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第二章　習題課　玻意耳定律的應用
基礎達標練
1．如圖所示，活塞的質量為m，汽缸的質量為M，通過彈簧吊在天花板上，汽缸內封閉有一定質量的氣體，汽缸和活塞間無摩擦，活塞橫截面積為S，大氣壓強為p0，則封閉氣體的壓強p為( C )
A．p＝p0＋ B．p＝
C．p＝p0－ D．p＝
答案：C
解析：對汽缸進行受力分析，由平衡條件可得p0S＝Mg＋pS，所以p＝p0－，故選項C正確。
2．大氣壓強p0＝1.0×105 Pa，某容器的容積為V0＝20 L，裝有壓強為p＝2.0×106 Pa的氣體，如果保持氣體溫度不變，把容器的開關打開，待氣體達到新的平衡時，容器中剩下氣體的質量與原來氣體的質量之比為( B )
A．1∶19 B．1∶20
C．2∶39 D．1∶18
答案：B
解析：由玻意耳定律得pV0＝p0V0＋p0V，將V0＝20 L，p0＝1.0×105 Pa，p＝2.0×106 Pa代入解得 V＝380 L，容器中剩余20 L壓強為p0的氣體，此時氣體的總體積為400 L，所以剩下氣體的質量與原來氣體的質量之比等于相同壓強下氣體的體積之比，即＝，選項B正確。
3．(多選)(2024·遼寧一模)如圖所示的家庭小型噴壺總容積為1.4 L，打氣筒每次可將壓強為1.0×105 Pa、體積為0.02 L的空氣充入壺內，從而增加壺內氣體的壓強。為了保證噴壺的安全，壺內空氣壓強不能超過5.0×105 Pa；為了保證噴水效果，壺內氣體壓強至少為3.0×105 Pa，當壺內空氣壓強降至1.0×105 Pa時便不能向外噴水。現裝入1.2 L的水并用蓋子密封，壺內被封閉空氣的初始壓強為1.0×105 Pa。壺中噴管內水柱產生的壓強忽略不計，壺內空氣可視為理想氣體且溫度始終不變，則下列說法正確的是( A )
A．為了保證噴水效果，打氣筒最少打氣20次
B．為了保證噴壺安全，打氣筒最多打氣50次
C．若充氣到噴壺安全上限，然后打開噴嘴向外噴水，可向外噴出水的體積為0.8 L
D．若充氣到噴壺安全上限，然后打開噴嘴向外噴水，可向外噴出水的體積為1 L
答案：AC
解析：為了保證噴水效果，設打氣筒最少打氣n次，則有p0V0＋np0ΔV＝p1V0，其中p0＝1.0×105 Pa，V0＝1.4 L－1.2 L＝0.2 L，ΔV＝0.02 L，p1＝3.0×105 Pa，解得n＝20次，故A正確；為了保證噴壺安全，打氣筒最多打氣m次，則有p0V0＋mp0ΔV＝p2V0，其中p2＝5.0×105 Pa，解得m＝40次，故B錯誤；若充氣到噴壺安全上限，然后打開噴嘴向外噴水，設可向外噴出水的體積為Vx，則有p2V0＝p0(V0＋Vx)，解得Vx＝0.8 L，故C正確，D錯誤。
4．(2023·山東青島高二下期中)一橫截面積為S的汽缸水平放置，固定不動，汽缸壁是導熱的。兩個活塞A和B將汽缸分隔為1、2兩氣室，達到平衡時1、2兩氣室體積之比為5∶4，如圖所示，在溫度不變的條件下，緩慢推動活塞A，使之向右移動一段距離d，不計活塞與氣缸壁之間的摩擦，則活塞B向右移動的距離為( D )
A．d B．d
C．d D．d
答案：D
解析：以活塞B為研究對象，初狀態有p1S＝p2S，設此時氣室1、2的體積分別為V1、V2，末狀態有p1′S＝p2′S，設此時氣室1、2的體積分別為V1′、V2′，在活塞A向右移動d的過程中，活塞B向右移動的距離為x，因溫度不變，分別對氣室1和氣室2的氣體運用玻意耳定律，得
