資源簡介

第講　實驗：探究彈簧彈力與形變量的關系
探究兩個互成角度的力的合成規律
考點一　實驗：探究彈簧彈力與形變量的關系
一、實驗目的
1．探究彈簧彈力與形變量的關系。
2．學會用列表法和圖像法處理實驗數據。
二、實驗原理
彈簧受到拉力作用會伸長，平衡時彈簧產生的彈力和拉力大小相等；彈簧的伸長量越大，彈力也就越大。
三、實驗器材
鐵架臺、彈簧、鉤碼、刻度尺、坐標紙。
四、實驗步驟
1．安裝實驗儀器(如圖所示)。
2．測量彈簧所受某一拉力(由所掛鉤碼的質量計算得出)時的伸長量(或總長)，列表作出記錄，要盡可能多測幾組數據。
五、數據處理
1．列表法
由表格中的F、x數據，可以發現彈力F與彈簧伸長量x的比值在誤差允許范圍內是相等的。
2．圖像法
以彈簧伸長量x為橫坐標、彈力F為縱坐標建立坐標系，描出F、x各組數據相應的點，作出的擬合曲線是一條過坐標原點的直線。
六、注意事項
1．安裝實驗裝置時，要保持刻度尺豎直并靠近彈簧。
2．要使用輕質彈簧，且要盡量多測幾組數據。
3．實驗中彈簧下端掛的鉤碼不要太多，以免超過彈簧的彈性限度。
4．記錄數據時要注意彈力及彈簧伸長量的對應關系及單位。
5．描點畫線時，不要畫折線。所描的點不一定都落在一條直線上，但應注意不在直線上的點要均勻分布在直線的兩側。
七、誤差分析
1．鉤碼標值不準確、彈簧長度測量不準確帶來誤差。
2．畫圖時描點及連線不準確也會帶來誤差。
例1如圖1所示，甲同學用鐵架臺、彈簧和多個已知質量且質量相等的鉤碼探究在彈性限度內彈簧彈力與彈簧伸長量的關系。
(1)為完成實驗，還需要的實驗器材有：______________________________________________
_________________________。
(2)實驗中需要測量的物理量有：__________________。
(3)圖2是彈簧彈力F與彈簧伸長量x的F x圖像，由此可求出彈簧的勁度系數為________N/m。圖線不過原點的原因是__________________________。
(4)為完成該實驗，乙同學使用同樣的實驗器材，設計的實驗步驟如下：
A．以彈簧伸長量為橫坐標，以彈力為縱坐標，描出各組(x，F)對應的點，并用平滑的曲線連接起來；
B．記下彈簧不掛鉤碼時其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．將鐵架臺固定于桌子上，并將彈簧的一端系于橫梁上，在彈簧附近豎直固定一把刻度尺；
D．依次在彈簧下端掛上1個、2個、3個、4個……鉤碼，分別記下鉤碼靜止時彈簧下端所對應的刻度，并記錄在表格內，然后取下鉤碼；
E．以彈簧伸長量為自變量，寫出彈力與伸長量的關系式。首先嘗試寫成一次函數，如果不行，則考慮二次函數；
F．解釋函數表達式中常數的物理意義；
G．整理儀器。
請將以上步驟按操作的先后順序排列出來：____________。
[答案]　(1)毫米刻度尺
(2)彈簧原長、彈簧所受外力與對應的伸長量(或與彈簧對應的長度)
(3)200　彈簧自身存在重力
(4)CBDAEFG
[解析]　(1)根據實驗原理可知，還需要毫米刻度尺來測量彈簧原長和形變量。
(2)根據實驗原理，實驗中需要測量的物理量有彈簧的原長、彈簧所受外力與對應的伸長量(或與彈簧對應的長度)。
(3)取圖像中(0.5，0)和(3.5，6)兩個點，代入ΔF＝kΔx可得k＝200 N/m。由于彈簧自重的原因，使得彈簧不掛鉤碼時就有形變量。
(4)根據完成實驗的合理性可知先后順序為CBDAEFG。
例2 (2025·八省聯考內蒙古卷)某興趣小組看到一種由兩根彈簧嵌套并聯組成的減振器，如圖a所示。他們討論得出勁度系數分別為kA、kB的兩根彈簧并聯時，等效勁度系數kAB＝kA＋kB。為了驗證該結論，小組選用兩根原長相等、粗細不同的彈簧A、B，設計實驗進行驗證。如圖b，彈簧上端固定，毫米刻度尺固定在彈簧一側。逐一增掛鉤碼，記下每次指針穩定后所指的刻度尺示數x和對應鉤碼的總質量m，并計算彈簧彈力F(取重力加速度大小g＝9.8 m/s2)。
依次用彈簧A、彈簧B和A、B嵌套并聯彈簧進行實驗，相關數據如下表所示：
鉤碼數 1 2 3 4 5 6
鉤碼質量m(g) 50 100 150 200 250 300
彈簧彈力F(N) 0.49 0.98 1.47 1.96 2.45 2.94
xA(cm) 11.09 12.19 13.26 14.32 15.40 —
xB(cm) 10.62 11.24 11.87 12.50 13.13 —
xAB(cm) 10.41 10.81 ☆ 11.62 12.02 12.42
以刻度尺讀數x為橫坐標，彈簧彈力F為縱坐標，利用表中數據，作出F x圖像，如圖c所示。回答以下問題：
(1)根據圖b，讀出數據，將表中數據補充完整：☆＝________ cm。
(2)在圖c坐標紙上作出彈簧A、B的F x圖線，計算可得勁度系數分別為kA＝45.6 N/m，kB＝77.9 N/m。在圖c坐標紙上，補齊讀出的數據點，并作出并聯彈簧AB的F x圖線，由作出的圖線可得kAB＝________ N/m(結果保留至整數)。
(3)定義相對差值α＝×100%，可得本實驗α＝________%(結果保留一位有效數字)。若該值在允許范圍內，則可認為該小組得出的結論正確。
