作AM⊥y軸，
∴S矩形ABOM＝S平行四邊形ABCD＝|k|＝0.5，
∵反比例函數圖象在第二象限，
∴k＝－0.5．
故選C．]
[跟蹤訓練]
1．已知反比例函數y＝的圖象如圖所示，若矩形OABC的面積為3，則k的值是(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6
B　[∵矩形OABC的面積為3，
∴|k|＝3，
根據題干圖可知，k＜0，
∴k＝－3．
故選B．]
2．如圖，已知正方形ABCD的面積為4，它的兩個頂點B，D是反比例函數y＝(k＞0，x＞0)的圖象上兩點．若點D的坐標是(b，a)，則a－b的值為(　　)
A．3 B．2
C．－3 D．－2
B　[如圖，延長CD，BA交y軸于點E，F，延長DA，CB交x軸于點M，N，
由k的幾何意義得，S矩形DEOM＝S矩形BFON，
∴S矩形ADEF＝S矩形ABNM，
∵AB＝AD，
∴AF＝AM，
∵點D的坐標是(b，a)，
∴OM＝b＝AF＝AM，DM＝a＝BF，
∴DA＝BA＝a－b，
∵正方形ABCD的面積為4，
∴(a－b)2＝4，
∴a－b＝2．
故選B．]
模型三　兩點一垂線　
[模型展示]
特點：三角形的兩個頂點在雙曲線的兩個分支上，一邊過原點，一邊平行于坐標軸．
結論3：根據雙曲線的中心對稱性，結合k的幾何意義得S陰影＝|k|．
【典例3】　如圖，A，B是反比例函數y＝的圖象上關于原點O對稱的任意兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，連接BC，則△ABC的面積為(　　)
A．1 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
B　[由題意可知，△AOC的面積為1，
∵A，B關于原點O對稱，
∴△AOC與△BOC的面積相等，
∴S△ABC＝2S△AOC＝2．
故選B．]
[跟蹤訓練]
如圖，△ABC的頂點A，B在反比例函數y＝(k≠0)的圖象上，且AC⊥y軸于點C，原點O在邊AB上，如果△ABC的面積等于4，則k的值為(　　)
A．4 B．－4
C．8 D．－8
B　[∵△ABC的頂點A，B在反比例函數y＝(k≠0)的圖象上，原點O在邊AB上，
∴OA＝OB．
∵AC⊥y軸，
∴S△AOC＝＝S△ABC＝2，
∴|k|＝4，
∵圖象在第二象限，
∴k＝－4．
故選B．]
模型四　兩點兩垂線　
[模型展示]
特點：(1)直角三角形的兩銳角頂點在雙曲線的兩個分支上，斜邊過原點，兩直角邊平行于坐標軸．
(2)平行四邊形的兩個對角頂點在雙曲線上，一條對角線在坐標軸上，另一條對角線過原點．
結論4：S陰影＝2|k|．
【典例4】　如圖，在 ABCD中，AB∥x軸，點B，D在反比例函數y＝(k≠0)的圖象上，若 ABCD的面積是8，則k的值是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[連接OB．
∵ ABCD的面積是8，
∴S△ABC＝×S ABCD＝×8＝4，AB＝CD，AB∥CD，
∴點B，D橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數，
又∵AB∥x軸，AB∥CD，
∴OA＝OC，
∴S△AOB＝S△ABC＝2，
∴k＝2S△AOB＝S△ABC＝4．
故選B．]
[跟蹤訓練]
1．如圖，矩形ABCD的中心位于直角坐標系的坐標原點O，其面積為8，反比例函數y＝的圖象經過點D，則m的值為(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
A　[∵矩形的中心為直角坐標系的原點O，
矩形ABCD的面積是8，
設D(x，y)，則4xy＝8，
即xy＝2，
又反比例函數的表達式為y＝，
∴m＝2．
故選A．]
2．如圖，過原點O的直線交反比例函數y＝的圖象于A，B兩點，分別過A，B兩點作x軸、y軸的垂線，相交于C點，已知△ABC的面積等于4，則k的值為(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
B　[由題意可知，A與B關于原點對稱，且k＜0，
故可設A(a，b)，B(－a，－b)，
設BC與y軸交于點D，AC與x軸交于點E，
∴△AOE與△BOD的面積都是－，
∵矩形OECD的面積為：|ab|＝－k，
△ABC的面積是4，
∴2×－k＝4，∴k＝－2．
故選B．]
模型五　與兩個雙曲線有關的面積(雙k模型)
[模型展示]
結論5：①S△ABC＝S△OBC＝；②S△AOB＝．
【典例5】　在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y＝(x<0)和反比例函數y＝(x<0)的圖象如圖所示，一條垂直于x軸的直線分別交這兩個反比例函數的圖象于A，B兩點，則△AOB的面積為(　　)
A． B．
C．m－n D．－m＋n
B　[根據兩個反比例函數圖象可知，m＜0，n＞0，
由反比例函數k值幾何意義可得：S△AOB＝|m|＋|n|＝．
故選B．]
[跟蹤訓練]
1．如圖，點A在反比例函數y＝(x<0)的圖象上，點B在反比例函數y＝－(x>0)的圖象上，連接AB，AB與y軸交于點C，且AB∥x軸，D是x軸正半軸上一點，連接AD，BD，則△ABD的面積為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
B　[如圖，過A作AE⊥x軸交x軸于點E，過B作BF⊥x軸交x軸于點F，
∵點A在反比例函數y＝(x<0)的圖象上，點B在反比例函數y＝－(x>0)的圖象上，
∴S矩形ACOE＝2，S矩形OCBF＝4，
則S矩形ABFE＝6，
∴AB·AE＝6，
∴S△ABD＝AB·AE＝3．
故選B．]
2．如圖，點A是函數y＝－(x<0)的圖象上一點，AC⊥x軸于點C，與函數y＝－(x<0)的圖象交于點B，連接OA，OB，則△OAB的面積為________．
2　[∵點A在反比例函數y＝－(x＜0)的圖象上，且AC⊥x軸，
∴S△ACO＝＝3．
同理可得，
S△BCO＝＝1，
∴S△OAB＝S△ACO－S△BCO＝3－1＝2．]
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