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專題 6.4 排列、組合的綜合應用大題專項訓練【七大題型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班級：___________考號：___________
題型一 元素（位置）有限制的排列問題
1．（23-24 高二下·山西朔州·期中）有 5 個男生和 3 個女生，從中選出 5 人擔任 5 門不同學科的課代表，求
分別符合下列條件的選法數．
(1)有女生但人數必須少于男生；
(2)某男生必須包括在內，但不擔任數學課代表；
(3)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數學課代表．
2．（23-24 高二下·青海西寧·期中）由 0，1，2，3，4 這五個數字．
(1)能組成多少個無重復數字的五位數？
(2)能組成多少個無重復數字的五位偶數？
(3)組成無重復數字的五位數中比 21034 大的數有多少個？
3．（24-25 高二上·上海松江·階段練習）7 名身高互不相等的學生，分別按下列要求排列，各有多少種不同
的排法？
(1)7 人站成一排，要求較高的 3 個學生站在一起；
(2)7 人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減.
4．（24-25 高二上·全國·課前預習）某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的 5 位嘉賓逐個出場亮相．
(1)其中有 3 位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？
(2)3 位老者與 2 位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？
5．（24-25 高二下·全國·課后作業）用 0，1，2，3，4，5 這 6 個數字可以組成多少個符合下列條件的無重
復的數字？（列式并計算）
(1)六位數；
(2)六位奇數；
(3)能被 5 整除的六位數；
(4)組成的六位數按從小到大順序排列，第 265 個數是多少？
題型二 定序問題
6．（23-24 高二下·江蘇鹽城·期中）身高各不相同的六位同學 、 、 、 、 、 站成一排照相，
(1)A 與 同學不相鄰，共有多少種站法？（結果用數字作答）
(2) 、 、 三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有多少種站法？（結果用數字作答）
7．（23-24 高二下·重慶·階段練習）2024 年 3 月 12 日是我國第 46 個植樹節，為建設美麗新重慶，重慶市
禮嘉中學高二年級 7 名志愿者參加了植樹節活動，3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用數字作答）
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種
(2)男、女相間的站法有多少種
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種
8．（23-24 高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在 2024 年賓縣一中紀念“五四”活動中，獲得一等獎的某節目
參演人員合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用數字作答）
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)男、女相間的站法有多少種？
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
9．（24-25 高二下·廣東深圳·階段練習）有 3 名男生與 4 名女生，在下列不同條件下，分別求排法種數.
(1)全體排成一排，女生必須站在一起；
(2)全體排成一排，男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變
10．（24-25 高二下·陜西咸陽·階段練習）有 3 名男生和 4 名女生，根據下列不同的要求，求不同的排列方
法種數．
(1)全體排成一行，其中 3 名男生必須排在一起；
(2)全體排成一行，3 名男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；
(4)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊．
題型三 相鄰、不相鄰排列問題
11．（23-24 高二下·陜西西安·期中）某種產品的加工需要經過 6 道工序．
(1)若其中某 2 道工序不能放在最前面也不能放在最后面，問有多少種加工順序
(2)若其中某 3 道工序必須相鄰．問有多少種加工順序
(3)若其中某 3 道工序兩兩不能相鄰，問有多少種加工順序
12．（24-25 高二上·遼寧撫順·階段練習）某次介紹會需要安排 6 個產品的介紹順序，其中 3 個產品來自 A
公司，2 個產品來自 B 公司，1 個產品來自 C 公司．
(1)求 B 公司的 2 個產品的介紹順序相鄰的方案數;
(2)求同一個公司產品的介紹順序不相鄰，C 公司的產品既不是第一個介紹，也不是最后一個介紹的方案數．
13．（24-25 高二下·全國·課后作業）現有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，
在下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)老師站在最中間，2名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學生兩邊各2人；
(2)4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；
(3)2名老師之間必要有男女學生各1人．
14．（24-25 高二上·全國·課后作業）有 3 名男生和 4 名女生相約一起去觀看電影，他們的座位在同一排且
連在一起．（列出算式，并計算出結果）
(1)女生必須坐在一起的排法有多少種？
(2)女生互不相鄰的排法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的排法有多少種？
15．（23-24 高二下·浙江·期中）2024 龍年春節檔新片《熱辣滾燙》是一部充滿正能量，講述感人故事的電
影，影片通過主人公杜樂瑩的成長歷程，讓我們感受到了奮斗和堅持的力量，激勵著每個人在面對困難時
勇敢向前．現有 4 名男生和 2 名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算
式，并計算出結果）
(1)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，則不同排列方式共有多少種？
(3)若甲不坐在兩端，乙和丙相鄰，則不同排列方式共有多少種？
題型四 組合計數問題
16．（24-25 高二下·全國·課后作業）小明準備從蘋果、香橙、水蜜桃和圣女果等六種水果中買三種．
(1)若不買蘋果，共有多少種買法？
(2)若香橙和水蜜桃中至多買一種，共有多少種買法？
(3)若香橙和圣女果中至少買一種，且香橙和蘋果不同時買，共有多少種買法？
17．（23-24 高二下·廣東梅州·期中）從 1，2，3，4，5，6 中任取 5 個數字，隨機填入如圖所示的 5 個空格
中.
(1)若填入的 5 個數字中有 1 和 2，且 1 和 2 不能相鄰，試問不同的填法有多少種？
(2)若填入的 5 個數字中有 1 和 3，且區域 ， ， 中有奇數，試問不同的填法有多少種？
18．（24-25 高二下·新疆省直轄縣級單位·階段練習）有男運動員 6 名，女運動員 4 名，其中男，女隊長各 1
名.先選派 5 人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)任意選派 5 人；
(2)男運動員 3 名，女運動員 2 名；
(3)兩個隊長必須參加；
(4)至少有三名女運動員.
19．（23-24 高二下·重慶·階段練習）在平面直角坐標系中，確定若干個點，點的橫、縱坐標均取自集合
= { 2,0,1,2}，這樣的點共有 n 個.
(1)求以這 n 個點中的 2 個點為端點的線段的條數；
(2)求這 n 個點能確定的直線的條數；
(3)若從這 n 個點中選出 3 個點分別為三角形的 3 個頂點，求這樣的三角形的個數.
20．（23-24 高二下·河南鄭州·期中）現有如下定義：除最高數位上的數字外，其余每一個數字均比其左邊
的數字大的正整數叫“幸福數”（如 3467 和 1579 都是四位“幸福數”）．
(1)求四位“幸福數”的個數；
(2)如果把所有的四位“幸福數”按照從小到大的順序排列，求第 125 個四位“幸福數”．
題型五 分組分配問題
21．（23-24 高二下·湖北·期中）某市教育局決定派出 8 名心理咨詢專家（5 男 3 女）到甲、乙學校進行心
理問題調研．
(1)每所學校均有 4 名專家參加調研，有多少種的安排方法？
(2)每所學校至少有 3 人且必須有女專家參加調研，有多少種的安排方法？
22．（23-24 高二下·安徽六安·期中）6 本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？
(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；
(2)分為三份，每份兩本；
(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；
(4)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．
（要求:以上 4 題最終答案均要用數字作答）
23．（23-24 高二下·廣東深圳·期中）富源學校高二年級有 6 名同學（簡記為 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三個體育場館做志愿者.
(1)一天上午有 16 個相同的口罩全部發給這 6 名同學，每名同學至少發兩個口罩，則不同的發放方法種數？
(2)每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且 A、 兩人約定去同一個場館， 、 不想去一個場
館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數？
24．（23-24 高二下·吉林·期末）從 6 名男生和 5 名女生中選出 4 人去參加某活動的志愿者.
