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專題 6.7 排列組合中的必考六類問題
【人教 A 版（2019）】
【類型 1 排列數、組合數的計算與證明】 ............................................................................................................2
【類型 2 元素（位置）有限制的排列問題】 ........................................................................................................4
【類型 3 相鄰、相間問題】 ....................................................................................................................................7
【類型 4 定序問題】 ..............................................................................................................................................10
【類型 5 分組、分配問題】 ..................................................................................................................................13
【類型 6 涂色問題】 ..............................................................................................................................................17
【知識點 1 排列數與組合數】
1．排列數與組合數
(1)排列數定義
從 n 個不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)個元素的所有不同排列的個數，叫做從 n 個不同元素中取出
m 個元素的排列數，用符號 表示.
(2)組合數
從 n 個不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)個元素的所有不同組合的個數，叫做從 n 個不同元素中取出
m 個元素的組合數，用符號 表示.
2．排列數、組合數的公式及性質
(1)排列數公式
=n(n-1)(n-2) (n-m+1).這里，n,m∈N*，并且 m n.
(2)組合數公式
①連乘表示：
.
這里，n,m∈N*，并且 m n.
②階乘表示： .
規定： .
(3)組合數的性質
①性質 1： ；
②性質 2： .
【知識點 2 排列組合必考問題的分類與解題策略】
1．排列應用問題的分類與解法
(1)有限制條件的排列問題：對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在
實際進行排列時一般采用特殊元素優先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類
過多的問題可以采用間接法.
(2)相鄰問題：對相鄰問題采用捆綁法；相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的
內部排列.
(3)不相鄰問題：不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面
元素排列的空檔中.
(4)定序問題：定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二
是定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.
2．組合問題的分類與解法
組合問題常有以下兩類題型變化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；
“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個
關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，
用間接法處理.
3．分組分配問題
(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.
(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數的階乘；②部分均勻分組，有 m 組元素個數相同，則
分組后除以 m!；③完全非均勻分組，只要分組即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數
原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.
【方法技巧與總結】
1．解決排列、組合問題的八種技巧
(1)特殊元素優先安排.
(2)合理分類與準確分步.
(3)排列、組合混合問題要先選后排.
(4)相鄰問題捆綁處理.
(5)不相鄰問題插空處理.
(6)定序問題倍縮法處理.
(7)分排問題直排處理.
(8)正難則反，等價轉化.
【類型 1 排列數、組合數的計算與證明】
1．（23-24 高二下·河南·期中）若C = C2 +1 13 13 ( ∈ N )，則A5 = （ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
【解題思路】根據組合數的性質求出 ，再根據排列數公式計算可得.
【解答過程】因為C 13 = C2 +1 13 ( ∈ N )，所以 = 2 + 1或 + 2 + 1 = 13，
解得 = 1（舍去）或 = 4，
所以A 5 = A45 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120.
故選：D.
2．（23-24 高二下·河南鄭州·期末）不等式3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A 的解集為（ ）
A．{3,4,5} B．{3,4,5,6} C．{ ∣3 ≤ ≤ 5} D．{ ∣3 ≤ ≤ 6}
【解題思路】利用排列數公式將不等式轉化為二次不等式求解.
【解答過程】易知 ≥ 3， ∈ .
因為A3 = ( 1)( 2)，A2 +1 = ( + 1) ，A2 = ( 1)，
所以原不等式可化為3 ( 1)( 2) ≤ 2 ( + 1) +6 ( 1)，
所以3 ≤ ≤ 5，
所以原不等式的解集為{3,4,5}.
故選：A.
3．（23-24 高二下·江蘇無錫·階段練習）下列命題正確的有（ ）
A．若C = C ，則 = B．若A 10 = 10 × 9 × × 3，則 = 7
C．A + A 1 = A +1 D． C 1 = C 1
【解題思路】根據排列數和組合數的階乘公式以及性質依次判斷各個選項的正誤即可.
【解答過程】對于 A，若C = C ，則 = 或 = ，故 A 錯誤；
10! 10!
對于 B， 10 = 10 × 9 × × 3 = 2! = (10 )!，則 = 8，故 B 錯誤；
! ! ( +1)! ! ! ( +1)!
對于 C，A + A 1 = ( )! + ( +1)! = ( +1 )! + ( +1)! = ( +1)! = A +1，故 C 正確；
1 ( 1)! !對于 D， C 1 = ( 1)! ( )! =

! ( )! = C ，故 D 正確；
故選：CD.
4．（24-25 高三上·重慶·階段練習）若C 19 = C2 219 ，則C34 + C3 35 + + C 的值為 69 .
【解題思路】根據組合數的性質及參數范圍得出參數 m，再計算組合數即可.
【解答過程】因為C 2 219 = C19 ，所以 = 2 2或 + 2 2 = 19，解得 = 2或 = 7,
因為C3 34 + C5 + + C3 ，所以 ≥ 3,可得 = 7,
所以C3 + C34 5 + + C3 3 3 3 3 =C4 + C5 + C6 + C7 = 4 + 10 + 20 + 35 = 69.
故答案為：69.
5．（23-24 高二下·江蘇徐州·階段練習）（1）計算：C33 + C3 3 34 + C5 + + C11；（結果用數字表示）
（2）解不等式：3A3 < 2A2 +6A2 +1 ；
【解題思路】（1）根據組合數性質C + C +1 = C +1 +1 運算求解；
（2）根據排列數公式運算求解即可.
【解答過程】（1）由題意可知：C3 + C3 + C3 + + C3 = C4 3 3 33 4 5 11 4 + C4 + C5 + + C11
= C4 3 35 + C5 + + C11 = C46 + C36 + + C311
= = C4 + C3 411 11 = C12 = 495；
! ( +1)! !
（2）因為3A3 < 2A2 2 +1 +6A ，可知 ≥ 3，且3( 3)! < 2( 1)! +6( 2)!，
整理可得3 2 17 + 10 < 0 2，解得3 < < 5，
且 ≥ 3, ∈ *，所以 = 3或4.
6．（23-24 高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：A3 = 16C2 .
（2）計算：C4 + C4 + C4 + + C44 5 6 9.
（3）解不等式A 7 < 12A 27 ( 3).
【解題思路】（1）根據排列數公式計算可得答案；
（2）根據組合數公式計算可得答案；
（3）根據排列數公式計算可得答案；.
【解答過程】（1）因為A3 = 16C2 ，所以 ( 1)( 2) = 16 ×
( 1)
2 .
又因為 ≥ 3，所以 2 = 8，解得 = 10；
（2）因為C 1 1 + C 1 = C ，
所以C4 + C4 44 5 + C6 + + C49
= C55 + C4 4 45 + C6 + + C9 = C56 + C46 + + C49 = = C510 = 252；
2 7! 7!（3）因為A7 < 12A7 ( ≥ 3)，所以(7 )! < 12 × (9 )(8 )(7 )!.
因為3 ≤ ≤ 7，所以(9 )(8 ) < 12，
即 2 17 + 60 < 0，解得5 < < 12，
所以5 < ≤ 7，又 ∈ *，所以 = 6或 = 7.
【類型 2 元素（位置）有限制的排列問題】
7．（23-24 高二下·內蒙古·期中）從 6 人（包含甲）中選派出 3 人參加 ， ， 這三項不同的活動，且每項
活動有且僅有 1 人參加，若甲不參加 和 活動，則不同的選派方案有（ ）
A．60 種 B．80 種 C．90 種 D．150 種
【解題思路】分甲被選中和甲沒被選中兩種情況，結合排列數公式即可求解.
