資源簡介

第七章 隨機變量及其分布全章綜合測試卷（基礎篇）
【人教 A 版 2019】
考試時間：120 分鐘；滿分：150 分
姓名：___________班級：___________考號：___________
考卷信息：
本卷試題共 19 題，單選 8 題，多選 3 題，填空 3 題，解答 5 題，滿分 150 分，限時 120 分鐘，本卷題型針對性
較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！
第 I 卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要
求的。
1．（5 2 4 15分）（23-24 高二下·河南·期中）已知 ( ) = 5, ( ) = 11, ( ∣ ) = 22，則 ( ∣ ) = （ ）
A 1 B 5 3 44．2 ．11 C．4 D．75
2．（5 分）（24-25 高二下·全國·課后作業）若隨機變量 X 的分布列如下：
1 2 3 4
0.1 0.4 0.3
則 (| 1| > 1) = （ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．（5 分）（23-24 高二下·新疆克孜勒蘇·期末）先后兩次擲一枚質地均勻的正方體骰子（六個面分別標記
為1,2,3,4,5,6），記事件 = “第一次擲出的點數小于 4”，事件 = “兩次點數之和大于 4”，則 ( ∣ ) =
（ ）
A 3 B 2 1 1．4 ．3 C．2 D．3
4．（5 分）（24-25 高二下·全國·課后作業）已知隨機變量 的分布列為
1 0 1
1 1
2 3
若 = + 3 7， ( ) = 3，則 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5 分）（23-24 5高二下·山東青島·期中）若隨機變量 服從二項分布 (6, )，且 ( = 3) = 16，則 (
2)
= （ ）
A 19 21． 2 B．10 C． 2 D．11
6．（5 分）（23-24 高二下·江蘇宿遷·期中）某早餐店發現加入網絡平臺后，每天小籠包的銷售量 ～
(1000,2500)（單位：個），估計 300 天內小籠包的銷售量約在 950 到 1050 個的天數大約是 （ ）（若隨
機變量 ～ ( , 2)，則 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973）
A．205 B．246 C．270 D．275
7．（5 分）（23-24 高二下·河南信陽·期末）2024 年 5 月中國郵政發行了《巢湖》特種郵票 3 枚，巢湖是繼
《太湖》（5 枚）、《鄱陽湖》（3 枚）、《洞庭湖》（4 枚）后，第四個登上特種郵票的五大淡水湖.現從
15 枚郵票中隨機抽取 2 枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數為 ，則 ( ) = （ ）
A 2 2 3．5 B．3 C．1 D．2
8．（5 分）（24-25 高二下·全國·課后作業）已知 , 兩個盒子中分別裝有形狀、大小、質量均相同的小
球．其中， 盒中有 3 個紅球，1 個白球； 盒中有 1 個紅球，3 個白球，現從兩個盒子中同時各取走一個小
球，一共取三次，此時記 盒中的紅球個數為 , 盒中的紅球個數為 ，則（ ）
A． ( ) > ( ), ( ) = ( ) B． ( ) < ( ), ( ) > ( )
C． ( ) > ( ), ( ) < ( ) D． ( ) < ( ), ( ) = ( )
二、多項選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的
要求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·陜西咸陽·期末）甲、乙兩類水果的質量（單位：kg）分別服從正態分布
, 2 21 1 、 2, 2 ，其正態分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量 1 = 0.4kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從正態分布的參數 2 = 1.99
10．（6 分）（23-24 高二下·廣東深圳·期中）在某班中，男生占 40%，女生占 60%，在男生中喜歡體育鍛
煉的學生占 80%，在女生中喜歡體育鍛煉的學生占 60%，從這個班的學生中任意抽取一人.則下列結論正確
的是（ ）
A 8．抽到的學生是男生且喜歡體育鍛煉的概率為25
B 17．抽到的學生喜歡體育鍛煉的概率為25
C 9．若抽到的學生喜歡體育鍛煉，則該學生是男生的概率為17
D 9．若抽到的學生喜歡體育段煉，則該學生是女生的概率為17
11．（5 分）（23-24 高二下·浙江嘉興·期末）2024 年 6 月嘉興市普通高中期末檢測的數學試卷采用新結構，
其中多選題計分標準如下：①每小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得 6 分，有選錯的得 0
分；②部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得 3 分；若某小題正確選項為三
個，漏選一個正確選項得 4 分，漏選兩個正確選項得 2 分）.若每道多選題有兩個或三個正確選項等可能，
在完成某道多選題時，甲同學在選定了一個正確選項后又在余下的三個選項中隨機選擇 1 個選項，乙同學
在排除了一個錯誤選項后又在余下的三個選項中隨機選擇 2 個選項，甲、乙兩位同學的得分分別記為 和 ，
則（ ）
A． ( = 0) > ( = 0) B． ( = 6) > ( = 6)
C． ( ) > ( ) D． ( ) > ( )
第 II 卷（非選擇題）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高二下·安徽安慶·期中）已知隨機變量 ξ 的分布如下：則實數 a 的值為 .
