資源簡介

(共91張PPT)
第五節　二次函數的應用
鏈接教材 基礎過關
考點一　二次函數的實際應用
1．與面積有關的實際問題．
2．拋物線形實際問題
(1)根據題意，結合函數圖象求出函數表達式；
(2)確定自變量的取值范圍；
(3)根據圖象，結合所求表達式解決問題．
3．實際問題中求最值的步驟
(1)分析問題中的數量關系，列出函數表達式；
(2)研究自變量的取值范圍；
(3)確定所得的函數；
(4)檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內，并求相關的值；
(5)解決提出的實際問題．
考點二　二次函數的綜合應用
二次函數的綜合題多與一元二次方程、不等式、幾何知識綜合在一起，考查較多的是面積問題、動點問題、存在性問題，難度大、綜合性強．
√
2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋c(a＜0)的圖象過正方形ABOC的三個頂點A，B，C，則ac的值是 __________．
－2
考點突破 對點演練
命題點1　二次函數的實際應用
【典例1】　(2024·陜西)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線FF′為x軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．
已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，纜索L1的最低點P到FF′的距離PD＝2 m．(橋塔的粗細忽略不計)
(1)求纜索L1所在拋物線的函數表達式；
(2)點E在纜索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的長．
[對點演練]
1．(2024·泰安)如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園．已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是 ________平方米．
450
450　[由題意，設垂直于外墻的邊長為x米，則平行于外墻的邊長為(60－2x)米，
又墻長為40米，
∴0＜60－2x≤40．∴10≤x＜30．
又菜園的面積＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，
∴當x＝15時，可圍成的菜園的最大面積是450，
即垂直于外墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．]
2．小明大學畢業后和同學創業，合伙開了一家網店，暑期銷售原創設計的手繪圖案T恤衫．已知每件T恤衫的成本價為60元，當銷售價為100元時，每天能售出20件．經過一段時間銷售發現，當銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件．
(1)若降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為多少元？
(2)小明希望每天獲得的利潤達到1 050元并且優惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為多少？
[解]　(1)由題意得，每天銷售T恤衫的利潤為：(100－8－60)×(20＋2×8)＝1 152(元)．
答：降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為1 152元．
(2)設此時每件T恤衫降價x元，
由題意，得(100－x－60)(20＋2x)＝1 050，
整理，得x2－30x＋125＝0，解得x＝5或x＝25．
又∵優惠最大，∴x＝25．
∴此時售價為100－25＝75(元)．
答：小明希望每天獲得的利潤達到1 050元并且優惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為75元．
(1)①m＝________，n＝________；
②小球的落點是A，求點A的坐標．
(2)小球飛行高度y(米)與飛行時間t(秒)滿足關系：y＝－5t2＋vt．
①小球飛行的最大高度為 ________米；
②求v的值．
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
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(1)求拋物線C1的表達式；
(2)將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達式，并判斷點D是否在拋物線C2上；
(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
[對點演練]
(2023·泰安)如圖1，二次函數y＝ax2＋bx＋4的圖象經過點A(－4，0)，B(－1，0)，與y軸交于點C．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若點P在二次函數圖象的對稱軸上，
當△BCP的面積為5時，求點P的坐標；
(3)如圖2，小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．
【教師備選資源】
1．(2022·泰安)如圖，若二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點
A(－2，0)，B(0，－4)，其對稱軸為直線x＝1，與x軸的另一交點為C．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若點M在直線AB上，且在第四象限，過點M作MN⊥x軸于點N．
①若點N在線段OC上，且MN＝3NC，求點M的坐標；
②以MN為對角線作正方形MPNQ(點P在MN右側)，當點P在拋物線上時，求點M的坐標．
2．(2021·泰安)二次函數y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的圖象經過點A(－4，0)，B(1，0)，與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上一點，連接BP，AC，交于點Q，過點P作PD⊥x軸于點D．