(1)若 4 人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？
(2)先選出 4 人，再將這 4 人分配到兩個不同的活動場地（每個場地均要有人去，1 人只能去一個場地），則
有多少種安排方法？
(3)若男 女生各需要 2 人，4 人選出后安排與 2 名組織者合影留念（站一排），2 名女生要求相鄰，則有多
少種不同的合影方法？
25．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）國家教育部為了發展貧困地區教育，在全國重點師范大學免費培養教
育專業師范生，畢業后要分到相應的地區任教.現有 6 個免費培養的教育專業師范畢業生要按照以下要求到 3
所學校去任教，有多少種不同的分派方法.
(1)6 人分配到三所學校甲學校 1 人、乙學校 2 人、丙學校 3 人；
(2)6 人分配到三所學校一校 1 人、一校 1 人、一校 4 人；
(3)6 人分配到三所學校每所學校至少一人；
題型六 涂色問題
26．（2025 高三·全國·專題練習）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱 ′ ′ ′的六個頂點涂色，要求每
個點涂一種顏色．
(1)若每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？
(2)若每條棱的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？
27．（2025 高三·全國·專題練習）用五種不同的顏色給下圖中的四塊區域涂色，要求相鄰的區域顏色不同，
則一共有多少種不同的涂色方法？
28．（23-24 高二下·河南周口·階段練習）現要用紅、橙、黃、綠、青、藍、紫 7 種顏色對某市的如圖的四
個區域進行著色，有公共邊的兩個區域不涂同一種顏色，則共有幾種不同的涂色方法？
29．（24-25 高二下·河北邢臺·階段練習）如圖，某心形花壇中有 A，B，C，D，E5 個區域，每個區域只種
植一種顏色的花．
(1)要把 5 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(2)要把 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(3)要把紅、黃、藍、白 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，要求相同顏色
的花不能相鄰種植，且有兩個相鄰的區域種植紅、黃 2 種不同顏色的花，共有多少種不同的種植方案？
30．（23-24 高二下·江蘇無錫·期中）如圖，四邊形 的兩條對角線 ， 相交于 ，現用五種顏色（其
中一種為紅色）對圖中四個三角形 △ ， △ ， △ ， △ 進行染色，且每個三角形用一種顏
色染．
(1)若必須使用紅色，求四個三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中有且只有一組相鄰三角形同色的
染色方法的種數；
(2)若不使用紅色，求四個三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中所有相鄰三角形都不同色的染色方
法的種數.
題型七 排列組合綜合
31．（24-25 高二下·陜西咸陽·階段練習）某次聯歡會要安排 3 個歌舞類節目 1, 2, 3,2個小品類節目 1, 2
和 1 個相聲類節目 的演出順序，根據要求解答下列問題（最終結果用數值表示）：
(1)若兩個小品類節目 1, 2不能排在第一位和最后一位，一共有多少種排法？
(2)若歌舞類節目 1, 2必須排在一起， 3和 1, 2排在一起，并且 3在 1, 2中間，一共有多少種排法？
(3)若同類節目不相鄰，請問一共有多少種排法？
32．（23-24 高二上·北京西城·期末）從 6 男 4 女共 10 名志愿者中，選出 3 人參加社會實踐活動.
(1)共有多少種不同的選擇方法？
(2)若要求選出的 3 名志愿者中有 2 男 1 女，且他們分別從事經濟 文化和民生方面的問卷調查工作，求共有
多少種不同的選派方法？
33．（23-24 高二下·江蘇宿遷·期中）某醫療小組有 4 名男性，2 名女性共 6 名醫護人員，醫護人員甲是其
中一名．
(1)若從中任選 2 人參加 A， 兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫護
人員甲不參加 項救護活動的選法種數；
(2)這 6 名醫護人員將去 3 個不同的地方參與醫療支援，每人只能去一地，每地有 2 人前往，若 2 名女性不
能去往同一個地方，求不同的分配方案種數．
34．（23-24 高二下·北京東城·期末）某學校舉行男子乒乓球團體賽，決賽比賽規則采用積分制，兩支決賽
的隊伍依次進行三場比賽，其中前兩場為男子單打比賽，第三場為男子雙打的比賽，每位出場隊員在決賽
中只能參加一場比賽. 某進入決賽的球隊共有五名隊員，現在需要提交該球隊決賽的出場陣容，即三場比賽
的出場的隊員名單.
(1)一共有多少種不同的出場陣容？
(2)若隊員 A 因為技術原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場陣容？
35．（23-24 高二上·湖北武漢·期中）為慶祝 3.8 婦女節，東湖中學舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每
個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現高二年級共有 4
名男老師，6 名女老師報名參加比賽.
(1)一共有多少不同的分組方案？
(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照 1、2、3、4、5 號位站好，為爭取
最好成績，高二年級選擇了 、 、 、 、 、 六名女老師進行訓練，經訓練發現 不能站在 5 號位，若 、
同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？專題 6.4 排列、組合的綜合應用大題專項訓練【七大題型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班級：___________考號：___________
題型一 元素（位置）有限制的排列問題
1．（23-24 高二下·山西朔州·期中）有 5 個男生和 3 個女生，從中選出 5 人擔任 5 門不同學科的課代表，求
分別符合下列條件的選法數．
(1)有女生但人數必須少于男生；
(2)某男生必須包括在內，但不擔任數學課代表；
(3)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數學課代表．
【解題思路】（1）先選后排，根據分類加法和分步乘法計數原理計算即可；
（2）先選后排，先安排該男生，根據分步乘法計數原理計算即可；
（3）根據分步乘法計數原理計算即可．
【解答過程】（1）先選后排，先取可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先取有C3C2 + C4C15 3 5 3種，后排有A55
種，
共 C3 2 4 1 55C3 + C5C3 A5 = 5400（種）．
（2）先選后排，但先安排該男生，有C47 C14 A44 = 3360（種）．
（3）先從除去該男生、該女生的 6 人中選 3 人有C36種，再安排該男生有C13種，其中 3 人全排有A33種，共
C3 1 36 C3 A3 = 360（種）．
2．（23-24 高二下·青海西寧·期中）由 0，1，2，3，4 這五個數字．
(1)能組成多少個無重復數字的五位數？
(2)能組成多少個無重復數字的五位偶數？
(3)組成無重復數字的五位數中比 21034 大的數有多少個？
【解題思路】（1）先排數字 0，再排其它 4 個數字即可計算得解；
（2）選偶數先排個位數，分個位數字為 0 和個位數字為 2 或 4 兩種情況，再排其它數位；
（3）按最高位上的數字比 2 大和 2 兩類分類計算作答.
【解答過程】（1）先排數字 0，0 只能占除最高位外的其余四個數位，有A14種排法，
再排四個非 0 數字有A44種，由分步乘法計數原理得A1A44 4 = 4 × 24 = 96，
所以能組成 96 個無重復數字的五位數；
（2）當個位數字為 0 時，則可以組成A44 = 24個無重復數字的五位偶數，
當個位數字為 2 或 4 時，則可以組成C1 12C3A33 = 36個無重復數字的五位偶數，
即可以組成24 + 36 = 60個無重復數字的五位偶數；
（3）計算比 21034 大的五位數的個數分兩類：
萬位比 2 大的五位數個數是A12A44，
萬位是 2 的五位數中，千位比 1 大的有A2A32 3個，千位是 1，百位比 0 大的有A2 22A2個，千位是 1，百位是 0，
十位比 3 大的有 1 個，
由分類加法計數原理得A1A4 + A2A3 + A2A22 4 2 3 2 2 +1 = 65，
所以組成無重復數字的五位數中比 21034 大的數有 65 個.
3．（24-25 高二上·上海松江·階段練習）7 名身高互不相等的學生，分別按下列要求排列，各有多少種不同
的排法？
(1)7 人站成一排，要求較高的 3 個學生站在一起；
(2)7 人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減.