[答案]　(1)11.21　(2)圖見解析　122　(3)1
[解析]　(1)由題圖b可知，表格中數據☆＝11.21 cm。
(2)補齊讀出的數據點，并作出并聯彈簧AB的F x圖線如圖所示。根據作出的圖線可得kAB＝＝122 N/m。
(3)相對差值α＝×100%＝×100%＝1%。
考點二　實驗：探究兩個互成角度的力的合成規律
一、實驗目的
1．會使用彈簧測力計。
2．探究兩個互成角度的力的合成規律。
二、實驗原理
如圖所示，分別用一個力F、互成角度的兩個力F1、F2，使同一條一端固定的橡皮條伸長到同一點O，即伸長量相同，根據合力的定義，F為F1和F2的合力，作出力F及F1、F2的圖示，分析F、F1和F2的關系。
三、實驗器材
方木板，白紙，彈簧測力計(兩個)，橡皮條，小圓環，細繩套(兩個)，三角板，刻度尺，圖釘(若干)，鉛筆。
四、實驗步驟
1．裝置安裝：在方木板上用圖釘固定一張白紙，如圖甲，輕質小圓環掛在橡皮條的一端，另一端固定，橡皮條的原長為GE。
2．兩力拉：如圖乙，在小圓環上系上兩個細繩套，用手通過兩個彈簧測力計互成角度地共同拉動小圓環，小圓環處于O點，橡皮條伸長的長度為EO。用鉛筆描下O點位置、細繩套的方向，并記錄兩彈簧測力計的讀數F1、F2。
3．一力拉：如圖丙，改用一個彈簧測力計單獨拉住小圓環，仍使它處于O點，記下細繩套的方向和彈簧測力計的讀數F。
4．重復實驗：改變拉力F1和F2的大小和方向，重做幾次實驗。
五、數據處理
1．用鉛筆和刻度尺從點O沿兩條細繩方向畫直線，按選定的標度作出F1、F2和F的圖示。
2．以F1和F2為鄰邊用刻度尺作平行四邊形，過O點畫平行四邊形的對角線，此對角線代表的力記為F′，如圖丁。
3．分析多次實驗得到的多組數據，比較F與F′在誤差允許的范圍內是否完全重合，從而總結出兩個互成角度的力的合成規律：平行四邊形定則。
六、誤差分析
1．讀數誤差
彈簧測力計示數在允許的情況下，盡量大一些，讀數時眼睛一定要正視，要按有效數字正確讀數和記錄。
2．作圖誤差
(1)點O的位置和拉力的方向畫得不準確，作圖比例不恰當、不準確等造成作圖誤差。
(2)兩個力F1、F2的夾角太大或太小，導致作圖產生較大誤差。
七、注意事項
1．同一實驗中的兩個彈簧測力計的選取方法是：將兩個彈簧測力計調零后互鉤對拉，若兩個彈簧測力計讀數相同，則可選；若讀數不同，應調整或更換，直至讀數相同為止。
2．在同一次實驗中，使橡皮條拉長時，點O位置一定要相同。
3．用兩個彈簧測力計鉤住繩套互成角度地拉橡皮條時，夾角不宜太大也不宜太小，在60°～100°之間為宜。
4．應注意使彈簧測力計與木板平行，并使細繩套與彈簧測力計的軸線在同一條直線上，避免彈簧測力計的外殼與彈簧測力計的限位卡之間有摩擦。在不超過彈簧測力計量程及橡皮條彈性限度的前提下，拉力的數值盡量大些。讀數時眼睛要正視彈簧測力計的刻度。
5．細繩應適當長一些，便于確定拉力的方向。不要直接沿細繩的方向畫直線，應在細繩末端用鉛筆畫一個點，再將所標點與O點連接，即可確定拉力的方向。
6．在同一次實驗中，畫力的圖示所選定的標度要相同，并且要恰當選取標度，使所作力的圖示稍大一些。
例3 (2023·全國乙卷)在“驗證力的平行四邊形定則”的實驗中使用的器材有：木板、白紙、兩個標準彈簧測力計、橡皮條、輕質小圓環、刻度尺、鉛筆、細線和圖釘若干。完成下列實驗步驟：
①用圖釘將白紙固定在水平木板上。
②將橡皮條的一端固定在木板上，另一端系在輕質小圓環上。將兩細線也系在小圓環上，它們的另一端均掛上測力計。用互成一定角度、方向平行于木板、大小適當的力拉動兩個測力計，小圓環停止時由兩個測力計的示數得到兩拉力F1和F2的大小，并________。(多選，填正確答案標號)
A．用刻度尺量出橡皮條的長度
B．用刻度尺量出兩細線的長度
C．用鉛筆在白紙上標記出小圓環的位置
D．用鉛筆在白紙上標記出兩細線的方向
③撤掉一個測力計，用另一個測力計把小圓環拉到________，由測力計的示數得到拉力F的大小，沿細線標記此時F的方向。
④選擇合適標度，由步驟②的結果在白紙上根據力的平行四邊形定則作F1和F2的合成圖，得出合力F′的大小和方向；按同一標度在白紙上畫出力F的圖示。
⑤比較F′和F的________，從而判斷本次實驗是否驗證了力的平行四邊形定則。
[答案]　②CD　③相同位置　⑤大小和方向
[解析]　②該實驗的原理是，兩個測力計共同作用的效果與使用一個測力計單獨作用的效果相同，即橡皮條在同一方向伸長相同長度，則需要用鉛筆標記出小圓環的位置；因為要作出力的圖示，故需要記錄F1、F2的大小和方向，所以還需要用鉛筆在白紙上標記出兩細線的方向。故選C、D。
③根據實驗原理，撤掉一個測力計，用另一個測力計拉小圓環時，應使兩次作用效果相同，即拉到相同位置。
⑤為判斷本次實驗是否驗證了力的平行四邊形定則，應比較F′和F的大小和方向，看它們是否近似相同。
例4甲同學嘗試用如圖所示的實驗裝置來驗證“力的平行四邊形定則”。彈簧測力計a掛于固定點c，下端用細線掛一重物Q。彈簧測力計b的一端用細線系于O點，手持另一端向左拉，使結點O靜止在某位置。分別讀出彈簧測力計a和b的示數，并在貼于豎直木板的白紙上記錄O點的位置和拉線的方向。
(1)圖中彈簧測力計a的示數為________ N。