【解答過程】當甲被選中時，不同的選派方案有A25 = 20種；
甲沒被選中時，不同的選派方案有A35 = 60種.
故滿足條件的不同的選派方案有20 + 60 = 80種.
故選：B.
8．（23-24 高二下·山西太原·期末）北京時間 2024 年 4 月 26 日，神舟十七號航天員乘組和神舟十八號航天
員乘組勝利會師“天宮”.隨后，兩個乘組要拍張“全家福”照片，向全國人民報平安.已知兩個乘組各 3 人，每
個乘組有一名指令長.拍照時，要求站兩排，前排 2 人，后排 4 人.若兩個指令長在前排，則不同的排法種數
為（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
【解題思路】根據給定條件，利用分步乘法計數原理及全排列問題列式計算即得.
【解答過程】依題意，排前排 2 人有A22種方法，排后排 4 人有A44種方法，
由分步乘法計數原理得不同排法種數是A2 42A4 = 2 × 24 = 48.
故選：B.
9．（23-24 高二下·江蘇徐州·階段練習）用 0、1、2、3、4、5 組成沒有重復數字的四位數，則下列說法正
確的是（ ）
A．可組成 300 個不重復的四位數
B．可組成 156 個不重復的四位偶數
C．可組成 120 個能被 5 整除的不重復四位數
D．若將組成的不重復的四位數按從小到大的順序排列，則第 85 個數字為 2301
【解題思路】應用分類分步原理，結合分組討論的方法研究不同選項中的計算問題：A 中 6 個數中選 4 個
全排列再排除首位為 0 的情況或首位在 1、2、3、4、5 任選一個數再從剩余數中選 3 個數全排；B 中分末位
為 0，為 2、4 兩種情況分別計數再求和；B 中分末位為 0，為 5 兩種情況分別計數再求和；D 中分首位為
1、2、 依次計數，找到第 85 個數字的位置再確定數字即可.
【解答過程】A 選項，有C1A35 5 = 300個，故 A 正確；
B 選項，分為兩類：0在末位，則有A35 = 60種；
0不在末位，則有C1 1 22C4A4 = 96種，
所以共有60 + 96 = 156種，故 B 正確；
C 選項，分為兩類：0在末位，則有A35 = 60種；
5 在末位，則有C1 24A4 = 48種，
所以共有60 + 48 = 108種，故 C 錯誤；
D 選項，首位為1的有A35 = 60個；前兩位為20的有A24 = 12個；前兩位為21的有A24 = 12個，
所以第85個數字是前兩位為23的最小數，即為2301，故 D 正確；
故選：ABD.
10．（23-24 高二下·山東臨沂·期中）某單位安排甲、乙、丙等 6 人參與周一至周六的值班，每天 1 人，每
人值班 1 天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，則不同的安排方法有 252 種．
【解題思路】利用特殊元素優先及分類討論的思想計算即可.
【解答過程】①若甲安排在周五，則乙有 3 種安排方法，余下的四人四天A44 = 24種安排方法，合計有
3 × 24 = 72種方法；
②同理，若乙被安排在周五，也有 72 種方法；
③若甲、乙都不被安排在周五，
則甲、乙可選周一、二、四三天中的兩天即有A23 = 6種方法，
丙有余下四天中除周五的三天可選，即 3 種方法，
余下三人安排余下的三天，有A33 = 6種方法，合計有3 × 6 × 6 = 108種方法，
綜上不同的安排方法共72 + 72 + 108 = 252種.
故答案為：252.
11．（23-24 高二下·河南鄭州·期中）用 0，1，2，3，4 這 5 個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有
重復數字五位數？
(1)組成五位偶數；
(2)組成千位數字和十位數字是奇數的偶數．
【解題思路】（1）根據末尾是否為 0 進行分類，利用分類計數原理即得；
（2）法一、就末尾數字是否為 0 進行分類計數；法二、就不同數位進行取數，分步計數.
【解答過程】（1）由題意，五位偶數可以分成兩類：
①末位是 0，只需將其余 4 個數字在另外四個數位全排，有A44 = 24個，
②末位是 2 或 4，先從 2 與 4 中選一個放在末位，再從除 0 和它之外的 3 個數字中選 1 個放在首位，
剩下 3 個數字全排，有A1 1 32A3A3 = 36個，
由分類加法計數原理可得， 滿足條件的五位偶數共有24 + 36 = 60個.
（2）法一、分類完成：① 0 是末位數，將 1 和 3 在千位和十位全排，剩下的兩個在剩余數位上去安排，有
A2A22 2 = 4個；
② 2 或 4 是末位數時，末位和首位有兩種選法且百位必須是 0，剩余的 1 和 3 在十位和千位全排，有A2 12A2 = 4
個.
由分類加法計數原理，這樣的偶數共有：4 + 4 = 8個.
法二、分步完成：第一步：千位數字和十位數字位從奇數 1，3 中取，有A22種方法；
第二步：首位從 2，4 中取，有A12種方法；
第三步：余下的排在剩下的兩個數位，有A22種方法，
由分步乘法計數原理，這樣的偶數共有：A2 12A2A22 = 8個.
12．（23-24 高二下·江蘇徐州·期中）有 3 名女生 4 名男生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的種數，
(1)全體排成一行，其中 4 名男生互不相鄰；
(2)全體排成一行，其中甲、乙中間有且只有 1 人；
(3)全體排成前后兩排，前排 3 人，后排 4 人，且后排至少 2 個男生
【解題思路】（1）不相鄰問題借助插空法計算即可得；
（2）先選出一人放入甲乙中間后使用捆綁法即可得；
（3）分別計算后排有 2 個男生、3 個男生、4 個男生的情況即可得.
【解答過程】（1）先排 3 名女生，共A33種排法，再將 4 名男生分別插入 3 名女生形成的四個空中，
有A44種排法，故共有A33 A44 = 6 × 24 = 144種排法；
（2）先從剩下的 5 人中選出一人放入甲乙中間，有C15種排法，
結合甲乙的順序與剩余 4 人一起排，則共有C15A2 52A5 = 1200種排法；
（3）后排 2 個男生的話共有C2 2 4 34C3A4A3種，后排 3 個男生的話共有C3 1 4 34C3A4A3種，
后排 4 個男生的話共有A4 34A3種，
故共有C2C2A4A34 3 4 3 + C3C1A4A3 4 34 3 4 3 + A4A3 = (18 + 12 + 1) × 144 = 4464種排法.
【類型 3 相鄰、相間問題】
13．（23-24 高二下·河南安陽·期末）某班畢業晚會有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節目制成一個節
目單.其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰，這樣的節目單有（ ）種
A．36 B．40 C．32 D．42
【解題思路】根據題意，結合插空法與捆綁法代入計算，即可
【解答過程】將相聲，跳舞看成一個整體，與唱歌，雜技全排列共有A2 32 A3 = 12種情況，
3 個節目有 4 個空，除去相聲旁邊的那個空，還剩 3 個空，小品選其一，有C13 = 3種，
所以共有12 × 3 = 36種排法.
故選：A.