(2)如圖，設BP與y軸交于點E，
∵PD∥y軸，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE．
課時分層評價卷(十三)　二次函數的應用
題號
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(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共60分)

1．[跨學科](2024·天津)從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列結論：
①小球從拋出到落地需要6 s；②小球運動中的高度可以是30 m；③小球運動2 s時的高度小于運動5 s時的高度．其中，正確結論的個數是(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
√
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C　[①令h＝0，則30t－5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球從拋出到落地需要6 s，故①正確；
②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，
∵－5＜0，
∴當t＝3時，h有最大值，最大值為45，
∴小球運動中的高度可以是30 m，故②正確；
題號
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③t＝2時，h＝30×2－5×4＝40(m)，
t＝5時，h＝30×5－5×25＝25(m)，
∴小球運動2 s時的高度大于運動5 s時的高度，
故③錯誤．
故選C．]
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2．(2024·甘肅)如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂的豎直高度y(單位：m)與距離停車棚支柱AO的水平距離x(單位：m)近似滿足函數關系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的圖象，點B(6，2.68)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(填“能”或“不能”)．
能
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能　[∵CD＝4 m，B(6，2.68)，
∴6－4＝2，
在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，
當x＝2時，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴貨車能完全停到車棚內．]
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4．第34個全國助殘日的主題是“科技助殘，共享美好生活”．某公司新研發了一批便攜式輪椅，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元．設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．
(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12 160元，請問這天售出了多少輛輪椅？
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5．(2024·福建)如圖，已知二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若P是二次函數圖象上的一點，且點P在第二象
限，線段PC交x軸于點D，△PDB的面積是△CDB
的面積的2倍，求點P的坐標．
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√
B　[如圖，連接AC，BD交于點E，過點A作MN⊥y軸于點M，過點B作BN⊥MN于點N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM．
∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
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又AM＝NB，DM＝AN，
∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．
∴b＝－n2－m＋4．
∴n＝m2－4－n2－m＋4．
∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．
∵點A，C在y軸的同側，且點A在點C的右側，
∴m＋n≠0．
∴m－n＝1．故選B．]
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7．[情境題](2024·四川自貢)九(1)班勞動實踐基地內有一塊面積足夠大的平整空地，地上兩段圍墻AB⊥CD于點O(如圖)，其中AB上的EO段圍墻空缺．同學們測得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班長買來可切斷的圍欄16 m，準備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是______m2．
46.4
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8．(2024·湖南)已知二次函數y＝－x2＋c的圖象經過點A(－2，5)，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函數的圖象上的兩個動點．