(2)下列必要的實驗要求是________。(請填寫選項前對應的字母)
A．應測量重物Q所受的重力
B．彈簧測力計應在使用前校零
C．拉線方向應與木板平面平行
D．改變拉力，進行多次實驗，每次都要使O點靜止在同一位置
(3)乙同學換用兩個彈簧測力計拉橡皮筋到O點，兩彈簧測力計讀數分別為F1和F2，用一個彈簧測力計拉橡皮筋到O點時讀數為F′，通過作圖法驗證平行四邊形定則時，圖中符合實際情況的是________。
[答案]　(1)5.80　(2)ABC　(3)C
[解析]　(1)如圖所示彈簧測力計，每1 N被分成10格，則1格就等于0.1 N，所以估讀一位數字后，圖中彈簧測力計a的示數為5.80 N。
(2)實驗通過作出三個力的圖示，來驗證“力的平行四邊形定則”，因此重物Q所受的重力必須要測量，故A正確；實驗中用彈簧測力計測出力的大小，所以必須在使用前校零，故B正確；拉線方向必須與木板平面平行，這樣才能使各力在同一平面內，故C正確；改變拉力，進行多次實驗，每次都要使O點靜止，但不必靜止在同一位置，故D錯誤。
(3)實際測量的合力F′與橡皮筋在同一條直線上，由平行四邊形定則作出的合力F為理論值，與實際值F′有一定的偏差，故C正確，A、B、D錯誤。
課時作業
1．(2024·海南高考)為驗證兩個互成角度的力的合成規律，某組同學用兩個彈簧測力計、橡皮條、輕質小圓環、木板、刻度尺、白紙、鉛筆、細線和圖釘等器材，按照如下實驗步驟完成實驗：
(Ⅰ)用圖釘將白紙固定在水平木板上；
(Ⅱ)如圖a、b所示，橡皮條的一端固定在木板上的G點，另一端連接輕質小圓環，將兩細線系在小圓環上，細線另一端系在彈簧測力計上，用兩個彈簧測力計共同拉動小圓環到某位置，并標記圓環的圓心位置為O點，拉力F1和F2的方向分別過P1和P2點，大小分別為F1＝3.60 N、F2＝2.90 N；改用一個彈簧測力計拉動小圓環，使其圓心到O點，在拉力F的方向上標記P3點，拉力的大小為F＝5.60 N。請完成下列問題：
①在圖b中按照給定的標度畫出F1、F2和F的圖示，然后按平行四邊形定則畫出F1、F2的合力F′。
②比較F和F′，寫出可能產生誤差的兩點原因：___________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________。
答案：①如圖所示
②沒有做到彈簧測力計、細線、橡皮條都與木板平行，讀數時沒有正視彈簧測力計(合理即可)
解析：①按照給定的標度畫出F1、F2和F的圖示，然后按平行四邊形定則畫出F1、F2的合力F′，如答圖所示。
②F和F′不完全重合，產生誤差的可能原因是：沒有做到彈簧測力計、細線、橡皮條都與木板平行，讀數時沒有正視彈簧測力計等。
2．在“探究兩個互成角度的力的合成規律”實驗中，桌上放一塊方木板，用圖釘把一張白紙釘在方木板上。再用圖釘把橡皮條一端固定在板上的A點。在橡皮條另一端拴上兩條細繩形成結點，細繩的另一端系著繩套。先用兩個彈簧測力計分別鉤住繩套，互成角度地拉橡皮條；再用一個彈簧測力計通過細繩套拉橡皮條。
(1)判斷力F單獨作用與力F1、F2共同作用效果相同的依據是________。
A．F的大小等于F1與F2的大小之和
B．使橡皮條伸長相同的長度
C．使橡皮條上的結點到達同一位置
(2)實驗中需要標記或者記錄的信息有________。
A．橡皮條的原長
B．橡皮條原長時結點的位置
C．力F的大小和方向
D．力F1、F2的大小和方向
(3)下列措施可以減小實驗誤差的是________。
A．橡皮條應與兩繩套夾角的平分線在同一直線上
B．用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，兩個繩套的夾角必須等于90°
C．用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，彈簧測力計盡量與木板平行
D．拉橡皮條的細繩要長些，標記同一細繩方向的兩點要遠些
答案：(1)C　(2)CD　(3)CD
解析：(1)判斷力F單獨作用與力F1、F2共同作用效果相同的依據是，使橡皮條上的結點到達同一位置，C正確。
(2)實驗中需要標記或者記錄的信息有力F的大小和方向及力F1、F2的大小和方向，以便于畫出它們的力的圖示并加以比較，C、D正確。
(3)可以減小實驗誤差的是用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，彈簧測力計盡量與木板平行，C正確；拉橡皮條的細繩要長些，標記同一細繩方向的兩點要遠些，以便于標出拉力的方向來，D正確；橡皮條不一定要與兩繩套夾角的平分線在同一直線上，A錯誤；用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，兩個繩套的夾角不必要等于90°，B錯誤。
3．(2025·吉林省白山市高三模擬預測)某同學利用鉤碼和刻度尺研究一橡皮筋所受彈力與其伸長量之間的關系。
(1)如圖甲，先將橡皮筋的一端固定在鐵架臺上，橡皮筋的另一端系一輕質掛鉤和指針；刻度尺豎直并靠近橡皮筋，上端0刻度線與橡皮筋上端水平對齊。
(2)在掛鉤上逐個掛上單個質量為10 g的鉤碼，并記錄下指針所對應的刻度，L1～L6為所掛鉤碼數量為1～6個時指針所對應刻度，L0為不掛鉤碼時指針所對應刻度。記錄如下表：