ξ 1 2 3
P 1 3
4 1
2 2
2
13．（5 分）（23-24 高二下·河北石家莊·期末）設 , 2是一個隨機試驗中的兩個事件，且 ( ) = 3， ( ) =
5 5
12， ( + ) = 6，則 ( | ) = ．
14．（5 分）（23-24 高二下·江蘇無錫·階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干
排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小
球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子
中.記格子從左到右的編號分別為0,1 2, ,10，用 X 表示小球最后落入格子的號碼，則 ( ) = .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15．（13 分）（24-25 高二下·全國·課堂例題）下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？并
說明理由．
(1)某機場一年中每天運送乘客的數量；
(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數；
(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期間所查酒駕的人數；
(4)一瓶果汁的容量為500 ± 2mL.
16．（15 分）（23-24 高二下·云南曲靖·階段練習）有 20 件產品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，現
不放回的從中依次抽 2 件.
(1)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(2)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.
17．（15 分）（23-24 高二下·河南鄭州·期末）已知隨機變量 ( , 2)，且正態密度函數在( ∞,25)上單
調遞增，在(25, + ∞)上單調遞減， (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827.
(1)求參數 ， 的值；
(2)求 (9 ≤ < 17).（結果精確到 0.0001）
附：若 ( , 2)，則 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
18．（17 分）（23-24 高二下·寧夏銀川·階段練習）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨
機抽取該流水線上的 20 件產品作為樣本稱出它們的質量（單位：克），如表．
質量（克） (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
個數 3 4 7 5 1
(1)從抽取的 20 件產品中任取 2 件，設 X 為質量超過 505 克的產品數量，求 X 的分布列：
(2)從該流水線上任取 5 件產品，設 Y 為質量超過 505 克的產品數量，求 Y 的期望與方差．
19．（17 分）（23-24 高二下·河南安陽·期中）某校組織全校學生參加“防范校園欺凌”知識競賽，現從中隨
機抽取了 100 名學生，將他們的得分（滿分：100 分）分成如下 6 組：[40,50),[50,60),[60,70), ,[90,100]，
繪制成頻率分布直方圖如下：
(1)求 的值，并估計這 100 名學生的平均得分.（同一組數據用該組區間的中點值作代表）
(2)若該校決定獎勵競賽得分排名前40%的學生，小明本次競賽獲得 78 分，估計他能否獲得獎勵.
(3)從樣本中競賽得分不低于 80 的學生中，按比例用分層隨機抽樣的方法抽取 10 人進行學習交流，再從參
加學習交流的學生中任選 3 人，記這 3 人中得分在[90,100]內的人數為 ，求 的分布列和數學期望.第七章 隨機變量及其分布全章綜合測試卷（基礎篇）
參考答案與試題解析
第 I 卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要
求的。
1．（5 2 4 15分）（23-24 高二下·河南·期中）已知 ( ) = 5, ( ) = 11, ( ∣ ) = 22，則 ( ∣ ) = （ ）
A 1 5 3 44．2 B．11 C．4 D．75
【解題思路】應用條件概率計算即可.
