資源簡介

專題 6.5 計數原理全章十大基礎題型歸納（基礎篇）
【人教 A 版（2019）】
題型 1 分類加法計數原理的應用
1．（23-24 高二下·陜西西安·期末）書架的第 1 層放有 3 本不同的計算機書，第 2 層放有 3 本不同的文藝書，
第 3 層放有 2 本不同的體育書.從書架上任取 1 本書，不同的取法種數為（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
【解題思路】根據分類加法計數原理進行求解,
【解答過程】書架的第 1 層放有 3 本不同的計算機書，第 2 層放有 3 本不同的文藝書，
第 3 層放有 2 本不同的體育書.從書架上任取 1 本書，不同的取法種數為3 + 3 + 2 = 8.
故選：B.
2．（23-24 高二下·湖北·期中）書架上放有 2 本不同的科學類圖書，3 本不同的文學類圖書和 5 本不同的歷
史類圖書，小李從中任選 1 本閱讀，不同的選法共有（ ）
A．9 種 B．10 種 C．30 種 D．45 種
【解題思路】直接根據分類加法計數原理即可求解.
【解答過程】根據分類加法計數原理知，小李不同的選法共有2 + 3 + 5 = 10種.
故選：B.
3．（24-25 高二下·江蘇·課前預習）在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字且為偶數，那么這樣的兩位
數有多少個？
【解題思路】根據給定條件，利用分類加法計數原理求解即得.
【解答過程】當個位數字是 8 時，十位數字取 9，只有 1 個；
當個位數字是 6 時，十位數字可取 7，8，9，共 3 個；
當個位數字是 4 時，十位數字可取 5，6，7，8，9，共 5 個；
同理可知，當個位數字是 2 時，共 7 個，
當個位數字是 0 時，共 9 個.
由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有 1＋3＋5＋7＋9＝25（個）.
4．（24-25 高二·全國·課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺 12 個頻道、本地臺 10 個頻道和其他省市
46 個頻道的節目．
(1)當這些頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？
(2)如果有 3 個頻道正在轉播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節目，一臺電視機共可以選看多少
個不同的節目？
【解題思路】利用分類加法計數原理進行求解
【解答過程】（1）當所有頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機選看的節目可分為 3 類：
第一類，選看中央臺頻道的節目，有 12 個不同的節目；
第二類，選看本地臺頻道的節目，有 10 個不同的節目；
第三類，選看其他省市頻道的節目，有 46 個不同的節目．
根據分類加法計數原理，一臺電視機共可以選看12 + 10 + 46 = 68個不同的節目．
（2）因為有 3 個頻道正在轉播同一場球賽，即這 3 個頻道轉播的節目只有 1 個，
而其余頻道共有(12 + 10 + 46 3)個正在播放互不相同的節目，
所以一臺電視機共可以選看1 + (12 + 10 + 46 3) = 66個不同的節目．
題型 2 分步乘法計數原理的應用
1．（24-25 高二下·全國·課后作業）編號為 1，2，3，4 的四位同學參觀某博物館，該博物館共有編號為 1，
2，3，4 的四個門，若規定編號為 1，2，3，4 的四位同學進入博物館不能走與自己編號相同的門，則四位
同學用不同的方式進入博物館的方法種數為（ ）
A．12 B．16 C．81 D．256
【解題思路】根據題意因不能走與自己編號相同的門，所以每人都可從其它 3 個門進入，再由分步乘法計
數原理從而可求解.
【解答過程】因不能走與自己編號相同的門，安排編號為 1 的同學進入博物館有 3 種選法；
同理編號為 2，3，4 的同學進入博物館各有 3 種方法，
由分步乘法計數原理，共有3 × 3 × 3 × 3 = 81種方法．故 C 正確.
故選：C.
2．（23-24 高二下·貴州·期中）高二某班級 4 名同學要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報一項，其中
甲同學不能報名足球，乙、丙、丁三位同學所報項目都不相同，則不同的報名種數有（ ）
A．54 B．12 C．8 D．81
【解題思路】直接由分步計數原理求解即可．
【解答過程】由甲同學不能報名足球，可得甲有 2 種報名方式，
乙、丙、丁三位同學所報項目都不相同，
可得乙有 3 種報名方式，丙有 2 種報名方式，丁只有 1 種報名方式，
共分步計數原理可得共有2 × 3 × 2 × 1 = 12種．
故選：B．
3．（24-25 高二下·全國·課堂例題）回答下列問題：
(1)5 封不同的信投入 3 個不同的郵筒的投法有多少種？
(2)5 個同學爭奪 3 個比賽的冠軍，每個比賽冠軍只有 1 人，冠軍獲得情況共有多少種？
【解題思路】由分步乘法計數原理運算即可求解.
【解答過程】（1）5 封不同的信投入 3 個不同的郵筒的投法有3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243種；
（2）5 個同學爭奪 3 個比賽的冠軍，冠軍獲得情況共有5 × 5 × 5 = 53 = 125種.
4．（24-25 高二下·山西大同·階段練習）有 0，1，2，3，4 五個數字，問：
(1)可以組成多少個無重復數字的四位密碼
(2)可以組成多少個無重復數字的四位數
【解題思路】（1）（2）根據分步乘法計數原理即可求解.
【解答過程】（1）完成“組成無重復數字的四位密碼”這件事，可以分四個步驟：
第 1 步，選取左邊第一個位置上的數字，有 5 種選取方法；
第 2 步，選取左邊第二個位置上的數字，有 4 種選取方法；
第 3 步，選取左邊第三個位置上的數字，有 3 種選取方法；
第 4 步，選取左邊第四個位置上的數字，有 2 種選取方法.
由分步乘法計數原理知，可組成不同的四位密碼共有 N=5×4×3×2=120 個.
