資源簡介

七上知識點匯編
2.1 有理數的分類
正整數
整數 零
有理數 負整數 有限小數或無限循環小數
正分數
分數
負分數

注意：
(1)有理數還可按正數，零，負數分類．
(2)整數可分為奇數，偶數，零是偶數，偶數一般用2(為整數)表示；奇數一般用2-1或2+1(為整數)表示．
(3)正數和零常稱為非負數．

2.2 數軸規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸．一般規定從原點方向向右為正方向．
注意：
(1)數軸的三要素：原點、正方向、單位長度．
(2)數軸上表示的數，以零為界，零的左邊表示負數，零的右邊表示正數．
(3)每個有理數都可以在數軸上找到相應的點．
(4)數軸上表示的數，右邊的一定比左邊的大．

相反數
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零．例如3和-3就是互為相
反數．
注意：如果與互為相反數，則有，；反之亦成立．
倒數
1除以一個不為零的數的商，叫做這個數的倒數．如3的倒數是．
??注意：
(1)如果與互為倒數，則有，反之亦成立．
??(2)倒數等于本身的數是1和-1．
??(3)零沒有倒數．
2.5 絕對值
一個數的絕對值是在數軸上表示數的點與原點的距離，數的絕對值記做．正數和零的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數．即：
注意：
(1)．
(2)零的絕對值是它的本身，也可看成它的相反數，如：若則；若．
(3)正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；兩個負數，絕對值大的反而小．
2.6有效數字和科學記數法
一個近似數四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字，都叫做這個數的有效數字．
把一個數記成的形式，其中：是整數，這種記數法叫
做科學記數法．
注意：如果這個數的整數數位不比要求保留的有效數字多，則可以直接用四舍五入表示出來；如果整數數位比有效數字多，一定要先用科學記數法表示，然后四舍五入表示．
例如15876保留兩位有效數字是1.6×10，而不能寫成16000．
3.1 整式的有關概念 用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數或表示數的字母連結而成的式子叫代數式．單獨的一個數或一個字母也是代數式．
只含有數與字母的積的代數式叫單項式．
注意：單項式是由系數、字母、字母的指數構成的，其中系數不能用帶分數表示，如：這種表示就是錯誤的，應寫成：．一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數．如：是六次單項式．
幾個單項式的和叫多項式．其中每個單項式叫做這個多項式的項．多項式中不含字母的項叫做常數項．多項式里次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數．
單項式和多項式統稱整式．
用數值代替代數式中的字母，按照代數式指明的運算，計算出的結果，叫代數式的值．
注意：
(1)求代數式的值，一般是先將代數式化簡，然后再將字母的取值代入．
(2)求代數式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整體”代入．

3.2 同類項、合并同類項所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項．幾個常數項也是同類項．
注意：
(1)同類項與系數大小沒有關系；
(2)同類項與它們所含字母的順序沒有關系．
把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．
合并同類項的法則是：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變．

3.3 去括號法則去括號法則1：括號前是“＋” ，把括號和它前面的“＋”號一起去掉，括號里各項都不變號．
去括號法則2：括號前是“－” ，把括號和它前面的“－”號一起去掉，括號里各項都變號．

3.4 整式的運算法則
整式的加減法：
整式的加減法運算的一般步驟：(1)去括號；(2)合并同類項．
4.1 一元一次方程的概念含有未知數的等式叫方程．只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是一次的方程叫一元一次方程．能使方程兩邊相等的未知數的值，叫方程的解．其中方程(為未知數，)叫做一元一次方程的標準形式．是未知數的系數，是常數項．
如果是字母，則說這個方程就是一個含有字母系數的一元一次方程．
公式從一種形式變成另一種形式，叫做公式變形．公式變形往往就是解含有字母系數的一元一次方程．

4.2 同解方程的概念 如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程．如方程與方程就是同解方程．

4.3 方程的同解原理等式的性質：
(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式．
(2)等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(除數不能是0)，所得結果仍是等式．
注意：性質(2)是等式的兩邊乘以(或除以)同一個不等于零的數，而沒說同一個整式．
方程的同解原理：
(1)方程的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，所得方程與原方程是同解方程．
(2)方程的兩邊都乘以(或除以)同一個不等于零的數，所得方程與原方程是同解方程．
注意：性質(2)是方程的兩邊乘以(或除以)同一個不等于零的數，而沒說同一個整式．