( ) 3
【解答過程】 ( ) = ( ) ( ∣ ) = 25 ×
15
22 =
3
11，則 ( ∣ ) =
11 3
( ) = 4 = 4.
11
故選:C.
2．（5 分）（24-25 高二下·全國·課后作業）若隨機變量 X 的分布列如下：
1 2 3 4
0.1 0.4 0.3
則 (| 1| > 1) = （ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【解題思路】根據題意，由分布列的性質可得 的值，然后代入計算，即可得到結果.
【解答過程】由題可得0.1 + 0.4 + + 0.3 = 1，解得 = 0.2．
由| 1| > 1，可得 = 3或 4，
則 (| 1| > 1) = （ = 3或 = 4） = ( = 3) + ( = 4) = 0.2 + 0.3 = 0.5．
故選：B.
3．（5 分）（23-24 高二下·新疆克孜勒蘇·期末）先后兩次擲一枚質地均勻的正方體骰子（六個面分別標記
為1,2,3,4,5,6），記事件 = “第一次擲出的點數小于 4”，事件 = “兩次點數之和大于 4”，則 ( ∣ ) =
（ ）
A 3 2 1 1．4 B．3 C．2 D．3
【解題思路】利用條件概率公式即可求得 ( ∣ )的值.
3 1
【解答過程】由題意可知 ( ) = 6 = 2，
事件 與事件 同時發生，
有(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)共 12 種可能，
12 1 ( ) 2( ) = 6×6 = 3，所以 ( ∣ ) = ( ) = 3.
故選：B.
4．（5 分）（24-25 高二下·全國·課后作業）已知隨機變量 的分布列為
1 0 1
1 1
2 3
若 = + 3 7， ( ) = 3，則 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】由分布列的性質得到 ，再由 ( + 3) = ( ) +3求解即可；
1 1
【解答過程】由分布列的性質，得2 + 3 + = 1，
∴ = 16．
∴ 1 1 1 1( ) = 1 × 2 +0 × 3 +1 × 6 = 3．
∴ = 1 7( ) ( + 3) = ( ) +3 = 3 + 3 = 3，
∴ = 2．
故選：B.
5．（5 5分）（23-24 高二下·山東青島·期中）若隨機變量 服從二項分布 (6, )，且 ( = 3) = 16，則 (
2)
= （ ）
A 19 21． 2 B．10 C． 2 D．11
5
【解題思路】根據 ( = 3) = 16求出 ，根據 的分布列求出
2的分布列，再求期望可得答案.
【解答過程】因為 (6, )，所以
5 1
因為 ( = 3) = C3 36 (1 )3 = 16，所以
3(1 )3 = 64，
解得 = 12，
6 6
( = 0) = C0 16 =
1
64，
3
2 ( = 1) = C
1 1
6 =2 32，
1 6 15 1 6 ( = 2) = C2 = 3
5
6 2 64，
( = 3) = C6 =2 16，
6 6
( = 4) = C4 1
15 5 1 3
6 =2 64， ( = 5) = C6 =2 32，
6
1( = 6) = C6 16 =2 64，
所以 的分布列為
0 1 2 3 4 5 6
1 3 15 5 15 3 1
64 32 64 16 64 32 64
所以 2的分布列為
2 0 1 4 9 16 25 36
1 3 15 5 15 3 1
64 32 64 16 64 32 64
所以
3( 2) = 1 × 32 +4 ×
15
64 +9 ×
5
16 +16 ×
15
64 +25 ×
3 1
32 +36 × 64 = 10.5.
故選：C.
6．（5 分）（23-24 高二下·江蘇宿遷·期中）某早餐店發現加入網絡平臺后，每天小籠包的銷售量 ～
(1000,2500)（單位：個），估計 300 天內小籠包的銷售量約在 950 到 1050 個的天數大約是 （ ）（若隨
機變量 ～ ( , 2)，則 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973）
A．205 B．246 C．270 D．275
【解題思路】由正態曲線的性質求出 (950 ≤ ≤ 1050) = ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，即可求解．
【解答過程】依題意，得 = 1000, = 50，
則 (950 ≤ ≤ 1050) = ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，
則估計300天內小籠包的銷售量約在950到1050個的天數大約是：300 × 0.6827 = 204.81 ≈ 205，
故選：A.
