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第講　專題：追及相遇問題
考點一　追及和相遇問題
1．追及問題
若后者能追上前者，追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
2．相遇問題
(1)同向運動的兩物體追上即相遇，此時兩物體位移大小之差等于開始時兩物體間的距離。
(2)相向運動的兩物體，當各自發生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。
3．追及相遇問題的解題思路及技巧
(1)解題思路
(2)解題技巧
①緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關系式、速度關系式和位移關系式。
②審題應抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對應一個臨界狀態，滿足相應的臨界條件。
③若被追的物體做勻減速直線運動，一定要注意追上前該物體是否已經停止運動，另外還要注意最后對解進行討論分析。
④緊緊抓住速度相等這個臨界點。兩者速度相等，往往是物體能追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。
4．追及相遇問題的兩種典型情況的v t圖像及說明
(1)初速度小者追初速度大者
典型示例 圖像 說明
勻加速追勻速 ①0～t0時段，后面物體與前面物體間距離不斷增大； ②t＝t0時，兩物體相距最遠，為x0＋Δx(x0為兩物體初始距離)； ③t>t0時，后面物體追及前面物體的過程中，兩物體間距離不斷減小； ④能追上且只能相遇一次
勻速追勻減速
勻加速追勻減速
(2)初速度大者追初速度小者
典型示例 圖像 說明
勻減速追勻速 開始追時，兩物體間距離為x0，之后兩物體間距離在減小，當兩物體速度相等時，即t＝t0時刻： ①若Δx＝x0，則恰能追上，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件； ②若Δxx0，則相遇兩次，設t1時刻Δx1＝x0，兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)
勻速追勻加速
勻減速追勻加速
例1一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以a＝3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這一時刻一輛自行車以v自＝6 m/s的速度勻速駛來，從旁邊超過汽車。試求：
(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？
(2)什么時候汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？
[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
[解析]　(1)解法一(物理分析法)：
如圖甲所示，汽車與自行車的速度相等時相距最遠，設此時經過的時間為t1，汽車和自行車間的距離為Δx，則有v自＝at1
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－at＝6 m。
解法二(相對運動法)：
以自行車為參考系，則從開始到相距最遠的這段時間內，汽車相對這個參考系的各個物理量為
初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s
末速度vt＝v汽末－v自＝0
加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2
所以汽車和自行車相距最遠時經歷的時間為
t1＝＝2 s
最大相對位移Δx＝＝－6 m
負號表示汽車在后。
注意：利用相對運動的方法解題，要抓住三個關鍵：①選取哪個物體為研究對象；②選取哪個物體為參考系；③規定哪個方向為正方向。
解法三(二次函數法)：
設汽車在追上自行車之前經過時間t1汽車和自行車相距Δx，則Δx＝v自t1－at
代入已知數據得Δx＝6t1－t
由二次函數求極值的條件知：t1＝2 s時，Δx有最大值6 m。
所以經過t1＝2 s后，汽車和自行車相距最遠，最遠距離為Δx＝6 m。
解法四(圖像法)：
