資源簡介

第一節(jié)　平面直角坐標系及函數初步
考點一　平面直角坐標系
1．在平面內，兩條互相________且有公共________的數軸組成平面直角坐標系．
2．各象限點的坐標的符號特征：第一象限(＋，＋)；第二象限________；第三象限________；第四象限________．
3．坐標軸上點的特征：x軸上的點，________為0；y軸上的點，________為0；原點的坐標為________．
4．成對稱的點的坐標特征：
(1)關于x軸對稱的兩個點的坐標，橫坐標________，縱坐標________．
(2)關于y軸對稱的兩個點的坐標，縱坐標________，橫坐標________．
(3)關于原點對稱的兩個點的坐標，橫坐標________，縱坐標________．
考點二　函數及有關概念
1．函數的定義：一般的，如果在某個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有________的值與它對應，那么我們就稱y是x的函數，其中x是________，y是因變量．
2．函數的三種表示方法：________、________和________．
考點三　函數的圖象
1．畫函數圖象的一般步驟：________、________、________．
2．分析實際問題判斷函數圖象的方法
(1)找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找對應點；
(2)找特殊點：即交點或轉折點，說明圖象在此點處將發(fā)生變化；
(3)判斷圖象趨勢：判斷出函數的增減性，圖象的傾斜方向．
3．以幾何圖形(動點)為背景判斷函數圖象的方法
設時間為t(或線段長為x)，找因變量與t(或x)之間存在的函數關系，用含t(或x)的式子表示，再找相應的函數圖象．要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍．
1．(魯教版七上P126隨堂練習T1改編)已知點P的坐標為(－2，3)，則點P所在的象限為(　　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐標系中，第四象限的點P到x軸的距離為3，到y軸的距離為5，則點P的坐標為(　　)
A．(－3，5) B．(－5，3)　
C．(5，－3) D．(3，－5)
3．下圖中，y不是x的函數的是(　　)
A． B．
C． D．
4．(魯教版七上P145想一想改編)函數y＝中自變量x的取值范圍是________．
命題點1　平面直角坐標系中點的坐標特征
【典例1】　(2024·濱州)若點P(1－2a，a)在第二象限，那么a的取值范圍是(　　)
A．a>　　　　　 B．a<
C．0[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解此類題的關鍵是掌握平面直角坐標系內四個象限及兩坐標軸上點的坐標特征，能根據坐標特征列方程或不等式，從而求得有關字母的取值或取值范圍．
【典例2】　(2023·泰安)已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，……都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2 023的坐標是________．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[對點演練]
1．(2024·廣西)如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為(2，1)，則點Q的坐標為(　　)
A．(3，0)
B．(0，2)
C．(3，2)
D．(1，2)
2．[規(guī)律探究題](2024·黑龍江綏化)如圖，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，－)，…，依此規(guī)律，則點A2 024的坐標為________．
命題點2　函數自變量的取值范圍
【典例3】　(2024·黑龍江齊齊哈爾)在函數y＝中，自變量x的取值范圍是______________________．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
表達式的類型 自變量的取值范圍
整式 全體實數
分式 使分母不為零
二次根式 使被開方數為非負數
零指數冪或負指數冪 使底數不為零
由整式、分式或二次根式等綜合得到的代數式 使它們均有意義
[對點演練]
1．(2024·四川內江)在函數y＝中，自變量x的取值范圍是 ________．
2．(滬科版八上例題)求下列函數中自變量x的取值范圍：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命題點3　函數圖象的分析與判斷
【典例4】　(2024·江西)將常溫中的溫度計插入一杯60 ℃的熱水(恒溫)中，溫度計的讀數y(℃)與時間x(min)的關系用圖象可近似表示為(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[對點演練]
