資源簡介

第三節　與圓有關的計算
考點一　弧長和扇形面積的有關計算
1．弧長的有關公式
(1)圓周長公式：C＝__________．
(2)弧長公式：l＝__________．
注意：(1)在弧長的計算公式中，n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不帶單位．
(2)若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
(3)題設未標明精確度的，可以將弧長用含π的式子表示．
2．扇形的定義及有關公式
(1)圓面積公式：S＝__________．
(2)扇形：由組成圓心角的兩條__________和圓心角所對的__________所圍成的圖形叫做扇形．
(3)扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為r的扇形面積為S，則S扇形＝__________或S扇形＝lr．(其中l為扇形的弧長)
考點二　圓錐的有關概念和公式
(1)圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．
(2)如圖，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個圓錐的側面展開圖中扇形的半徑為母線長l，扇形的弧長為底面圓的周長__________．因此圓錐的側面積為S側＝__________．
圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積，全面積為S全＝__________．
考點三　正多邊形和圓的有關概念
(1)正多邊形與圓的關系
把一個圓分成n(n是大于2的自然數)等份，順次連接n個分點所得的多邊形是這個圓的__________，這個圓叫做這個正n邊形的__________．
(2)正多邊形的有關概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：正多邊形的內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．
1．將一個正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角的大小不可能是(　　)
A．60°　　B．90°　　C．180°　　D．360°
2．用一張半圓形鐵皮，圍成一個底面半徑為4 cm的圓錐形工件的側面(接縫忽略不計)，則圓錐的母線長為(　　)
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
3．若扇形半徑為4 cm，面積為8 cm2，則它的弧長為________cm．
4．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，則陰影部分的面積為________(結果保留π)．
5．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，則陰影部分的面積是________cm2．(結果用π表示)
命題點1　弧長的有關計算
【典例1】　(2024·泰山模擬)某品牌掃地機器人的形狀是“萊洛三角形”，它的三“邊”分別是以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑的三段圓弧．若該等邊三角形的邊長為3，則這個“萊洛三角形”的周長是________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[對點演練]
1．(2024·貴州)如圖，在扇形紙扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，則的長為(　　)
A．30π　　　B．25π　　　C．20π　　　D．10π
2．(2024·安徽)若扇形AOB的半徑為6，∠AOB＝120°，則的長為(　　)
A．2π　　　B．3π　　　C．4π　　　D．6π
命題點2　扇形面積的有關計算
【典例2】　(2021·泰安)若△ABC為直角三角形，AC＝BC＝4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求陰影面積常用的方法：①公式法；②和差法；③割補法．求陰影面積的主要思路是將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積．在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化法將不規則圖形變為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．
[對點演練]
1．(2023·泰安)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，則陰影部分的面積是(　　)
A．π B．π
C．π D．π
2．(2022·泰安)如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點E，以點E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點F，則陰影部分的面積為(　　)
A．6π－9 B．12π－9
C．6π－ D．12π－
3．(2020·泰安)如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是________．
命題點3　圓錐的有關計算
【典例3】　如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
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[對點演練]
1．(典例3變式)已知圓錐的母線長為8 cm，底面圓的直徑為6 cm，則這個圓錐的側面積是(　　)
A．96π cm2 B．48π cm2
C．33π cm2 D．24π cm2
2．(2024·泰山二模)如圖是一條長為10π的弧，若該弧所在的扇形是高為12的圓錐側面展開圖，則該圓錐的母線長AB為________．
命題點4　正多邊形和圓的有關計算
【典例4】　(2024·濟寧)如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則它的內切圓半徑為(　　)
A．1 B．2
C． D．
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　正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑、邊長、邊心距、中心角之間的計算轉化為解直角三角形．