自行車和汽車的v t圖像如圖乙所示。由圖可以看出，在相遇前，t1時刻汽車和自行車速度相等，相距最遠，此時的距離為陰影三角形的面積，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一(物理分析法)：
當汽車和自行車位移相等時，汽車追上自行車，設此時經過的時間為t2，則有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此時汽車的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二(圖像法)：
由前面畫出的v t圖像可以看出，在t1時刻之后，當由圖線v自、v汽和t＝t2構成的三角形的面積與陰影部分的三角形面積相等時，汽車與自行車的位移相等，即汽車與自行車相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
追及相遇問題的常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立物體運動關系的情境圖。 例如，物體B追趕物體A，開始時，兩個物體相距x0，B的速度大于A的速度，之后兩物體的加速度恒定且aBxA＋x0，則能追上；若xB＝xA＋x0，則恰好追上；若xB0，即有兩個解，說明可以相遇兩次； b．若Δ＝0，有一個解，說明能剛好追上或相遇； c．若Δ<0，無解，說明追不上或不能相遇。 ②當t＝－時，函數有極值，若此時刻有意義(t≥0)，則函數的極值代表兩者距離的極大或極小值。 (3)圖像法：在同一坐標系中畫出兩物體的運動圖像。位移—時間圖像的交點表示相遇，分析速度—時間圖像時，應抓住速度相等時的“面積”關系找位移關系。
例2 現有A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，速度vA＝72 km/h，B車在后，速度vB＝30 m/s。已知B車在進行火車剎車測試時發現，若車以30 m/s的速度行駛，剎車后至少要前進450 m才能停下。問：
(1)B車剎車的最大加速度為多大？
(2)因大霧能見度低，B車在距A車x0＝200 m處才發現前方A車，這時B車立即以最大加速度剎車。若B剎車時A車仍按原速前進，兩車
是否會相撞？若會相撞，將在B車剎車后何時相撞？若不會相撞，則兩車相距最近時距離是多少？
[答案]　(1)1 m/s2　(2)不會相撞　150 m
[解析]　(1)設B車剎車的最大加速度大小為a，剎車后前進的距離至少為x，根據勻變速直線運動規律有0－v＝－2ax
解得a＝1 m/s2。
(2)假設兩車不相撞，則兩車速度相等時，兩車相距最近。設當兩車速度相等時，B車做減速運動的時間為t，則有vA＝vB－at
其中，A車的速度vA＝72 km/h＝20 m/s
從B車開始剎車到兩車速度相等，B車的位移為xB＝t
A車的位移為xA＝vAt
解得xA＝200 m，xB＝250 m
兩車間距離減小值為Δx＝xB－xA＝50 m則假設成立，兩車不相撞，兩車最近距離為
d＝x0－Δx
解得d＝150 m。
跟進訓練 在一筆直公路上有甲、乙兩輛車同向運動，甲車在前，速度為5 m/s，乙車在后，速度為8 m/s，當甲、乙兩車相距9.5 m時，甲車開始剎車做勻減速直線運動，5 s后甲車停止運動。為了不撞上甲車，乙車在甲剎車后1 s也開始剎車，則乙的加速度大小至少為(　　)
A. m/s2 B. m/s2
C．2 m/s2 D. m/s2
答案：A
解析：甲車的加速度大小a甲＝＝ m/s2＝1 m/s2。設甲、乙兩車的初始距離為x0＝9.5 m，乙車在甲剎車后t0＝1 s也開始剎車，甲剎車后經過時間t兩車速度相等，則v甲－a甲t＝v乙－a乙(t－t0)，兩車不相撞的臨界是兩車速度相等時恰好相遇，此時乙車的加速度最小，有v乙t0＋v乙(t－t0)－a乙(t－t0)2＝x0＋v甲t－a甲t2，聯立并代入數據解得t＝4 s，a乙＝ m/s2，故選A。
考點二　運動圖像和追及相遇問題的綜合應用
1．與x t圖像、v t圖像有關的追及相遇問題
(1)利用圖像中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算。
(2)有時將運動圖像還原成物體的實際運動情況更便于理解、分析。
2．借助v t圖像求解追及相遇問題：在有些追及相遇情境中可根據兩個物體的運動狀態作出v t圖像，再通過圖像分析計算得出結果，這樣更直觀、簡捷。
例3 (2021·廣東高考)(多選)賽龍舟是端午節的傳統活動。下列v t和s t圖像描述了五條相同的龍舟從同一起點線同時出發、沿長直河道劃向同一終點線的運動全過程，其中能反映龍舟甲與其它龍舟在途中出現船頭并齊的有(　　)