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9．[項目式學習試題](2024·山西)綜合與實踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學校花園的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點A，B在矩形的邊MN上．現要對該花壇內種植區域進行劃分，以種植不同花卉，學校面向全體同學征集設計方案．
方案設計：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點P，與AB交于點O，點P是拋物線的頂點，且PO＝9米．欣欣設計的方案如下：
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第一步：在線段OP上確定點C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點F(不與C，P重合)，過點F作AB的平行線，交拋物線于點D，E．用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實施：學校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區域的分隔后，發現僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長．為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系．請按照她的方法解決問題：
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(1)在圖2中畫出坐標系，并求拋物線的函數表達式；
(2)求6米材料恰好用完時DE與CF的長；
(3)種植區域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形．她嘗試借助圖2設計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段AC，BC上．直接寫出符合設計要求的矩形周長的最大值．
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根據題意，得DE＋CF＝6，
∴－m2＋6＋2m＝6，
解得m＝2或m＝0(不符合題意，舍去)，
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2．
答：DE的長為4米，CF的長為2米．
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9第五節　二次函數的應用
考點一　二次函數的實際應用
1．與面積有關的實際問題．
2．拋物線形實際問題
(1)根據題意，結合函數圖象求出函數表達式；
(2)確定自變量的取值范圍；
(3)根據圖象，結合所求表達式解決問題．
3．實際問題中求最值的步驟
(1)分析問題中的數量關系，列出函數表達式；
(2)研究自變量的取值范圍；
(3)確定所得的函數；
(4)檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內，并求相關的值；
(5)解決提出的實際問題．
考點二　二次函數的綜合應用
二次函數的綜合題多與一元二次方程、不等式、幾何知識綜合在一起，考查較多的是面積問題、動點問題、存在性問題，難度大、綜合性強．
1．(魯教版九上P103習題3.14T1改編)一名男同學推鉛球時，鉛球行進中離地的高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系式是y＝－x2＋x＋，那么鉛球推出后落地時距出手地的距離是(　　)
A． m　　　B．4 m　　　C．8 m　　　D．10 m
2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋c(a＜0)的圖象過正方形ABOC的三個頂點A，B，C，則ac的值是 __________．
命題點1　二次函數的實際應用
【典例1】　(2024·陜西)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線FF′為x軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．
已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，纜索L1的最低點P到FF′的距離PD＝2 m．(橋塔的粗細忽略不計)
(1)求纜索L1所在拋物線的函數表達式；
(2)點E在纜索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的長．
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[對點演練]
1．(2024·泰安)如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園．已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是 ________平方米．
2．小明大學畢業后和同學創業，合伙開了一家網店，暑期銷售原創設計的手繪圖案T恤衫．已知每件T恤衫的成本價為60元，當銷售價為100元時，每天能售出20件．經過一段時間銷售發現，當銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件．
(1)若降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為多少元？
(2)小明希望每天獲得的利潤達到1 050元并且優惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．[跨學科](2024·江西)如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出，球的飛行路線可以用二次函數y＝ax2＋bx(a＜0)刻畫，斜坡可以用一次函數y＝x刻畫，小球飛行的水平距離x(米)與小球飛行的高度y(米)的變化規律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m＝________，n＝________；