代表符號 L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6
數值(cm) 17.35 19.35 21.30 23.42 25.34 27.40 29.36
xn＝Ln－L0 0 2.00 3.95 6.07 7.99 10.05 12.01
(3)根據測量數據作出x m圖，如圖乙(m為所掛鉤碼的總質量)。
(4)由x m圖像，可以得出的結論是________________________________。
(5)由圖像可得該橡皮筋的勁度系數k＝________ N/m(結果保留兩位有效數字，g＝9.8 m/s2)。
(6)若考慮掛鉤和指針的質量，本實驗測得橡皮筋的勁度系數比真實值________(選填“偏小”“偏大”或“相等”)。
答案：(4)在彈性限度內，橡皮筋彈力與其伸長量成正比　
(5)4.9　(6)相等
解析：(4)對鉤碼，由平衡條件可知，橡皮筋的彈力F彈＝mg，且g恒定，x m圖像為過原點的直線，可知x F彈圖像也為過原點的直線，則可得出：在彈性限度內，橡皮筋彈力與其伸長量成正比。
(5)由胡克定律可知F彈＝kx，且F彈＝mg，聯立可得x＝m，可知x m圖像的斜率為＝＝ m/kg＝2 m/kg，解得該橡皮筋的勁度系數為k＝＝＝4.9 N/m。
(6)設掛鉤和指針的質量為M，沒有掛鉤和指針時橡皮筋的長度為L0′，則L0′4．(2024·福建省南平市高三下三模)利用橡皮筋、彈簧測力計和圓形量角器等器材驗證力的平行四邊形定則。
(1)量角器固定在水平桌面上，將帶細繩套的橡皮筋一端用圖釘固定，如圖a。
(2)兩細繩套掛上彈簧測力計，互成角度拉兩只彈簧測力計，將結點拉至量角器圓心O點，如圖b，此時右側彈簧測力計示數為________ N，記錄此時兩細繩套的拉力F1、F2的大小和方向。在紙上作力F1、F2的圖示并得到合力F，如圖c。
(3)改變兩細繩套的夾角，仍將結點拉至O點，記錄此時兩細繩套的拉力F3、F4的大小和方向。
(4)請在圖c中作出F3、F4合力F′的力的圖示。
(5)多次重復步驟(3)和(4)，比較每次作出的合力，如果這些合力在誤差允許范圍內都____________________，則說明一個力分解成兩個力有多種分解方式，分力與合力的關系遵循平行四邊形定則。
答案：(2)5.00　(4)圖見解析 (5)大小相等，方向相同
解析：(2)由題圖b可知，彈簧測力計的最小刻度為0.1 N，需要估讀到0.01 N，所以讀數為5.00 N。
(4)根據平行四邊形定則作出F3、F4的合力F′的圖示，如圖所示。
(5)根據實驗規律可知，如果這些合力在誤差允許范圍內都大小相等，方向相同，則說明一個力分解成兩個力有多種分解方式，分力與合力的關系遵循平行四邊形定則。
5．(2021·廣東高考)某興趣小組測量一緩沖裝置中彈簧的勁度系數，緩沖裝置如圖所示，固定在斜面上的透明有機玻璃管與水平面夾角為30°，彈簧固定在有機玻璃管底端。實驗過程如下：先沿管軸線方向固定一毫米刻度尺，再將單個質量為200 g的鋼球(直徑略小于玻璃管內徑)逐個從管口滑進，每滑進一個鋼球，待彈簧靜止，記錄管內鋼球的個數n和彈簧上端對應的刻度尺示數Ln，數據如表所示。實驗過程中彈簧始終處于彈性限度內，采用逐差法計算彈簧壓縮量，進而計算其勁度系數。
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
(1)利用ΔLi＝Li＋3－Li(i＝1，2，3)計算彈簧的壓縮量：ΔL1＝6.03 cm，ΔL2＝6.08 cm，ΔL3＝____________ cm，壓縮量的平均值＝＝________ cm。
(2)上述是管中增加________個鋼球時產生的彈簧平均壓縮量。
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，該彈簧的勁度系數為________ N/m(結果保留3位有效數字)。
答案：(1)6.04　6.05　(2)3　(3)48.6
解析：(1)根據ΔLi＝Li＋3－Li(i＝1，2，3)，得ΔL3＝L6－L3＝18.09 cm－12.05 cm＝6.04 cm；壓縮量的平均值為＝＝ cm＝6.05 cm。
(2)因ΔL1、ΔL2、ΔL3均是管中增加3個鋼球時彈簧的壓縮量，則所求平均值　是管中增加3個鋼球時產生的彈簧平均壓縮量。
(3)設每個鋼球的質量均為m，對連續滑進的3個鋼球，根據平衡條件有3mgsin30°＝k·，解得k＝＝ N/m＝48.6 N/m。
6．某研究性學習小組要研究彈簧的勁度系數與繞制彈簧的金屬絲直徑間的關系，為此他們選擇了同種材料制成的不同直徑的鋼絲來繞制彈簧。
(1)進行此項實驗需要采用控制變量法，除了材料相同外，你認為還應控制哪些因素相同(寫出兩項即可)。____________________________________________________________________。
(2)用游標卡尺測量繞制彈簧的鋼絲直徑，某次測量示數如圖所示，則該鋼絲的直徑為________ mm。
(3)根據下表中相關數據，分析可得：在其他條件相同的情況下，彈簧的勁度系數與其所用鋼絲直徑的________次冪成正比。