[答案]　BD
[解析]　由圖A可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以甲、乙在途中不可能出現船頭并齊，故A錯誤；由圖B可知，開始丙的速度大，后來甲的速度大，v t圖像中圖線與時間軸圍成的面積表示位移，由圖可以判斷，甲、丙在途中會出現位移相同的時刻，所以甲、丙在途中會出現船頭并齊，故B正確；由圖C可知，丁一直運動在甲的前面，所以甲、丁在途中不可能出現船頭并齊，故C錯誤；圖D的s t圖像中交點表示兩船相遇，所以甲、戊在途中會出現船頭并齊，故D正確。
跟進訓練 小汽車A和卡車B在平直的公路上沿著兩條平行車道同向行駛，t＝0時刻，兩車車頭相齊，兩車的v t圖像如圖所示，由圖像可知(　　)
A．在t＝2t0時刻，兩車車頭再次相齊
B．在t＝2t0時刻之前，兩車的距離逐漸減小
C．在t＝2t0時刻之后，兩車的距離逐漸加大
D．在t0～3t0這段時間內，兩車前進的距離相等
答案：D
解析：由題中v t圖像可知，在t＝2t0時刻，兩車的速度相同，在此之前，B車的速度小于A車的速度，兩車的距離逐漸增大，在此之后，B車的速度大于A車的速度，兩車的距離又逐漸減小，B、C錯誤；根據v t圖像與t軸圍成的面積表示位移，結合題圖的對稱性可知，在t＝4t0時刻兩車車頭再次相齊，故A錯誤；在t0～3t0這段時間內，兩圖線與時間軸所圍成的面積相等，故兩車前進的距離相等，D正確。
例4 (2025·安徽省高三上12月質檢)(多選)為了測試小車的性能，甲、乙兩輛小車同時從M處由靜止開始沿平直公路均先做勻加速直線運動，然后剎車做勻減速直線運動直至靜止，兩車先后停在N處，假設兩車在各自勻加速階段和勻減速階段的加速度大小相等，甲、乙兩車全程經歷的時間分別為t0和2t0，甲、乙兩車加速度大小分別為a1和a2，最大速度分別為v1和v2，則(　　)
A．v1∶v2＝2∶1
B．a1∶a2＝∶1
C．甲車停下時，兩車相距最遠
D．甲車運動了t0時，兩車相距最遠
[答案]　AD
[解析]　甲、乙兩車的v t圖像如圖所示，由題意知兩車再次靜止時的位移相等，則有v1t0＝v2×2t0，解得v1∶v2＝2∶1，A正確；由v t圖像中圖線的斜率的絕對值表示加速度的大小，可知甲車的加速度大小a1＝，乙車的加速度大小a2＝，解得a1∶a2＝2v1∶v2＝4∶1，故B錯誤；甲、乙兩車速度相等時相距最遠，設甲車達到最大速度后，再經過Δt時間，兩車速度相等，有v1－a1Δt＝a2，將v1＝a1·、a1∶a2＝4∶1代入解得Δt＝t0，即甲車運動時間t甲＝＋Δt＝t0時，兩車相距最遠，此時甲車還未停下，故C錯誤，D正確。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2021·海南高考)(多選)甲、乙兩人騎車沿同一平直公路運動，t＝0時經過路邊的同一路標，下列位移—時間(x t)圖像和速度—時間(v t)圖像對應的運動中，甲、乙兩人在t0時刻之前能再次相遇的是(　　)
答案：BC
解析：A圖中，甲、乙在t0時刻之前位移沒有再次相等的時刻，即兩人在t0時刻之前不能再次相遇，A錯誤；B圖中，甲、乙在t0時刻之前圖線有交點，此時位移相等，即兩人在t0時刻之前能再次相遇，B正確；C圖中，因v t圖像與時間軸圍成的面積表示位移，則甲、乙在t0時刻之前位移有再次相等的時刻，即兩人在t0時刻之前能再次相遇，C正確；D圖中，因v t圖像與時間軸圍成的面積表示位移，由圖像可知在t0時刻之前，甲的位移始終大于乙的位移，則兩人在t0時刻之前不能再次相遇，D錯誤。
2．一轎車和一貨車在兩條平行直道上同向行駛，開始時兩車速度都為v0，且轎車司機與貨車車尾并排，如圖所示，為了超車，轎車司機開始控制轎車做勻加速運動，經過一段時間t，轎車司機與貨車車頭并排，若貨車車身長度為L，且貨車保持勻速，則轎車加速過程的加速度大小為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設轎車做勻加速直線運動的加速度大小為a，則時間t內轎車的位移x1＝v0t＋at2，貨車做勻速直線運動，時間t內的位移x2＝v0t，由題意知x1－x2＝L，聯立解得a＝，故選B。
3．(2025·四川省德陽市高三上一模)甲車以4 m/s的速度做勻速直線運動，乙車在甲車前面的另一平行車道以10 m/s的速度同向做勻速直線運動，當它們相距16 m(沿車道方向)時，乙車開始剎車做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2。從乙車開始剎車到甲車追上乙車，所用時間為(　　)