（2）完成“組成無重復數字的四位數”這件事，可以分四個步驟：
第 1 步，從 1，2，3，4 中選取一個數字做千位數字，有 4 種不同的選取方法；
第 2 步，從 1，2，3，4 中剩余的三個數字和 0 共四個數字中選取一個數字做百位數字，有 4 種不同的選取
方法；
第 3 步，從剩余的三個數字中選取一個數字做十位數字，有 3 種不同的選取方法；
第 4 步，從剩余的兩個數字中選取一個數字做個位數字，有 2 種不同的選取方法.
由分步乘法計數原理知，可組成不同的四位數共有 N=4×4×3×2=96（個）.
題型 3 排列數的計算與證明
1．（23-24 高二下·河北石家莊·階段練習）A26 + A25 = （ ）
A．50 B．35 C．25 D．40
【解題思路】利用排列數公式計算即得.
【解答過程】A2 26 + A5 = 30 + 20 = 50.
故選：A.
2．（23-24 高二下·河北石家莊·期中）設 ∈ N+，且 < 19，則(19 ) (20 ) (2024 )等于（ ）
A．A2005 B．A2006 C．A19 D．A20062024 2024 2024 2024
【解題思路】利用排列數的計算公式即可求解.
【解答過程】先確定最大數，即2024 ，再確定因數的個數，即(2024 ) (19 ) + 1 = 2006，
所以原式 = A20062024 .
故選：D.
3．（23-24 高二下·寧夏吳忠·期中）計算：
(1)A1 24 + A4 + A34 + A44；
(2)4A24 +5A35；
(3)已知A2 = 7A2 4，求
【解題思路】（1）（2）利用排列數公式計算即可.
（3）利用排列數公式化簡方程，再求解方程即得.
【解答過程】（1）A1 + A2 34 4 + A4 + A44 = 4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 1 = 64.
（2）4A2 34 +5A5 = 4 × 4 × 3 + 5 × 5 × 4 × 3 = 348.
（3）由A2 = 7A2 4，得 4 ≥ 2, ∈ N ，即 ≥ 6, ∈ N ，則 ( 1) = 7( 4)( 5)，
整理得(3 10)( 7) = 0，所以 = 7.
4．（24-25 高二·江蘇·課后作業）求證：
(1)A4 3 47 +4A7 = A8；
(2)A + A 1 = A +1．
【解題思路】（1）利用排列數公式化簡可證得等式成立；
（2）利用排列數公式化簡可證得等式成立.
1 A4 +4A3 = 7! + 4×7! = 4×7!×2【解答過程】（ ）證明： 7 7 3! 4! 4! =
8! = A44! 8.
1 ! × ! ( +1)× !+ × ! ( +1)!（2）證明：A + A = ( )! + ( +1)! = ( +1)! = ( +1)! = A +1.
題型 4 解排列數方程和不等式
1．（24-25 高二上·全國·課后作業）不等式 A3 2 > 3A 的解集是（　　）
A．{ | > 3 } B．{ | > 4, ∈ N }
C．{ |3 < < 4 } D．{ | > 3, ∈ N+ }
【解題思路】
根據排列數公式計算即可.
【解答過程】
由 A3 > 3A2 ，
[ ( 1)( 2)] > 3[ ( 1)]
得 ≥ 3 ，解得 > 3, ∈ N+，
∈ N+
所以不等式 A3 > 3A2 的解集是{ | > 3, ∈ N+ }.
故選：D.
2．（24-25 高二下·全國·課后作業）已知3A = 4A 18 9 ，則 x 等于（ ）
A．6 B．13 C．6 或 13 D．12
【解題思路】根據排列數公式，化簡計算，結合 x 的范圍，即可得答案.
8! 9!
【解答過程】由題意得3 × (8 )! = 4 × (10 )!，
9
化簡可得3 = 4 × (10 )(9 )，解得 = 13或 6，
≤ 8
因為 1 ≤ 9 ，所以 ≤ 8且 ∈ ，故 = 6.
故選：A.
3．（23-24 高二下·江蘇蘇州·階段練習）（1）解關于 的不等式A < 6A 28 8 ；
（2）解不等式：3A3 ≤ 2A2 +1 +6A2 .
【解題思路】（1）（2）將排列數表示為階乘的形式，然后化簡計算即可得解，
1 ≤ 8【解答過程】（ ）依題意，有 0 ≤ 2 ≤ 8 ， ∴ 2 ≤ ≤ 8，
8! 8! 6
由A < 6A 28 8 ，得(8 )! < 6 × (10 )!，即1 < (10 )(9 )，
整理得 2 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，所以7 < ≤ 8，
又 ∈ N 得 = 8，
所以A 8 < 6A 28 的解集為{8}.
（2）因為3A3 ≤ 2A2 +1 +6A2 ，
3 × ! ≤ 2 × ( +1)! + 6 × ! 3 ≤ 2 × +1 + 6
所以 ( 3)! ( 1)! ( 2)! ，即 ( 1)( 2) ( 2) ，
≥ 3, ∈ N ≥ 3, ∈ N
(3 2)( 5) ≤ 0 2 ≤ ≤ 5
整理得 ≥ 3, ∈ N ，解得 3 ，故 ∈ ， ≥ 3, ∈ N {3,4,5}
所以不等式解集為{3,4,5}.
4．（24-25 高二上·全國·課后作業）解下列方程或不等式．
(1)A32 =2A4 +1；
(2)A 8 < 6A 28 .
【解題思路】（1）根據條件，利用排列數公式即可求出結果；
（2）先利用排列數公式得到 2 19 + 84 < 0 ，從而得到7 < < 12，對根據排列數公式要求，求出 的范
圍，進而求出結果.
【解答過程】（1）因為A3 42 =2A +1，
2 ≥ 3
由 + 1 ≥ 4 ，解得 ≥ 3，
∈ N
由原式可得2 (2 1)(2 2) = 2( + 1) ( 1)( 2)，解得 = 5或 = 0或 = 1．
又因為 ≥ 3，所以 = 5．
（2）因為A 8<6A -28 ，
1 ≤ ≤ 8
由 1 ≤ 2 ≤ 8 ，解得3 ≤ ≤ 8且 ∈ N ，
∈ N
8！ 8！
由原不等式可得(8 ) < 6 ×！ (10 ) ，！
化簡可得 2 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，
又3 ≤ ≤ 8且 ∈ N ，所以 = 8．