1．(2024·四川廣安)向如圖所示的空容器內勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容器注滿，在注水過程中，設容器內底部所受水的壓強為y(單位：帕)，時間為x(單位：秒)，則y關于x的函數圖象大致為(　　)
A． B．
C． D．
2．[跨學科](2024·青海)化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發(fā)生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B．未加入絮凝劑時，凈水率為0
C．絮凝劑的體積每增加0.1 mL，凈水率的增加量相等
D．加入絮凝劑的體積是0.2 mL時，凈水率達到76.54%
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第三章　函數
第一節(jié)　平面直角坐標系及函數初步
第三章　函數
鏈接教材 基礎過關
考點一　平面直角坐標系
1．在平面內，兩條互相____且有公共____的數軸組成平面直角坐標系．
2．各象限點的坐標的符號特征：第一象限(＋，＋)；第二象限__________；第三象限__________；第四象限__________．
3．坐標軸上點的特征：x軸上的點，______為0；y軸上的點，______為0；原點的坐標為_______．
垂直
原點
(－，＋)
(－，－)
(＋，－)
縱坐標
橫坐標
(0，0)
4．成對稱的點的坐標特征：
(1)關于x軸對稱的兩個點的坐標，橫坐標_______，縱坐標__________．
(2)關于y軸對稱的兩個點的坐標，縱坐標________，橫坐標__________．
(3)關于原點對稱的兩個點的坐標，橫坐標_____________，縱坐標__________．
相同
互為相反數
相同
互為相反數
互為相反數
互為相反數
考點二　函數及有關概念
1．函數的定義：一般的，如果在某個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有____的值與它對應，那么我們就稱y是x的函數，其中x是______，y是因變量．
2．函數的三種表示方法：______、________和______．
唯一
自變量
列表法
關系式法
圖象法
考點三　函數的圖象
1．畫函數圖象的一般步驟：____、____、____．
2．分析實際問題判斷函數圖象的方法
(1)找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找對應點；
(2)找特殊點：即交點或轉折點，說明圖象在此點處將發(fā)生變化；
(3)判斷圖象趨勢：判斷出函數的增減性，圖象的傾斜方向．
列表
描點
連線
3．以幾何圖形(動點)為背景判斷函數圖象的方法
設時間為t(或線段長為x)，找因變量與t(或x)之間存在的函數關系，用含t(或x)的式子表示，再找相應的函數圖象．要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍．
1．(魯教版七上P126隨堂練習T1改編)已知點P的坐標為(－2，3)，則點P所在的象限為(　　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
B　[∵點P的坐標為P(－2，3)，橫坐標小于0，縱坐標大于0，∴點P在第二象限．故選B．]
2．在平面直角坐標系中，第四象限的點P到x軸的距離為3，到y軸的距離為5，則點P的坐標為(　　)
A．(－3，5) B．(－5，3)　
C．(5，－3) D．(3，－5)
√
C　[∵第四象限的點P到x軸的距離是3，到y軸的距離是5，∴點P的橫坐標是5，縱坐標是－3，
∴點P的坐標為(5，－3)．
故選C．]
3．下圖中，y不是x的函數的是(　　)
√
D　[D中，對于x的每一個取值，y有兩個值，不符合函數的定義．故選D．]
x≤4且x≠3
考點突破 對點演練
√
歸納總結　解此類題的關鍵是掌握平面直角坐標系內四個象限及兩坐標軸上點的坐標特征，能根據坐標特征列方程或不等式，從而求得有關字母的取值或取值范圍．
【典例2】　(2023·泰安)已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，……都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2 023的坐標是_______________．
[對點演練]
1．(2024·廣西)如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為(2，1)，則點Q的坐標為(　　)
A．(3，0)
B．(0，2)
C．(3，2)
D．(1，2)
C　[由題意可得，點Q的坐標為(3，2)．]
√
x＞－3且x≠－2　[由題意，得3＋x＞0且x＋2≠0，解得x＞－3且x≠－2．]
x＞－3且x≠－2
歸納總結　
表達式的類型 自變量的取值范圍
整式 全體實數
分式 使分母不為零
二次根式 使被開方數為非負數
零指數冪或負指數冪 使底數不為零
由整式、分式或二次根式等綜合得到的代數式 使它們均有意義
x≠0　[分式的分母不為零．]
x≠0
[解]　(1)x為全體實數．
(2)x為全體實數．
(3)x≠2．
(4)x≥3．
命題點3　函數圖象的分析與判斷
【典例4】　(2024·江西)將常溫中的溫度計插入一杯60 ℃的熱水(恒溫)中，溫度計的讀數y(℃)與時間x(min)的關系用圖象可近似表示為(　　)