【解題思路】（1）將較高的 3 個學生捆綁成一個元素，再與其他元素進行全排列即可；
（2）最高的站在中間，從剩余的 6 名學生中選出 3 名從高到低排列，剩余的 3 名按高低進行排列即可；
【解答過程】（1）將較高的 3 個學生捆綁成一個元素，與另外 4 名學生構成 5 個元素進行自由排列，共有
A55種排法；
捆綁的 3 個學生內部可自由排列，有A33種方法；
共有A5 35A3 = 120 × 6 = 720種；
（2）最高的站在中間，從剩余的 6 名學生中選出 3 名從高到低排列在左邊，
剩余的 3 名按高低進行排列在右邊，共有C3 36C3 = 20種.
4．（24-25 高二上·全國·課前預習）某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的 5 位嘉賓逐個出場亮相．
(1)其中有 3 位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？
(2)3 位老者與 2 位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？
【解題思路】（1）先計算無約束條件的全排列，然后除以不符合題意的“重復”，從而求得正確答案.
（2）通過無約束條件的全排列，以及不符合題意的“重復”列方程，由此求得正確答案.
【解答過程】（1）5 位嘉賓無約束條件的全排列有A55種，由于 3 位老者的排列順序已定，
5
因此滿足 3 A位老者按年齡從大到小的順序出場，出場順序有 5A3 = 20（種）．3
5
（2）設符合條件的順序共有 種，用（1）的方法可得 A33 A22 = A5
A5
5，解得 = A3 A2 = 10，3 2
所以符合條件的出場順序有 10 種．
5．（24-25 高二下·全國·課后作業）用 0，1，2，3，4，5 這 6 個數字可以組成多少個符合下列條件的無重
復的數字？（列式并計算）
(1)六位數；
(2)六位奇數；
(3)能被 5 整除的六位數；
(4)組成的六位數按從小到大順序排列，第 265 個數是多少？
【解題思路】（1）先排首位，再排其它位的數字，再利用分步乘法計數原理可求得結果.
（2）先排個位，然后排首位，再利用分步乘法計數原理可求得結果.
（3）按個位數是 0 或 5 分類，結合兩個原理列式計算即可.
（4）討論首位是 1，首位是 2 和首位是 3 時的不同個數，再求出第 264 個數即可得解.
【解答過程】（1）先排首數，有A15 = 5種，最后排其它有A55 = 120種，
根據分步計數原理得，六位數有5 × 120 = 600種.
（2）先排個位數，有A13 = 3種，
由 0 不能在首位，則排首位有 4 種，最后排其它有A44 = 24種，
根據分步計數原理得，六位奇數有3 × 4 × 24 = 288個.
（3）能被 5 整除的六位數，則個位數是 0 或 5，
個位數是 0，則有A55種，
個位數是 5，先排首位，0 不作為首位，則有A1 44種排法，其余位置有A4種排法，
所以共有A5 1 45+A4A4 = 216個.
（4）首位數字不能為 0，首位數字為 1 有A55 = 120種，
首位數字為 2，有A55 = 120種，
首位數字為 3，萬位數字上為 0，有A44 = 24種，此時所有 6 位數有120 + 120 + 24 = 264個，
所以第 264 個數是305421，第 265 個數是310245.
題型二 定序問題
6．（23-24 高二下·江蘇鹽城·期中）身高各不相同的六位同學 、 、 、 、 、 站成一排照相，
(1)A 與 同學不相鄰，共有多少種站法？（結果用數字作答）
(2) 、 、 三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有多少種站法？（結果用數字作答）
【解題思路】（1）先排其余 4 人，再利用插空法分析運算；
（2）先對人全排列，再根據部分定序問題運算求解.
【解答過程】（1）先排列除 A 與 外的 4 個人，有A44種方法，4 個人排列共有 5 個空，
利用插空法將 A 和 插入 5 個空，有A25種方法，
所以共有A44 25 = 480種方法.
（2）對 6 個人全排列有A6種方法， 、 、 全排列有A36 3種方法，
A6
則 、 、 從左到右按高到矮的排列有 6A3 = 120種方法.3
7．（23-24 高二下·重慶·階段練習）2024 年 3 月 12 日是我國第 46 個植樹節，為建設美麗新重慶，重慶市
禮嘉中學高二年級 7 名志愿者參加了植樹節活動，3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用數字作答）
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種
(2)男、女相間的站法有多少種
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種
【解題思路】（1）特殊元素優先排列即可得；
（2）不相鄰問題用插空法排列即可得，
（3）定序問題用倍縮法排列即可得.
【解答過程】（1）甲不在中間也不在兩端，故甲可選4個位置，其余六人可排除A66種，
故共有4A66 = 2880種；
（2）先排男生，共有A33種，則女生可在男生排完后的四個空中選擇四個，即有A44種，
故共有A3 43A4 = 144種；
A7
（3）全部排好共有A77種，由甲、乙、丙三人順序一定，共有故
7
A3 = 840種.3
8．（23-24 高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在 2024 年賓縣一中紀念“五四”活動中，獲得一等獎的某節目
參演人員合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用數字作答）
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)男、女相間的站法有多少種？
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【解題思路】（1）特殊元素優先排列即可得；
（2）不相鄰問題用插空法排列即可得，
（3）定序問題用倍縮法排列即可得.
【解答過程】（1）甲不在中間也不在兩端，故甲可選4個位置，其余六人可排除A66種，
故共有4A66 = 2880種；
（2）先排男生，共有A33種，則女生可在男生排完后的四個空中選擇四個，即有A44種，
故共有A3 43A4 = 144種；
7
（3 A）全部排好共有A77種，由甲、乙、丙三人順序一定，共有故
7
A3 = 840種.3
9．（24-25 高二下·廣東深圳·階段練習）有 3 名男生與 4 名女生，在下列不同條件下，分別求排法種數.
(1)全體排成一排，女生必須站在一起；
(2)全體排成一排，男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變
【解題思路】（1）將女生看成一個整體，按照捆綁法求解；
（2）先排女生，然后按照插空法求解；
（3）按照定序法求解即可；
【解答過程】（1）將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有A44種方法，
再將4名女生進行全排列，也有A44種方法，
故共有A4 × A44 4 = 576種排法.
（2）男生不相鄰，而女生不作要求，所以應先排女生，有A44種方法，
再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A35 種方法，
故共有A3 45 × A4 = 1440種排法.
（3）從7個位置中選四個安排除甲，乙，丙以外的4個人，有A47種方法，
剩下的三個位置從左至右依次安排甲，乙，丙，僅有一種安排，
故共有A47 = 840種排法
10．（24-25 高二下·陜西咸陽·階段練習）有 3 名男生和 4 名女生，根據下列不同的要求，求不同的排列方
法種數．
(1)全體排成一行，其中 3 名男生必須排在一起；
(2)全體排成一行，3 名男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；
(4)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊．
【解題思路】（1）先將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，由分步計數原理計算
可得答案；
（2）先排女生，然后在空位中插入男生，由分步計數原理計算可得答案；
（3）7 名學生排成一行，分兩步：第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為 N；第二步，對
甲、乙、丙進行全排列，計算可得答案；
（4）先排最左邊，除去甲外有A16種排法，余下的 6 個位置全排有A66種排法，但應剔除乙在最右邊的排法
A1 55A5種，相減可得答案.
【解答過程】（1）捆綁法．將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，共有A3 53A5 = 720
（種）排法；
（2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有A44A35 = 1440（種）排法；
（3）定序排列．7 名學生排成一行，分兩步：
第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為 N；
第二步，對甲、乙、丙進行全排列．由乘法原理得A7= × A37 3，
7
所以 = A7A3 = 840（種）；3
（4）位置分析法．先排最左邊，除去甲外有A16種排法，余下的 6 個位置全排有A66種排法，
但應剔除乙在最右邊的排法A1 55A5種，則符合條件的排法共有A1A6 1 56 6 A5A5 = 3720（種）.