14．（23-24 高二下·浙江·期中）已知 3 名教師和 4 名學生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和
學生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（ ）
A．144 B．288 C．576 D．720
【解題思路】利用捆綁法和插空法結合分步乘法計數原理求解即可.
【解答過程】先將教師甲和學生乙捆綁成一個元素，與另外 3 名學生全排列，則有A2 42A4 = 48種方法，
再將剩下的兩名教師插入除去與教師甲相鄰的四個空位中，有A24 = 12種方法，
所以由分步乘法計數原理可知共有48 × 12 = 576種不同的排法，
故選：C.
15．（23-24 高二下·河南洛陽·期中）5 名同學站成一橫排照畢業照，下列說法正確的是（ ）
A．甲不排在最中間，則不同的排法有 72 種
B．甲乙不相鄰，則不同的排法有 72 種
C．甲乙必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法有 72 種
D．甲乙丙三人中有且僅有兩人相鄰，則不同的排法有 72 種
【解題思路】由排列、組合及簡單計數問題，結合相鄰問題捆綁法及不相鄰問題插空法求解.
【解答過程】對于 A，甲不排在最中間，則不同的排法有C1A44 4 = 96中，故 A 錯誤；
對于 B，甲乙不相鄰，則不同的排法有A3A23 4 = 72種，故 B 正確；
對于 C，甲乙必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法有A44 = 24種，故 C 錯誤；
對于 D，甲乙丙三人中有且僅有兩人相鄰，則不同的排法有A2 2 23A2A3 = 72種，故 D 正確；
故選：BD.
16．（23-24 高二下·貴州·期中）2024 年 3 月 5 日至 11 日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召
開.此次大會是高舉旗幟、真抓實干、團結奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責，凝聚
起扎實推進中國式現代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的 10 位黨員開展“學習貫徹 2024
年全國兩會精神”圓桌會議，根據會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有
43200 種（用數字作答）.
【解題思路】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，甲和丙不能相鄰，采用插空法，結合圓排列，再根據分步乘
法原理計算即可.
【解答過程】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，將其看作一個整體，與除丙丁外的其他 6 人排成一圈，共有
2 7A2
A7 = 1440
7 種排列.
甲和丙，丁不能相鄰，采用插空法，甲和乙與除了丙丁外的其他 6 人排成一圈后形成 7 個空，但甲與丙丁
不能相鄰，故丙丁只有 6 個空位可選，有A26 = 30種選擇，
根據分步乘法原理可知，不同的排法總數為30 × 1440 = 43200.
故答案為：43200.
17．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）已知有 3 名男生和 2 名女生，站在一排照相.
(1)男生均相鄰且女生均相鄰的排法種數是多少；
(2)女生互不相鄰的種數是多少；
(3)甲不站左端，且乙不站右端，有多少種排法.
【解題思路】（1）利用捆綁法，把把男生看成一個整體、女生看成一個整體，結合排列數運算求解；
（2）利用插空法，先排男生，男生之間和兩端共 4 個空位，選 2 個空位插入女生，結合排列數運算求解；
（3）利用間接法，先將 5 人排列，再排除甲站左端或乙站右端的情況，結合排列數運算求解.
【解答過程】（1）把男生看成一個整體、女生看成一個整體排列有A22，男生內部排列有A33，女生內部排列
有A22，
根據分步乘法計算原理有A22A3 23A2 = 24種排法.
（2）先排男生，男生之間和兩端共 4 個空位，選 2 個空位插入女生，
所以女生互不相鄰有A33A24 = 72種排法.
（3）因為5個人全排列有A55排法，
且甲站左端有A44種排法，乙站右端有A44種排法，甲站左端且乙站右端有A33種排法，
所以甲不站左端，且乙不站右端有A5 2A45 4 + A33 = 78種排法.
18．（23-24 高二下·江蘇徐州·期中）有 8 名同學站成一排照相，符合下列各題要求的不同排法共有多少種
（用數字作答）？
(1)甲同學既不站在排頭也不站在排尾；
(2)甲 乙 丙三位同學兩兩不相鄰；
(3)甲 乙兩同學相鄰，且丙 丁兩同學也相鄰；
(4)甲 乙兩同學不相鄰，且乙 丙兩同學也不相鄰.
【解題思路】（1）利用特殊元素優先原則，利用排列列式計算即得.
（2）利用插空法求解不相鄰問題.
（3）利用捆綁法求解相鄰問題.
（4）利用排除法列式計算即得.
【解答過程】（1）中間 6 個位置取 1 個讓甲站，余下 7 個位置讓另 7 個人站，
所以不同排法種數是A16A77 = 6 × 5040 = 30240.
（2）排除甲 乙 丙三位同學的 5 名同學，再在每一種排法的 6 個間隙中插入甲 乙 丙，
所以不同排法種數是A5 35A6 = 120 × 120 = 14400.
（3）分別視甲乙、丙丁為一個整體，與其余 4 名同學作全排列，再分別對甲乙、丙丁作排列，
所以不同排法種數是A22A2A62 6 = 2 × 2 × 720 = 2880.
（4）求出 8 個人的全排列，去掉甲乙相鄰、乙丙相鄰的排列法，再補上乙在甲丙中間的 3 人相鄰的排列，
所以不同排法種數是A8 2A2A78 2 7 + A22A66 = 40320 2 × 2 × 5040 + 2 × 720 = 21600.
【類型 4 定序問題】
19．（23-24 高二下·北京·期末）某 4 位同學排成一排準備照相時，又來了 2 位同學要加入，如果保持原來 4
位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數為（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【解題思路】利用排列中的定序問題的處理方法進行處理.
【解答過程】6 位同學排成一排準備照相時，共有A66種排法，
A6
如果保持原來 4 位同學的相對順序不變，則有 6A4 = 30種排法，故 A，B，C 錯誤.4
故選：D.
20．（24-25 高二·全國·課后作業）某公司為慶祝年利潤實現目標，計劃舉行答謝聯歡會，原定表演 6 個節
目，已排成節目單，開演前又臨時增加了 2 個互動節目.如果保持原節目的順序不變，那么不同排法的種數
為（ ）
A．42 B．56 C．30 D．72
【解題思路】利用倍縮法，先將 8 個節目排好，由于原來 6 個節目順序不變，則要除以原有的 6 個節目對
應的不同排法，即可得解.
【解答過程】解：增加 2 個互動節目后，一共有 8 個節目，這 8 個節目的不同排法有 88種，
而原有的 6 個節目對應的不同排法共有 66種，
8
所以不同的排法有 8 6 = 56（種）.6
故選：B.
21．（23-24 高二下·江蘇連云港·階段練習）在高二元旦晚會上，有6個演唱節目，4個舞蹈節目．以下有關
排列組合問題中正確的是 （ ）
A．有A1010種不同的節目演出順序
B．當4個舞蹈節目接在一起時， 有A77種不同的節目演出順序
C．當要求每2個舞蹈節目之間至少安排1個演唱節目時，有A6 46A7種不同的演出順序
D．若已定好節目單，后來情況有變， 需加上詩歌朗誦和快板2個節目，但不能改變原來節目的相對順
A12
序，有 12A10種不同的節目演出順序10
【解題思路】利用全排列判斷 A，利用捆綁法判斷 B，利用插空法判斷 C，首先考慮12個節目全排列，再除
以A1010，即可判斷 D.