C　[溫度計的溫度升高到60度后溫度不再變化．]
√
[對點演練]
1．(2024·四川廣安)向如圖所示的空容器內勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容器注滿，在注水過程中，設容器內底部所受水的壓強為y(單位：帕)，時間為x(單位：秒)，則y關于x的函數圖象大致為(　　)
√
B　[因為根據圖象可知，底層圓柱的直徑較大，上層圓柱的直徑較小，所以注水過程中，水壓上升速度是先慢后快．故選B．]
2．[跨學科](2024·青海)化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發(fā)生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B．未加入絮凝劑時，凈水率為0
C．絮凝劑的體積每增加0.1 mL，凈水率的增加量相等
D．加入絮凝劑的體積是0.2 mL時，凈水率達到76.54%
√
D　[A．從圖象上可以看到，加入絮凝劑的體積在0.5 mL達到最大凈水率，之后凈水率開始降低，不符合題意，選項錯誤；
B．未加入絮凝劑時，凈水率為12.48%，故不符合題意，選項錯誤；
C．當絮凝劑的體積為0.3 mL時，凈水率增加量為84.60%－76.54%＝8.06%，絮凝劑的體積為0.4 mL時，凈水率增加量為86.02%－84.60%＝1.42%，故絮凝劑的體積每增加0.1 mL，凈水率的增加量不相等，不符合題意，選項錯誤；
D．根據圖象可得，加入絮凝劑的體積是0.2 mL時，凈水率達到76.54%，符合題意，選項正確．]
B　[在平面直角坐標系xOy中，點P(1，－4)關于原點對稱的點的坐標是(－1，4)．故選B．]
題號
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4
6
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9
10
11
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13
14
(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共50分)

1．(2024·四川成都)在平面直角坐標系xOy中，點P(1，－4)關于原點對稱的點的坐標是(　　)
A．(－1，－4)　　　 B．(－1，4)
C．(1，4) D．(1，－4)
課時分層評價卷(九)　平面直角坐標系及函數初步
√
題號
1
3
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√
題號
1
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3．(2024·貴州)為培養(yǎng)青少年的科學態(tài)度和科學思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團．小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創(chuàng)”“新”的坐標分別為(－2，0)，(0，0)，則“技”所在的象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
A　[如圖建立直角坐標系，則“技”在第一象限，故選A．]
4．(2024·四川涼山州)勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿．在注水過程中，容器內水面高度h隨時間t變化的大致圖象是(　　)
√
題號
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題號
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C　[因為根據圖象可知，物體的形狀為首先小然后變大最后又變小，
所以注水過程中水的高度變化是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢．故選C．]
題號
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題號
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A　[根據函數圖象可得A，B兩地之間的距離為20 km，兩車行駛了4小時，同時到達C地，如圖所示，在1－2小時，兩車同向運動，在第2小時，即點D時，兩者距離發(fā)生改變，此時乙車休息，E點的意義是兩車相遇，F點意義是乙車休息后再出發(fā)，
∴乙車休息了1小時，故D不正確；
題號
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x≠1
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7．(2024·江西)在平面直角坐標系中，將點A(1，1)向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，則點B的坐標為 ________．