題型 5 組合數的計算與證明
1．（23-24 高二下·湖北·期中）式子C9 2 2 + C2 10 的值為（ ）
A．27 B．127 C．5160 D．與 的取值有關
【解題思路】根據組合數的性質和運算公式進行求解即可.
0 ≤ 9 2 ≤ 2
10 ≥ 2
【解答過程】由題中組合數的形式可知： 9 2 ∈ N = 3，
2 ,10 ∈ N
所以C9 2 2 3 62 + C10 = C6 + C7 = 27.
故選：A.
2．（23-24 高二下·江蘇·期中）若C = C +222 22 ，則C2 23 + C4 + + C2 的值為（ ）
A．54 B．55 C．164 D．165
【解題思路】由組合數的性質計算可得 = 10，結合C 1 + C = C +1計算即可得解.
【解答過程】由C 22 = C +222 ，故 + + 2 = 22或 = + 2，故 = 10，
則C23 + C24 + + C2 3 2 2 = C3 + C3 + C4 + + C210 1 = C3 2 24 + C4 + + C10 1
= C3 25 + C5 + + C2 3 210 1 = = C10 + C10 1 = C311 1 = 164.
故選：C.
3．（23-24 高二下·天津河西·期中）（1）證明：組合數性質C = C 1 +1 + C （ ， ∈ ）；
（2）計算：C22 + C2 2 23 + C4 + + C100（用數字作答）．
【解題思路】（1）利用組合數公式計算化簡可證結論；
（2）利用（1）的結論可計算求得答案.
! !
【解答過程】（1）證明：C 1 +C ＝ !( )!+( 1)!( +1)!
!( +1) ! !( +1+ )
＝ !( +1)! + !( +1)!＝ !( +1)!
!( +1) ( +1)!
＝ !( +1)!＝ !( +1)!＝C +1；
（2）C22 + C23 + C24 + + C2 ＝C3 2 2 2 3 2100 3+C3+C4+…+C100＝C4+C4+…+C2100
＝C35+C25+…+C2100＝…＝C3 2 3
101×100×99
100+C100＝C101＝ 3×2 ＝166650．
4．（24-25 高二上·上海·課后作業）已知 m 是自然數，n 是正整數，且 ≤ ．求證：
(1)C = C ；
(2)C 1 +1 = C + C ．
【解題思路】代入階乘公式，化簡證明.
! !
【解答過程】（1）根據組合數公式，可以得到C = ( )![ ( )]! = !( )! = C ．
! !
（2）根據組合數公式，可以得到C 1 + C = !( )! + ( 1)!( +1)!
!( +1) ! !( +1+ ) !( +1) ( +1)!
= !( +1)! + !( +1)! = !( +1)! = !( +1)! = !( +1)! = C +1．
題型 6 解組合數方程和不等式
1．（23-24 高二上·河南駐馬店·期末）關于 的方程C2 = C3 411 11 的解為（ ）
A． = 3 B． = 4 C． = 3且 = 4 D． = 3或 = 4
【解題思路】根據題意結合組合數的定義與性質運算求解.
【解答過程】因為C2 = C3 411 11 ，則2 = 3 4或2 + 3 4 = 11，解得 = 4或 = 3，
若 = 4，可得C811 = C811，符合題意；
若 = 3，可得C6 511 = C11，符合題意；
綜上所述： = 3或 = 4.
故選：D.
2．（24-25 高二·全國·課后作業）使不等式C2 ≥ C3 （n 為正整數）成立的 的取值不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】根據組合數公式可得出關于 的不等式，結合 ≥ 3可求得 的取值范圍，即可得解.
【解答過程】在C2 中， 為正整數， ≥ 2，在C3 中， 為正整數， ≥ 3，
C2 ≥ C3 ( 1) ≥ ( 1)( 2)因為 ，則有 2×1 3×2×1 ，即 2 ≤ 3，解得 ≤ 5，
因此有3 ≤ ≤ 5， 為正整數，所以 的取值可以是3或4或5．
故選：D．
3．（2024 高三·全國·專題練習）解方程：
(1)C +1 = C2 313 13 ；
(2) 1解方程：C 2 3 3 +2 + C +2 = 10A +3.
【解題思路】（1）根據組合數的性質可列方程，解方程即可；
（2）根據組合數的性質與排列數公式解方程.
【解答過程】（1）由C +1 2 313 = C13 ，
即 + 1 = 2 3或 + 1 + 2 3 = 13，
解得 = 4或 = 5；
（2）由C 1 2 + C = C +1，C +2 + C 3 =
1 A3 +2 10 +3，
即C 2 1 3 +3 = 10A +3，即C
5 1 3
+3 = 10A +3，
( +3)! ( +3)!
所以5!( 2)! = 10 ! ，
化簡可得 ( 1) = 12，
解得 = 4或 = 3，
+ 2 > 0
又 + 3 > 0 ，即 > 2，
所以 = 4.
4．（24-25 高二下·重慶萬州·階段練習）(1)已知C4 > C6 求 的值構成的集合;
C5 3(2) +C 4求等式 1 3C3 = 35中的 值. 3
【解題思路】（1）（2）根據給定不等式、等式，利用組合數公式化簡，求解不等式或方程作答.
! !【解答過程】（1）依題意， ∈ N , ≥ 6，4!( 4)! > 6!( 6)! ( 4)( 5) < 6 × 5，解得 1 < < 10，
則 的值為 6，7，8，9，
所以 的值構成的集合為{6,7,8,9}.
5
2 C 1+C
3 4 C5 19 14 1 ≥ 5
（ ）等式 3 1 5 3 C3 = 35變形為：C3 +1 = 5 ，即C 1 = 5 C 3，顯然 ∈ N ，且 3 ≥ 3 ，即有 ∈ N 3 3
, ≥ 6，
( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) = 14 ( 3)( 4)( 5)于是得 5! 5 3! ，整理得
2 3 54 = 0，解得 = 9或 = 6，
所以 = 9.
題型 7 求二項展開式的特定項或特定項的系數
7
1．（23-24 高二下· · 1四川南充 階段練習）在二項式 2 3 的展開式中，常數項等于（ ）