【解答過程】對于 A：10個節目全排列，有A1010種不同的節目演出順序，故 A 正確；
對于 B：當4個舞蹈節目接在一起時，把4個舞蹈節目看成一個元素，與其他6個節目全排列，
有A77種不同的節目演出順序，而4個舞蹈節目本身有A44種順序，
所以共有A4 74A7種不同的節目演出順序，故 B 錯誤；
對于 C：把6個演唱節目排列，有A66種順序，再把4個舞蹈節目插入到7個空擋中，有A47種方法，
所以共有A6 46A7種不同的演出順序，故 C 正確；
對于 D：12個節目全排列，有A1212種不同的節目演出順序，其中原來的10個節目有A1010種不同的節目演出順
序，
10 A
12
而現在原來的 個節目順序不變，只占其中一種，所以有 12A10種不同的節目演出順序，故 D 正確，10
故選：ACD．
22．（23-24 高二下·上海·期中）小張一次買了三串冰糖葫蘆，其中一串有兩顆冰糖葫蘆，一串有三顆冰糖
葫蘆，一串有五顆冰糖葫蘆.若小張每次隨機從其中一串中吃一顆，每一串只能從上往下吃，那么不同的吃
完的順序有 2520 種.（結果用數字作答）
【解題思路】考查排列問題，記三串冰糖葫蘆從上往下依次為 1, 2， 1, 2, 3， 1, 2, 3, 4, 5，則由每一
串只能從上往下吃可知每一串冰糖葫蘆相對位置是已定的，所以根據定序問題處理即可求出答案.
【解答過程】由題，記三串冰糖葫蘆從上往下依次為 1, 2， 1, 2, 3， 1, 2, 3, 4, 5，
則因為每一串只能從上往下吃，
所以 1在 2前被吃， 1在 2前而 2在 3前被吃，即它們被吃的相對位置是已定的，同理 1, 2, 3, 4, 5被吃
的相對位置也是已定的，
A1010 10!
所以根據排列中定序問題可得不同的吃完的順序有A2A3A5 =2 3 5 2!3!5! = 2520種.
故答案為：2520.
23．（23-24 高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在 2024 年賓縣一中紀念“五四”活動中，獲得一等獎的某節目
參演人員合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用數字作答）
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)男、女相間的站法有多少種？
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【解題思路】（1）特殊元素優先排列即可得；
（2）不相鄰問題用插空法排列即可得，
（3）定序問題用倍縮法排列即可得.
【解答過程】（1）甲不在中間也不在兩端，故甲可選4個位置，其余六人可排除A66種，
故共有4A66 = 2880種；
（2）先排男生，共有A33種，則女生可在男生排完后的四個空中選擇四個，即有A44種，
故共有A3 43A4 = 144種；
7
（3 A）全部排好共有A77種，由甲、乙、丙三人順序一定，共有故
7
A3 = 840種.3
24．（23-24 高二下·陜西咸陽·階段練習）有 3 名男生和 4 名女生，根據下列不同的要求，求不同的排列方
法種數．
(1)全體排成一行，其中 3 名男生必須排在一起；
(2)全體排成一行，3 名男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；
(4)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊．
【解題思路】（1）先將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，由分步計數原理計算
可得答案；
（2）先排女生，然后在空位中插入男生，由分步計數原理計算可得答案；
（3）7 名學生排成一行，分兩步：第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為 N；第二步，對
甲、乙、丙進行全排列，計算可得答案；
（4）先排最左邊，除去甲外有A16種排法，余下的 6 個位置全排有A66種排法，但應剔除乙在最右邊的排法
A1A55 5種，相減可得答案.
【解答過程】（1）捆綁法．將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，共有A3A53 5 = 720
（種）排法；
（2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有A4A34 5 = 1440（種）排法；
（3）定序排列．7 名學生排成一行，分兩步：
第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為 N；
第二步，對甲、乙、丙進行全排列．由乘法原理得A77= × A33，
A7
所以 = 7A3 = 840（種）；3
（4）位置分析法．先排最左邊，除去甲外有A16種排法，余下的 6 個位置全排有A66種排法，
但應剔除乙在最右邊的排法A1A55 5種，則符合條件的排法共有A1 6 1 56A6 A5A5 = 3720（種）.
【類型 5 分組、分配問題】
25．（23-24 高二下·河北石家莊·期末）某大學學生會安排 5 名學生作為“校慶 70 周年——歡迎校友回家”活
動的志愿者，已知該活動的志愿者值班區域分為主樓區、偏樓區和大廳區三個區域，每名志愿者只需去一
個區域進行志愿值班服務，且每個區域至少有 1 名志愿者，則不同的安排方法有（ ）
A．45 種 B．90 種 C．150 種 D．240 種
【解題思路】先將 5 人按照1,2,2，或1,1,3進行分組，然后再將 3 組進行全排列即可.
【解答過程】5 名學生分成三組的情況有1,2,2或1,1,3，
1 2
當為1,2,2 C時，則不同的安排方法有 5C4 × A3 = 902×1 3 種，
C1C1
當為1,1,3時，則不同的安排方法有 5 4 × A33 = 602×1 種，
所以，一共有90 + 60 = 150種方法.
故選：C.
26．（23-24 高二下·山東濟寧·期中）某工程隊有 6 輛不同的工程車，按下列方式分給工地進行作業，每個
工地至少分 1 輛工程車，則下列結論正確的是（ ）
A．分給甲 乙 丙三地每地各 2 輛，有 120 種分配方式
B．分給甲 乙兩地每地各 2 輛，分給丙 丁兩地每地各 1 輛，有 180 種分配方式
C．分給甲 乙 丙三地，其中一地分 4 輛，另兩地各分 1 輛，有 60 種分配方式
D．分給甲 乙 丙 丁四地，其中兩地各分 2 輛，另兩地各分 1 輛，有 1160 種分配方式
【解題思路】AB 項，工地不同，工程車不同，按工地選車順序分步計數即可；CD 項，先分組再分配．計
算后判斷各選項．
【解答過程】對 A，先甲地從 6 輛工程車中分 2 輛，有C26種方法，再乙地從剩余的 4 輛工程車中分 2 輛，
有C24種方法，最后的 2 輛分給丙地，
所以不同的分配方式有C2C26 4 = 90（種），故 A 錯誤；
對 B，6 輛工程車先分給甲 乙兩地每地各 2 輛，有C2 26C4種方法，剩余 2 輛分給丙 丁兩地每地各 1 輛，有A22
種方法，
所以不同的分配方式有C2C2A26 4 2 = 180（種），故 B 正確；
對 C，先把 6 輛工程車分成 3 組：4 輛 1 輛 1 輛，有C46種方法，再分配給甲 乙 丙三地，
所以不同的分配方式有C4 36A3 = 90（種），故 C 錯誤；
C2C2
對 D，先把 6 輛工程車分成 4 組：2 輛 2 輛 1 輛 1 輛，有 6 4A2 種分組方法，再分給甲 乙 丙 丁四地，2
C2C2
所以不同的分配方式有 6 4 4A2 A4 = 1080（種），故 D 錯誤.2
故選：B.