(3，4)
(3，4)　[將點A(1，1)向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，
則點B的坐標為(1＋2，1＋3)，即(3，4)．]
題號
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(2，－1)(答案不唯一)　[等式兩邊都乘xy，得x＋y＝1，
令x＝2，則y＝－1，
∴“美好點”的坐標為(2，－1)(答案不唯一)．]
(2，－1)(答案不唯一)
題號
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9．[情境題](2024·浙江)小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累計里程s(米)與小明跑步時間t(分)的函數關系如圖所示．
時間 里程分段 速度檔 跑步里程
小明 16：00～16：50 不分段 A檔 4 000米
小麗 16：10～16：50 第一段 B檔 1 800米
第一次休息
第二段 B檔 1 200米
第二次休息
第三段 C檔 1 600米
題號
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(1)求A，B，C各檔速度(單位：米/分)；
(2)求小麗兩次休息時間的總和(單位：分)；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．
[解]　(1)由題意可知，A檔速度為4 000÷50＝80(米/分)，
則B檔速度為80＋40＝120(米/分)，
C檔速度為120＋40＝160(米/分)．
答：A，B，C各檔速度分別為80米/分、120米/分、160米/分．
題號
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(2)小麗第一段跑步時間為1 800÷120＝15(分)，
小麗第二段跑步時間為1 200÷120＝10(分)，
小麗第三段跑步時間為1 600÷160＝10(分)，
則小麗兩次休息時間的總和為50－10－15－10－10＝5(分)，
答：小麗兩次休息時間的總和為5分鐘．
(3)∵小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，
∴此時小麗在跑第三段，所跑時間為a－10－15－10－5＝a－40(分)，
∴80a＝3 000＋160(a－40)，∴a＝42.5．
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10．[數學文化](2024·甘肅)如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為(　　)
A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
√
題號
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B　[由題圖可知，“回文”的桌面的總面積為4x(x＋y)，其中每張長桌的桌面面積為xy，每張中桌的桌面面積為3x2，每張小桌的桌面面積為2x2．根據題意，得2xy＋2×3x2＋3×2x2＝4x(x＋y)，解得y＝4x．故選B．]
題號
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11．(2024·吉林)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(－4，0)，點C的坐標為(0，2)．以OA，OC為邊作矩形OABC，若將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°，得到矩形OA′B′C′，則點B′的坐標為(　　)
A．(－4，－2)
B．(－4，2)
C．(2，4)
D．(4，2)
√
題號
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14
C　[∵點A的坐標為(－4，0)，點C的坐標為(0，2)，
∴OA＝4，OC＝2．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝2，∠ABC＝90°．
∵將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，
∠OA′B′＝90°，∴A′B′⊥y軸，
∴點B′的坐標為(2，4)．故選C．]
題號
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2　[由作圖過程可知，OH為∠MON的平分線，
∴∠MOH＝45°，
∴2a－1＝a＋1，
解得a＝2．]
題號
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13．[規(guī)律探究題](2024·山東)任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標系xOy中，將點(x，y)中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標，其中x，y均為正整數．例如，點(6，3)經過第1次運算得到點(3，10)，經過第2次運算得到點(10，5)，以此類推．則點(1，4)經過2 024次運算后得到點 ________．