4.4 一元一次方程的解法一元一次方程的解法的一般步驟是：
(1)去分母：在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數；
(2)去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號；
(3)移項：把含有未知數的項都移到方程的一邊，其它項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)；
(4)合并同類項：把方程化成的形式；
(5)系數化為1：在方程兩邊都除以未知數的系數(當時)，得到方程的解．
注意：
(1)當解含有字母系數的一元一次方程的最后一步時，要記得說明未知數的系數不為零；
(2)在比較復雜的公式變形過程中，要把含有未知數的項進行合并，不要使所求的表示未知數的代數式中還有未知數．
例、解方程．
解：原方程可化為：，
，
．
，
．
．
??注意：這里我們在方程兩邊同除以含有字母的未知數的系數時，要說明它不等于零．
5.1 不等式的概念用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式．如：，3－44－3，，等都是不等式．
五種不等號的讀法及意義：
(1)“”讀作“不等于” ，它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能明確哪個大哪個小；
(2)“>”讀作“大于” ，表示其左邊的量比右邊的量大；
(3)“<”讀作“小于” ，表示其左邊的量比右邊的量小；
(4)“”讀作“大于或等于” ，即“不小于” ，表示左邊“不小于”右邊；
(5)“”讀作“小于或等于” ，即“不大于” ，表示左邊“不大于”右邊；
我們可以看出不等號開口所對的數較大，不等號尖口所對的數較小．

5.2 不等式的解集對于一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解．
對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集．
求不等式的解集的過程，叫做解不等式．

5.3 用數軸表示不等式的方法一元一次不等式的解集用數軸表示有以下四種情況，如下圖所示：
(1)如圖中所示：
(2)如圖中所示：
(3)如圖中所示：
(4)如圖中所示：
用數軸表示不等式的解集，應記住下面的規律：
大于向右畫，小于向左畫，有等號(，)畫實心點，無等號(>，<)畫空心圈．

5.4 不等式的基本性質不等式基本性質1：不等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，不等號的方向不變．
不等式基本性質2：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．
不等式基本性質3：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．

5.5 一元一次不等式的概念及解法 一元一次不等式的概念：
一般的，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式．
一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式的一般步驟：
①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將項的系數化為1．
注意：解不等式時，上面的五個步驟不一定都能用到，并且不一定按照順序解，要根據不等式的形式靈活安排求解步驟．
6.1 直線的概念一根拉得很緊的線，這就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的．
注意：直線是一個沒有定義的原始概念，這里是結合實物描述了直線的意義，在幾何里研究直線時，要想象它是向兩邊無限延伸的．

6.2 射線的概念直線上一點和它一旁的部分叫做射線．這點叫射線的端點．
注意：射線是直線的一部分，它只有一個端點，向一方無限延伸．

6.3 線段的概念直線上兩個點和它們之間的部分叫線段．這兩個點叫線段的端點．

6.4 點、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形．一個點可以用一個大寫字母表示．例如圖1中的兩點分別用字母和表示，這兩點分別記作點和點．
一條直線可以用一個小寫字母表示，如圖1中的直線可以記作直線；一條直線也可以用在這條直線上的兩個點來表示，如圖1中的直線也可以記作直線．
一條射線可以用端點和射線上另一點來表示．如圖2中的射線可以記作射線，注意，表示端點的字母要寫在前面；一條射線也可以用一個小寫字母來表示，如圖2中射線也可以記作射線．
一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示，如圖3，以、為端點的線段可記作線段或線段；一條線段也可以用一個小寫字母來表示，如圖3中的線段可記作線段．

圖1 圖2 圖3 圖4
注意：
①表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段．
②直線和射線無長度，線段有長度．
③直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點．
點和直線的位置關系有下面兩種：
①點在直線上，或者說直線經過這個點．如圖4，點在直線上，也可以說直線經過點．
②點在直線外，或者說直線不經過這個點．如圖4，點在直線外，也可以說直線不經過點．

6.5 直線的性質(1)直線公理：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線．它可以簡單的說成：過兩點有且只有一條直線．
(2)過一點的直線有無數條．
(3)直線是向兩方無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小．
(4)直線上有無窮多個點．
(5)兩條不同的直線至多有一個公共點．