②小球的落點是A，求點A的坐標．
(2)小球飛行高度y(米)與飛行時間t(秒)滿足關系：y＝－5t2＋vt．
①小球飛行的最大高度為 ________米；
②求v的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命題點2　二次函數的綜合應用
【典例2】　(2024·泰安)如圖，拋物線C1：y＝ax2＋x－4的圖象經過點D(1，－1)，與x軸交于點A、點B．
(1)求拋物線C1的表達式；
(2)將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達式，并判斷點D是否在拋物線C2上；
(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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[對點演練]
(2023·泰安)如圖1，二次函數y＝ax2＋bx＋4的圖象經過點A(－4，0)，B(－1，0)，與y軸交于點C．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若點P在二次函數圖象的對稱軸上，當△BCP的面積為5時，求點P的坐標；
(3)如圖2，小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．
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考點一　二次函數的實際應用
1．與面積有關的實際問題．
2．拋物線形實際問題
(1)根據題意，結合函數圖象求出函數表達式；
(2)確定自變量的取值范圍；
(3)根據圖象，結合所求表達式解決問題．
3．實際問題中求最值的步驟
(1)分析問題中的數量關系，列出函數表達式；
(2)研究自變量的取值范圍；
(3)確定所得的函數；
(4)檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內，并求相關的值；
(5)解決提出的實際問題．
考點二　二次函數的綜合應用
二次函數的綜合題多與一元二次方程、不等式、幾何知識綜合在一起，考查較多的是面積問題、動點問題、存在性問題，難度大、綜合性強．
1．(魯教版九上P103習題3.14T1改編)一名男同學推鉛球時，鉛球行進中離地的高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系式是y＝－x2＋x＋，那么鉛球推出后落地時距出手地的距離是(　　)
A． m　　　B．4 m　　　C．8 m　　　D．10 m
D　[當y＝0時，－x2＋x＋＝0，
整理得x2－8x－20＝0，
解得x＝10，x＝－2(不合題意，舍去)，
故x＝10，即鉛球推出后落地時距出手地的距離是10 m．
故選D．]
2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋c(a＜0)的圖象過正方形ABOC的三個頂點A，B，C，則ac的值是 __________．
－2　[設正方形的對角線OA長為2m，
則B(－m，m)，C(m，m)，A(0，2m)，
把A，C的坐標代入表達式，得
c＝2m，①
am2＋c＝m，②
①代入②，得m2a＋2m＝m，解得a＝－，
則ac＝－·2m＝－2．]
命題點1　二次函數的實際應用
【典例1】　(2024·陜西)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線FF′為x軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．
已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，纜索L1的最低點P到FF′的距離PD＝2 m．(橋塔的粗細忽略不計)
(1)求纜索L1所在拋物線的函數表達式；
(2)點E在纜索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的長．
[解]　(1)由題意，∵AO＝17 m，
∴A(0，17)．
又OC＝100 m，纜索L1的最低點P到FF′的距離PD＝2 m，
∴拋物線的頂點P為(50，2)．
故可設拋物線為y＝a(x－50)2＋2．
將點A(0，17)代入拋物線，可得
2 500a＋2＝17，
∴a＝．
∴纜索L1所在拋物線為y＝(x－50)2＋2．
(2)由題意，∵纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱，
又纜索L1所在拋物線為y＝(x－50)2＋2，
∴纜索L2所在拋物線為y＝(x＋50)2＋2．
令y＝2.6，
∴2.6＝(x＋50)2＋2．
∴x＝－40或x＝－60．
又FO＜OD＝50 m，
∴x＝－40．
∴FO的長為40 m．
[對點演練]
1．(2024·泰安)如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園．已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是 ________平方米．
450　[由題意，設垂直于外墻的邊長為x米，則平行于外墻的邊長為(60－2x)米，
又墻長為40米，
∴0＜60－2x≤40．∴10≤x＜30．
又菜園的面積＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，
∴當x＝15時，可圍成的菜園的最大面積是450，
即垂直于外墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．]
2．小明大學畢業后和同學創業，合伙開了一家網店，暑期銷售原創設計的手繪圖案T恤衫．已知每件T恤衫的成本價為60元，當銷售價為100元時，每天能售出20件．經過一段時間銷售發現，當銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件．
(1)若降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為多少元？
