資源簡介

　變力做功
求變力做功的常用方法
1.“微元法”求變力做功
將物體的位移分割成許多小段，因小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無數(shù)多個(gè)無窮小的位移上的恒力所做功的代數(shù)和，此法適用于求解大小不變、方向改變的變力做功。如圖所示，質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周克服摩擦力做功W克f＝Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…＝Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)＝Ff·2πR。
例1　(多選)(2025·福建福州市段考)如圖所示，擺球質(zhì)量為m，懸線長度為L，把懸線拉到水平位置后靜止釋放擺球。設(shè)在擺球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中空氣阻力的大小Ff不變，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
A.重力做功為mgL
B.懸線的拉力做功為0
C.空氣阻力做功為－mgL
D.空氣阻力做功為－FfπL
2.“平均力”求變力做功
當(dāng)力的方向不變而大小隨位移線性變化時(shí)，可先求出力在這段位移中的平均值，再由W＝lcos α計(jì)算，如彈簧彈力做功。
例2　野山鼠擅長打洞，假設(shè)野山鼠打洞時(shí)受到的阻力Ff與洞的深度L成正比，即Ff＝kL(k為比例常數(shù))，則野山鼠打到洞深d的過程中，需要克服阻力做的功為(　　)
A.kd2 B. C.2kd2 D.
3.“圖像法”求變力做功
在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移內(nèi)所做的功，且位于x軸上方的“面積”為正功，位于x軸下方的“面積”為負(fù)功，但此方法只適用于便于求圖線與x軸所圍面積的情況(如三角形、矩形、圓等規(guī)則的幾何圖形)。如圖所示，一水平拉力拉著一物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移為x1，F(xiàn)－x圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功，W＝x1。
例3　一物體所受的力F隨位移x變化的圖像如圖所示，在這一過程中，力F對物體做的功為(　　)
A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J
4.“轉(zhuǎn)化法”求變力做功
通過轉(zhuǎn)換研究對象，可將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，用W＝Flcos α求解，如輕繩通過光滑輕質(zhì)定滑輪拉物體運(yùn)動(dòng)過程中拉力做功問題。如圖所示，恒力F把放在光滑水平面上的物體從A拉到B，因輕繩對物體做的功等于拉力F對輕繩做的功，故輕繩對物體做功W＝F()。
例4　如圖所示，一輛拖車通過光滑輕質(zhì)定滑輪將一重為G的物體勻速提升，當(dāng)拖車從A點(diǎn)水平移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，位移為s，繩子由豎直變?yōu)榕c豎直方向成θ角，不計(jì)空氣阻力，求此過程中拖車對繩子所做的功。
其他求變力做功的方法
(1)當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定，求發(fā)動(dòng)機(jī)做功用W＝Pt。
(2)利用動(dòng)能定理求變力做功WF+W其他力＝ΔEk。
1.(2025·山東煙臺市龍口市段考)水平桌面上，長6 m的輕繩一端固定于O點(diǎn)，如圖所示(俯視圖)，另一端系一質(zhì)量m＝2.0 kg的小球。現(xiàn)對小球施加一個(gè)沿桌面大小不變的力F＝10 N，F(xiàn)拉著小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，F(xiàn)的方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37°角。已知小球與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則下列說法正確的是(　　)
A.拉力F對小球做的功為16π J
B.拉力F對小球做的功為8π J
C.小球克服摩擦力做的功為16π J
D.小球克服摩擦力做的功為4π J
2.(2024·江西南昌市第十九中學(xué)期中)用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設(shè)木板對釘子的阻力與釘進(jìn)木板的深度成正比。已知鐵錘第一次將釘子釘進(jìn)d，如果鐵錘第二次敲釘子時(shí)對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次釘子進(jìn)入木板的深度為(　　)
A.(－1)d B.(－1)d
C. D.d
3.(2024·山西省懷仁一中期中)如圖甲所示，質(zhì)量為4 kg的物體在水平推力作用下開始運(yùn)動(dòng)，推力大小F隨位移大小x變化的圖像如圖乙所示，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力，則該物體在0~4 m的運(yùn)動(dòng)過程中(　　)
