資源簡介

　電場強度矢量疊加的幾種特殊方法
1.等效法
在保證效果相同的前提下，將復雜的電場情景變換為簡單的或熟悉的電場情景。
例如：一個點電荷+q與一個無限大薄金屬板形成的電場，等效為兩個等量異種點電荷形成的電場，如圖甲、乙所示。
2.對稱法
利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，使復雜電場的疊加計算問題簡化。
例如：如圖所示，均勻帶電的球殼在O點產生的電場，等效為弧BC產生的電場，弧BC產生的電場強度方向，又等效為弧的中點M在O點產生的電場強度方向。
3.填補法
將有缺口的帶電圓環或圓板補全為完整的圓環或圓板，將半球面補全為球面，從而化難為易、事半功倍。
4.微元法
將帶電體分成許多電荷單元，每個電荷單元看成點電荷，先根據庫侖定律求出某個電荷單元產生的電場強度(一般為通式)，再結合對稱性和電場強度疊加原理求出合電場強度。
例1　(2024·河北卷·7)如圖，真空中有兩個電荷量均為q(q>0)的點電荷，分別固定在正三角形ABC的頂點B、C。M為三角形ABC的中心，沿AM的中垂線對稱放置一根與三角形共面的均勻帶電細桿，電荷量為。已知正三角形ABC的邊長為a，M點的電場強度為0，靜電力常量為k。頂點A處的電場強度大小為(　　)
A. B.(6+)
C.(3+1) D.(3+)
例2　均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處時產生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM＝ON＝2R，已知M點的電場強度大小為E，靜電力常量為k，則N點的電場強度大小為(　　)
A.－E B.
C.－E D.+E
例3　(2024·湖北省荊州中學適應性考試)均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處的點電荷產生的電場。如圖所示，在絕緣球球面AA1B1B上均勻分布正電荷，總電荷量為q；在剩余球面AB上均勻分布負電荷，總電荷量是q。球半徑為R，球心為O，CD為球面AA1B1B的對稱軸，在軸線上有M、N兩點，且OM＝ON＝2R，A1A＝B1B，A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M點的電場強度大小為E，靜電力常量為k，則N點的電場強度大小為(　　)
A.|－E| B.|－2E|
C.+E D.+2E
例4　如圖所示，真空中有一電荷均勻分布的帶正電圓環，半徑為r，帶電荷量為q，圓心O在x軸的坐標原點處，圓環的邊緣A點與x軸上P點的連線與x軸的夾角為37°，靜電力常量為k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，則整個圓環產生的電場在P點的電場強度大小為(　　)
A. B. C. D.
1.半徑為R的絕緣圓環固定放置，圓心為O，圓環上均勻分布著電荷量為Q的負電荷。如圖所示，在A、B兩處分別取走弧長為Δx(Δx R)的圓弧，圓環上剩余電荷的分布不變，C1、C2分別是A、B間兩段圓弧的中點，已知∠AOB＝60°，靜電力常量為k，則圓環上剩余電荷在O點產生的電場強度的大小和方向為(　　)
A.，由O指向C2
B.，由O指向C1
C.，由O指向C2
D.，由O指向C1
2.(來自教材改編)如圖所示，電荷量為q的點電荷與均勻帶電薄板相距3d，水平虛線垂直薄板且過板的幾何中心，虛線上P、Q兩點到板的距離均為d，靜電力常量為k。已知P點電場強度為0，則Q點電場強度大小為(　　)
A.k B.k C.k D.0
3.(2021·江蘇卷·10)一球面均勻帶有正電荷，球內的電場強度處處為零，如圖所示，O為球心，A、B為直徑上的兩點，OA＝OB，現垂直于AB將球面均分為左右兩部分，C為截面上的一點，移去左半球面，右半球面所帶電荷仍均勻分布，則(　　)
A.O、C兩點電勢相等