(2)小明希望每天獲得的利潤達到1 050元并且優惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為多少？
[解]　(1)由題意得，每天銷售T恤衫的利潤為：(100－8－60)×(20＋2×8)＝1 152(元)．
答：降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為1 152元．
(2)設此時每件T恤衫降價x元，
由題意，得(100－x－60)(20＋2x)＝1 050，
整理，得x2－30x＋125＝0，
解得x＝5或x＝25．
又∵優惠最大，
∴x＝25．
∴此時售價為100－25＝75(元)．
答：小明希望每天獲得的利潤達到1 050元并且優惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為75元．
3．[跨學科](2024·江西)如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出，球的飛行路線可以用二次函數y＝ax2＋bx(a＜0)刻畫，斜坡可以用一次函數y＝x刻畫，小球飛行的水平距離x(米)與小球飛行的高度y(米)的變化規律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m＝________，n＝________；
②小球的落點是A，求點A的坐標．
(2)小球飛行高度y(米)與飛行時間t(秒)滿足關系：y＝－5t2＋vt．
①小球飛行的最大高度為 ________米；
②求v的值．
[解]　(1)①根據小球飛行的水平距離x(米)與小球飛行的高度y(米)的變化規律表可知，
拋物線頂點坐標為(4，8)，
解得
∴二次函數表達式為y＝－x2＋4x，
當y＝時，－x2＋4x＝，
解得x＝3或x＝5(舍去)，
∴m＝3，
當x＝6時，n＝y＝－×62＋4×6＝6，
故答案為3，6．
②聯立，得
解得或
∴點A的坐標是．
(2)①8．
②y＝－5t2＋vt＝－5＋，
則＝8，
解得v＝4(負值舍去)．
命題點2　二次函數的綜合應用
【典例2】　(2024·泰安)如圖，拋物線C1：y＝ax2＋x－4的圖象經過點D(1，－1)，與x軸交于點A、點B．
(1)求拋物線C1的表達式；
(2)將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達式，并判斷點D是否在拋物線C2上；
(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)將點D的坐標代入拋物線表達式，得－1＝a＋－4，解得a＝，
則拋物線C1的表達式為y＝x2＋x－4．
(2)由題意，得C2：y＝(x－1)2＋(x－1)－4＋3＝－，
當x＝1時，y＝－＝－＝－1，
故點D在拋物線C2上．
(3)存在，理由：
令x2＋x－4＝0，得x1＝－2，x2＝，∴B點的坐標為(－2，0)．
①當點D為直角頂點時，
如圖1，過點D作DE⊥BD且DE＝BD，則△BDE為等腰直角三角形．
過點D作x軸的平行線l，過點B作BG⊥l，過點E作EH垂直于l，垂足分別為G，H．
∵∠BDG＋∠EDH＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DEH，
∵∠DGB＝∠EHD＝90°，
∴△DGB≌△EHD(AAS)，
則DH＝BG＝1，EH＝GD＝1＋2＝3，
則點E(2，2)，
當x＝2時，y＝－＝－＝2，
即點E在拋物線C2上，
即點P即為點E(2，2)；
②當B為直角頂點時，如圖2，
同理可得：△BGE≌△DHB(AAS)，
則DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，
則點E(－1，3)，
當x＝－1時，y＝－＝－＝3，
即點E在拋物線C2上，
即點P即為點E(－1，3)；
③當∠BPD為直角，且EB＝ED時，如圖3，
設點E(x，y)，同理可得：△EHB≌△DGE(AAS)，
則EH＝x＋2＝GD＝y＋1且BH＝y＝GE＝1－x，
解得x＝0且y＝1，
即點E(0，1)，
當x＝0時，y＝－＝－≠1，即點E不在拋物線C2上．綜上，點P的坐標為(2，2)或(－1，3)．
[對點演練]
(2023·泰安)如圖1，二次函數y＝ax2＋bx＋4的圖象經過點A(－4，0)，B(－1，0)，與y軸交于點C．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若點P在二次函數圖象的對稱軸上，當△BCP的面積為5時，求點P的坐標；
(3)如圖2，小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．
[解]　(1)將(－4，0)，(－1，0)代入y＝ax2＋bx＋4，得解得
∴二次函數的表達式為y＝x2＋5x＋4．
(2)由二次函數y＝x2＋5x＋4可知，其圖象的對稱軸為直線x＝－，C(0，4)，
如圖1，作直線BC，并設直線BC的表達式為y＝kx＋c，
將(－1，0)，(0，4)代入，
得解得
∴直線BC的表達式為y＝4x＋4．
作PQ∥x軸，交BC于點Q．
∵點P在二次函數圖象的對稱軸上，
∴設P，則Q，
∴PQ＝＝，
∴S△BCP＝PQ(yC－yB)＝×4＝．
∵△BCP的面積為5，
∴＝5，解得m＝4或m＝－16，
∴點P的坐標為或．
(3)正確，D．
理由：如圖2，設AC與對稱軸交點為K，對稱軸與x軸交點為H，連接BK，延長AD與對稱軸交于點M．
由(1)(2)可得OA＝OC＝4，
∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝45°，AC＝4．
根據拋物線的對稱性可知AK＝BK，
∴∠KAB＝∠KBA＝45°，
∴∠AKB＝90°，∴∠CKB＝90°．
∵AB＝3，
∴AK＝BK＝，
∴CK＝AC－AK＝．
在Rt△CKB中，tan ∠CBK＝＝．
∵∠CBK＋∠ACB＝90°且∠DAB＋∠ACB＝90°，
∴∠DAB＝∠CBK，
∴tan ∠DAB＝tan ∠CBK＝，
即在Rt△AHM中，＝．
∵AH＝－－(－4)＝，∴HM＝＝，
∴M．
設直線AM的表達式為y＝sx＋t，
將(－4，0)，代入，
得
解得
∴直線AM的表達式為y＝－x－．
聯立
解得或(不合題意，舍去)