題型三 相鄰、不相鄰排列問題
11．（23-24 高二下·陜西西安·期中）某種產品的加工需要經過 6 道工序．
(1)若其中某 2 道工序不能放在最前面也不能放在最后面，問有多少種加工順序
(2)若其中某 3 道工序必須相鄰．問有多少種加工順序
(3)若其中某 3 道工序兩兩不能相鄰，問有多少種加工順序
【解題思路】（1）根據給定條件，利用有限制條件的排列問題，結合分步乘法計數原理計算即得.
（2）根據給定條件，利用相鄰問題，結合分步乘法計數原理計算即得.
（3）根據給定條件，利用不相鄰問題，結合分步乘法計數原理計算即得.
【解答過程】（1）先從另外 4 道工序中任選 2 道工序放在最前面與最后面，有A24 = 12種不同的排法，
再將其余的 4 道工序全排列，有A44 = 24種不同的排法，
由分步乘法計數原理可得，共有12 × 24 = 288種加工順序．
（2）先排這 3 道工序，有A33 = 6種不同的排法，
再將它們看作一個整體，與其余的 3 道工序全排列，有A44 = 24種不同的排法，
由分步乘法計數原理可得，共有6 × 24 = 144種加工順序.
（3）先排其余的 3 道工序，有A33 = 6種不同的排法，有 4 個空檔，
再將這 3 道工序插入空檔，有A34 = 24種不同的排法，
由分步乘法計數原理可得，共有6 × 24 = 144種加工順序.
12．（24-25 高二上·遼寧撫順·階段練習）某次介紹會需要安排 6 個產品的介紹順序，其中 3 個產品來自 A
公司，2 個產品來自 B 公司，1 個產品來自 C 公司．
(1)求 B 公司的 2 個產品的介紹順序相鄰的方案數;
(2)求同一個公司產品的介紹順序不相鄰，C 公司的產品既不是第一個介紹，也不是最后一個介紹的方案數．
【解題思路】（1）將 B 公司的 2 個產品的介紹順序捆綁在一起，進行排列；
（2）先排 A 公司的 3 個產品有A33 = 6種排法，由于同一個公司產品的介紹順序不相鄰，故分兩類情況：一
是 B 公司的 2 個產品和 C 公司的 1 個產品都在 A 公司的 3 個產品之間，二是 B 公司的 2 個產品中的 1 個和
C 公司的 1 個產品在 A 公司的 3 個產品之間，另一個在第一個或最后一個,可得解.
【解答過程】（1）將 B 公司的 2 個產品的介紹順序捆綁在一起，
與其他 4 個產品進行全排列，共有A2 52A5 = 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 240種，
故 B 公司的 2 個產品的介紹順序相鄰的方案數有 240 種；
（2）先排 A 公司的 3 個產品有A33 = 6種排法，
由于同一個公司產品的介紹順序不相鄰，故分兩類情況：
一是 B 公司的 2 個產品和 C 公司的 1 個產品都在 A 公司的 3 個產品之間，
即 B 公司的 2 個產品中的 1 個和 C 公司的 1 個產品相鄰，
共有C12A22A22 = 8種排法，
二是 B 公司的 2 個產品中的 1 個和 C 公司的 1 個產品在 A 公司的 3 個產品之間，
另一個在第一個或最后一個，共有C1C12 2A22 = 8，
所以共有6 × (8 + 8) = 96種方案.
13．（24-25 高二下·全國·課后作業）現有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，
在下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)老師站在最中間，2名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學生兩邊各2人；
(2)4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；
(3)2名老師之間必要有男女學生各1人．
【解題思路】（1）根據特殊元素優先安排求解即可.
（2）利用插空法，先排老師和女學生，再排男學生甲，最后排剩余的3名男學生即可.
（3）先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，再排老師，最后利用捆綁法排列即可.
【解答過程】（1）由題意可得共A2A2 42 2A4 = 2 × 2 × 24 = 96種不同的站法．
（2）先排老師和女學生共有A44種站法，再排男學生甲有C13種站法，
最后排剩余的3名男學生有A34種站法，
所以共有A4 1 34C3A4 = 24 × 3 × 24 = 1728種不同的站法．
（3）先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，有C1 1 22C4A2種站法，
兩老師的站法有A22種，
再將一男學生一女學生兩位老師進行捆綁與剩余的 4 個人進行全排列有A55種，
所以共有C1 1 22C4A2A22A55 = 2 × 4 × 2 × 2 × 120 = 3840種不同的站法．
14．（24-25 高二上·全國·課后作業）有 3 名男生和 4 名女生相約一起去觀看電影，他們的座位在同一排且
連在一起．（列出算式，并計算出結果）
(1)女生必須坐在一起的排法有多少種？
(2)女生互不相鄰的排法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的排法有多少種？
【解題思路】（1）根據相鄰問題捆綁法即可求解，
（2）根據不相鄰問題插空法即可求解，
（3）結合捆綁法和插空法即可求解.
【解答過程】（1）先將 4 名女生排在一起，有A44種排法，將排好的女生視為一個整體，再與 3 名男生進行
排列，共有A44種排法，
由分步乘法計數原理，共有A44 × A44 = 24 × 24 = 576（種）排法．
（2）先將 3 名男生排好，共有A33種排法，在這 3 名男生中間以及兩邊共 4 個空位中插人 4 名女生，共有A44
種排法，
再由分步乘法計數原理，可得共有A33 × A44 = 6 × 24 = 144（種）排法．
（3）先將甲、乙、丙以外的其余 4 人排好，共有A44種排法，由于甲、乙相鄰，則有A22種排法，
最后將排好的甲、乙這個整體與丙分別插人原先排好的 4 人產生：的 5 個空隙中，共有A25種排法，
由分步乘法計數原理，可得共有A44 × A22 × A25 = 24 × 2 × 20 = 960（種）排法．
15．（23-24 高二下·浙江·期中）2024 龍年春節檔新片《熱辣滾燙》是一部充滿正能量，講述感人故事的電
影，影片通過主人公杜樂瑩的成長歷程，讓我們感受到了奮斗和堅持的力量，激勵著每個人在面對困難時
勇敢向前．現有 4 名男生和 2 名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算
式，并計算出結果）
(1)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，則不同排列方式共有多少種？
(3)若甲不坐在兩端，乙和丙相鄰，則不同排列方式共有多少種？
【解題思路】（1）插空法求解不相鄰問題；
（2）直接法及間接法計算特殊位置問題；
（3）直接法及間接法計算相鄰問題.
【解答過程】（1）不相鄰問題插空法，先排 4 個男生共有A44種方法，把 2 個女生插空有A25種方法，所以不
同排列方式共有A4A24 5 = 24 × 20 = 480種：
（2）方法一：“間接法”，不同排列方式共有A66 2A55 + A44 = 720 240 + 24 = 504種
方法二：“直接法”，一類甲坐最右端，有A5 1 15 = 120種坐法：另一類甲坐中間四個位置中的一個，有A4A4A44 = 384
種坐法．故有A5 1 1 45 + A4A4A4 = 120 + 384 = 504種不同坐法．
（3）方法一：共有 6 個位置，因為甲不坐在兩端，所以甲有 4 種坐法，
當甲確定時，要求乙和丙相鄰，共有 3 種可能，
所以不同排列方式共有4A22 × 3 × A33 = 4 × 2 × 3 × 6 = 144種．
方法二：第一步乙、丙相鄰共有A22種方法，第二步乙、丙與余下的三人全排列共有A44種方法，第三步把甲
插入到中間的 3 個空擋，有A13種方法，故共有A22A4A14 3 = 144種不同的坐法．
題型四 組合計數問題
16．（24-25 高二下·全國·課后作業）小明準備從蘋果、香橙、水蜜桃和圣女果等六種水果中買三種．
(1)若不買蘋果，共有多少種買法？
(2)若香橙和水蜜桃中至多買一種，共有多少種買法？
(3)若香橙和圣女果中至少買一種，且香橙和蘋果不同時買，共有多少種買法？
【解題思路】（1）利用組合數的概念進行計算；
（2）采用分類加法和分步乘法計數原理進行計算；
（3）采用分類加法計數原理進行計算.