[對點演練]
1．(2023·泰山期中)如圖，正六邊形螺帽的邊長是2 cm，這個扳手的開口a的值應是(　　)
A．2 cm B． cm
C． cm D．1 cm
2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4 cm，以一個頂點A為圓心，AE為半徑作一個扇形，則圖中陰影扇形的面積為________cm2．
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第三節　與圓有關的計算
鏈接教材 基礎過關
考點一　弧長和扇形面積的有關計算
1．弧長的有關公式
(1)圓周長公式：C＝___．
(2)弧長公式：l＝______．
2πr

注意：(1)在弧長的計算公式中，n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不帶單位．
(2)若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
(3)題設未標明精確度的，可以將弧長用含π的式子表示．
πr2
半徑
弧

考點二　圓錐的有關概念和公式
(1)圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．
(2)如圖，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，
那么這個圓錐的側面展開圖中扇形的半徑為母線
長l，扇形的弧長為底面圓的周長____．因此圓
錐的側面積為S側＝____．
圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積，全面積為S全＝________．
2πr
πrl
πr2＋πrl
考點三　正多邊形和圓的有關概念
(1)正多邊形與圓的關系
把一個圓分成n(n是大于2的自然數)等份，順次連接n個分點所得的多邊形是這個圓的______________，這個圓叫做這個正n邊形的______．
圓內接正n邊形
外接圓
(2)正多邊形的有關概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：正多邊形的內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．
1．將一個正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角的大小不可能是(　　)
A．60°　　B．90°　　C．180°　　D．360°
√
2．用一張半圓形鐵皮，圍成一個底面半徑為4 cm的圓錐形工件的側面(接縫忽略不計)，則圓錐的母線長為(　　)
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
√
B　[設半圓形鐵皮的半徑為r cm，
根據題意得πr＝2π×4，
解得r＝8，所以圍成的圓錐的母線長為8 cm．故選B．]
3．若扇形半徑為4 cm，面積為8 cm2，則它的弧長為________cm．
4
4．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，則陰影部分的面積為________(結果保留π)．

5．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，則陰影部分的面積是________cm2．(結果用π表示)
3 000π
考點突破 對點演練
命題點1　弧長的有關計算
【典例1】　(2024·泰山模擬)某品牌掃地機器人的形狀是“萊洛三角形”，它的三“邊”分別是以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑的三段圓弧．若該等邊三角形的邊長為3，則這個“萊洛三角形”的周長是________．
3π
√
√
命題點2　扇形面積的有關計算
【典例2】　(2021·泰安)若△ABC為直角三角形，AC＝BC＝4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為________．
4
方法總結　求陰影面積常用的方法：①公式法；②和差法；③割補法．求陰影面積的主要思路是將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積．在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化法將不規則圖形變為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．
√
√
3．(2020·泰安)如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是____________．
√
命題點3　圓錐的有關計算
【典例3】　如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
√
[對點演練]
1．(典例3變式)已知圓錐的母線長為8 cm，底面圓的直徑為6 cm，則這個圓錐的側面積是(　　)
A．96π cm2 B．48π cm2
C．33π cm2 D．24π cm2
√
2．(2024·泰山二模)如圖是一條長為10π的弧，若該弧所在的扇形是高為12的圓錐側面展開圖，則該圓錐的母線長AB為________．
13
√
方法總結　正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑、邊長、邊心距、中心角之間的計算轉化為解直角三角形．
√
2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4 cm，以一個頂點A為圓心，AE為半徑作一個扇形，則圖中陰影扇形的面積為________cm2．
8π
課時分層評價卷(二十四)　與圓有關的計算
題號
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2．在數學跨學科主題活動課上，芳芳用半徑為15 cm，圓心角為120°的扇形紙板做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示．在不考慮接縫的情況下，這個圓錐形生日帽的底面圓半徑是(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
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7．(2024·新泰期中)已知點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，半徑AO＝2，則扇形COD的面積為________．