7．（5 分）（23-24 高二下·河南信陽·期末）2024 年 5 月中國郵政發行了《巢湖》特種郵票 3 枚，巢湖是繼
《太湖》（5 枚）、《鄱陽湖》（3 枚）、《洞庭湖》（4 枚）后，第四個登上特種郵票的五大淡水湖.現從
15 枚郵票中隨機抽取 2 枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數為 ，則 ( ) = （ ）
A 2 2 3．5 B．3 C．1 D．2
【解題思路】利用超幾何分布概率公式，分別求出 ( = ), = 0,1,2，再求 ( ).
【解答過程】依題意， 的可能取值有 0，1，2.
2 1 1 2
則 ( = 0) = C12 22C2 = 35， ( = 1) =
C12C3 = 12C2 35， ( = 2) =
C3
2 =
1
，
15 15 C15 35
則 ( ) = 0 × 2235 +1 ×
12 1 2
35 +2 × 35 = 5.
故選:A.
8．（5 分）（24-25 高二下·全國·課后作業）已知 , 兩個盒子中分別裝有形狀、大小、質量均相同的小
球．其中， 盒中有 3 個紅球，1 個白球； 盒中有 1 個紅球，3 個白球，現從兩個盒子中同時各取走一個小
球，一共取三次，此時記 盒中的紅球個數為 , 盒中的紅球個數為 ，則（ ）
A． ( ) > ( ), ( ) = ( ) B． ( ) < ( ), ( ) > ( )
C． ( ) > ( ), ( ) < ( ) D． ( ) < ( ), ( ) = ( )
【解題思路】得到 與 的所有可能取值及其對應概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望與方差.
【解答過程】由已知 = 0,1，
3 2 1 1( = 0) = 4 × 3 × 2 = 4，
3 2 1 3 1 2 1 3 2 3( = 1) = 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 = 4，
則 的分布列為：
0 1
1 3
4 4
2 2
= 0 × 1 +1 × 3 = 3 = 0 3 × 1 + 1 3 × 3可得 ( ) 4 4 4， ( ) 4 4 =
3
4 4 16；
由已知 = 0,1，
3 2 1( = 0) = 4 × 3 × 2 +
3 1
4 × 3 ×
2 1 3 2 3
2 + 4 × 3 × 2 = 4，
3 2 1 1( = 1) = 4 × 3 × 2 = 4，
則 的分布列為：
0 1
3 1
4 4
3 1 1 2 3 2 1 3
可得 ( ) = 0 × 4 +1 × 4 = 4， ( ) = 0
1 × + 1 14 × =4 4 4 16；
所以 ( ) > ( ), ( ) = ( ).
故選：A.
二、多項選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的
要求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·陜西咸陽·期末）甲、乙兩類水果的質量（單位：kg）分別服從正態分布
1, 21 、 , 22 2 ，其正態分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量 1 = 0.4kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從正態分布的參數 2 = 1.99
【解題思路】利用正態分布的性質，逐一進行判斷即可.
【解答過程】由圖象可知，甲圖象關于直線 = 0.4對稱，乙圖象關于直線 = 0.8對稱，
所以 1 = 0.4, 2 = 0.8, 1 < 2，故 A，C 正確；
因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故 B 正確；
1
因為乙圖象的最大值為1.99，即 2π = 1.99，所以 2 ≠ 1.99，故 D 錯誤；2
故選：ABC.
10．（6 分）（23-24 高二下·廣東深圳·期中）在某班中，男生占 40%，女生占 60%，在男生中喜歡體育鍛
煉的學生占 80%，在女生中喜歡體育鍛煉的學生占 60%，從這個班的學生中任意抽取一人.則下列結論正確
的是（ ）
A 8．抽到的學生是男生且喜歡體育鍛煉的概率為25
B 17．抽到的學生喜歡體育鍛煉的概率為25
C 9．若抽到的學生喜歡體育鍛煉，則該學生是男生的概率為17
D 9．若抽到的學生喜歡體育段煉，則該學生是女生的概率為17
【解題思路】由已知結合條件概率公式及全概率公式檢驗各選項即可判斷.