p1V1＝p1′(V1＋xS－dS)
p2V2＝p2′(V2－xS)
代入數據可解得x＝d，故D正確。
5．(2023·湖南師大附中高二下期中)如圖所示，開口向下并插入水銀槽中的粗細均勻的玻璃管內封閉著長為H的空氣柱，管內水銀柱的液面與水銀槽的液面的高度差為h。若將玻璃管向右旋轉一定的角度(管下端未離開槽內水銀面)，環境溫度保持不變，則H和h的變化情況為( D )
A．H減小，h增大 B．H增大，h減小
C．H和h都增大 D．H和h都減小
答案：D
解析：設大氣壓為p0，玻璃管豎直時封閉氣體的壓強p＝p0－ρgh；玻璃管向右旋轉一定角度，假設封閉氣體的長度H不變，則水銀柱的有效高度h變小，封閉氣體壓強變大，根據玻意耳定律可知，封閉氣體體積減小，所以H要減小；再假設h不變，在玻璃管傾斜時水銀柱的長度會變長，則H會減小，根據玻意耳定律可知封閉氣體壓強會增大，所以h也要減小，故D正確。
6．(2024·河北邢臺高二下期中)氣體彈簧是車輛上常用的一種減震裝置，其簡化結構如圖所示。直立面柱形密閉汽缸導熱良好，活塞通過連桿與車輪軸連接，初始時汽缸內密閉一定質量的理想氣體。車輛載重時，相當于在汽缸頂部增加一個物體A，當物體A的質量m1＝60 kg時，氣柱穩定時的長度L1＝0.16 m，當物體A的質量m2＝160 kg時，氣柱穩定時的長度L2＝0.12 m，上述過程中氣體的溫度均保持不變。汽缸與活塞間的摩擦忽略不計，取重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)求車輛未載重時缸內氣柱的長度L0；
(2)若活塞的橫截面積S＝1.0×10－2 m2，求車輛未載重時缸內理想氣體的壓強p0。
答案：(1)0.2 m　(2)2.4×105 Pa
解析：(1)當物體A的質量m1＝60 kg時，缸內氣體的壓強p1＝p0＋
當物體A的質量m2＝160 kg時，缸內氣體的壓強p2＝p0＋
根據玻意耳定律有p1L1S＝p2L2S＝p0L0S
解得L0＝0.2 m。
(2)在(1)問中解得p0＝
將S＝1.0×10－2 m2代入上式解得p0＝2.4×105 Pa。
能力提升練
7．如圖，粗細均勻的玻璃管A和B由一橡皮管連接，一定質量的空氣被水銀柱封閉在A管內，初始時兩管水銀面等高，B管上方與大氣相通。若固定A管，將B管沿豎直方向緩慢下移一小段距離H，A管內的水銀面高度相應變化h，則( B )
A．h＝H B．h<
C．h＝ D．答案：B
解析：根據題意，原來A、B管內的水銀高度相同，有pA＝p0；B管下移后，設A管水銀下移高度為h，B管內水銀末位置高度如圖所示，A、B管內末位置水銀高度差為h1，則B管內水銀初、末位置高度差為h＋h1，可以計算B管下降的高度為H＝2h＋h1，此時由于A管內水銀下降，則A管內氣體體積增加，壓強減小，即pA′8．(2023·哈爾濱高二統考期末)如圖所示，豎直放置的封閉玻璃管由管徑不同、長度均為10 cm的A、B兩段細管組成，A管的內徑是B管的倍，B管在上方。管內空氣被一段水銀柱隔開，水銀柱在兩管中的長度均5 cm。現將玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管內的空氣柱長度改變1 cm，則B管在上方時，玻璃管內上部分氣體的壓強為(氣體溫度保持不變，以cmHg為壓強單位)( D )