27．（24-25 高二下·江蘇南京·階段練習）甲、乙、丙、丁、戊 5 名大學生參加 2024 年南京半程馬拉松志愿
者服務活動，有賽道補給、路線引導、物品發放、興奮劑檢測四項工作可以安排，則以下說法正確的是
（ ）
A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數為45
B．若每項工作至少有 1 人參加，則不同的方法數為 240
C．如果興奮劑檢測工作不安排，其余三項工作至少安排 1 人，則這 5 名同學全部被安排的不同方法數
為300
D．每項工作至少有 1 人參加，甲乙不會興奮劑檢測，但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四
項工作，則不同安排方案的種數是126
【解題思路】A 項由分步計數原理求解；B 項先從 5 人中選 2 人作為 1 組，再與另外 3 人共 4 組進行全排列；
C 項先將 5 名同學分為 3 組，然后再分別安排賽道補給、路線引導、物品發放三項工作；D 項分從丙、丁、
戊 3 人中選 2 人興奮劑檢測和選 1 人興奮劑檢測進行求解．
【解答過程】解：對于選項A，給其中的一人安排一項工作，則有 4 種不同的安排方法，則每人都安排一項
工作，
則不同的方法數為45 = 1024，即選項A正確；
對于選項 B，每項工作至少有 1 人參加，先從 5 人中選 2 人作為 1 組，再與另外 3 人共 4 組，
每組選一項工作，則不同的方法數為C25A44 = 240，即選項 B 正確；
對于選項 C，先將 5 名同學分為 3 組，然后再分別安排賽道補給、路線引導、物品發放三項工作，
C2C2 1 1
則這 5 名同學全部被安排的不同方法數為，( 5 3 + C5C4)A3A2 A2 3 = 150，即選項 C 錯誤；2 2
對于選項 D，當從丙、丁、戊 3 人中選 2 人興奮劑檢測，則不同安排方案的種數是C23A33，
當從丙、丁、戊 3 人中選 1 人興奮劑檢測，則不同安排方案的種數是C13C2 34A3，
即不同安排方案的種數是C1 2 3 2 33C4A3 + C3A3 = 126，即選項 D 正確，
故選：ABD．
28．（23-24 高二下·河北邢臺·期中）要安排 5 名學生到 3 個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去 1 個村，
每個村里至少安排 1 名志愿者，其中學生甲不分配到 村，則不同的安排方法種數為 100 .
【解題思路】結合分類討論，應用分步計數及分組分配計算.
【解答過程】當 村安排 1 人時，不同的安排方法種數為C14 C24C22 + C1 34C3A22 = 56；
當 村安排 2 人時，不同的安排方法種數為C24C1C2 23 2A2 = 36；
當 村安排 3 人時，不同的安排方法種數為C3 24A2 = 8.
綜上，共有 56+36+8=100 種不同的安排方法.
故答案為：100.
29．（23-24 高二下·新疆烏魯木齊·期中）男運動員 6 名，女運動員 4 名，其中男、女隊長各 1 名.現選派 5
人外出參加比賽.
(1)隊長中至少有 1 人參加，有多少種選派方法
(2)參賽的運動員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)，有多少種安排方式
【解題思路】（1）求出隨機選擇和沒有隊長的情況，即可求出隊長中至少有 1 人參加時選派方法的數量；
（2）求出隨機選擇人數，5人隨機坐和5人坐同一個車中的情況，即可求出運動員分坐在兩輛車上(每輛車
上至少有一名運動員)時安排方式的數量.
【解答過程】（1）由題意，
男運動員 6 名，女運動員 4 名，其中男、女隊長各 1 名.選派 5 人，
若沒有隊長，則有C58 = 56種選派方法，
若隨機選擇，則有C510 = 252種選派方法，
∴隊長中至少有 1 人參加，有C5 C510 8 = 252 56 = 196種方法.
（2）由題意，
男運動員 6 名，女運動員 4 名，選派 5 人外出參加比賽，分坐在兩輛車，
∴選擇的人是隨機的，有C510 = 252種情況，
若5人坐同一個車中，有2種情況，
若5人隨機坐，有25種情況，
∴從10人中選 5 人，且坐在2輛不同的車中，有C5 (2510 2) = 7560種情況.
30．（23-24 高二下·廣東深圳·期中）富源學校高二年級有 6 名同學（簡記為 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三個體育場館做志愿者.
(1)一天上午有 16 個相同的口罩全部發給這 6 名同學，每名同學至少發兩個口罩，則不同的發放方法種數？
(2)每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且 A、 兩人約定去同一個場館， 、 不想去一個場
館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數？
【解題思路】（1）因為 6 個相同的口罩，利用隔板法結合組合數分析求解；
（2）分人數配比為 1，1，3 和 1，2，2 兩種情況，結合排列數、組合數運算求解.
【解答過程】（1）16 個相同的口罩，每位同學先拿一個，剩下的 10 個口罩排成一排有 9 個間隙，
插入 5 塊板子分成 6 份，每一種分法所得 6 份給到 6 個人即可，
所以不同的發放方法C59 = 126種.
（2）把 A， 視為一人，相當于把 5 個人先分成三組，再分配給三個場館，
分組方法有兩類：第一類 1，1，3，去掉 ， 在一組的情況，有 C35 C13 種分組方法，
再分配給三個場館，有 C3 1 35 C3 A3 = 7 × 6 = 42種方法，
1
第二類 1，2，2，去掉 ， 在一組的情況，有 C5C
2
4 C1 種分組方法，
A2 32
1 2
再分配給三個場館，有 C5C4 C13
3
3 = 12 × 6 = 722 種方法，A2
所以不同的安排方法有42 + 72 = 114種方法.
【類型 6 涂色問題】
31．（23-24 高二下·廣東清遠·期末）現要對三棱柱 1 1 1的 6 個頂點進行涂色，有 4 種顏色可供選
擇，要求同一條棱的兩個頂點顏色不一樣，則不同的涂色方案有（ ）
A．264 種 B．216 種 C．192 種 D．144 種
【解題思路】根據給定條件，利用分類加法計數原理及分步乘法計數原理，結合排列、組合計數問題列式
計算即得.
【解答過程】依題意，求不同涂色方案問題，有用 4 種顏色和用 3 種顏色兩類辦法，
用 4 種顏色，先涂點 , , 有A34種方法，再在 1, 1, 1中選一點涂第 4 色，另兩點有 3 種涂色方法，
因此不同涂色方法數為3C13A34 = 216；
用 3 種顏色，先涂點 , , 有A34種方法，再涂 1, 1, 1有 2 種方法，
因此不同涂色方法數為2A34 = 48，
所以不同的涂色方案有216 + 48 = 264（種）.
故選：A.
32．（23-24 高二下·重慶·期末）國際數學家大會（ICM）是由國際數學聯盟（IMU）主辦的國際數學界規
模最大也是最重要的會議，每四年舉行一次，被譽為數學界的奧林匹克盛會.2002 年第 24 屆國際數學家大
會在北京召開，其會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，由一個正方形和四個全等的直角三角形
構成（如圖）.現給圖中 5 個區域涂色，要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，且每個區域只涂一種顏色.若有
5 種不同的顏色可供使用，則不同的涂色方案有（ ）
A．120 種 B．360 種 C．420 種 D．540 種
【解題思路】要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，則涂 5 塊區域至少需要3種顏色，然后對使用的顏色種數
進行分類討論，分別求出方案數，再運用分類加法計數原理求出最后結果.