【解答過程】用 1， 2分別表示抽到學生是男生、女生，用 表示抽到的學生喜歡體育鍛煉，
由題意得 ( 1) = 40%， ( 2) = 60%， ( | 1) = 80%， ( | 2) = 60%，
則 ( 1 ) = ( 1) ( | 1) = 0.4 × 0.8 = 0.32 =
8
25，
17
由全概率公式得 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) = 0.4 × 0.8 + 0.6 × 0.6 = 25，故 A、B 正確；
(
( | ) = 1
) ( | 1) 0.4×0.8 8
1 ( ) = 0.68 = 17， ( 2| ) = 1 ( 1| ) = 1
8 9
17 = 17，故 C 錯誤，D 正確；
故選：ABD.
11．（5 分）（23-24 高二下·浙江嘉興·期末）2024 年 6 月嘉興市普通高中期末檢測的數學試卷采用新結構，
其中多選題計分標準如下：①每小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得 6 分，有選錯的得 0
分；②部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得 3 分；若某小題正確選項為三
個，漏選一個正確選項得 4 分，漏選兩個正確選項得 2 分）.若每道多選題有兩個或三個正確選項等可能，
在完成某道多選題時，甲同學在選定了一個正確選項后又在余下的三個選項中隨機選擇 1 個選項，乙同學
在排除了一個錯誤選項后又在余下的三個選項中隨機選擇 2 個選項，甲、乙兩位同學的得分分別記為 和 ，
則（ ）
A． ( = 0) > ( = 0) B． ( = 6) > ( = 6)
C． ( ) > ( ) D． ( ) > ( )
【解題思路】對于甲同學得分 和乙同學得分 ，分有兩個正確選項和三個正確選項兩種情況計算出
= 0, = 4, = 6， = 0, = 4, = 6的概率，求得 、 的分布列，進而求得 ( ), ( )， ( ), ( )，對四
個選項進行判斷.
1 2 1 1 1 1 2
【解答過程】 ( = 0) = 2 3 + 2 3 = 2, ( = 4) = 2 3 =
1
3,
1 1 1
( = 6) = 2 3 = 6,
的分布列為
0 4 6
1 1 1
2 3 6
1 1 1 7由此可得 ( ) = 0 × 2 +4 × 3 +6 × 6 = 3,
2 2
= 0 7 × 1 + 4 7 × 1
2
( ) 2 3 + 6
7 × 16 =
53
3 3 3 9 .
1 C1 1 1 C2 1 1 C2 1
( = 0) = 22 2 = 3 , ( = 4) = 2
3
2 = 2 , ( = 6) = 2
2
2 = 6 ,C3 C3 C3
的分布列為
0 4 6
1 1 1
3 2 6
由此可得 ( ) = 0 ×
1
3 +4 ×
1
2 +6 ×
1
6 = 3，
( ) = (0 3)2 ×
1
3 + (4 3)
2 × 12 + (6 3)
2 × 16 = 5.
故 AD 正確，BC 錯誤，
故選：AD.
第 II 卷（非選擇題）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 1 1高二下·安徽安慶·期中）已知隨機變量 ξ 的分布如下：則實數 a 的值為 2或4 .
ξ 1 2 3
P 1 3
4 1
2 2
2
1
【解題思路】由4 +1
3
2 + 2
2 = 1求解.
1 3
【解答過程】解：由題可得4 +1 2 + 2
2 = 1，
∴ = 1 = 12或 4，經檢驗適合題意.
1 1
故答案為：2或4.
13 2．（5 分）（23-24 高二下·河北石家莊·期末）設 , 是一個隨機試驗中的兩個事件，且 ( ) = 3， ( ) =
5
12， =
5 1
( + ) 6，則 ( | ) = 2 ．
【解題思路】先由條件求得 和 ( ∩ )，再代入條件概率公式計算即得.
