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第七章 隨機(jī)變量及其分布（思維導(dǎo)圖+知識清單）
【人教 A 版（2019）】
7.1 條件概率與全概率公式
【知識點 1 條件概率】
1．條件概率
(1)條件概率的定義
一般地，設(shè) A，B 為兩個隨機(jī)事件，且 P(A)>0，我們稱 P(B|A)= 為事件 A 發(fā)生的條件下，事件
B 發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
(2)性質(zhì)
設(shè) P(A)>0，Ω 為樣本空間，則
①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；
②如果 B 和 C 是兩個互斥事件，則 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
③設(shè) 和 B 互為對立事件，則 P( )=1-P(B|A).
2．概率的乘法公式
由條件概率的定義，對任意兩個事件 A 與 B，若 P(A)>0，則 P(AB)=P(A)·P(B|A).
3．求條件概率的常用方法
(1)定義法：P(B|A)= .
(2)樣本點法：P(B|A)= .
【知識點 2 全概率公式】
1．全概率公式及應(yīng)用
(1)全概率公式
一般地，設(shè) 是一組兩兩互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，
n，則對任意的事件 ，有 P(B)= .我們稱此公式為全概率公式.
(2)全概率公式的意義
全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計算事件 B 發(fā)生的概率 P(B)較為困難時，可以先找到樣本空間 Ω 的一
個劃分 Ω= ， 兩兩互斥，將 看成是導(dǎo)致 B 發(fā)生的一組原
因，這樣事件 B 就被分解成了 n 個部分，分別計算 P( )，P( )， ，P( )，再利用全概率公式求
解.
2．貝葉斯公式
設(shè) 是一組兩兩互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，n，則對
任意的事件 ，P(B)>0，有 .
貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運(yùn)用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件
如下：
(1)A 的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即 P(Ai)已知；
(2)事件 B 是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且 A 的每種情況發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率已知，即 P( )已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；
(4)求解的目標(biāo)是用 A 的某種情況 Ai的無條件概率求其在 B 發(fā)生的條件下的有條件概率 P( ).
3．利用全概率公式的解題思路
(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)合事件分解為若干個互斥事件 Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求 P(Ai)和所求事件 B 在各個互斥事件 Ai發(fā)生條件下的概率 P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計算.
7.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列
【知識點 1 離散型隨機(jī)變量及其分布列】
1．隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量
(1)隨機(jī)變量
①定義：一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間 Ω 中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù) X(ω)與之對應(yīng)，我們
稱 X 為隨機(jī)變量.
②表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值.
③隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系
聯(lián)系：隨機(jī)變量與函數(shù)都是一種對應(yīng)關(guān)系，樣本點ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，樣本空間 Ω 相當(dāng)于
函數(shù)的定義域.
區(qū)別：樣本空間 Ω 不一定是數(shù)集，隨機(jī)變量的取值 X(ω)隨著試驗結(jié)果ω的變化而變化，而函數(shù)是從非
空數(shù)集到非空數(shù)集的一一對應(yīng).
(2)離散型隨機(jī)變量
可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.
2．離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)定義
一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的可能取值為 x1，x2，…，xn，我們稱 X 取每一個值 xi的概率 P(X=xi)=
pi，i=1，2，…，n 為 X 的概率分布列，簡稱分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示為 P(X=xi)=pi，i=1，2， ，n，還可以用圖形表示.
(3)離散型隨機(jī)變量分布列具有的兩個性質(zhì)
①pi≥0，i=1，2， ，n；
②p1+p2+ +pn=1.
3．離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟
第一步，明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義；
第二步，求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率；
第三步，畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列；
第四步，做檢驗：利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確.
【知識點 2 兩點分布】
1．兩點分布
(1)兩點分布的定義
對于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗，用 A 表示“成功”， 表示“失敗”，定義 X=
如果 P(A)=p，則 =1-p，那么 X 的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我們稱 X 服從兩點分布或 0—1 分布.
(2)兩點分布的理解
兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能值，且其概率之和為 1.可設(shè)任意一個為 0，另一個相應(yīng)為 1.
7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
【知識點 1 離散型隨機(jī)變量的均值】
1．離散型隨機(jī)變量的均值
(1)定義
一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
則稱 E(X)=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn為離散型隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱
期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.
(2)對均值(期望)的理解
求離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意：
①期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.
②E(X)是一個實數(shù)，由 X 的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X 是可變的，可取不同值，而 E(X)是
不變的，它描述 X 取值的平均狀態(tài).
③均值與隨機(jī)變量有相同的單位.
2．均值的性質(zhì)
若離散型隨機(jī)變量 X 的均值為 E(X)，Y=aX+b，其中 a,b 為常數(shù)，則 Y 也是一個離散型隨機(jī)變量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特別地，當(dāng) a=0 時，E(b)=b；
當(dāng) a=1 時，E(X+b)=E(X)+b；
當(dāng) b=0 時，E(aX)=aE(X).