A．56.4 cmHg B．44.2 cmHg
C．36.4 cmHg D．23.2 cmHg
答案：D
解析：設B管在上方時上部分氣壓為pB，則此時下方氣壓為pA，此時有pA＝10 cmHg＋pB，倒置后A管氣體壓強變小，空氣柱長度增加1 cm，則A管中水銀柱減小1 cm，兩管半徑之比為∶1，則橫截面積的關系SA＝2SB，由于水銀柱總體積不變，可知B管水銀柱增加2 cm，空氣柱減小2 cm。此時水銀柱總長為11 cm，設此時兩管的壓強分別為pA′、pB′，則有pA′＋11 cmHg＝pB′，倒置前后溫度不變，根據玻意耳定律，有pASAlA＝pA′SAlA′，pBSBlB＝pB′SBlB′，其中lA＝lB＝5 cm，lA′＝6 cm，lB′＝3 cm聯立以上各式，解得初始時玻璃管內上部分氣體的壓強為pB＝23.2 cmHg，故選D。
9．利用如圖所示的裝置可測量不規則物體的體積。將不規則物體放入體積為V0的容器B中，將容器B通過細管(容積可忽略)與體積為2V0的容器A相連接，開始時兩容器內的氣體壓強均為大氣壓強p0。關閉閥門K，利用充氣泵從容器A的充氣口對容器A充氣，直至容器A中的氣體壓強為3p0，然后關閉充氣口，打開閥門K，足夠長時間后發現兩容器內的氣體壓強均為2.8p0，不考慮氣體溫度變化，氣體可視為理想氣體，則通過充氣口充入容器A中的氣體在大氣壓強下的體積為( B )
A．2V0 B．4V0
C．6V0 D．8V0
答案：B
解析：設充氣后容器A中氣體在大氣壓強下的體積為V，則由玻意耳定律可得3p0·2V0＝p0V，通過充氣口充入的氣體在大氣壓強下的體積為V′＝V－2V0，解得V′＝4V0，故B正確。
10．輪胎氣壓是行車安全的重要參數，某型號汽車輪胎容積V0為25 L，安全氣壓范圍為2.4×105～3.0×105 Pa。汽車行駛一段時間后，發現胎壓下降到p1＝2.0×105 Pa，用車載氣泵給其充氣，氣泵每秒鐘注入0.5 L壓強為p0＝1.0×105 Pa的空氣。忽略輪胎容積與氣體溫度的變化。為使氣壓回到安全范圍，求氣泵工作的時間范圍。
答案：20 s≤t≤50 s
解析：外部向內部充氣的過程，根據玻意耳定律有
pV0＝p1V0＋np0V
設氣泵工作的時間為t，
因為p0一定，則有nV＝0.5t(L)
聯立兩式得pV0＝p1V0＋p0×0.5t
代入數據得p＝2×105＋0.02×105t(Pa)
由2.4×105 Pa≤p≤3.0×105 Pa
得20 s≤t≤50 s。
11．如圖所示，有甲、乙兩個儲氣鋼瓶，甲的容積為10 L，乙的容積為5 L，甲中有壓強為7p0的某種氣體，乙中有壓強為p0的同種氣體。將甲和乙通過細管連通，甲給乙灌氣，直到兩瓶中氣體壓強相等，灌氣過程甲、乙中氣體溫度相等且溫度不變，細管中氣體體積忽略不計。求：
(1)穩定時乙儲氣鋼瓶中氣體的壓強。
(2)甲儲氣鋼瓶中剩余氣體質量與灌氣前甲中氣體總質量的比值。
答案：(1)5p0　(2)
解析：(1)以甲、乙中氣體整體為研究對象，根據玻意耳定律得p1V1＋p2V2＝p(V1＋V2)，代入題給數據解得p＝5p0。
(2)灌氣前甲儲氣鋼瓶中的氣體等溫膨脹到壓強為5p0時，有p1V1＝pV，解得V＝14 L，甲儲氣鋼瓶中剩余氣體質量與灌氣前甲中氣體總質量的比值為＝＝＝＝。