A．8 s B．10.25 s
C．10.5 s D．15 s
答案：B
解析：乙車從開始剎車到停止所用時間t乙＝＝ s＝5 s，位移x乙＝＝ m＝25 m，假設甲車追上乙車時，乙車已經停止運動，且從乙車開始剎車到甲車追上乙車，經過的時間為t，則有v甲t－x乙＝16 m，解得t＝10.25 s>t乙，假設成立，故選B。
4.為了測試某品牌新能源汽車的性能，現有甲、乙兩輛汽車沿平直的公路運動，t＝0時刻甲車在乙車前方x0＝60 m處，該時刻兩車開始剎車，此后過程中兩輛汽車的速度隨時間的變化規律如圖所示。則下列說法正確的是(　　)
A．甲、乙兩車的加速度大小之比為4∶3
B．t＝10 s時兩車之間的距離最小
C．兩車可能發生碰撞
D．t＝30 s時兩車相距10 m
答案：D
解析：v t圖像中圖線的斜率表示加速度，由題圖可知，甲、乙兩車的加速度分別為a甲＝ m/s2＝－2 m/s2，a乙＝ m/s2＝－1 m/s2，則甲、乙兩車的加速度大小之比為2∶1，故A錯誤；因為t＝0時甲車在前，乙車在后，且在t＝10 s之前，甲車的速度大于乙車的速度，在t＝10 s之后，甲車的速度小于乙車的速度，所以在t＝10 s時，兩車相距最遠，故B錯誤；v t圖像中圖線與t軸所圍面積表示位移，由題圖可知，甲車減速運動的總位移為x甲＝×40×20 m＝400 m，乙車減速運動的總位移為x乙＝×30×30 m＝450 m，因x甲＋x0>x乙，則兩車不可能發生碰撞，且t＝30 s時，兩車的距離為x′＝x0－(x乙－x甲)＝10 m，故C錯誤，D正確。
5.(2024·廣西桂林市高三下一模)(多選)甲、乙兩輛車初始時相距1200 m，甲車在后、乙車在前，乙車在8 s時刻開始運動，它們在同一直線上做勻變速直線運動，速度—時間圖像如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．乙車的加速度大小為0.42 m/s2
B．兩輛車在t＝36 s時速度相等
C．兩輛車可能相撞
D．甲車停下時，乙車在甲車前面391 m處
答案：BD
解析：v t圖像中圖線的斜率表示加速度，由題圖可知，乙車的加速度為a2＝ m/s2＝0.5 m/s2，甲車的加速度為a1＝ m/s2＝－1 m/s2，兩車速度相等時，有v1＋a1t＝a2(t－8 s)，其中甲車的初始速度v1＝50 m/s，可得t＝36 s，故A錯誤，B正確；t＝36 s時，甲車的位移x1＝v1t＋a1t2＝1152 m，乙車的位移x2＝a1(t－8 s)2＝196 m，因x1－x2＝956 m<1200 m，則兩車不可能相撞，C錯誤；由v t圖線與t軸所圍面積表示位移可知，甲車停下時，甲車的位移為x1′＝ m＝1250 m，乙車的位移為x2′＝ m＝441 m，則乙車在甲車前面Δx＝x0＋x2′－x1′＝391 m處，D正確。
6．“低頭族”在社會安全中面臨越來越多的潛在風險，若司機也屬于低頭一族，出事概率則會劇增。若高速公路(可視為平直公路)同一車道上兩小車的車速均為108 km/h，車距為105 m，前車由于車輛問題而緊急剎車，而后方車輛的司機由于低頭看手機，4 s后抬頭才看到前車剎車，經過0.4 s的應急時間后也緊急剎車，假設兩車剎車時的加速度大小均為6 m/s2，則下列說法正確的是(　　)
A．兩車不會相撞，兩車間的最小距離為12 m
B．兩車會相撞，相撞時前車車速為6 m/s
C．兩車會相撞，相撞時后車車速為18 m/s
D．條件不足，不能判斷兩車是否相撞
答案：C
解析：兩車的初速度均為v0＝108 km/h＝30 m/s，結合運動學公式知，假若兩車從開始剎車一直勻減速到速度為0，則剎車位移均為x1＝＝ m＝75 m，后車從前車開始剎車到自身減速到速度為0的位移為x2＝30×(4＋0.4) m＋75 m＝207 m>105 m＋x1＝180 m，所以兩車會相撞。假設相撞時前車已經停止，則相撞位置距后車勻減速到速度為0的位置的距離Δx＝207 m－180 m＝27 m，勻減速到速度為零的直線運動可以逆向看作初速度為零的勻加速直線運動處理，則相撞時對后車有v2＝2aΔx，解得v＝18 m/s，此時距前車開始剎車的時間為(4＋0.4) s＋＝6.4 s>＝5 s，故假設成立。故C正確，A、B、D錯誤。
7.可視為質點的甲、乙兩小車分別沿同一平直路面同向行駛，t＝0時，甲在乙前方10 m處，它們的v t圖像如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．在t＝6 s時，乙在甲前最遠，此后兩車間距越來越小