(2，1)
題號
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14
(2，1)　[點(1，4)經過1次運算后得到點為(1×3＋1，4÷2)，即為(4，2)，
經過2次運算后得到點為(4÷2，2÷2)，即為(2，1)，
經過3次運算后得到點為(2÷2，1×3＋1)，即為(1，4)，
……
發(fā)現規(guī)律：點(1，4)經過3次運算后還是(1，4)，
∵2 024÷3＝674……2，
∴點(1，4)經過2 024次運算后得到點(2，1)．]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
又∵－3＜a＜2，
∴a＝－2，－1，0，1，
當a＝－2時，2a－4＝－8，a＋3＝1，此時點P(－8，1)；
當a＝－1時，2a－4＝－6，a＋3＝2，此時點P(－6，2)；
當a＝0時，2a－4＝－4，a＋3＝3，此時點P(－4，3)；
當a＝1時，2a－4＝－2，a＋3＝4，此時點P(－2，4)．
∴“整點”P的個數是4個，
故選項B不正確；
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
根據“超整點”的定義得：當a＝1時，點P(－2，4)是“超整點”，
∴若點P為“超整點”，則點P的個數為1個，
故選項C正確；
當點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和為：|－2|＋|4|＝6，
故選項D不正確．故選C．]第一節(jié)　平面直角坐標系及函數初步
考點一　平面直角坐標系
1．在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系．
2．各象限點的坐標的符號特征：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)．
3．坐標軸上點的特征：x軸上的點，縱坐標為0；y軸上的點，橫坐標為0；原點的坐標為(0，0)．
4．成對稱的點的坐標特征：
(1)關于x軸對稱的兩個點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數．
(2)關于y軸對稱的兩個點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．
(3)關于原點對稱的兩個點的坐標，橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數．
考點二　函數及有關概念
1．函數的定義：一般的，如果在某個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們就稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量．
2．函數的三種表示方法：列表法、關系式法和圖象法．
考點三　函數的圖象
1．畫函數圖象的一般步驟：列表、描點、連線．
2．分析實際問題判斷函數圖象的方法
(1)找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找對應點；
(2)找特殊點：即交點或轉折點，說明圖象在此點處將發(fā)生變化；
(3)判斷圖象趨勢：判斷出函數的增減性，圖象的傾斜方向．
3．以幾何圖形(動點)為背景判斷函數圖象的方法
設時間為t(或線段長為x)，找因變量與t(或x)之間存在的函數關系，用含t(或x)的式子表示，再找相應的函數圖象．要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍．
1．(魯教版七上P126隨堂練習T1改編)已知點P的坐標為(－2，3)，則點P所在的象限為(　　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[∵點P的坐標為P(－2，3)，橫坐標小于0，縱坐標大于0，∴點P在第二象限．故選B．]
2．在平面直角坐標系中，第四象限的點P到x軸的距離為3，到y軸的距離為5，則點P的坐標為(　　)
A．(－3，5) B．(－5，3)　
C．(5，－3) D．(3，－5)
C　[∵第四象限的點P到x軸的距離是3，到y軸的距離是5，∴點P的橫坐標是5，縱坐標是－3，
∴點P的坐標為(5，－3)．
故選C．]
3．下圖中，y不是x的函數的是(　　)
A． B．
C． D．
D　[D中，對于x的每一個取值，y有兩個值，不符合函數的定義．故選D．]
4．(魯教版七上P145想一想改編)函數y＝中自變量x的取值范圍是________．
x≤4且x≠3　[根據題意，得
解得x≤4且x≠3．]
命題點1　平面直角坐標系中點的坐標特征
【典例1】　(2024·濱州)若點P(1－2a，a)在第二象限，那么a的取值范圍是(　　)
A．a>　　　　　 B．a<
C．0A　[∵點P(1－2a，a)在第二象限，
∴解得a>．故選A．]
　解此類題的關鍵是掌握平面直角坐標系內四個象限及兩坐標軸上點的坐標特征，能根據坐標特征列方程或不等式，從而求得有關字母的取值或取值范圍．