2 5 2 1
【解答過程】因 ( ) = 3， ( ) = 12，則 = 1 3 = 3，
( ∩ ) = ( ∪ ) = 1 ( + ) = 1 5 16 = 6，
( ∩ ) 1
則 ( | ) = = 6 = 1 ( ) 1 2.
3
1
故答案為：2.
14．（5 分）（23-24 高二下·江蘇無錫·階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干
排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小
球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子
5
中.記格子從左到右的編號分別為0,1 2, ,10，用 X 表示小球最后落入格子的號碼，則 ( ) = 2 .
1
【解題思路】由題設分析得到 10, ，進而利用二項分布的方差公式可得.
2
1
【解答過程】設 = “向右下落”， = “向左下落”，則 ( ) = = 2，
因為小球最后落入格子的號碼 等于事件 發生的次數，
1
而小球下落的過程中共碰撞小木釘 10 次，所以 10, ，
2
( ) = 10 × 1 × 1 = 5故 2 2 2.
5
故答案為：2.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15．（13 分）（24-25 高二下·全國·課堂例題）下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？并
說明理由．
(1)某機場一年中每天運送乘客的數量；
(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數；
(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期間所查酒駕的人數；
(4)一瓶果汁的容量為500 ± 2mL.
【解題思路】根據離散型隨機變量概念性質可解.
【解答過程】（1）某機場一年中每天運送乘客的數量可能為 0，1，2，3，…，是隨機變化的，因此是隨機
變量，也是離散型隨機變量．
（2）某單位辦公室一天中接到電話的次數可能為 0，1，2，3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是
離散型隨機變量．
（3）明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期間，所查酒駕的人數可能為 0，1，2，3，…，是隨機變化的，因此是隨
機變量，也是離散型隨機變量．
（4）由于果汁的容量在 498mL~502mL 之間波動，是隨機變量，但不是離散型隨機變量,是連續性隨機變量.
16．（15 分）（23-24 高二下·云南曲靖·階段練習）有 20 件產品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，現
不放回的從中依次抽 2 件.
(1)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(2)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.
【解題思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）利用條件概率求解即可.
【解答過程】（1）設“第一次抽到次品”為事件 ，“第二次抽到次品”為事件 .
5 1
第一次抽到次品的概率 ( ) = 20 = 4.
C1 1 ( ) = 5
C4
C1 1 =
5×4 = 1
20C19 20×19 19
.
( )
（2 1 1 4）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率為 ( ∣ ) = ( ) = 19 ÷ 4 = 19.
17．（15 分）（23-24 高二下·河南鄭州·期末）已知隨機變量 ( , 2)，且正態密度函數在( ∞,25)上單
調遞增，在(25, + ∞)上單調遞減， (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827.
(1)求參數 ， 的值；
(2)求 (9 ≤ < 17).（結果精確到 0.0001）
附：若 ( , 2)，則 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
= 17
【解題思路】（1）由題設及特殊區間的概率值得到 + = 33 ，即可確定參數；
（2）利用正態分布的對稱性求 ( ≥ 17)、 ( ≥ 9)，進而求目標概率值.
1 = 25 (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827 = 17【解答過程】（ ）依題設， ，而 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827 ，則 + = 33 ，解得 = 8，
所以 = 25， = 8.
（2）由（1）知： ( 2 ≤ ≤ + 2 ) = (9 ≤ ≤ 41) ≈ 0.9545，
正態曲線關于 = 25對稱 ，即 ( < 9) = ( > 41)，
1
則 ( < 9) ≈ 2 × (1 0.9545) = 0.02275， ( ≥ 9) ≈ 1 ( < 9) ≈ 0.97725，
由 (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827
1
，則 ( < 17) = 2 × [1 (17 ≤ ≤ 33)] ≈
1
2 × (1 0.6827) = 0.15865，
因此 ( ≥ 17) = 1 ( < 17) ≈ 0.84135，
所以 (9 ≤ ≤ 17) = ( ≥ 9) ( ≥ 17) ≈ 0.97725 0.84135 = 0.1359.