A.摩擦力的功率一直增大
B.推力的功率一直增大
C.摩擦力做功為80 J
D.推力做功為200 J
答案精析
例1　ABD　[根據(jù)W＝Flcos α，擺球下擺過程中，重力做功為mgL，A正確；懸線的拉力始終與速度方向垂直，故做功為0，B正確；空氣阻力的大小不變，方向始終與速度方向相反，使用微元法得空氣阻力做功為－Ff·πL＝－FfπL，C錯(cuò)誤，D正確。]
例2　B　[由于打洞時(shí)受到的阻力Ff與洞的深度L成正比，則野山鼠打到洞深d的過程中，需要克服阻力做的功為W＝·d＝d＝，故選B。]
例3　B　[力F對物體做的功等于F－x圖線與橫軸所圍面積的代數(shù)和，0~4 s這段時(shí)間內(nèi)力F對物體做的功為W1＝×(3+4)×2 J＝7 J，4~5 s這段時(shí)間內(nèi)力F對物體做的功為W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J，全過程中，力F對物體做的功為W＝W1+W2＝7 J－1 J＝6 J，故選B。]
例4　Gs
解析　拖車對繩子做的功等于繩子對物體做的功，以物體為研究對象，由于整個(gè)過程中物體勻速運(yùn)動(dòng)，所以繩子的拉力大小FT＝G。物體上升的距離等于滑輪右側(cè)后來的繩長OB減去開始時(shí)的繩長OA，即l＝，所以繩子對物體做的功W＝FTl＝Gs，則拖車對繩子做的功等于Gs。
跟蹤訓(xùn)練
1.A　[將圓弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功為W1、W2…Wn，因拉力F大小不變，方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37°角，
所以W1＝Fl1cos 37°，
W2＝Fl2cos 37°，…
Wn＝Flncos 37°
故WF＝W1+W2+…+Wn
＝Fcos 37°(l1+l2+…+ln)
＝Fcos 37°·＝10×0.8××6 J
＝16π J，故A正確，B錯(cuò)誤；同理可得小球克服摩擦力做的功W克f＝μmg·＝8π J，故C、D錯(cuò)誤。]
2.B　[鐵錘每次敲釘子時(shí)對釘子做的功等于釘子克服阻力做的功，由于阻力與深度成正比，可用阻力的平均值求功，據(jù)題意可得W＝d＝d，W＝d'＝d'，聯(lián)立解得d'＝－1)d，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確。]
3.D　[物體所受滑動(dòng)摩擦力Ff＝μmg＝20 N，由題圖乙可知，推力大小一直減小，當(dāng)推力大于摩擦力時(shí)，物體做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)推力小于摩擦力時(shí)，物體做減速運(yùn)動(dòng)，又摩擦力大小恒定，故該物體在0~4 m的運(yùn)動(dòng)過程中，摩擦力的功率先增大后減小，故A錯(cuò)誤；當(dāng)推力等于摩擦力時(shí)，物體速度達(dá)到最大，此后隨著物體速度減小，則推力的功率也減小，故B錯(cuò)誤；摩擦力做功W1＝－Ffx＝－80 J，故C錯(cuò)誤；F－x圖像中圖線與x軸所圍的面積表示推力做的功，推力做的功W2＝×100×4 J＝200 J，故D正確。](共20張PPT)
物理
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
第六章
機(jī)械能守恒定律
微點(diǎn)突破4
變力做功
求變力做功的常用方法
1.“微元法”求變力做功
將物體的位移分割成許多小段，因小段很小，每一小段上
作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化
為在無數(shù)多個(gè)無窮小的位移上的恒力所做功的代數(shù)和，此法適用于求解大小不變、方向改變的變力做功。如圖所示，質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周克服摩擦力做功W克f＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。
(多選)(2025·福建福州市段考)如圖所示，擺球質(zhì)量為m，懸線長度為L，把懸線拉到水平位置后靜止釋放擺球。設(shè)在擺球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中空氣阻力的大小Ff不變，重力加速度為g，則下列說法正確的是
A.重力做功為mgL
B.懸線的拉力做功為0
C.空氣阻力做功為－mgL
D.空氣阻力做功為－FfπL
例1
√
√
√
根據(jù)W＝Flcos α，擺球下擺過程中，重力做功為mgL，
A正確；
懸線的拉力始終與速度方向垂直，故做功為0，B正確；
空氣阻力的大小不變，方向始終與速度方向相反，使用
微元法得空氣阻力做功為－Ff·πL＝－FfπL，C錯(cuò)誤，D正確。
2.“平均力”求變力做功
當(dāng)力的方向不變而大小隨位移線性變化時(shí)，可先求出力在這段位移中的
平均值，再由W＝lcos α計(jì)算，如彈簧彈力做功。
野山鼠擅長打洞，假設(shè)野山鼠打洞時(shí)受到的阻力Ff與洞的深度L成正比，即Ff＝kL(k為比例常數(shù))，則野山鼠打到洞深d的過程中，需要克服阻力做的功為
A.kd2 B.
C.2kd2 D.