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8．(人教版九上例題)如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面積 (結果保留小數點后兩位)．
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9．[易錯題](2024·泰山模擬)如圖是一個機器零件的三視圖，根據標注的尺寸，這個零件的全面積(單位：mm2)是(　　)
A．24π
B．21π
C．20π
D．16π
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A　[根據其三視圖可以判斷該幾何體為圓錐，且底面半徑為3，高為4，∴母線長為5，
∴其全面積為π×32＋π×3×5＝24π．
故選A．]
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12．(2024·泰山一模)如圖所示，已知圓O的半徑OA＝6，以OA為邊分別作正五邊形OABCD和正六邊形OAEFGH，則圖中陰影部分的面積為________(結果保留π)．
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4 039π
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14．如圖，在單位長度為1的正方形網格中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A，B，C，請在網格圖中進行下列操作：
(1)利用網格作出該圓弧所在圓的圓心D點的位置，則D點的坐標為________；
(2)求出弓形ABC的面積．
(2，1)
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15．[跨學科](2024·廣東)綜合與實踐
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖1所示：
①一張直徑為10 cm的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線長均為7 cm的圓錐形過濾漏斗．
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【實踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示的漏斗中．
【實踐探索】
(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內壁(忽略漏斗管口處)？用你所學的數學知識說明．
(2)當濾紙緊貼漏斗內壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積．(結果保留π)
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第三節　與圓有關的計算
考點一　弧長和扇形面積的有關計算
1．弧長的有關公式
(1)圓周長公式：C＝2πr．
(2)弧長公式：l＝．
注意：(1)在弧長的計算公式中，n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不帶單位．
(2)若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
(3)題設未標明精確度的，可以將弧長用含π的式子表示．
2．扇形的定義及有關公式
(1)圓面積公式：S＝πr2．
(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．
(3)扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為r的扇形面積為S，則S扇形＝或S扇形＝lr．(其中l為扇形的弧長)
考點二　圓錐的有關概念和公式
(1)圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．
(2)如圖，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個圓錐的側面展開圖中扇形的半徑為母線長l，扇形的弧長為底面圓的周長2πr．因此圓錐的側面積為S側＝πrl．
圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積，全面積為S全＝πr2＋πrl．
考點三　正多邊形和圓的有關概念
(1)正多邊形與圓的關系
把一個圓分成n(n是大于2的自然數)等份，順次連接n個分點所得的多邊形是這個圓的圓內接正n邊形，這個圓叫做這個正n邊形的外接圓．
(2)正多邊形的有關概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：正多邊形的內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．
1．將一個正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角的大小不可能是(　　)
A．60°　　B．90°　　C．180°　　D．360°
B　[由于正六邊形的中心角為＝60°，所以正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角可以為60°或60°的整數倍，即可以為60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°．故選B．]
2．用一張半圓形鐵皮，圍成一個底面半徑為4 cm的圓錐形工件的側面(接縫忽略不計)，則圓錐的母線長為(　　)
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
B　[設半圓形鐵皮的半徑為r cm，
根據題意得πr＝2π×4，
解得r＝8，所以圍成的圓錐的母線長為8 cm．故選B．]
3．若扇形半徑為4 cm，面積為8 cm2，則它的弧長為________cm．
4　[設弧長是l，則×4l＝8，
解得l＝4．
故答案為4．]
4．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，則陰影部分的面積為________(結果保留π)．
　[∠BAE＝＝108°，
∴陰影部分的面積為＝．
故答案為．]