【知識點 2 離散型隨機(jī)變量的方差】
1．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
(1)定義
設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
則稱 為隨機(jī)變
量 X 的方差，并稱 為隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差，記為 .
(2)意義
隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程
度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.
2．方差的有關(guān)性質(zhì)
當(dāng) a，b 均為常數(shù)時，隨機(jī)變量 Y=aX+b 的方差 D(Y)=D(aX+b)= .
特別地，當(dāng) a=0 時，D(b)=0；當(dāng) a=1 時，D(X+b)=D(X)；
當(dāng) b=0 時，D(aX)= .
3．兩點分布的均值與方差
一般地，如果隨機(jī)變量 X 服從兩點分布，那么 E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
4．求離散型隨機(jī)變量 ξ 的均值與方差的步驟
(1)理解 ξ 的意義，寫出 ξ 可能的全部值.
(2)求 ξ 取每個值的概率.
(3)寫出 ξ 的分布列.
(4)由均值的定義求 E(ξ).
(5)由方差的定義求 D(ξ).
7.4 二項分布與超幾何分布
【知識點 1 二項分布】
1．伯努利試驗
(1)伯努利試驗的概念
把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.
(2)n 重伯努利試驗的兩個特征
①同一個伯努利試驗重復(fù)做 n 次；
②各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立.
2．二項分布
一般地，在 n 重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p(0次數(shù)，則 X 的分布列為 P(X=k)= ，k=0，1，2， ，n.如果隨機(jī)變量 X 的分布列具有上式的
形式，則稱隨機(jī)變量 X 服從二項分布，記作 (n，p).
3．二項分布的期望與方差
一般地，如果 X B(n，p)，那么 E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判斷某隨機(jī)變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點
(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.
(2)各次試驗中的事件是相互獨(dú)立的.
(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.
【知識點 2 超幾何分布】
1．超幾何分布
(1)定義
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有 N 件，其中有 M 件次品.從 N 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽
取的 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 X 的分布列為 P(X=k)= ，k=m，m+1，m+2， ，r.其中 n,N,M∈N*，
M≤N，n≤N，m= {0，n-N+M}，r= .如果隨機(jī)變量 X 的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)
變量 X 服從超幾何分布.
若隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布，則其均值 E(X)= =np.
(2)求超幾何分布的分布列
①判斷隨機(jī)變量是不是服從超幾何分布；
②套用超幾何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意義.
2．超幾何分布與二項分布的關(guān)系
(1)超幾何分布與二項分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有
截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布列，會發(fā)現(xiàn)其相似點.超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的概
率模型，許多實際問題都可以利用這兩個概率模型來求解.在實際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個概率模型是至
關(guān)重要的.
(2)事實上，在次品件數(shù)為確定數(shù) M 的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取 n 件(由于產(chǎn)品件數(shù) N 無限多，無放
回與有放回?zé)o區(qū)別，故可看作 n 重伯努利試驗)，其中含有次品的件數(shù)服從二項分布.
3．超幾何分布的應(yīng)用
(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考
察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù) X 的分布列.
(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.
7.5 正態(tài)分布
【知識點 1 正態(tài)分布】
1．連續(xù)型隨機(jī)變量
隨機(jī)變量的取值充滿某個區(qū)間甚至整個數(shù)軸，但取一點的概率為 0，稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.
2．正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線
函數(shù) f(x)= ，x∈R.其中 μ∈R，σ>0 為參數(shù).我們稱 f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正
態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.
(2)正態(tài)分布
若隨機(jī)變量 X 的概率分布密度函數(shù)為 f(x)，則稱隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，記為 .特別地，
當(dāng) μ=0，σ=1 時，稱隨機(jī)變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.
(3)正態(tài)分布的均值和方差
若 ，則 E(X)=μ，D(X)=σ2.
3．正態(tài)曲線的特點
(1)曲線位于 x 軸上方，與 x 軸不相交；
(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x=μ 對稱；
(3)曲線在 x=μ 處達(dá)到峰值 ；
(4)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近 x 軸；
(5)對任意的 σ>0，曲線與 x 軸圍成的面積總為 1；
(6)在參數(shù) σ 取固定值時，正態(tài)曲線的位置由 μ 確定，且隨著 μ 的變化而沿 x 軸平移，如圖甲所示；
(7)當(dāng) μ 取定值時，正態(tài)曲線的形狀由 σ 確定，當(dāng) σ 較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量 X 的
分
布比較集中；當(dāng) σ 較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量 X 的分布比較分散，如圖乙所示.
4．3σ 原則
(1)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
(2)3σ 原則
在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機(jī)變量 X 只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)
中稱為 3σ 原則.
5．正態(tài)分布問題的解題策略
解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：
(1)對稱軸 x=μ；
(2)標(biāo)準(zhǔn)差 σ；
(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由 μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)
化為 3σ 特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為 x=0.

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