B．在t＝6 s時，乙車在甲車前方6 m處
C．甲、乙在t＝2 s并排行駛
D．乙車的加速度大于甲車的加速度
答案：C
解析：由題圖可知，甲、乙兩車均做勻加速直線運動，加速度分別為a甲＝ m/s2＝2 m/s2，a乙＝ m/s2＝1 m/s2，則乙車的加速度小于甲車的加速度，D錯誤；t時刻甲、乙兩車的位移分別為x甲＝a甲t2，x乙＝6t＋a乙t2，則乙車落后的距離Δx＝10 m＋x甲－x乙＝ m，當t＝2 s時，Δx＝0，即此時兩車并排行駛，C正確；當t＝6 s時，Δx＝－8 m，即乙車在甲車前方8 m處，B錯誤；由題圖可知，t>6 s時，v甲>v乙，結合B項分析，可知t＝6 s時，乙在甲前最遠，此后兩車間距先減小，在甲車超過乙車后兩車間距將不斷增大，A錯誤。
8．(多選)甲、乙兩車在同一條平直公路沿兩條平行直線朝同一方向運動，甲車在后，乙車在前，t＝0時刻兩車相距x0＝34 m，甲車以v1＝20 m/s的初速度、a1＝－2 m/s2的加速度做勻減速直線運動剎車，乙車從靜止出發，以a2＝1 m/s2的加速度做勻加速直線運動，下列說法正確的是(　　)
A．兩車相遇時甲車一直在運動
B．兩車第一次相遇時間是t＝2 s
C．兩車第二次相遇時甲車位移為100 m
D．兩車第二次相遇時間是t＝2 s
答案：BCD
解析：甲車從開始剎車到停止運動的時間為t0＝＝10 s，位移為x止＝＝100 m，設甲車的位移為x1，乙車的位移為x2，則x1、x2與時間t的關系分別為x1＝v1t＋a1t2(t≤t0)，x1＝x止＝100 m(t>t0)，x2＝a2t2，當兩車相遇時，有x1＝x0＋x2，聯立解得t1＝2 s，t2＝2 s，t19.(2025·云南省昆明市高三上摸底測試)如圖所示，一汽車停在小山坡底，某時刻，司機發現山坡上距坡底70 m處的泥石流以2 m/s的初速度、1 m/s2的加速度勻加速傾瀉而下，假設泥石流到達坡底后速率不變，在水平地面上做勻速直線運動，司機從發現險情到發動汽車共用了2 s，汽車啟動后以恒定的加速度一直做勻加速直線運動。
(1)求泥石流到達坡底的時間和速度大小；
(2)試通過計算說明：汽車的加速度至少多大才能脫離危險？
答案：(1)10 s　12 m/s　(2)0.75 m/s2
解析：(1)設泥石流的初速度為v0，勻加速傾瀉而下的加速度為a1，到達坡底的時間為t1，到達坡底的速度為v1，泥石流的初始位置到坡底的距離為s1，由勻變速直線運動規律有
s1＝v0t1＋a1t
v1＝v0＋a1t1
代入數據得t1＝10 s，v1＝12 m/s。
(2)泥石流在水平地面上做勻速直線運動，若汽車的速度加速至v1時，泥石流恰未超過汽車，此時汽車能脫離危險且加速度最小。設此情形下汽車的加速度為a，從汽車加速到與泥石流共速的時間為t，此過程汽車的位移為x車，則有
v1＝at
v＝2ax車
此過程泥石流在水平地面上的位移
x泥＝v1(t＋2 s－t1)
又x車＝x泥
聯立各式并代入數據解得a＝0.75 m/s2
即汽車的加速度至少為0.75 m/s2才能脫離危險。
10．足球比賽中，經常使用“邊路突破，下底傳中”戰術，即攻方隊員帶球沿邊線前進，到底線附近進行傳中。某足球場長105 m、寬68 m，運動員在中線處將足球沿邊線向前踢出，足球在地面上的運動可視為初速度為10 m/s的勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2。該運動員踢出足球0.5 s后從靜止開始沿邊線方向以2.5 m/s2的加速度勻加速追趕足球，速度達到10 m/s后以此速度勻速運動。求：
(1)足球剛停下來時，運動員的速度大??；
(2)運動員踢出足球后，經過多長時間能追上足球。
答案：(1)10 m/s　(2)5 s
解析：(1)足球運動的時間t1＝＝ s＝5 s
運動員踢出足球Δt＝0.5 s后追球的過程中，運動員加速的時間t2＝＝ s＝4 s
由于Δt＋t2＝4.5 s因此足球剛停下來時運動員已勻速運動，運動員的速度大小為10 m/s。
(2)足球的位移s1＝t1＝25 m
運動員加速運動的位移s2＝a2t＝20 m
運動員勻速運動的時間t3＝＝0.5 s
運動員追上足球的時間t＝Δt＋t2＋t3＝5 s。
[B組　綜合提升練]