A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣14
【解題思路】先求出通項，再令 的指數為 0，即可求得常數項.
1 7 1 21 7
【解答過程】二項式 2 3 的展開式的通項為C (2 3)7 = C ( 1) 27 7 7

2 ，

令21 72 = 0，解得 ＝6，C
6
7 × ( 1)6 × 21 = 14，
故選：C.
2．（23-24 高二下·廣東珠海·期中）若( + )5的展開式中 2的系數是 80，則實數 a 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】求出( + )5展開式的通項，令 的系數為2可得 2項的系數，列方程求解即可.
【解答過程】( + )5展開式的通項為C 5 5
令5 = 2 = 3，
可得 2系數為C3 35 = 10 3 = 80，
可得 = 2．
故選：B.
6
3．（23-24 高二下·天津河東·期中）已知 5 1 ．

(1)展開式中的中間一項；
(2)展開式中常數項的值．
【解題思路】（1）先求出展開式的通項，再求其第 4 項即可.
（2）令展開式的通項中 系數為零，解出 ，再代入通項求解即可.
6 3
【解答過程】（1） 5 1 1展開式的通項為 6 6 +1 = C6(5 ) = C6 5 ( 1)
6
2 ，

= 0,1,2, ,6，
展開式一共 7 項，中間一項為第 4 項， = 3，
3 9 3 4 = C6 53 ( 1)3
6
2 = 2500 2.
（2 3）令6 2 = 0，解得 = 4.
5 = C4 2 4 06 5 ( 1) = 375，故展開式中常數項的值375.

4．（2025 高三·全國· 3 3專題練習）已知在 3 的展開式中，第6項為常數項．
(1)求 ；
(2)求含 2項的系數；
(3)求展開式中所有的有理項．
【解題思路】(1)利用二項展開式的通項公式求出通項，令 = 5時 的指數為0，即可得出結果；
(2)將 的值代入通項，令 的指數為2，即可求出結果；
(3)令通項中 的指數為整數，求出結果即可.
2
【解答過程】（1）解：通項公式為 +1 = 3 ( 3)

3 = ( 3) 3 .
6 = 5 2 因為第 項為常數項，所以 時，有 3 = 0，解得 = 10.
2
（2）解：由(1)可知 = 10，令 3 = 2，解得 = 2.
所以含 2項的系數為( 3)2 210 = 405.
10 2 ∈
3
（3）解：由題意可知， 0 ≤ ≤ 10 ，
∈
則 可能的取值為2，5，8.
所以第3項，第6項，第9項為有理項，分別為 2 ( 3)2 2， 5 ( 3)5， 8 ( 3)8 210 10 10 .
題型 8 求展開式中系數最大（小）的項
1．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知(1 + 3 ) 的展開式中前三項的二項式系數和為79，則展開式中系數最
大的項為第（ ）
A．7項 B．8項 C．9項 D．10項
【解題思路】根據展開式中前三項的二項式系數和為79求出 的值，然后利用不等式法可求出展開式中系數
最大的項對應的項數.
【解答過程】(1 + 3 ) 的展開式中前三項的二項式系數和為C0 1 2 ( 1) + C + C = 1 + + 2 = 79，
整理可得 2 + 156 = 0， ∵ ≥ 2且 ∈ ，解得 = 12，
(1 + 3 )12的展開式通項為 +1 = C12 (3 ) = C12 3 ( = 0,1,2, ,12)，