5．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，則陰影部分的面積是________cm2．(結果用π表示)
3 000π　[S陰影＝S扇形AOD－S扇形BOC
＝
＝
＝3 000π(cm2)，
故答案為3 000π．]
命題點1　弧長的有關計算
【典例1】　(2024·泰山模擬)某品牌掃地機器人的形狀是“萊洛三角形”，它的三“邊”分別是以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑的三段圓弧．若該等邊三角形的邊長為3，則這個“萊洛三角形”的周長是________．
3π　[如圖，△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴的長＝的長＝的長＝＝π，
∴這個“萊洛三角形”的周長是3π．]
[對點演練]
1．(2024·貴州)如圖，在扇形紙扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，則的長為(　　)
A．30π　　　B．25π　　　C．20π　　　D．10π
C　[因為∠AOB＝150°，OA＝24，
所以的長為＝20π．
故選C．]
2．(2024·安徽)若扇形AOB的半徑為6，∠AOB＝120°，則的長為(　　)
A．2π　　　B．3π　　　C．4π　　　D．6π
C　[的長＝＝＝4π．
故選C．]
命題點2　扇形面積的有關計算
【典例2】　(2021·泰安)若△ABC為直角三角形，AC＝BC＝4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為________．
4　[設AB交半圓于點D，連接CD．
∵BC是直徑，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB．
又∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CD垂直平分斜邊AB，
∴CD＝BD＝AD，
∴＝，
∴S弓形BD＝S弓形CD，
∴S陰影＝SRt△ABC－SRt△BCD．
∵△ABC為等腰直角三角形，CD是斜邊AB的垂直平分線，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD．
又SRt△ABC＝×4×4＝8，
∴S陰影＝4．]
　求陰影面積常用的方法：①公式法；②和差法；③割補法．求陰影面積的主要思路是將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積．在求不規則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化法將不規則圖形變為規則圖形，再利用規則圖形的公式求解．
[對點演練]
1．(2023·泰安)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，則陰影部分的面積是(　　)
A．π B．π
C．π D．π
C　[∵OA＝OC，∠CAO＝40°，
∴∠CAO＝∠ACO＝40°，
∴∠AOC＝180°－40°－40°＝100°，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∴∠BOC＝360°－100°－140°＝120°，
∴陰影部分的面積是＝π．
故選C．]
2．(2022·泰安)如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點E，以點E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點F，則陰影部分的面積為(　　)
A．6π－9 B．12π－9
C．6π－ D．12π－
B　[過點E作EG⊥DF交DF于點G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝3，
∴DF＝6，
陰影部分的面積＝×6×3＝12π－9．
故選B．]
3．(2020·泰安)如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是________．
－8　[連接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AB＝8，
∴⊙O的半徑為8，
∵AD∥OB，
∴∠DAO＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB，∴＝，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝OD＝OB，
∴四邊形ABOD是菱形，
∴OD∥AB，四邊形ABOD是中心對稱圖形，
∴∠DOE＝∠ABO＝60°，
∴S陰影＝S扇形AOE－S△COD＝×8××8＝－8．]
【教師備選資源】
(2024·泰安)兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O′的一個直徑端點與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是(　　)
A．π－ B．π
C．π－ D．π－
A　[如圖，連接OA，AO′，作AB⊥OO′于點B，
∵OA＝OO′＝AO′＝2，
∴△AOO′是等邊三角形，
∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1，
∴AB＝＝，
∴S弓形AO′＝S扇形AOO′－S△AOO′
＝－2×
＝，
∴S陰影＝S弓形AO′＋S扇形AO′O
＝
＝．
故選A．]
命題點3　圓錐的有關計算
【典例3】　如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
A　[設底面半徑為R，則底面周長＝2πR，圓錐的側面展開圖的面積＝×2πR×5＝15π，
∴R＝3．故選A．]
[對點演練]
1．(典例3變式)已知圓錐的母線長為8 cm，底面圓的直徑為6 cm，則這個圓錐的側面積是(　　)
A．96π cm2 B．48π cm2
C．33π cm2 D．24π cm2
D　[∵底面圓的直徑為6 cm，
∴底面圓的半徑為3 cm，
∴圓錐的側面積＝×8×2π×3＝24π (cm2)．
故選D．]
2．(2024·泰山二模)如圖是一條長為10π的弧，若該弧所在的扇形是高為12的圓錐側面展開圖，則該圓錐的母線長AB為________．
13　[由題知，
令OB＝x，
則2πx＝10π，
解得x＝5，
即OB＝5．
在Rt△AOB中，
AB＝＝13．
故答案為13．]
命題點4　正多邊形和圓的有關計算