【典例2】　(2023·泰安)已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，……都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2 023的坐標是________．
(2 023，)　[如圖，過點A1，A4，A7，A10，A13，…，A2 023分別作x軸的垂線，
∵△A1A2O是邊長為2的等邊三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴點A1的橫坐標為1，
由題意可得，點A2的橫坐標為2，點A3的橫坐標為3，點A4的橫坐標為4，……，
因此點A2 023的橫坐標為2 023．
∵點A1的縱坐標為，點A2，A3的縱坐標為0，
點A4的縱坐標為－，點A5，A6的縱坐標為0，
點A7的縱坐標為，……，
2 023÷6＝337……1，∴點A2 023的縱坐標與點A1的縱坐標相同，即點A2 023(2 023，)．]
[對點演練]
1．(2024·廣西)如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為(2，1)，則點Q的坐標為(　　)
A．(3，0)
B．(0，2)
C．(3，2)
D．(1，2)
C　[由題意可得，點Q的坐標為(3，2)．]
2．[規(guī)律探究題](2024·黑龍江綏化)如圖，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，－)，…，依此規(guī)律，則點A2 024的坐標為________．
(2 891，－)　[由題知，
點A1的坐標為(1，－)，點A2的坐標為(3，－)，
點A3的坐標為(4，0)，點A4的坐標為(6，0)，
點A5的坐標為(7，)，點A6的坐標為(9，)，
點A7的坐標為(10，0)，點A8的坐標為(11，－)，
點A9的坐標為(13，－)，點A10的坐標為(14，0)，
點A11的坐標為(16，0)，點A12的坐標為(17，)，
點A13的坐標為(19，)，點A14的坐標為(20，0)，
……
由此可見，每隔七個點，點An的橫坐標增加10，且縱坐標按－，－，0，0，，0循環(huán)出現，
又因為2 024÷7＝289……1，
所以1＋289×10＝2 891，
則點A2 024的坐標為(2 891，－)．]
命題點2　函數自變量的取值范圍
【典例3】　(2024·黑龍江齊齊哈爾)在函數y＝中，自變量x的取值范圍是______________________．
x＞－3且x≠－2　[由題意，得3＋x＞0且x＋2≠0，解得x＞－3且x≠－2．]
　
表達式的類型 自變量的取值范圍
整式 全體實數
分式 使分母不為零
二次根式 使被開方數為非負數
零指數冪或負指數冪 使底數不為零
由整式、分式或二次根式等綜合得到的代數式 使它們均有意義
[對點演練]
1．(2024·四川內江)在函數y＝中，自變量x的取值范圍是 ________．
x≠0　[分式的分母不為零．]
2．(滬科版八上例題)求下列函數中自變量x的取值范圍：
(1)y＝2x＋4；
(2)y＝－2x2；
(3)y＝；
(4)y＝．
[解]　(1)x為全體實數．
(2)x為全體實數．
(3)x≠2．
(4)x≥3．
命題點3　函數圖象的分析與判斷
【典例4】　(2024·江西)將常溫中的溫度計插入一杯60 ℃的熱水(恒溫)中，溫度計的讀數y(℃)與時間x(min)的關系用圖象可近似表示為(　　)
A． B．
C． D．
C　[溫度計的溫度升高到60度后溫度不再變化．]
[對點演練]
1．(2024·四川廣安)向如圖所示的空容器內勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容器注滿，在注水過程中，設容器內底部所受水的壓強為y(單位：帕)，時間為x(單位：秒)，則y關于x的函數圖象大致為(　　)
A． B．
C． D．
B　[因為根據圖象可知，底層圓柱的直徑較大，上層圓柱的直徑較小，所以注水過程中，水壓上升速度是先慢后快．故選B．]
2．[跨學科](2024·青海)化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發(fā)生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高
B．未加入絮凝劑時，凈水率為0
C．絮凝劑的體積每增加0.1 mL，凈水率的增加量相等
D．加入絮凝劑的體積是0.2 mL時，凈水率達到76.54%
D　[A．從圖象上可以看到，加入絮凝劑的體積在0.5 mL達到最大凈水率，之后凈水率開始降低，不符合題意，選項錯誤；
B．未加入絮凝劑時，凈水率為12.48%，故不符合題意，選項錯誤；
C．當絮凝劑的體積為0.3 mL時，凈水率增加量為84.60%－76.54%＝8.06%，絮凝劑的體積為0.4 mL時，凈水率增加量為86.02%－84.60%＝1.42%，故絮凝劑的體積每增加0.1 mL，凈水率的增加量不相等，不符合題意，選項錯誤；
D．根據圖象可得，加入絮凝劑的體積是0.2 mL時，凈水率達到76.54%，符合題意，選項正確．]
課時分層評價卷(九)　平面直角坐標系及函數初步
(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共50分)