【解答過程】（1）若不買蘋果，共有C35 = 10種買法．
（2）若香橙和水蜜桃中至多買一種，共有C3 + C1 24 2C4 = 16種買法．
（3）當香橙和圣女果中只買香橙時，有C23種買法；
當香橙和圣女果中只買圣女果時，有C24種買法；
當香橙和圣女果都買時，有C13種買法.
故買法總數為C23 + C2 14 + C3 = 12種．
17．（23-24 高二下·廣東梅州·期中）從 1，2，3，4，5，6 中任取 5 個數字，隨機填入如圖所示的 5 個空格
中.
(1)若填入的 5 個數字中有 1 和 2，且 1 和 2 不能相鄰，試問不同的填法有多少種？
(2)若填入的 5 個數字中有 1 和 3，且區域 ， ， 中有奇數，試問不同的填法有多少種？
【解題思路】（1）應用分步計數，從其余 4 個數選 3 個數全排，再把 1 和 2 插入其中求結果.
（2）應用間接法，先求出有 1 和 3 且區域 ， ， 中無奇數的填法數，再求出所有可能的填法數，然后作
差即可得結果.
【解答過程】（1）首先從其它 4 個數中任選 3 個并作全排有A34 = 24種，
3 個數中共有 4 個空，將 1 和 2 插入其中兩個空有A24 = 12種，
所以共有24 × 12 = 288種填法.
（2）若區域 ， ， 中無奇數，則其它三個數只能為 2、4、6 且在區域 ， ， 上，
所以，共有A3 23A2 = 12種，
從 2、4、5、6 任選 3 個數有C34種，再把 5 個數全排有A5種，共有C3A55 4 5 = 480種，
綜上，填入的 5 個數字中有 1 和 3 且區域 ， ， 中有奇數，共有480 12 = 468種.
18．（24-25 高二下·新疆省直轄縣級單位·階段練習）有男運動員 6 名，女運動員 4 名，其中男，女隊長各 1
名.先選派 5 人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)任意選派 5 人；
(2)男運動員 3 名，女運動員 2 名；
(3)兩個隊長必須參加；
(4)至少有三名女運動員.
【解題思路】（1）根據題意結合組合數分析求解即可；
（2）先在男運動員選 3 名，再在女運動員選 2 名，結合組合數運算求解；
（3）因為兩個隊長必須參加，則從剩余的 8 人中選擇 3 人，結合組合數運算求解；
（4）分類討論女生人數，結合組合數分析求解.
【解答過程】（1）若任意選派 5 人，則有C510 = 252種選派方法.
（2）若男運動員 3 名，女運動員 2 名，則有C36C24 = 120種選派方法.
（3）若兩個隊長必須參加，則有C38 = 56種選派方法.
（4）若只有 3 名女運動員參加，則有C3C24 6 = 60種選派方法；
若 4 名女運動員全部參加，則有C44C16 = 6種選派方法；
可知至少有三名女運動員，則有60 + 6 = 66種選派方法.
19．（23-24 高二下·重慶·階段練習）在平面直角坐標系中，確定若干個點，點的橫、縱坐標均取自集合
= { 2,0,1,2}，這樣的點共有 n 個.
(1)求以這 n 個點中的 2 個點為端點的線段的條數；
(2)求這 n 個點能確定的直線的條數；
(3)若從這 n 個點中選出 3 個點分別為三角形的 3 個頂點，求這樣的三角形的個數.
【解題思路】利用分步相乘計數原理和分類相乘計數原理結合排列組合的知識計算方法每一小問的方法種
類數.
【解答過程】（1）點的橫、縱坐標均有 4 種可能，則 = 4 × 4 = 16，
所以所求線段的條數為C216 = 120.
（2）如圖，在這 個點中，僅有 4 點共線的直線有 9 條，
僅有 3 點共線的直線有 6 條，
所以這 個點能確定的直線的條數為C216 9C24 6C23 +9 + 6 = 63
（3）從這 個點中選出 3 個點，共有C316 = 560種選法.
在同一條直線上的 3 個點不能構成三角形，所以所求的三角形的個數為C3 3 316 9C4 6C3 = 518.
20．（23-24 高二下·河南鄭州·期中）現有如下定義：除最高數位上的數字外，其余每一個數字均比其左邊
的數字大的正整數叫“幸福數”（如 3467 和 1579 都是四位“幸福數”）．
(1)求四位“幸福數”的個數；
(2)如果把所有的四位“幸福數”按照從小到大的順序排列，求第 125 個四位“幸福數”．
【解題思路】（1）由幸福數的定義結合組合公式求解即可；
（2）分類討論最高位數字，由組合公式結合分類加法計數原理得出第 125 個四位“幸福數”.
【解答過程】（1）根據題意，四位“幸福數”中不能有 0，
故只需在數字 1，2，3，…，9 中任取 4 個，將其從小到大排列，即可得到一個四位“幸福數”，
每種取法對應 1 個“幸福數”，則四位“幸福數”共有C49 = 126個.
（2）對于所有的四位“幸福數”，1 在最高數位上的有C38 = 56個，2 在最高數位上的有C37 = 35個，
3 在最高數位上的有C3 36 = 20個，4 在最高數位上的有C5 = 10個，5 在最高數位上的有C34 = 4個.
因為56 + 35 + 20 + 10 + 4 = 125，
所以第 125 個四位“幸福數”是最高數位為 5 的最大的四位“幸福數”，為 5789.
題型五 分組分配問題
21．（23-24 高二下·湖北·期中）某市教育局決定派出 8 名心理咨詢專家（5 男 3 女）到甲、乙學校進行心
理問題調研．
(1)每所學校均有 4 名專家參加調研，有多少種的安排方法？
(2)每所學校至少有 3 人且必須有女專家參加調研，有多少種的安排方法？
【解題思路】（1）根據題意，結合組合數的計算即可求解；
（2）根據分類加法和分布乘法計數原理結合組合數的計算即可求解．
【解答過程】（1）由題知，每所學校均有 4 名專家參加調研的安排方法有C4C48 4 = 70種．
（2）分三類：第一類，甲校有 3 人有C3種；全是男專家有C3種；全是女專家有C38 5 3種，
則符合題意的有C38 C35 C33 = 45；
第二類，甲校 4 人有C48種，全是男專家有C45種；3 女 1 男有C33C15種，
則符合題意的有C4 C4 3 18 5 C3C5 = 60；
第三類，甲校 5 人，有C58種；全是男專家有C5 3 25種；3 女 2 男有C3C5種，
則符合題意的有C58 C5 C3C25 3 5 = 45．
故每所學校至少 3 人且必須有女專家共有 150 種．
22．（23-24 高二下·安徽六安·期中）6 本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？
(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；
(2)分為三份，每份兩本；
(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；
(4)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．
（要求:以上 4 題最終答案均要用數字作答）
【解題思路】（1）利用分步乘法計數原理求解即可；
（2）利用平均分組公式求解即可；
（3）利用分步乘法計數原理求解即可；
（4）按“2、2、2 型”、 “1、2、3 型”、 “1、1、4 型”三種情況分類，再用分類加法計數原理求解即可.