【典例4】　(2024·濟寧)如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則它的內切圓半徑為(　　)
A．1 B．2
C． D．
D　[如圖，連接OA，OB，過點O作OM⊥AB，垂足為點M，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，點O是它的中心，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝1，
在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝1，
∴OM＝＝，
即它的內切圓半徑為．
故選D．]
　正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑、邊長、邊心距、中心角之間的計算轉化為解直角三角形．
[對點演練]
1．(2023·泰山期中)如圖，正六邊形螺帽的邊長是2 cm，這個扳手的開口a的值應是(　　)
A．2 cm B． cm
C． cm D．1 cm
A　[連接AC，過B作BD⊥AC于D．
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝CD．
∵此多邊形為正六邊形，
∴∠ABC＝＝120°，
∴∠ABD＝×120°＝60°，
∴∠BAD＝30°，AD＝AB·cos 30°＝2×＝(cm)，
∴a＝2(cm)．
故選A．]
2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4 cm，以一個頂點A為圓心，AE為半徑作一個扇形，則圖中陰影扇形的面積為________cm2．
8π 　[∵正六邊形ABCDEF的邊長為4 cm，
∴AB＝BC＝4 cm，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180°，
∴∠BAC＝(180°－∠ABC)＝×(180°－120°)＝30°，
同理∠FAE＝30°，∴∠CAE＝60°，
過B作BH⊥AC于點H，
∴AH＝CH，BH＝AB＝×4＝2(cm)，
∴AC＝2AH＝2＝4(cm)，
∴圖中陰影扇形的面積為＝8π．
故答案為8π．]
課時分層評價卷(二十四)　與圓有關的計算
(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共70分)
1．如圖，某廠生產橫截面直徑為7 cm的圓柱形罐頭盒，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭盒側面所形成的弧的度數為90°，則“蘑菇罐頭”字樣的長度為(　　)
A． cm　　B． cm　　C． cm　　D．7π cm
B　[∵字樣在罐頭盒側面所形成的弧的度數為90°，
∴此弧所對的圓心角為90°，
由題意可得，R＝ cm，
則“蘑菇罐頭”字樣的長度為＝(cm)．
故選B．]
2．在數學跨學科主題活動課上，芳芳用半徑為15 cm，圓心角為120°的扇形紙板做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示．在不考慮接縫的情況下，這個圓錐形生日帽的底面圓半徑是(　　)
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
C　[半徑為15 cm、圓心角為120°的扇形弧長是＝10π (cm)，
設圓錐的底面半徑是r cm，
則2πr＝10π，
解得r＝5．
故選C．]
3．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，點P為上一點，則∠APC的度數為(　　)
A．36° B．60°
C．65° 　　　　 D．72°
D　[如圖，連接OA，OC，
∵ABCDE是正五邊形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°．
故選D．]
4．(2024·岱岳區一模)如圖，⊙A的圓心為(4，0)，半徑為2，OP切⊙A于P點，則陰影部分的面積為(　　)
A．2 B．2
C．－2 D．2
A　[連接AP，則∠OPA＝90°．
∵AP＝2，OA＝4，
∴OP＝2，∠OAP＝60°，
∴S陰影＝S△OAP－S扇形＝×2×2－＝2．
故選A．]
5．(2024·寧陽期末)如圖，AB是圓錐的母線，BC為底面直徑，已知BC＝10 cm，圓錐的側面積為75π cm2，則sin ∠ABC的值為(　　)
A． B．
C． D．
A　[圓錐的底面周長為π×10＝10π(cm)，
∴圓錐的側面展開圖扇形的弧長為10π cm，
∴×10π×AB＝75π，
解得AB＝15，
由勾股定理，得AO＝＝＝10(cm)，
∴sin ∠ABC＝＝＝．
故選A．]
6． [跨學科]大自然中有許多小動物都是“小數學家”，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，如圖所示，若邊心距OM＝ mm，則這個正六邊形的面積是________mm2．
6　[連接OB，OC，如圖所示：
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC＝＝60°，OB＝OC，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OB＝BC＝OC，
∵OM⊥BC，
∴BM＝MC＝BC，∠BOM＝∠BOC＝30°，
∴BM＝BO，
根據勾股定理得，BO2－BM2＝OM2，
即BO2－＝()2，
解得BO＝2(負值舍去)，
∴BC＝BO＝2 mm，
∴S△BOC＝BC·OM＝×2×＝(mm2)，
∴S六邊形ABCDEF＝6S△BOC＝6 (mm2)．
故答案為6．]
7．(2024·新泰期中)已知點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，半徑AO＝2，則扇形COD的面積為________．
　[∵點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，
∴＝＝，
∴∠COD＝60°，
∴扇形COD的面積為＝．
故答案為．]
8．(人教版九上例題)如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面積 (結果保留小數點后兩位)．
[解]　如圖，連接OA，OB，作弦AB的垂直平分線，垂足為D，交于點C，連接AC．
∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，
∴ OD＝OC － DC＝0.3(m)．