+ 1 C12 3 ≥ C
+1
12 3 +1設展開式中第 項的系數最大，則 C 3 ≥ C 112 12 3 1
，
12! 3 ≥ 12! 3 +1
! (12 )! ( +1)! (11 )! 35
即 12! 12! 1 ，解得 4 ≤ ≤
39
3 ≥ 3 4
，
! (12 )! ( 1)! (13 )!
因為 ∈ ，故 = 9，因此，展開式中系數最大的項為第10項.
故選：D.

2 1．（23-24 高二下·重慶·階段練習）已知 + 的展開式中僅第 4 項的二項式系數最大，則展開式中系
2
數最大的項是第（ ）項
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】根據第 4 項的二項式系數最大求出 = 6，再通過通項公式得出展開式中項的系數為2 C 6，接
2 C ≥ 2 ( 1)C 1
著由 6 62 C ( +1) +1 即可求解.6 ≥ 2 C6
【解答過程】由題意二項式系數僅C3 最大，故 = 6，
1 6 1 3
所以二項式為 + ，其通項公式為T +1 = C 6 6 = 2 C6
6
2 , = 0,1,2,3,4,5,6，
2 2
2 C ≥ 2 ( 1)C 1
設二項式展開式中第 + 1項的系數最大，則有 6 62 C ≥ 2 ( +1)C +1 ，6 6
≤ 7
3 44 ，即3 ≤ ≤
7
3，故 = 2，經經驗符合題意， ≥
3
所以展開式中系數最大的項是第 3 項.
故選：B.

3．（23-24 高二下·廣東中山·期末）已知( + 12 ) ,( ≥ 4, ∈ N
) 5
2 的展開式中，第 項與第
3項的二項式系數
之比為15:2．
(1)求 的值及展開式中的常數項；
(2)求展開式中系數最大項．
【解題思路】（1）求得展開式的通項為 = 2 C 3 +1 ，根據題意，列出方程求得 = 12，進而求得
展開式的常數項；
C 2 ≥ C +1 2 1
（2）設展開式第 + 1項的系數最大，得出不等式組 12 12 C 12 2 ≥ C 1 2 +1
，結合 ∈ N ，求得 的值，代
12
入即可求解.
1 1 【解答過程】（1）解：由題意，可得二項式( + 2 2 ) 展開式的通項為 +1 = C ( 2 ) = 2
C
2
3 ，
5 C
4 15 ( 2)( 3) 15
因為第 項與第3項的二項式系數之比為15:2，可得 C2 = ，即 = ，解得 = 12（負值舍）， 2 12 2
所以 = 2 C 12 3 495 +1 12 ，令12 3 = 0，得 = 4，所以展開式的常數項為 = 2 4 C45 12 = 16 .
（2）解：設展開式中第 + 1項的系數最大，
C 2 ≥ C +1 2 1
12 12 2( + 1) ≥ 12 10 13則 C 12 2 ≥ C 1 2 +1
，可得
12 13 ≥ 2
，解得 3 ≤ ≤ 3 ，
495
因為 ∈ N ，所以 = 4，所以系數最大的項為 = 2 45 C4 012 = 16 .

4 3 2．（23-24 高二下·浙江·期中）在二項式 + 的展開式中，
(1)若第 4 項的系數與第 6 項的系數比為 5∶6，求展開式中的有理項；
(2)若展開式中只有第 5 項的二項式系數最大，求展開式中系數最大的項．
【解題思路】（1）根據已知條件及二項展開式的通項公式，結合有理項的特點即可求解；
（2）利用二項式系數的性質及系數的最大項的求法即可求解.
【解答過程】（1）由題意得C3 23:C5 5 2 = 5:6,
∴6C3 = 20C5 ，即 2 7 + 6 = 0,解得 = 6或 = 1（舍）.
6 4
∴ 3 2 +1 = C ( ) = C6 2 3 ， = 0 ，1，2，…6，
所以 = 0，3，6 時為有理項
160 64
即展開式中的有理項為： 21 = ， 4 = 2 ， 7 = 6.
（2）因為展開式中只有第 5 項的二項式系數最大，所以 = 8，
設第 + 1項的展開式系數最大，則
C 8 2 ≥ C 1 18 2
C 2 ≥ C +1 2 +1 ,解得5 ≤ ≤ 6。8 8
2 5 2 6 163 3
所以展開式中系數最大項為： = C5 3 4 6 26 8( ) = 1792 ， 7 = C8( ) = 1792