11．(多選)假設高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛，甲車在前，乙車在后，速度均為v0＝30 m/s，距離s0＝100 m，t＝0時刻甲車遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時間的變化如圖甲、乙所示，取運動方向為正方向，下列說法正確的是(　　)
A．t＝6 s時兩車速度相等
B．t＝6 s時兩車距離最近
C．0～6 s內兩車位移之差為90 m
D．兩車在0～9 s內會相撞
答案：ABC
解析：由a t圖像可畫出兩車的v t圖像，如圖所示，由圖像可知，t＝6 s時兩車速度相等，此時兩車距離最近，圖中陰影部分面積為0～6 s內兩車位移之差：Δx＝×30×3 m＋×30×(6－3) m＝90 m，小于100 m，則兩車在0～9 s內不會相撞，故A、B、C正確，D錯誤。
12.(2024·廣西南寧市高三下二模)小明到汽車站時，汽車已經沿平直公路駛離車站。假設汽車司機聽到呼喊后立即剎車，汽車做勻減速直線運動，小明同時以4 m/s的速度勻速追趕汽車。已知汽車開始剎車時距離小明12 m，汽車在剎車過程中的 t圖像(x為t時間內的位移)如圖所示，則小明追上汽車所用時間為(　　)
A．4 s B．6 s
C．7 s D．8 s
答案：C
解析：根據勻變速直線運動規律有x＝v0t＋at2，變形得＝v0＋at，結合圖像的截距與斜率可知汽車剎車前的速度v0＝8 m/s，汽車剎車時的加速度a＝2× m/s2＝－2 m/s2，則汽車從開始剎車到停止的時間為t0＝＝4 s，在t0時間內小明的位移為x1＝vt0＝4×4 m＝16 m，汽車的位移為x2＝t0＝16 m，此后小明還需運動L＝12 m即可追上汽車，所用時間為t′＝＝ s＝3 s，則小明追上汽車所用總時間t總＝t0＋t′＝7 s，故選C。
1(共53張PPT)
第一章　運動的描述　
勻變速直線運動
第5講　專題：追及相遇問題
目錄
1
2
3
考點一　追及和相遇問題
考點二　運動圖像和追及相遇問題的綜合應用
課時作業
考點一　追及和相遇問題
1．追及問題
若后者能追上前者，追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
2．相遇問題
(1)同向運動的兩物體追上即相遇，此時兩物體位移大小之差等于開始時兩物體間的距離。
(2)相向運動的兩物體，當各自發生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。
3．追及相遇問題的解題思路及技巧
(1)解題思路
(2)解題技巧
①緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關系式、速度關系式和位移關系式。
②審題應抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好” “恰好”“最多”“至少”等，往往對應一個臨界狀態，滿足相應的臨界條件。
③若被追的物體做勻減速直線運動，一定要注意追上前該物體是否已經停止運動，另外還要注意最后對解進行討論分析。
④緊緊抓住速度相等這個臨界點。兩者速度相等，往往是物體能追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。
4．追及相遇問題的兩種典型情況的v t圖像及說明
(1)初速度小者追初速度大者
典型示例 圖像 說明
勻加速追勻速 ①0～t0時段，后面物體與前面物體間距離不斷增大；
②t＝t0時，兩物體相距最遠，為x0＋Δx(x0為兩物體初始距離)；
③t>t0時，后面物體追及前面物體的過程中，兩物體間距離不斷減??；
④能追上且只能相遇一次
勻速追勻減速
勻加速追勻減速
(2)初速度大者追初速度小者
典型示例 圖像 說明
勻減速追勻速 開始追時，兩物體間距離為x0，之后兩物體間距離在減小，當兩物體速度相等時，即t＝t0時刻：
①若Δx＝x0，則恰能追上，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件；
②若Δx③若Δx>x0，則相遇兩次，設t1時刻Δx1＝x0，兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇(t2－t0＝
t0－t1)
勻速追勻加速
勻減速追勻加速
例1 一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以a＝3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這一時刻一輛自行車以v自＝6 m/s的速度勻速駛來，從旁邊超過汽車。試求：