勁度系數k(N/m) 鋼絲的直徑D(mm) D－1(mm－1) D2(mm2) D3(mm3) D4(mm4)
1 132 0.9 1.11 0.81 0.73 0.66
2 414 1.2 0.83 1.44 1.73 2.07
3 1012 1.5 0.67 2.25 3.38 5.06
答案：(1)彈簧的自然長度、總匝數、彈簧圈的直(半)徑或彈簧的粗細或彈簧的橫截面積等(任答兩種即可)　(2)1.4　(3)4
解析：(1)由同樣粗細的鋼絲制成的彈簧，彈簧的自然長度、總匝數、彈簧圈的直徑等不同，其勁度系數可能不同，根據控制變量法原理，這些因素均應相同。
(2)由題圖知，該鋼絲的直徑為1 mm＋4×0.1 mm＝1.4 mm。
(3)題表中同一項目的三次測量值的比值分別為：勁度系數k1∶k2∶k3＝132∶414∶1012＝1∶3.14∶7.67，D1∶D2∶D3＝0.9∶1.2∶1.5＝1∶1.33∶1.67，D∶D∶D＝1.11∶0.83∶0.67＝1∶0.75∶0.60，D∶D∶D＝0.81∶1.44∶2.25＝1∶1.78∶2.78，D∶D∶D＝0.73∶1.73∶3.38＝1∶2.37∶4.63，D∶D∶D＝0.66∶2.07∶5.06＝1∶3.14∶7.67，故在其他條件相同的情況下，彈簧的勁度系數與其所用鋼絲直徑的4次冪成正比。
14(共52張PPT)
第二章　相互作用
第5講　實驗：探究彈簧彈力與形變量的關系
探究兩個互成角度的力的
合成規律
目錄
1
2
3
考點一　實驗：探究彈簧彈力與形變量的關系
考點二　實驗：探究兩個
互成角度的力的合成規律
課時作業
考點一　實驗：探究彈簧彈力與形變量的關系
一、實驗目的
1．探究彈簧彈力與形變量的關系。
2．學會用列表法和圖像法處理實驗數據。
二、實驗原理
彈簧受到拉力作用會伸長，平衡時彈簧產生的彈力和拉力大小相等；彈簧的伸長量越大，彈力也就越大。
三、實驗器材
鐵架臺、彈簧、鉤碼、刻度尺、坐標紙。
四、實驗步驟
1．安裝實驗儀器(如圖所示)。
2．測量彈簧所受某一拉力(由所掛鉤碼的質量計算得出)時的伸長量(或總長)，列表作出記錄，要盡可能多測幾組數據。
五、數據處理
1．列表法
由表格中的F、x數據，可以發現彈力F與彈簧伸長量x的比值在誤差允許范圍內是相等的。
2．圖像法
以彈簧伸長量x為橫坐標、彈力F為縱坐標建立坐標系，描出F、x各組數據相應的點，作出的擬合曲線是一條過坐標原點的直線。
六、注意事項
1．安裝實驗裝置時，要保持刻度尺豎直并靠近彈簧。
2．要使用輕質彈簧，且要盡量多測幾組數據。
3．實驗中彈簧下端掛的鉤碼不要太多，以免超過彈簧的彈性限度。
4．記錄數據時要注意彈力及彈簧伸長量的對應關系及單位。
5．描點畫線時，不要畫折線。所描的點不一定都落在一條直線上，但應注意不在直線上的點要均勻分布在直線的兩側。
七、誤差分析
1．鉤碼標值不準確、彈簧長度測量不準確帶來誤差。
2．畫圖時描點及連線不準確也會帶來誤差。
例1 如圖1所示，甲同學用鐵架臺、彈簧和多個已知質量且質量相等的鉤碼探究在彈性限度內彈簧彈力與彈簧伸長量的關系。
(1)為完成實驗，還需要的實驗器材有：___________。
毫米刻度尺
(2)實驗中需要測量的物理量有：____________________________________
___________________。
(3)圖2是彈簧彈力F與彈簧伸長量x的F x圖像，由此可求出彈簧的勁度系數為____N/m。圖線不過原點的原因是_________________。
(4)為完成該實驗，乙同學使用同樣的實驗器材，設計的實驗步驟如下：
A．以彈簧伸長量為橫坐標，以彈力為縱坐標，描出各組(x，F)對應的點，并用平滑的曲線連接起來；
B．記下彈簧不掛鉤碼時其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．將鐵架臺固定于桌子上，并將彈簧的一端系于橫梁上，在彈簧附近豎直固定一把刻度尺；
彈簧原長、彈簧所受外力與對應的伸長量
(或與彈簧對應的長度)
200
彈簧自身存在重力
D．依次在彈簧下端掛上1個、2個、3個、4個……鉤碼，分別記下鉤碼靜止時彈簧下端所對應的刻度，并記錄在表格內，然后取下鉤碼；
E．以彈簧伸長量為自變量，寫出彈力與伸長量的關系式。首先嘗試寫成一次函數，如果不行，則考慮二次函數；
F．解釋函數表達式中常數的物理意義；
G．整理儀器。
請將以上步驟按操作的先后順序排列出來：____________。
CBDAEFG
解析　(1)根據實驗原理可知，還需要毫米刻度尺來測量彈簧原長和形變量。
(2)根據實驗原理，實驗中需要測量的物理量有彈簧的原長、彈簧所受外力與對應的伸長量(或與彈簧對應的長度)。
(3)取圖像中(0.5，0)和(3.5，6)兩個點，代入ΔF＝kΔx可得k＝200 N/m。由于彈簧自重的原因，使得彈簧不掛鉤碼時就有形變量。
(4)根據完成實驗的合理性可知先后順序為CBDAEFG。