∴小明說法正確，點D的坐標為．
【教師備選資源】
1．(2022·泰安)如圖，若二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點A(－2，0)，B(0，－4)，其對稱軸為直線x＝1，與x軸的另一交點為C．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若點M在直線AB上，且在第四象限，過點M作MN⊥x軸于點N．
①若點N在線段OC上，且MN＝3NC，求點M的坐標；
②以MN為對角線作正方形MPNQ(點P在MN右側)，當點P在拋物線上時，求點M的坐標．
[解]　(1)∵二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點B(0，－4)，
∴c＝－4，
∵對稱軸為直線x＝1，經過A(－2，0)，
∴
解得
∴二次函數的表達式為y＝x2－x－4．
(2)①設直線AB的表達式為y＝kx＋n，
∵A(－2，0)，B(0，－4)，
∴解得
∴直線AB的表達式為y＝－2x－4．
∵A，C關于直線x＝1對稱，
∴C(4，0)．
設N(m，0)，
∵MN⊥x軸，
∴M(m，－2m－4)，
∴NC＝4－m，
∵MN＝3NC，
∴2m＋4＝3(4－m)，
∴m＝，
∴點M．
②如圖，連接PQ，MN交于點E．設M(t，－2t－4)，則點N(t，0)，
∵四邊形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，
∴PQ∥x軸，
∴E(t，－t－2)，
∴NE＝t＋2，
∴ON＋EP＝ON＋NE＝t＋t＋2＝2t＋2，
∴P(2t＋2，－t－2)，
∵點P在拋物線y＝x2－x－4上，
∴(2t＋2)2－(2t＋2)－4＝－t－2，
解得t1＝，t2＝－2，
∵點P在第四象限，
∴t＝－2舍去，
∴t＝，
∴點M坐標為．
2．(2021·泰安)二次函數y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的圖象經過點A(－4，0)，B(1，0)，與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上一點，連接BP，AC，交于點Q，過點P作PD⊥x軸于點D．
(1)求二次函數的表達式；
(2)連接BC，當∠DPB＝2∠BCO時，求直線BP的表達式；
(3)請判斷：是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標，如沒有請說明理由．
[解]　(1)∵二次函數y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的圖象經過點A(－4，0)，B(1，0)，
∴解得
∴該二次函數的表達式為y＝－x2－3x＋4．
(2)如圖，設BP與y軸交于點E，
∵PD∥y軸，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE．
令x＝0，得y＝4，
∴C(0，4)，OC＝4，
設OE＝a，則CE＝4－a，
∴BE＝4－a．
在Rt△BOE中，由勾股定理，得BE2＝OE2＋OB2，
∴(4－a)2＝a2＋12，
解得a＝，
∴E，
設BE所在直線的表達式為y＝kx＋e(k≠0)，
∴解得
∴直線BP的表達式為y＝－x＋．
(3)有最大值．
如圖，設PD與AC交于點N，
過點B作y軸的平行線與AC相交于點M，
設直線AC的表達式為y＝mx＋n，
∵A(－4，0)，C(0，4)，
∴解得
∴直線AC的表達式為y＝x＋4，
∴M點的坐標為(1，5)，
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝．
設－3a0＋4)(－4＜a0＜0)，
則N(a0，a0＋4)，
∴＝＝＝，
∴當a0＝－2時，有最大值，
此時，點P的坐標為(－2，6)．
3．(2020·泰安)若一次函數y＝－3x－3的圖象與x軸、y軸分別交于A，C兩點，點B的坐標為(3，0)，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象過A，B，C三點，如圖1．
(1)求二次函數的表達式；
(2)如圖1，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點E在拋物線上(y軸左側)，若BC恰好平分∠DBE．求直線BE的表達式；
(3)如圖2，若點P在拋物線上(點P在y軸右側)，連接AP交BC于點F，連接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①當m＝時，求點P的坐標；
②求m的最大值．
[解]　(1)一次函數y＝－3x－3的圖象與x軸、y軸分別交于A，C兩點，則點A，C的坐標分別為(－1，0)，(0，－3)．
將點A，B，C的坐標代入拋物線表達式得解得
故拋物線的表達式為y＝x2－2x－3．
(2)設直線BE交y軸于點M，
從拋物線表達式知，拋物線的對稱軸為x＝1．
∵CD∥x軸交拋物線于點D，故點D(2，－3)，
由點B，C的坐標知，直線BC與AB的夾角為45°，即∠MCB＝∠DCB＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM(ASA)，
∴CM＝CD＝2，故OM＝3－2＝1，故點M(0，－1)，
設直線BE的表達式為y＝kx＋b，則解得
故直線BE的表達式為y＝x－1．
(3)過點P作PN∥x軸交BC于點N，
則△PFN∽△AFB，則＝，
而S△BFP＝mS△BAF，則＝＝，解得m＝PN．
①當m＝時，則PN＝2，
設點P(t，t2－2t－3)，
由點B，C的坐標知，直線BC的表達式為y＝x－3，當x＝t－2時，y＝t－5，故點N(t－2，t－5)，
故t－5＝t2－2t－3，
解得t＝1或2，
故點P(2，－3)或(1，－4)．
②由①得P(t，t2－2t－3)，
直線BC的表達式為y＝x－3．
∵PN∥x軸，∴N的縱坐標與P的相同，
由t2－2t－3＝x－3，得x＝t2－2t，
∴N(t2－2t，t2－2t－3)，∴m＝PN＝[t－(t2－2t)]＝－＋，
∵－＜0，故m的最大值為．
課時分層評價卷(十三)　二次函數的應用
(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共60分)