3
.
題型 9 多項式積的展開式中的特定項問題
1．（23-24 高二下·寧夏銀川·階段練習）已知(3 1)( + 1)5的展開式中含 4的項的系數為（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【解題思路】分析知道求3 與二項式中含 3的項相乘所得的項， 1與二項式中含 4的項相乘所得的項，兩
項相加，即為(3 1)( + 1)5的展開式中含 4的項.
【解答過程】已知(3 1)( + 1)5，
( + 1)5展開式第 + 1項 = C 5 +1 5 ，
= 2時， = C2 3 = 10 3，3 10 3 = 30 43 5 ，
= 1時， 2 = C15 4 = 5 4，( 1) × 5 4 = 5 4，30 4 5 4 = 25 4，
故選：B．
2．（23-24 高二下·江蘇連云港·階段練習）在 ( + )( )5 的展開式中， 3 3的系數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據二項式展開式的通項公式計算即可求解.
【解答過程】( + )( )5 = ( )5 + ( )5，
( )5展開式的通項公式為 +1 = ( 1) C 5 5 ，
令 = 3，則 ( )5展開式中含 3 3的項的系數為 C35 = 10；
令 = 2，則 ( )5展開式中含 3 3的項的系數為C25 = 10，
所以( + )( )5展開式中含 3 3的項的系數為 10 + 10 = 0.
故選：A.

3．（23-24 1高二下·上海·期末）已知 2 ( ∈ N, ≥ 1)的二項展開式中各項的二項式系數和為 64.
(1)求二項展開式的中間項；

(2)求(2 + 3) 2 1 展開式中的常數項.
【解題思路】（1）根據二項展開式中各項的二項式系數求出 n 的值，再結合展開式的通項，即可求得答案；

（2）求出 2 1 ( ∈ N, ≥ 1)展開式中的常數項以及
3項，即可求得答案.
1
【解答過程】（1）由 2 ( ∈ N, ≥ 1)的二項展開式中各項的二項式系數和為 64，
得2 = 64, ∴ = 6，
2 1

( ∈ N, ≥ 1)的通項為 2 +1 = C6( )6
1 = ( 1) C 12 3 6 , = 0,1, ,6 ，
二項展開式的中間項為第 4 項，即 3 3 33+1 = ( 1) C6 = 20 3；

（2 1）結合（1）可得 2 ( ∈ N, ≥ 1)的常數項為( 1)
4C46 = 15，
1 2 ( ∈ N, ≥ 1)展開式中的 3項為( 1)5C56 3 = 6 3 ，

(2 + 3) 2 1 展開式中的常數項為2 × 15 6 = 24 .

4．（23-24 2高二下·廣西欽州·期末）在二項式 的展開式中，所有偶數項的二項式系數之和為 32．
(1)求 n；
(2)求第 4 項的系數；

(3)求( 3 +1) 2 的展開式的常數項．
【解題思路】（1）根據二項式系數和的性質即可求解，
（2）根據二項式展開式的通項特征即可求解，
（3）利用分配律，結合通項特征即可求解.
【解答過程】（1 1）由題意得所有偶數項的二項式系數之和為2 × 2
= 32，
得2 = 64，即 = 6．
2 3 3
（2）由題意得第 4 項為C36 × ( )3 × = 160 2 ，
所以第 4 項的系數為 160．
6 6 6
（3）( 3 +1) 2 = 3 2 + 2 ，
6 4
在 2 的展開式中，含 3的項為C46 × ( )2 ×
2 = 240 3
，
2 2
常數項為C2 46 × ( ) × = 60 ，

所以( 3 +1) 2 的展開式的常數項為240 3 3 +60 = 300 .
題型 10 三項展開式的系數問題
1．（23-24 高二下·重慶·階段練習）(1 + + 2 )6展開式中 2 2的系數為（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
【解題思路】根據二項式定理，組合知識進行求解.
【解答過程】從(1 + + 2 )6的 6 個因式中，其中 2 個因式選擇 ，2 個因式選擇2 ，剩余 2 個選擇 1，
故(1 + + 2 )6展開式中 2 2的系數為C2C26 4 22 = 360.
故選：D.
6
2．（23-24 高二下·山東青島·階段練習） 2 + 2 1 的展開式中常數項為（ ）
A． 160 B．15 C． 145 D． 40
1 6 1 6
【解題思路】將 2 + 2 [( 2 + 2 ) ] 改寫成 ，利用二項展開式的通項公式求出其通項