18．（17 分）（23-24 高二下·寧夏銀川·階段練習）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨
機抽取該流水線上的 20 件產品作為樣本稱出它們的質量（單位：克），如表．
質量（克） (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
個數 3 4 7 5 1
(1)從抽取的 20 件產品中任取 2 件，設 X 為質量超過 505 克的產品數量，求 X 的分布列：
(2)從該流水線上任取 5 件產品，設 Y 為質量超過 505 克的產品數量，求 Y 的期望與方差．
【解題思路】（1）運用超幾何分布可得分布列；
（2）根據二項分布期望，方差公式即得.
【解答過程】（1）重量超過 505 的產品數量為 6 件，則重量未超過 505 克的產品數量為 14 件，
X 的取值可能為 0，1，2，X 服從超幾何分布，
2 1 1 2
( = 0) = C14 91C2 = 190， ( = 1) =
C14C6 = 84 42 C6 15C2 190 = 95， ( = 2) = C2 = 190，20 20 20
故 X 的分布列為：
X 0 1 2
P 91 42 15
190 95 190
（2）由質量超過 505 克的產品的頻率為0.3，
故可估計從該流水線上任取 1 件產品質量超過 505 克的產品的概率為0.3，
從流水線上任取 5 件產品互不影響，該問題可看成 5 次獨立重復試驗，
即 ~ (5,0.3)，則 ( ) = 5 × 0.3 = 1.5， ( ) = 5 × 0.3 × (1 0.3) = 1.05．
19．（17 分）（23-24 高二下·河南安陽·期中）某校組織全校學生參加“防范校園欺凌”知識競賽，現從中隨
機抽取了 100 名學生，將他們的得分（滿分：100 分）分成如下 6 組：[40,50),[50,60),[60,70), ,[90,100]，
繪制成頻率分布直方圖如下：
(1)求 的值，并估計這 100 名學生的平均得分.（同一組數據用該組區間的中點值作代表）
(2)若該校決定獎勵競賽得分排名前40%的學生，小明本次競賽獲得 78 分，估計他能否獲得獎勵.
(3)從樣本中競賽得分不低于 80 的學生中，按比例用分層隨機抽樣的方法抽取 10 人進行學習交流，再從參
加學習交流的學生中任選 3 人，記這 3 人中得分在[90,100]內的人數為 ，求 的分布列和數學期望.
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為 1 求出 ，再估算平均成績.
（2）求出競賽得分排名前40%的最低成績即可得解.
（3）求出參加學習交流的學生中成績在兩個區間內的人數，再求出 的可能值及各個值對應的概率，列出
分布列并求出期望.
【解答過程】（1）依題意，(0.01 + + 0.02 + 0.03 + + 0.01) × 10 = 1，解得 = 0.015，
成績在區間[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的頻率依次為：0.1,0.15,0.2,0.3,0.15,0.1，
所以這 100 名學生的平均得分為45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.15 + 95 × 0.1 = 70.5.
（2）由（1）知，成績在區間[80,100]的頻率為0.25，成績在區間[70,100]的頻率為0.55，
則競賽得分排名前40%的最低成績 ∈ (70,80)，于是(80 ) × 0.03 + 0.25 = 0.4，解得 = 75，
而78 > 75，所以估計小明能獲得獎勵.
（3）參加學習交流的 10 人中，得分在[80,90) 0.15的人數為0.15+0.1 × 10 = 6，在[90,100]內的人數為 4，
的可能值為 0，1，2，3，
3 2 1 1 2 3
( = 0) = C6C3 =
1
6, ( = 1) =
C6C4 1
C3 = 2, ( = 2) =
C6C4
C3 =
3 C4 1
10 10 10 10
， ( = 3) = C3 =10 30，
所以 的分布列為
0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
1
數學期望為 ( ) = 0 × 6 +1 ×
1 +2 × 32 10 +3 ×
1 6
30 = 5.

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