例2 (2025·八省聯考內蒙古卷)某興趣小組看到一種由兩根彈簧嵌套并聯組成的減振器，如圖a所示。他們討論得出勁度系數分別為kA、kB的兩根彈簧并聯時，等效勁度系數kAB＝kA＋kB。為了驗證該結論，小組選用兩根原長相等、粗細不同的彈簧A、B，設計實驗進行驗證。如圖b，彈簧上端固定，毫米刻度尺固定在彈簧一側。逐一增掛鉤碼，記下每次指針穩定后所指的刻度尺示數x和對應鉤碼的總質量m，并計算彈簧彈力F(取重力加速度大小g＝9.8 m/s2)。
依次用彈簧A、彈簧B和A、B嵌套并聯彈簧進行實驗，相關數據如下表所示：
鉤碼數 1 2 3 4 5 6
鉤碼質量m(g) 50 100 150 200 250 300
彈簧彈力F(N) 0.49 0.98 1.47 1.96 2.45 2.94
xA(cm) 11.09 12.19 13.26 14.32 15.40 —
xB(cm) 10.62 11.24 11.87 12.50 13.13 —
xAB(cm) 10.41 10.81 ☆ 11.62 12.02 12.42
以刻度尺讀數x為橫坐標，彈簧彈力F為縱坐標，利用表中數據，作出F x圖像，如圖c所示。回答以下問題：
(1)根據圖b，讀出數據，將表中數據補充完整：☆＝______ cm。
11.21
(2)在圖c坐標紙上作出彈簧A、B的F x圖線，計算可得勁度系數分別為kA＝45.6 N/m，kB＝77.9 N/m。在圖c坐標紙上，補齊讀出的數據點，并作出并聯彈
簧AB的F x圖線，由作出的圖線可得kAB＝____ N/m(結果保留至整數)。
答案 如圖所示
122
1
考點二　實驗：探究兩個互成角度的力的合成規律
一、實驗目的
1．會使用彈簧測力計。
2．探究兩個互成角度的力的合成規律。
二、實驗原理
如圖所示，分別用一個力F、互成角度的兩個力
F1、F2，使同一條一端固定的橡皮條伸長到同一點O，
即伸長量相同，根據合力的定義，F為F1和F2的合力，
作出力F及F1、F2的圖示，分析F、F1和F2的關系。
三、實驗器材
方木板，白紙，彈簧測力計(兩個)，橡皮條，小圓環，細繩套(兩個)，三角板，刻度尺，圖釘(若干)，鉛筆。
四、實驗步驟
1．裝置安裝：在方木板上用圖釘固定一張白紙，如圖甲，輕質小圓環掛在橡皮條的一端，另一端固定，橡皮條的原長為GE。
2．兩力拉：如圖乙，在小圓環上系上兩個細繩套，用手通過兩個彈簧測力計互成角度地共同拉動小圓環，小圓環處于O點，橡皮條伸長的長度為EO。用鉛筆描下O點位置、細繩套的方向，并記錄兩彈簧測力計的讀數F1、F2。
3．一力拉：如圖丙，改用一個彈簧測力計單獨拉住小圓環，仍使它處于O點，記下細繩套的方向和彈簧測力計的讀數F。
4．重復實驗：改變拉力F1和F2的大小和方向，重做幾次實驗。
五、數據處理
1．用鉛筆和刻度尺從點O沿兩條細繩方向畫直線，按選定的標度作出F1、F2和F的圖示。
2．以F1和F2為鄰邊用刻度尺作平行四邊形，過O點畫平行四邊形的對角線，此對角線代表的力記為F′，如圖丁。
3．分析多次實驗得到的多組數據，比較F與F′在誤差允許的范圍內是否完全重合，從而總結出兩個互成角度的力的合成規律：平行四邊形定則。
六、誤差分析
1．讀數誤差
彈簧測力計示數在允許的情況下，盡量大一些，讀數時眼睛一定要正視，要按有效數字正確讀數和記錄。
2．作圖誤差
(1)點O的位置和拉力的方向畫得不準確，作圖比例不恰當、不準確等造成作圖誤差。
(2)兩個力F1、F2的夾角太大或太小，導致作圖產生較大誤差。
七、注意事項
1．同一實驗中的兩個彈簧測力計的選取方法是：將兩個彈簧測力計調零后互鉤對拉，若兩個彈簧測力計讀數相同，則可選；若讀數不同，應調整或更換，直至讀數相同為止。
2．在同一次實驗中，使橡皮條拉長時，點O位置一定要相同。
3．用兩個彈簧測力計鉤住繩套互成角度地拉橡皮條時，夾角不宜太大也不宜太小，在60°～100°之間為宜。
4．應注意使彈簧測力計與木板平行，并使細繩套與彈簧測力計的軸線在同一條直線上，避免彈簧測力計的外殼與彈簧測力計的限位卡之間有摩擦。在不超過彈簧測力計量程及橡皮條彈性限度的前提下，拉力的數值盡量大些。讀數時眼睛要正視彈簧測力計的刻度。
5．細繩應適當長一些，便于確定拉力的方向。不要直接沿細繩的方向畫直線，應在細繩末端用鉛筆畫一個點，再將所標點與O點連接，即可確定拉力的方向。
6．在同一次實驗中，畫力的圖示所選定的標度要相同，并且要恰當選取標度，使所作力的圖示稍大一些。
例3 (2023·全國乙卷)在“驗證力的平行四邊形定則”的實驗中使用的器材有：木板、白紙、兩個標準彈簧測力計、橡皮條、輕質小圓環、刻度尺、鉛筆、細線和圖釘若干。完成下列實驗步驟：
①用圖釘將白紙固定在水平木板上。
②將橡皮條的一端固定在木板上，另一端系在輕質小圓環上。將兩細線也系在小圓環上，它們的另一端均掛上測力計。用互成一定角度、方向平行于木板、大小適當的力拉動兩個測力計，小圓環停止時由兩個測力計的示數得到兩拉力F1和F2的大小，并____。(多選，填正確答案標號)
CD
A．用刻度尺量出橡皮條的長度
B．用刻度尺量出兩細線的長度
C．用鉛筆在白紙上標記出小圓環的位置
D．用鉛筆在白紙上標記出兩細線的方向
③撤掉一個測力計，用另一個測力計把小圓環拉到________，由測力計的示數得到拉力F的大小，沿細線標記此時F的方向。
④選擇合適標度，由步驟②的結果在白紙上根據力的平行四邊形定則作F1和F2的合成圖，得出合力F′的大小和方向；按同一標度在白紙上畫出力F的圖示。