12．(2024·河北張家口高三上期末)某興趣小組設計了一個測水深的深度計，打算用它測量清水河的深度。深度計的結構如圖所示，導熱性能良好的圓柱形汽缸Ⅰ、Ⅱ內徑分別為d和2d，長度均為L，內部分別有輕質薄活塞A、B，活塞密封性良好且可無摩擦左右滑動，汽缸Ⅰ左端開口，右端通過一細管連通汽缸Ⅱ。初始時A、B均位于汽缸最左端，且汽缸Ⅰ內通過A封有壓強為p0的氣體，汽缸Ⅱ內通過B封有壓強為3p0的氣體。該裝置放入水下后，通過A向右移動的距離可測定水的深度。已知外界大氣壓強為p0，p0相當于10 m高的水產生的壓強，不計水溫隨深度的變化，被封閉氣體視為理想氣體。
(1)求此深度計能夠測量的最大深度；
(2)若要測量的最大水深為50 m，可以調節初始狀態汽缸Ⅰ和汽缸Ⅱ內的氣體壓強，若汽缸Ⅰ內所封氣體的初始壓強為4p0，求汽缸Ⅱ內所封氣體的初始壓強。
答案：(1)22.5 m　(2)5p0
解析：(1)根據圖示分析可知，當活塞A恰好到達汽缸Ⅰ區右側，但與右側缸壁沒有擠壓時，能夠測量的水最深，此時活塞B左右兩側的氣體壓強相等，設大小為p1，對活塞B左側氣體有p0Lπ2＝p1xπd2
對活塞B右側氣體有3p0Lπd2＝p1(L－x)πd2
解得x＝，p1＝p0
則水產生的壓強為p1－p0＝p0
由于p0相當于10 m高的水產生的壓強，可知此深度計能測的最大深度為
h＝×10 m＝22.5 m。
(2)設汽缸Ⅰ與Ⅱ內通過A、B所封氣體的初始壓強分別為pA、pB，最大水深處氣體壓強為p2，活塞B向右移動x′，根據玻意耳定律對活塞B左側氣體有
pALπ2＝p2x′πd2
對活塞B右側氣體有pBLπd2＝p2(L－x′)πd2
解得pA＋4pB＝4p2
若要測量的最大水深h＝50 m，該深度對應水產生的壓強為5p0，此時活塞A恰好到達汽缸Ⅰ區右側，氣體壓強為p2－p0＝5p0
解得pB＝5p0。
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第二章　氣體、固體和液體
習題課　玻意耳定律的應用
課內互動探究
探究?
液柱移動的動態平衡問題
典|例|剖|析
1．(2024·河北唐山一模)如圖所示，上端封閉下端開口的玻璃管在外力F的作用下，靜止在水中，管內封閉一定質量的理想氣體。調整F的大小，使玻璃管緩慢向下移動一小段距離，下列說法正確的是( 　　)
A．氣體的體積變大
B．外力F變小
C．管中水面與管外水面高度差不變
D．氣體的壓強變大
答案：D
解析：玻璃管緩慢向下移動一小段距離時，管內氣體的壓強變大，氣體的體積變小，管中水面與管外水面高度差變大，故A、C錯誤，D正確；玻璃管向下移動后，管和管內氣體排開水的體積變大，浮力變大，則外力F變大，故B錯誤。
(多選)(2023·遼寧葫蘆島高二期末)如圖所示，兩端開口、內徑均勻的玻璃彎管固定在豎直平面內，兩段水銀柱A和C將空氣柱B封閉在左側豎直段玻璃管中，平衡時A段水銀有一部分在水平管中，豎直部分高度為h2，C段水銀兩側液面高度差為h1。若保持溫度不變，向右管緩緩注入少量水銀，則再次平衡后( 　　)
A．右側水銀面高度差h1增大
B．左側水銀面高度差h2減小
C．空氣柱B的長度增大
D．空氣柱B的壓強增大
答案：BC
對點訓練
解析：設大氣壓強為p0，水銀密度為ρ，空氣柱B的壓強為pB＝p0＋ρgh1＝p0＋ρgh2，若保持溫度不變，向右管緩緩注入少量水銀，先假設左邊水銀面都不動，由于右管h1變大，B氣體下面的水銀上升，使得B氣體壓強變大，從而使B氣體上面的水銀向上移動，使得h2減小，最終穩定時有pB′＝p0＋ρgh1′＝p0＋ρgh2′，由于h2′探究?