1．[跨學科](2024·天津)從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列結論：
①小球從拋出到落地需要6 s；
②小球運動中的高度可以是30 m；
③小球運動2 s時的高度小于運動5 s時的高度．
其中，正確結論的個數是(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
C　[①令h＝0，則30t－5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球從拋出到落地需要6 s，
故①正確；
②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，
∵－5＜0，
∴當t＝3時，h有最大值，最大值為45，
∴小球運動中的高度可以是30 m，
故②正確；
③t＝2時，h＝30×2－5×4＝40(m)，
t＝5時，h＝30×5－5×25＝25(m)，
∴小球運動2 s時的高度大于運動5 s時的高度，
故③錯誤．
故選C．]
2．(2024·甘肅)如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂的豎直高度y(單位：m)與距離停車棚支柱AO的水平距離x(單位：m)近似滿足函數關系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的圖象，點B(6，2.68)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(填“能”或“不能”)．
能　[∵CD＝4 m，B(6，2.68)，
∴6－4＝2，
在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，
當x＝2時，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴貨車能完全停到車棚內．]
3．[跨學科](2024·廣西)如圖，壯壯同學投擲實心球，出手(點P處)的高度OP是 m，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是5 m，高度是4 m．若實心球落地點為M，則OM＝____________________m．
　[如圖，以O為坐標原點，OM為x軸正半軸，OP為y軸正半軸，建立平面直角坐標系．
由題意可知，P，B(5，4)，其中B點為拋物線頂點，
設拋物線頂點式為y＝a(x－5)2＋4，
將P代入上式，
解得a＝－，
即拋物線的表達式為y＝－(x－5)2＋4，
M為拋物線與x軸的交點，
即y＝－(x－5)2＋4＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)，
∴OM＝ m．]
4．第34個全國助殘日的主題是“科技助殘，共享美好生活”．某公司新研發了一批便攜式輪椅，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元．設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．
(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12 160元，請問這天售出了多少輛輪椅？
[解]　(1)由題意得y＝(200－x)
＝－0.4x2＋20x＋12 000
＝－0.4(x2－50x＋625)＋12 250
＝－0.4(x－25)2＋12 250．
∵200－x≥180，
∴x≤20．
∴當x＝20時，利潤最大，最大利潤為－0.4(20－25)2＋12 250＝12 240(元)．
答：y與x的函數關系式為y＝－0.4x2＋20x＋12 000；每輛輪椅降價20元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為12 240元．
(2)由題意得，12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250，
即0.4(x－25)2＝12 250－12 160，
∴0.4(x－25)2＝90，
∴(x－25)2＝225．
解得x1＝40(不合題意，舍去)，x2＝10．
∴售出輪椅的輛數為60＋4×＝64(輛)．∴售出64輛輪椅．
5．(2024·福建)如圖，已知二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若P是二次函數圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點P的坐標．
[解]　(1)由題意，將A(－2，0)，C(0，－2)代入 y＝x2＋bx＋c，得
∴
∴二次函數的表達式為y＝x2＋x－2．
(2)由題意，設P(m，n)(m＜0，n＞0)，
∵△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，
∴＝2，＝2．
∴＝2．
又CO＝2，
∴n＝2CO＝4．
由m2＋m－2＝4，
∴m1＝－3，m2＝2 (舍去)．
∴點P坐標為 (－3，4)．
6．(2024·內蒙古赤峰)如圖，正方形ABCD的頂點A，C在拋物線y＝－x2＋4上，點D在y軸上．若A，C兩點的橫坐標分別為m，n(m>n>0)，下列結論正確的是(　　)
A．m＋n＝1 B．m－n＝1
C．mn＝1 D．＝1
B　[如圖，連接AC，BD交于點E，過點A作MN⊥y軸于點M，過點B作BN⊥MN于點N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM．
∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
∴AM＝NB，DM＝AN．
∵點A，C的橫坐標分別為m，n，
∴A(m，－m2＋4)，C(n，－n2＋4)，
∴E，M(0，－m2＋4)，
設D(0，b)，則B(m＋n，－m2－n2＋8－b)，
N(m＋n，－m2＋4)，
∴BN＝－n2＋4－b，AM＝m，AN＝n，
DM＝m2－4＋b．
又AM＝NB，DM＝AN，
∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．