B.A點的電場強度大于B點
C.沿直線從A到B電勢先升高后降低
D.沿直線從A到B電場強度逐漸增大
4.如圖所示，xOy平面是無窮大導體的表面，該導體充滿z<0的空間，z>0的空間為真空。將電荷量為q的點電荷置于z軸上z＝h處，則在xOy平面上會產生感應電荷。空間任意一點處的電場皆是由點電荷q和導體表面上的感應電荷共同激發的。已知靜電平衡時導體內部電場強度處處為零，則在z軸上z＝處的電場強度大小為(k為靜電力常量)(　　)
A.k B.k C.k D.k
答案精析
例1　D　[B點和C點的點電荷在M的合電場強度為E＝2cos 60°＝，方向向上，由M點的電場強度為零，故帶電細桿在M點的電場強度EM＝E＝，方向向下，由對稱性可知帶電細桿在A點的電場強度為EA＝EM＝，方向向上，因此A點合電場強度為E合＝EA+2cos 30°＝，故選D。]
例2　A　[把圓心在O點的二分之一球殼補為完整的帶電荷量為2q的帶電球殼，則在M、N兩點的電場強度大小均為E0＝。題圖中左半球殼在M點產生的電場強度為E，則右半球殼在M點產生的電場強度為E'＝E0－E＝－E，由對稱性知，左半球殼在N點產生的電場強度大小也為－E，故選A。]
例3　B　[將AB部分補上，使球殼變成一個均勻帶正電的完整的球殼，完整球殼帶電荷量為Q＝q，為保證電荷量不變，球面AB應帶負電且電荷量為q，則該球殼帶正電的完整部分在N點產生的電場強度為EN＝，根據對稱性可知，帶負電且電荷量為q的球面AB在N點產生的電場強度大小為2E，與EN方向相反，則N點的電場強度大小為EN'＝|－2E|，故選B。]
例4　B　[把圓環分為n等份(n足夠大)，每一份的電荷量為Δq，則有n＝，每小份可以看成點電荷，由點電荷的電場強度公式可知每小份產生的電場在P點的電場強度大小均為E0＝，由幾何關系sin 37°＝，可得E0＝。在P點，E0在垂直x軸方向的分量大小為Ey，根據對稱性，n個Ey的矢量和為0，E0在x軸方向的分量大小為Ex＝E0cos 37°，n個Ex的矢量和就是圓環產生的電場在P點的電場強度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D錯誤，B正確。]
跟蹤訓練
1.A　[假設把取走的電荷放置到原位置，A、B兩處的電荷分別在O點產生的電場強度大小均為E1＝，A、B兩處的電荷在O點產生的合電場強度大小為E2＝2E1cos 30°，方向由O指向C1，此時整個圓環在O點的合電場強度為0，則圓環上剩余的電荷在O點產生的合電場強度的大小為E3＝E2＝，方向由O指向C2，故選A。]
2.A　[由已知條件可得薄板與點電荷在P點的電場強度等大反向，則薄板在P點的電場強度大小E1＝，根據對稱性可知薄板在Q點的電場強度大小E2＝E1＝，方向相反，則Q點電場強度大小為EQ＝+＝k，故選A。]
3.A　[將題中半球殼補成一個完整的球殼，且帶電均勻，由于球內的電場強度處處為零，補全以后可知左右兩側球殼在C點的合電場強度為零，因左右側球殼的電場強度具有對稱性，要想合電場強度為零只能是兩部分球殼在C點的電場強度都是垂直于截面方向，則可知右側球殼在C點的電場強度方向水平向左，同理OC上其他點的電場強度都是水平向左，因此O、C點連線為等勢線，故O、C兩點電勢相等，故A正確；設左、右半球在A點產生的電場強度大小分別為E1和E2；由題知，均勻帶電球殼內部電場強度處處為零，則知E1＝E2，根據對稱性，左、右半球在B點產生的電場強度大小分別為E2和E1，在題圖所示電場中，A的電場強度大小為E2，方向向左，B的電場強度大小為E1，方向向左，所以A點的電場強度與B點的電場強度相同，沿直線從A到B電場強度不可能逐漸增大，故B、D錯誤；
根據電場的疊加原理可知，在AB連線上電場線方向向左，沿著電場線方向電勢逐漸降低，則沿直線從A到B電勢升高，故C錯誤。]
4.D　[該電場可等效為z軸h處與－h處的等量異種點電荷產生的電場，如圖所示，則在z＝處的電場強度大小為E＝k+k＝k，故選項D正確。