【解答過程】（1）先從 6 本書中選 2 本給甲，有C26種方法；再從剩余 4 本書中選 2 本給乙，有C24種方法；
最后從余下的 2 本書中選 2 本給丙，有C22種方法，
根據分步計數原理，一共有C2 2 26C4C2 = 90種不同分法．
（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本有C26C2 24C2種方法，這個過程可以分兩步完成：
第一步分為三份，每份兩本，設有 x 種方法；
第二步將這三份分給甲、乙、丙三名同學，有A33種方法．
C2C2C2
根據分步計數原理，可得C2C2C2 = A3，所以 = 6 4 26 4 2 3 A3 = 15，即共有 15 種不同分法．3
（3）先從 6 本書中選 1 本，有C16種方法；再從剩余 5 本書中選 2 本，有C25種方法；最后從余下的 3 本書為
一份，
根據分步計數原理，一共有C1 2 36C5C3 = 60種不同分法．
（4）可以分為三類情況：
①“2、2、2 型”即（1）中的分配情況，有C2C2C26 4 2 = 90種分法；
②“1、2、3 型”即（3）中的分配情況，有C1C2 3 36 5C3A3 = 360種分法；
③“1、1、4 型”，有C46A33 = 90種分法，
所以一共有90 + 360 + 90 = 540種不同分法．
23．（23-24 高二下·廣東深圳·期中）富源學校高二年級有 6 名同學（簡記為 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三個體育場館做志愿者.
(1)一天上午有 16 個相同的口罩全部發給這 6 名同學，每名同學至少發兩個口罩，則不同的發放方法種數？
(2)每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且 A、 兩人約定去同一個場館， 、 不想去一個場
館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數？
【解題思路】（1）因為 6 個相同的口罩，利用隔板法結合組合數分析求解；
（2）分人數配比為 1，1，3 和 1，2，2 兩種情況，結合排列數、組合數運算求解.
【解答過程】（1）16 個相同的口罩，每位同學先拿一個，剩下的 10 個口罩排成一排有 9 個間隙，
插入 5 塊板子分成 6 份，每一種分法所得 6 份給到 6 個人即可，
所以不同的發放方法C59 = 126種.
（2）把 A， 視為一人，相當于把 5 個人先分成三組，再分配給三個場館，
分組方法有兩類：第一類 1，1，3，去掉 ， 在一組的情況，有 C3 15 C3 種分組方法，
再分配給三個場館，有 C3 1 35 C3 A3 = 7 × 6 = 42種方法，
1 2
第二類 1，2，2，去掉 ， 在一組的情況，有 C5C4 C1
A2 3
種分組方法，
2
1 2
再分配給三個場館，有 C5C4 C1 33 3 = 12 × 6 = 722 種方法，A2
所以不同的安排方法有42 + 72 = 114種方法.
24．（23-24 高二下·吉林·期末）從 6 名男生和 5 名女生中選出 4 人去參加某活動的志愿者.
(1)若 4 人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？
(2)先選出 4 人，再將這 4 人分配到兩個不同的活動場地（每個場地均要有人去，1 人只能去一個場地），則
有多少種安排方法？
(3)若男 女生各需要 2 人，4 人選出后安排與 2 名組織者合影留念（站一排），2 名女生要求相鄰，則有多
少種不同的合影方法？
【解題思路】（1）找對立面，先將總數求出來，后將全男全女減掉就可以了.
（2）先選再分組最后分配.
（3）捆綁和插空法使用即可解題.
1 11 4 C4 = 11×10×9×8【解答過程】（ ）從這 人中任選 人的選法有 11 4×3×2×1 = 330種，
其中只有男生的選法有C46 = 15種，只有女生的選法有C45 = 5種，
故 4 人中必須既有男生又有女生的選法有330 15 5 = 310種.
（2）從這 11 人中任選 4 人的選法有C411 = 330種，
若人數按 1，3 分配，則安排方法有330C1A24 2 = 2640種，
2 2
若人數按 2，2 分配，則安排方法有330C4C2A2 A
2
2 = 1980種，
2
所以共有2640 + 1980 = 4620種安排方法.
（3）因為男 女生各需要 2 人，所以選出 4 人的方法有C2C26 5 = 150種.
先排 2 名男生與 2 名組織者，有A44 = 24種排法，
再將 2 名女生“捆綁”在一起，放入 5 個空檔中，有C15 = 5種方法，
所以共有150 × 24 × 5A22 = 36000種不同的合影方法.
25．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）國家教育部為了發展貧困地區教育，在全國重點師范大學免費培養教
育專業師范生，畢業后要分到相應的地區任教.現有 6 個免費培養的教育專業師范畢業生要按照以下要求到 3
所學校去任教，有多少種不同的分派方法.
(1)6 人分配到三所學校甲學校 1 人、乙學校 2 人、丙學校 3 人；
(2)6 人分配到三所學校一校 1 人、一校 1 人、一校 4 人；
(3)6 人分配到三所學校每所學校至少一人；
【解題思路】（1）利用分步計數原理可求得方法數；
（2）先將6名學生按1，1，4分為三個組有C46 = C26種方法，則可求6人分配到分配到三所學校方法數；
（3）分為三個組可分為三類，即①1，2，3分組；②1,1,4分組；③2,2,2分組；再將再分好的三個組安排到
三所學校可求總的方法數.
【解答過程】（1）6名學生選1名到甲學校任教有C16種方法；從剩余的5名學生中選2名到乙學校有C25種方法；
剩余3名學生都分配到丙學校去任教有C33種方法，
則6人分配到三所學校甲學校1人、乙學校2人、丙學校3人共有C1 2 36 C5 C3 = 60種分配方法；
（2）6名學生按1，1，4分為三個組有C4 26 = C6種方法，則6人分配到三所學校一學校1人、一學校1人、一學
校4人共有種C26·A33 = 90分配方法；
（3）由題可得學生的分配方案可以有：①1，2，3；②1,1,4；③2,2,2；
①6名學生按1，2，3分為三個組有C16 C25 C33種方法，
則6人分配到三所學校共有C16 C2 3 35 C3 A3 = 360種分配方法；
②6名學生按1，1，4分為三個組有C46 = C26種分法，則6人分配到三所學校一學校1人、一學校1人、一學校4
人共有種C2 36·A3 = 90分配方法；
③6名學生平均分配到3所學校有C26C2 24C2 = 90種方法；
則6人分配到三所學校每所學校至少一人一共有：360 + 90 + 90 = 540種方法.
題型六 涂色問題
26．（2025 高三·全國·專題練習）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱 ′ ′ ′的六個頂點涂色，要求每
個點涂一種顏色．
(1)若每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？
(2)若每條棱的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？
【解題思路】（1）第一步， 、 、 三點所涂顏色各不相同，第二步， ′、 ′、 ′三點所涂顏色各不相同，
結合分步乘法即可求得結果.
（2）分別研究 ′, ′, , 用四種顏色或三種顏色或兩種顏色涂色方法，結合分類計數、分步計數原理計算即
可.
【解答過程】（1）由題得每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，第一步， 、 、 三點所涂顏色各不
相同的方法有A34 = 24（種），第二步， ′、 ′、 ′三點所涂顏色各不相同的方法有A34 = 24（種），
所以由分步計數原理，不同的涂色方法共有A3 34 A4 = 24 × 24 = 576（種）.