⑤比較F′和F的___________，從而判斷本次實驗是否驗證了力的平行四邊形定則。
相同位置
大小和方向
解析　②該實驗的原理是，兩個測力計共同作用的效果與使用一個測力計單獨作用的效果相同，即橡皮條在同一方向伸長相同長度，則需要用鉛筆標記出小圓環的位置；因為要作出力的圖示，故需要記錄F1、F2的大小和方向，所以還需要用鉛筆在白紙上標記出兩細線的方向。故選C、D。
③根據實驗原理，撤掉一個測力計，用另一個測力計拉小圓環時，應使兩次作用效果相同，即拉到相同位置。
⑤為判斷本次實驗是否驗證了力的平行四邊形定則，應比較F′和F的大小和方向，看它們是否近似相同。
例4 甲同學嘗試用如圖所示的實驗裝置來驗證“力的平行四邊形定則”。彈簧測力計a掛于固定點c，下端用細線掛一重物Q。彈簧測力計b的一端用細線系于O點，手持另一端向左拉，使結點O靜止在某位置。分別讀出彈簧測力計a和b的示數，并在貼于豎直木板的白紙上記錄O點的位置和拉線的方向。
(1)圖中彈簧測力計a的示數為_____ N。
(2)下列必要的實驗要求是_____。(請填寫
選項前對應的字母)
A．應測量重物Q所受的重力
B．彈簧測力計應在使用前校零
C．拉線方向應與木板平面平行
D．改變拉力，進行多次實驗，每次都要使O點靜止在同一位置
5.80
ABC
(3)乙同學換用兩個彈簧測力計拉橡皮筋到O點，兩彈簧測力計讀數分別為F1和F2，用一個彈簧測力計拉橡皮筋到O點時讀數為F′，通過作圖法驗證平行四邊形定則時，圖中符合實際情況的是___。
C
解析　 (1)如圖所示彈簧測力計，每1 N被分成10格，則1格就等于0.1 N，所以估讀一位數字后，圖中彈簧測力計a的示數為5.80 N。
(2)實驗通過作出三個力的圖示，來驗證“力的平行四邊形定則”，因此重物Q所受的重力必須要測量，故A正確；實驗中用彈簧測力計測出力的大小，所以必須在使用前校零，故B正確；拉線方向必須與木板平面平行，這樣才能使各力在同一平面內，故C正確；改變拉力，進行多次實驗，每次都要使O點靜止，但不必靜止在同一位置，故D錯誤。
(3)實際測量的合力F′與橡皮筋在同一條直線上，由平行四邊形定則作出的合力F為理論值，與實際值F′有一定的偏差，故C正確，A、B、D錯誤。
課時作業
1．(2024·海南高考)為驗證兩個互成角度的力的合成規律，某組同學用兩個彈簧測力計、橡皮條、輕質小圓環、木板、刻度尺、白紙、鉛筆、細線和圖釘等器材，按照如下實驗步驟完成實驗：
(Ⅰ)用圖釘將白紙固定在水平木板上；
(Ⅱ)如圖a、b所示，橡皮條的一端固定在
木板上的G點，另一端連接輕質小圓環，將兩細
線系在小圓環上，細線另一端系在彈簧測力計
上，用兩個彈簧測力計共同拉動小圓環到某位
置，并標記圓環的圓心位置為O點，拉力F1和
F2的方向分別過P1和P2點，大小分別為F1＝3.60 N、F2＝2.90 N；改用一個彈簧測力計拉動小圓環，使其圓心到O點，在拉力F的方向上標記P3點，拉力的大小為F＝5.60 N。請完成下列問題：
①在圖b中按照給定的標度畫出F1、F2和F的圖示，然后按平行四邊形定則畫出F1、F2的合力F′。
②比較F和F′，寫出可能產生誤差的兩點原因：__________________________
_______________________________________________________。
答案：①如圖所示
沒有做到彈簧測力計、細線、
橡皮條都與木板平行，讀數時沒有正視彈簧測力計(合理即可)
解析：①按照給定的標度畫出F1、F2和F的圖示，然后按平行四邊形定則畫出F1、F2的合力F′，如答圖所示。
②F和F′不完全重合，產生誤差的可能原因是：沒有做到彈簧測力計、細線、橡皮條都與木板平行，讀數時沒有正視彈簧測力計等。
2．在“探究兩個互成角度的力的合成規律”實驗中，桌上放一塊方木板，用圖釘把一張白紙釘在方木板上。再用圖釘把橡皮條一端固定在板上的A點。在橡皮條另一端拴上兩條細繩形成結點，細繩的另一端系著繩套。先用兩個彈簧測力計分別鉤住繩套，互成角度地拉橡皮條；再用一個彈簧測力計通過細繩套拉橡皮條。
(1)判斷力F單獨作用與力F1、F2共同作用效果相同的依據
是___。
A．F的大小等于F1與F2的大小之和
B．使橡皮條伸長相同的長度
C．使橡皮條上的結點到達同一位置
C
(2)實驗中需要標記或者記錄的信息有____。
A．橡皮條的原長 B．橡皮條原長時結點的位置
C．力F的大小和方向 D．力F1、F2的大小和方向
(3)下列措施可以減小實驗誤差的是____。
A．橡皮條應與兩繩套夾角的平分線在同一直線上
B．用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，兩個繩套的夾角必須等于90°
C．用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，彈簧測力計盡量與木板平行
D．拉橡皮條的細繩要長些，標記同一細繩方向的兩點要遠些
CD
CD
解析： (1)判斷力F單獨作用與力F1、F2共同作用效果相同的依據是，使橡皮條上的結點到達同一位置，C正確。
(2)實驗中需要標記或者記錄的信息有力F的大小和方向及力F1、F2的大小和方向，以便于畫出它們的力的圖示并加以比較，C、D正確。