6.6 線段的性質線段公理：所有聯接兩點的線中，線段最短．也可以簡單說成：兩點之間線段最短．
連結兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離．
線段的中點到兩端點的距離相等．
線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的．
6.7 角的相關概念有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊．如圖1，角的頂點是點，邊是射線、．也可以把角看作是一條射線繞著端點從起始位置旋轉到終止位置所組成的圖形．如圖2，射線起始位置稱為角的始邊，終止位置稱為角的終邊．我們把射線旋轉時經過的平面部分稱為角的內部，平面其余部分稱為角的外部．如圖3，射線繞點旋轉，當終邊位置和起始位置成一條直線時，所成的角叫平角；繼續旋轉，回到起始位置時所成的角叫做周角．平角的一半叫直角；小于直角的角叫銳角；大于直角且小于平角的角叫鈍角．如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角是另一個角的余角．如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角．

圖1 圖2 圖3

6.8 角的表示角可以用大寫英文字母、阿拉伯數字或小寫的希臘字母表示，具體的有以下四種表示方法：
①用數字表示單獨的角，如圖中的1，2，3等．
②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如圖中的等．
③用一個大寫英文字母表示一個獨立(在一個頂點處只有一個角)的角，如圖中的等．
④用三個大寫英文字母表示任一個角，如圖中的等．
注意：
①用數字或小寫的希臘字母或一個大寫英文字母不能表示超過一個以上的角，如圖中的等都不能用一個數字或一個小寫的希臘字母或一個大寫英文字母表示．
②用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側．
6.9 角的度量角的度量有如下規定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“”表示，1度記作“” ，度記作“” ．
把的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“” ．
把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“” ．
=,=．

6.10 角的性質(1)角的大小與邊的長短無關，只與構成角的邊的兩條射線的幅度大小有關．
(2)角的大小可以度量，可以比較大小．
(3)角可以參與運算．

6.11 角的平分線一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．
6.12 相交線、平行線（分類） 兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角．如圖1中的與就是對頂角．我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做鄰補角．如圖1中的與就是鄰補角．
這樣可以得到鄰補角和對頂角的重要性質：鄰補角互補，對頂角相等．

圖1 圖2
如圖2，直線、與相交(或者說兩條直線、被第三條直線所截)，構成八個角．其中像與，這兩個角分別在、的上方，并且在的右側，像這樣位置相同的一對角叫做同位角．如與，與，與都是同位角；與，這兩個角都在、之間，并且在的左側，在的右側，像這樣的角叫做內錯角．如與是內錯角；與在直線、之間，并且在的同一旁，像這樣的一對角叫做同旁內角．如與是同旁內角．

6.13 垂線 兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足．如圖，直線、互相垂直，記作“”(或⊥)，讀作“垂直于” ．如果垂足是，記作“垂直于，垂足為” ．
垂線的性質：
性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
性質2：直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短．簡稱：垂線段最短．
空間里也有垂直的情況．空間中垂直的判定方法有下面兩種：
直線與平面垂直的判定方法：若一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線，則這條
直線與這個平面垂直．
平面與平面垂直的判定方法：若一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩平面互
相垂直．
  6.14 平行線的概念在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．平行用符號“//”表示，如圖，直線與是平行線，記作“//” ，讀作“平行于” ．在同一個平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行．
注意：
①平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交．
②今后遇到線段、射線平行時，特指線段、射線所在的直線平行．
 6.15 平行公理及其推論平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行．即：如果，，那么．

6.16 平行線的判定平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行，簡單的說成：同位角相等，兩直線平行．
平行線的兩個判定定理：
1、兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡稱：內錯角相等，兩直線平行．
2、兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．簡稱：同旁內角互補，兩直線平行．
注意：上面的判定是由角的等量關系得到兩直線的位置關系，判定直線平行還有下面三種判定方法：
(1)平行于同一直線的兩直線平行；
(2)垂直于同一直線的兩直線平行；
(3)平行線的定義．

6.17 平行線的性質(1)兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．
(2)兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．
(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．

6.18 空間中的平行關系在空間里，既不相交也不平行的直線是異面直線．
在空間里，如果一條直線與一個平面沒有公共點，就說這條直線與這個平面互相平行．
在空間里，如果兩個平面沒有公共點，就說這兩個平面互相平行．
直線與平面、平面與平面平行的判定：
①不在平面內的一條直線，只要與平面內的某一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行．
②如果一個平面內兩條相交直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面互相平行．


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