（2）若 ′, ′, , 用四種顏色，即 ′， ′， ， 各涂一種顏色， ′與 同色， 與 ′同色，所以有A44 = 24
（種）；
若 ′, ′, , 用三種顏色，即第一類： ′與 同色、 ′、 各涂一種顏色，則 ′只能涂剩余那種顏色， 可以與
′或 ′同色，所以有A34 × 1 × 2 = 48（種），
第二類： ′與 同色、 、 ′各涂一種顏色，則 只能涂剩余那種顏色， ′可以與 或 同色，所以有A34
× 1 × 2 = 48（種），
第三類： ′與 同色、 ′、 各涂一種顏色，則 ′可以涂剩余那種顏色或與 同色， 可以與 ′同色或涂剩余那
種顏色，所以有A34 × 2 × 2 = 96（種），
所以 ′, ′, , 用三種顏色，有A34 × 1 × 2 × 2 + A34 × 2 × 2 = 192（種）；
若 ′, ′, , 用兩種顏色，即 ′與 同色、 ′與 同色各涂一種顏色， 可以涂剩余剩余兩種顏色， 也可以涂剩
余剩余兩種顏色，所以有A24 × 2 × 2 = 48（種）．
所以由分類加法計數原理，共有24 + 192 + 48 = 264（種）．
27．（2025 高三·全國·專題練習）用五種不同的顏色給下圖中的四塊區域涂色，要求相鄰的區域顏色不同，
則一共有多少種不同的涂色方法？
【解題思路】分選擇四種顏色和選擇三種顏色兩種情況分別求出涂色方法即可.
【解答過程】若選擇四種顏色，則有A45 = 120種不同的涂色方法；
若選擇三種顏色，則有C3 35A3 = 60種不同的涂色方法，
故一共有120 + 60 = 180種不同的涂色方法.
28．（23-24 高二下·河南周口·階段練習）現要用紅、橙、黃、綠、青、藍、紫 7 種顏色對某市的如圖的四
個區域進行著色，有公共邊的兩個區域不涂同一種顏色，則共有幾種不同的涂色方法？
【解題思路】依題意可得Ⅰ與Ⅳ可以同色，因此涂四個區域可用 3 種顏色，也可用 4 種顏色，利用分類加法
計數原理計算可得.
【解答過程】由圖形知，Ⅰ與Ⅳ可以同色，因此涂四個區域可用 3 種顏色，也可用 4 種顏色，
用 3 種顏色涂色，即Ⅰ與Ⅳ同色，有A37種方法，
用 4 種顏色涂有A47種方法，
所以不同的涂色方法種數是A3 47 + A7 = 210 + 840 = 1050.
29．（24-25 高二下·河北邢臺·階段練習）如圖，某心形花壇中有 A，B，C，D，E5 個區域，每個區域只種
植一種顏色的花．
(1)要把 5 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(2)要把 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(3)要把紅、黃、藍、白 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，要求相同顏色
的花不能相鄰種植，且有兩個相鄰的區域種植紅、黃 2 種不同顏色的花，共有多少種不同的種植方案？
【解題思路】（1）由全排列公式求出答案；
（2）先選出兩個區域種植同一種顏色的花，再考慮其他三種顏色的花，利用分步乘法計數原理得到答案；
（3）對 區域種植的花的顏色分類討論，求出各種情況的種植方案數，相加后得到答案.
【解答過程】（1）由全排列可得，共有A55 = 120種不同的種植方案．
（2）第一步，先將 5 個區域選出 2 個區域種植一種相同顏色的花，共有C25C14 = 40種方案；
第二步，再將剩余的 3 種顏色的花種植到剩下的 3 個區域，共有A33 = 6種方案．
所以共有40 × 6 = 240種不同的種植方案．
（3）要把 4 種不同顏色的花分別種植到這 5 個區域中，則必然有 2 個區域種植相同顏色的花．
第一類， 區域種植紅色的花， , , , 4 個區域中有 2 個區域種植其他相同顏色的花，
則相同顏色的花必然種植在 , 或 , 區域，共有1 × A1 1 23A2A2 = 12種方案．
第二類， 區域種植黃色的花，同理可得，共有1 × A13A1 22A2 = 12種方案．
第三類， 區域種植藍色的花，若有 2 個區域種植白色的花，
則沒有兩個相鄰的區域種植紅、黃 2 種不同顏色的花，所以不可能有 2 個區域種植白色的花，
故 2 個區域種植的相同顏色的花是紅色或黃色的花，共有1 × A12A12A22 = 8種方案．
第四類， 區域種植白色的花，同理可得，共有1 × A1A1 22 2A2 = 8種方案．
綜上，共有12 × 2 + 8 × 2 = 40種不同的種植方案．
30．（23-24 高二下·江蘇無錫·期中）如圖，四邊形 的兩條對角線 ， 相交于 ，現用五種顏色（其
中一種為紅色）對圖中四個三角形 △ ， △ ， △ ， △ 進行染色，且每個三角形用一種顏
色染．
(1)若必須使用紅色，求四個三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中有且只有一組相鄰三角形同色的
染色方法的種數；
(2)若不使用紅色，求四個三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中所有相鄰三角形都不同色的染色方
法的種數.
【解題思路】（1）根據題意，假設為 △ ， △ ，同色，再分 2 種情況討論：①若 △ ，
△ ，同時染紅色與，②若 △ ，△ ，同時染的不是紅色，求出每種情況的染色方法數目，由加
法原理計算可得答案；
（2）根據題意，分 3 種情況討論：①、若一共使用了四種顏色，②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏
色使用了兩次，且染在對頂的區域，③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一
組對頂區域，求出每種情況的染色方法數目，由加法原理計算可得答案．
【解答過程】（1）解：根據題意，要求四個三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中有且只有一組相
鄰三角形同色，
而同色的相鄰三角形共有 4 種，不妨假設為 △ ， △ 同色，
①若 △ ， △ 同時染紅色，則另外兩個三角形共有A24種染色方法，因此這種情況共有A24 = 12種染
色方法；
②若 △ ，△ 同時染的不是紅色，則它們的染色有 4 種，另外兩個三角形一個必須染紅色，所以這
兩個三角形共有3 × 2 = 6，因此這種情況共有4 × 6 = 24種染色方法．
綜上可知有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數為4 × (12 + 24) = 144種；
（2）解：根據題意，因為不用紅色，則只有四種顏色可選，
分 3 種情況討論：
①、若一共使用了四種顏色，則共有A44 = 24種染色方法；
②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對頂的區域，所以一共有C34 × C1 23 × 2 × A2
= 48種染色方法；
③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對頂區域，所以共有C24 × 2 = 12種
染色方法．
綜上可知所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數為24 + 48 +12 = 84種．
題型七 排列組合綜合
31．（24-25 高二下·陜西咸陽·階段練習）某次聯歡會要安排 3 個歌舞類節目 1, 2, 3,2個小品類節目 1, 2
和 1 個相聲類節目 的演出順序，根據要求解答下列問題（最終結果用數值表示）：
(1)若兩個小品類節目 1, 2不能排在第一位和最后一位，一共有多少種排法？
(2)若歌舞類節目 1, 2必須排在一起， 3和 1, 2排在一起，并且 3在 1, 2中間，一共有多少種排法？
(3)若同類節目不相鄰，請問一共有多少種排法？
【解題思路】（1）特殊元素優先考慮，先排 1, 2，再排其余四個節目，按照分步乘法計數原理計算可得；
（2）相鄰問題利用捆綁法；
（3）不相鄰問題利用插空法，先排 3 個歌舞類節目，再分2小品節目和 1 個相聲節目互不相鄰及有一個相
鄰兩種情況討論.
【解答過程】（1）因為總共有六個位置，兩個小品類節目 1, 2不能排在第一位和最后一位，
先將 1, 2排好，則有A24種排法，剩下四個節目四個位置，則有A44種排法，
故共有A4A24 4 = 288種排法.
（2）先將六個節目分成三組，且這三組個數分別為1,2,3，并排列，故有A33種排法，
21, 2必須排在一起共有A2種排法， 3在 1, 2中間共有A22種排法，
故共有A3A2A23 2 2 = 24種排法.