【解答過程】要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，則涂 5 塊區域至少需要3種顏色，
若5塊區域只用3種顏色涂色，則顏色的選法有C35種，相對的直角三角形必同色，
此時不同的涂色方案有C3A35 3 = 60種；
若5塊區域只用4種顏色涂色，則顏色的選法有C45種，其中一對相對的直角三角形必同色，
余下的兩個直角三角形不同色，此時不同的涂色方案有C4 1 45C2A4 = 240種；
若5塊區域只用5種顏色涂色，則每塊直角三角形都不同色，此時不同的涂色方案有A55 = 120種；
綜上，不同的涂色方案有：60 + 240 + 120 = 420種.
故選：C.
33．（23-24 高二下·浙江杭州·期中）如圖，在一廣場兩側設置 6 只彩燈，現有 4 種不同顏色的彩燈可供選
擇，則下列結論正確的是（ ）
A．共有46種不同方案
B．若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如 1 4）也不同色，且 4 種顏色的彩燈均要使用，則共有 186
種不同方案
C．若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如 1 4）也不同色，且只能使用 3 種顏色的彩燈，則共有 192
種不同方案
D．若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如 1 4）也不同色，且只能使用 2 種顏色的彩燈，則共有 12 種
不同方案
【解題思路】根據題意，利用分步乘法和分類加法計數原理，結合排列組合的綜合問題，依次推導、計算
即可求解.
【解答過程】對于選項 A，每個彩燈顏色都有 4 種選擇，根據分步乘法原理得，
有4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 46種不同方案，故 A 正確；
對于選項 B，第一類：先從 4 種顏色的彩燈選出 3 種顏色的彩燈有安裝在 1，2，3 號位，則有A34 = 24種結
果，
①使用 1 種剩余的顏色和前 3 種顏色的 1 種安裝 4，5，6 號位彩燈時，有C12+1 = 3種結果；
②使用 1 種剩余的顏色和前 3 種顏色的 2 種安裝 4，5，6 號位彩燈時，有3C23 = 9種結果；
根據乘法原理得共有24 × 12 = 288種不同的安裝方法；
第二類：先從 4 種顏色的彩燈選出 2 種顏色的彩燈有安裝在 1，2，3 號位，則有A24 = 12種結果，
再安裝 4，5，6 號位彩色燈，分兩類：
第一類，4，5，6 號位只用 1，2，3 號位剩余的 2 種彩色燈，有 2 種結果，
第二類，4，5，6 號位用 1，2，3 號位剩余的 2 種彩色燈和前三個位置使用過的 1 種彩燈，
有C12 A2 22 + A2 = 6種結果，根據計數原理得共有A24 2 + C1 2 22 A2 + A2 = 96種不同的安裝方法.
由分類加法原理得共有288 +96 = 384種不同的安裝方案，故 B 錯誤；
對于選項 C，第一步：先從 4 種顏色的彩燈選出 3 種顏色的彩燈有安裝在 1，2，3 號位，則有A34 = 24種結
果，第二步：分兩類：第一類，4，5，6 號位用 1，2，3 號位的 3 種彩色燈，有 2 種結果，
第二類，4，5，6 號位用 1，2，3 號位的 2 種彩色燈，有C23 C12 = 6種結果，
根據計數原理得共有A34 2 + C23 C12 = 192種不同的安裝方法.故 C 正確；
對于選項 D，第一步：從 4 種顏色的彩燈選出 2 種顏色的彩燈安裝在 1，2，3 號位，則有C2 14 C2 = 12種結
果，第二步：安裝 4，5，6 號位彩燈有 1 種，根據分步計數原理，可得有12 × 1 = 12種不同的安裝法，故 D
正確；
故選：ACD.
34．（23-24 高二下·山西呂梁·階段練習）給如圖所示的圓環涂色，將圓環平均分成 A，B，C，D 四個區域，
現有紅，黃、藍、綠四種顏色可供選擇，要求每個區域只涂一種顏色且相鄰區域的顏色不同，則不同的涂
色方法有 84 種.
【解題思路】根據四個區域涂顏色的種類數進行分類，分別計算出三類涂法的種類數，相加即可得出結果.
【解答過程】由題意可知：四個區域最少涂兩種顏色，最多涂四種顏色，所以分以下三類：
當涂兩種顏色時：A 和 C 相同，B 和 D 相同，共有A24 = 12種涂色方法；
當涂三種顏色時：分 A 和 C 相同和 A，C 不同兩種情況，此時共有C3 C1A2 + A24 3 2 3 = 48種涂色方法；
當涂四種顏色時：四個區域各涂一種，此時共有A44 = 24種涂色方法.
綜上，不同的涂色方法有12 + 48 + 24 = 84種.
故答案為：84.
35．（23-24 高二下·河南周口·階段練習）現要用紅、橙、黃、綠、青、藍、紫 7 種顏色對某市的如圖的四
個區域進行著色，有公共邊的兩個區域不涂同一種顏色，則共有幾種不同的涂色方法？
【解題思路】依題意可得Ⅰ與Ⅳ可以同色，因此涂四個區域可用 3 種顏色，也可用 4 種顏色，利用分類加法
計數原理計算可得.
【解答過程】由圖形知，Ⅰ與Ⅳ可以同色，因此涂四個區域可用 3 種顏色，也可用 4 種顏色，
用 3 種顏色涂色，即Ⅰ與Ⅳ同色，有A37種方法，
用 4 種顏色涂有A47種方法，
所以不同的涂色方法種數是A3 47 + A7 = 210 + 840 = 1050.
36．（23-24 高二下·河北邢臺·階段練習）如圖，某心形花壇中有 A，B，C，D，E5 個區域，每個區域只種
植一種顏色的花．
(1)要把 5 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(2)要把 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(3)要把紅、黃、藍、白 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，要求相同顏色
的花不能相鄰種植，且有兩個相鄰的區域種植紅、黃 2 種不同顏色的花，共有多少種不同的種植方案？
【解題思路】（1）由全排列公式求出答案；
（2）先選出兩個區域種植同一種顏色的花，再考慮其他三種顏色的花，利用分步乘法計數原理得到答案；
（3）對 區域種植的花的顏色分類討論，求出各種情況的種植方案數，相加后得到答案.
【解答過程】（1）由全排列可得，共有A55 = 120種不同的種植方案．
（2）第一步，先將 5 個區域選出 2 個區域種植一種相同顏色的花，共有C25C14 = 40種方案；
第二步，再將剩余的 3 種顏色的花種植到剩下的 3 個區域，共有A33 = 6種方案．
所以共有40 × 6 = 240種不同的種植方案．
（3）要把 4 種不同顏色的花分別種植到這 5 個區域中，則必然有 2 個區域種植相同顏色的花．
第一類， 區域種植紅色的花， , , , 4 個區域中有 2 個區域種植其他相同顏色的花，
則相同顏色的花必然種植在 , 或 , 區域，共有1 × A1A13 2A22 = 12種方案．
第二類， 區域種植黃色的花，同理可得，共有1 × A13A12A22 = 12種方案．
第三類， 區域種植藍色的花，若有 2 個區域種植白色的花，
則沒有兩個相鄰的區域種植紅、黃 2 種不同顏色的花，所以不可能有 2 個區域種植白色的花，
故 2 個區域種植的相同顏色的花是紅色或黃色的花，共有1 × A12A1 22A2 = 8種方案．
第四類， 區域種植白色的花，同理可得，共有1 × A12A1 22A2 = 8種方案．
綜上，共有12 × 2 + 8 × 2 = 40種不同的種植方案．專題 6.7 排列組合中的必考六類問題
【人教 A 版（2019）】
【類型 1 排列數、組合數的計算與證明】 ............................................................................................................2
【類型 2 元素（位置）有限制的排列問題】 ........................................................................................................3
【類型 3 相鄰、相間問題】 ....................................................................................................................................4
【類型 4 定序問題】 ................................................................................................................................................5
【類型 5 分組、分配問題】 ....................................................................................................................................7
【類型 6 涂色問題】 ................................................................................................................................................8
【知識點 1 排列數與組合數】
1．排列數與組合數
(1)排列數定義
從 n 個不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)個元素的所有不同排列的個數，叫做從 n 個不同元素中取出
m 個元素的排列數，用符號 表示.