玻意耳定律在變質量問題中的應用
典|例|剖|析
2．比賽用籃球的內部氣體壓強不小于1.5p0(p0為大氣壓強)。一籃球的直徑為24 cm(忽略球殼的厚度)，球內氣體的壓強為1.2p0，用打氣筒給它打氣(如圖所示)。打氣筒的活塞直徑為4 cm，在筒內移動的最大范圍為24 cm。打氣時筒內的氣體壓強只要大于籃球內氣體的
壓強，氣體即可進入籃球，活塞每次推入都以最大范圍
移動。每次開始推活塞時打氣筒內的氣體壓強均為p0，打
氣過程中所有氣體的溫度都不變，籃球的容積不變，忽略
打氣筒導管內的氣體體積。
(1)活塞至少推入多少次后，籃球內氣體的壓強才符合比賽要求？
(2)推第5次時，活塞需要推進多長，打氣筒內的氣體才開始進入籃球？
答案：(1)8次　(2)6.44 cm
解析：(1)設籃球的容積為V1，打氣筒的最大容量為V2，活塞推入N次后籃球內氣體的壓強才能達到1.5p0，根據玻意耳定律有：1.2p0V1＋Np0V2＝1.5p0V1
(2)活塞推入4次后，設籃球內氣體的壓強為p1，根據玻意耳定律有：1.2p0V1＋4p0V2＝p1V1
活塞推第5次氣時，設活塞推進x后，氣體才開始進入籃球，則p0lS＝p1(l－x)S
代入數據解得x＝6.44 cm。
方法總結：每充氣一次，都是將充氣筒內(設體積為ΔV)壓強等于外界大氣壓p0的空氣充入體積一定(V0)的容器中，充n次的過程可以用整體法解決，即認為是由一個容積為nΔV的充氣筒一次完成，由玻意耳定律有p0(V0＋nΔV)＝pnV0。
A．2次 B．3次
C．4次 D．5次
答案：C
對點訓練
探究?
活塞和汽缸內密封氣體的計算
(1)汽缸靜止在斜面上時封閉氣柱的長度；
(2)汽缸在斜面上釋放后，穩定時封閉氣柱的長度。
答案：(1)105 cm　(2)110 cm
解析：(1)汽缸豎直放置，對活塞，由平衡條件得p0S＋mg＝p1S，解得p1＝1.2×105 Pa，汽缸靜止在斜面上，對活塞，由平衡條件得mgsin 30°＋p0S＝p2S，解得p2＝1.1×105 Pa，由玻意耳定律得p1LS＝p2L′S，解得L′＝105 cm。
(2)汽缸在斜面上釋放后，對整體，由牛頓第二定律得(M＋m)gsin 30°－μ(M＋m)gcos 30°＝(M＋m)a，解得a＝2.5 m/s2。
對活塞，由牛頓第二定律得mgsin 30°＋p0S－p3S＝ma，解得p3＝1.05×105 Pa。由玻意耳定律得p1LS＝p3L″S，解得L″＝110 cm。
對點訓練
答案：C
課堂達標檢測
一、液柱移動的動態平衡問題
1．(多選)如圖所示，在一端封閉的玻璃管中，用一段水銀柱將管內氣體與外界隔絕，管口向下放置，若將管傾斜，則待穩定后( 　　)
A．封閉端管內氣體的壓強增大
B．封閉端管內氣體的壓強減小
C．封閉端管內氣體的壓強不變
D．封閉端管內氣體的體積減小
答案：AD
解析：玻璃管由豎直到傾斜，水銀柱產生的壓強ph減小，大氣壓強p0不變，由p＋ph＝p0知，封閉端管內氣體的壓強p增大，再由玻意耳定律知其體積減小，故選項A、D正確。