（3）分兩步完成：第一步，先安排 3 個歌舞類節目 1, 2, 3，則有A33種排法；
第二步，再用插空法安排2小品節目 1, 2和 1 個相聲節目 ：
①若2小品節目 1, 2和 1 個相聲節目 互不相鄰，則有2A33種排法；
②若 與 , 1 21 2中的其中一個相鄰，則有C2A2A22種排法.
故共有A3 3 1 2 23 2A3 + C2A2A2 = 120種排法.
32．（23-24 高二上·北京西城·期末）從 6 男 4 女共 10 名志愿者中，選出 3 人參加社會實踐活動.
(1)共有多少種不同的選擇方法？
(2)若要求選出的 3 名志愿者中有 2 男 1 女，且他們分別從事經濟 文化和民生方面的問卷調查工作，求共有
多少種不同的選派方法？
【解題思路】（1）利用組合計數，求選擇的方法數；
（2）利用分步計數原理，結合組合數和排列數的計算，求選派的方法數.
【解答過程】（1）從 6 男 4 女共 10 名志愿者中，選出 3 人參加社會實踐活動，
選擇方法數為C310 = 120種.
（2）從 10 名志愿者中選 2 男 1 女，選擇方法數共有C2C16 4 = 60種，
故從 10 名志愿者中選 2 男 1 女，且分別從事經濟 文化和民生方面的問卷調查工作的選派方法數為C26C14A33
= 360種.
33．（23-24 高二下·江蘇宿遷·期中）某醫療小組有 4 名男性，2 名女性共 6 名醫護人員，醫護人員甲是其
中一名．
(1)若從中任選 2 人參加 A， 兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫護
人員甲不參加 項救護活動的選法種數；
(2)這 6 名醫護人員將去 3 個不同的地方參與醫療支援，每人只能去一地，每地有 2 人前往，若 2 名女性不
能去往同一個地方，求不同的分配方案種數．
【解題思路】（1）分類，按甲是否參加活動分兩類；
（2）分步，第一步按排兩名女性，第二步按排與女性同去的男性，第三步剩余的兩名男性．
【解答過程】（1）分兩類：①甲參加 項救護活動，再從其余 5 人中選一人參加 A，選法數為C15 = 5，
②甲不參加救護活動，則從其余 5 人中任選兩人參加救護活動，選法數為A25 = 20，
所以共有選法種數為 20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫護人員有：A23，
第二步：安排兩名女醫護人員同去的男醫護人員有：A24，
第三步：剩余兩名男性醫護人員去另外一地有：C22 ，
所以共有不同的分配方案數為：A2A2C23 4 2 = 72．
34．（23-24 高二下·北京東城·期末）某學校舉行男子乒乓球團體賽，決賽比賽規則采用積分制，兩支決賽
的隊伍依次進行三場比賽，其中前兩場為男子單打比賽，第三場為男子雙打的比賽，每位出場隊員在決賽
中只能參加一場比賽. 某進入決賽的球隊共有五名隊員，現在需要提交該球隊決賽的出場陣容，即三場比賽
的出場的隊員名單.
(1)一共有多少種不同的出場陣容？
(2)若隊員 A 因為技術原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場陣容？
【解題思路】（1）根據分步計數原理，先安排前兩場比賽人員，再安排第三場的比賽人員；
（2）從隊員 A 上場和不上場來分類，分別求解，再利用分類加法原理可得答案.
【解答過程】（1）出場陣容可以分兩步確定：
第 1 步，從 5 名運動員中選擇 2 人，分別參加前兩場男單比賽，共有A25種；
第 2 步，從剩下的 3 名運動員中選出兩人參加男雙比賽，共有C23種，
根據分步乘法計數原理，不同的出場陣容種數為 = A2 25 × C3 = 60.
（2）隊員 A 不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：
第 1 類方案是隊員 A 不參加任務比賽，即除了隊員 A 之外的 4 人參加本次比賽，只需從 4 人中選出兩人，
分別取參加前兩場單打比賽，共有A24種，剩余人員參加雙打比賽；
第 2 類方案是隊員 A 參加單打比賽，可以分 3 個步驟完成：
第 1 步，確定隊員 A 參加的是哪一場單打比賽，共 2 種；
第 2 步，從剩下 4 名隊員中選擇一名參加另一場單打比賽，共 4 種；
第 3 步，從剩下的 3 名隊員中，選出兩人參加男雙比賽，共有C23種，
根據分步乘法計數原理，隊員 A 參加單打比賽的不同的出場陣容有2 × 4 × C23種；
根據分類加法計數原理，隊員 A 不參加男子雙打比賽的不同的出場陣容種數為 = A24 +2 × 4 × C23 = 36.
35．（23-24 高二上·湖北武漢·期中）為慶祝 3.8 婦女節，東湖中學舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每
個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現高二年級共有 4
名男老師，6 名女老師報名參加比賽.
(1)一共有多少不同的分組方案？
(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照 1、2、3、4、5 號位站好，為爭取
最好成績，高二年級選擇了 、 、 、 、 、 六名女老師進行訓練，經訓練發現 不能站在 5 號位，若 、
同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？
【解題思路】（1）分成兩組，根據是否平均分組分別寫出即可；
（2）首先討論有限制的 、 、 有哪些人上場，其次若 、 同時上場，則利用捆綁法，求解即可.
【解答過程】（1）隊伍分配方案可分為：①兩組都是 3 女 2 男；②一組是 1 男 4 女，另一組是 3 男 2 女，
①若兩組都是 3 女 2 男，
6 C
3 C3
則先將 女平均分成兩組共 6 3A2 種方式，2
C2 2
再將 4 C男平均分成兩組共 4 2A2 種方式，2
3
3 2 C6 C
3 C2 C2
所以兩組都是 女 男的情況有 3 4 2A2 A2 2 = 60種；2 2
②一組是 1 男 4 女，另一組是 3 男 2 女的情況有C14 C4 3 16 C3 C1 = 60種，
所以總情況數為60 + 60 = 120種.
故一共有120種不同的分組方案；
（2）總共可分為三種情況，如下：
①若 上場且 不上場：
先將 全排列，共有A22種方式，
再把 捆綁后和 全排列共有A44種方式，
所以 上場且 不上場共有A22 × A44 = 48種不同的排列方式；
②若 上場且 也上場：
（i）若 在 1 號位，先將 全排列，共有A22種方式，
再從 中選兩人，有C23種方式，
則 捆綁后和 中的兩人全排列，有A33種方式，
所以 在 1 號位共有A2 2 32 × C3 × A3 = 36種不同的方式；
（ii）若 在 2 號位，
再將 全排列，且 可位于 3，4 號位或 4，5 號位，共有A22 × 2種方式，
再從 中選兩人進行排列，有A23種方式，
所以 在 2 號位或 3 號位共有A22 × 2 × A23 = 24種不同的方式；
（iii）若 在 3 號位，
再將 全排列，且 可位于 1，2 號位或 4，5 號位，共有A22 × 2種方式，
再從 中選兩人進行排列，有A23種方式，
所以 在 2 號位或 3 號位共有A2 22 × 2 × A3 = 24種不同的方式；
（iiii）若 在 4 號位，
將 全排列，且 可位于 1，2 號位或 2，3 號位，共有A22 × 2種方式，
再從 中選兩人進行排列，有A23種方式，
所以 在 4 號位共有A22 × 2 × A23 = 24種不同的方式.
所以 上場且 也上場共有36 + 24 + 24 + 24 = 108種不同的方式；
③若 中有一人上場且 上場：
上場且不在 5 號位，則 可位于 1，2，3，4 號位，有C14種方式，
再從 中選一人，有C12種方式，
中的一人和 共 4 人全排列，共A44種方式，
所以 中有一人上場且 上場共有C14 × C1 × A42 4 = 192種不同的排列方式.
綜上所述，共有48 + 108 + 192 = 348種排列方式.

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