1．(2024·四川成都)在平面直角坐標系xOy中，點P(1，－4)關于原點對稱的點的坐標是(　　)
A．(－1，－4)　　　 B．(－1，4)
C．(1，4) D．(1，－4)
B　[在平面直角坐標系xOy中，點P(1，－4)關于原點對稱的點的坐標是(－1，4)．故選B．]
2．[跨學科](2024·廣西)激光測距儀L發(fā)出的激光束以3×105 km/s的速度射向目標M，t s后測距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離d km與時間t s的關系式為(　　)
A．d＝t B．d＝3×105t
C．d＝2×3×105t D．d＝3×106t
A　[激光由L到M的時間為，
光速為3×105 km/s，
則L到M的距離d＝×3×105＝t．
故選A．]
3．(2024·貴州)為培養(yǎng)青少年的科學態(tài)度和科學思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團．小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創(chuàng)”“新”的坐標分別為(－2，0)，(0，0)，則“技”所在的象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[如圖建立直角坐標系，則“技”在第一象限，故選A．
]
4．(2024·四川涼山州)勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿．在注水過程中，容器內水面高度h隨時間t變化的大致圖象是(　　)
A． B．
C． D．
C　[因為根據圖象可知，物體的形狀為首先小然后變大最后又變小，
所以注水過程中水的高度變化是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢．故選C．]
5．(2024·威海)同一條公路連接A，B，C三地，B地在A，C兩地之間．甲、乙兩車分別從A地、B地同時出發(fā)前往C地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續(xù)行駛．如圖表示甲、乙兩車之間的距離y(km)與時間x(h)的函數關系．下列結論正確的是(　　)
A．甲車行駛 h與乙車相遇
B．A，C兩地相距220 km
C．甲車的速度是70 km/h
D．乙車中途休息36分鐘
A　[根據函數圖象可得A，B兩地之間的距離為20 km，兩車行駛了4小時，同時到達C地，如圖所示，在1－2小時，兩車同向運動，在第2小時，即點D時，兩者距離發(fā)生改變，此時乙車休息，E點的意義是兩車相遇，F點意義是乙車休息后再出發(fā)，
∴乙車休息了1小時，故D不正確；
設甲車的速度為a km/h，乙車的速度為b km/h，
根據題意，乙車休息后兩者同時到達C地，則甲車的速度比乙車的速度慢，a＜b，
∵2b＋20－2a＝40，即b－a＝10，
在DE－EF時，乙車不動，則甲車的速度是＝60(km/h)，
∴乙車速度為60＋10＝70(km/h)，故C不正確；
∴AC的距離為4×60＝240(km)，故B不正確；
設x小時兩輛車相遇，依題意得：60x＝2×70＋20，
解得x＝，即小時時，兩車相遇，故A正確．
故選A．]
6．(2024·濱州)若函數y＝的解析式在實數范圍內有意義，則自變量x的取值范圍是 ________．
x≠1　[∵y＝的解析式在實數范圍內有意義，
∴x－1≠0，∴x≠1．]
7．(2024·江西)在平面直角坐標系中，將點A(1，1)向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，則點B的坐標為 ________．
(3，4)　[將點A(1，1)向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，
則點B的坐標為(1＋2，1＋3)，即(3，4)．]
8．[新定義問題](2024·四川廣元)若點Q(x，y)滿足＝，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標________．
(2，－1)(答案不唯一)　[等式兩邊都乘xy，得x＋y＝1，
令x＝2，則y＝－1，
∴“美好點”的坐標為(2，－1)(答案不唯一)．]
9．[情境題](2024·浙江)小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累計里程s(米)與小明跑步時間t(分)的函數關系如圖所示．
時間 里程分段 速度檔 跑步里程
小明 16：00 ～ 16：50 不分段 A檔 4 000米
小麗 16：10 ～ 16：50 第一段 B檔 1 800米
第一次休息
第二段 B檔 1 200米
第二次休息
第三段 C檔 1 600米
(1)求A，B，C各檔速度(單位：米/分)；
(2)求小麗兩次休息時間的總和(單位：分)；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．
[解]　(1)由題意可知，A檔速度為4 000÷50＝80(米/分)，
則B檔速度為80＋40＝120(米/分)，
C檔速度為120＋40＝160(米/分)．