(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？
(2)什么時候汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？
答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
追及相遇問題的常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立物體運動關系的情境圖。
例如，物體B追趕物體A，開始時，兩個物體相距x0，B的速度大于A的速度，之后兩物體的加速度恒定且aBxA＋x0，則能追上；若xB＝xA＋x0，則恰好追上；若xB(2)二次函數法：設運動時間為t，根據條件列方程，得到關于二者之間的距離Δx與時間t的二次函數關系。對于該二次函數關系：
例2 現有A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，速度vA＝
72 km/h，B車在后，速度vB＝30 m/s。已知B車在進行火車剎車測試時發現，若車以30 m/s的速度行駛，剎車后至少要前進450 m才能停下。問：
(1)B車剎車的最大加速度為多大？
(2)因大霧能見度低，B車在距A車x0＝200 m處才發現前方A車，這時B車立即以最大加速度剎車。若B剎車時A車仍按原速前進，兩車
是否會相撞？若會相撞，將在B車剎車后何時相撞？若不會相撞，則兩車相距最近時距離是多少？
答案　(1)1 m/s2　(2)不會相撞　150 m
考點二　運動圖像和追及相遇問題的綜合應用
1．與x t圖像、v t圖像有關的追及相遇問題
(1)利用圖像中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算。
(2)有時將運動圖像還原成物體的實際運動情況更便于理解、分析。
2．借助v t圖像求解追及相遇問題：在有些追及相遇情境中可根據兩個物體的運動狀態作出v t圖像，再通過圖像分析計算得出結果，這樣更直觀、簡捷。
例3 (2021·廣東高考)(多選)賽龍舟是端午節的傳統活動。下列v t和s t圖像描述了五條相同的龍舟從同一起點線同時出發、沿長直河道劃向同一終點線的運動全過程，其中能反映龍舟甲與其它龍舟在途中出現船頭并齊的有(　　)
解析　由圖A可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以甲、乙在途中不可能出現船頭并齊，故A錯誤；由圖B可知，開始丙的速度大，后來甲的速度大，v t圖像中圖線與時間軸圍成的面積表示位移，由圖可以判斷，甲、丙在途中會出現位移相同的時刻，所以甲、丙在途中會出現船頭并齊，故B正確；由圖C可知，丁一直運動在甲的前面，所以甲、丁在途中不可能出現船頭并齊，故C錯誤；圖D的s t圖像中交點表示兩船相遇，所以甲、戊在途中會出現船頭并齊，故D正確。
跟進訓練 小汽車A和卡車B在平直的公路上沿著兩條平行車道同向行駛，t＝0時刻，兩車車頭相齊，兩車的v t圖像如圖所示，由圖像可知(　　)
A．在t＝2t0時刻，兩車車頭再次相齊
B．在t＝2t0時刻之前，兩車的距離逐漸減小
C．在t＝2t0時刻之后，兩車的距離逐漸加大
D．在t0～3t0這段時間內，兩車前進的距離相等
解析：由題中v t圖像可知，在t＝2t0時刻，兩車的速度相同，在此之前，B車的速度小于A車的速度，兩車的距離逐漸增大，在此之后，B車的速度大于A車的速度，兩車的距離又逐漸減小，B、C錯誤；根據v t圖像與t軸圍成的面積表示位移，結合題圖的對稱性可知，在t＝4t0時刻兩車車頭再次相齊，故A錯誤；在t0～3t0這段時間內，兩圖線與時間軸所圍成的面積相等，故兩車前進的距離相等，D正確。
課時作業
[A組　基礎鞏固練]
1．(2021·海南高考)(多選)甲、乙兩人騎車沿同一平直公路運動，t＝0時經過路邊的同一路標，下列位移—時間(x t)圖像和速度—時間(v t)圖像對應的運動中，甲、乙兩人在t0時刻之前能再次相遇的是(　　)
解析：A圖中，甲、乙在t0時刻之前位移沒有再次相等的時刻，即兩人在t0時刻之前不能再次相遇，A錯誤；B圖中，甲、乙在t0時刻之前圖線有交點，此時位移相等，即兩人在t0時刻之前能再次相遇，B正確；C圖中，因v t圖像與時間軸圍成的面積表示位移，則甲、乙在t0時刻之前位移有再次相等的時刻，即兩人在t0時刻之前能再次相遇，C正確；D圖中，因v t圖像與時間軸圍成的面積表示位移，由圖像可知在t0時刻之前，甲的位移始終大于乙的位移，則兩人在t0時刻之前不能再次相遇，D錯誤。