](共23張PPT)
物理
大
一
輪
復
習
第九章
靜電場
微點突破6
電場強度矢量疊加的幾種特殊方法
1.等效法
在保證效果相同的前提下，將復雜的電場情景變換為簡單的或熟悉的電場情景。
例如：一個點電荷＋q與一個無限大薄金屬板形成的電場，等效為兩個等量異種點電荷形成的電場，如圖甲、乙所示。
2.對稱法
利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，使復雜電場的疊加計算問題簡化。
例如：如圖所示，均勻帶電的球殼在O點產生的電場，等
效為弧BC產生的電場，弧BC產生的電場強度方向，又等效
為弧的中點M在O點產生的電場強度方向。
3.填補法
將有缺口的帶電圓環或圓板補全為完整的圓環或圓板，將半球面補全為球面，從而化難為易、事半功倍。
4.微元法
將帶電體分成許多電荷單元，每個電荷單元看成點電荷，先根據庫侖定律求出某個電荷單元產生的電場強度(一般為通式)，再結合對稱性和電場強度疊加原理求出合電場強度。
(2024·河北卷·7)如圖，真空中有兩個電荷量均為q(q>0)的點電荷，分別固定在正三角形ABC的頂點B、C。M為三角形ABC的中心，沿AM的中垂線對稱放置一根與三角形共面的均勻帶電細桿，電荷量為。已知正三角形ABC的邊長為a，M點的電場強度為0，靜電力常量為k。頂點A處的電場強度大小為
A. B.(6＋)
C.(3＋1) D.(3＋)
例1
√
B點和C點的點電荷在M的合電場強度為E＝2cos 60°
＝，方向向上，由M點的電場強度為零，故帶電細桿在M點的電場強度EM＝E＝，方向向下，由對稱性可知帶電細桿在A點的電場強度為EA＝EM＝，方向向上，
因此A點合電場強度為E合＝EA＋2cos 30°＝，故選D。
均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處時產生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM＝ON＝2R，已知M點的電場強度大小為E，靜電力常量為k，則N點的電場強度大小為
A.－E B.
C.－E D.＋E
例2
√
把圓心在O點的二分之一球殼補為完整的帶電荷量為2q的帶電球殼，則在M、N兩點的電場強度大小
均為E0＝。題圖中左半球殼在M點產生
的電場強度為E，則右半球殼在M點產生的電場強度為E'＝E0－E＝－E，由對稱性知，左半球殼在N點產生的電場強度大小也為－E，故選A。
(2024·湖北省荊州中學適應性考試)均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處的點電荷產生的電場。如圖所示，在絕
緣球球面AA1B1B上均勻分布正電荷，總電荷量為q；在剩余球面AB上均勻分布負電荷，總電荷量是q。球半徑為R，球心為O，CD為球面
AA1B1B的對稱軸，在軸線上有M、N兩點，且OM＝ON＝2R，A1A＝B1B，
A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M點的電場強度大小為E，靜電力常量
為k，則N點的電場強度大小為
A.|－E| B.|－2E|
C.＋E D.＋2E
例3
√
將AB部分補上，使球殼變成一個均勻帶正電的完整的球殼，完整球殼帶電荷量為Q
＝q，為保證電荷量不變，球面AB應帶負
電且電荷量為q，則該球殼帶正電的完整部
分在N點產生的電場強度為EN＝，根據對稱性可知，帶負電且
電荷量為q的球面AB在N點產生的電場強度大小為2E，與EN方向相反，則
N點的電場強度大小為EN'＝|－2E|，故選B。
如圖所示，真空中有一電荷均勻分布的帶正電圓環，半徑為r，帶電荷量為q，圓心O在x軸的坐標原點處，圓環的邊緣A點與x軸上P點的連線與x軸的夾角為37°，靜電力常量為k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，則整個圓環產生的電場在P點的電場強度大小為