∴ OD＝DC．
又AD⊥DC，
∴AD是線段OC的垂直平分線．
∴AC＝AO＝OC．
從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．
在Rt△AOD中，OA＝0.6 m，OD＝0.3 m，
∴AD＝＝ m．
∴AB＝2AD＝ m．
∴截面上有水部分的面積S＝S扇形AOB －SΔOAB
＝×0.62－AB·OD
＝0.12π－×0.3≈0.22(m2)．
9．[易錯題](2024·泰山模擬)如圖是一個機器零件的三視圖，根據標注的尺寸，這個零件的全面積(單位：mm2)是(　　)
A．24π B．21π
C．20π D．16π
A　[根據其三視圖可以判斷該幾何體為圓錐，且底面半徑為3，高為4，∴母線長為5，
∴其全面積為π×32＋π×3×5＝24π．
故選A．]
10．如圖，將矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉得到矩形AEFG，點B的對應點E落在邊CD上，且DE＝EF，若AD＝3，則的長為(　　)
A．π B．π
C．π D．π
A　[
連接AC，AF，
由旋轉的性質可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，
∴∠EAB＝90°－45°＝45°，即旋轉角為45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝9，
∴的長為＝π．
故選A．]
11．(2024·肥城一模)如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，以B為圓心、BC長為半徑畫弧AC，點P為菱形內一點，連接PA，PB，PC．當△BPC為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為(　　)
A．π－2＋2 B．π－2－2
C．8π D．8π－6－6
B　[連接AC，延長AP，交BC于點E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝4，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝2，
∵△BPC為等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝2，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝2，
∴AP＝2－2，
∴S陰影＝S扇形ABC－S△PAB－S△PBC＝×(2－2)×2－×4×2＝π－2－2．
故選B．]
12．(2024·泰山一模)如圖所示，已知圓O的半徑OA＝6，以OA為邊分別作正五邊形OABCD和正六邊形OAEFGH，則圖中陰影部分的面積為________(結果保留π)．
π　[由題意得，
∠AOD＝＝108°，
∠AOH＝＝120°，
∴∠DOH＝∠AOH－∠AOD＝120°－108°＝12°，
∴陰影部分的面積為＝π．
故答案為π．]
13．如圖，四邊形ABCD是正方形，曲線DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧組成的．其中的圓心為點A，半徑為AD；的圓心為點B，半徑為BA1；的圓心為點C，半徑為CB1；的圓心為點D，半徑為DC1，…的圓心依次按點A，B，C，D循環．若正方形ABCD的邊長為1，則的長是________．
4 039π　[由題圖可知，曲線DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑＋1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn－1＝AAn＝4(n－1)＋1，BAn＝BBn＝4(n－1)＋2，
故的半徑為BA2 020＝BB2 020＝4(2 020－1)＋2＝的長為×8 078π＝4 039π．
故答案為4 039π．]
14．如圖，在單位長度為1的正方形網格中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A，B，C，請在網格圖中進行下列操作：
(1)利用網格作出該圓弧所在圓的圓心D點的位置，則D點的坐標為________；
(2)求出弓形ABC的面積．
[解]　(1)①連接AB，BC，
②分別作AB，BC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點D，
③點D就是所求的圓心．點D的坐標為D(2，1)．
故答案為D(2，1)．
(2)連接AD，AC，DC，
∵正方形網格單位長度為1，
∴AD＝，DC＝，AC＝，
∵AD2＋DC2＝13＋13＝26＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
S弓形＝S扇形ADC－S△ADC＝×13＝．
15．[跨學科](2024·廣東)綜合與實踐
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖1所示：
①一張直徑為10 cm的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線長均為7 cm的圓錐形過濾漏斗．
【實踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示的漏斗中．
【實踐探索】
(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內壁(忽略漏斗管口處)？用你所學的數學知識說明．
(2)當濾紙緊貼漏斗內壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積．(結果保留π)
[解]　(1)濾紙能緊貼此漏斗內壁，理由如下，
法一：如圖作出示意圖，由題意知，AB＝AC＝BC＝7 cm，
折疊后CD＝CE＝×10＝5(cm)，
∵底面周長為×10π＝5π(cm)，
∴DE·π＝5π，
∴DE＝5 (cm)，
∴＝＝，
∴△CDE∽△CAB，
∴濾紙能緊貼此漏斗內壁．
法二：由2πr＝，得＝，
圖1中，n1＝90°×2＝180°，
圖2中，＝＝，
∴n2＝180°，
∵n1＝n2，
∴濾紙能緊貼此漏斗內壁．
(2)由(1)知CD＝DE＝CE＝5 cm，
∴∠CDE＝60°，
過C作CF⊥DE于點F，則DF＝DE＝ cm，
在Rt△CDF中，CF＝＝ cm，
∴V＝π·＝π(cm3)．
∴圓錐形的體積是π(cm3)．
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