+1 = ( 1)
2 C C 12 3 6 6 , 0 ≤ ≤ 6,0 ≤ ≤ 6 , , ∈ N，再按照常數項要求，對 , 進行賦值即可求得.
1 6 1 6 1
【解答過程】對于 2 + 2 可寫成[(
2 + 2 ) ]
，故其通項為：
+1 = C 6( 2 + 2 )6 ( )
, = 0,1,2, ,6，即
= C C ( 2)6 +1 6 6 (2 ) (
1 ) = ( 1) 2 C C 12 3 6 6 , 0 ≤ ≤ 6,0 ≤ ≤ 6 , , ∈ N ,
要求展開式中的常數項，需要 x 的冪指數為 0，即需使12 3 = 0，即3 + = 12，當 = 4時， = 0；
當 = 3時， = 3.
故二項展開式中的常數項為：C4C0 3 3 36 2 2 C6C3 = 15 160 = 145.
故選：C.
3．（23-24 高二下·廣西·期中）設(1 + + 2) = + + 20 1 2 + 2 2 ．
（1）求 0的值；
（2）求 1 + 2 + 3 +… + 2 的值；
（3）求 1 + 3 + 5 +… + 2 1的值．
【解題思路】（1）賦值 = 0即可得解；
（2）賦值 = 1，結合（1）即可得解；
（3）賦值 = 1，結合（2）即可得解.
【解答過程】（1） = 0代入(1 + + 2) = 0 + 2 2 1 + 2 + 2 可得： 0 = 1；
（2） = 1代入(1 + + 2) = + 2 2 0 1 + 2 + 2 可得：
0 + 1 + 2 + +… + =32 3 2 ，所以：
1 + 2 2 + 3 +… + 2 =3 1；
（3） = 1代入(1 + + 2) = 0 + + 21 2 + 2 2 可得：
0 1 + 2 3 +… + 2 =1，又 2 0 + 1 + 2 + 3 +… + 2 =3 ，、
兩式相減可得：2( 1 + 2 3 + 5 +… + 2 1) = 3 1，
+ + +… + = 3
2 1
所以 1 3 5 2 1 2 .
4．（23-24 高二上·全國·單元測試）已知( 2 3 + 2)5 = 0 + 2 101 + 2 + + 10 .
(1)求 2；
(2)求 1 + 2 + + 10；
(3)求( 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10)2 ( 21 + 3 + 5 + 7 + 9) .
【解題思路】
（1）利用多項式乘法法則，結合組合應用問題列式計算作答.
（2）利用賦值法計算作答.
（3）變形計算表達式，再利用賦值法計算作答.
【解答過程】（1）在( 2 3 + 2)5展開式中，含 2的項為C15 2 C4 442 + C2 2 3 3 25( 3 ) C32 = 80 +720 2 = 800
2，
所以 2 = 800.
（2）令 ( ) = ( 2 3 + 2)5 = 2 100 + 1 + 2 + + 10 ，
當 = 0時， 0 = (0) = 25 = 32，當 = 1時， 0 + 1 + 2 + + 10 = (1) = 0，
所以 1 + 2 + + 10 = (1) (0) = 32.
（3）( 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 210) ( 1 + 3 + 5 + 7 + 29)
= ( 0 + 1 + 2 + + 10)( 0 1 + 2 3 + + 10) = (1) ( 1).
因為 (1) = 0，所以 (1) ( 1) = 0，
故( 0 + 2 + 2 24 + 6 + 8 + 10) ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 0.專題 6.5 計數原理全章十大基礎題型歸納（基礎篇）
【人教 A 版（2019）】
題型 1 分類加法計數原理的應用
1．（23-24 高二下·陜西西安·期末）書架的第 1 層放有 3 本不同的計算機書，第 2 層放有 3 本不同的文藝書，
第 3 層放有 2 本不同的體育書.從書架上任取 1 本書，不同的取法種數為（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
2．（23-24 高二下·湖北·期中）書架上放有 2 本不同的科學類圖書，3 本不同的文學類圖書和 5 本不同的歷
史類圖書，小李從中任選 1 本閱讀，不同的選法共有（ ）
A．9 種 B．10 種 C．30 種 D．45 種
3．（24-25 高二下·江蘇·課前預習）在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字且為偶數，那么這樣的兩位
數有多少個？
4．（24-25 高二·全國·課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺 12 個頻道、本地臺 10 個頻道和其他省市
46 個頻道的節目．
(1)當這些頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？
(2)如果有 3 個頻道正在轉播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節目，一臺電視機共可以選看多少
個不同的節目？
題型 2 分步乘法計數原理的應用
1．（24-25 高二下·全國·課后作業）編號為 1，2，3，4 的四位同學參觀某博物館，該博物館共有編號為 1，
2，3，4 的四個門，若規定編號為 1，2，3，4 的四位同學進入博物館不能走與自己編號相同的門，則四位
同學用不同的方式進入博物館的方法種數為（ ）
A．12 B．16 C．81 D．256
2．（23-24 高二下·貴州·期中）高二某班級 4 名同學要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報一項，其中
甲同學不能報名足球，乙、丙、丁三位同學所報項目都不相同，則不同的報名種數有（ ）
A．54 B．12 C．8 D．81
3．（24-25 高二下·全國·課堂例題）回答下列問題：
(1)5 封不同的信投入 3 個不同的郵筒的投法有多少種？
(2)5 個同學爭奪 3 個比賽的冠軍，每個比賽冠軍只有 1 人，冠軍獲得情況共有多少種？
4．（24-25 高二下·山西大同·階段練習）有 0，1，2，3，4 五個數字，問：
(1)可以組成多少個無重復數字的四位密碼
(2)可以組成多少個無重復數字的四位數
題型 3 排列數的計算與證明
1．（23-24 高二下·河北石家莊·階段練習）A2 + A26 5 = （ ）
A．50 B．35 C．25 D．40
2．（23-24 高二下·河北石家莊·期中）設 ∈ N+，且 < 19，則(19 ) (20 ) (2024 )等于（ ）
A．A2005 B．A2006 C．A192024 2024 2024 D．A20062024
3．（23-24 高二下·寧夏吳忠·期中）計算：
(1)A14 + A2 34 + A4 + A44；
(2)4A2 +5A34 5；
(3)已知A2 = 7A2 4，求
4．（24-25 高二·江蘇·課后作業）求證：
(1)A4 3 47 +4A7 = A8；
(2)A + A 1 = A +1．
題型 4 解排列數方程和不等式
1．（24-25 高二上·全國·課后作業）不等式 A3 > 3A2 的解集是（　　）
A．{ | > 3 } B．{ | > 4, ∈ N }
C．{ |3 < < 4 } D．{ | > 3, ∈ N+ }
2．（24-25 高二下·全國·課后作業）已知3A 18 = 4A9 ，則 x 等于（ ）
A．6 B．13 C．6 或 13 D．12
3．（23-24 高二下·江蘇蘇州·階段練習）（1）解關于 的不等式A < 6A 28 8 ；
（2）解不等式：3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A .
4．（24-25 高二上·全國·課后作業）解下列方程或不等式．
(1)A3 42 =2A +1；
(2)A < 6A 28 8 .
題型 5 組合數的計算與證明
1．（23-24 高二下·湖北·期中）式子C9 2 2 + C2 10 的值為（ ）
A．27 B．127 C．5160 D．與 的取值有關
2．（23-24 高二下·江蘇·期中）若C +2 2 2 222 = C22 ，則C3 + C4 + + C 的值為（ ）
A．54 B．55 C．164 D．165
3．（23-24 高二下·天津河西·期中）（1）證明：組合數性質C = C + C 1 +1 （ ， ∈ ）；
（2）計算：C2 + C2 + C2 + + C22 3 4 100（用數字作答）．
4．（24-25 高二上·上海·課后作業）已知 m 是自然數，n 是正整數，且 ≤ ．求證：
(1)C = C ；
(2)C = C + C 1 +1 ．
題型 6 解組合數方程和不等式
1．（23-24 高二上·河南駐馬店·期末）關于 的方程C2 3 411 = C11 的解為（ ）
A． = 3 B． = 4 C． = 3且 = 4 D． = 3或 = 4
2．（24-25 高二·全國·課后作業）使不等式C2 ≥ C3 （n 為正整數）成立的 的取值不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024 高三·全國·專題練習）解方程：
(1)C +1 = C2 313 13 ；
(2)解方程：C 2 3 1 3 +2 + C +2 = 10A +3.
4．（24-25 高二下·重慶萬州·階段練習）(1)已知C4 > C6 求 的值構成的集合;
(2) C
5 3
求等式 1
+C 3
C3 = 3
4
3 5
中的 值.
題型 7 求二項展開式的特定項或特定項的系數
7
1．（23-24 高二下· · 1四川南充 階段練習）在二項式 2 3 的展開式中，常數項等于（ ）