A. B.
C. D.
例4
√
把圓環分為n等份(n足夠大)，每一份的電荷量為Δq，
則有n＝，每小份可以看成點電荷，由點電荷的電
場強度公式可知每小份產生的電場在P點的電場強度
大小均為E0＝，由幾何關系sin 37°＝，可得E0＝。在P點，E0在垂直x軸方向的分量大小為Ey，根據對稱性，n個Ey的矢量和為0，E0在x軸方向的分量大小為Ex＝E0cos 37°，n個Ex的矢量和就是圓環產生的
電場在P點的電場強度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D錯誤，B正確。
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跟蹤訓練
1.半徑為R的絕緣圓環固定放置，圓心為O，圓環上均勻分布著電荷量為Q的負電荷。如圖所示，在A、B兩處分別取走弧長為Δx(Δx R)的圓弧，圓環上剩余電荷的分布不變，C1、C2分別是A、B間兩段圓弧的中點，已知∠AOB＝60°，靜電力常量為k，則圓環上剩余電荷在O點產生的電場強度的大小和方向為
A.，由O指向C2 B.，由O指向C1
C.，由O指向C2 D.，由O指向C1
√
假設把取走的電荷放置到原位置，A、B兩處的電荷分別
在O點產生的電場強度大小均為E1＝，A、B兩處的
電荷在O點產生的合電場強度大小為E2＝2E1cos 30°，方向由O指向C1，此時整個圓環在O點的合電場強度為0，
則圓環上剩余的電荷在O點產生的合電場強度的大小為E3＝E2＝，方向由O指向C2，故選A。
2.(來自教材改編)如圖所示，電荷量為q的點電荷與均勻帶電薄板相距3d，水平虛線垂直薄板且過板的幾何中心，虛線上P、Q兩點到板的距離均為d，靜電力常量為k。已知P點電場強度為0，則Q點電場強度大小為
A.k B.k
C.k D.0
√
由已知條件可得薄板與點電荷在P點的電場強度等大反向，則薄板在P點的電場強度大
小E1＝，根據對稱性可知薄板在
Q點的電場強度大小E2＝E1＝，方向相反，則Q點電場強度大小為EQ＝＝k，故選A。
3.(2021·江蘇卷·10)一球面均勻帶有正電荷，球內的電場強度處處為零，如圖所示，O為球心，A、B為直徑上的兩點，OA＝OB，現垂直于AB將球面均分為左右兩部分，C為截面上的一點，移去左半球面，右半球面所帶電荷仍均勻分布，則
A.O、C兩點電勢相等
B.A點的電場強度大于B點
C.沿直線從A到B電勢先升高后降低
D.沿直線從A到B電場強度逐漸增大
√
將題中半球殼補成一個完整的球殼，且帶電均勻，由于球內的電場強度處處為零，補全以后可知左右兩側球殼在C點的合電場強度為零，因左右側球殼的電場強度具有對稱性，要想合電場強度為零只能是兩部分球殼在C點的電場強度都
是垂直于截面方向，則可知右側球殼在C點的電場強度方向水平向左，同理OC上其他點的電場強度都是水平向左，因此O、C點連線為等勢線，故O、C兩點電勢相等，故A正確；
設左、右半球在A點產生的電場強度大小分別為E1和E2；由題知，均勻帶電球殼內部電場強度處處為零，則知E1＝E2，根據對稱性，左、右半球在B點產生的電場強度大小分別為E2和E1，在題圖所示電場中，A的電場強度大小為E2，方向
向左，B的電場強度大小為E1，方向向左，所以A點的電場強度與B點的電場強度相同，沿直線從A到B電場強度不可能逐漸增大，故B、D錯誤；
根據電場的疊加原理可知，在AB連線上電場線方向向左，沿著電場線方向電勢逐漸降低，則沿直線從A到B電勢升高，故C錯誤。
4.如圖所示，xOy平面是無窮大導體的表面，該導體充滿z<0的空間，z>0的空間為真空。將電荷量為q的點電荷置于z軸上z＝h處，則在xOy平面上會產生感應電荷。空間任意一點處的電場皆是由點電荷q和導體表面上的感應電荷共同激發的。已知靜電平衡時導體內部電場強度處處為零，
則在z軸上z＝處的電場強度大小為(k為靜電力常量)
A.k B.k
C.k D.k
√
該電場可等效為z軸h處與－h處的等量異種點電荷產生的電場，如圖所示，
則在z＝處的電場強度大小為E＝k＋k＝k，故選
項D正確。

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