答：A，B，C各檔速度分別為80米/分、120米/分、160米/分．
(2)小麗第一段跑步時間為1 800÷120＝15(分)，
小麗第二段跑步時間為1 200÷120＝10(分)，
小麗第三段跑步時間為1 600÷160＝10(分)，
則小麗兩次休息時間的總和為50－10－15－10－10＝5(分)，
答：小麗兩次休息時間的總和為5分鐘．
(3)∵小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，
∴此時小麗在跑第三段，所跑時間為a－10－15－10－5＝a－40(分)，
∴80a＝3 000＋160(a－40)，∴a＝42.5．
10．[數學文化](2024·甘肅)如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為(　　)
A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
B　[由題圖可知，“回文”的桌面的總面積為4x(x＋y)，其中每張長桌的桌面面積為xy，每張中桌的桌面面積為3x2，每張小桌的桌面面積為2x2．根據題意，得2xy＋2×3x2＋3×2x2＝4x(x＋y)，解得y＝4x．故選B．]
11．(2024·吉林)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(－4，0)，點C的坐標為(0，2)．以OA，OC為邊作矩形OABC，若將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°，得到矩形OA′B′C′，則點B′的坐標為(　　)
A．(－4，－2) B．(－4，2)
C．(2，4) D．(4，2)
C　[∵點A的坐標為(－4，0)，點C的坐標為(0，2)，
∴OA＝4，OC＝2．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝2，∠ABC＝90°．
∵將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，
∠OA′B′＝90°，
∴A′B′⊥y軸，
∴點B′的坐標為(2，4)．
故選C．]
12．[動手操作題](2024·黑龍江齊齊哈爾)如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線OH，若H(2a－1，a＋1)，則a＝________．
2　[由作圖過程可知，OH為∠MON的平分線，
∴∠MOH＝45°，
∴2a－1＝a＋1，
解得a＝2．]
13．[規(guī)律探究題](2024·山東)任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標系xOy中，將點(x，y)中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標，其中x，y均為正整數．例如，點(6，3)經過第1次運算得到點(3，10)，經過第2次運算得到點(10，5)，以此類推．則點(1，4)經過2 024次運算后得到點 ________．
(2，1)　[點(1，4)經過1次運算后得到點為(1×3＋1，4÷2)，即為(4，2)，
經過2次運算后得到點為(4÷2，2÷2)，即為(2，1)，
經過3次運算后得到點為(2÷2，1×3＋1)，即為(1，4)，
……
發(fā)現規(guī)律：點(1，4)經過3次運算后還是(1，4)，
∵2 024÷3＝674……2，
∴點(1，4)經過2 024次運算后得到點(2，1)．]
14．[新定義問題](2024·湖南)在平面直角坐標系xOy中，對于點P(x，y)，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”，特別地，當(其中xy≠0)的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”．已知點P(2a－4，a＋3)在第二象限，下列說法正確的是(　　)
A．a＜－3
B．若點P為“整點”，則點P的個數為3個
C．若點P為“超整點”，則點P的個數為1個
D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10
C　[∵點P(2a－4，a＋3)在第二象限，
∴解得－3＜a＜2，
故選項A不正確；
∵點P(2a－4，a＋3)為“整點”，
∴a為整數，
又∵－3＜a＜2，
∴a＝－2，－1，0，1，
當a＝－2時，2a－4＝－8，a＋3＝1，
此時點P(－8，1)；
當a＝－1時，2a－4＝－6，a＋3＝2，
此時點P(－6，2)；
當a＝0時，2a－4＝－4，a＋3＝3，
此時點P(－4，3)；
當a＝1時，2a－4＝－2，a＋3＝4，
此時點P(－2，4)．
∴“整點”P的個數是4個，
故選項B不正確；
根據“超整點”的定義得：當a＝1時，點P(－2，4)是“超整點”，
∴若點P為“超整點”，則點P的個數為1個，
故選項C正確；
當點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和為：|－2|＋|4|＝6，
故選項D不正確．故選C．]
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