A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣14
2．（23-24 高二下·廣東珠海·期中）若( + )5的展開式中 2的系數是 80，則實數 a 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3 1
6
．（23-24 高二下·天津河東·期中）已知 5 ．

(1)展開式中的中間一項；
(2)展開式中常數項的值．

4．（2025 高三· 3 3全國·專題練習）已知在 3 的展開式中，第6項為常數項．
(1)求 ；
(2)求含 2項的系數；
(3)求展開式中所有的有理項．
題型 8 求展開式中系數最大（小）的項
1．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知(1 + 3 ) 的展開式中前三項的二項式系數和為79，則展開式中系數最
大的項為第（ ）
A．7項 B．8項 C．9項 D．10項

2．（23-24 高二下·重慶·階段練習）已知 + 1 的展開式中僅第 4 項的二項式系數最大，則展開式中系
2
數最大的項是第（ ）項
A．2 B．3 C．4 D．5

3．（23-24 高二下·廣東中山·期末）已知( + 12 ) ,( ≥ 4, ∈ N
)
2 的展開式中，第
5項與第3項的二項式系數
之比為15:2．
(1)求 的值及展開式中的常數項；
(2)求展開式中系數最大項．

4 23-24 · · 3．（ 高二下 浙江 期中）在二項式 + 2 的展開式中，
(1)若第 4 項的系數與第 6 項的系數比為 5∶6，求展開式中的有理項；
(2)若展開式中只有第 5 項的二項式系數最大，求展開式中系數最大的項．
題型 9 多項式積的展開式中的特定項問題
1．（23-24 高二下·寧夏銀川·階段練習）已知(3 1)( + 1)5的展開式中含 4的項的系數為（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
2．（23-24 高二下·江蘇連云港·階段練習）在 ( + )( )5 的展開式中， 3 3的系數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3 1

．（23-24 高二下·上海·期末）已知 2 ( ∈ N, ≥ 1)的二項展開式中各項的二項式系數和為 64.
(1)求二項展開式的中間項；
(2) 1

求(2 + 3) 2 展開式中的常數項.
2 4．（23-24 高二下·廣西欽州·期末）在二項式 的展開式中，所有偶數項的二項式系數之和為 32．
(1)求 n；
(2)求第 4 項的系數；

(3)求( 3 +1) 2 的展開式的常數項．
題型 10 三項展開式的系數問題
1．（23-24 高二下·重慶·階段練習）(1 + + 2 )6展開式中 2 2的系數為（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
6
2．（23-24 高二下·山東青島· 1階段練習） 2 + 2 的展開式中常數項為（ ）
A． 160 B．15 C． 145 D． 40
3．（23-24 高二下·廣西·期中）設(1 + + 2) = + 20 1 + 2 + 2 2 ．
（1）求 0的值；
（2）求 1 + 2 + 3 +… + 2 的值；
（3）求 1 + 3 + 5 +… + 2 1的值．
4．（23-24 高二上·全國·單元測試）已知( 2 3 + 2)5 = 0 + 1 + 2 102 + + 10 .
(1)求 2；
(2)求 1 + 2 + + 10；
(3)求( 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10)2 ( + 21 3 + 5 + 7 + 9) .

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