例2
√
由于打洞時(shí)受到的阻力Ff與洞的深度L成正比，則野山鼠打到洞深d的過
程中，需要克服阻力做的功為W＝·d＝d＝，故選B。
3.“圖像法”求變力做功
在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力
F在這段位移內(nèi)所做的功，且位于x軸上方的“面積”為正
功，位于x軸下方的“面積”為負(fù)功，但此方法只適用于便
于求圖線與x軸所圍面積的情況(如三角形、矩形、圓等規(guī)則的幾何圖形)。如圖所示，一水平拉力拉著一物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移為x1，F(xiàn)－x圖
線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功，W＝x1。
一物體所受的力F隨位移x變化的圖像如圖所示，在這一過程中，力F對物體做的功為
A.3 J B.6 J
C.7 J D.8 J
例3
√
力F對物體做的功等于F－x圖線與橫軸所圍面積的代數(shù)和，0~4 s這段時(shí)間內(nèi)力F對物體做的功為W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J，4~5 s這段時(shí)間內(nèi)力F對物體做的功為W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J，全過程中，力F對物體做的功為W＝W1＋W2＝7 J－1 J＝6 J，故選B。
4.“轉(zhuǎn)化法”求變力做功
通過轉(zhuǎn)換研究對象，可將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，用W＝Flcos α求解，如輕繩通過光滑輕質(zhì)定滑輪拉物體運(yùn)動(dòng)過程中拉力做功問題。如圖所示，恒力F把放在光滑水平
面上的物體從A拉到B，因輕繩對物體做的功等于拉力F對輕繩做的功，
故輕繩對物體做功W＝F()。
如圖所示，一輛拖車通過光滑輕質(zhì)定滑輪將一重為G的物體勻速提升，當(dāng)拖車從A點(diǎn)水平移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，位移為s，繩子由豎直變?yōu)榕c豎直方向成θ角，不計(jì)空氣阻力，求此過程中拖車對繩子所做的功。
例4
答案　Gs
拖車對繩子做的功等于繩子對物體做的功，以物體為研究對象，由于整個(gè)過程中物體勻速運(yùn)動(dòng)，所以繩子的拉力大小FT＝G。物體上升的距離等于滑輪右側(cè)后來的繩
長OB減去開始時(shí)的繩長OA，即l＝，所以繩
子對物體做的功W＝FTl＝Gs，則拖車對繩子做的功等于Gs。
其他求變力做功的方法
(1)當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定，求發(fā)動(dòng)機(jī)做功用W＝Pt。
(2)利用動(dòng)能定理求變力做功WF＋W其他力＝ΔEk。
跟蹤訓(xùn)練
1.(2025·山東煙臺市龍口市段考)水平桌面上，長6 m的輕繩一端固定于O點(diǎn)，如圖所示(俯視圖)，另一端系一質(zhì)量m＝2.0 kg的小球。現(xiàn)對小球施加一個(gè)沿桌面大小不變的力F＝10 N，F(xiàn)拉著小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，F(xiàn)的方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37°角。已知小球與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則下列說法正確的是
A.拉力F對小球做的功為16π J
B.拉力F對小球做的功為8π J
C.小球克服摩擦力做的功為16π J
D.小球克服摩擦力做的功為4π J
√
將圓弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功為W1、W2…Wn，因拉力F大小不變，方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37°角，
所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…
Wn＝Flncos 37°
故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝10×0.8××6 J＝16π J，故A正確，B錯(cuò)誤；
同理可得小球克服摩擦力做的功W克f＝μmg·＝8π J，故C、D錯(cuò)誤。
2.(2024·江西南昌市第十九中學(xué)期中)用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設(shè)木板對釘子的阻力與釘進(jìn)木板的深度成正比。已知鐵錘第一次將釘子釘進(jìn)d，如果鐵錘第二次敲釘子時(shí)對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次釘子進(jìn)入木板的深度為
A.(－1)d B.(－1)d
C. D.d
√
鐵錘每次敲釘子時(shí)對釘子做的功等于釘子克服阻力做的功，由于阻力與
深度成正比，可用阻力的平均值求功，據(jù)題意可得W＝d＝d，W＝d'＝d'，聯(lián)立解得d'＝(－1)d，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確。
3.(2024·山西省懷仁一中期中)如圖甲所示，質(zhì)量為4 kg的物體在水平推力作用下開始運(yùn)動(dòng)，推力大小F隨位移大小x變化的圖像如圖乙所示，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力，則該物體在0~4 m的運(yùn)動(dòng)過程中
A.摩擦力的功率一直增大
B.推力的功率一直增大
C.摩擦力做功為80 J
D.推力做功為200 J
√
物體所受滑動(dòng)摩擦力Ff＝μmg＝20 N，由題圖乙可知，推力大小一直減小，當(dāng)推力大于摩擦力時(shí)，物體做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)
推力小于摩擦力時(shí)，物體做減速運(yùn)動(dòng)，又摩擦力大小恒定，故該物體在0~4 m的運(yùn)動(dòng)過程中，摩擦力的功率先增大后減小，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)推力等于摩擦力時(shí)，物體速度達(dá)到最大，此后隨著物體速度減小，則推力的功率也減小，故B錯(cuò)誤；
摩擦力做功W1＝－Ffx＝－80 J，故C錯(cuò)誤；
F－x圖像中圖線與x軸所圍的面積表示推
力做的功，推力做的功W2＝×100×4 J
＝200 J，故D正確。

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