∴b＝－n2－m＋4．
∴n＝m2－4－n2－m＋4．
∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．
∵點A，C在y軸的同側，且點A在點C的右側，
∴m＋n≠0．
∴m－n＝1．
故選B．]
7．[情境題](2024·四川自貢)九(1)班勞動實踐基地內有一塊面積足夠大的平整空地，地上兩段圍墻AB⊥CD于點O(如圖)，其中AB上的EO段圍墻空缺．同學們測得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班長買來可切斷的圍欄16 m，準備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是 ________m2．
46.4　[設矩形在射線OA上的一段長為x m．
(1)當x≤8時，S＝x·＝－x2＋9.8x＝－(x－9.8)2＋48.02，
當x＝8時，S＝46.4．
(2)當x＞8時，S＝x·＝－x2＋13.8x＝－(x－6.9)2＋47.61 ，
由于在x＞8的范圍內，S均小于46.4．
所以由(1)(2)得最大面積為 46.4 m2．]
8．(2024·湖南)已知二次函數y＝－x2＋c的圖象經過點A(－2，5)，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函數的圖象上的兩個動點．
(1)求此二次函數的表達式；
(2)如圖1，此二次函數的圖象與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D，連接AC，DQ，PQ．若x2＝x1＋3，求證：的值為定值；
(3)如圖2，點P在第二象限，x2＝－2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標為x1－1，過點M作MN⊥x軸于點N，求線段MN長度的最大值．
[解]　(1)將點A的坐標代入拋物線表達式得5＝－4＋c，
則c＝9，
即拋物線的表達式為y＝－x2＋9．
(2)證明：令y＝－x2＋9＝0，則x＝±3，則點B(3，0)，
由點A，B的坐標得，直線AB的表達式為y＝－x＋3．
設點P，Q，D的坐標分別為＋9)，(x1，－x1＋3)，
則S△PDQ＝×PD×(xQ－xP)＝＋9＋x1－3)(x2－x1)＝(＋x1＋6)，
同理可得：S△ADC＝×CD×(xD－xA)＝(－x1＋3)(x1＋2)＝(＋x1＋6)，
則＝3為定值．
(3)點P，Q的坐標分別為＋9)，
由點P，Q的坐標得，直線PQ的表達式為y＝＋9＝＋9，
則MN＝yM＝＋9＝－＋，
故MN的最大值為．
9．[項目式學習試題](2024·山西)綜合與實踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學校花園的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點A，B在矩形的邊MN上．現要對該花壇內種植區域進行劃分，以種植不同花卉，學校面向全體同學征集設計方案．
方案設計：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點P，與AB交于點O，點P是拋物線的頂點，且PO＝9米．欣欣設計的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點F(不與C，P重合)，過點F作AB的平行線，交拋物線于點D，E．用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實施：學校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區域的分隔后，發現僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長．為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系．請按照她的方法解決問題：
　
(1)在圖2中畫出坐標系，并求拋物線的函數表達式；
(2)求6米材料恰好用完時DE與CF的長；
(3)種植區域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形．她嘗試借助圖2設計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段AC，BC上．直接寫出符合設計要求的矩形周長的最大值．
[解]　(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，
∵OP所在直線是AB的垂直平分線，且AB＝6，
∴OA＝OB＝AB＝×6＝3．
∴點B的坐標為(3，0)，
∵OP＝9，
∴點P的坐標為(0，9)，
∵點P是拋物線的頂點，
∴設拋物線的函數表達式為y＝ax2＋9，
∵點B(3，0)在拋物線y＝ax2＋9 上，
∴9a＋9＝0，
解得a＝－1．
∴拋物線的函數表達式為y＝－x2＋9(－3≤x≤3)．
(2)點D，E在拋物線y＝－x2＋9 上，
∴設點E的坐標為(m，－m2＋9)，
∵DE∥AB，交y軸于點F，
∴DF＝EF＝m，OF＝－m2＋9，DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝AB＝×6＝3．
∴CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝－m2＋6，
根據題意，得DE＋CF＝6，
∴－m2＋6＋2m＝6，
解得m＝2或m＝0(不符合題意，舍去)，
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2．
答：DE的長為4米，CF的長為2米．
(3)如圖矩形燈帶為GHML，
由點A，B，C的坐標得，直線AC和BC的表達式分別為：y＝x＋3，y＝－x＋3，
設點G(m，－m2＋9)，H(－m，－m2＋9)，L(m，m＋3)，M(－m，－m＋3)，
則矩形周長＝2(GH＋GL)＝2(－2m－m2＋9－m－3)＝－2(m＋1.5)2＋，
故矩形周長的最大值為米．
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