2．(多選)(2024·遼寧沈陽高二下期中)如圖所示，兩端開口的均勻玻璃管豎直插入水銀槽中，管中有一段高為h1的水銀柱封閉一定質量的氣體，這時管下端開口處內、外水銀面高度差為h2，若保持環境溫度不變，當外界壓強增大時，下列分析正確的是( 　　)
A．h2變長
B．h2不變
C．水銀柱上升
D．水銀柱下降
答案：BD
解析：以管中高h1的水銀柱為研究對象，可得管內封閉氣體的壓強為p＝p0＋ρgh1，取管下端開口處液片為研究對象，有p＝p0＋ρgh2，則h1＝h2，h1不變，則h2不變，故A錯誤，B正確；當外界壓強增大時，管內封閉氣體的壓強p增大，根據玻意耳定律pV＝C可知氣體的體積減小，則水銀柱下降，故C錯誤，D正確。
二、玻意耳定律在變量問題中的應用
3．(2023·重慶渝北中學高二下期中)容積V＝10 L的鋼瓶充滿氧氣后，壓強p＝20 atm，打開鋼瓶閥門，讓氧氣分別裝到容積為V0＝5 L的小瓶子中去，若小瓶子已抽成真空，分裝到小瓶子中的氧氣壓強均為p0＝2 atm。在分裝過程中無漏氣現象，且溫度保持不變，那么最多可裝的瓶數是( 　　)
A．2瓶 B．18瓶
C．10瓶 D．20瓶
答案：B
答案：CD
三、活塞和汽缸內密封氣體壓強的計算
5．在光滑水平面上有一個內、外壁都光滑的汽缸，汽缸質量為M，汽缸內有一質量為m的活塞，已知M>m。活塞密封一部分氣體。現對汽缸施加一水平向左的拉力F，如圖甲所示，汽缸的加速度為a1，封閉氣體的壓強為p1，體積為V1；若用同樣大小的力F水平向左推活塞，如圖乙所示，汽缸的加速度為a2，封閉氣體的壓強為p2，體積為V2。設密封氣體的質量和溫度均不變，大氣壓強為p0，則( 　　)
A．a1＝a2　p1V2
B．a1p2　V1C．a1＝a2　p1D．a1>a2　p1>p2　V1>V2
答案：A
解析：對汽缸與活塞組成的整體，根據牛頓第二定律可知a1＝a2。設活塞橫截面積為S，對題圖甲，以活塞為研究對象，有p0S－p1S＝ma1；對題圖乙，以汽缸為研究對象，有p2S－p0S＝Ma2，可知p1V2，故A正確。
6．(2024·河北邯鄲高三上階段練習)如圖所示，粗細均勻導熱良好的U形玻璃管豎直放置，左管口封閉，右管口開口。管內有A、B兩段水銀柱，A水銀柱與玻璃管頂端充分接觸，B水銀柱在右管中的液面比左管中液面高5 cm，左管中封閉氣體長為10 cm，水銀柱A長為3 cm，大氣壓強為75 cmHg，重力加速度為10 m/s2，求(結果可用分數表示)：
(1)開始時，A水銀柱對玻璃管頂端的壓強；
(2)在右管中緩慢倒入水銀，當B水銀柱在右管中的液面
比左管中液面高10 cm時，B管中倒入的水銀柱長度。
解析：(1)設開始時，A水銀柱對玻璃管頂端的壓強為p，左側氣體的壓強為
p1＝p0＋ρgh1＝80 cmHg
對左側分析可得p1＝p＋ρgh2
解得p＝77 cmHg。
(2)設U形玻璃管橫截面積為S，左側氣體初始壓強
p1＝80 cmHg
長度L1＝10 cm
注入水銀后，左側氣體的壓強p2＝p0＋ρgh3＝85 cmHg
氣體發生等溫變化p1L1S＝p2L2S

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