3．(2025·四川省德陽市高三上一模)甲車以4 m/s的速度做勻速直線運動，乙車在甲車前面的另一平行車道以10 m/s的速度同向做勻速直線運動，當它們相距16 m (沿車道方向)時，乙車開始剎車做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2。從乙車開始剎車到甲車追上乙車，所用時間為(　　)
A．8 s B．10.25 s
C．10.5 s D．15 s
4.為了測試某品牌新能源汽車的性能，現有甲、乙兩輛汽車沿平直的公路運動，t＝0時刻甲車在乙車前方x0＝60 m處，該時刻兩車開始剎車，此后過程中兩輛汽車的速度隨時間的變化規律如圖所示。則下列說法正確的是(　　)
A．甲、乙兩車的加速度大小之比為4∶3
B．t＝10 s時兩車之間的距離最小
C．兩車可能發生碰撞
D．t＝30 s時兩車相距10 m
5.(2024·廣西桂林市高三下一模)(多選)甲、乙兩輛車初始時相距1200 m，甲車在后、乙車在前，乙車在8 s時刻開始運動，它們在同一直線上做勻變速直線運動，速度—時間圖像如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．乙車的加速度大小為0.42 m/s2
B．兩輛車在t＝36 s時速度相等
C．兩輛車可能相撞
D．甲車停下時，乙車在甲車前面391 m處
6．“低頭族”在社會安全中面臨越來越多的潛在風險，若司機也屬于低頭一族，出事概率則會劇增。若高速公路(可視為平直公路)同一車道上兩小車的車速均為108 km/h，車距為105 m，前車由于車輛問題而緊急剎車，而后方車輛的司機由于低頭看手機，4 s后抬頭才看到前車剎車，經過0.4 s的應急時間后也緊急剎車，假設兩車剎車時的加速度大小均為6 m/s2，則下列說法正確的是(　　)
A．兩車不會相撞，兩車間的最小距離為12 m
B．兩車會相撞，相撞時前車車速為6 m/s
C．兩車會相撞，相撞時后車車速為18 m/s
D．條件不足，不能判斷兩車是否相撞
7.可視為質點的甲、乙兩小車分別沿同一平直路面同向行駛，t＝0時，甲在乙前方10 m處，它們的v t圖像如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．在t＝6 s時，乙在甲前最遠，此后兩車間距越來越小
B．在t＝6 s時，乙車在甲車前方6 m處
C．甲、乙在t＝2 s并排行駛
D．乙車的加速度大于甲車的加速度
9.(2025·云南省昆明市高三上摸底測試)如圖所示，一汽車停在小山坡底，某時刻，司機發現山坡上距坡底70 m處的泥石流以2 m/s的初速度、1 m/s2的加速度勻加速傾瀉而下，假設泥石流到達坡底后速率不變，在水平地面上做勻速直線運動，司機從發現險情到發動汽車共用了2 s，汽車啟動后以恒定的加速度一直做勻加速直線運動。
(1)求泥石流到達坡底的時間和速度大?。?br/>(2)試通過計算說明：汽車的加速度至少多大才能脫離危險？
答案：(1)10 s　12 m/s　(2)0.75 m/s2
10．足球比賽中，經常使用“邊路突破，下底傳中”戰術，即攻方隊員帶球沿邊線前進，到底線附近進行傳中。某足球場長105 m、寬68 m，運動員在中線處將足球沿邊線向前踢出，足球在地面上的運動可視為初速度為10 m/s的勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2。該運動員踢出足球0.5 s后從靜止開始沿邊線方向以2.5 m/s2的加速度勻加速追趕足球，速度達到10 m/s后以此速度勻速運動。求：
(1)足球剛停下來時，運動員的速度大?。?br/>(2)運動員踢出足球后，經過多長時間能追上足球。
答案：(1)10 m/s　(2)5 s
[B組　綜合提升練]
11．(多選)假設高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛，甲車在前，乙車在后，速度均為v0＝30 m/s，距離s0＝100 m，t＝0時刻甲車遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時間的變化如圖甲、乙所示，取運動方向為正方向，下列說法正確的是(　　)
A．t＝6 s時兩車速度相等
B．t＝6 s時兩車距離最近
C．0～6 s內兩車位移之差為90 m
D．兩車在0～9 s內會相撞

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