(3)可以減小實驗誤差的是用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，彈簧測力計盡量與木板平行，C正確；拉橡皮條的細繩要長些，標記同一細繩方向的兩點要遠些，以便于標出拉力的方向來，D正確；橡皮條不一定要與兩繩套夾角的平分線在同一直線上，A錯誤；用兩個彈簧測力計拉橡皮條時，兩個繩套的夾角不必要等于90°，B錯誤。
3．(2025·吉林省白山市高三模擬預測)某同學利用鉤碼和刻度尺研究一橡皮筋所受彈力與其伸長量之間的關系。
(1)如圖甲，先將橡皮筋的一端固定在鐵架臺上，橡皮筋的另一端系一輕質掛鉤和指針；刻度尺豎直并靠近橡皮筋，上端0刻度線與橡皮筋上端水平對齊。
(2)在掛鉤上逐個掛上單個質量為10 g的鉤碼，并記錄下指針所對應的刻度，L1～L6為所掛鉤碼數量為1～6個時指針所對應刻度，L0為不掛鉤碼時指針所對應刻度。記錄如下表：
代表符號 L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6
數值(cm) 17.35 19.35 21.30 23.42 25.34 27.40 29.36
xn＝Ln－L0 0 2.00 3.95 6.07 7.99 10.05 12.01
(3)根據測量數據作出x m圖，如圖乙(m為所掛鉤碼的總質量)。
(4)由x m圖像，可以得出的結論是____________________________________
_____。
在彈性限度內，橡皮筋彈力與其伸長量成
正比
(5)由圖像可得該橡皮筋的勁度系數k＝____ N/m(結果保留兩位有效數字，g＝9.8 m/s2)。
(6)若考慮掛鉤和指針的質量，本實驗測得橡皮筋的勁度系數比真實值______ (選填“偏小”“偏大”或“相等”)。
4.9
相等
4．(2024·福建省南平市高三下三模)利用橡皮筋、彈簧測力計和圓形量角器等器材驗證力的平行四邊形定則。
(1)量角器固定在水平桌面上，將帶細繩套的橡皮筋一端用圖釘固定，如圖a。
(2)兩細繩套掛上彈簧測力計，互成角度拉兩只彈簧測力計，將結點拉至量角器圓心O點，如圖b，此時右側彈簧測力計示數為_____ N，記錄此時兩細繩套的拉力F1、F2的大小和方向。在紙上作力F1、F2的圖示并得到合力F，如圖c。
5.00
(3)改變兩細繩套的夾角，仍將結點拉至O點，記錄此時兩細繩套的拉力F3、F4的大小和方向。
(4)請在圖c中作出F3、F4合力F′的力的圖示。
答案：如圖所示
(5)多次重復步驟(3)和(4)，比較每次作出的合力，如果這些合力在誤差允許范圍內都____________________，則說明一個力分解成兩個力有多種分解方式，分力與合力的關系遵循平行四邊形定則。
大小相等，方向相同
解析： (2)由題圖b可知，彈簧測力計的最小刻度為0.1 N，需要估讀到0.01 N，所以讀數為5.00 N。
(4)根據平行四邊形定則作出F3、F4的合力F′的圖示，如圖所示。
(5)根據實驗規律可知，如果這些合力在誤差允許范圍內都大小相等，方向相同，則說明一個力分解成兩個力有多種分解方式，分力與合力的關系遵循平行四邊形定則。
5．(2021·廣東高考)某興趣小組測量一緩沖裝置中彈簧的勁度系數，緩沖裝置如圖所示，固定在斜面上的透明有機玻璃管與水平面夾角為30°，彈簧固定在有機玻璃管底端。實驗過程如下：先沿管軸線方向固定一毫米刻度尺，再將單個質量為200 g的鋼球(直徑略小于玻璃管內徑)逐個從管口滑進，每滑進一個鋼球，待彈簧靜止，記錄管內鋼球的個數n和彈簧上端對應的刻度尺示數Ln，數據如表所示。實驗過程中彈簧始終處于彈性限度內，采用逐差法計算彈簧壓縮量，進而計算其勁度系數。
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
6.04
6.05
3
48.6
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
6．某研究性學習小組要研究彈簧的勁度系數與繞制彈簧的金屬絲直徑間的關系，為此他們選擇了同種材料制成的不同直徑的鋼絲來繞制彈簧。
(1)進行此項實驗需要采用控制變量法，除了材料相同外，你認為還應控制哪些因素相同(寫出兩項即可)。_____________________________________________
____________________________________。
(2)用游標卡尺測量繞制彈簧的鋼絲直徑，某次測量示數如圖所示，則該鋼絲的直徑為____ mm。
彈簧的自然長度、總匝數、彈簧圈的直(半)徑或彈簧的
粗細或彈簧的橫截面積等(任答兩種即可)
1.4
勁度系數k(N/m) 鋼絲的直徑D(mm) D－1(mm－1) D2(mm2) D3(mm3) D4(mm4)
1 132 0.9 1.11 0.81 0.73 0.66
2 414 1.2 0.83 1.44 1.73 2.07
3 1012 1.5 0.67 2.25 3.38 5.06
(3)根據下表中相關數據，分析可得：在其他條件相同的情況下，彈簧的勁度系數與其所用鋼絲直徑的___次冪成正比。
4

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