(2)組合數
從 n 個不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)個元素的所有不同組合的個數，叫做從 n 個不同元素中取出
m 個元素的組合數，用符號 表示.
2．排列數、組合數的公式及性質
(1)排列數公式
=n(n-1)(n-2) (n-m+1).這里，n,m∈N*，并且 m n.
(2)組合數公式
①連乘表示：
.
這里，n,m∈N*，并且 m n.
②階乘表示： .
規定： .
(3)組合數的性質
①性質 1： ；
②性質 2： .
【知識點 2 排列組合必考問題的分類與解題策略】
1．排列應用問題的分類與解法
(1)有限制條件的排列問題：對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在
實際進行排列時一般采用特殊元素優先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類
過多的問題可以采用間接法.
(2)相鄰問題：對相鄰問題采用捆綁法；相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的
內部排列.
(3)不相鄰問題：不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面
元素排列的空檔中.
(4)定序問題：定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二
是定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.
2．組合問題的分類與解法
組合問題常有以下兩類題型變化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；
“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個
關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，
用間接法處理.
3．分組分配問題
(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.
(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數的階乘；②部分均勻分組，有 m 組元素個數相同，則
分組后除以 m!；③完全非均勻分組，只要分組即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數
原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.
【方法技巧與總結】
1．解決排列、組合問題的八種技巧
(1)特殊元素優先安排.
(2)合理分類與準確分步.
(3)排列、組合混合問題要先選后排.
(4)相鄰問題捆綁處理.
(5)不相鄰問題插空處理.
(6)定序問題倍縮法處理.
(7)分排問題直排處理.
(8)正難則反，等價轉化.
【類型 1 排列數、組合數的計算與證明】
1．（23-24 高二下·河南·期中）若C = C2 +1 13 13 ( ∈ N )，則A5 = （ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
2．（23-24 高二下·河南鄭州·期末）不等式3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A 的解集為（ ）
A．{3,4,5} B．{3,4,5,6} C．{ ∣3 ≤ ≤ 5} D．{ ∣3 ≤ ≤ 6}
3．（23-24 高二下·江蘇無錫·階段練習）下列命題正確的有（ ）
A．若C = C ，則 = B．若A10 = 10 × 9 × × 3，則 = 7
C．A + A 1 = A +1 D． C = C 1 1
4．（24-25 高三上·重慶·階段練習）若C = C2 2 3 3 319 19 ，則C4 + C5 + + C 的值為 .
5．（23-24 高二下·江蘇徐州·階段練習）（1）計算：C3 3 33 + C4 + C5 + + C311；（結果用數字表示）
（2）解不等式：3A3 < 2A2 +1 +6A2 ；
6．（23-24 高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：A3 = 16C2 .
（2）計算：C4 + C4 44 5 + C6 + + C49.
（3）解不等式A 7 < 12A 27 ( 3).
【類型 2 元素（位置）有限制的排列問題】
7．（23-24 高二下·內蒙古·期中）從 6 人（包含甲）中選派出 3 人參加 ， ， 這三項不同的活動，且每項
活動有且僅有 1 人參加，若甲不參加 和 活動，則不同的選派方案有（ ）
A．60 種 B．80 種 C．90 種 D．150 種
8．（23-24 高二下·山西太原·期末）北京時間 2024 年 4 月 26 日，神舟十七號航天員乘組和神舟十八號航天
員乘組勝利會師“天宮”.隨后，兩個乘組要拍張“全家福”照片，向全國人民報平安.已知兩個乘組各 3 人，每
個乘組有一名指令長.拍照時，要求站兩排，前排 2 人，后排 4 人.若兩個指令長在前排，則不同的排法種數
為（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
9．（23-24 高二下·江蘇徐州·階段練習）用 0、1、2、3、4、5 組成沒有重復數字的四位數，則下列說法正
確的是（ ）
A．可組成 300 個不重復的四位數
B．可組成 156 個不重復的四位偶數
C．可組成 120 個能被 5 整除的不重復四位數
D．若將組成的不重復的四位數按從小到大的順序排列，則第 85 個數字為 2301
10．（23-24 高二下·山東臨沂·期中）某單位安排甲、乙、丙等 6 人參與周一至周六的值班，每天 1 人，每
人值班 1 天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，則不同的安排方法有 種．
11．（23-24 高二下·河南鄭州·期中）用 0，1，2，3，4 這 5 個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有
重復數字五位數？
(1)組成五位偶數；
(2)組成千位數字和十位數字是奇數的偶數．
12．（23-24 高二下·江蘇徐州·期中）有 3 名女生 4 名男生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的種數，
(1)全體排成一行，其中 4 名男生互不相鄰；
(2)全體排成一行，其中甲、乙中間有且只有 1 人；
(3)全體排成前后兩排，前排 3 人，后排 4 人，且后排至少 2 個男生
【類型 3 相鄰、相間問題】
13．（23-24 高二下·河南安陽·期末）某班畢業晚會有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節目制成一個節
目單.其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰，這樣的節目單有（ ）種
A．36 B．40 C．32 D．42
14．（23-24 高二下·浙江·期中）已知 3 名教師和 4 名學生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和
學生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（ ）
A．144 B．288 C．576 D．720
15．（23-24 高二下·河南洛陽·期中）5 名同學站成一橫排照畢業照，下列說法正確的是（ ）
A．甲不排在最中間，則不同的排法有 72 種
B．甲乙不相鄰，則不同的排法有 72 種
C．甲乙必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法有 72 種
D．甲乙丙三人中有且僅有兩人相鄰，則不同的排法有 72 種
16．（23-24 高二下·貴州·期中）2024 年 3 月 5 日至 11 日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召
開.此次大會是高舉旗幟、真抓實干、團結奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責，凝聚
起扎實推進中國式現代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的 10 位黨員開展“學習貫徹 2024
年全國兩會精神”圓桌會議，根據會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有
種（用數字作答）.
17．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）已知有 3 名男生和 2 名女生，站在一排照相.
(1)男生均相鄰且女生均相鄰的排法種數是多少；
(2)女生互不相鄰的種數是多少；
(3)甲不站左端，且乙不站右端，有多少種排法.
18．（23-24 高二下·江蘇徐州·期中）有 8 名同學站成一排照相，符合下列各題要求的不同排法共有多少種
（用數字作答）？
(1)甲同學既不站在排頭也不站在排尾；
(2)甲 乙 丙三位同學兩兩不相鄰；
(3)甲 乙兩同學相鄰，且丙 丁兩同學也相鄰；
(4)甲 乙兩同學不相鄰，且乙 丙兩同學也不相鄰.
【類型 4 定序問題】
19．（23-24 高二下·北京·期末）某 4 位同學排成一排準備照相時，又來了 2 位同學要加入，如果保持原來 4
位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數為（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
20．（24-25 高二·全國·課后作業）某公司為慶祝年利潤實現目標，計劃舉行答謝聯歡會，原定表演 6 個節
目，已排成節目單，開演前又臨時增加了 2 個互動節目.如果保持原節目的順序不變，那么不同排法的種數
為（ ）
A．42 B．56 C．30 D．72
21．（23-24 高二下·江蘇連云港·階段練習）在高二元旦晚會上，有6個演唱節目，4個舞蹈節目．以下有關
排列組合問題中正確的是 （ ）
A．有A1010種不同的節目演出順序
B．當4個舞蹈節目接在一起時， 有A77種不同的節目演出順序
C．當要求每2個舞蹈節目之間至少安排1個演唱節目時，有A66A47種不同的演出順序
D．若已定好節目單，后來情況有變， 需加上詩歌朗誦和快板2個節目，但不能改變原來節目的相對順
A12
序，有 12A10種不同的節目演出順序10
22．（23-24 高二下·上海·期中）小張一次買了三串冰糖葫蘆，其中一串有兩顆冰糖葫蘆，一串有三顆冰糖
葫蘆，一串有五顆冰糖葫蘆.若小張每次隨機從其中一串中吃一顆，每一串只能從上往下吃，那么不同的吃
完的順序有 種.（結果用數字作答）
23．（23-24 高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在 2024 年賓縣一中紀念“五四”活動中，獲得一等獎的某節目
參演人員合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用數字作答）
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)男、女相間的站法有多少種？
(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
24．（23-24 高二下·陜西咸陽·階段練習）有 3 名男生和 4 名女生，根據下列不同的要求，求不同的排列方
法種數．
(1)全體排成一行，其中 3 名男生必須排在一起；
(2)全體排成一行，3 名男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；
(4)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊．
【類型 5 分組、分配問題】
25．（23-24 高二下·河北石家莊·期末）某大學學生會安排 5 名學生作為“校慶 70 周年——歡迎校友回家”活
動的志愿者，已知該活動的志愿者值班區域分為主樓區、偏樓區和大廳區三個區域，每名志愿者只需去一
個區域進行志愿值班服務，且每個區域至少有 1 名志愿者，則不同的安排方法有（ ）
A．45 種 B．90 種 C．150 種 D．240 種
26．（23-24 高二下·山東濟寧·期中）某工程隊有 6 輛不同的工程車，按下列方式分給工地進行作業，每個
工地至少分 1 輛工程車，則下列結論正確的是（ ）
A．分給甲 乙 丙三地每地各 2 輛，有 120 種分配方式
B．分給甲 乙兩地每地各 2 輛，分給丙 丁兩地每地各 1 輛，有 180 種分配方式
C．分給甲 乙 丙三地，其中一地分 4 輛，另兩地各分 1 輛，有 60 種分配方式
D．分給甲 乙 丙 丁四地，其中兩地各分 2 輛，另兩地各分 1 輛，有 1160 種分配方式
27．（24-25 高二下·江蘇南京·階段練習）甲、乙、丙、丁、戊 5 名大學生參加 2024 年南京半程馬拉松志愿
者服務活動，有賽道補給、路線引導、物品發放、興奮劑檢測四項工作可以安排，則以下說法正確的是
（ ）
A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數為45
B．若每項工作至少有 1 人參加，則不同的方法數為 240
C．如果興奮劑檢測工作不安排，其余三項工作至少安排 1 人，則這 5 名同學全部被安排的不同方法數
為300
D．每項工作至少有 1 人參加，甲乙不會興奮劑檢測，但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四
項工作，則不同安排方案的種數是126
28．（23-24 高二下·河北邢臺·期中）要安排 5 名學生到 3 個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去 1 個村，
每個村里至少安排 1 名志愿者，其中學生甲不分配到 村，則不同的安排方法種數為 .
29．（23-24 高二下·新疆烏魯木齊·期中）男運動員 6 名，女運動員 4 名，其中男、女隊長各 1 名.現選派 5
人外出參加比賽.
(1)隊長中至少有 1 人參加，有多少種選派方法
(2)參賽的運動員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)，有多少種安排方式
30．（23-24 高二下·廣東深圳·期中）富源學校高二年級有 6 名同學（簡記為 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三個體育場館做志愿者.
(1)一天上午有 16 個相同的口罩全部發給這 6 名同學，每名同學至少發兩個口罩，則不同的發放方法種數？
(2)每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且 A、 兩人約定去同一個場館， 、 不想去一個場
館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數？
【類型 6 涂色問題】
31．（23-24 高二下·廣東清遠·期末）現要對三棱柱 1 1 1的 6 個頂點進行涂色，有 4 種顏色可供選
擇，要求同一條棱的兩個頂點顏色不一樣，則不同的涂色方案有（ ）
A．264 種 B．216 種 C．192 種 D．144 種
32．（23-24 高二下·重慶·期末）國際數學家大會（ICM）是由國際數學聯盟（IMU）主辦的國際數學界規
模最大也是最重要的會議，每四年舉行一次，被譽為數學界的奧林匹克盛會.2002 年第 24 屆國際數學家大
會在北京召開，其會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，由一個正方形和四個全等的直角三角形
構成（如圖）.現給圖中 5 個區域涂色，要求相鄰的區域不能涂同一種顏色，且每個區域只涂一種顏色.若有
5 種不同的顏色可供使用，則不同的涂色方案有（ ）
A．120 種 B．360 種 C．420 種 D．540 種
33．（23-24 高二下·浙江杭州·期中）如圖，在一廣場兩側設置 6 只彩燈，現有 4 種不同顏色的彩燈可供選
擇，則下列結論正確的是（ ）
A．共有46種不同方案
B．若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如 1 4）也不同色，且 4 種顏色的彩燈均要使用，則共有 186
種不同方案
C．若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如 1 4）也不同色，且只能使用 3 種顏色的彩燈，則共有 192
種不同方案
D．若相鄰兩燈不同色，正相對的兩燈（如 1 4）也不同色，且只能使用 2 種顏色的彩燈，則共有 12 種
不同方案
34．（23-24 高二下·山西呂梁·階段練習）給如圖所示的圓環涂色，將圓環平均分成 A，B，C，D 四個區域，
現有紅，黃、藍、綠四種顏色可供選擇，要求每個區域只涂一種顏色且相鄰區域的顏色不同，則不同的涂
色方法有 種.
35．（23-24 高二下·河南周口·階段練習）現要用紅、橙、黃、綠、青、藍、紫 7 種顏色對某市的如圖的四
個區域進行著色，有公共邊的兩個區域不涂同一種顏色，則共有幾種不同的涂色方法？
36．（23-24 高二下·河北邢臺·階段練習）如圖，某心形花壇中有 A，B，C，D，E5 個區域，每個區域只種
植一種顏色的花．
(1)要把 5 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(2)要把 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，共有多少種不同的種植方案？
(3)要把紅、黃、藍、白 4 種不同顏色的花種植到這 5 個區域中，每種顏色的花都必須種植，要求相同顏色
的花不能相鄰種植，且有兩個相鄰的區域種植紅、黃 2 種不同顏色的花，共有多少種不同的種植方案？

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